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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  
2014~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril  
à  novembre 2014}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}
\hypertarget{Retour}{}

\vspace{1cm}
 
{\huge 
   
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  7 avril 2014} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Liban}{Liban  27  mai 2014} \dotfill 10  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 30  mai 2014} \dotfill 16  \medskip

\hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers 12  juin 2014} \dotfill 22  \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 13  juin 2014} \dotfill 29  \medskip

\hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 19 juin 2014} \dotfill 35  \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie 19  juin 2014} \dotfill 41  \medskip

\hyperlink{Metropolejuin}{Métropole  20 juin 2014} \dotfill 46  \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie   10 septembre 2014} \dotfill 52  \medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane  12 septembre 2014} \dotfill 56  \medskip

\hyperlink{Metrosep}{Métropole  12 septembre 2014} \dotfill 63
  \medskip

\hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud  17 novembre 2014} \dotfill 68  \medskip

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie   17 novembre 2014} \dotfill 73  \medskip

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie   2 mars 2015} \dotfill 79
\medskip}

\vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Pondichéry avril 2013    
\hypertarget{Pondichery}{}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 7 avril 2014} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry~\decofourright\\7 avril 2014}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_{h}$ représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ est représentée  ci-contre.

On a tracé la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{h}$ au point A$(- 1~;~3)$.

$T$ passe par le point B$(0~;~- 2)$.\index{nombre dérivé}

\textbf{Proposition} : le nombre dérivé $h'(- 1)$ est égal à $- 2$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-2.1,-2.75)(3,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.75)(3,4.25)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2}{x dup mul 1 add x 3 exp sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 5 neg  mul 2 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,3)(0,-2)
\uput[ur](1.2,0.5){$\mathcal{C}_{h}$}
\uput[l](-0.5,0.5){$T$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2.9,0){$x$}
\uput[r](0,4){$y$}
\uput[ur](-1,3){A}\uput[ur](0,-2){B}
\end{pspicture*}}

\item ~

\parbox{0.45\linewidth}{On désigne par $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

La courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, est donnée ci-contre.

Le point de coordonnées (1~;~0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

\textbf{Proposition} : la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [1~;~4].}\index{convexité}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,1.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{ 
 1 x sub 2.71828 x  exp  div}
 \uput[dl](0,0){O}
 \uput[u](4.9,0){$x$}
 \uput[r](0,1.2){$y$}
\end{pspicture*}}
\item \textbf{Proposition} : on a l'égalité 

\[\text{e}^{5\ln 2} \times \text{e}^{7\ln 4} = 2^{19}.\]

\item La courbe représentative d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~2] est donnée en fig. 1.

La courbe représentative d'une de ses primitives, $G$, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de $G$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C(2~;~5).

\begin{center}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-2.4)(2.2,9)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=50,linewidth=.5pt,linecolor=blue,linestyle=none]{1}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul  sub}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=lightgray](2,0)(1,0)(1,1)}
\multido{\n=1+1}{8}{%
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](0,\n)(2.2,\n)}
\multido{\n=1+1}{2}{%
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](\n,0)(\n,9)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize= -2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.8)(2.2,9)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul  sub}
\uput[dl](0,0){O}
\rput(.9,-2){fig. 1}
\end{pspicture} \hfill 
\psset{xunit=2cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(2.2,5.625)
\multido{\n=1+1}{5}{%
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](0,\n)(2.2,\n)}
\multido{\n=1+1}{2}{%
\psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](\n,0)(\n,5.625)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize= -2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(2.2,5.625)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul  x 1 sub mul 1 add}
\psdots[linecolor=blue](0,1)(1,1)(2,5)
\uput[ur](0,1){\footnotesize{A}}\uput[ul](1,1){\footnotesize{B}}\uput[ul](2,5){\footnotesize{C}}
\rput(.9,-1.25){fig. 2}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Proposition} : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de $g$ en fig. 1 est 4 unités d'aires.\index{aire et intégrale}
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
 
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec $115$ oiseaux.
 
Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
 
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 

La situation peut être modélisée par une suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
\item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous,\index{algorithme} seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013~+~n$.
		 
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\hspace{-1.cm}{
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\multirow{2}*{\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
Affecter 115 à $U$\\
Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$
\end{tabular}}&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$
\end{tabular}&&&&\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$
\end{tabular}\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
Fin&&Fin&&Fin\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
}
\medskip
 
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
		\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
En 2013, l'entreprise U avait 45\,\% du marché et l'entreprise V le reste. 
Chaque année, l'entreprise U conserve 90\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
 
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ :\index{probabilités} 

\begin{description}
\item[ ] $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$, ainsi 

$u_{0} = 0,45$ ;
\item[ ] $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$.
\end{description}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. 
\item Donner $v_{0}$, calculer $u_{1}$ et $v_{1}$· 
\item On considère l'algorithme (incomplet) donné en annexe. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée.\index{algorithme} 

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu. 
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n+1} = 0, 75u_{n} + 0,15$.
 On note, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n} = u_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.\index{suite géométrique} 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :

\[C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10\qquad  	a, b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}.\]
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 
On admet que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
a+b+c			&=&1\\ 
27a + 9b + 3c 	&=&17,4\\ 
125a + 25b + 5c &=&73
\end{array}\right. 
\text{et on pose}\: X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera.\index{matrice} 
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du système $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\end{enumerate}

\textbf{Annexe à l'exercice 2}

Recopier sur la copie la  partie \og traitement \fg{ } (lignes L3 à L9) en complétant les lignes L5 et L8.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|l X |c|}\hline
\textbf{Variables :}&$N$ est un nombre entier naturel non nul	&L1\\
&$U$ et $V$ sont des nombres réels								&L2\\
\textbf{Traitement :}&Saisir une valeur pour $N$				&L3\\
&Affecter à $U$ la valeur 0,45									&L4\\
&Affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots							&L5\\
&Pour $i$ allant de 1 jusqu'à $N$								&L6\\
&\multirow{2}*{\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
Affecter à $U$ la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$\\
Affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots \end{tabular}}			&L7\\
&																&L8\\
&Fin Pour														&L9\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $U$ et Afficher $V$					&L10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014. 

On a évalué à $0,07$ la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
 
Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à $0,04$.
 
On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $G$ : le salarié a la grippe une semaine donnée ; 
\item $A$ : le salarié est absent une semaine donnée.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches.\index{arbre} 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{\ldots}
	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center}
 
\item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à \np{0,1072}. 
\item Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il  est absent. Donner un résultat arrondi au millième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 3,5$.\index{loi normale}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier, en utilisant un résultat du cours, que $p(7 \leqslant X \leqslant 21) \approx 0,95$. 
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un salarié comptabilise au moins $10$ journées d'absence dans l'année.
\end{enumerate} 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
 
Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle. 

Parmi celles-ci, $28$ ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013. 

Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation} %
\hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
Un artisan glacier commercialise des \og sorbets bio \fg. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
 
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I = ]0~;~3] par 

\[f(x) = 10x^2 - 20x \ln x.\]\index{fonction logarithme népérien}
 
Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f(x)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
 
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction $r$ définie sur le même intervalle I.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $D$ représentative de la fonction linéaire $r$ sont données en \textbf{annexe}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le prix de vente en euros de $100$~litres de sorbet. 
		\item Donner l'expression de $r(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?
	\end{enumerate} 
\item On admet que $\displaystyle\int_{1}^3 20x \ln x\:\text{d}x = 90 \ln 3 - 40$.\index{intégrale} 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. 
		\item En déduire, pour une production comprise entre $100$ et $300$~litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.
		\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : 

\[B(x) = - 10x^2 + 10x + 20x \ln x\]\index{fonction logarithme népérien}
 
où $B(x)$ est exprimé en centaines d'euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
Montrer que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : $B'(x) = - 20x +20 \ln x + 30$. 
\item On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~3].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](5.9,1.9){$3$}
\rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[d](1.4,2){$B'(1)$}\uput[u](5.6,0){$B'(3)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$. 
		\item En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle.
	\end{enumerate} 
\item L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$~euros. Est-ce envisageable?
\end{enumerate}% 
\hyperlink{Index}{*}
\newpage

\begin{center}
{\Large ANNEXE }

\vspace{1cm}

Annexe à l'exercice 4 

\vspace{1cm}
\psset{xunit=4cm,yunit=0.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(3.2,32)
%\psgrid[gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=5,Dx=0.2,Dy=2](0,0)(3.,32)
\multido{\n=0.0+0.2}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,32)}
\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](0,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.1,-1.9)(3.2,32)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 10 mul}
\uput[u](2.8,0){centaines de litres}
\uput[r](0,31.5){centaines d'euros}
\uput[u](2,20){$D$}\uput[u](2,12){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   Fin Pondichéry 7 avril 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Liban mai 2014
\hypertarget{Liban}{}

\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 27 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

%\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Liban 
~\decofourright\\27 mai 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu'en moyenne, 40\,\% des clients sont des familles, 25\,\% des clients sont des personnes seules et 35\,\% des clients sont des couples.\index{probabilités} 

Il note aussi que : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des familles laissent un pourboire; 
\item[$\bullet~~$] 90\,\% des personnes seules laissent un pourboire; 
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des couples laissent un pourboire. 
\end{itemize}

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria. 

On s'intéresse aux évènements suivants: 

$F$ : \og la table est occupée par une famille \fg 

$S$ : \og la table est occupée par une personne seule\fg 

$C$ : \og la table est occupée par un couple \fg 

$R$ : \og le serveur reçoit un pourboire \fg 

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p_B(A)$ la probabilité de $A$, sachant $B$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités $p(F)$ et $p_S(R)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :\index{arbre}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{0,70}
		  \TR{$\overline{R}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$C$}}
	  {
		  \TR{$R$}
		  \TR{$\overline{R}$}	
	  }
	\pstree{\TR{$S$}\taput{0,35}}
	  {
		  \TR{$R$}
		  \TR{$\overline{R}$}	
	  }	
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(F \cap R)$. 
		\item Déterminer $p(R)$. 
	\end{enumerate}
\item  Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d'un couple. Le résultat sera arrondi à $10^{- 3}$ . 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur.\index{loi normale} 

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 4,5$. 

\emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à }\:$10^{- 2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : 
\begin{enumerate}
\item la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre $6$ et $24$ euros. 
\item $p(X \geqslant  20)$. 
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à $20$ euros sachant que ce montant est compris entre $6$ et $24$~euros. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et L} 

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.\\ 
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification. \\
Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. }\index{probabilités}

\medskip

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour. 

En 2010, en France, la proportion notée $p$ de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $0,236$ 
\begin{flushright}(\emph{Source : Inpes})\end{flushright} 

On a $p = 0,236$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à $10^{-3}$ près: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,136&\textbf{b.}~~ 0&\textbf{c.}~~ 0,068&\textbf{d.}~~ 0,764
\end{tabularx}
\medskip 

\item Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :\index{intervalle de fluctuation} 

(Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ [0,198~;~0,274] &\textbf{b.}~~[0,134~;~0,238]&\textbf{c.}~~ [0,191~;~0,281]&\textbf{d.}~~ [0,192~;~0,280] 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La taille $n$ de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$n = 200$&\textbf{b.}~~  
 $n = 400$&\textbf{c.}~~ $n = \np{21167}$&\textbf{d.}~~ $n = \np{27707}$
 \end{tabularx}
 \medskip 

\item Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles. 

Au seuil de 95\,\%, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :\index{intervalle de confiance} 

(\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à }\: $10^{- 2}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~[0,35~;~0,45]&\textbf{b.}~~ [0,33~;~0,46]& 
\textbf{c.}~~[0,39~;~0,40]& \textbf{d.}~~ [0,30~;~0,50]
\end{tabularx}
\hyperlink{Index}{*} 
\end{enumerate}%

%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré \np{2500} inscriptions en 2013. 

Elle estime que, chaque année, 80\,\% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents. 

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(a_n\right)$. 

On note $a_0 = \np{2500}$ le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et $a_n$ représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année $2013 + n$.
\index{suite}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.
		\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a la relation $a_{n+1} = 0,8 \times  a_{n} + 400$. 
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n, \: v_{n} = a_{n} - \np{2000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 500$ et de raison $q = 0,8$.\index{suite géométrique} 
		\item En déduire que le terme général de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $a_{n} = 500 \times 0,8^n + \np{2000}$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ? 
	\end{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant : \index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& $N$ entier\\ 
& $A$ réel\\
Initialisation : &$N$ prend la valeur 0\\ 
&$A$ prend la valeur \np{2500}\\ 
Traitement :& Tant que $A - \np{2000} > 50$\\
&\begin{tabular}{l l} 
\hspace{0.4cm}&$A$ prend la valeur $A\times 0,8 + 400$\\ \hspace{0.4cm}&$N$ prend la valeur $N + 1$
\end{tabular}\\ 
&Fin du Tant que\\ 
Sortie :& Afficher $N$.\\\hline
\end{tabular} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 	\hfill 5 points}

\textbf{ES Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip \index{graphe}
 
On a schématisé ci-dessous le plan d'une MJC (Maison de la Jeunesse et de la Culture) par un graphe dont les sommets sont les salles et les arêtes sont les passages (portes, couloirs ou escaliers) entre les salles. 
On appelle H le hall d'entrée et B le bureau du directeur.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
\psdots(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(4,0)(2,-2)%HFABECD 
\pspolygon(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(2,-2)%HFABCDH
\psline(2,2)(6,-2)(6,2)(2,-2)
\uput[ul](2,2){F} \uput[ur](6,2){A} \uput[l](0,0){H} 
\uput[r](8,0){B} \uput[dr](6,-2){C} \uput[u](4,0){E} 
\uput[dl](2,-2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

En fin de journée, un agent de service fait le tour de la MJC pour récupérer dans chaque salle (bureau du directeur et hall inclus) les objets oubliés par les enfants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser si ce graphe est connexe en justifiant la réponse.\index{graphe connexe} 
\item Déterminer, en justifiant, si l'agent de service peut passer par toutes les salles en utilisant une fois et une seule chaque passage. 
\item On range les sommets par ordre alphabétique. 

