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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 1995}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  1995 \decofourright \\
\vspace{1cm}L'intégrale de juin à septembre  1995}}
\end{center}

\vspace{1cm}

 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1995} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \medskip
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1995} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \medskip
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1995} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \medskip
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1995} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \medskip
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 1995} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\
\end{tabularx}
\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 1995
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles-Guyane juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 11 points}

\medskip

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip

On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par
litre de sang) et l'âge (en années) d'un échantillon de la population d'une région.

Les résultats sont consignés dans le tableau d'effectifs à double entrée ci-après.

On peut lire, par exemple, que dans l'échantillon considéré il y a 8 individus
entre 50 et 60 ans qui ont un taux de cholestérol compris entre 2,0 et 2,2 g.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Taux}{\^Age} & [20 ; 30[ & [30 ; 40[ & [40 ; 50[ & [50 ; 60[ & [60 ; 70[
   & 70 et plus & Totaux \\ \hline
[1,6 ; 1,8[ & 23 &  15 	&12 	&9 	&5 	&4 	&68 \\ \hline
[1,8 ; 2,0[ & 14 & 13 	&11 	&9 	&7 	&5 	&59 \\ \hline
[2,0 ; 2,2[ &  4 &  9 	&7 		&8 	&10 &7 	&45 \\ \hline
[2,2 ; 2,4[ &  0 &  3 	&5 		&5 	&8 	&9 	&30 \\ \hline
[2,4 ; 2,6[ &  1 &  2 	&3 		&3 	&4 	&5 	&18 \\ \hline
Totaux      & 42 & 42 	&38 	&34 &34 &30 &220 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On affirme que plus de 47\,\% des individus de l'échantillon ont un
taux de cholestérol appartenant à l'intervalle [1,8~;~2,2[.
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse.
\item Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard dans
la classe d'âge [50~;~60[ ait un taux de cholestérol appartenant
à l'intervalle [1,8~;~2,2[ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse maintenant à un nouveau tableau dans lequel figure le taux moyen
de cholestérol par tranche d'âge (on a remplacé les intervalles par leur centre).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Âge 		&25 	&35 	&45 	&55 	&65 	&75 \\ \hline
Taux moyen 	&1,82 	&1,93 	&1,98 	&2,01 	&2,09 	&2,14 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter par un nuage de points cette nouvelle série statistique.
On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés
en abscisses (unité : 2~cm pour 10~ans) et les taux de cholestérol
en ordonnées (unité graphique 5~cm).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $G_1$ le point moyen des trois premiers points
du nuage et $G_2$ celui des trois derniers.

Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$ et tracer la droite $\left(G_1 G_2\right)$
sur le graphique.
		\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître
les constructions utiles, le taux moyen de cholestérol d'un individu de 15 ans.
	\end{enumerate}
\item On veut déterminer l'équation de la droite $\left(G_1 G_2\right)$ sous la
forme :  $y = m x + p$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $0,006$ et $1,71$ sont respectivement
des valeurs approchées de $m$ et $p$.
		\item Retrouver par le calcul le résultat obtenu au 2.b.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 9 points}

\medskip

On injecte à un malade une dose de 2 centimètres cubes d'un certain 
médicament M.

La quantité de ce médicament présente dans le sang du malade 
pendant les 24 heures suivant l'injection est donnée par la courbe 
ci-dessous :

\begin{center}
{\small\textsf{Quantité de médicament contenue dans le sang\\
pendant les 24 premières heures}}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(26,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.5]{->}(0,0)(26,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.5](0,0)(26,2)
\psline(0,0.5)(26,0.5)
\psline(0,1.5)(26,1.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{26}{2 2.71828 x 12 div neg exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

On remarquera que cette quantité diminue, du fait de l'élimination naturelle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer combien de temps s'est écoulé après
l'injection pour que la quantité présente dans le sang soit la moitié de
la dose injectée, qui était de deux centimètres cubes.
		\item Donner une approximation, à l'unité près,
du pourcentage de la quantité restant dans le sang au bout
de vingt-quatre heures, par rapport à la dose injectée.
	\end{enumerate}
\item On admet que la quantité de médicament $g(t)$ (exprimée en cm3)
contenue dans le sang après un temps $t$ (exprimé en heures)
est donnée par la formule :

\[g(t) = 2 \text{e}^{-\frac{t}{12}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\frac{g(24)}{g(0)}$.
		\item Résoudre l'équation d'inconnue $t$,

 \[g(t) = \displaystyle\frac{1}{2} g(0).\]

		\item Quels liens existe-t-il entre les résultats a. et b.
ci-dessus et la question 1. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 1995
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 1995
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Le sang humain est classé en 4 groupes distincts : A, B, AB, O.

Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur RHÉSUS.
Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit de RHÉSUS POSITIF noté Rh+.
Dans le cas contraire, l'individu est dit de RHÉSUS NEGATIF noté Rh-.

\medskip

Une étude statistique, portant sur un effectif de \np{10000} personnes a donné
les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] 40\,\% des personnes sont du groupe A.
\item[ ] 10\,\% des personnes sont du groupe B.
\item[ ] 5\,\% des personnes sont du groupe AB.
\item[ ] Les autres sont du groupe O.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant qui donne la
répartition des \np{10000} personnes.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Groupe &A  &B  	&AB &O 	&Total \\ \hline
Rh+    &   &810 &   &   &\np{8105}  \\ \hline
Rh-    &720&    &85 &   &      \\ \hline
Total  &   &    &   &   &\np{10000} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On prend, au hasard, une personne parmi les \np{10000}.

Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $E_1$ : \og la personne est du groupe O \fg,
\item[ ] $E_2$ : \og la personne est de rhésus positif \fg,
\item[ ] $E_3$ : \og la personne est du groupe O ou de rhésus positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

(On donnera les résultats sous forme décimale)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

Une population homogène de bactéries placées dans un milieu stable se multiplie par MITOSE. 

Dans ce problème on va s'intéresser à l'évolution de la densité
bactérienne en fonction du temps. La densité bactérienne représente le nombre
de bactéries par mm$^3$ et le temps est exprimé en secondes.

\bigskip
\textbf{Partie A}
\bigskip

Une série de 6 mesures expérimentales a donné les résultats suivants :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ (temps en secondes) & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 \\ \hline
$d$ (densité)          	& 0,5 & 1,2 & 3,8 & 10 & 27 & 75  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $y = \ln d$ ($y$ est le logarithme népérien de $d$).

Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant.
On arrondira les valeurs de $y$ au dixième le plus proche.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$        & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 \\ \hline
$y=\ln d$  &  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Construire le nuage de points $M(x, y)$ associé à
cette série statistique dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités graphiques :

\hspace*{2em} 4 cm sur l'axe des abscisses ;

\hspace*{2em} 2 cm sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item On note $G_1$, le point moyen des trois premiers points du nuage
et $G_2$ celui des trois derniers points.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points $G_1$ et $G_2$
(On arrondira ces coordonnées au dixième.)
		\item Placer $G_1$ et $G_2$ sur le graphique et tracer
la droite $\left(G_1G_2\right)$.
		\item Déterminer, sous la forme $y = m x + p$, l'équation
de la droite $\left(G_1G_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $y$ est donné en fonction du temps par $y = 2 x - 0,7$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur peut-on prévoir pour $y$ au temps $x = 4$ ?
		\item Quelle sera alors la valeur de la densité bactérienne $d$ ?
(En donner une valeur approchée à l'unité près.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip

De nombreuses expériences ont permis d'établir que, pour un temps $x$ compris
entre 0 et 2 secondes, la densité bactérienne $f(x)$ est approximativement
donnée par la relation

\[f(x) = \frac{1}{2} \text{e}^{2x}.\]

La représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~2]$ par $f(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x}$ est donnée sur la feuille annexe que l'on joindra à la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin
les constructions utiles, la valeur approchée à $10^{-1}$ près de la solution
de l'équation $f(x) = 15$.
\item En déduire le temps nécessaire pour que la densité bactérienne
initiale de $0,5$ soit multipliée par $30$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A REMETTRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\psset{xunit=5.5cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(2,28)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\multido{\n=0.0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,28)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(2,28)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5](0,0)(2,28)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.95,0){$x$} \uput[r](0,27.5){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 2 x mul exp 0.5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 1995
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 1995
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole  juin 1995~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 9 points}

\medskip

Le personnel d'un hôpital est réparti en trois catégories :

les médecins, le personnel soignant, le personnel administratif
 et technique.
 
