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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2002}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  2002~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2002}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2002} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2002} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2002} \dotfill \pageref{LaReunion}\\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2002} \dotfill  \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2002} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2002} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2002} \dotfill  \pageref{Caledonienov}\\
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane juin 2002
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   Antilles -- Guyane  juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Un institut de sondage a interrogé 800 personnes de la manière suivante :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$25\,\%$ des personnes interrogées habitent en zone rurale, les
 autres en zone urbaine ;
\item[$\bullet~~$]$60\,\%$ des personnes interrogées ont été consultées par téléphone, les autres personnes ayant été interrogées \og en face à face \fg{} par un enquêteur ;
\item[$\bullet~~$]$55\,\%$ des personnes habitant en zone urbaine ont été consultées par téléphone.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Dans les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, les résultats seront donnés à 0,01 près.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau d'effectifs 
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 						&Habitant en  zone rurale	&Habitant en  zone urbaine	&Total\\ \hline
Personnes interrogées  par téléphone	& 				& 				& \\ \hline
Personnes interrogées en  face à face 	& 				& 				& \\ \hline
Total 					&200 			& 				&800 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\vspace{0,2cm}

\item Calculer le pourcentage de personnes habitant en zone rurale
 parmi celles qui ont été consultées par téléphone.
 
\vspace{0,2cm}

\item On choisit au hasard une personne interrogée.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

$R$ : \og la personne choisie habite en zone rurale \fg{} ;

$T$ : \og la personne choisie a été interrogée par téléphone \fg{}.
		\item Décrire par une phrase les évènements $\overline{T}$ et 
$T \cup R$.
		\item Calculer les probabilités $P\left(\overline{T}\right)$ et $P(T \cup R)$.
	\end{enumerate}

\vspace{0,2cm}

\item On choisit au hasard une personne interrogée \og en face à face \fg{} par un enquêteur. Calculer la probabilité pour que cette personne habite en zone urbaine.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~400] par :

\[f(x) = 65 + 22 \ln (x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur son intervalle de définition. 
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
(arrondir les valeurs de $f(x)$ à l'entier le plus proche)

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0  	&20 	&50 	&80 	&100 	&150 	&200 	&300	&400\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 		&152 	& 		&167 	& 		& 		&191 	& \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan
 rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques :

* 1~cm pour 20~unités en abscisse ;

* 1~cm pour 20~unités en ordonnée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Lors d'une expérience on a mesuré la fréquence cardiaque, en battements par minute, d'un coureur de 400~mètres. Cette fréquence cardiaque est modélisée par la formule :

\[f(x) = 65 + 22 \ln (x + 1).\]

où $x$ représente la distance parcourue depuis le départ $(0 \leqslant x \leqslant 400)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Utiliser les résultats de la \textbf{partie A} pour répondre
 aux questions suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la fréquence cardiaque du sportif au départ de la course ? 
		\item Quelle est la fréquence cardiaque de ce sportif à la mi-course ?
	\end{enumerate}
\item On cherche au bout de combien de mètres la fréquence cardiaque
 du sportif est égale à $175$ battements par minute.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer cette distance graphiquement (laisser apparaître les tracés
 utiles).
		\item La retrouver par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul sur quelle distance la fréquence
 cardiaque du sportif est supérieure ou égale à 165 battements par minute.
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2002
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{juin 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   Métropole  juin 2002 ~\decofourright}}
\end{center}
\vspace{0,25cm}

\begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Chaque année, l'INSERM publie la répartition des causes médicales de décès pour toute la France. Le tableau ci-dessous précise, pour l'année 1998, les différences entre  sexes.