Donner la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe. 
\item On donne : \index{matrice}

\[M^4 = \begin{pmatrix}
31	&15 &26 &21 &27 &18 &12\\ 
15 	&12 &15 &12 &18 &12 &6\\ 
26	&15 &31 &18 &27 &21 &12\\ 
21 	&12 &18 &20 &17 &18 &5\\ 
27	&18	&27 &17 &34 &17 &16\\ 
18 	&12 &21 &18 &17 &20 &5\\ 
12 	&6 	&12 &5 	&16 &5 &10\\
\end{pmatrix}\] 

En déduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.
\item On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passer entre les différentes salles en ouvrant et fermant les portes à clé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
%\psgrid
\psdots(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(4,0)(2,-2)%HFABECD 
\pspolygon(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(2,-2)%HFABCDH
\psline(2,2)(6,-2)(6,2)(2,-2)
\uput[ul](2,2){F} \uput[ur](6,2){A} \uput[l](0,0){H} 
\uput[r](8,0){B} \uput[dr](6,-2){C} \uput[u](4,0){E} 
\uput[dl](2,-2){D}
\uput[ul](1,1){1}\uput[u](4,2){3}\uput[ur](7,1){2}
\uput[dr](7,-1){2}\uput[d](4,-2){1}\uput[dl](1,-1){2}
\uput[dl](3,1){1}\uput[dr](5,1){2}\uput[ul](3,-1){1}\uput[ur](5,-1){1}
\uput[r](6,0){4} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par \index{fonction exponentielle}

\[f(x) = x + 1 + \text{e}^{- x + 0,5}.\]\index{fonction exponentielle} 

On a représenté en annexe, dans un plan muni d'un repère orthonormé: 

\setlength{\parindent}{6mm}
\begin{itemize}
\item  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ; 
\item  la droite $\Delta$ d'équation $y = 1,5x$. 
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~5], on a $f'(x) = 1 - \text{e}^{- x + 0,5}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f $.
		\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~5] l'équation $f'(x) = 0$ . 
		\item Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
	\end{enumerate}
\item On note $\alpha$ l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Delta$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, par lecture graphique, un encadrement de $\alpha$ à 0,5 près. 
		\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle [0~;~5] l'inéquation $f(x) < 1,5x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application} 

\medskip

Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à raide d'une machine. 

La fonction $f$, définie dans la partie A, représente le coût d'utilisation de la machine en fonction de la quantité $x$ de cartes produites, lorsque $x$ est exprimé en centaines de cartes et $f (x)$ en centaines d’euros. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d'utilisation de la machine. 
		\item Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50~\euro . 

La recette perçue pour la vente de $x$ centaines de cartes vaut donc $1,5 x$ centaines d'euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de $x$ centaines de cartes est donné par 

$B(x) = 0, 5x -1- \text{e}^{- x + 0,5}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~5]. 
		\item  Montrer que, sur l'intervalle [0~;~5], l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33. 
	\end{enumerate}
\item On dira que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque $B(x) > 0$. 

Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l'entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

\begin{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1.5cm} 

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4}\end{flushleft} 

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(8,8)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,8)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(8,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.2}{1.54 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 0.5 x sub exp x add 1 add}
\psdots[dotscale=1.4](0,2.64872)(5,6)
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](5,7.7){$\Delta$}\uput[r](5,5.75){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   Fin Liban mai 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord  mai 2014
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Nord
~\decofourright\\30 mai 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\\index{Q. C. M.}
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.99,-1)(6,3)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{-5}{5}{x dup mul .125 neg mul EXP}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :\index{lecture graphique}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}\; $f$ est une fonction de densité de probabilité & \textbf{b.}\; $f$ est positive \\  
\textbf{c.}\; $f$ n'est pas continue & \textbf{d.}\; l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions
\end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(1)=0$ & \textbf{b.}\; $f'(0)=1$ &  \textbf{c.}\; $f'(0)=0$ & \textbf{d.}\; $f'(1)=1$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item On admet qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est $y=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$. 
 
Le nombre dérivé de $f$ en 4 est :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(4)=\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{b.}\; $f'(4)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ &  \textbf{c.}\; $f'(4)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{d.}\; $f'(4)=\mathrm{e}^{-2}$
 \end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :  
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $0 <A < 1$ & \textbf{b.}\;$1< A < 2$ &  \textbf{c.}\; $3 < A < 4$ & \textbf{d.}\; $4 < A <5$
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-4}$.\index{probabilités}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On considère deux types d'appartement :

\begin{itemize}
\item Les appartements d'une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
\item Les appartements de plus de deux pièces.
\end{itemize} 
    

Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur ont montré que :

\begin{itemize}
\item 35\,\% des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
    \item 45\,\% des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
    \item 30\,\% des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.
\end{itemize}
    

On choisit un dossier au hasard et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $T$ : \og l'appartement est de type T1 ou T2 \fg{} ;
\item $R$ : \og l'appartement loué est rentable \fg{} ;
\item $\overline{T}$ est l'évènement contraire de $T$ et $\overline{R}$ est l'évènement contraire de $R$.
\end{itemize}
    
\begin{enumerate}
\item  Traduire cette situation par un arbre pondéré.
\item Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à \np{0,3525}.
\item Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
\index{loi normale}
On considère $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler $X$ à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 35$ et d'écart type $\sigma = 5$.

À l'aide de la calculatrice :

   \begin{enumerate}
    \item Calculer $P(25 \leqslant X \leqslant 35)$.
    \item Calculer la probabilité qu'au moins $45$ appartements parmi les $100$ appartements loués soient rentables.
    \end{enumerate}
     
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip


L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60\,\% des appartements sont rentables. 

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard $280$ dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, $120$ sont rentables.

    \begin{enumerate}
    \item Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.
\item Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.\index{intervalle de fluctuation}
    \end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} Modèle exponentiel}

\medskip
 
Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ qui modélise la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et $f(x)$ la durée de chargement exprimée en seconde.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,22)
\psset{xunit=1cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(-.99,-4.5)(10,110)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.5}{8.404}{.311 x mul EXP 8.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour \np{8000} personnes connectées.\index{lecture graphique}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par $f$.
		\item Donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modèle logarithmique}

\medskip
  

On considère une autre fonction $g$ pour modéliser la situation précédente.
\index{fonction logarithme népérien}
On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g(x)$ avec $g(x) = 10x - 8\ln (x)$ pour $x$ appartenant à $[0,5~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~+\infty[$.
\item Justifier que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~+\infty[$ par $G(x) = 5x^2+8x-8x\ln(x)$ est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~+\infty[$.\index{primitive}
\item On pose $I = \dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{2}^{4} g(x) \:\mathrm{d} x$
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la valeur exacte de $I$ peut s'écrire sous la forme $a+b\ln (2)$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera.
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$ puis donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément \np{8000} personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.

Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.%
\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et L} 

\medskip

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000} arbres.\index{suite}

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $u$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année $(2013 + n)$.

En 2013, la forêt compte \np{50000} arbres.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
\item Montrer que la suite $u$ est définie par $u_0 = \np{50000}$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation 

\[u_{n+1} = 0,95u_n+ \np{3000}.\]

\end{enumerate}
\item On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =\np{60000}- u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,95.\index{suite géométrique}

Déterminer son premier terme.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
        \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{10000}(6-0,95^n)$.
        \item Déterminer la limite de la suite $u$.
        \item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n \geqslant \np{57000}$
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.
\index{algorithme}
\medskip

\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 1}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 2}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$A$, $U$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Saisir la valeur de $A$&&Saisir la valeur de $N$&&Saisir la valeur de $N$\\
$N$ prend la valeur 0&&$U$ prend la valeur \np{50000}&&$U$ prend la valeur \np{50000}\\
$U$ prend la valeur \np{50000}&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$\\ 
\textbf{Tant que} $U<A$ &&\hspace{1ex} $U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&\hspace{1ex}Afficher $U$\\
\hspace{1ex}$N$ prend la valeur $N+1$&&\textbf{Fin Pour}&&\hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$\\
\hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&Afficher $U$&&\textbf{Fin Pour}\\
\textbf{Fin tant que}&&  &&Afficher $U$\\ 
Afficher $N$&& && \\ 
\textbf{Fin algorithme} &&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

		\item Lorsque $A = \np{57000}$ l'algorithme 1 affiche 24. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
\index{graphe} 
Lors d'une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d'autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d'autoroute par une arête) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,5.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3,3){E}{E}
\cnodeput(10,3){F}{F}
\cnodeput(8,3.5){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{C}{B}\ncline{C}{G}\ncline{G}{F}
\ncline{F}{H}\ncline{G}{H}\ncline{B}{E}\ncline{C}{E}
\ncline{E}{G}\ncline{D}{E}\ncline{D}{H}\ncline{A}{D}
\ncline{C}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.\index{graphe connexe}
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute. 
		\item Citer un trajet de ce type.  
	\end{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M$.
		\item On donne la matrice \index{matrice}

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 &5 &3 &5 &1 &1 &4 &1\\ 
5 &2 &7 &2 &8 &3 &3 &5\\ 
3 &7 &6 &4 &9 &3 &9 &10\\ 
5 &2 &4 &0 &9 &2 &3 &8\\ 
1 &8 &9 &9 &4 &4 &10 &4\\ 
1 &3 &3 &2 &4 &2 &6 &6\\ 
4 &3 &9 &3 &10 &6 &6 &9 \\
1 &5 &10 &8 &4 &6 &9 &4\\
\end{pmatrix}\]
 
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H. 

Préciser ces chemins.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Des contraintes d'organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. 

Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d'autoroute.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,5.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3,3){E}{E}
\cnodeput(10,3){F}{F}
\cnodeput(8,3.5){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{\bf 400}
\ncline{C}{B}\ncput*{\bf 600}
\ncline{C}{G}\ncput*{\bf 550}
\ncline{G}{F}\ncput*{\bf 200}
\ncline{F}{H}\ncput*{\bf 400}
\ncline{G}{H}\ncput*{\bf 300}
\ncline{B}{E}\ncput*{\bf 400}
\ncline{C}{E}\ncput*{\bf 350}
\ncline{E}{G}\ncput*{\bf 600}
\ncline{D}{E}\ncput*{\bf 300}
\ncline{D}{H}\ncput*{\bf 900}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bf 600}
\ncline{C}{H}\ncput*{\bf 450}
\end{pspicture}
\end{center} 
\index{algorithme de Dijkstra}
Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F. 

Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord  mai 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%  Centres étrangers 12 juin 2014
\hypertarget{Centres etrangers}{}

\lfoot{\small{Centres Etrangers}}
\rfoot{\small{12 juin  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers  12 juin  2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ; 
\item deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ; 
\item si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l'entreprise.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas. 

\medskip

À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :\index{probabilités}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ; 
\item[$\bullet~~$]20\,\% des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ;
\item[$\bullet~~$]38\,\% des candidats ont été recrutés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend un candidat au hasard et on note :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og  le candidat a un dossier jugé de bonne qualité \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og  le candidat est recruté par l'entreprise \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise. 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $D \cap R$ est égale à $0,24$. 
		\item En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a.
	\end{enumerate} 
\item Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$. \index{loi binomiale}
		\item Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à $10^{- 3}$.
	\end{enumerate} 
\item Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines. 

Coralie arrive à 8~h~30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8~h et 9~h. 

On désigne par $T$ la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [8~;~9].\index{loi uniforme} 

Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x^2 - 1}.\]
 
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.\index{fonction exponentielle}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\:\: f'(x) =  \left(2x^2 + 1\right)\text{e}^{x^2 - 1}$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout réel $x,\: f''(x) = 2x\left(2x^2 + 3\right)\text{e}^{x^2 - 1}$.
 
Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[h(x) = x\left(1 - \text{e}^{x^2 - 1}\right).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'inéquation $1 - \text{e}^{x^2 - 1} \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $[-1~;~1]$. 
		\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur 1'intervalle $[-1~;~1]$. 
		\item En remarquant que pour tout réel $x$, on a l'égalité $h(x) = x - f(x)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe 
		$\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$ sur l'intervalle [0~;~ 1].
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2 - 1}$ et soit $I = \displaystyle\int_{0}^1  h(x)\:\text{d}x$. 
 
On admet que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. 

Calculer la valeur exacte de $I$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Applications}

\medskip
 
Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle [0~;~1] :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction étudiée en partie A ; 
\item[$\bullet~~$]la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction définie par $g(x) = x^3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la droite $D$ d'équation $y = x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)
\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)[$x$,d][$y$,210]
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=20,griddots=5](0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x dup mul 1 sub exp x mul}
\uput[ul](0.7,0.42){\blue $\mathcal C_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp}
\uput[dr](0.7,0.343){\red $\mathcal C_g$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.125)(0,0.125)
\psdots[dotstyle=+](0.5,0.125)
\uput[l](0,0.125){$0,125$}
\uput[u](0.5,0.125){$M$}
\uput[ul](0.8,0.8){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

\medskip
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses, $x$ représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ; 
\item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées, $f(x)$ et $g(x)$ représentent pour chaque entreprise la proportion de la  masse salariale (c'est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{Par exemple :}
 
\emph{Le point $M(0,5~;~0,125)$ est un point appartenant à la courbe 
$\mathcal{C}_{g}$. Pour l'entreprise G cela se traduit de la façon suivante :\\ 
si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des $50$\,\% aux revenus les plus faibles) représente $12,5$\,\% de la masse salariale.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80\,\% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité. 
\item On note $\mathcal{A}_{f}$ l'aire du domaine délimité par la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x = 1$. 

