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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\small }
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité 2011~\decofourright \\
\vspace{1cm} L'intégrale de juin à  novembre 2011}}
 
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\renewcommand\arraystretch{1.4} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}   
\hyperlink{Ameriquenord}{Amérique du Nord juin 2011}\dotfill \pageref{Ameriquenord}\\
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2011}\dotfill  \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole--La Réunion juin 2011}\dotfill  \pageref{Metropole}\\
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\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}\dotfill  \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord 2011 
\hypertarget{Ameriquenord}{}

\label{Ameriquenord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 27 mai 2011} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL spécialité Amérique du Nord~\decofourright\\
27 mai 2011} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un des départements français, il a été établi que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Sur les \np{350000} salariés : 80\,\% sont salariés du secteur privé et 20\,\% sont salariés du secteur public. 
\item[$\bullet~$] Parmi les salariés du secteur privé, 5\,\% sont syndiqués. 
\item[$\bullet~$] Parmi les salariés du secteur public, 15\,\% sont syndiqués.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une personne au hasard parmi les \np{350000}~salariés.
 
On note $A$ l'évènement \og la personne est salariée du secteur privé \fg, B l'évènement \og la personne est salariée du secteur public \fg, et S l'évènement \og la personne est syndiquée \fg.
 
On note $\overline{S}$ évènement contraire de S.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré figurant sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $P(B \cap  S)$, de l'évènement $B \cap S$ est égale à $0,03$. 
		\item  Déterminer la probabilité $p(S)$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Un journal local annonce que dans ce département \og moins d'un syndiqué sur deux est salarié du public \fg.
 
Commenter cette affirmation. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
La capacité pulmonaire d'une personne est la quantité d'air (mesurée en litres) pouvant être inspirée. 
Dans le cas d'une inspiration forcée, à partir de 10 ans, la capacité pulmonaire (en litres) d'une personne peut être modélisée en fonction de son âge $x$ (en années) par la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = \dfrac{110 (\ln x - 2)}{x}.\] 
 
\begin{enumerate}
\item On donne en annexe 2 la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100] dans un repère orthogonal.
 
En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer graphiquement à quel âge la capacité pulmonaire est maximale puis donner cette capacité? 
		\item Estimer graphiquement l'âge à partir duquel un adulte a une capacité pulmonaire inférieure à celle d'un enfant de 10 ans?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100].
		 
Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [10 ; 100] 

$f'(x) = 110\dfrac{3 - \ln x}{x^2}$.  
		\item Montrer que si $x \in  \left[10~;~\text{e}^3\right]$ alors $3 - \ln x \geqslant  0$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100]. 
		\item Déterminer la valeur exacte du maximum de $f$ puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

$n$ désigne un nombre entier naturel.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite arithmétique $\left(a_{n}\right)$ de premier terme $a_{0} = - 1$  et de raison $\dfrac{5}{11}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ sous forme de fraction irréductible. 
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction du nombre entier naturel $n$. 
		\item Calculer puis donner l'écriture décimale périodique de $a_{25}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(b_{n}\right)$ définie par $b_{0} = 0,36$ et pour tout nombre entier naturel $n,~b_{n+1} = 0,01 b_{n}$.
 
Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n} = b_{0} + b_{1} + \cdots + b_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? 
		\item Justifier que $S_{2} = \np{0,363636}$. 
		\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n,\, S_{n} = \dfrac{4}{11}\left[(1 - (0,01)^{n+1}\right]$.  
		\item En déduire la limite $S$ de la suite $\left(S_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Le nombre $10 + S$ est-il un terme de la suite $\left(a_{n}\right)$ ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

ABCD est un quadrilatère du plan horizontal dont les diagonales se coupent en P.

G désigne le milieu du segment [CD].
 
Sur la figure donnée en annexe (à rendre avec la copie) le quadrilatère ABCD est représenté en perspective centrale par le quadrilatère \texttt{abcd}.
 
Les points \texttt{a, b, c, d, g} et \texttt{p} représentent respectivement les points A, B, C, D, G et P.
 
La droite $d_{h}$ représente la ligne d'horizon. Les droites (\texttt{ab}) et (\texttt{cd}) coupent la ligne d'horizon au point $f_{2}$ et les droites (\texttt{ad}) et (\texttt{bc}) coupent la ligne d'horizon en $f_{1}$.
 
