\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 1999}
\lhead{Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  1999 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre  1999}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1999} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1999} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1999} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Reunionsep}{La Réunion septembre 1999} \dotfill \pageref{Reunionsep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 1999} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ 
\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 1999} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\
\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 1999
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles-Guyane juin 1999~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la répartition des 250 salariés de l'entreprise Pharmaprod suivant leur âge (en années) et leur salaire mensuel (en milliers de Francs) : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\diagbox{Âge}{Salaire}&[7~;~11 [& [11~;~15[ &[15~;~19[ &[19~;~23[&Total\\ \hline 
[20 ; 30[ 	&20 &20 	&12 &8 	&60 \\ \hline
[30 ; 40[ 	&13 &30 	&15 &12 &70 \\ \hline
[40 ; 50[ 	&5 	&25 	&10 &10 &50 \\ \hline
[50 ; 60[ 	&2 	&25 	&33 &10 &70 \\ \hline
Total 		&40 &100 	&70 &40 &250 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans la tranche d'âge [40 ; 50[, quel est le pourcentage de salariés percevant un salaire mensuel supérieur ou égal à \np{15000}~Francs ? 
		\item Quel est le pourcentage de salariés qui perçoivent moins de \np{11000} Francs par mois parmi ceux qui ont moins de 50 ans ? Arrondir la réponse à $10^{- 1}$ près. 
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard l'un des salariés de l'entreprise. On supposera que tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
		 
$A$ : \og Le salarié choisi perçoit un salaire mensuel compris dans la tranche [11 ; 15[.\fg
 
$B$ : \og Le salarié choisi appartient à la tranche d'âge [30~;~40[.\fg		
\item Définir par une phrase l'évènement $A~\cap~B$ et calculer la probabilité des évènements $A ~\cap~ B$ et $A ~\cup~ B$.
		\item On sait que ce salarié perçoit un salaire mensuel compris dans la tranche [15~;~19[. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 40 ans ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
 
\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5 ; 25] par : 

\[f(x) = 8,68 \ln x + 93,98.\]
 
On appelle $C$ sa courbe représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5 ; 25]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5 ; 25]. 
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant, en faisant figurer les valeurs arrondies à l'entier le plus proche.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& 0,5	&1	&2	&5		&10	&16	&25\\ \hline 
$f(x)$	&88 	&	&	&108	&	&	&122\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le tracé, on prendra 1~cm pour 2~unités, en abscisses et en ordonnées. De plus, on graduera l'axe des ordonnées à partir de $86$.
 
Tracer la courbe $C$. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

\textbf{Application}

\medskip 

Quand l'oreille d'une personne normale est soumise à une pression acoustique $x$, exprimée en bars, l'intensité sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par : 

\[f(x) = 8,68 \ln x + 93,98.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intensité sonore, en décibels, correspondant à une pression acoustique de 14 bars : 
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles sur le graphique de la partie A ;
		\item par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Une personne normale ne peut supporter un bruit d'intensité supérieure à $120$~décibels. 

Déterminer la pression, en bars, que l'oreille de la personne subit si elle est soumise à une intensité sonore de $120~$décibels : 
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles sur le graphique de la partie A ;
		\item en résolvant par le calcul l'équation $f(x) = 120$.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 1999
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole  juin 1999~\decofourright}}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

L'association sportive du lycée Mozart ne propose que deux sports : le hand-ball et le basket-ball.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, sachant que :

$\bullet$ Le nombre total d'élèves inscrits est $200$.

$\bullet$ Il y a autant d'élèves dans chaque sport.
 
$\bullet$ L'association sportive comporte 45\,\% de garçons.

$\bullet$ Parmi les basketteurs, il y a autant de filles que
  de garçons.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
        &  Hand-ball & Basket-ball & Total \\ \hline
Garçons &            &             &       \\ \hline
Filles  &            &             &       \\ \hline
Total   &            &             &200  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard un élève inscrit  l'association sportive.
On suppose que tous les élèves inscrits ont la même probabilité d'être  choisis. 

Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions
  irréductibles.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève pratique
  le basket-ball.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit une fille.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit
  une fille et qu'elle pratique le basket-ball.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit
  une fille ou pratique le basket-ball.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = [0 ; 45] par :

\[f(t) = 45 t^2 - t^3. \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que :   $f'(t) = 3 t (30 - t)$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|l m{3cm} r|}\hline
$t$     		& 0 &    & 45 \\ \hline
$3t$     		&   &    &    \\ \hline
$30 - t$     	&   &    &    \\ \hline
$3t(30 - t)$ 	&   &    &    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle
I.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$  	& 0 & 10 & 20 		&25  & 30 & 35  		& 40 & 45  \\ \hline
$f(t)$	&   &    &\np{10000}&    &    &\np{12250}	&    &     \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal ; pour le graphique,
on prendra : 

- 2 cm en abscisses pour 10 unités ;

- 1 cm en ordonnées pour \np{1000} unités.