On appelle indice de Gini associé à la fonction $f$, le nombre réel noté $I_{f}$ et défini par $I_{f} = 2 \times \mathcal{A}_{f}$.\index{indice de Gini}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $I_{f} = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		\item On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire. 
Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip 
 
Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée $500$~élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30\,\% de l'effectif et l'arrivée de $300$~nouveaux élèves.
 
On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $2013 + n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0} = 500$. \index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014. 		\item Calculer Je nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
	\end{enumerate} 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_{n} + 300$. 
\item On souhaite, pour un entier $n$ donné, afficher tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ du rang $0$ au rang $n$. 

Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.\index{algorithme}

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Algorithme 1& Algorithme 2& Algorithme 3\\ \hline 
\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
$n, i$ entiers naturels,& 
$n, i$ entiers naturels,& 
$n, i$ entiers naturels,\\ 
$u$ nombre réel& $u$ nombre réel& $u$ nombre réel\\ 
\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}\\ 
Lire $n$&Lire $n$&Lire $n$\\ 
$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$\\  
Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
Afficher $u$&Afficher $u$& $u$ prend la valeur $0,7 \times u + 300$\\ 
$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$&$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$& Fin Pour\\ 
Fin Pour& Fin Pour& Afficher $u$\\ 
&Afficher $u$&\\ 
\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = u_{n} - \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = \np{1000} - 500 \times 0,7^n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} \geqslant 990$. 
		\item Interpréter le résultat trouvé précédemment. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}% 
\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'un graphe}

\medskip
 
On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous. 

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(2,3.2){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{H}
\ncline{D}{B}
\ncline{E}{B}
\ncline{F}{B}
\ncline{C}{B}
\ncline{C}{H}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{G}{I}
\ncline{G}{H}
\ncline{I}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
	\end{enumerate} \index{graphe}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre 
alphabétique).

		\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 
	\end{enumerate}
Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Applications}
 
\medskip

\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous le plan simplifié d'un lycée 

\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,6.6)
\psframe(12,6.6)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
\psline(5,5.4)(5,5.8)
\psline(5,6.1)(5,6.6)
\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
\rput(3.5,5.9){\footnotesize ADMINISTRATION}
\rput(7.3,6.1){\footnotesize VIE SCOLAIRE}
\rput(7.3,5.8){\footnotesize ET INFIRMERIE}
\rput(1,5.1){\footnotesize SALLE DES}
\rput(1,4.8){\footnotesize PROFESSEURS}
\rput(1.8,0.8){\footnotesize CANTINE}
\rput(2,2.6){\footnotesize C. D. I.}
\rput(3.3,3.7){\footnotesize HALL 1}
\rput(5.5,3.4){\footnotesize HALL 2}
\rput(8.5,2.3){\footnotesize BÂTIMENT 1}
\rput(10.8,3.2){\footnotesize BÂTIMENT 2}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
Lieu correspondant dans le lycée&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez~vous avec ses parents.
 
Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l'élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 
\item Le lycée organise une journée portes-ouvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
		\item Sur les arêtes du graphe $\mathcal{G}$ sont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée.
		 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(2,3.2){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
\ncline{A}{C}\ncput*{\bf \sf 45}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bf \sf 70}
\ncline{A}{H}\ncput*{\bf \sf 60}
\ncline{D}{B}\ncput*{\bf \sf 80}
\ncline{E}{B}\ncput*{\bf \sf 50}
\ncline{F}{B}\ncput*{\bf \sf 35}
\ncline{C}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
\ncline{C}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
\ncline{C}{G}\ncput*{\bf \sf 90}
\ncline{D}{E}\ncput*{\bf \sf 60}
\ncline{D}{F}\ncput*{\bf \sf 35}
\ncline{G}{I}\ncput*{\bf \sf 20}
\ncline{G}{H}\ncput*{\bf \sf 40}
\ncline{I}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet D en un temps minimal.\index{algorithme de Dijkstra}
 
Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.
 
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse \textbf{en justifiant votre réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
 
On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type 

$\sigma = 10$.\index{loi normale}
 
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1 :} Environ 95\,\% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre $230$ et $270$~pages. 
		\item \textbf{Affirmation 2 :} Moins de 50\,\% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à $300$~pages.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80\,\% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à $250$ ~pages.
 
Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
 
Dans un échantillon de taille \np{1000}, le contrôleur a obtenu $240$~cartouches vides d'encre avant l'impression de $250$~pages. 

\textbf{Affirmation 3 :} Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise. 
\item L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses \np{10000} clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
 
Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau $0,95$ avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4\,\%.\index{intervalle de confiance} 

\textbf{Affirmation 4 :} L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers 12 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie 13 juin 2014
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  13 juin  2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Document 1 :} \og \emph{En France, pendant l'année scolaire 2009-2010, sur $\np{81135}$ étudiants inscrits en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE), on pouvait trouver $\np{34632}$ filles.} \fg \\
\emph{(Source: Repères et références statistiques sur les enseignements, la formation et la recherche Edition 2010)}

\medskip
 
Selon l'INSEE, la proportion de filles parmi les jeunes entre 15 et 24 ans est de 49,2\,\%.
 
 \medskip
 
Peut-on considérer, en s'appuyant sur le document 1 que les filles inscrites sont sous-représentées en CPGE ? Justifier la réponse.
 
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les étudiants des CPGE se répartissent en 3 filières :

\begin{itemize}
\item la filière scientifique (S) accueille 61,5\,\% des étudiants ; 
\item la série économique et commerciale (C) accueille 24\,\% des étudiants ; 
\item les autres étudiants suivent une filière littéraire (L).
\end{itemize}\index{probabilités}
 
 \medskip
 
\textbf{Document 2 :} \og \emph{En classes littéraires, la prépondérance des femmes semble bien implantée : avec trois inscrites sur quatre, elles y sont largement majoritaires. Inversement, dans les préparations scientifiques, les filles sont présentes en faible proportion ($30\,\%$) alors qu'on est proche de la parité dans les classes économiques et commerciales.} \fg\\ 
\emph{(Même source)}
 
 \medskip
 
On considère que parmi tous les inscrits en CPGE en 2009-2010, la proportion de fille est 42,7\,\%. On interroge au hasard un étudiant en CPGE. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $F$ : l'étudiant interrogé est une fille ; 
\item[ ] $S$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière scientifique ; 
\item[ ] $C$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière économique et commerciale ; 
\item[ ] $L$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière littéraire.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(S),\: P(C),\: P_{L}(F), P_{S}(F)$ et $P(F)$.

 Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'étudiant interrogé au hasard soit une fille inscrite en L. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $F \cap S$. 
		\item En déduire que la probabilité de l'évènement $F \cap C$ est \np{0,13375}.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que l'étudiant interrogé suit la filière économique et commerciale, quelle est la probabilité qu'il soit une fille ? On arrondira le résultat au millième.
 
Confronter ce résultat avec les informations du document 2. 
\item Sachant que l'étudiant interrogé est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit inscrite dans la filière littéraire L ? On arrondira le résultat au millième. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip
 
Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser $700$ objets par jour.
 
On modélise le coût total de production par une fonction $C$.
 
Lorsque $x$ désigne le nombre d'objets fabriqués, exprimé en centaines, $C(x)$, le coût total correspondant, est exprimé en centaines d'euros.
 
La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en annexe.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe.
\index{lecture graphique}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total de production pour 450 objets ? 
\item Combien d'objets sont produits pour un coût total de \np{60000}~euros ? 
On considère que le coût marginal est donné par la fonction $C'$ dérivée de la fonction $C$. 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de $600$ objets. 
		\item Que pensez-vous de l'affirmation : \og le coût marginal est croissant sur l'intervalle $[0~;~7]$ \fg ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le prix de vente de chacun de ces objets est de $75$~euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $r$ la fonction \og recette\fg. Pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0~;~7]$, $r(x)$ est le prix de vente, en centaines d'euros, de $x$ centaines d'objets.
 
Représenter la fonction $r$ dans le repère donné en annexe. 
\item En utilisant les représentations graphiques portées sur l'annexe, répondre aux questions qui suivent. 
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l'entreprise, la fourchette maximale de rentabilité? Justifier la réponse. 
		\item Que penser de l'affirmation : \og il est préférable pour l'entreprise de fabriquer $500$~objets plutôt que $600$~objets \fg ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées \emph{taxiways}. 

Les arêtes du graphe représentent les voies de circulation (les \og taxiways \fg) et les sommets du graphe sont les intersections.\index{graphe} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnode(0.5,0.5){2pt}{A}\uput[l](0.5,0.5){A}
\cnode(2,3.4){2pt}{B}\uput[u](2,3.4){B}
\cnode(2.5,1.5){2pt}{C}\uput[d](2.5,1.5){C}
\cnode(4.5,2.3){2pt}{D}\uput[u](4.5,2.3){D}
\cnode(6,4.3){2pt}{E}\uput[u](6,4.3){E}
\cnode(6,1.3){2pt}{F}\uput[d](6,1.3){F}
\cnode(8,0.5){2pt}{T}\uput[r](8,0.5){T}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{A}{T}
\ncline{B}{C}\ncline{B}{D}\ncline{B}{E}
\ncline{C}{D}\ncline{D}{E}\ncline{C}{F}
\ncline{D}{F}
\ncline{E}{F}\ncline{E}{T}
\ncline{F}{T}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de voies de circulation au total. 
\item Afin que l'aéroport soit déneigé le plus rapidement possible, est-il possible de planifier un parcours pour que les chasse-neige passent par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la même route ? Justifier la réponse et donner un tel parcours.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute( s).

\begin{center} 
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnode(0.5,0.5){2pt}{A}\uput[l](0.5,0.5){A}
\cnode(2,3.4){2pt}{B}\uput[u](2,3.4){B}
\cnode(2.5,1.5){2pt}{C}\uput[d](2.5,1.5){C}
\cnode(4.5,2.3){2pt}{D}\uput[u](4.5,2.3){D}
\cnode(6,4.3){2pt}{E}\uput[u](6,4.3){E}
\cnode(6,1.3){2pt}{F}\uput[d](6,1.3){F}
\cnode(8,0.5){2pt}{T}\uput[r](8,0.5){T}
\psset{labelsep=2pt}
\ncline{->}{A}{B} \naput{\small{4}} 
\ncline{->}{A}{C}\naput[nrot=:U]{\small{3}}
\ncline{<-}{A}{T}\naput{\small{4}}
\ncline{->}{C}{B}\naput{\small{1,5}}
\ncline{->}{B}{D}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{B}{E}\naput[nrot=:U]{\small{1}}
\ncline{->}{C}{D}\naput[nrot=:U]{\small{2}}
\ncline{->}{D}{E}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{C}{F}\naput{\small{3}}
\ncline{->}{D}{F}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{E}{F}\naput{\small{0,5}}
\ncline{->}{E}{T}\naput{\small{4}}
\ncline{->}{F}{T}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe (ranger les sommets dans l'ordre alphabétique). 
		\item Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A à T.
	\end{enumerate} 
\item L'avion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapidement possible au terminal situé au point T. 

Déterminer l'itinéraire le plus rapide et en donner la durée.\index{algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
 
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip\index{suite}

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 5\\ 
u_{n+1}& =& \dfrac{1}{2}u_{n} + 1
\end{array}\right.\]
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
 
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
{\footnotesize
\begin{center}
\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{3}{>{\raggedright \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel& $U$ est un nombre réel &$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\ 
\textbf{Début}&\textbf{Début}&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$\\ 
$U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){b1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&$U$ prend la valeur 5\\ 
\pnode(1ex,-1ex){a1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&\hspace{1em}$U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){c1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire\\ 
\pnode(1ex,-1ex){a2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$&\hspace{1em}Afficher $U$&\hspace{1em}Afficher $U$\\ \ncline[linewidth=.5pt]{a1}{a2}
Fin Pour& \pnode(1ex,-1ex){b2} \hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$ & \pnode(1ex,-1ex){c2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$\\  \ncline[linewidth=.5pt]{b1}{b2}  \ncline[linewidth=.5pt]{c1}{c2}
Afficher $U$&Fin Pour&Fin Pour\\ 
\textbf{Fin}&\textbf{Fin}&\textbf{Fin}\\\hline
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{center}}
\index{algorithme} 
 
\item On saisit la valeur 9 pour $N$, l'affichage est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\small}X|}}\hline 
5&3,5&2,75&2,375&2,185& \np{2,0938} &\np{2,0469} &\np{2,0234}&\np{2,0117}&\np{2,0059}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On introduit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_{0}$. 
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} = 2 + 3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item À partir de quel rang a-t-on : $u_{n} - 2 \leqslant 10^{-6}$ ? 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.
 
Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Temps en heure& 0,5& 1& 1,5& 2 &3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline 
Concentration en mg/l& 1,6 &2 &1,9 &1,6 &1,2 &0,9 &0,8 &0,7 &0,6 &0,5 &0,4 &0,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ 10]$ par

\[g(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}.\]
 
 
Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $g(t)$ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.
 
Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $g$. 

\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique donner sans justification : 
	\begin{enumerate}
		\item les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~10]$ ; 
		\item la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ; 
		\item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2~mg/l.  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~10]$ et sa dérivée est $g'$. 
 
Montrer que : 

$g'(t) = \dfrac{4\left(1 - t^2\right)}{\left(t^2 + 1\right)^2}$.
		\item En utilisant l'expression de $g'(t)$, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{xunit=0.5cm,yunit=4cm,comma}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(11,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.9,-0.1)(11,2.1)
\uput[dl](0,0){$0$}\uput[u](10.5,0){$t$}
\psdots[dotstyle=B+,dotscale=1.5](0.5,1.6)(1,2)(1.5,1.9)(2,1.6)(3,1.2)(4,0.9)(5,0.8)(6,0.7)(7,0.6)(8,0.5)(9,0.4)(10,0.4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 4 mul x dup mul 1 add div}
\end{pspicture}}	 
\begin{enumerate}\index{lecture graphique}
\setcounter{enumi}{2}
\item On admet que $G$ définie sur $[0~;~10]$ par $G(t) = 2\ln \left(t^2 + 1\right)$ est une primitive de $g$ sur cet intervalle.
 
Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. 
 
\emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par} 

$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\:\text{d}x$. 
\item On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.
 
La CMI de l'antibiotique injecté est $1,2$ mg/l.
 
Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 enseignement obligatoire et  spécialité L}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,13)
\def\f{(x-6.5)*EXP(x)+90*x+16.5}
\psgrid[gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,13)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,Dy=1500,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.9,-80)(8,1300)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{\f}
\multido{\n=0+100}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](7.8,0){$x$}\uput[u](7,0){centaines d'objets}
\uput[r](0,1340){centaines d'euros}
\end{pspicture}
\hyperlink{Index}{*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane 19 juin 2014
\hypertarget{Antillesjuin}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\19 juin 2014}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée.\\
 Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
  
\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La somme $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$ est égale à : 
	\begin{enumerate}
		\item $- 1 + 2^{31}$ 
		\item $1 - 2^{31}$ 
		\item $- 1 + 2^{30}$ 
		\item $1 - 2^{30}$
	\end{enumerate} 
\item L'équation $- \dfrac{x^3}{3} + x^2 +3x = 0$ admet sur $\R$ : 
	\begin{enumerate}
		\item la solution $- 2$ 
		\item trois solutions distinctes 
		\item aucune solution 
		\item une unique solution 
	\end{enumerate} 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
 
Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = \dfrac{1}{x}$  
		\item $F(x) = x \ln x$ 
		\item $F(x)= x \ln x - x$ 
		\item $F(x) = \text{e}^x$ 
	\end{enumerate}
\item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,003$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : 
	\begin{enumerate}
		\item $n \geqslant 8$ 
		\item $n \geqslant 9$ 
		\item $n \leqslant 8$ 
		\item $n \leqslant 9$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip 
 
Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8\,\% de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.
 
En 2013 le nombre d'abonnés est de 20 millions.
 
On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année $2013 + n$. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 20\\ 
u_{n+1} &=& 0,92u_{n} + 3.
\end{array}\right.\]
 
Le terme $u_{n}$ donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à $10^{-3}$.
		 
À quoi correspond ce choix d'arrondi ? 
		\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015. 

On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 37,5$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 17,5 \times  0,92^n + 37,5$. 
\item Déterminer le nombre d'abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à $10^{- 3}$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item L'opérateur peut-il espérer dépasser 30~millions d'abonnés ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25~millions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
&$U$ un nombre réel \\
\textbf{Traitement : }& Affecter à $U$ la valeur 20\\ 
&Affecter à $N$ la valeur $0$\\ 
&Tant que .... \\ 
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
 affecter à $U$ la valeur $0,92 \times  U + 3$\\
 affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
 \end{tabular}\\ 
&Fin Tant que\\ 

\textbf{Sortie :}&Afficher .... \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item En quelle année l'opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ? 
\end{enumerate}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Les services commerciaux d'une grande surface de produits alimentaires ont défini un profil de client qui a été appelé \og consommateur bio \fg.

\medskip
 
Sur la base d'observations réalisées les années précédentes, il a été constaté que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] 90\,\% des clients \og consommateur bio \fg{} maintenaient cette pratique l'année suivante; 
\item[ ] 15\,\% des clients n'ayant pas le profil de \og consommateur bio \fg{} entraient dans la catégorie \og consommateur bio \fg{} l'année suivante.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2013, année au cours de laquelle il a été constaté que 20\,\% des clients ont le profil \og consommateur bio \fg.
 
Par un tirage aléatoire effectué tous les ans, on choisit un client de cette grande surface.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$ on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $b_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année 2013 + n soit un \og consommateur bio \fg{} ;
\item[ ] $c_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ ne soit pas un \og consommateur bio \fg{} ; 
\item[ ] $P_{n}$, la matrice ligne $\left(b_{n}\:\: c_{n}\right)$ donnant l'état probabiliste lors de l'année $2013 + n$. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C où B correspond à l'état \og consommateur bio \fg. 
		\item Donner $P_{0}$ l'état probabiliste en 2013 et la matrice $M$ de transition correspondant à ce graphe, les sommets B et C étant classés dans cet ordre. 
		\item On donne la matrice $M^2$ : 

\[M^2 = \begin{pmatrix}0,825& 0, 175\\\np{0,2625}& \np{0,7375}\end{pmatrix}.\]
 
En précisant la méthode de calcul, déterminer la probabilité que le client choisi en 2015 soit un \og consommateur bio \fg. 
		\item Déterminer l'état stable $(b\:\: c)$ du graphe probabiliste.
	\end{enumerate} 
\item Le directeur du supermarché affirme que, dans un futur proche, plus de la moitié de sa clientèle aura le profil de \og consommateur bio \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui doit permettre de déterminer le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}	& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
						&$B$ un nombre réel\\ 
\textbf{Traitement :}	& Affecter à $N$ la valeur $0$\\
						& Affecter à $B$ la valeur $0,2$\\
						& Affecter à $C$ la valeur $0,8$\\
						& Tant que ...\\
						&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} 
				affecter à $B$ la valeur $0,9 \times B + 0,15 \times C$\\
				affecter à $C$ la valeur $1 - B$ \\
				affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
						\end{tabular}\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}		&Afficher ...\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
		\item Déterminer le nombre minimal d'années recherché en expliquant la démarche. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

D'après une étude récente il y a \np{216762}~médecins en France métropolitaine parmi lesquels 0,6\,\% pratiquent l'ostéopathie et on compte \np{75164}~kinésithérapeutes parmi lesquels 8,6\,\% pratiquent l'ostéopathie, 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. 

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og la personne choisie est médecin \fg{} ; 
\item $K$ : \og la personne choisie est kinésithérapeute\fg{} ; 
\item $O$ : \og la personne choisie pratique l'ostéopathie \fg. 
\end{itemize}

On représente la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{0,74}}
	  { 
		  \TR{$O$}
		  \TR{$\overline{O}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$K$}\tbput{0,26}}
	  {
		  \TR{$O$}
		  \TR{$\overline{O}$}	  
	  }
}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Reproduire l'arbre de probabilité puis le compléter. 
\item Montrer que la probabilité $P(O)$ de l'évènement $O$ est égale à \np{0,0268}. 
\item Un patient vient de suivre une séance d'ostéopathie chez un praticien d'une des deux catégories.
 
Déterminer la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au centième. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On note $T$ la variable aléatoire associant à chaque patient la durée de visite, en minutes, chez un médecin-ostéopathe. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $10$. 

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(20 \leqslant T \leqslant 40)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

On rappelle qu'en France métropolitaine 0,6\,\% des médecins pratiquent l'ostéopathie. Une région compte \np{47000}~médecins dont $164$ médecins-ostéopathes. 

On note $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de médecins ostéopathes de la région. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies. 
		\item Justifier que $I = [\np{0,0053}~;~\np{0,0067}]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près. 

Peut-on considérer que pour la pratique de l'ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique et vend aux écoles primaires des lots constitués de cahiers et de stylos. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

L'entreprise possède une machine qui peut fabriquer au maximum \np{1500}~lots par semaine. Le coût total de fabrication hebdomadaire est modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~15] par 

\[g(x) = 18x + \text{e}^{0,5x - 1}.\]
 
Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $g(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
\item Justifier que $g$ est strictement croissante sur [0~;~15]. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

L'entreprise acquiert une nouvelle machine qui permet d'obtenir un coût total de fabrication hebdomadaire modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~15] par 

\[f(x) = \text{e}^{0,5x - 1} - x^2 + 20x + 20,\]

Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $f(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $g$ et $f$.
 
\begin{center}
\psset{xunit=0.667cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(16,950)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.9,-50)(16,950)
\uput[u](14,0){centaines de lots}
\uput[r](0,935){centaines d'euros}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp x dup mul sub 20 x mul add 20 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp   18 x mul add }
\uput[dl](0,0){0}
\uput[d](12,240){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[u](12,380){$\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner un encadrement d'amplitude $100$ du nombre $k$ de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production, 
\item On cherche à préciser le résultat précédent par le calcul. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la détermination de $k$ conduit à résoudre l'inéquation $- x^2 + 2x + 20 \leqslant 0$. 
		\item Résoudre cette inéquation sur l'intervalle [0~;~15]. 
		\item En déduire le nombre entier de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production. 
	\end{enumerate}
\item On rappelle que le coût marginal obtenu avec cette nouvelle machine est donné par la fonction $f'$. 

Déterminer la valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal lorsqu'on fabrique entre $5$ centaines et $8$ centaines de lots.
 
\emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $h$ sur  $[a~;~b]$ est donnée par }$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b h(x)\:\text{d}x$. 
\end{enumerate}

\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane 19 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Asie 19 juin 2014
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 juin  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie  18 juin  2014~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~5]$, croissante sur $[- 2~;~2]$ et décroissante sur $[2~;~5]$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

 
La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points A$(-2~;~0)$ ; B$\left(2~;~\frac{4}{3}\right)$ et C$(4~;~0)$.
 
Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente $(T)$ au point C passe par le point D(2~;~3). 

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-2.51,-2.5)(5.51,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{1.667}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\uput[dl](0,0){0}\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.

\begin{description}
\item[ ] \textbf{Proposition 1 :} $f'(4) = - \dfrac{2}{3}$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 2 :} La fonction $f$ est concave sur $[-2~;~2]$. 
\item[ ] \textbf{Proposition 3 :} $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x \leqslant  3$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 4 :} L'équation $f(x) = \ln 2$ n'admet pas de solution sur $[-2~;~5]$. 
\end{description}%
\index{lecture graphique}% 
\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et spécialité L}

\medskip

On s'intéresse aux résultats d'un concours où l'on ne peut pas se présenter plus de deux fois.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude des résultats de mai 2013}

\medskip
 
Les statistiques dressées à partir des résultats de la session de mai 2013 ont permis d'établir que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}\index{probabilités}
\item 60\,\% des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois; 
\item 10\,\% de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis ; 
\item 40\,\% de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l'ont réussi.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard une personne parmi toutes celles ayant passé ce concours en mai 2013.
 
On note :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C_{1}$  l'évènement : \og La personne présentait le concours pour la première fois \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement: \og La personne a été reçue à ce concours \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes : $P_{C_{1}}(R)\: ;\:P_{\overline{C_{1}}}(R)$ et $P\left(C_{1}\right)$. 

Aucune justification n'est attendue.
 
\emph{Pour traiter la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'un arbre.} 
\item Déterminer la probabilité que cette personne se soit présentée au concours pour la première fois et ait été admise. 
\item Montrer que la probabilité que cette personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est de $0,22$. 
\item Sachant que cette personne a réussi le concours, déterminer la probabilité qu'elle l'ait présenté pour la première fois. Donner une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : résultats d'un établissement}

\medskip
 
Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.

\medskip
 
Dans un établissement, parmi les 224 étudiants inscrits à la préparation à ce concours, 26\,\% ont été admis à la session de mai 2013.
 
On admet que dans cette population, on a également 60\,\% des personnes qui se présentaient pour la première fois.
 
Le directeur de l'établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de 22\,\%, ne peut être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l'enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l'ensemble des candidats.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% du pourcentage d'étudiants admis dans un groupe de $224$~personnes.\index{intervalle de fluctuation asymptotique} 
\item Que penser de l'affirmation du directeur de l'établissement ? Justifier. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H.
 
Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine à l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur A \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] H désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur H \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H,
 est $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.\index{matrice} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice $M$. 
\item Donner la signification du nombre $0,95$ dans la matrice $M$.
 \end{enumerate} 
Pour tout entier naturel $n$, on note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A \fg ; 
\item $h_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H \fg ;
\item $P_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}& h_{n}\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste pour la semaine $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
\item Vérifier que la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$  correspond à l'état stable du système. En donner une interprétation. 
\item On donne $P_{0} = \begin{pmatrix}0,4 &0,6\end{pmatrix}$ et on rappelle que $P_{k} = P_{0} \times  M^k$, pour $k$ entier naturel. 

Déterminer la semaine où, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le directeur de l'entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible.
 
Son assistant dresse le graphe suivant qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H. 


\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(13.5,5)
\cnodeput(0,2.5){A}{\footnotesize{{A}}}
\cnodeput(3.5,4){B}{\footnotesize{{B}}}
\cnodeput(6.5,2.5){C}{\footnotesize{{C}}}
\cnodeput(5,0){D}{\footnotesize{{D}}}
\cnodeput(8.5,5){E}{\footnotesize{{E}}}
\cnodeput(10,1){F}{\footnotesize{{F}}}
\cnodeput(10.5,3){G}{\footnotesize{{G}}}
\cnodeput(13.5,2.5){H}{\footnotesize{{H}}}
\ncline{A}{B}\ncput*{\footnotesize{100}}
\ncline{A}{C}\ncput*{\footnotesize{175}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\footnotesize{158}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\footnotesize{114}}
\ncline{B}{E}\ncput*{\footnotesize{150}}
\ncline{C}{D}\ncput*{\footnotesize{95}}
\ncline{C}{E}\ncput*{\footnotesize{65}}
\ncline{C}{F}\ncput*{\footnotesize{70}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\footnotesize{107}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\footnotesize{82}}
\ncline{E}{H}\ncput*{\footnotesize{113}}
\ncline{F}{G}\ncput*{\footnotesize{31}}
\ncline{F}{H}\ncput*{\footnotesize{112}}
\ncline{G}{H}\ncput*{\footnotesize{49}}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilomètres à effectuer. Justifier la réponse.\index{algorithme de Dijkstra}% 
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction $f$, le nombre de malades durant l'épidémie.
 