On laissera apparents les traits de construction. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier votre réponse. 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate} 
\item Justifier que le point g sur l'annexe 3 (à rendre avec la copie) représente le milieu G du segment 
[CD]. 
\item On considère les points K et L tels que ABKL soit un parallélogramme de centre G. Construire les points \texttt{k} et \texttt{l} qui représentent respectivement les points K et L. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)}
 
(à compléter et à rendre avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm,nodesep=2pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}
 		}
}
 
\end{center}
\newpage
\begin{landscape}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(100,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(100,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=6](0,0)(100,6)
\uput[u](95,0){Âge (en années)}
\uput[r](0,5.75){Capacité pulmonaire (en litres)}
\uput[ur](40,4.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{100}{x ln 2 sub 110 mul x div}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{landscape} 

%\begin{landscape}
\vspace{-2cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(25,15)
\psline(0.5,12)(24,12)
\psdots(3.6,12)(15.3,12)(10.75,8)(7.9,9.6)(12.6,9.6)(10.22,9.6)(10,10.3)(11.9,9)%f_{1}f_{2}dacbg
\pspolygon(3.6,12)(10.75,8)(15.3,12)(7.9,9.6)(12.6,9.6)
\psline(10.75,8)(10,10.3)
\uput[d](0.5,12){$d_{h}$} \uput[u](3.6,12){$f_{1}$} \uput[u](15.3,12){$f_{2}$} \uput[d](10.75,8){\texttt{d}} 
\uput[dl](7.95,9.6){\texttt{a}} \uput[dr](12.6,9.6){\texttt{c}} \uput[u](10.1,10.4){\texttt{b}} \uput[dl](10.22,9.6){\texttt{p}} 
\uput[dr](11.86,9){\texttt{g}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2011
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Antilles--Guyane juin 2011~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

La page  annexée sera rendue  avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip


Lors de la session 2008 du baccalauréat série littéraire, on a constaté que 80,5\,\% des élèves
ayant obtenu le baccalauréat étaient des filles.

On a d'autre part relevé sur le site du ministère, le tableau suivant donnant la répartition des
mentions par sexe obtenues par les bacheliers de cette session :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|m{2cm}| l|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{2-2}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}					&Filles		&\multicolumn{1}{m{2cm}}{~}		&\multicolumn{1}{c|}{~}&Garçons\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Pas de mention		&59,3\,\%	&		&Pas de mention		&62,8\,\%\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Assez bien			&25.4\,\%	&		&Assez bien			&24,7\,\% \\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Bien ou Très bien	&15,3\,\%	&		&Bien ou Très bien	&12,5\,\%\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
%\multicolumn{5}{r}{\footnotesize Source ; Ministère de l'Éducation nationale}\\
%\footnotesize Lecture : 59,3\,\% des filles ayant obtenu le baccalauréat, l'ont obtenu sans mention}
\end{tabularx}
\end{center}

On interroge au hasard un  élève ayant réussi au baccalauréat série littéraire lors de cette
session et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{12mm}

$F$ : \og l'élève interrogé est une fille \fg

$G$ : \og l' élève interrogé est un garçon \fg

$A$ : \og l'élève interrogé a obtenu la mention Assez bien \fg

$B$ : \og l'élève interrogé a obtenu la mention Bien ou Très bien \fg

$\overline{M}$ : \og l'élève interrogé n' a pas obtenu de mention \fg,
\setlength\parindent{0mm}

\parbox{0.63\linewidth}{Les résultats seront arrondis au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier et exprimer par une phrase en langage courant :
$P_G\left(\overline{M}\right) =  0,628$.
\item  Reproduire sur la copie l'arbre de probabilité ci-contre et
le compléter sans justification.
\item  Comment se note l'évènement : \og l'élève interrogé est un
garçon et il n'a pas obtenu de mention au baccalauréat \fg{} ?

Quelle est la probabilité de cet évènement ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$.
		\item Calculer $P(A \cup B)$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.27\linewidth}{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\naput{0,254}
	\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\Tr{$G$~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\naput{\ldots}
	\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\nbput{\ldots}
	}
}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre
réel $x$ de I'intervalle [1~;~20] par 

\[f(x) = x(3 - \ln x).\]

On a obtenu l'écran ci-contre pour représenter la
fonction $f$ à l'aide d'un traceur de courbe.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,8)
\psframe(0,-1)(21,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(21,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.1}{21}{x 3 x ln sub mul}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = 2 - \ln x$, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~20].
\item Résoudre l'inéquation : $2 - \ln x > 0$ sur l'intervalle [1~;~20].
\item En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle [1~;~20].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On modélise le nombre des ventes d'un roman après sa parution à l'aide de la fonction $f$.

