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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} 
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  1997~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre  1997}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
 \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1997} \dotfill \pageref{Antilles}\\

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1997} \dotfill \pageref{LaReunion}\\

\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1997} \dotfill \pageref{Metropole}\\

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1997} \dotfill \pageref{Polynesie}\\

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 1997} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\
 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie  novembre 1997} \dotfill \pageref{Caledonienov}\\
\end{tabularx}
\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 1997
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles-Guyane juin 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

En 1992, en France, \np{178530} médecins étaient inscrits au Conseil de l'Ordre
dont \np{78553} spécialistes (source : Quid 93).

\hspace*{1em} 61\,\% des médecins sont des médecins libéraux.

\hspace*{1em} 56\,\% des médecins libéraux sont des médecins généralistes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant.
On donnera les valeurs approchées entières par défaut des résultats.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
          & Généralistes & Spécialistes & Total \\ \hline
Libéraux  &             &             &      \\ \hline
Salariés  &             &             &      \\ \hline
Total     &             & \np{78553} & \np{178530} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard, un médecin inscrit au Conseil de l'Ordre.
Tous les choix sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item On considère les évènements $A$, $B$, $C$ suivants :
		
\hspace*{2em} $A$ : « il s'agit d'un médecin spécialiste » ;

\hspace*{2em} $B$ : « il s'agit d'un médecin libéral » ;

\hspace*{2em} $C$ : « il s'agit d'un médecin spécialiste et libéral ».

Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.

On arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.
		\item On considère l'évènement $D = A~\cup~B$. Définir par
une phrase l'évènement $D$ et calculer la probabilité de cet évènement.
On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

\bigskip
\textbf{Partie A. Étude d'une fonction}
\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~15]$ par

\[f(t) = -\dfrac{t}{2} + 3 \ln t.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que
$f'(t) = \displaystyle\frac{6 - t}{2t}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[2~;~15]$.
		\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum dont
on donnera la valeur exacte.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Le compléter avec les valeurs exactes de $f(2)$, de $f(15)$ et du maximum.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau :
(on donnera les résultats arrondis à $10^{-1}$ près).

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$     &2 	&3 &4 	&6 		&8 &10 	&11 	&13 &14 	&15 \\ \hline
$f(t)$  &1,1&  &2,2 &2,4 	&  &  	&1,7 	&  	&0,9 	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Construire la courbe $C$ représentative de la fonction
$f$ dans un repère orthogonal :

on prendra pour unités graphiques :

\hspace*{4em} 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses,

\hspace*{4em} 4 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B. Application}
\bigskip

Une personne sous l'emprise de l'alcool est mise en observation.
On appelle $t$ le nombre d'heures écoulées depuis sa mise en observation.
On admet que l'expression $f(t) = -\displaystyle\frac{t}{2} + 3 \ln t$ donne
son taux d'alcoolémie (en g/l), pour $t$ compris entre 2 et 15.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette personne pourra-t-elle conduire une voiture au bout de
15 heures d'observation, sachant qu'il est interdit de conduire avec un taux
d'alcoolémie supérieur ou égal à $0,5$~g/l ?
\item À l'aide du graphique de la partie A, en faisant apparaître les
constructions utiles, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le taux d'alcoolémie, 9 heures après la mise
en observation ?
		\item On prend $2,4$~g/l comme valeur du maximum atteint par
le taux d'alcoolémie. Combien de temps doit-on attendre pour que le taux
d'alcoolémie passe de sa valeur maximale à la moitié de celle-ci ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 1997
\newpage
%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 1997
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion juin 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points}

\medskip

$200$ fumeurs ont suivi dans un centre d'aide au sevrage tabagique, soit le
traitement $T_1$, soit le traitement $T_2$. Au bout de quelques mois, ces $200$
personnes subissent un test permettant dévaluer leur nouvelle dépendance tabagique.