Cette fonction $f$ est définie sur [1~;~26] par : 

\[f(t) = 24t \ln (t) - 3t^2 + 10\]\index{fonction logarithme népérien}

où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et $f(t)$ est le nombre de milliers de malades comptabilisés après $t$ semaines.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [1~;~26], $f'(t) = 24 \ln (t) - 6t + 24$. 
\item Les variations de la fonction $f'$ sont données dans le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(.75,2.6){$t$}\rput(2,2.6){$1$}\rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$26$}
\rput(.75,1.1){$f'(t)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(6,1.9){\rnode{B}{}} \rput(10,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->}
\ncline{A}{B}\ncline{B}{C}
\end{pspicture} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f'(t) = 0$ admet, dans l'intervalle $[1~;~26]$, une solution et une seule qu'on notera $\alpha$ et donner l'encadrement de $\alpha$ par deux entiers naturels consécutifs. 
		\item En déduire le signe de $f'(t)$ sur $[1~;~26]$ et les variations de $f$ sur $[1~;~26]$.
	\end{enumerate} 
\item Le réel $f'(t)$ représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de $t$ semaines.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : \og sur $[4~;~26]$, $f'$ est décroissante.\fg 
		\item À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que la fonction $G$ définie par : 

\[G(t) = 12t^2 \ln (t) - 6t^2\]

est une primitive sur $[1~;~26]$ de la fonction $g$ définie par : $g(t) = 24t \ln (t)$. 
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, sur $[1~;~26]$, une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\item  On a trouvé que l'arrondi à l'entier de $\frac{1}{26 - 1}\big[F(26) -F(1)\big]$ est $202$. Donner une  interprétation de ce résultat dans le contexte du problème.\index{valeur moyenne} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip 

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip
 
Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5\,\% par an depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1\up{er} janvier 2008 et le 1\up{er} janvier 2014. Donner une réponse à 0,1\,\% près.
\item À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1\up{er} janvier à l'aide d'une suite :\index{suite}
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1\up{er} janvier de l'année $2008 + n$.
 
Au 1\up{er} janvier 2008, cette ville comptait \np{100000}~habitants. 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $u_{0}$ ? 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:\:u_{n} = 1,035^n$. 
		\item Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : un second modèle.}

\medskip
 
On modélise la population de cette ville à partir du 1\up{er} janvier 2008 par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{- 0,05x}}\]

 où $x$ désigne le nombre d'années écoulées \index{fonction exponentielle}
depuis le 1\up{er} janvier 2008 et $f(x)$ le nombre d'habitants en centaines de milliers.
 
On admet que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. 

\medskip

 On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Initialisation :}& 	$X$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Tant que $f(X) \leqslant 2$\\ 
&$X$ prend la valeur $X + 1$\\
& Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $X$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est $28$. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème.%
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   fin Asie 19 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole 20 juin 2014
\hypertarget{Metropolejuin}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  20 juin 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. 
Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
\index{Q. C. M.}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où $A$ et $B$ sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$. \index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=blue]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{$0,6$}}
		{
\TR{$B$}\naput{$0,3$}
\TR{$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~$\overline{A}$~}\nbput{\ldots}}
		{
\TR{~$B$}\naput{$0,2$}
\TR{~$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}
Alors

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $P_{A}(B) = 0,18$& 
\textbf{b.~~} $P(A \cap B) = 0,9$& 
\textbf{c.~~} $P_{A}\left(\overline{B}\right) = 0,7$&
\textbf{d.~~} $P(B) = 0,5$
\end{tabularx}
\medskip 
\item Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement $B$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,5& 
\textbf{b.~~} 0,18& 
\textbf{c.~~} 0,26& 
\textbf{d.~~} 0,38
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [1~;~15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=.9cm} 
\begin{pspicture}(12,3)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(12,3) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(0,2)(12,2)
\rput(.75,2.5){$x$}\rput(2,2.5){$1$}\rput(3.5,2.5){$3$} \rput(5,2.5){$4$} \rput(8,2.5){$12$} \rput(11.5,2.5){$15$} 
\rput(.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.6){\rnode{A}{$3$}} \rput(5,.4){\rnode{B}{$-2$}} \rput(8,1.6){\rnode{C}{{$-1$}}} \rput(11.5,.4){\rnode{D}{$-3$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->}
\ncline{A}{B}\ncput*{0}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~15]$. On peut être certain que : 

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est négative sur l'intervalle $[3~;~4]$.
\item La fonction $F$ est positive sur l'intervalle $[4~;~12]$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[4~;~12]$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :
 
l'équation $\ln x + \ln (x + 3) = 3 \ln 2$ est équivalente à l'équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $2x + 3 = 6$& 
\textbf{b.~~} $2x + 3 = 8$ &
\textbf{c.~~} $x^2 + 3x = 6$ &
\textbf{d.~~} $x^2 + 3x = 8$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{5}{x}$. 
 
On note $C$ sa courbe représentative.
 
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 6$, est égale à :

\index{aire et intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $5 (\ln 6 - \ln 2)$& 
\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{6-2}\displaystyle \int_{2}^6  g(x)\:\text{d}x$ &
\textbf{c.~~} $5 \ln 6 + 5 \ln 2$ &
\textbf{d.~~} $g(6) - g(2)$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
 
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité et L}

\medskip
 
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50~m$^2$ et la remplace par du gazon.

\smallskip
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la surface en m$^2$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010 + n$. On a donc $u_{0} = \np{1500}$.\index{suite}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$. 
\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, \:\:u_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50$. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :  $v_{n} = u_{n} - 250$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.\index{suite géométrique} Préciser son premier terme et sa raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 250 + \np{1250} \times  0,8^n$. 
		\item Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que : 
		
		\[250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500\]
		 
Interpréter le résultat obtenu. 
		\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.\index{algorithme}
	\end{enumerate} 
\item Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
 
A-t-il raison ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Initialisation}	&\\ 
						&$u$ prend la valeur \np{1500}\\
						&$n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement}		&\\ 
						&Tant que \ldots \ldots\ldots 	faire \\
						&\hspace{0,3cm}	$u$ prend la valeur \ldots\ldots\ldots\\ 
						&\hspace{0,3cm}	$n$ prend la valeur \ldots \ldots\ldots	\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}			&\\
						& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité}

\medskip

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches. 

Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,9$.
 
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,4$. 

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

 Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $a_{n}$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-ième lancer ;
\item[ ] $b_{n}$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-ième lancer ; 
\item[ ] $P_{n} = \begin{pmatrix} a_n & b_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-ième lancer.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}\index{matrice}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Alice atteint la cible \fg{} et B l'état \og Alice manque sa cible \fg{}). 
		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A,\: B). 
		\item Justifier que $P_{1} =  \begin{pmatrix} 0,5 &  0,5\end{pmatrix}$ et $P_{2} = \begin{pmatrix} 0,65 &  0,35\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif,	$a_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,4b_{n}$. 
		\item En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,4$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au $n$-ième lancer. 
		\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n = 5$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif par : $u_{n} = a_{n} - 0,8$. 

Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_{n} = 0,8 - 0,3 \times  0,5^{n-1}$.
		\item À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?		
		\item Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Entrées}&\\
&Saisir $n$\\
\textbf{Traitement}&\\
&$a$ prend la valeur 0,5\\
&$b$ prend la valeur 0,5\\
&Pour $i$ allant de 2 à $n$\\
&\hspace{0.3cm}$a$ prend la valeur \ldots \ldots $\times a + \ldots$\\
&\hspace{0.3cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
&Fin Pour\\
\textbf{Sortie}&\\
&Afficher $a, b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}\index{algorithme}%
\hyperlink{Index}{*}
 
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20~;~60]$.\index{loi uniforme}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ pour que l'entrainement dure plus de $30$ ~minutes. 
\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.}

\smallskip 

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre $56,75$~mm et $57,25$~mm ; sinon elles sont dites de second choix. 

\smallskip

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
 
On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $57$ et d'écart-type $0,11$.
\index{loi normale}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57~mm. 
\item Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix. 
\item En déduire la probabilité $p_{3}$ que la boule prélevée soit une boule de second choix.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip 

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses \np{14000}~licenciés quant à l'organisation des tournois.

\smallskip
 
Antoine estime que les $80$~adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80~adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée $f$ de personnes satisfaites de la FFB ? 
\item Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.\index{intervalle de confiance} 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant $15$~heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

\smallskip
 
On obtient la courbe fournie en annexe 2. 

\medskip

\textbf{A. Étude graphique }

\medskip
 
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la concentration à l'instant initial ; 
\item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à $0,4$~gramme par litre.
 
\emph{On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude théorique :}

\medskip 

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~15]$ par $f(x) = (x + 2)\text{e}^{- 0,5x}$, où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f(x)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. \index{fonction exponentielle}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Justifier que $f'(x) = - 0,5x\text{e}^{- 0,5x}$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~15]$. 
\item Justifier que l'équation $f(x) =0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0; 15]$. 
\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un dixième. 
\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :
 
\begin{center}
{\ttfamily{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\scriptsize}X >{\scriptsize}r|}\hline 
1 & deriver $((x+2) * \text{exp}(-0.5 * x))$ &\\ \hline 
  & & $\text{exp}(-0.5x)-0.5*\text{exp}(-0.5x)*(x+2)$\\ \hline
2 & deriver $(\text{exp}(-0.5*x)-0.5*\text{exp}(-0.5*x) * (x+2))$ & \\ \hline 
  & & $-\text{exp}(-0.5 *x) + 0.25 *\text{exp}(-0.5*x) *(x+2)$ \\ \hline 
3 & factoriser $(-\text{exp} (-0.5*x) + 0.25*\text{exp}(-0.5*x)*(x+2) )$ & \\ \hline 
  & & $(0.25 *x - 0.5)*\text{exp}(-0.5*x)$ \\ \hline
\end{tabularx}
}}
\end{center}

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~15]$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Interprétation des résultats :}

\medskip 

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à $0,1$~gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? 
\item Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ? 
\end{enumerate}% 
\hyperlink{Index}{*}

\newpage

\begin{center}
\vspace*{1.5cm}
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
 
\psset{xunit=0.7cm,yunit=3.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.1,-0.2)(16,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2](0,0)(-0.9,-0.18)(16,2.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,2.3)}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{15}{x 2 add  2.71828  x .5 neg  mul exp mul}
\uput[dl](16,-.2){Temps (en heure)}
\uput[ur](0,2.2){Concentration (g/L)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole 20 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2014
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 septembre  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie (spécialité)~\decofourright\\10 septembre  2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.\\
 Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
 
\medskip
\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~3] ainsi que la tangente au point A d'abscisse 1.
 
En $x = 1$, le nombre dérivé de $f$ est :

\parbox{0.3\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item $ -2\text{e}$ 
\item 3 
\item $\dfrac{1}{\text{e}}$ 
\item  $- \dfrac{1}{\text{e}}$ 
\end{enumerate}
}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.6,1.8)
\psaxes[labelsep=0,linewidth=1.25pt,tickwidth=1pt,ticklinestyle=dotted,xticksize=-.2 1.8,yticksize=-.2 3.5]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(3.6,1.8)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-.5}{3.5}{x 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt]{-.5}{3.5}{1.10364 0.3679 x mul sub}
\psdot[dotstyle=x](1,0.73575)
\uput[dl](3.6,0){$x$}\uput[dl](0,1.8){$y$}\uput[ur](1,0.8){A}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}}
 
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur [0~;~5] ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 3.
 
Le signe de la fonction dérivée de $g$ est :

\parbox{0.3\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item négatif sur [0~;~1] 
\item positif sur [3~;~4] 
\item négatif sur [1~;~4] 
\item change en $x = 4$
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.6\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4.5,2.4)
\psaxes[linewidth=.25pt,tickwidth=1pt,labels=none,ticklinestyle=dotted,xticksize=-1.5 2.25,yticksize=-.2 4.5]{-}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.5,2.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.5,2.4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.5}{x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 1.33333 sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.25,0){$x$}\uput[dr](0,2.4){$y$}
\psdot[dotstyle=x](3,-1.333)
\psline{<->}(2.2,-1.3333)(3.8,-1.3333)\uput[ur](3,-1.333){A}
\end{pspicture*}}
\item La fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction $h$ définie 
par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} $\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& 	\textbf{b.~~} $- \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{c.~~} $- x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{d.~~}
$- 2x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $j$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $j(x) = 1 + \ln x$. 

L'équation $j(x) = 0$ a pour solution :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} e& 	\textbf{b.~~} $-1$& \textbf{c.~~}$ \dfrac{1}{\text{e}}$& \textbf{d.~~}
1\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = 3x + 5$.
 
L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de $k$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} 6,5& 	\textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~}4,5& \textbf{d.~~} 8,5
\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
  
Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent les principales avenues et les sommets du graphe les carrefours entre ces avenues.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 
\item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue : 
	\begin{enumerate}
		\item en partant d'un carrefour et en revenant à son point de départ ? Justifier la réponse.
		\item en partant d'un carrefour et en arrivant à un carrefour différent ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill  \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\psframe(1.8,0.9)(4.1,3.2)%DCBA
\psline(1.8,0.9)(0.3,0.1)(1.8,3.2)%DEA
\psline(4.1,3.2)(6.5,0.1)(4.1,0.9)%BFC
\psline(0.3,0.1)(6.5,0.1)%EF
\uput[u](1.8,3.2){A} \uput[u](4.1,3.2){B} \uput[ur](4.1,0.9){C} 
\uput[ul](1.8,0.9){D} \uput[ul](0.3,0.1){E} \uput[ur](6.5,0.1){F} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans le graphe ci-contre, on a indiqué, pour cette même ville, le sens de circulation pour les véhicules sur les différentes avenues. 