\small{
\begin{center} \begin{tabular}{| l |*{3}{ r |}}\hline
\textbf{Causes de décès} 				&Hommes &Femmes &Total\\ \hline
Maladies infectieuses et parasitaires	&\np{4071} &\np{3917} &\np{7988}\\ \hline
Tumeurs & \np{89310} & \np{58371} 		&\np{147681} \\ \hline
Maladies endocriniennes,
troubles immunitaires 					&\np{6296} 	&\np{9774}  &\np{16070}\\ \hline
Troubles mentaux 						&\np{5814} 	&\np{8754} 	&\np{14568}\\ \hline
Maladie du système nerveux 				&\np{6867} 	&\np{8664} 	&\np{15531}\\ \hline
Maladies de l'appareil circulatoire 	&\np{76653} &\np{89646} &\np{166299}\\ \hline
Maladies de l'appareil respiratoire 	&\np{22031} &\np{21283} &\np{43314}\\ \hline
Maladies de l'appareil digestif  		&\np{13937} &\np{12257}	&\np{26194}\\ \hline
Traumatismes et empoisonnements  		&\np{26388} &\np{17720} &\np{44108}\\ \hline
Autres maladies 						&\np{22832} & \np{29418}&\np{52250}\\ \hline
TOTAL 									&\np{274199}&\np{259804}&\np{534003}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize{(Source: INSERM -Service SC8 : Service d'information 
sur les causes médicales de décès)}}
\end{tabular} 
\end{center}}

\vspace{0,6cm}

\begin{enumerate} 
\item Dans cette question, les résultats seront donnés à  0,1\,\% près. Calculer le pourcentage :
	\begin{enumerate} 
		\item des hommes décédés d'un trouble mental parmi les hommes décédés en 1998 ;
		\item des femmes décédées d'une maladie de l'appareil digestif parmi les femmes
 décédées en 1998. 
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne décédée en 1998. On 
considère les évènements suivants :

$A$ : \og la personne est une femme \fg{} ;

$B$ : \og la personne est décédée d'une tumeur ou d'une maladie de l'appareil circulatoire \fg.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{A}$  et $\overline{A} \cap~ B$, puis calculer leur probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une femme décédée en 1998. 

Déterminer la probabilité pour qu'elle ne soit pas décédée d'une tumeur. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = [0~;~4] par :

\[f(x) = 1,8x\text{e}^{- x} + 0,9.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que :

\[f'(x) = 1,8(1 - x)\text{e}^{- x}.\]

\item Déterminer le signe de $f'(x)$.

\item Donner le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I.

\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les résultats à 0,01 près :

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0 	&0,5 	&1 &1,5 &2  	&3 	&3,5 	&4\\ \hline
$f(x)$ 	& 	&1,46 	&  &  	&1,17 	& 	& 		&1,03\\ \hline
\end{tabularx}
\smallskip

\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction
 $f$ dans un repère orthogonal du plan (unités graphiques : 3 cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 10 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).

Tracer soigneusement la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré fournie.
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

L'hyperglycémie provoquée par voie orale (HGPO) est un examen médical qui étudie une augmentation provoquée de la glycémie. Celle-ci est dosée à jeun le matin, sans petit déjeuner, puis mesurée après ingestion de 75 grammes de glucose.

On admet que la courbe obtenue dans la \textbf{partie A} du problème représente les valeurs obtenues à partir de mesures réalisées chez un sujet en bonne santé.

Les valeurs de $x$ représentent le temps écoulé, en heures, après l'ingestion des 75 grammes de glucose et les valeurs de $f(x)$ représentent la glycémie en grammes par litre.

\emph{Les questions suivantes sont à résoudre graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer, à $10^{-2}$ près, la glycémie de la personne examinée au bout de 2~heures 30~minutes.
\item Déterminer, à $10^{-2}$ près, la valeur maximale de la glycémie. Au bout de combien de temps ce maximum est-il atteint ?
\item Durant combien de temps la glycémie est-elle supérieure à 1,4 gramme par litre ? (exprimer le résultat en heures et minutes).
\item Combien de temps doit s'écouler pour que la glycémie du sujet redescende en dessous de 1,10 gramme par litre ? (Exprimer le résultat en heures et minutes.)
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2002
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{juin 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat   SMS La Réunion  juin 2002~\decofourright}}


