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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2003}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  2003~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2003}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2003} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2003} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2003} \dotfill \pageref{LaReunion}\\
\hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2003} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2003} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\  
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2003}\dotfill  \pageref{Caledonienov}\\
\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane juin 2003
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS 
 Antilles--Guyane juin 2003~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Devant le nombre de cas croissant de diabètes aux USA, une enquête sur la santé de la population a été effectuée. Les résultats suivants ont été obtenus en interrogeant \np{3000} personnes qui ont entre 18 et 90~ans

$\bullet$	$36\,\%$ des personnes interrogées ont entre 18 et 39 ans et parmi celles-ci 5\,\% sont diabétiques ;

$\bullet$	Le nombre de diabétiques ayant entre 40 et 59 ans est le
 triple de celui des diabétiques ayant entre 18 et 39 ans ;

$\bullet$	Au total, le nombre de personnes non diabétiques est 
\np{2575} mais, parmi elles, seulement 987~personnes ont entre 40 et 59~ans.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Diabétiques&	Non diabétiques&	Total\\ \hline
18 - 39 ans	&			&			&\\ \hline
40 - 59 ans	&			&			&\np{1149}\\ \hline			
60 - 90 ans	&			&			&\\ \hline
Total	    &			&\np{2575}	&\np{3000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0,01 près.

\item On choisit au hasard, une personne parmi les 3\:000 interrogées,
 chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og La personne choisie est diabétique \fg

$B$ : \og La personne choisie a entre 40 et 59 ans \fg

$C$ : \og La personne choisie est diabétique et a entre 40 et 59 ans \fg{}.
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{A}$ et 
$A \cup B$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $\overline{A}$ et $A \cup B$.
	\end{enumerate}
\item On choisit une personne au hasard parmi les personnes âgées
 de 60 à 90~ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit diabétique ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I  = [15~;~40] par

\[f(x) = - 3 x - 318 + 120 \ln(x + 10).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 
\dfrac{3(30-x)}{x + 10}$.
 \item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ à l'aide d'un tableau de signes.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant 
en arrondissant les résultats à 0,1 près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&15	&20	&25	&30	&35	&0\\ \hline
$f(x)$	&23,3	&	&	&	&33,8	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté
 à un repère orthogonal en prenant comme unités graphiques
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses ;
\item 1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées ;  on graduera cet axe à partir  de 20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

On suppose que le pourcentage de femmes fumant du tabac quotidiennement en fonction de l'âge $x$ (en années), depuis 15 ans jusqu'à 40 ans, est le nombre $f(x)$ donné par la formule suivante :

\[f(x) =  - 3 x - 318 + 120 \ln(x + 10).\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer l'âge pour lequel le pourcentage de fumeuses est
 maximal. Justifier la réponse.
\item Calculer le pourcentage de femmes de 23 ans fumant du tabac
 quotidiennement ; donner la réponse à 1\,\% près.
\item À l'aide du graphique de la \textbf{Partie A} et en faisant
 apparaître les traits de construction nécessaires, déterminer à partir de quel  âge plus d'un quart des femmes fument quotidiennement (donner la réponse à  un an près). 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2003
\hypertarget{Metropole} {}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   Métropole  -- juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

\medskip

Un lycée lance une enquête pour connaître les poursuites d'études suivies par les 54~élèves reçus au baccalauréat SMS en 2002.

Pour les 54 élèves lauréats, on a obtenu les renseignements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 14 filles et 1 garçon sont en école d'infirmière,

\item[$\bullet~$] 18 filles et 3 garçons sont en BTS ESF,

\item[$\bullet~$] 12 filles sont entrées dans la vie active,

\item[$\bullet~$] aucun garçon n'est entré dans la vie active,

\item[$\bullet~$] tous les garçons ont répondu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{l|}{} &Fille(s)&	Garçon(s)&Total\\ \hline
En école d'infirmière& & & 15\\ \hline
En BTS ESF& & & \\ \hline
Dans la vie active& & & \\ \hline
Pas de réponse & & & \\ \hline
Total& & &			54\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer le pourcentage de lauréats ayant répondu à l'enquête.
 Arrondir le résultat a $0,1$ près.