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$,  en utilisant le tableau
de valeurs de la question précédente. 

Tracer sur le dessin les tangentes aux points d'abscisses $t = 0$ et $t = 30$.
\end{enumerate}

\vspace{0,6cm}

\textbf{Partie B : Application}

À la suite d'une épidémie dans une région, on a constaté que le nombre 
de personnes malades $t$ jours après l'apparition des premiers cas est donné par :

\[f(t) = 45 t^2 - t^3,~ \mbox{pour }t \mbox{ appartenant  l'intervalle }
[0~;~45].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, déterminer le jour où le nombre de
personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser
le nombre de personnes malades ce jour-là.
\item Déterminer graphiquement la période pendant laquelle le nombre
de personnes malades est supérieur ou égal à \np{10000} (faire apparaître sur le dessin les traits de construction utiles).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Polynésie juin 1999
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 1999~\decofourright}}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice \hfill 8 points}

\medskip

Dans une entreprise pharmaceutique de dimension européenne, une étude
statistique a montré que sur \np{10000}~clients de la communauté européenne, $82\,\%$ sont français.

On sait aussi que $4\,\%$ des clients français et $10\,\%$ des clients étrangers ont eu un incident de paiement dans l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant où les
pourcentages ci-dessus sont respectés.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de clients français
     &Nombre de clients étrangers & TOTAL \\ \hline
Nombre de clients ayant  eu un incident de paiement 	&  &  &  \\ \hline
Nombre de clients n'ayant pas eu d'incident de paiement &  &  &  \\ \hline
TOTAL                                                	&  &  & \np{10000} \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On choisit un client au hasard parmi les \np{10000}.

On est en situation d'équiprobabilité.

On considère les évènements suivants :

$F$ : \og Le client choisi est français \fg.

$I$ : \og Le client choisi a eu un incident de paiement \fg.

	\begin{enumerate}
		\item  Définir par une phrase les évènements $\overline{F}$,
$\overline{I}$ et $\overline{F}\cup\overline{I}$.
		\item  Calculer les probabilités des évènements suivants :
$F$, $\overline{F}$, $F\cap I$, $F\cup I$.
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement :

\og Le client choisi est un étranger qui n'a pas eu d'incident de paiement \fg.
	\end{enumerate}
\item On choisit un client au hasard parmi ceux ayant eu un incident de paiement.

Déterminer à $10^{-2}$ près par défaut la probabilité que le client soit français.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle
I = [0~;~4] par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{2} x + \text{e}^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 
\right)},\]

et sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 5~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation :
		
\[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} e^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 
\right)}\geqslant 0.\]

En déduire le signe de $f'(x)$ sur I.
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (valeur
décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ 	&0 	&1 	&2 		&3 	&4 \\ \hline
$f(x)$ 	&  	&  	&1,60 	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Tracer la courbe $C$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

On admet que le fonction $f$ de la \textbf{partie A} représente le prix
de revient des composants électroniques fabriqués par l'entreprise 
RAMSA : $x$ étant le nombre de centaines de composants électroniques
fabriqués, leur prix de revient, en milliers de francs, est exprimé 
par $f(x)$.

D'autre part on désigne par $p(x)$, en milliers de francs, le prix
de vente de ces composants électroniques. Un composant étant 
vendu 6~F pièce, on a donc :
\[p(x) = 0,6x.\]

\begin{enumerate}
\item  Tracer sur le graphique de la \textbf{partie A} la droite $D$
 représentant la fonction $p$.
\item  On appelle $H$ le point d'intersection de la droite $D$ et de
la courbe $C$. À partir du graphique, déterminer un encadrement
à $10^{-1}$ près de l'abscisse $x_H$ du point $H$.
\item  On appelle $g(x)$ la différence entre le prix de vente des
composants et leur prix de revient (en milliers de francs).