Les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Parmi les $80$ personnes ayant suivi le traitement $T_1$, $27$ sont non dépendantes.
\item[$\bullet~~$] Parmi les personnes ayant suivi le traitement $T_2$, 33 sont non dépendantes et 47 sont faiblement dépendantes.
\item[$\bullet~~$] 28\,\% des 200 personnes sont fortement dépendantes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
\footnotesize Nombre de personnes &\footnotesize  Non dépendantes  		& \footnotesize Faiblement dépendantes
  &\footnotesize  Fortement dépendantes &\footnotesize  Total \\ \hline
ayant suivi le traitement $T_1$ &  &  &  	&   \\ \hline
ayant suivi le traitement $T_2$ &  &  & 	&   \\ \hline
Total                           &  &  &  	& $200$  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard, une des 200 personnes. Tous les choix sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements $A$,
$B$, $C$ suivants :

\hspace*{3em} $A$ : « Elle a suivi le traitement $T_2$ »,

\hspace*{3em} $B$ : « Elle est fortement dépendante »,

\hspace*{3em} $C$ : « Elle a suivi le traitement $T_2$ et elle est fortement dépendante ».
		\item On considère l'évènement $D = A~\cup~ B$.
Définir l'évènement $D$ par une phrase. Calculer la probabilité de $D$.
\item On considère que le traitement le plus efficace est celui pour lequel
le pourcentage de personnes non dépendantes, parmi les personnes ayant suivi le
traitement, est le plus élevé. Quel est le traitement le plus efficace ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle
$[0~;~24]$ par

\[f(t) = 6,5 + 5 \ln(1 + t).\]

On note $C$ la courbe représentative de $f$, dans un repère orthonormal d'unité
graphique 0,5 cm.

\medskip
\textbf{Partie A Étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur
l'intervalle $[0~;~24]$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques
suivant.

(les valeurs décimales approchées seront arrondies à $10^{-1}$ près).
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$    &0 &2	&4 		&6 &8 &12 	&16 &20 	&24 \\ \hline
$f(t)$ &  &  	&14,5 	&  &  &  	&  	&20,7 	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer soigneusement la courbe $C$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B Application}
\bigskip

On se propose d'étudier l'évolution, pendant 24 heures, du nombre de leucocytes
(globules blancs du sang) chez un sujet atteint d'une affection.

On admet que le nombre de leucocytes par mm$^{3}$ de sang en fonction du temps
$t$ (exprimé en heures) est égal à $10^3 f(t)$ où $f$ est la fonction étudiée
dans la parie A.

Par lecture graphique, en faisant apparaître les constructions utiles, on demande :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de leucocytes par muni de sang au bout de 14 heures.
On donnera nombre de leucocytes arrondi à un millier près.
\item Au bout de combien de temps, dénombre-t-on \np{18500} leucocytes par
mm$^{3}$ de sang ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 1997
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 1997
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole juin 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

L'objectif de l'exercice est d'exploiter les données statistiques 
fournies par le tableau et le diagramme circulaire de l'annexe,
auxquels on se référera pour répondre aux questions posées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À la fin de l'année 1993, les cas de sida qui ont été déclarés
depuis le début de l'épidémie s'élèvent à $28\:497$.

Combien de cas avaient été déclarés avant 1988 ?
\item Depuis le début de l'épidémie jusqu'à la fin de l'année 1993,
le nombre de personnes mortes des suites du sida est égal à 16 331.

Quel est, au cours de cette période, le pourcentage des personnes
déclarées atteintes du sida qui sont mortes des suites de cette maladie ?

(arrondir le taux de pourcentage à l'entier le plus proche).
\item Parmi les nouveaux cas de sida déclarés en 1993 :
	\begin{enumerate}
		\item calculer le pourcentage des toxicomanes
		\item calculer le nombre d'enfants infectés par voie
materno-f{\oe}tale (arrondir à l'entier le plus proche)
	\end{enumerate}
\item Dans un manuel de S.M.S, on peut lire : \og Le nombre de nouveaux
cas déclarés en France augmente chaque année.
\textbf{La progression de 1991 à 1992 approche 10\,\%}.
Cependant, on observe un \textbf{léger tassement de cette progression
de 1992 à 1993.} \fg

Justifier à l'aide de calculs chaque information en gras dans
le texte ci-dessus.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textsl{ANNEXE}

\vspace{0,2cm}

\textbf{LE SIDA EN FRANCE}

\end{center}

\begin{minipage}{6cm}
Cas de Sida déclarés chaque année\\
en France depuis 1988

Au 31.12.1993, le nombre de cas de sida recensés en France depuis
le début de l'épidémie s'élève à $28\:497$.