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $0,01$ près.}
\item On choisit au hasard un élève parmi les 54 lauréats et on considère les évènements suivants :

$A$ : \og Le lauréat est un garçon \fg{} ;

$B$ : \og Le lauréat a répondu qu'il est en école d'infirmière \fg{} ;

$C$ : \og Le lauréat est un garçon en BTS ESF \fg{} ;

$D$ : \og Le lauréat est une fille qui a répondu être en école d'infirmière \fg.
	\begin{enumerate}  
		\item Écrire l'évènement $D$ à l'aide des évènements $A$ et $B$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$, $C$ et $D$.
		\item Décrire l'évènement $\overline{A} \cup B$ à l'aide d'une phrase. Calculer la probabilité de cet évènement. 
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard un lauréat qui a répondu être en école
 d'infirmière.

Calculer la probabilité que ce lauréat soit une fille.
\end{enumerate}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ~;~ 22] par :

\[f(x) = (960 - 40x)\text{e}^{0,25x}.\]

\begin{enumerate} 
\item	Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = (200 - 
10x)\text{e}^{0,25x}.$

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation : $f'(x) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~22].
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant
 (arrondir les résultats à la centaine près) :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&4& 8& 12& 16&20 &22\\ \hline
$f(x)$& & & \np{4700}& \np{9600} & \np{17500} & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ ; on prendra
 pour unités graphiques :

$\bullet$ 1~cm en abscisses pour 2~unités ;

$\bullet$ 1~cm en ordonnées pour \np{2000}~unités.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les bactéries se multiplient dans le lait et finissent par le transformer en lait caillé.

On admet que pendant 22~heures le nombre de germes par millilitre (ml), pour un temps $x$ en heures, est donné par :

\[f(x) = (960- 40x)\text{e}^{0,25x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant la \textbf{Partie A}, peut-on dire qu'au bout de 4
 heures, la quantité de germes par ml a plus que doublé ? Justifier la réponse.
\item Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles,
 déterminer au bout de combien de temps le nombre de germes par millilitre est égal  à \np{12000}.
\item On sait que le lait se met à cailler 5 heures après que la
 quantité maximale de germes par millilitre, ait été atteinte. Déterminer, dans ce cas précis, à quel moment le lait se met à cailler. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2003
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   La Réunion  juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.\\
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}
\end{center}

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous précise le nombre de personnes vivant
avec le sida à la fin 2001 à travers le monde selon leur situation 
géographique :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|} \hline
\emph{Région} &
\emph{\shortstack{Nombre de personnes\\ atteintes (en millions)}} \\ \hline
Afrique sub-saharienne 				& 28,5 \\ \hline
Afrique du Nord et Moyen-Orient 	& 0,5 \\ \hline
Amérique Latine  					& 1,5 \\ \hline
Caraîbes  							& 0,42 \\ \hline
Amérique du Nord  					& 0,95 \\ \hline
Europe de l'Ouest 					& 0,55 \\ \hline
Europe orientale et Asie centrale 	& 1 \\ \hline
Asie de l'est et Pacifique  		&  1  \\ \hline
Asie du Sud et du sud-est  			& 5,6  \\ \hline
Australie et Nouvelle-Zélande  		& 0,015 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le nombre total de personnes vivant avec le sida à la
fin 2001 ? (réponse arrondie au million près)
\item À partir du tableau ci-dessus calculer le pourcentage de personnes vivant avec le sida résidant en Afrique sub-saharienne (réponse 
arrondie à 0,1\,\% près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Début 2002 on dispose des indications suivantes sur les personnes
vivant avec le sida en 2001 :

\medskip

$\bullet~$ 40~millions de personnes vivaient avec le sida,
  dont 3~millions avaient moins de 15~ans.
  
$\bullet~$ Parmi les 5 millions de nouveaux cas apparus en 2001,
  0,8 millions avaient moins de 15~ans.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide des données ci-dessus, reproduire et compléter le tableau suivant{\nobreakspace}en prenant comme unité le million de personnes :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}} \hline
  							&Moins de 15 ans 	&15 ans ou plus & Total \\ \hline
Nouveaux cas apparus en 2001&0,8 				&  				&  \\ \hline
Cas antérieurs à 2001 		&  					&  				&  \\ \hline
Total 						&  					&  				& 40 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Dans les questions suivantes, donner les résultats sous forme
d'un nombre décimal.}

\bigskip

\item On choisit au hasard une personne vivant avec le sida en 2001.
On considère les évènements suivants :

\bigskip

$A$ : \og  la personne a moins de 15 ans \fg{} ;
 
$B$ : \og la personne a contracté le virus du sida durant l'année 2001 \fg.

\bigskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A\cap B$ et calculer sa probabilité.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A\cup B$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne ayant contracté le virus du 
sida durant l'année 2001.

Déterminer la probabilité pour que cette personne ait moins de
15~ans.

\bigskip

\emph{Les données numériques de cet exercice sont extraites des
estimations de l'épidémie mondiale du sida, publiées en 2002 
par l'ONUSIDA.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5,5] par :

\[f(t) = (6 - t)\text{e}^{0,5t} - 6.\]

\medskip

\begin{enumerate}  
\item Calculer la dérivée puis montrer que, pour tout $t$ de [0~;~5,5] :

\[f'(t) = \frac{1}{2} \text{e}^{0,5t} (4-t).\]

\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~5,5].
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{Donner 
les valeurs approchées arrondies au dixième}) :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{X|}}\hline
$t$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 \\ \hline
$f(t)$ & 0 & 1,1 & 2,2 & 3,5 &  & 6,2 &  &  &  & 6,2 &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer la courbe $C$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un médicament X est produit dans un laboratoire. Pour étudier
la durée d'efficacité de ce produit, on a relevé la quantité 
du principe actif du médicament présente dans le sang d'un malade 
au cours du temps.

\medskip

On admet que le nombre $f(t)$ défini par la fonction $f$
de la \textbf{partie A} de ce problème donne, en milligrammes,
la quantité de ce principe actif présente dans le sang en fonction 
du temps $t$, exprimé en heures, écoulé depuis la prise du
médicament.

\medskip

\emph{Pour la suite du problème, les constructions utiles seront 
laissées apparentes.}

\medskip

\begin{enumerate}  
\item 
	\begin{enumerate}  
		\item Déterminer graphiquement la quantité du principe actif du médicament présente dans le sang du malade au bout de trois heures et quart.
		\item Calculer, arrondie au dixième, la valeur de la quantité obtenue à la question précédente\textbf{(1. a.)}.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul l'instant auquel la quantité de principe 
actif est maximale et donner cette valeur maximale arrondie au 
dixième.
\item Le laboratoire indique que l'efficacité du médicament X est optimale 
tant que la quantité du principe actif présente dans le sang 
du malade est supérieure ou égale à 3~mg. Déterminer graphiquement
durant combien de temps ce médicament est efficace (exprimer 
la durée en heures et minutes).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles septembre 2003 
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Antilles--Guyane septembre 2003~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Depuis quelques années, les médecins se sont engagés à prescrire
à leurs patients davantage de médicaments génériques afin de 
limiter les dépenses de santé qui sont une part importante du 
budget de la Sécurité Sociale en France.

\medskip

Depuis, ce marché a pris un certain essor. Dans le tableau suivant,
a été indiqué, le nombre de boîtes de médicaments vendues dans 
les pharmacies en France, en millions (\emph{arrondis à} \np{100000}  \emph{unités près}) et par trimestre pour les années 2000, 2001 et 2002.

\medskip

{\small\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &
\multicolumn{4}{c|}{2000} &
\multicolumn{4}{c|}{2001} &
\multicolumn{4}{c|}{2002} \\ \hline
Rang du trimestre $x_i$ &
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
Nombre $y_i$ &22,8 & 22,4 & 23 & 32,8 & 33,1 & 30,9 & 28,2 & 40 & 39,4 & 37 & 39,8 & 40,6 \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à cette série dans un 
repère orthogonal en prenant pour unités:

\hspace*{2em}$\bullet$ 1 cm pour 1 rang de trimestre sur l'axe des abscisses;

\hspace*{2em}$\bullet$ 1 cm pour 1 million de boîtes sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à~$22$.

\item On appelle $G_1$ le point moyen des six premiers points
du nuage et $G_2$ le point moyen des six derniers points.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et celles de $G_2$.
		\item Placer ces points sur la figure et tracer la droite $(G_1 G_2)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de la droite $(G_1 G_2)$ peut s'écrire:
$y = \displaystyle\dfrac{5}{3}\; x + \displaystyle\dfrac{65}{3} $.
\item On admet que la droite $(G_1 G_2)$ donne un bon
ajustement affine du nuage et permet une bonne estimation du 
nombre de boîtes de médicaments génériques vendues pour les quatre 
prochains trimestres.