Si $n$ désigne un nombre entier de l'intervalle [1~;~20],  $f(n)$ désigne le nombre d'exemplaires
vendus, exprimé en milliers, au cours de la $n$-ième semaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'exemplaires ont été vendus au cours de la troisième semaine ?
		\item Combien d'exemplaires ont été vendus au cours des trois premières semaines ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où $f$ désigne la fonction de la partie A :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|lX}
\textbf{entrée}		&\multicolumn{1}{X}{$V$ est un entier naturel}\\
\textbf{traitement} &\multicolumn{1}{|X}{Donner à $X$ la valeur $0$}\\
					&\multicolumn{1}{|X}{Donner à $S$ la valeur $0$}\\
					&\multicolumn{1}{|X}{tant que $S < V$ faire :}\\
					&\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}
										Donner à $X$ la valeur $X + 1$\\
										Donner à $S$ la valeur $S + f(X)$\\
										\end{tabular}\\
\textbf{sortie} 	&\multicolumn{1}{X}{Afficher $X$}
										\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme pour $V = 15$ en donnant tous tes résultats
intermédiaires à $10^{-3}$ près. 
		
Pour cela, reproduire, compléter et prolonger autant que nécessaire le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&init.	&étape 1&étape 2&étape 3&\ldots\ldots\ldots\\ \hline
$X$						&$0$	&1		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
$S$						&0		&3		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
$S < V$					&vrai	&		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Quel est, par cet algorithme, le nombre affiché en sortie pour $V = 15$ ?
		\item  Que représente, dans le contexte de la partie B, la quantité affichée en sortie du
traitement effectué pour $V = 15$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative. même
infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $7^2 \equiv - 1 $\: (modulo 5). 

En déduire le reste de la division euclidienne de $7^4$ par 5.
\item Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

\setlength\parindent{8mm}

Affirmation 1 : pour tout entier naturel $n$,\: $7^{2n}$ est divisible par $5$.

Affirmation 2 : il existe un entier naturel $n$ tel que $7^{2n} - 1$ est divisible par $5$.
\setlength\parindent{0mm}
\item On rappelle que, si l'écriture en base sept d'un nombre $N$ est par exemple $\overline{abcde}$ cela signifie que $N = a \times 7^4 + b \times 7^3 + c \times 7^2 + d \times7 + e$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A$ le nombre entier dont l'écriture en base sept est $\overline{10100}$. Ce nombre est-il divisible par $5$ ?
		\item $B$ est le nombre dont l'écriture en base sept est $\overline{20\alpha 040502}$ ;   
		$\alpha$ désigne un chiffre.
		
Comment choisir $\alpha$ pour que $B$ soit divisible par $5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On a représenté en perspective parallèle une partie
d'une construction composée d'un carrelage horizontal, constitué de dalles carrées, bordé à
gauche par un muret vertical. Le côté [AB] est situé dans un plan frontal.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la représentation de ce carrelage suivant une règle
primitive utilisée, au début du  XIV\up{e} siècle puis d'en représenter une partie en perspective centrale.} \hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(55.5,4)
%\psgrid
\multido{\n=0+1,\na=2.6+1.0}{5}{\psline(\n,0)(\na,4)}
\psline(4,0)
\psline(0.62,1)(4.62,1)\uput[dr](0.62,1){A$_1$}
\psline(1.3,2)(5.3,2)\uput[dr](1.3,2){A$_2$}
\psline(1.97,3)(5.97,3)\uput[dr](1.97,3){A$_3$}
\psline(0,0)(0,2)(1.4,4.3)\uput[dl](4.97,3.1){D$_3$}
\uput[d](0,0){A}\uput[d](1,0){B}\uput[d](2,0){C}\uput[d](3,0){D}
\uput[l](0,2){G}
\end{pspicture*}
}
\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Au début du XIV\up{e} siècle, plusieurs peintres italiens, pour rendre compte de la profondeur
dans la représentation des carrelages à dalles carrées dont un côté est situé dans le plan
frontal, utilisent le procédé suivant ainsi traduit en langage moderne :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~~$le point de fuite principal $\Omega$ est positionné dans le tableau ;

$\bullet~~$la longueur AA$_1$, longueur apparente du premier carreau, est fixée
arbitrairement ;

$\bullet~~$les longueurs apparentes des carreaux suivants sont calculées en considérant
que ces longueurs successives sont les termes d'une suite géométrique de
raison $\frac{2}{3}$.


{\footnotesize Source .- Didier Bessot et Jean-Pierre Le Goff, Histoires de problèmes, Ellipses, France 1993}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note $l_0 = \text{AA}_1$,\: $l_1 = \text{A}_1\text{A}_2$ ,\: $l_2 = \text{A}_2\text{A}_3$, \ldots,\ $l_1 = \text{A}_1\text{A}_2$,\: $l_9 = \text{A}_{9}\text{A}_{10}$  les longueurs apparentes
successives pour une représentation d'un dallage comportant 10 carreaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente le premier carreau de côté [AB], en prenant AB $=  4$cm, et
AA$_1 = l_0 =  3,6$~cm. Calculer fa longueur apparente $l_1$ du 2\up{e} carreau $\left(l_1 = \text{A}_1\text{A}_2\right)$, puis la longueur apparente $l_4$ du $5$\up{e} carreau. 