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item Peut-on trouver un trajet de longueur quelconque qui permet d'aller de D à B en respectant les sens de circulation ? Justifier la réponse. 
\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe (on rangera les sommets dans l'ordre alphabétique) 
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\psframe(1.8,0.9)(4.1,3.2)%DCBA
\psline(1.8,0.9)(0.3,0.1)(1.8,3.2)%DEA
\psline(4.1,3.2)(6.5,0.1)(4.1,0.9)%BFC
\psline(0.3,0.1)(6.5,0.1)%EF
\uput[u](1.8,3.2){A} \uput[u](4.1,3.2){B} \uput[ur](4.1,0.9){C} 
\uput[ul](1.8,0.9){D} \uput[ul](0.3,0.1){E} \uput[ur](6.5,0.1){F} 
\psline[ArrowInside=->](1.8,3.2)(0.3,0.1)%AE
\psline[ArrowInside=->](1.8,0.9)(1.8,3.2)%DA
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(1.8,3.2)%BA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,3.2)%CA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,0.9)%CD
\psline[ArrowInside=->](0.3,0.1)(1.8,0.9)%ED
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(0.3,0.1)%FE
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(4.1,0.9)%FC
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(6.5,0.1)%BF
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,3.2)(4.1,0.9)%BC
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,0.9)(4.1,3.2)%CB
\end{pspicture}}

 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On donne la matrice 


\[M^3 = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0& 0 &0\\ 
3 &1 &1 &3 &1 &1\\  
1 &1 &1 &2 &3 &0\\ 
0 &0 &0 &1 &0 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
3 &0 &1 &0 &1 &1\\
\end{pmatrix}\] 

	\begin{enumerate}
	\item Que représentent les coefficients de cette matrice ? 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 partant du carrefour B et arrivant en A ?
	 
Écrire tous ces chemins. 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 arrivant au point E ? Expliquer la démarche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 

Une entreprise produit à la chaîne des jouets pesant en moyenne 400~g. Suite à une étude statistique, on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$. 

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(385 \leqslant X \leqslant 415)$. Interpréter ce résultat. 
\item Justifier, en utilisant des propriétés du cours, que $P(X \geqslant 411)\approx 0,16$. 
\item Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420~g.
 
Quelle est la probabilité que le jouet soit commercialisable ? 
\item On cherche à contrôler la qualité des jouets. Pour cela on choisit de façon aléatoire un échantillon de $300$~jouets. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de jouets commercialisables sont vérifiées. 
		\item Déterminer cet intervalle. 
		\item On constate que $280$~jouets de l'échantillon sont commercialisables. 

Ce résultat remet-il en question la modélisation effectuée par l'entreprise ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 

Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d'y placer \np{2000}~euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 \,\%. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1\up{er} janvier suivants.
 
Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ le montant présent sur ce compte au premier janvier de l'année $2014 + n$ après le versement de 150 euros. On a $u_{0} = \np{2000}$.
 
\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près}.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1} = 1,03u_{n} + 150$. 
\item Pour tout entier $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{5000}$.
 
Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,03$. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que pour tout nombre entier $n$ on a : 

\[u_{n} = \np{7000} \times 1,03^n - \np{5000}.\]
 
\item À partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins \np{4000} euros sur son compte épargne ? Indiquer la façon dont la réponse a été trouvée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'algorithme ci-dessous modélise l'évolution d'un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une seconde personne.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	C et D sont des nombres réels\\
					& N est un nombre entier\\ 
\textbf{Entrée :}	& 	Saisir une valeur pour C\\ 
\textbf{Traitement:}& Affecter à N la valeur 0\\
					& Affecter à D la valeur $2 \times $ C\\
					& Tant que C $<$ D faire\\ 
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
affecter à C la valeur $1,03 \times  \text{C} + 600$\\
affecter à N la valeur N $+ 1$
									\end{tabular}\\ 
					&Fin du Tant que\\ 
 \textbf{Sortie :}	&Afficher N\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable C dans cet algorithme ? 
		\item Quel est le taux de ce placement ? 
		\item Quel est le versement annuel fait par cette personne ?
	\end{enumerate} 
\item On saisit, pour la variable C, la valeur \np{3000}. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l'algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
		\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de C& \np{3000}&&&\\ \hline 
Valeur de N& 0&&&\\ \hline 
Valeur de D &\np{6000}&&&\\ \hline 
Test C $<$ D& vrai&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Qu'affiche l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2014
\hypertarget{Antillessep}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\12 septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.}%
\index{Q. C. M.}

\medskip
 
\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $\ln \left(10 \text{e}^2\right)$ est :%
\index{logarithme népérien}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $2\ln (10) + 2$&\textbf{b.~~} \np{4,302585093}& 
\textbf{c.~~}  $\ln (10) + 2$& \textbf{d.~~}  $2\ln (10 \text{e})$
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item On désigne par $n$ un nombre entier naturel. L'inégalité $0,7^n \leqslant 0,01$ est réalisée dès que :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $n \geqslant 12$& 
\textbf{b.~~} $n \geqslant 13$& 
\textbf{c.~~} $n \leqslant 13$& 
\textbf{d.~~} $n \geqslant 70$
\end{tabularx}
\medskip  

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 
\text{e}^{5x+2}$.
 
L'expression $f'(x)$ de la dérivée de $f$ est :%
\index{dérivée} 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$5\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{b.~~}$\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{c.~~}$2\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{d.~~}$(5x + 2) \text{e}^{5x+2}$ 
\end{tabularx}
\medskip 
\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.
 
La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est :%
\index{intégrale} 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\text{e} - 2$& 
\textbf{b.~~} $2$& 
\textbf{c.~~} $1/4$&
\textbf{d.~~} $\ln (1/2)$ 
\end{tabularx}
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.25}{1.25}{2.71828 x exp 1 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation :%
\index{tangente} 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = \text{e}x + 1$& 
\textbf{b.~~} $y = \text{e}x - 1$& 
\textbf{c.~~} $y = -\text{e}x + 1$& 
\textbf{d.~~} $y = -\text{e}x - 1$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L} 
 
\medskip
 
\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaines de fabrication appelées A, B, C.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] La chaine A fabrique 30\,\% de la production totale de l'entreprise. 
\item[ ] La chaine B en fabrique 10\,\%. 
\item[ ] La chaine C fabrique le reste de la production. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}%
\index{probabilités}

En sortie de chaines, certaines balles peuvent présenter un défaut.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine A présentent un défaut. 
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine B présentent un défaut. 
\item[ ]4\,\% des balles issues de la chaine C présentent un défaut.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une balle dans la production de l'entreprise et on note les évènements : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]$A$ : \og la balle provient de la chaine A \fg{} ; 
\item[ ]$B$ : \og la balle provient de la chaine B \fg{} ; 
\item[ ]$C$ : \og la balle provient de la chaine C \fg{} ; 
\item[ ]$D$ : \og la balle présente un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.%
\index{arbre} 
\item Comment se note la probabilité de l'évènement \og la 
balle présente un défaut et provient de la chaine B \fg ? 
\item Montrer que $P(D)$, la probabilité de l'évènement $D$, vaut $0,044$. 
\item Calculer $P_{D}(A)$, la probabilité de $A$ sachant $D$, et donner un résultat arrondi à $0,001$. 
\item On choisit 5 balles au hasard dans la production totale qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.%
\index{loi binomiale}
 
Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut? Arrondir le résultat à \np{0,0001} et justifier la réponse.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{nodesep=2pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{0,3}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d'une balle de tennis doit être compris entre 56,7~grammes et 58,5~grammes.
 
On suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d'espérance $\mu = 57,6$ et d'écart-type $\sigma = 0,3$.%
\index{loi normale}

On arrondira les résultats au millième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée ? 
\item Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58~grammes? 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 
 
\medskip
 
Dans le jeu vidéo \og Save the princess \fg, l'objectif est d'aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château. 

Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\uput[ul](0.3,3.7){A} \uput[ul](2.5,5){B} \uput[u](4.5,5.4){C}
\uput[dl](2.6,2.5){D} \uput[d](3.2,0.3){E} \uput[ul](3.7,2.8){F}
\uput[ur](7.7,3.8){G}
\psdots(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)(3.7,2.8)(7.7,3.8)
\pspolygon(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)%ABCGED
\psline(0.3,3.7)(3.7,2.8)(2.6,2.5)%AFD
\psline(3.2,0.3)(3.7,2.8)(4.5,5.4)%EFC
\psline(3.7,2.8)(7.7,3.8)%FG
\rput(1.4,4.6){5} \rput(3.4,5.4){11} \rput(6,4.8){14} 
\rput(5.4,1.7){8} \rput(2.6,1.5){14} \rput(1.4,2.7){7} 
\rput(2,3.5){3} \rput(3.1,2.4){1} \rput(3.8,4){2} 
\rput(5.5,3.5){19} \rput(3.7,1.6){4} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}%
\index{graphe}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur se trouve dans la salle A. Il décide de visiter chacun des couloirs afin de trouver le plus de trésors possibles. Peut-il trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois ? Justifier la réponse. 
\item Dans chaque couloir se trouve un certain nombre de monstres. Les étiquettes du graphe pondéré donnent le nombre de monstres présents dans les couloirs.
 
Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G. Déterminer le chemin qu'il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible.
 
Combien de monstres aurait-il alors à affronter ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour un joueur régulier, on estime que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $0,7$ ;
\item[ ] s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $0,6$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}%
\index{matrice}
 
On note $P_{n} = \begin{pmatrix}u_{n}& v_{n}\end{pmatrix}$ l'état probabiliste lors de la $n$-ième partie où $u_{n}$ désigne la probabilité que la partie soit gagnée et $v_{n}$ celle que la partie soit perdue. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. On nommera les sommets $U$ (pour la partie gagnée) et $V$ (pour la partie perdue). 
\item En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre $U, V$. 
\item On suppose la première partie perdue, l'état probabiliste initial est donc $P_{1} = \begin{pmatrix}0& 1\end{pmatrix}$. 

Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3\up{e} partie est $0,52$. 
\item Déterminer la probabilité que le joueur gagne la 15\up{e} partie. 

Arrondir le résultat au centième. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. 

Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés \og bio \fg.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel.%
\index{intervalle de confiance} 

\item Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,02$ ? 

\item La commune compte \np{15000}~foyers. La condition pour démarrer l'entreprise est de réaliser une recette minimale de \np{3500}~euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20~euros l'un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum \np{1000}~paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 
 
\[C(x) = - \dfrac{1}{48}x^4 + \dfrac{5}{16}x^3 + 5x + 10.\]
 
Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
 
On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [0~;~10], le coût marginal est donné par la 
fonction $C_{m} = C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $C_{m}(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus. 
\item On note $C''$ la fonction dérivée seconde de $C$ et on a $C''(x) = - \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{15}{8}x$.%
\index{dérivée} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus grand intervalle de la forme $[0~;~a]$ inclus dans [0~;~10] sur lequel la fonction $C$ est convexe.%
\index{fonction convexe}	 
		\item Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$ ? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

On admet que l'entreprise produit entre 0 et \np{1000}~paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20~euros le panier.
 
La recette mensuelle $R$, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction $C$ sont représentées par les courbes $C_{R}$ et $C_{C}$ sur le graphique donné en annexe.
 
Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.%
\index{lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. 
\item Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s'il produit et vend $500$ paniers dans le mois. 

Donner une valeur approchée à la centaine d'euros. 
\item Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de \np{5000}~euros dans un mois ? Argumenter la réponse. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget \og déplacement des cadres \fg. 

Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant: on a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20\,\% tous les ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visio-conférence lors de l'année $2008 + n$. On modélise la situation par une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année $2008 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la raison $q$ et le premier terme $u_{0}$ de cette suite. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Vérifier qu'en 2013 on a atteint 74~utilisations de la visio-conférence.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :%
\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
\textbf{Variables :}& $n$ est un nombre entier naturel\\
					& $U$ et $A$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Entrée :}	& Saisir $A$\\ 
\textbf{Traitement :}&Affecter à $U$ la valeur 30\\
					& Affecter à $n$ la valeur 0\\
					& Tant que $U < A$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						$U$ prend la valeur $U + U \times 0,2$\\
						$n$ prend la valeur $n + 1$
 					\end{tabular}\\ 
					&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item On donne la valeur $100$ à $A$. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
		 
Les valeurs de $U$ seront données approchées par défaut à l'entier près.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|}\hline 
\textbf{Test $U < A$} 		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}	& vrai	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
\textbf{Valeur de } $U$		& 30& 36	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline  
\textbf{Valeur de } $n$		& 0	& 1		&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme? 
		\item Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.
	\end{enumerate} 
\item Le coût de l'installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
 
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}%
\hyperlink{Index}{*}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 Partie C}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(11.5,210)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+10}{22}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(11.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(11.5,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(11.5,210)
\psline(10,200)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 5 mul 16 div 5 x mul add 10 add x 4 exp 48 div sub}
\uput[u](10,0){En centaines de paniers}
\uput[u](0.9,210){En centaines d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}%
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2014
\hypertarget{Metrosep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s'intéresse à deux caractéristiques :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ; 
\item[$\bullet~~$] l'existence d'un système de chauffage.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Il obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 50\,\% des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80\,\% ont fait installer un système de chauffage; 
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60\,\% seront chauffées; 
\item[$\bullet~~$] les autres clients ont préféré une piscine en bois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard la fiche d'un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d'être tirée. 
On note les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item $T$ : \og Le client choisit une piscine traditionnelle \fg{} ; 
\item $R$ : \og Le client choisit une piscine avec coque en résine\fg{} ; 
\item $B$ : \og Le client choisit une piscine en bois\fg{} ; 
\item $C$ : \og Le client fait installer un chauffage \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $p(T)$ la probabilité de l'évènement $T$ et $p_{T}(C)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $T$ est réalisé. 