\vspace{0,25cm}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

À partir des résultats du recensement de 1990, on a établi les résultats suivants concernant les personnes vivant seules en France en 1990  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les hommes de 25-29 ans représentent 9\,\% de ces personnes ;
\item[$\bullet~$] les hommes de 30-39 ans représentent 8\,\% de ces personnes ;
\item[$\bullet~$] 61\,\% de ces personnes sont des femmes ;
\item[$\bullet~$] 48\,\% de ces personnes sont âgées de plus de 60 ans et parmi celles-ci, les femmes sont trois fois plus nombreuses que les hommes ;
\item[$\bullet~$] il y a autant d'hommes que de femmes dans les tranches d'âges 40--60 ans et 25--29 ans parmi toutes ces personnes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Dans les questions $2$  et $3$,  on donnera les résultats sous
 forme décimale à $0,01$  près}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, en 
pourcentage, la répartition des personnes seules, en France en 1990, selon le sexe et l'âge

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{4}{ >{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
 			& Hommes 	& Femmes 	& Total\\ \hline
25--29 ans 	&			&			& \\ \hline
30--39 ans 	&8 			& 			& \\ \hline
40--60 ans 	&			&			& \\ \hline
60 et plus 	&			&			& \\ \hline
Total 		& 			&61 		&100 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit, au hasard, une personne parmi les personnes qui, en 1990, vivent seules en France,
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 

$A$ : \og la personne est un homme \fg{} ;

$B$ : \og la personne est âgée de plus de 60 ans \fg{} ;

$C$ : \og la personne est une personne de plus de 60 ans ou un homme \fg{}.
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{B}$ et $A \cap~\overline{B}$ puis calculer la probabilité de chacun de ces deux évènements.
	\end{enumerate}
\item On choisit, au hasard, une femme parmi les femmes vivant seules en France en 1990. Quelle est la probabilité $p$ qu'elle soit âgée de plus de 60 ans ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par :

\[f(t) = 2 + 2,75t\text{e}^{1 - t}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'(t)$ et vérifier que

\[f'(t) = 2,75(1 -t)\text{e}^{1 - t}.\]

\item Résoudre l'équation $f(t) = 0$ ; étudier le signe de 
$f(t)$ sur l'intervalle [0~;~4].
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la
 courbe $\mathcal{C}$, au point d'abscisse 0.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
$t$ 	&0 	&0,5 & 1 	&1,5 	&2 	&3 		&4\\ \hline
$f(t)$	& 	&4,27& 		& 		& 	&3,12	&2,55\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Sur une feuille de papier millimétré construire la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$, en prenant 3~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses 2~cm pour 1 unité sur  l'axe des ordonnées.

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Pour vérifier le fonctionnement de la régulation de la glycémie chez un individu, on lui injecte une quantité importante de glucose : on mesure ensuite la concentration d'insuline plasmatique. On 
constate que la concentration d'insuline plasmatique (unité non précisée) en fonction du temps $t$ (exprimé en heures), est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration d'insuline au bout de trois quarts d'heure (on donnera une valeur approchée à $10^{- 2}$ près).
\item Au bout de combien de temps la concentration d'insuline est-elle maximale ?
\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration
d'insuline a doublé (indiquer sur le dessin de la \textbf{partie A} les traits de construction utiles et exprimer le résultat en heures et minutes).
\item Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration d'insuline  reste supérieure ou égale à 4 (indiquer sur le dessin de la \textbf{partie A} les traits de construction utiles et exprimer le résultat en heures et minutes).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2002 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2002
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{juin 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS   Polynésie  juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip 

Un laboratoire étudie la croissance d'une souche de bactéries \textsl{Acétobacter}.

Il obtient les résultats suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $x_i$ (en heures)	&	4& 5	& 6		& 7		&8 	&9 \\ \hline
Nombre $N_i$ de bactéries par unité de volume (en milliers)
						&13,6&21,3	&70,9	&121,5 	&383&590\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Les points de coordonnées $\left(x_i~;~N_i\right)$ ne sont pas alignés.