Arrondir les résultats, si nécessaire, au millimètre.
\item Calculer AA$_{10}$ la longueur apparente totale du côté d'un carrelage qui comporterait 10
dalles en profondeur. Arrondir le résultat au millimètre.
\item Le dessin 1 de l'annexe est une représentation d'une partie de- ce carrelage réalisé selon
ce procédé. Mettre en évidence sur ce dessin une règle de la perspective centrale qui n'est
pas respectée et commenter brièvement dans l'espace prévu avec le dessin 1 en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur l'annexe, \textbf{dessin 2}, sont tracées :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~~$la ligne d'horizon ;

$\bullet~~$le segment $[ab]$  représentant le côté [AB] du premier carreau et le segment
$\left[aa_1\right]$ représentant le côté $\left[\text{AA}_1\right]$ ;

$\bullet~~$le segment $[ag]$ représentant l'extrémité [AG] du muret.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En laissant apparents les traits de construction, compléter la figure en représentant la
même partie ADD$_3$A$_3$ de 9 carreaux en perspective centrale.
\item Compléter la figure en arrêtant le muret à la verticale de A$_3$ (à ta fin de la troisième dalle).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE  à rendre avec la copie}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Dessin 1}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(16.5,8)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(16.5,0)(15.6,7.1)
\psline(4.6,2.1)(16.22,2.1)
\psline(7.8,3.55)(16.02,3.55)
\psline(10.1,4.6)(15.9,4.6)
\psline(5.5,0)(15.6,7.1)
\psline(11,0)(15.6,7.1)
\uput[r](15.6,7.1){$\Omega$}
\uput[d](0,0){A} \uput[d](5.5,0){B}
\uput[d](11,0){C} \uput[d](16.5,0){D}
\uput[ul](4.6,2.1){A$_1$} \uput[ul](7.8,3.55){A$_2$} \uput[ul](10.1,4.6){A$_3$} 
\end{pspicture}
\end{center}
Commentaire : \dotfill

\dotfill
 
\dotfill

\vspace{1cm}

\textbf{Dessin 2}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(18,13)
%\psgrid
\psline(-1,12.5)(18,12.5)
\uput[u](16.5,12.5){ligne d'horizon}
\psline(0,4.5)(0,0)(5.4,0)
\psline(2.85,3.35)
\uput[ul](2.85,3.35){$a_1$}\uput[ul](0,4.5){$g$}\uput[dl](0,0){$a$} \uput[d](5.4,0){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2011 
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole~\decofourright\\22 juin 2011}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Trois annexes sont à rendre impérativement avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Chaque résultat sera exprimé sous forme d'entier ou de fraction irréductible. Un arbre est donné en annexe $1$. Il est   à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip
 
On utilise dans cet exercice un jeu de 32 cartes et un jeu de 52 cartes.

Chacun de ces deux jeux de cartes contient un seul valet de trèfle.
 
On lance un dé non truqué à 6 faces. Les faces de ce dé sont numérotées par les nombres 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5 et 6.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est impair, on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. 
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 2 ou 4, on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 6, on tire (en regardant les cartes) systématiquement le valet de trèfle du jeu de 32 cartes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] A : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est impair \fg. 
\item[] B : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est 2 ou 4 \fg. 
\item[] C : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est 6 \fg. 
\item[] V : l'évènement \og La carte tirée est le valet de trèfle \fg. 
\item[] $\overline{\text{V}}$ : l'évènement contraire de V.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements A, B et C. 
\item Compléter par les probabilités qui conviennent, l'arbre donné en \textbf{annexe 1}. 
\item Montrer que la  probabilité de l'évènement V 	est égale à $\dfrac{233}{\np{1248}}$. 
\item On a tiré le valet de trèfle. Quelle est la probabilité que l'on ait obtenu 6 lors du lancer du dé ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Un repère est donné en annexe. La figure est à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip 

On cherche une fonction dont l'allure de la courbe représentative dans un repère orthonormé prend la forme d'une rampe d'escalier.