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$. 

\emph{Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L'arbre pourra être complété tout au long de cet exercice. 
\item Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est $0,4$. 
\item On sait aussi que 70\,\% des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(B \cap C)$. 
		\item En déduire $p_{B}(C)$ et compléter l'arbre pondéré précédent.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On prélève un lot de $120$ fiches dans le fichier client du revendeur.
 
On s'intéresse, dans un tel lot, au nombre de clients ayant choisi d'installer un chauffage pour leur piscine. On modélise ce nombre par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées. 
\item Calculer la probabilité qu'au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d'installer un chauffage pour leur piscine. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et L}

\medskip

On comptait 700~élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.
 
À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l'établissement, le lycée conserve 70\,\% de son effectif pour l'année suivante.
 
Il reçoit $240$~nouveaux élèves à chaque rentrée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. 
\item On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ par : 

\[a_{0} = 700\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\: n,\: a_{n+1} = 0,7 \times a_{n} + 240.\]
 
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = a_{n} - 800$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$. 

Préciser son premier terme. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item  On choisit de modéliser le nombre d'élèves du lycée par les termes de la suite  $\left(a_{n}\right)$.
 
Il faudra agrandir le lycée dès que l'effectif sera supérieur ou égal à $780$~élèves. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que résoudre l'inéquation $800 - 100 \times 0,7^n \geqslant 780$ revient à résoudre l'inéquation $0,7^n \leqslant  0,2$. 
		\item En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d'apprentissage :
\begin{center} 
DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).\end{center}
 
Au 1\up{er} septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% de débutants ; 
\item[$\bullet~~$] 50\,\% de confirmés ; 
\item[$\bullet~~$] 20\,\% d'experts.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
D'une année sur l'autre, on constate que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]parmi les adhérents de niveau débutant, 40\,\% restent à ce niveau et 60\,\% passent au niveau confirmé ; 
\item[$\bullet~~$]parmi les adhérents de niveau confirmé, 60\,\% restent à ce niveau et 40\,\% passent au niveau expert ; 
\item[$\bullet~~$]parmi les adhérents de niveau expert, 80\,\% restent à ce niveau, 10\,\% redescendent au niveau confirmé et les autres 10\,\% préfèrent reprendre les bases au niveau débutant.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère qu'il n'y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

\medskip
 
Soit $P_{n} = \left(d_{n}\quad c_{n}\quad e_{n}\right)$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d'apprentissage D, C et E au 1\up{er} septembre de l'année $2012 + n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la matrice $P_{0}$. 
		\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.
		 
On donne la matrice carrée $M$ de transition en respectant l'ordre D, C, E des sommets. 
 
\[M = \begin{pmatrix} 0,4 &\emph{\textbf{0,6}} &0\\0&0,6& 0,4\\ 0,1& 0,1& \emph{\textbf{0,8}}
\end{pmatrix}\] 

Dans la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) : 
 

\[M^5 = \begin{pmatrix}0,085& 0,331& 0,584\\
0,097 &0,293&0,610\\
0,104& 0,298& 0,598\end{pmatrix} \qquad  M^{10} = \begin{pmatrix}0,100  &0,299& 0,601\\
0,100&0,300&0,600\\ 
0,100& 0,300 &0,600\end{pmatrix}\]

	\end{enumerate} 
\item Dans cette matrice on lit \emph{\textbf{0,6}} et \emph{\textbf{0,8}} en italique gras. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, à l'aide d'une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée. 
		\item Calculer $P_{1}$. 
		\item Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1\up{er} septembre 2017. Les résultats seront donnés à $0,1$\,\% près.  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En calculant $P_{10}$, émettre une conjecture sur la matrice P correspondant à l'état probabiliste stable. 
		\item Vérifier cette conjecture. 
		\item Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points suivants appartiennent à la courbe : A$(-2~;~0)$ ; B$(0~;~-6)$ et C(3~;~0). 

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-8.5)(10,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(-4,-8)(9.5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.99,-7.99)(10,5)
\uput[ur](-2,0){A}\uput[dr](0,-6){B}\uput[ul](3,0){C}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.299}{10}{x dup mul x sub 6 sub  2.71828 x 0.5 mul exp div}
\rput(3,-8.5){Courbe représentative de la fonction $f''$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\emph{Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
\item Sur $[- 2~;~3]$, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? 
\item Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1& Courbe 2 \\ \hline
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 20 x mul add 32 add 2.71828 0.5 0.5 x mul sub exp mul}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 28 x mul add 56 add 0.606531 x exp mul}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur [0,5~;~10] par : 

\[f(x) = - x^2 - 4x + 15 + 6\ln (x).\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 4x + 6}{x}$.
\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur [0,5~;~10], en déduire le tableau de variations  de $f$ sur [0,5~;~10]. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,5~;~10].
 
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ par défaut. 
\item On considère la fonction $F$ définie et dérivable sur [0,5~;~10] telle que :

\[ F(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 9x + 6x \ln(x).\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~10]. 
\item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. 
\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3] : en donner une valeur approchée au millième. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud 17 novembre 2014
\hypertarget{AmeriSud}{}

\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\
17 novembre 2014} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres: les livres à support numérique et les livres à support papier. 

\medskip

Le service des prêts observe que 85\,\% des livres empruntés sont à support papier. 

Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les quinze jours suivant son emprunt. 

Une étude statistique montre que 62\,\% des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que 32\,\% des livres à support papier sont rendus dans les délais. 

\medskip

Un lecteur, choisi au hasard, emprunte un livre de cette bibliothèque. On note : 

$\bullet~~$$N$ l'évènement : \og le livre a un support numérique \fg{} ; 

$\bullet~~$$D$ l'évènement : \og le livre est rendu dans les délais \fg. 

\medskip

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire. 

\medskip
\index{probabilités}
\begin{enumerate}
\item La probabilité de $D$ sachant $N$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,62 &\textbf{b.~~}0,32&\textbf{c.~~} 0,578&\textbf{d.~~} 0,15
\end{tabularx}
\medskip 

\item $P\left(\overline{N} \cap \overline{D}\right)$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,907&\textbf{b.~~}  0,272&\textbf{c.~~}  0,578 &\textbf{d.~~} 0,057 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité de l'évènement $D$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,272&\textbf{b.~~}  0,365&\textbf{c.~~} 0,585 &\textbf{d.~~}0,94 
\end{tabularx}
\medskip 

\item On appelle $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres\index{loi binomiale} 

$n = 5$ et $p = 0,62$. 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.1} La probabilité à $10^{-3}$ près d'avoir $X \geqslant 1$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,8& \textbf{b.~~} 0,908&\textbf{c.~~} 0,092&\textbf{d.~~} 0,992 
\end{tabularx}
\medskip 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.2} L'espérance de $X$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}3,1& \textbf{b.~~}5&\textbf{c.~~} 2,356 &\textbf{d.~~}6,515 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} \hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip   

On considère la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = (3 x - 4) \text{e}^{-x} + 2.\]\index{fonction exponentielle} 

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

Montrer que l'on a, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4], 

$f'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~4] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près. 
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[F(x) = (1 - 3 x) \text{e}^{-x} + 2 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~4]. \index{primitive}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~4] 
	\end{enumerate}
\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f''(x) = (3 x - 10)\text{e}^{-x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{fonction convexe} 
		\item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
%%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip 

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

\medskip

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \np{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

L'agence souhaite dépasser les \np{4000} journaux vendus par semaine. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \np{1200}$. \index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
\item Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}. 
\item Voici un algorithme :\index{algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :		& $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
INITIALISATION :& $U$ prend la valeur \np{1200}\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
TRAITEMENT :	&Tant que $U < \np{4000}$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U$\\
				&Fin du Tant que \\
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
		\item Interpréter le résultat précédent. 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n$, on a : \index{suite géométrique}
		
		\[1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n = 50 \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\] 

		\item On pose, pour tout entier $n, \:\: S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : 

$S_n = \np{60000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right)$. 
		\item Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


La première semaine de l'année, le responsable de la communication d'une grande entreprise propose aux employés de se déterminer sur un nouveau logo, le choix devant être fait par un vote en fin d'année. 

Deux logos, désignés respectivement par A et B, sont soumis au choix. 

Lors de la présentation qui se déroule la première semaine de l'année, 24\,\% des employés sont favorables au logo A et tous les autres employés sont favorables au logo~B. 

Les discussions entre employés font évoluer cette répartition tout au long de l'année. 

Ainsi 9\,\% des employés favorables au logo A changent d'avis la semaine suivante et 16\,\% des employés favorables au logo B changent d'avis la semaine suivante. 

\medskip

Pour tout $n,\: n \geqslant 1$, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo A la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo B la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\left(a_n \quad b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la semaine $n$.\index{matrice} 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On a donc, pour tout $n \geqslant 1,\:\: a_n + b_n = 1$ et $P_1 = (0,24 \quad 0,76)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation $P_{n+1} = P_n \times  M$, exprimer, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$. 
		\item En déduire que l'on a, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1} = 0,75 a_n + 0,16$. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner, sans justifier, la probabilité à $0,001$ près qu'un employé soit favorable au logo A la semaine 4. 
\item On note $P = (a \quad b)$ l'état stable de la répartition des employés. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un système de deux équations que doivent vérifier $a$ et $b$. 
		\item Résoudre le système obtenu dans la question précédente. 
		\item On admet que l'état stable est $P = (0,64\quad 0,36)$. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant : \index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
VARIABLES :		&$A$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\
INITIALISATION :&$A$ prend la valeur $0,24$\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\
TRAITEMENT :	&Tant que $A < 0,639$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,75 \times A + 0,16$\\
				&Fin du Tant que\\ 
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir (on ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée). 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
 
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties $1$ et $2$  sont  indépendantes.}

\medskip

\emph{Les probabilités et les  fréquences demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip
 
Dans un atelier de confiserie,  une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip 

On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 9$. \index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse $X$ soit comprise entre 485~g et 515~g. 
		\item L'atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485~g et 515~g. 

Déterminer le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard. 

\emph{La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.} 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse $X$ soit supérieure ou égale à 490~g. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer à l'unité près l'entier $m$ tel que 
		
		$p(X \leqslant m) = 0,01$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip  

La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25\,\% de berlingots parfumés à l'anis. 

On prélève 400~berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l'anis. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400~berlingots. 
\item Calculer la fréquence $f$ des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé. 
\item Déterminer si, au seuil de confiance de 95\,\%, la machine est correctement programmée.\index{intervalle de confiance} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud 17 novembre 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
17 novembre 2014} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.\\ 
Une bonne réponse rapporte $1$ point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}\index{Q. C. M.} 

\medskip

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l'ensemble des transports vers cette île. 

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s'y étant rendus a produit les résultats suivants : \index{probabilités}

$\bullet~~$60\,\% des touristes se rendant sur l'île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ; 

$\bullet~~$parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l'île, 20\,\% sont satisfaits de leur transport ; 

$\bullet~~$48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l'île. 

On interroge au hasard un touriste s'étant rendu sur l'île: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 0,08&\textbf{b.~~} 0,12& \textbf{c.~~}0,24&\textbf{d.~~}0,88 
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu'il est satisfait de son transport est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}  0,34 &\textbf{b.~~} 0,20&\textbf{c.~~}0,25 &\textbf{d.~~}0,83 
\end{tabularx}
\medskip

\item On rappelle que 48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l'île. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l'île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l'île. 

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de $F$ est :\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}[0,382~;~0,578]&\textbf{b.~~} [0,431~;~0,529]&\textbf{c.~~} [0,470~;~0,490]& \textbf{d.~~} [0,475~;~0,485]
\end{tabularx}
\medskip 

\item On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l'île parmi les $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 5$. 

La probabilité, selon ce modèle, qu'il y ait moins de 40~touristes satisfaits est, à 0,001 près :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}0,055&\textbf{b.~~}0,309&\textbf{c.~~}0,347&\textbf{d.~~}0,374 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l'île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [30~;~50].\index{loi uniforme} 

La probabilité que la traversée entre le continent et l'île dure au moins 35 minutes est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}0,25&\textbf{b.~~}0,35&\textbf{c.~~}0,70 &\textbf{d.~~}0,75 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et L}

\medskip 

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;2]$. 

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,griddots=5](-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\uput[ul](0,2){G}
\uput[u](0.693,2.386){S}\uput[ul](1,3){H}
\uput[ur](1.5,1.5){$(\mathcal{C})$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{1.5}{x 2 add}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
\psline(1,0)(0,0)}
\psdots(0,2)(0.693,2.386)(1,3)
\end{pspicture*}
\end{center} 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Le point G a pour coordonnées (0~;~2). 

Le point H a pour coordonnées (1~;~3). 

La droite (GH) est la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point G. 

La courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente horizontale au point S d'abscisse $\ln 2$. 

Le domaine hachuré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $(\mathcal{C})$. 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item Résoudre sur $[-1~;~2]$ l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$. 
\item Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip  

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-1~;~2]$ par 

\[f(x) = ax + b - \text{e}^x\]\index{fonction exponentielle}

 où $a$ et $b$ sont deux réels. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Justifier que $a = 2$ et $b = 3$. 
\item Déterminer, sur $[-1~;~2]$, une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique.\index{aire et intégrale} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d'accrobranches. 

Les différents parcours sont modélisés par le graphe $\Gamma$ ci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\cnodeput(0.5,4.75){A}{1}
\cnodeput(5.5,4.75){B}{2}
\cnodeput(7.5,2.75){C}{3}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{4}
\cnodeput(0.5,1.5){E}{5}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{D} \ncline{A}{E} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{C}{E} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1. 