\textit{Source : Sciences sanitaires et sociales\\
 Term. SMS - 1995}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
Année & \shortstack{Nombre de cas \\ nouveaux déclarés} \\ \hline
1988 & \np{2162} \\ \hline
1989 & \np{3728} \\ \hline
1990 & \np{4262} \\ \hline
1991 & \np{4775} \\ \hline
1992 & \np{5249} \\ \hline
1993 & \np{5618} \\ \hline
\multicolumn{2}{m{5cm}}{\emph{Source : BEH,
 réseau national de santé publique}}
\end{tabular}
\end{center}


\end{minipage}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Répartition des nouveaux cas de sida déclarés
  en France en 1993\\ selon le mode de transmission.}
    
\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{5}{0}{43.2}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{5}{43.2}{100.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray]{5}{100.8}{104.4}
\pswedge{5}{104.4}{244.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{5}{244.8}{345.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{5}{345.6}{360}
\rput(5.6;21.5){autres}
\rput(5.6;16.4){$12\:\%$}
\rput(5.4;71.5){hétérosexuels}
\rput(3,4.46){$\:16\%$}
\rput(-1,6){enfants infectés}
\rput(-1,5.6){par voie materno-f{\oe}tale }
\rput(-1,5.2){$1\:\%$}
\rput(4.5;180){homosexuels masculins}
\rput(-5.7,-0.6){$39\:\%$}
\rput(5.8;295){toxicomanes}
\rput(4.9;-6){hémophiles et transfusés}
\rput(6,-0.9){$4\:\%$}
\rput(0,-6){\small \textit{Source : la Santé en France, rapport du haut comité
  de la santé publique 1994}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\textbf{PARTIE A : ÉTUDE D'UNE FONCTION}
\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = [\np{1800}~;~\np{2050}]$ par

\[f(x) = \text{e}^{0,003 x - 2} .\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.
On justifiera le sens de variation et on complètera ce tableau avec les valeurs
exactes $f(\np{1800})$ et $f(\np{2050})$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques 
suivant ; on fera figurer les valeurs arrondies à $10^{-1}$ près.

\begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|c}|} \hline
$x$ 	&\np{1800} 	&\np{1850} 	&\np{1900} 	&\np{1950} 	&\np{2000} 	&\np{2050}  \\ \hline
$f(x)$	& 30 		&    		&40,4 		&     		&     		&      \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On graduera l'axe des abscisses à \textbf{partir de $\np{1800}$ et celui des ordonnées à partir de $30$.}

On prendra pour unités graphiques :

en abscisse 1 cm pour 20 unités

en ordonnée 1 cm pour 2 unités.

Tracer soigneusement la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant
le tableau de valeurs ci-dessus.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PARTIE B : APPLICATION}

\medskip

On admet que, pour $x$ compris entre 1800 et 2000, la relation

\[f(x) = \text{e}^{0,003 x - 2}\]

donne une approximation convenable du nombre d'habitants d'un pays (en millions) en fonction de l'année $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la population de ce pays en 1970. Donner le résultat
arrondi à la centaine de mille la plus proche.
\item On constate sur la courbe de la partie A que l'équation
$f(x) = 38$ admet sur l'intervalle [1800 ; 2000] une seule solution
que l'on nomme $\alpha$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître
les constructions utiles, la valeur de $\alpha$.
Donner le résultat de la lecture arrondi à la dizaine la plus proche.
		\item Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 38$
et retrouver par le calcul le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 1997
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 1997
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie juin 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Une classe de terminale SMS réalise, dans le cadre de la semaine de sensibilisation aux dangers du tabac, une enquête auprès de tous les professeurs du lycée.

Cet établissement compte $110$ professeurs, dont 70\,\% sont des femmes.

Parmi tous les professeurs du lycée, $42$ ont déclaré fumer.