\medskip
 
Soit $F$ une fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
 
On souhaite que la fonction $F$ remplisse les cinq conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] (1) Le point D de coordonnées (0~;~4) est un point de la courbe $\mathcal{C}$. 
\item[] (2) La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point D passe par le point E de coordonnées $\left(2~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
\item[] (3) $F$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~3]. 
\item[] (4) $\mathcal{C}$ passe par le point B de coordonnées (3~;~0). 
\item[] (5) La tangente (T) à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $3$ est l'axe des abscisses.
\setlength\parindent{0mm} 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (DE) sur le graphique donné en \textbf{annexe 2}. 
		\item Démontrer que la droite (DE) a pour équation $y = - \dfrac{3}{4}x + 4$. 
		\item Sur le même graphique de l'annexe 2, tracer le dessin d'une courbe représentative d'une fonction $F$ vérifiant les cinq conditions imposées. 
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~3] par : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4}(x - 4)\text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$. La condition (1) est-elle vérifiée ? 
		\item Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x) =  \dfrac{1}{4}(x - 3)\text{e}^x$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~3J. 
		\item Calculer $f'(0)$. La condition (2) est-elle vérifiée ? Justifier précisément la  réponse. 
		\item La condition (3) est-elle vérifiée ? Justifier précisément la réponse. 
		\item La courbe représentative de $f$ correspond-elle au problème posé, autrement dit les  conditions (1) à (5) sont-elles vérifiées ? Justifier précisément la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans tout cet exercice, les nombres s'écrivent en base 10.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre $n$ est un entier naturel. Que signifie $n$ est congru à 3 modulo 10 ? 
\item Démontrer que 347 est congru à 7 modulo 10. 

\medskip

On admet dans la suite de cet exercice que tout entier naturel $n$ est congru à son chiffre des unités modulo $10$. 

\item On considère l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l |X}
\multicolumn{1}{l}{Entrée :}&$n$  un entier naturel.\\ 
\multicolumn{1}{l}{Initialisation : }& Donner à $u$ la valeur initiale $n$.\\ 
Traitement :& Tant que $u \geqslant  10$\\
& \hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur $u  - 10$.\\ 
\multicolumn{1}{l}{Sortie :}& Afficher $u$.\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme pour $n =  11$ ? 
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme pour $n  = 35$ ? 
		\item Pour un entier naturel $n$ quelconque, quel est le nombre entier naturel affiché en sortie par cet algorithme ? 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le chiffre des unités de $11^{\np{2011}}$. 
		\item Déterminer le chiffre des unités de $9^{\np{2011}}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter et à rendre avec la copie. Les traits de constructions devront  apparaître clairement.}

\smallskip
 
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\psframe(0,0)(6.4,3.5)%ABFE
\psline(6.4,0)(9.4,1.8)(9.4,5.3)(6.4,3.5)%BCGF
\psline(9.4,5.3)(3.1,5.3)(0,3.5)%GHE
\psline(7.85,0.85)(7.85,4.35)%IJ
\psline(1.45,0.85)(1.45,4.35)%KL
\psline(0,0)(3.1,1.8)(9.4,1.8)%ADC
\psline(3.1,1.8)(3.1,5.3)%DH
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6.4,0){B} \uput[r](9.4,1.8){C} \uput[dr](3,1.8){D} 
\uput[ul](0,3.5){E} \uput[dr](6.4,3.5){F} \uput[ur](9.4,5.3){G} \uput[ul](3,5.3){H}
\uput[d](7.85,0.85){I} \uput[u](7.85,4.35){J} \uput[d](1.45,0.85){K} \uput[u](1.45,4.35){L}
\end{pspicture}
\end{center}


 
On considère une maquette de décor de théâtre de base rectangulaire ABCD posée sur un sol horizontal. Le point I est le milieu du segment [BC] et le point K celui du segment [AD].

\medskip
 
Six poteaux de même longueur [AE], [BF], [CG],  [DH], [IJ] et [KL] soutiennent le toit rectangulaire EFGH de cette maquette. Ils sont verticaux au sol.

\medskip
 
Les longueurs AB et EF sont égales, ainsi que les longueurs BC et FG.
 
La figure ci-dessus représente cette maquette en perspective parallèle.

\medskip 

Les images des points A, B, C, \ldots   dans la représentation en perspective centrale seront notées avec des lettres minuscules : a, b, c, \ldots

\smallskip
  
Sur la figure en annexe 3 sont tracés les segments [ab] et [ad] représentant en perspective centrale les côtés [AB] et [AD] de la maquette ainsi que la ligne d'horizon $\Delta$. La droite (ab) est parallèle à la ligne d'horizon. La face ABFE se trouve dans un plan frontal. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (ad) et (bc) ont le même point de fuite w. Placer w sur la figure de l'\textbf{annexe 3}. 
\item Placer le point c représentant le point C. 
\item On désigne par O le centre du rectangle ABCD. Il s'agit du point où devra se trouver l'acteur pour être placé au centre de la scène. Construire le centre o  image du point O. 
\item Placer les points k et i représentant respectivement K et I. 
\item Sachant que la longueur des poteaux est la moitié de la longueur AB, représenter les six poteaux dans cette perspective centrale. 
\item Finir la représentation de la maquette. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\pstree[treemode=R]{\TR{}}{
\pstree{\TR{A}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
\pstree{\TR{B}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
\pstree{\TR{C}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(4.333,4.333)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 5]{->}(0,0)(4.33,4.33)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=6,gridcolor=lightgray,subgridgridcolor=lightgray](0,0)(4.333,4.333)
\uput[d](4.3,0){$x$}\uput[l](0,4.3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 3 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(13,10)
\psline(10.3,2)(2.2,2)(4.2,4.2)
\psline(0.8,8.3)(13,8.3)
\uput[d](10.3,2){b}\uput[dl](2.2,2){a}\uput[ul](4.2,4.2){d}
\uput[u](13,8.3){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2011 
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 16 septembre 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\16 septembre 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter et à rendre avec la copie. Les traits de constructions devront apparaître clairement.}

\medskip
 
\parbox{0.52\linewidth}{Sur la figure ci-contre, on a représenté, en perspective parallèle, un terrain de volley-ball.
 