Le laboratoire décide alors de poser $y_i = \ln \left(N_i\right)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Donner les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $x_i$ (en heures)			&4		&5		&6		&7		&8	&	9\\ \hline
Nombre $N_i$ de bactéries par 	
unité de volume (en milliers)	&13,6	&21,3	&70,9	&121,5	&383&590\\ \hline
$y_i = \ln\left(N_i\right)$		&2,61 	& 		& 		&4,80 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ ; on prendra pour unités :

2~cm en abscisse pour 1 heure, 2~cm en ordonnée pour 1 unité.

De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de 3. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G_1$ des
trois premiers points du nuage, puis les coordonnées du point moyen $G_2$ des trois derniers points du nuage.
		\item Placer $G_1$ et  $G_2$ sur le graphique, puis tracer la droite  $\left(G_1G_2\right)$.
		\item Montrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est : $y = 0,8x - 0,69$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{_2}$ près de $\ln (100)$. 
		\item À l'aide de cette valeur, déterminer graphiquement le temps nécessaire à l'obtention de \np{100000}~ bactéries par unité de volume (on fera apparaître les
constructions utiles).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Une population atteinte d'une maladie M est soignée à l'aide d'un nouveau médicament.

$x$ désigne le nombre de semaines de traitement. On suppose que $x$ décrit l'intervalle [0~;~10].

La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette population soit toujours malade après $x$ semaines de traitement est donnée par :

\[p(x) = (0,5x+ 1)\text{e}^{- 0,5x}.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $p'$ désigne la dérivée de $p$ sur [0~;~10]. Calculer $p'(x)$ et montrer que :

\[p'(x) = - 0,25x\text{e}^{-0,5x}.\]

\item Étudier le signe de $p'(x)$ sur [0~;~10] et dresser le tableau de variations de la fonction $p$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0  &1	&2	&3	&4	&5	&6		&7	&8	&9	&10\\ \hline
$p(x)$	&	&	&	&	&	&	&0,20	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $p$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

$\bullet~$ 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On pourra utiliser les résultats de la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Peut-on affirmer qu'avant le début du traitement toutes les personnes étaient atteintes de la maladie M ?

Justifier la réponse.
\item Déterminer graphiquement le nombre de semaines de traitement pour que la probabilité pour une personne choisie au hasard d'être encore malade, soit  inférieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$ (on fera apparaître les constructions utiles). 
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette 
population ne soit plus malade après trois semaines de traitement ? 
\item La population étudiée comprend mille personnes. Quel est le nombre de  personnes qu'on peut estimer encore atteintes de la maladie M après six semaines de traitement ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles septembre 2002 
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Antilles -- Septembre 2002~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Exercice \hfill 8 points}
\end{center}

Dans un magasin, les paiements se font en espèces, par chèque
ou par carte bancaire. On classe ces paiements en deux catégories :
montant inférieur ou égal à 200 francs et montant supérieur à 200~francs.

Une enquête auprès de 250 clients a donné les résultats suivants:

\bigskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  70\,\% des paiements concernent des sommes inférieures ou égales à 200francs ;
\item  40\,\% des paiements se font par chèque ;
\item  il y a 40 paiements par carte et aucun n'est inférieur ou égal
à 200 francs ;
\item  il y a 80 chèques dont le montant est inférieur ou égal à 
200 francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la répartition
des paiements :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
  										& Paiement en  espèces &Paiement par chèque &
Paiement par  carte & TOTAL \\ \hline
Montant inférieur  ou égal à 200 francs &  		&  &  	&  \\ \hline
Montant supérieur  à 200 francs 		&  		&  &  	&  \\ \hline
TOTAL 									&   	&  & 	&250 \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\emph{(Les résultats numériques demandés dans les questions suivantes
seront arrondis à $10^{-2}$ près).}

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi les 250.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : \og le paiement est en espèces \fg{} ;
 
$B$ : \og le paiement est en chèque d'un montant supérieur à 200
 francs \fg{} ;
 
$C$ : \og le paiement n'est pas un paiement par carte \fg{} ;
 
$D$ : \og le paiement est en chèque ou est supérieur à 200 francs \fg{}.

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi ceux supérieurs à
200 francs.