Les élèves chargés du dépouillement constatent que $\dfrac{1}{3}$ des fumeurs, sont des femmes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant à l'aide des indications données.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
          & Hommes & Femmes & Total \\ \hline
Fumeurs    &  &  &   \\ \hline
Non-fumeurs&  &  &   \\ \hline
Total      &  &  & 110  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\item Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,1\%.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage des personnes qui fument parmi
tous les professeurs du lycée ?
		\item Quel est le pourcentage d'hommes parmi les fumeurs ?
		\item Quel est le pourcentage de fumeurs parmi les hommes ?
	\end{enumerate}
\item Si on choisit un professeur femme au hasard, tous les professeurs
femmes ont la même probabilité d'être choisie, quelle est la probabilité que
ce soit un professeur qui fume ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

Étude, sur l'intervalle $[0,1~;~3]$, de la fonction $f$ définie par

\[f(x) = (\ln x)^2 + \ln x - 2.\]

\textbf{Partie A}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs
décimales arrondies au centième de $f(x)$.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$    	&0,1 	&0,25 		&0,5 	&1 	&2 		&3  \\ \hline
$f(x)$  &  		&$-1,46$ 	&   	&   &$-0,83$&   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que, pour tout $x$ de $[0,1~;~3]$, $f(x) = \dfrac{2 \ln x + 1}{x}$.
		\item Résoudre, sur l'intervalle $[0,1 ; 3]$, l'équation
$f'(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Voici le tableau de variation de $f$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|l*{3}{>{\centering \arraybackslash}X} r|}
\hline
$x$ 			&0,1 		&  			&$\text{e}^{-0,5}$ 	&  			&3 \\ \hline
Signe de $f'(x)$&  			&  			&0					& 			&  \\ \hline
       			&$f(0,1)$	&       	&  					&       	&$f(3)$\\
Variation de $f$&  			&$\searrow$	&   				&$\nearrow$	&  \\
       			&   		&      		&$m$ 				&         	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire ce tableau et compléter, en justifiant,
la ligne donnant le signe de $f'(x)$.
		\item Montrer, sans utiliser la calculatrice, que
$m = - \dfrac{9}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(\text{e})$ et $f\left(\text{e}^{-2}\right)$.
		\item En déduire une conséquence graphique.
	\end{enumerate}
\item Soit $B$ le point de $C$, d'abscisse 1.

Rappeler l'ordonnée du point $B$.

Calculer le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point $B$.
\item Dans le repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 5 cm,
	\begin{enumerate}
		\item tracer la tangente à $C$ au point $B$ ;
		\item tracer la courbe $C$. (Réaliser ce tracé à partir
des points de $C$ dont les coordonnées ont été obtenues depuis le début de l'exercice).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 1997
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 1997
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

\textbf{La feuille annexe qui sera remise avec la copie}, donne
sous forme de tableau la répartition de la population française 
(en milliers) suivant la catégorie socioprofessionnelle (CSP) 
et suivant le sexe (source INSEE recensement 1990).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de la feuille annexe (à rendre avec
la copie).
\item On choisit, au hasard, une personne dans la population.
Tous les choix sont équiprobables. Les probabilités calculées 
seront arrondies au centième.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $A$, $B$, $C$
 suivants :

$A$ : \og être un homme inactif \fg{} ;

$B$ : \og être ouvrier (homme ou femme) \fg{} ;

$C$ : \og être une femme active \fg.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement

$D$ : \og être employé ou être un homme \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
C.S.P.       				& Hommes 	& Femmes	& Total \\ \hline
Agriculteurs 				& 633    	&     		&\np{1011}\\ \hline
Artisans, commerçants 		& \np{1239} &581 		&  \\ \hline
Cadres supérieurs 			& \np{1846} &   		&  \\ \hline
Professions intermédiaires 	& \np{2617} &\np{2094} 	& \\ \hline
Employés 					& \np{1543} &  			&\np{6923} \\ \hline
Ouvriers 					&  			&\np{1599} 	&  \\ \hline
Inactifs 					& \np{13665}&\np{18206} &  \\ \hline
TOTAL 						& \np{27549}&\np{29081} &\np{56630} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A : ÉTUDE D'UNE FONCTION}
\bigskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0~;~5]$ par

\[f(t) = 10^{4} \text{e}^{0,2 t}.\]

Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités graphiques :  

3 cm pour une unité sur l'axe des abscisses

5 cm pour \np{10000}~unités sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur $I$.