Ce terrain a la forme d'un rectangle ABCD de 18 mètres de longueur sur 9 mètres de largeur.
 
Une \emph{ligne centrale} [EF] s'étend sous le filet sur toute la largeur du terrain et sépare les deux camps. Une \emph{ligne d'attaque} est peinte au sol dans chaque moitié de terrain, à 3 mètres du filet (segments [E$_{1}$F$_{1}$] et [E$_{2}$F$_{2}$]). 

Les segments [MM$_{1}$] et [NN$_{1}$] représentent les poteaux portant le filet. Ces poteaux sont perpendiculaires au sol et d'une hauteur de 3~mètres. Les points M, E, F et N sont alignés et on a EM = FN = 1~m .

\bigskip
 
Remarque : afin de simplifier la lecture, le filet n'a pas été représenté.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(7,8.5)
\newgray{mygray}{0.8}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=mygray](0.6,0)(5.3,0)(7,8)(2.3,8)
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.7)(5.9,2.7)
\psline[linestyle=dashed](1.7,5.4)(6.4,5.4)
\psline{*-*}(1,4)(1,5.7) 
\psline{*-*}(6.7,4)(6.7,5.7)
\psline(1.5,4)(6.2,4)
\psline(0,0)(0.6,0)
\uput[l](1,4){M} \uput[l](1,5.7){M$_{1}$} \uput[r](6.7,4){N} \uput[r](6.7,5.7){N$_{1}$} 
\uput[dl](0.6,0){A} \uput[dr](5.3,0){B} \uput[ur](7,8){C} \uput[ul](2.3,8){D}
\uput[dl](0,0){G} \uput[d](2.4,0){H} 
\uput[l](1.5,4){E} \uput[r](6.2,4){F}
\uput[l](1.2,2.7){E$_{1}$} \uput[r](5.9,2.7){F$_{1}$}
\uput[dl](1.7,5.4){E$_{2}$} \uput[dr](6.4,5.4){F$_{2}$}
\psdots(0,0)(2.4,0) 
 \end{pspicture}}
 
\bigskip

Les points G et H sont placés sur la droite (AB). Ils sont situés respectivement à 1 mètre et à 3 mètres de part et d'autre du point A.
 
Les images des points A, B, C ... dans la représentation en perspective centrale seront notées avec des lettres minuscules : a, b, c ...
 
Sur la feuille de l'annexe 1 est commencé un dessin de ce terrain en perspective centrale. On a également représenté la ligne d'horizon $\Delta$. La droite (ab) est parallèle à la ligne d'horizon.
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite principal CD. 
\item Achever la construction de abcd. 
\item Construire les points e et f, puis le segment [ef], image de la ligne centrale [EFJ du terrain. 
Les questions 4. et 5. peuvent être traitées de manière indépendante. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification une droite parallèle à la droite (BD). 
		\item Construire le point e$_{1}$. 
		\item Construire les segments [e$_{1}$f$_{1}$] et [e$_{2}$f$_{2}$], images des lignes d'attaque [E$_{1}$F$_{1}$] et [E$_{2}$F$_{2}$].
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points m et n. 
		\item Pour finir la représentation, construire les images [mm$_{1}$J et [nn$_{1}$] des deux poteaux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Thomas joue souvent sur son ordinateur à un jeu de cartes de type \og Solitaire \fg.
 
Il existe trois niveaux à ce jeu : la moitié des parties sont de niveau \emph{Débutant}, un tiers des parties sont de niveau \emph{Intermédiaire}, le reste des parties étant de niveau \emph{Expert}.
 
L'ordinateur garde en mémoire les parties jouées. Thomas peut ainsi lire les statistiques suivantes : il a gagné 90\,\% de ses parties de niveau \emph{Débutant} et 60\,\% de ses parties de niveau \emph{Intermédiaire}.
 
Il demande à l'ordinateur de lui remontrer au hasard une de ses parties. Toutes les parties ont la même probabilité d'être choisies.
 