Justifier que la solution de l'équation $g(x) = 0$ est l'abscisse
du point $H$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que
		
\[g(x) = 0, 1 x - \text{e}^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 \right)}.\]

		\item  Donner les valeurs approchées à $10^{-4}$ près
par défaut de $g(3,24)$ et $g(3,25)$.
		\item  En déduire la quantité minimale de composants
électroniques qui doit être vendue pour que l'entreprise fasse des bénéfices, c'est-à-dire pour que $g(x)$ soit positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  La Réunion septembre 1999
\hypertarget{Reunionsep}{}

\label{Reunionsep}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion   septembre 1999~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Voici les résultats d'un sondage effectué au début de l'année 1998 auprès de \np{2000}~personnes, à propos d'Internet :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;
\item[$\bullet~$] 35\,\% des personnes interrogées ont entre 10 et 24~ans et, parmi celles-ci, 80\,\% déclarent être intéressées
par Internet ;
\item[$\bullet~$] 30\,\% des personnes interrogées ont entre 50 et 80~ans et, parmi celles-ci, 85\,\% ne sont pas intéressées par
Internet.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Intéressés par Internet&Non intéressés par Internet&Total\\ \hline
Moins de 25 ans	&	&70	&\\ \hline
De 25 à 50 ans	&	&	&\\ \hline
Plus de 50 ans	&	&	&\\ \hline
Total			&	&	&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit au hasard une personne parmi les \np{1000} interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

Dans la suite, si $E$ est un évènement, on note $p(E)$ sa probabilité.

On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og la personne interrogée est intéressée par Internet \fg{};
\item[] B : \og la personne interrogée a moins de 25 ans \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{B}$, puis calculer $p\left(\overline{B}\right)$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$, puis calculer $p(A \cap B)$.
		
En déduire $p(A \cup B)$.
		\item On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité qu'elle ait moins de 50~ans ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~25] par:

\[ f(x) = 8,68\ln x + 93,98.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~25]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~25].
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant, en faisant figurer les valeurs arrondies à l'entier le plus proche.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& 0,5	&1	&2	&5		&10 &16 &25\\ \hline
$f(x)$	&88		&	&	&108	&	&	&122\\ \hline
\end{tabularx} 


\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le tracé, on prendra 1~cm pour 2~unités, en abscisses et en ordonnées. De plus, on graduera l'axe des ordonnées à partir de 86.
 
Tracer la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Application}

\medskip
 
Quand l'oreille d'une personne normale est soumise à une pression acoustique $x$, exprimée en bars, l'intensité sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par :
 
\[f(x) = 8,68 \ln x + 93,98.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'intensité sonore, en décibels, correspondant à une pression acoustique de 14 bars : 
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles sur le graphique de la partie~A ; 
		\item par le calcul.
	\end{enumerate} 
\item Une personne normale ne peut supporter un bruit d'intensité supérieure à 120~décibels. Déterminer la pression, en bars, que l'oreille de la personne subit si elle est soumise à une intensité sonore de 120~décibels : 
	\begin{enumerate}
		\item  graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles sur le graphique de la partie~A ; 
		\item en résolvant par le calcul l'équation $f(x) = 120$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion septembre 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 1999
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{Septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Métropole septembre 1999~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Monsieur M. vend des boissons rafraîchissantes ; il note ses ventes 
six jours de suite au cours desquels la température maximale 
est passée de 18 \degres C à 30 \degres C. Les résultats sont donnés dans
le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Jour & $1\up{er}$ & $2\up{e}$ & $3\up{e}$ & $4\up{e}$ & $5\up{e}$ & $6\up{e}$ \\ \hline
Température $x_i$ (en \degres C) & 18 & 20 & 22 & 26 & 28 & 30 \\ \hline
Nombre $y_i$ de boissons vendues & 24 & 44 & 62 & 100 & 132 & 148 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ ;
on graduera l'axe des abscisses à partir de 16 et on prendra
pour unités graphiques : 

\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$]  1 cm en abscisse ; 
		\item[$\bullet~$]  1 cm pour 10~boissons vendues en ordonnées.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Montrer que la droite d'équation $y = 10,4x - 164$ passe
par le 2\up{e} et le 6\up{e} point.

Tracer cette droite.

\emph{On admettra que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points considéré}.

\item Dans cette question, on fera apparaître les traits de construction permettant de répondre.

Déterminer graphiquement, à l'aide de la droite d'ajustement précédente :

	\begin{enumerate}
		 \item l'augmentation du nombre de boissons vendues pour
 une élévation de 5~\degres C de la température ;

		\item combien Monsieur M vendrait de boissons si la température était de 25 ~\degres C ;

		\item à partir de quelle température il vendrait au moins
 $160$~boissons.

	\end{enumerate}
 
\item Retrouver le résultat de la question \textbf{3. c.} par le calcul.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1950 ; 2000]
par :

\[f(x) = - \np{5430718} + \np{722457} \ln x,\]

et on appelle $(C)$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$.

\item Après avoir déterminé le signe de $f'(x)$, dresser le tableau
de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1950~;~2000]$.
Préciser dans ce tableau de variations les valeurs de $f(x)$,
arrondies à l'entier le plus proche, aux extrémités de l'intervalle 
d'étude. 