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. 
\item On note $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$.\index{matrice} 
		\item On donne, ci-dessous, les matrices $M^2$ et $M^3$. 
		
		\[M^2 = \begin{pmatrix}            
3&   2&   2&   1&   1\\     
2&   4&   1&   1 &  2 \\    
2&   1&   2&   1&   1\\  
1&   1&   1&   2&   2\\     
1&   2&   1&   2&   3\\   
\end{pmatrix} \qquad \qquad M^3 = \begin{pmatrix}
4&   7&   3 &  5&   7\\ 
7&   6&   6&   6&   7\\    
3&   6&   2&   3&   5\\   
5&   6&   3&   2&   3\\   
7&   7&   5&   3&   4\\
\end{pmatrix}\]   
  
L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des \og itinéraires express \fg{} qui débuteront à  l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront à l'arbre 4. Ces  itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours. 
 
Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre \og d'itinéraires express \fg{} 

réalisables. 

(On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)
	\end{enumerate} 
\item Pour terminer ces \og itinéraires express \fg, on installe un toboggan géant sur l'arbre 4. 

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(21,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(21,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x dup mul 0.025 mul x sub 10 add}
\psdots(2,8.1)(10,2.5)
\uput[ur](2,8.1){I} \uput[ur](10,2.5){J}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](20,0){K}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2~;~8,1), (10~;~2,5) et (20~;~0). 

La fonction $f$ est définie sur [0~;~20] par 

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]

où $a, b$ et $c$ sont trois nombres réels. 

 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a, b$ et $c$ sont solutions du système :$\left\{\begin{array}{l c l}
400a + 20b + c &=& 0\\
100a + 10b + c &=& 2,5\\
 4a + 2b + c   &=& 8,1
 \end{array}\right.$ 
		\item Déterminer les matrices $X$ et $V$ pour que le système précédent soit équivalent à 

\[UX = V\quad  \text{où} \quad  U = \begin{pmatrix} 400 &20& 1\\100& 10& 1\\4&2&1
\end{pmatrix}.\]
 
		\item Déterminer $a, b$ et $c$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

%%\vspace{0,5cm}
\hyperlink{Index}{*}
\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés; 
\item[$\bullet~~$] chaque année 40\,\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

En 2010 cette société comptait \np{1500}~abonnés. 

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie par 

\[a_{n+1} = 0,6 a_n + 400\quad  \text{et}\quad  a_0 = \np{1500}.\] 

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(a_n\right)$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$. 
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = a_n - \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} 
		\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que : $a_n = 500 \times  0,6^n + \np{1000}$. 
	\end{enumerate}
\item En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de $400$~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? 

Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5\,\%. 

On note $P_n$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2010 + n$. 
		\item Indiquer la nature de la suite $\left(P_n\right)$ en justifiant la réponse. 

En déduire l'expression de $P_n $ en fonction de $n$. 
		\item Montrer que, pour l'année $2010 + n$, la recette totale annuelle $R_n$ réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par : 

\[R_n = \left(500 \times 0,6^n + \np{1000}\right) \times  \left(400 \times 1,05^n \right).\]
 
		\item Trouver, à l'aide de votre calculatrice, l'année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}	
%%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip  

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c| X X|}\hline   
1&dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x} \right)$&\\        
&&$\frac{1 - \ln (x)}{x^2}$\\ \hline      
2& dériver $\left(\frac{1}{x^2}\right)$&\\
&& $- \frac{2}{x^3}$\\ \hline      
3&   dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x^2} \right)$&\\
&&$\frac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}       

\emph{On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l'exercice.} 

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~10] par 

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}\]\index{fonction logarithme népérien}

et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. 

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur [1~;~10], on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ sur [1~;~10]. 
		\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur [1~;~10]. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f''(x) = \dfrac{2\ln (x) - 3}{x^3}$ sur [1~;~10]. 
		\item Étudier le signe de $f''$ sur [1~;~10]. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. 
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant : \index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{INITIALISATION}&\\
&$X$ PREND LA VALEUR $2$\\ 
&$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2)}{2}$\\ 
&$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2,1)}{2,1}$\\
\textbf{TRAITEMENT}&\\  
&TANT QUE $(Y < Z)$ FAIRE\\ 
&\hspace{0,5cm}$X$ PREND LA VALEUR $X+0,1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X)}{X}$\\ 
&\hspace{0,5cm}$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X+0,1)}{X+0,1}$\\
&FIN TANT QUE \\
\textbf{SORTIE}&\\ 
&AFFICHER X \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
$X$	&$Y$			&$Z$			&Test : $Y < Z $\\ \hline  
2	&\np{0,3466}	&\np{0,3533}	&vrai\\ \hline   
2,1	&\np{0,3533}	&\np{0,3584}	&vrai\\ \hline   
2,2	&\ldots			&				&\\ \hline
	&				&				&\\ \hline
	&				&				&\\ \hline
	&				&				&\\ \hline
	&				&				&\\ \hline
	&				&				&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction $f$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Nouvelle Calédonie 2 mars 2015
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 2 mars 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
2 mars 2015} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,5~;~6] par:

\[f(x) = (25x - 32)\text{e}^{- x}.\]

On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle [1,5~;~6], sa fonction dérivée $f'$ et sa fonction dérivée seconde $f''$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout
l'exercice.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f'(x) =  (57 - 25x)\text{e}^{- x}$
\item[$\bullet~~$] $f''(x) = (25x - 82)\text{e}^{- x}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1,5~;~6].
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1,5~;~6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième).
	\end{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle [1,5~;~6], la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\item Dans cette question, on s'intéresse à l'équation $f(x) = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [4~;~5].
		\item On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle [4~;~5].
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
$a$ prend la valeur 4\\
$b$ prend la valeur 5\\
~\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $b - a > 0,1$ faire\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur $f\left(\frac{a + b}{2}\right)$\\
\hspace{1cm}Si $y > 1$ alors\\
\hspace{2cm}$a$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\
\hspace{1cm}Sinon $b$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\
Fin de Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $\frac{a + b}{2}$\\\hline 
\end{tabular}

\end{center}

\medskip

Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise est spécialisée dans la distribution de pommes et la fabrication de jus de
pomme.

Elle s'approvisionne en pommes auprès de différents producteurs régionaux.

L'entreprise dispose d'une machine destinée à tester la conformité des pommes ; celles que la
machine accepte seront vendues sans transformation ; les autres serviront à produire du jus de
pomme en bouteille.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A : sélection des pommes}

\medskip

Une étude a montré que 86\,\% des pommes fournies par les différents producteurs sont
conformes,
Les tests étant réalisés très rapidement, la machine commet quelques erreurs :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 3\,\% des pommes effectivement conformes sont rejetées à tort par la machine ;
\item 2\,\% des pommes non conformes sont acceptées à tort par la machine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prélève au hasard dans le stock de l'entreprise une pomme qui va être testée par la
machine.

On note les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $C$ : \og La pomme prélevée est conforme \fg{} ;
\item $T$ : \og La pomme est acceptée par la machine \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\overline{C}$  et $\overline{T}$ sont respectivement les évènements contraires des évènements $C$ et $T$.

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra représenter la situation à l'aide d'un arbre
pondéré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la
machine.
\item Montrer que $P(T)$,la probabilité de $T$, est égale à $0,837$.
\item La pomme prélevée est acceptée par la machine. Quelle est la probabilité qu'elle soit
conforme ? (On donnera une valeur décimale approchée au millième)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : contrôle d'un fournisseur}

\medskip

L'entreprise a un doute sur la qualité des pommes fournies par l'un de ses fournisseurs, et elle
envisage de s'en séparer.

Elle procède donc à un contrôle en prélevant, au hasard, un échantillon de $80$~pommes et en
vérifiant manuellement la conformité de chaque pomme.

On formule l'hypothèse que $86$\,\% des pommes de ce fournisseur sont conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de pommes conformes contenues dans un lot de $80$~pommes. (\emph{les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième}).
\item  L'entreprise a constaté que seulement $65$~pommes de l'échantillon étaient conformes.

Quelle décision est-elle amenée à prendre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

On considère la fonction $g$, définie et dérivable sur l'intervalle [0,5~;~5], et telle que pour tout nombre réel $x$, on a :
\[g(x)= \dfrac{2 \ln (x) + 1}{x}.\]

On note $g'$ sa fonction dérivée et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.

Soit B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1 ; la droite (OB) est tangente en B à la courbe $\Gamma$.

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.001)(5.5,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt](-0.5,-1)(5.5,2.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.99)(5.5,2.25)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{5}{x ln 2 mul 1 add x div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x ln 2 mul 1 add x div}
\psline(3,0)(1,0)(1,1)}
\rput(2,0.5){$\mathcal{D}$}
\psdots(0.607,0)(1,1)\uput[ul](0.607,0){A}\uput[ul](1,1){B}
\rput(3.5,1.2){$\Gamma$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe $\Gamma$ avec l'axe des abscisses.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~5], on a $g'(x) = \dfrac{1 -2\ln (x)}{x^2}$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~5].
		\item En déduire les variations de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5].
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 1.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $\mathcal{D}$ le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. 
	
Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de $\mathcal{D}$, exprimée
en unités d'aire.
		\item On définit la fonction $G$ sur l'intervalle [0,5~;~5] par 
		
		\[G(x) = \ln (x) [\ln (x) + 1].\]

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5].
		\item Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile
exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B.

On s'intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette
entreprise.

Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs : A et B.

Les abonnements sont souscrits pour une période d'un an, à partir du 1\up{er} janvier.

Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur A, 18\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur ;
\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur B, 22\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}
 
On admet que les mouvements d'abonnés d'un opérateur à l'autre se poursuivront dans ces
proportions dans les années à venir.
 
De plus on sait qu'au 1\up{er} janvier 2014, 40\,\% des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60\,\% chez B.
 
On note, pour tout entier naturel $n$ :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez A au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$ :
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez B au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $u_0 = 0,4$ et $v_0 = 0,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22v_n$ et que $u_n + v_n = 1$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n   \::\: u_{n+1} =  0,6u_n + 0,22$.
\item On considère la suite $\left(w_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$w_n = u_n - 0,55$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(w_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.		
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = 0,55 - 0,15 \times  (0,6)^n$.
	\end{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n \right)$. Comment interpréter ce résultat sur l'évolution des parts de marché dans les années futures ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La société réalise tout au long de l'année des journées promotionnelles pour attirer ses clients
sur son site internet. Elle leur envoie un courrier électronique annonçant chaque journée de
promotion.

Parmi les clients, 5\,\% d'entre eux ont visité le site internet de la société lors de la première journée de promotion.

Une étude portant sur le comportement des clients auxquels la société a envoyé ce type de
message a mis en évidence que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de 1a journée promotionnelle suivante ;
\item[$\bullet~~$] un client sur cinq n'ayant pas visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On choisit. au hasard, un client ayant reçu le message annonçant la première journée
promotionnelle.

On formule l'hypothèse que les comportements des clients observés lors de l'étude n'évoluent
pas d'une journée promotionnelle à la suivante.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l'état probabiliste ainsi défini par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}x_n& y_n\end{pmatrix}$, où $x_n$ désigne la probabilité que le client, pris au hasard, visite le site internet de la société lors de la $n$-ième journée de promotion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une journée promotionnelle donnée, on note $V$, l'évènement \og le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle \fg.

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $V$ et $\overline{V}$.
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $V$ et $\overline{V}$ dans cet ordre.
\item En remarquant que $P_1 = \begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix}$, déterminer $P_2$. Interpréter ce résultat.
\item On admet que le taux de visites se stabilise à long terme. Montrer que $\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ est un état stable de ce système.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau informatique de cette société est constitué d'un ensemble de routeurs interconnectés
à l'aide de fibres optiques haut débit. Le graphe qui suit schématise l'architecture de ce réseau.
Les sommets représentent les routeurs et les arêtes représentent les fibres optiques.

On a fait figurer les durées de transfert des données (en millisecondes) d'un routeur à un autre
sur les fibres optiques du réseau de la société.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2.5,6){B}{B} 
\cnodeput(2.5,3){C}{C} \cnodeput(2.5,0){D}{D}
\cnodeput(5,4.5){E}{E} \cnodeput(5,1.5){F}{F}
\cnodeput(7.5,6){G}{G} \cnodeput(7.5,0){H}{H}
\cnodeput(10,3){I}{I}
\ncarc{A}{B} \ncput*{30} \ncarc{A}{C} \ncput*{30} \ncarc{A}{D} \ncput*{20}
\ncarc{A}{F} \ncput*{50}
\ncarc{B}{C} \ncput*{20}\ncarc{B}{E} \ncput*{10}
\ncarc{C}{E} \ncput*{40}\ncarc{C}{F} \ncput*{40}
\ncarc{D}{F} \ncput*{40} 
\ncarc{E}{F} \ncput*{30}\ncarc{E}{G} \ncput*{40}
\ncarc{F}{G} \ncput*{10}\ncarc{F}{H} \ncput*{30} \ncarc{G}{H} \ncput*{30} 
\ncarc{G}{I} \ncput*{10} \ncarc{H}{I} \ncput*{40} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque année la société doit vérifier l'état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s'assurer qu'elle ne
présente pas de détérioration apparente.

Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant
chaque fibre optique une et une seule fois ? Justifier la réponse.

Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit
commencer son inspection.
\item Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au
routeur I.

Le paquet de données a mis $70$~ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de
données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$\dfrac{a	 + b}{2}$&\footnotesize $y$ à $10^{-3}$ près&$a$& $b$& $b-a$& Sortie\\ \hline
Initialisation&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}& 4& 5& 1&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} \\ \hline
1\up{re} boucle \og  Tant que \fg& 4,5& 0,894&4& 4,5& 0,5&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline
2\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
3\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
4\up{e} boucle \og  Tant que \fg&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle Calédonie 2 mars 2015
\newpage
\hyperlink{Index}{*}
\hypertarget{Index}{}
\hyperlink{Retour}{Retour début}
\printindex
\end{document}