Parmi les $350$ membres du personnel de cet hôpital, $70$ sont des hommes.

Parmi les hommes, $28$ sont médecins. 

De plus il y a deux fois moins de femmes médecins que d'hommes médecins.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans le tableau suivant des informations sont déjà placées.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} &Nombre d'hommes &Nombre de femmes & TOTAL  \\ \hline
Médecins              				&   	&    &     \\ \hline
Personnel soignant    				&  		&230 &250  \\ \hline
Personnel administratif et technique&  		&  	 &   \\ \hline
TOTAL                 				&   	&    &350 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Compléter ce tableau après l'avoir reproduit.
		\item Est-il vrai que l'ensemble des médecins représente
12 \% de l'ensemble du personnel de cet hôpital ? Justifier votre réponse.
		\item Parmi les 250 soignants, quel est le pourcentage
de femmes ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question les résultats seront donnés avec deux décimales.

On choisit, au hasard, une personne parmi les 350 membres du personnel.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $A$ :  \og Il s'agit d'un soignant \fg{} ;
\item  $B$ : \og Il s'agit d'une femme médecin \fg{} ;
\item  $C$ : \og Il s'agit d'une femme ou d'un médecin \fg.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 9 points}

\end{center}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0~;~12]$ par :

\[f(t) = 3\text{e}^{-0,1 t}.\]

Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal
\Oij. (Unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses ;
4~cm sur l'axe des ordonnées.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction dérivée $f'$ est définie sur $I$ par :

\[f'(t) = -0,3 \text{e}^{-0,1 t}.\]

\item En déduire le signe de $f'(t)$ et dresser le tableau de variation
de $f$ sur $I$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant.
(Les valeurs décimales approchées seront données à $10^{-1}$ près.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$    &0 	&1 	&2 	&4 	&6 	&8 	&10 &12 \\ \hline
$f(t)$ &  	&  	&  	&  	&  	& 	&  	&   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer soigneusement $C$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

À l'instant $t = 0$, on injecte dans le sang une dose de 3~ml
d'un médicament. On se propose d'étudier le processus d'élimination 
du produit au cours des $12$ heures suivant l'injection. La quantité 
de médicament présente dans le sang (exprimée en ml) en fonction 
du temps (exprimé en heures) est $f(t)$ où $f$ est la fonction
étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, à $10^{-1}$ près, la quantité de médicament présente
dans le sang au bout de $4$ heures ? de $5$~heures $30$~minutes ?
		\item Vérifier graphiquement les résultats précédents
en faisant apparaître sur le schéma de la partie A les constructions utiles.
	\end{enumerate}
\item On injecte à un patient une dose de 3 ml du médicament.
Lorsque la quantité de produit présente dans le sang devient 
inférieure à 1,25 ml, on injecte à ce patient une seconde dose.

Par lecture graphique, en faisant apparaître les constructions 
utiles, indiquer au bout de combien de temps on procède à la 
seconde injection.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 1995
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 1995
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie juin 1995~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Pour étudier les mécanismes hormonaux de la puberté, on a mesuré
les concentrations de deux hormones : l'œstradiol et l'œstrone, pour un groupe de huit adolescentes.

On désigne par $x_i$, les concentrations en œstradiol (en pg/ml) et par $y_i$, les concentrations en œstrone (en pg/ml).

Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$ &7,5 &16,5 &22 	&30 &42 	&57 	&72 &77  \\ \hline
$y_i$ &9   &18,5 &21,5 	&27 &34,5 	&50,5 	&59 &60 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter ces résultats en plaçant dans un repère les points
de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ ; 1 cm représentant 5 pg/ml sur chaque axe.
On obtient ainsi un nuage de points.
\item On désigne par $G_1$ le point moyen associé aux points du nuage
ayant les quatre plus petites abscisses et par $G_2$ le point moyen associé aux
quatre autres points.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ puis
tracer la droite $\left(G_1G_2\right)$ sur le dessin précédent.
		\item Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est
$y = 0,744 x + 4,860$, où les coefficients ont été arrondis à $10^{-3}$ près.
		\item En utilisant la droite $\left(G_1G_2\right)$, donner une
estimation de la concentration en œstrone pour une adolescente dont
la concentration en œstradiol serait de 50 pg/ml.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0,1~;~6]$ par

\[f(x) = x + 2 - 2\ln x.\]

On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal
d'unité 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Montrer que $f'(x)$ a sur l'intervalle $[0,1~;~6]$
le même signe que $(x - 2)$.
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur
l'intervalle $[0,1~;~6]$ en précisant les valeurs particulières.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(4)$, puis
la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près de $f(4)$.
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente
à la courbe $C$ au point de $C$ d'abscisse 1.
		\item Tracer les tangentes à la courbe $C$ aux points
d'abscisses respectives 1 et 2 ; tracer la courbe $C$.
(On rappelle que l'unité graphique est 2~cm).
	\end{enumerate}
\item Soit la droite $D$ d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite dans le repère utilisé précédemment.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection
de la courbe $C$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 1995
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 1995
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 1995~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points}

\medskip

Chaque année le taux de natalité est calculé en divisant le nombre de naissances par le nombre d'habitants du pays.

Lors d'une étude statistique, menée en 1993 par l'INSEE, on a constaté en France, que le taux de natalité était en baisse.

Voici le tableau des résultats constatés :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 						&1984 	&1986 	&1988 	&1990 	&1992 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 		&4  	&6 		&8 		&10 	&12  \\ \hline
Taux en \% de natalité $y_i$&1,38 	&1,40 	&1,37 	&1,34 	&1,31 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points $M\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.

\hspace*{2em} L'axe des abscisses est gradué à partir de 0 et on prendra 1~cm par rang d'année.

\hspace*{2em} L'axe des ordonnées est gradué à partir de 1 et on prendra 10~cm pour 1\,\%.
\item On note $G_1$ le point moyen des 2 premiers points et $G_2$ celui des 3 derniers.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$
  et tracer la droite $\left(G_1G_2\right)$.
		\item Déterminer sous la forme $y = m x + p$ une équation
  de la droite $\left(G_1G_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que le taux de natalité $y$ est donné, en fonction
du rang $x$ de l'année, par  

$y = - 0,01 x + 1,44$.
	\begin{enumerate}
		\item Par le calcul, déterminer le taux de natalité
  que l'on peut prévoir en l'an 2000.
		\item Par lecture graphique, en faisant apparaître sur la
 figure les constructions utiles, indiquer à partir de quelle année on peut
 prévoir un taux de natalité inférieur à $1,29$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = [-3~;~3]$ par:

\[f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.\]


\textbf{I Reconnaissance de la courbe représentative de } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle $I$,
 la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie par : $f'(x) = \displaystyle\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} $ .
		\item Étudier suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente, en justifiant votre réponse,
 que les courbes $C_1$ et $C_2$, données sur la feuille annexe, ne peuvent pas
 représenter $f$.

\medskip

ON ADMETTRA QUE LA COURBE REPRÉSENTATIVE DE $f$ EST $C_3$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II Exploitation de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath et de la courbe \boldmath$C_3$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est paire. Comment cette propriété se
  traduit-elle sur la représentation graphique de $f$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(3)$.
		\item Donner l'intervalle décrit par $f(x)$ lorsque $x$
  décrit l'intervalle $[-3~;~3]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par le calcul, résoudre dans $I$ l'équation : $f(x) = 0$.
		\item Par lecture graphique, résoudre dans $I$  l'inéquation : $f(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
%C1
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_1$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{1 x dup mul sub 1 x dup mul add div}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{ x dup mul 1 sub 1 x dup mul add div 1 add}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_3$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{ x dup mul 1 sub 1 x dup mul add div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 1995
\end{document}