\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les
résultats l'entier le plus proche) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$    &1955   		&1960 	&1965   	&1970  		&1975 	&1980 	&1985  		&1990   	&1995 \\  \hline
$f(x)$ &\np{44166} 	&  		&\np{47852} &\np{49688}	&  		&  		&\np{55168}	&\np{56986} &     \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le plan est muni d'un repère orthogonal ; on prendra pour le
tracé :
 
\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] $2$~cm pour $10$~unités sur l'axe des abscisses ; 
		\item[$\bullet~$]$5$~cm pour \np{10000}~unités sur l'axe des ordonnées. 
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
			
On graduera l'axe des abscisses à partir de 1950 et l'axe des ordonnées à partir de \np{40000}.

Tracer la courbe $(C)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Évolution de la population française}

\medskip

On suppose que l'évolution de la population française entre 1950 
et 2000 obéit à la formule suivante :

\[f(x) = - \np{5430718} + \np{722457}\ln x,\]

où $x$ représente l'année et $f(x)$ le nombre d'habitants en milliers
(d'après données INED, 1995).

Dans les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique de la question \textbf{A. 4}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Déterminer graphiquement le nombre d'habitants en France en 1962.
\item  Déterminer graphiquement l'année en laquelle il y avait en France \np{53711000}~ habitants.
\item  Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 1999
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\label{Polynesiesep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{Septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Polynésie septembre 1999~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 10 points}

\medskip
 
Lors de travaux pratiques de chimie, on décide d'étudier le pH de mélanges d'acide et de base conjugués : l'acide acétique et l'acétate de sodium.
 
Voici le déroulement de l'expérience : on prépare différents mélanges d'une solution d'acide acétique avec une solution d'acétate de sodium.
 
On appelle V$_{\text{A}}$ le volume d'acide acétique et V$_{\text{S}}$ le volume d'acétate de sodium mélangés. On mesure le pH de chaque mélange obtenu et on peut ainsi établir le tableau de valeurs suivants :

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i} =  \ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$& $-2,30$& $-1,84$& $-1,38$& $-0,92$& $0$\\ \hline 
$y_{i} = \text{pH}$& 3,70& 3,90& 4,10& 4,29& 4,70 \\ \hline
$x_{i} =  \ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$&0,69& 1,15& 1,61& 2,07& 2,30  \\ \hline  
$y_{i} = \text{pH}$& 4,99& 5,19& 5,40& 5,60& 5,71 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le but de cette expérience est de mettre en évidence une relation entre le pH de la solution et le nombre $\ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Placer les points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal 

\Oij, d'unité graphique 4~cm.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point G$_{1}$  point moyen des cinq premiers points et de G$_{2}$ point moyen des cinq derniers. 
		\item Placer les points G$_{1}$ et G$_{2}$ sur votre graphique. Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). 
		\item Déterminer l'équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) de la forme $y = mx + p$, où met $p$ seront déterminés à $10^{-2}$ près par défaut. 
 	\end{enumerate}
\item On admet que la droite (G$_{1}$G$_{2}$) constitue un ajustement affine satisfaisant du nuage de point $M_{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer par le calcul le pH de la solution lorsque $\ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right) = - 0,5$. 
 
		\item  Retrouver graphiquement ce résultat en faisant apparaître les constructions utiles, et en expliquant les démarches.
	\end{enumerate}
\item Calculer, à $10^{-2}$ près par défaut, le rapport de volumes $\left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$ du mélange si le pH est de 5,5. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~14]$ par 

\[f(t) = 1,3\text{e}^{-0,3t}.\]
 
On notera $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ; 
\item[$\bullet~$] 20~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(t)$. 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ ; en déduire les variations de $f$. 
\item Résoudre sur l'intervalle $[2~;~14]$ l'équation : $f(t) = \dfrac{1}{2}f(2)$. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on valeurs décimales approchées à $10^{- 2}$ près par défaut).

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&2	&4	&6	&8	&10	&12	&14  \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une personne dont les rappels antitétaniques ne sont pas à jour se blesse sur une clôture rouillée. Le médecin procède alors à l'injection d'un sérum antitétanique suivi de l'injection d'un vaccin antitétanique.
 
À partir du 2\up{e} jour suivant l'injection, et cela jusqu'au 4\up{e} jour, on mesure le taux des antitoxines sériques présentes dans le plasma de la personne. On admet que ce taux est donné, en fonction du nombre de jours, par la fonction étudiée  dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant le graphique, donner le taux des antitoxines présentes dans le  plasma le 7\up{e} jour.
\item  On veut déterminer au bout de combien de jours le taux mesuré est inférieur  à la moitié de celui mesuré le 2\up{e} jour. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une réponse en utilisant une méthode graphique (faire figurer sur le  graphique les constructions utiles).
		\item Expliquer le résultat précédent à l'aide d'un calcul fait dans la partie A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 1999  %%%%%%%%%%%
\end{document}