On justifiera le sens de variation et on précisera les valeurs exactes $f(0)$
et $f(5)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques
suivant en arrondissant les résultats à la centaine la plus proche.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$   &0   	&1 	&2 	&3 	&4      		&5  \\ \hline
$f(t)$&30 	&  	&  	&  	&\np{22300} 	&    \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer la courbe $C$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 \textbf{PARTIE B : APPLICATION}
\medskip

On étudie la croissance d'une culture bactérienne en milieu liquide 
non renouvelé en fonction du temps $t$ exprimé en heure, pour $t$
compris entre $0$ et $5$. La densité bactérienne donnant le nombre 
de bactéries par millilitre est une fonction du temps $t$, notée $y$.

Dans l'étude faite, la densité bactérienne $y$ est la solution
de l'équation différentielle $y' = 0,2 y$ qui vérifie la condition
initiale $y(0) = \np{10000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la densité bactérienne de cette culture est la
fonction $f$ étudiée dans la partie A.
\item Calculer la densité bactérienne à l'instant $t = 4,5$. On donnera
le résultat arrondi à la centaine la plus proche.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaÓtre les constructions
utiles, l'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne 
est inférieure ou égale à \np{20000}.
		\item Retrouver le résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 1997
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 1997
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie }}
\rfoot{\small{novembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Nouvelle-Calédonie novembre 1997~\decofourright}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textit{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Un club de vacances est constitué de 300 adhérents qui pratiquent chacun une
activité et une seule parmi les suivantes : la natation, l'escalade ou le VTT.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des adhérents sont des filles. 
\item 30\,\% des adhérents pratiquent le VTT. 
\item 10\,\% des adhérents pratiquent l'escalade et parmi eux 60 \%
  sont des garçons. 
\item Il y a deux fois plus de garçons que de filles qui pratiquent
  le VTT.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
                   &Natation 	&Escalade 	&VTT 	&Totaux \\ \hline
 Nombre de filles  &          	&          	&     	&        \\ \hline
 Nombre de garçons &          	&          	&     	&        \\ \hline
 Totaux            &          	&30    	 	&     	&300   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item  Dans cette question, les résultats seront présentés sous forme
d'une fraction irréductible.

 On choisit au hasard un adhérent de ce club. 

 Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 

 $A$ : \og Cet adhérent est un garçon qui pratique l'escalade \fg{} ; 

 $B$ : \og Cet adhérent ne pratique pas la natation \fg{} ; 

 $C$ : \og Cet adhérent est une fille qui pratique la natation
 ou un garçon qui ne pratique pas la natation \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\bigskip
 \textit{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées
indépendamment l'une de l'autre.}

On se propose d'étudier une fonction $f$ définie et dérivable
sur l'intervalle [0~;~2]. On désigne par $f'$ la fonction dérivée
de la fonction $f$.

\bigskip
\textbf{Partie A}
\bigskip

La courbe représentative de $(C)$ de $f$ est donnée dans le repère
orthonormal \Oij{} par le graphique ci-dessous.

On précise que la droite $(T)$ passant par le point O et le point
de coordonnées (1 ; 1) est tangente à $(C)$ en O.

\begin{center}\psset{unit=5cm,comma=true}

\begin{pspicture}(0,-0.4)(2,1.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-0.4)(2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,-0.4)(2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1.2,1.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 2 mul 1 add ln x sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,-0.35){$(C)$} \uput[dr](1.2,1.2){$(T)$}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant ce graphique, donner la valeur de $f(0)$ et expliquer
pourquoi 

$f'(0) = 1$.
\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation
$f(x) = 0$, sur l'intervalle [0~;~2].

Donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de la plus grande des solutions.
\item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax + \ln (2x + b)$,
où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la valeur trouvée pour $f(0)$, calculer $b$.
		\item Démontrer que $f'(x) = a + \dfrac{2}{2x+1}$.
		
En utilisant la valeur trouvée pour $f'(0)$, calculer $a$.
		\item En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur [0 ; 2] par:

\[f(x) = - x + \ln (2x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [0 ; 2],

\[ f'(x) = \frac{- 2x + 1}{2x + 1}.\]

		\item En déduire le signe de $f'(x)$, puis dresser
le tableau de variation de $f$ sur [0~;~2].
	\end{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter par les valeurs
décimales arrondies à $10^{-2}$ près de $f(x)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$   &0,5 	&1 	&1,1 	&1,2 	&1,3 	&1,4 	&1,5 	&2  \\ \hline
$f(x)$&     &   &     	&     	&     	&$-0,06$&     	&    \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie novembre 1997   %%%%%%%%
\end{document}