En utilisant graphiquement la droite $(G_1 G_2)$
et en faisant apparaître sur la figure les constructions utiles, 
donner une estimation du nombre de boîtes de médicaments génériques 
qui ont dû être vendues en France durant le premier trimestre 
2003.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par :

\[f(t) = 1 + 20 t\text{e}^{-t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et montrer que $f'(t) = 20 \text{e}^{-t} (1-t)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation: $f'(t) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel
on précisera les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(4)$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant(\emph{arrondir  les résultats à $0,1$ près}) :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$ 	& 0 &0,25 	& 0,5 &1 	&1,5 	&2 		&3 &4 \\ \hline
$f(t)$ 	&  	&  		& 7,1 &  	&  		&6,4 	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de $f$ ; on prendra pour unités
graphiques: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~$] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Application biologique}

\medskip

Un laboratoire travaillant pour une entreprise d'agro-alimentaire
teste un procédé de destruction d'une souche bactérienne S$_{1}$. 
Pour cela, il se propose d'utiliser une deuxième souche bactérienne 
S$_{2}$ capable de synthétiser et libérer un antibiotique dans le 
milieu de culture. Afin de vérifier que la souche S$_{1}$ est sensible 
à cet antibiotique, les deux souches bactériennes sont mises 
en culture simultanément pendant 4~heures ; on suit leur croissance 
au cours du temps en appréciant le nombre de cellules.

On obtient ainsi deux courbes de croissance $C_1$ et $C_2$
correspondant respectivement aux deux fonctions suivantes:

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Souche S$_{1}$: $f(t) = 1 + 20 t\text{e}^{-t}$,
\item  Souche S$_{2}$: $g(t) = 2t + 1$,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

où le temps $t$ est donné en heures, $f(t)$ et $g(t)$ en
milliers de cellules.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la partie \textbf{A}, déterminer l'instant auquel le nombre  de cellules de la souche S$_{1}$ est maximal.
\item Calculer $g(0)$ et $g(2)$. Que peut-on dire de la courbe $C_2$ ?
Tracer $C_2$ sur le dessin de la partie \textbf{A}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement à quels instants les nombres
de cellules des deux souches bactériennes sont égaux (\emph{exprimer
les résultats en heures et minutes}).
		\item Retrouver les résultats de la question \textbf{3. a.} par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2003
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   Métropole -- septembre 2003~\decofourright}}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.\\
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.}}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant donne le nombre de diplômes de certaines professions 
de santé délivrés en 2000 dans la région Languedoc-Roussillon.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}} \hline
Profession de santé &Aide-soignants &Auxiliaires de puériculture &Masseurs-kinésithéra\-peutes &
Infirmiers & Total \\ \hline
Nombre de  diplômes &531 &37 &  &500 &\np{1141} \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

Quel a été en 2000, le nombre de personnes ayant reçu le diplôme
de masseur-kinésithérapeute ?

\medskip

\item Le tableau suivant donne le pourcentage de femmes parmi les diplômés 
de ces professions de santé:

{\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}} \hline
Profession de santé &
Aide-soignants &
Auxiliaires de puériculture &
Masseurs kinésithérapeutes &
Infirmiers & Total \\ \hline
Pourcentage de femmes &86,2 \% &97,3\% &27,4\% &84,8\% &82,2\% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}

Reproduire et compléter le tableau d'\textbf{effectifs} suivant (arrondir à l'entier le plus proche) :

{\small\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}} \hline
Profession de santé &Aide-soignants &Auxiliaires de puériculture &Masseurs kinésithérapeutes &
Infirmiers & Total \\ \hline
Hommes 		&  	&  &  &  &  \\ \hline
Femmes 		&  	&  &  &  &938 \\ \hline
Total 		&531&  &  &  &\np{1141} \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}}

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés 
sous forme décimale arrondie à 0,01 près.}

\medskip

\item On choisit au hasard une personne parmi ces \np{1141} personnes diplômées  en 2000.

On considère les évènements suivants:

\medskip

$A$ : \og La personne a reçu le diplôme d'aide-soignant \fg{} ;

$B$ : \og La personne est une femme \fg{}.