Quelle est la probabilité $p$ que ce soit un paiement en espèces ?

\item On choisit, au hasard, un paiement parmi ceux effectués en
 espèces.
 
Quelle est la probabilité $p'$ qu'il soit supérieur à 200 francs ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~12]$ par

\[f(x) = 25 + 130 \ln(x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Préciser le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs
approchées de $f(x)$ à  une unité près).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$    &0 	&1 &2 &3 	&4 &5 &6 	&7 &8 &10 	&12 \\ \hline
$f(x)$ &25 	&  &  &205 	&  &  &278 	&  &  &  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté
à un repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses
et 1~cm pour 25~unités sur l'axe des ordonnées).

Tracer $C$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip

Un éleveur a lâché dans une réserve un groupe de 25~lapins adultes.

On considère que le nombre de lapins présents dans la réserve 
en fonction du temps $x$, exprimé en mois, est donné par

\[f(x) = 25 + 130 \ln (x + 1).\]

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre de lapins au bout d'un an.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le nombre
de lapins atteint 285~individus.
 
(\emph{Laisser apparents les traits utiles}).
		\item  Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2002
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat  SMS  Métropole -- septembre 2002~\decofourright}} 
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}

\textbf{\emph{\footnotesize Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice \hfill 8 points}

\medskip

Au lycée Jean Moulin le restaurant scolaire sert chaque jour
de la semaine 900repas. Le vendredi 25 janvier 2002 on propose 
deux plats : l'un de viande, l'autre de poisson. Ces plats
peuvent être accompagnés au choix de riz, de pâtes ou de purée. 

\medskip

Afin de mieux maîtriser ses achats et ses stocks le gestionnaire
du lycée a fait les statistiques suivantes :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  65\: \% des élèves prennent de la viande ;
\item  40\: \% des élèves accompagnent leur plat de pâtes;
\item  30\: \% des élèves accompagnent leur plat de riz.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter après l'avoir reproduit le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
        	&VIANDE 	&POISSON	&TOTAL \\ \hline
Purée  		&  			&  			&  \\ \hline
Pâtes   	&  			&120 		&  \\ \hline
Riz      	&170 		&  			&  \\ \hline
TOTAL		&    		&  			&900 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis à
$10^{-2}$ près si nécessaire.}

\item On choisit un élève au hasard parmi les $900$~élèves qui prennent
leur repas au restaurant scolaire du lycée ce vendredi 25 janvier 2002.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og Cet élève prend de la purée \fg{} ?
 
$B$ : \og Cet élève prend de la viande \fg{} ?
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{A}$
et $A \cap B$ et calculer leur probabilité.
		\item Déduire des questions précédentes la probabilité de $A \cup B$.
		\item Ce jour-là, on choisit au hasard un élève qui prend du poisson.
Quelle est la probabilité qu'il choisisse comme accompagnement du riz ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[4~;~10]$ par :

\[ f(x) = 0,005 \text{e}^{0,8 x} .\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Donner, en le justifiant, le signe de $f'(x)$ sur
 l'intervalle $[4~;~10]$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[4~;~10]$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant
les résultats arrondis à 0,1 près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$    	&4   	&5 	&6 	&7   	&8 	&9 	&10 \\ \hline
$f(x)$ 	&0,1 	&  	&  	&1,4 	&  	&  	&14,9 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Sur une feuille de papier millimétré tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal en prenant 1 cm pour unité sur les deux axes.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie la croissance d'une souche de bactéries cultivée dans
un milieu liquide contenant les substrats appropriés. À l'instant 
$t = 4$, le nombre de bactéries par unité de volume est de \np{100000}.

\bigskip

On admet que, entre les instants $t = 4$ et $t = 10$ ($t$ exprimé en
heures), le nombre de bactéries, exprimé en millions, est égal à $f(t)$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans l'intervalle $[4~;~10]$  l'équation $f(t) = 0,2$.
		\item En déduire le temps nécessaire, en heures et minutes, pour que le nombre de bactéries soit le double du nombre initial.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le temps nécessaire, en heures et minutes, pour que
le nombre de bactéries soit dix fois le nombre initial.
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement (on laissera les traits de construction apparents).
		\item En résolvant une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2002
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie novembre 2002
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS   Nouvelle--Calédonie novembre 2002~  \decofourright\\
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne, en milliard de francs, les montants des dépenses de médicaments ainsi que des dépenses médicales totales, en France, entre 1991 et 1999.