On note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\quad $D$ l'évènement \og La partie est de niveau \emph{Débutant} \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]\quad  $I$ l'évènement \og La partie est de niveau \emph{Intermédiaire} \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]\quad  $E$ l'évènement \og La partie est de niveau \emph{Expert} \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$]\quad  $G$ l'évènement \og La partie est gagnée \fg ; 
\item[$\bullet~~$]\quad  $\overline{G}$ l'évènement contraire de l'évènement $G$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $D \cap G$. Calculer la probabilité de cet évènement. 
		\item L'ordinateur indique que Thomas a gagné 72\,\% des parties qu'il a jouées. 

En déduire la probabilité $p(E \cap G)$. 
		\item Calculer la probabilité que Thomas ait gagné la partie montrée au hasard par l'ordinateur, sachant qu'elle est de niveau \emph{Expert}. 
		\item Compléter l'arbre construit à la question 1.
		 
La partie montrée au hasard par l'ordinateur a été perdue. Quelle est la probabilité que cette partie soit de niveau \emph{Débutant} ? Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au millième près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 4\text{e}^{0,5x} - 5.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe d'équation $y = 4\text{e}^{0,5x} - 5$ représentant $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
		\item Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse :
		 
Affirmation 1 : la courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe une et une seule fois l'axe des abscisses. 

Affirmation 2 : la courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe la droite d'équation $y = -5$.
 
Affirmation 3 : il existe un unique point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en lequel la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center} 
\begin{tabular}{|l l|}\hline	
Entrée :& 	$P$ est un réel strictement positif\\ 
Initialisation:& Donner à $X$ la valeur $0$ et à $Y$ la valeur $-1 $\\
Traitement:&	 Tant que $Y < 0$ :\\ 
&\qquad Donner à $X$ la valeur $X + P$\\ 
&\qquad Donner à Y la valeur $f(X)$\\ 
&\qquad($f$ étant la fonction définie précédemment)\\
Sortie :& 	Afficher $X - P$ et $X$\\ \hline
\end{tabular}
 
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item On entre une valeur de $P$ égale à 0,1. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ? 
		\item On a fait fonctionner l'algorithme avec une certaine valeur de $P$. On a obtenu en sortie les nombres $0,44$ et $0,45$. Quelle valeur de $P$ avait-on choisie en entrée ? 
		\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
On entre une valeur de $P$ égale à $0,001$. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. \\
Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Modulo 7, le nombre 96 est congru à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.}~19 &\textbf{b.}~20 &\textbf{c.}~21 
\end{tabularx}
\medskip

\item L'un de ces trois nombres est divisible par 3. Lequel?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.}~999 +1 &\textbf{b.}~10100 + 1 &\textbf{c.}~11111 + 1
\end{tabularx}
\medskip 
\item La limite de la suite définie pour tout entier $n$ par $u_{n} = - 2 \times (0,5)^n + 2$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.}~ 0&\textbf{b.}~ 2& \textbf{c.}~$- 2$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item La suite définie pour tout entier $n$ par $u_{n} =3^{n+1} - 3^n$ est :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.}~une suite arithmétique& \textbf{b.}~une suite géométrique&\textbf{c.}~une suite ni arithmétique ni géométrique
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\Large \textbf{Annexe - A rendre impérativement avec la copie} }

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(15,16)
\psline(14.7,0)(0,0)(4.8,9.1)
\psline(0,13.9)(15,13.9)
\psdots(4.85,0)(14.6,0)(4.8,9.1)
\uput[d](14,13.9){$\Delta$}
\uput[d](4.85,0){h}\uput[d](14.7,0){b}\uput[u](4.8,9.1){d}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2011 
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
Épreuve de spécialité - novembre 2011\\Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A  et B sont indépendantes.}
 
\textbf{Dans cet exercice, on utilise l'annexe 1 qui sera rendue avec la copie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère la fonction définie sur [-5~;~3] par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{0,5x},\]

où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
 
On donne en annexe 1, la courbe représentative de la fonction $f$ ainsi que la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En s'aidant uniquement du graphique répondre aux questions suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$. 
		\item Expliquer pourquoi $f^{\prime}(0) = 4$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $a$ et $b$ et en déduire une expression de $f(x)$. 
\item En s'aidant du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.
 
On précisera le signe des solutions et on fera apparaître les traits de construction sur le graphique donné en annexe 1.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère la fonction $g$ définie sur [-5~;~3] par 

\[g(x) = (3x + 2)\text{e}^{0,5x}.\]

On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$,

$g^{\prime}(x) = (1,5x + 4)\text{e}^{0,5x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur [-5~;~3] et dresser son tableau de variation. 
\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentant $g$ au point d'abscisse $1$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Une banque attribue à chacun de ses clients un numéro de compte à 7 chiffres. Les 6 premiers chiffres sont donnés. Le septième chiffre est une clé de contrôle, c'est-à-dire qu'il sert à déceler les éventuelles erreurs de saisie du numéro de compte.