{\small
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{9}{ >{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année 19\ldots					&91 &92 &93 &94 &95 &96 &97 &98 &99\\ \hline
Rang de l'année ($x$)			& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&\\\hline
Dépenses de médicaments			& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&\\ \hline
Dépenses médicales totales ($y$)&  	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source : ministère de l'emploi et de la solidarité (DREES), comptes de la santé}
\end{tabularx}
\end{center}}

\textbf{A.} Pour les questions suivantes, les pourcentages demandés
 seront arrondis à l'entier le plus proche.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item Parmi les dépenses médicales totales, quel pourcentage
 représentaient les dépenses des médicaments en 1999 ?
\item Dans les médias, on a pu lire que les dépenses totales avaient progressé de 3,5\,\% entre 1999 et 2000. Calculer le montant des  dépenses médicales totales en 2000.

On donnera le résultat arrondi au milliard de francs le plus proche.
\item Est-il exact que les dépenses de médicaments ont augmenté
 de plus de 45\,\% entre 1991 et 1999 ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{B.} Sur le graphique ci-dessous est représenté le nuage de points correspondant à la série statistique formée par la 2\up{e} et la 4\up{e} ligne du tableau précédent. On visualise ainsi l'évolution des
 dépenses médicales totales en France entre 1991 et 1999. On estime que l'on obtient un ajustement acceptable de la tendance en considérant la droite passant par les points A (2~;~598) et B(9~;~767).
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(12,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,ticks=x,labels=y]{->}(0,0)(12,900)      
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](1,580)(2,598)(3,625)(4,650)(5,690)(6,700)(7,715)(8,740)(9,880)
\rput{90}(-1.8,400){Dépenses médicales totales}
\rput{90}(-1.4,400){en milliards de francs ($y$)}
\rput(10,-100){Rang de l'année ($x$)}
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(12,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,3cm}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite (AB) sous la forme 
$y = mx + p$.

On donnera pour $m$ et $p$ des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.
\item En déduire une estimation, arrondie au milliard de francs,
 des dépenses médicales totales en 2001. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 	12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty$[ par

\[f(t) = 1 + 1,5 t\text{e}^{-0,25t}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On admet que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à
 la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $f$ peut s'écrire
 
\[f'(t) = (- 0,375t + 1,5)\text{e}^{-0,25t}.\]

		\item Reproduire et compléter le tableau suivant afin de déterminer le signe de $f'$.

\[ \begin{array}{|l|p{5cm} r|}\hline
t			&0	&+ \infty \\ \hline
-0,375t + 1,5		&	& \\ \hline
\text{e}^{-0,25t}	&	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline
f'(t)			& 	& \\ \hline
\end{array}\]

		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty$[.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant pour 
$f(t)$ des valeurs arrondies à $10^{-1}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$		&0	& 1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&11	&13	&15\\ \hline
$f(t)$ 	& 	& 	& 	&3,1& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Au cours d'un effort musculaire, la dégradation anaérobie du glucose produit de l'acide lactique que l'on retrouve dans le sang sous forme de lactate.

Lors d'un exercice musculaire d'une durée de 15~minutes réalisé par un 
individu de 70~kg la concentration de lactate (en millimoles par litre de sang) en fonction du temps est donnée par $f(t)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A} et $t$ le temps exprimée en minutes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la concentration de lactate au repos ?
\item Après combien de minutes d'exercice cette concentration est-elle
 maximale ?
\item Pendant combien de temps la concentration de lactate est-elle
 supérieure à 2~millimoles par litre ? Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique de la \textbf{partie A} les traits de construction utiles. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle--Calédonie novembre 2002
\end{document} 