\medskip
 
Pour déterminer ce dernier chiffre on procède de la façon suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On effectue la division euclidienne du nombre constitué des 6 premiers chiffres par 12.
 
On obtient un reste $R$.
\item[$\bullet~~$] On exprime ce reste $R$ en base 12 et on obtient le septième chiffre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Remarque : Si $R = 10$, le dernier chiffre est $A$ et si $R = 11$, le dernier chiffre est $B$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre 1231309 est-il un numéro de compte possible ? 
\item Déterminer la clé du numéro de compte dont les 6 premiers chiffres sont 425629. 
\item Eric a fait une tache d'encre sur son numéro de compte. Elle cache le quatrième chiffre de ce numéro. On note $a$ le chiffre manquant. Son numéro de compte est de la forme $124a55B$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de 55 par 12. 
		\item Démontrer que $10^2 \equiv  4 \:\:(\text{mod}\: 12)$ et $10^3 \equiv 4 \:\: (\text{mod}\: 12)$.
		\item Déduire de la question b. les restes respectifs des divisions euclidiennes de $10^4$ et $10^5$ par 12. 
		\item En utilisant les questions précédentes, démontrer que le chiffre $a$ vérifie : 
		
\[11 + 4a \equiv  11 \quad (\text{mod}\: 12).\]

		\item Quelles sont les valeurs possibles de $a$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Deux urnes sont notées U$_{1}$ et U$_{2}$. Chacune contient cinq boules.
 
Dans l'urne U$_{1}$, il y a deux boules blanches et trois boules noires.

Dans l'urne U$_{2}$, il y a une boule blanche et quatre boules noires.

\medskip
 
Un jeu consiste à lancer un dé à 6 faces.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 6, le joueur tire une boule dans U$_{1}$. 
\item[$\bullet~~$] Sinon, il tire une boule dans U$_{2}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le joueur gagne lorsqu'il tire une boule blanche.
 
On note les évènements suivant :
 
$S$ : \og le joueur obtient 6 \fg, $\overline{S}$ est son évènement contraire.

$G$ : \og le joueur gagne\fg{} et $\overline{G}$ : \og le joueur perd \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, sous forme de fraction, les probabilités suivantes : 

$P(S),\: P\left(\overline{S}\right),\:P_{S}(G),\:P_{\overline{S}}\left(\overline{G}\right)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous : 

\begin{center}\psset{arrows=->,nodesepB=6pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$S$\phantom{a}}}
	  { 
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{S}$\phantom{a}}}
	  {
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que le joueur gagne est $P(G) = \dfrac{7}{30}$. 
\item Un joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne U$_{1}$ ? 
\item Les évènements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $G \cup S$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\medskip

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH représenté en perspective cavalière. Sur la face ABFE, les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AE], [EF], [FB] et [BA].

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,5)
\psframe(4,4)
\psline(4,0)(5.2,1)(5.2,5)(4,4)%CGFB
\psline(5.2,5)(1.2,5)(0,4)%FEA
\pspolygon(2,4)(4.6,4.5)(3.2,5)(0.6,4.5)%LKJI
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(5.2,1)%DHG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(1.2,5)%HE
\uput[l](0,4){A} \uput[r](4,4){B} \uput[d](4,0){C} \uput[d](0,0){D} 
\uput[u](1.2,5){E} \uput[u](5.2,5){F} \uput[r](5.2,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} 
\uput[l](0.6,4.5){I} \uput[u](3.2,5){J} \uput[r](4.6,4.5){K} \uput[d](2,4){L} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Le but de l'exercice est de faire une représentation en perspective centrale de cette figure. Les représentations des points A, B, C, \ldots sont nommées \texttt{a, b, c,} \ldots Les droites (DG) et (BC) sont frontales.
 
Les questions 1., 2., 3. et 4. seront traitées sur l'annexe 2 à rendre avec la copie.
 
On a tracé la ligne d'horizon ainsi que les représentations des segments [DG] et [BC].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points de fuite des droites (\texttt{dc}) et (\texttt{cg}).  
\item Placer le point \texttt{h}, représentant le point H 
\item Placer les points \texttt{a} et \texttt{f}, puis terminer la représentation du cube. 
\item Tracer la représentation du motif IJKL. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 1 - Partie A }
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{0.727}{3 x mul 2 add 2.71828 0.5 x mul exp mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 4}
\end{flushleft}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15.6,15)
\psline(0,13)(15.6,13)
\psline(5.2,10)(9,10)
\psline(7,7.3)(7,9.3)
\psdots(5.2,10)(9,10)(7,7.3)(7,9.3)
\uput[u](5.2,10){\texttt{d}} \uput[u](9,10){\texttt{g}} \uput[r](7,7.3){\texttt{c}} \uput[r](7,9.3){\texttt{b}} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011
\end{document}