\bigskip
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements $A \cap B$ et $\overline{B}$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements  $A \cap B$ et $\overline{B}$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne ayant reçu le diplôme d'infirmier  en 2000. Calculer la probabilité pour que cette personne soit un homme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~15]$ par:

\[f(x) = 2,4 \ln(1,3 x + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée et montrer que pour tout $x$ de $[0~;~15]$ on a :

\[f(x) = \displaystyle\frac{3,12}{1,3x + 1}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~15]$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{les 
résultats seront arrondis à $0,1$ près}) :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ 	& 0 	& 2 	& 4 	& 6 	& 10 	& 12 	& 15 \\ \hline
$f(x)$ &  	& 3,1 	&  	&  	& 6,3 	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item
Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un
repère orthogonal d'unités graphiques:

1~cm pour 1 unité en abscisses;

2~cm pour 1 unité en ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un médicament contre le diabète entraîne une prise de poids chez
les patients traités avec ce produit. Une étude sur un échantillon 
de patients a mis en évidence que l'augmentation de poids (\emph{en 
nombre de kilogrammes}) en fonction du nombre $x$ d'années de
traitement est donnée par :

\[f(x) = 2,4 \ln(1,3x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer l'augmentation de poids au bout d'un an de traitement.
\item Déterminer graphiquement en laissant apparentes les constructions  utiles :
	\begin{enumerate} 
		\item L'augmentation du poids du patient si celui-ci suit le traitement pendant 5~ans.
		\item Au bout de combien d'années le poids aura augmenté de 6~kg.
	\end{enumerate}
\item Pour retrouver le résultat de la question \textbf{2. b.} par le calcul  il faut résoudre une équation.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est cette équation ?
		\item Répondre à la question \textbf{2. b.} par la résolution de cette équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2003
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS   Nouvelle--Calédonie  novembre 2003~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 Test d'effort} \hfill 8 points}

\medskip

Sur une personne, on a fait varier l'intensité du travail fourni, exprimée en kilojoules par minute et on a relevé sa fréquence cardiaque (\emph{nombre de battements, par  minute}).

On a obtenu les résultats suivants :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Intensité $x_i$ & 10 &13&19 &30 & 38 &48&	50& 56\\ \hline
Fréquence cardiaque $y_i$&70 & 86 & 92 & 106 & 120 & 130& 144 & 
152\\ \hline
\end{tabularx}\]
\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points associé à la série 
statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal.

On prendra : 1~cm pour 5~unités en abscisse ; 1~cm pour 10~unités en ordonnée.

De plus on graduera l'axe des ordonnées à partir de 50.

\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_1$ des quatre premiers points du nuage et les coordonnées du point moyen $G_2$ des quatre derniers points, puis tracer la droite $\left(G_1G_2\right)$.
\item Montrer que la droite $\left(G_1G_2\right)$ a pour équation : 
$y = 1,6x + 59,7$.
\item On admet que cette droite constitue un justement convenable du nuage de points précédent
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement une estimation de la fréquence cardiaque lorsque L'intensité du travail fourni est de 40~kilojoules par minute. (On fera apparaître les constructions utiles).
		\item À l'aide de l'équation de la droite $\left(G_1G_2\right)$ calculer l'intensité correspondant à une fréquence cardiaque de 155 battements par minute.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

La partie A peut être traitée de façon indépendante des parties B et C.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) suivante où  $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $t$.

\[\text{(E)} : \quad  y' + 0,2y = 0.\]

\item Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie 
la condition : $y(0) = 4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par

\[f(t) = 4\text{e}^{-0,2t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(t)$ où $f$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\item Justifier que $f'(t)$ est négatif sur l'intervalle [0~;~12],  puis dresser le tableau de variations de $f$.

On donnera les valeurs 	exactes de $f(0)$ et de $f(12)$.
\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs numériques suivant : (on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près)

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$t$ 	&0 	&1 	&2 	&4 	&6 		&8	&10 &12\\ \hline
$f(t)$ 	& 	&3,3& 	& 	&1,2 	& 	& 	&0,4\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans 
un plan muni d'un repère orthogonal.
Unités graphiques : 1~cm pour 1~unité en abscisse ; 3~cm pour 
1~unité en ordonnée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Application}

\medskip

Un laboratoire étudie le processus d'élimination d'un produit anesthésiant pendant les 12~heures suivant l'injection.

À l'instant $t = 0$, on injecte à une personne une dose de 4~cm du produit anesthésiant. 

 La quantité de ce produit présente dans le sang (exprimée en 
cm$^3$) en fonction du temps (exprimé en heures) est donnée par : $f(t) =  4\text{e}^{-0,2t}$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~12].

À l'aide des résultats de la partie B répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner la quantité de produit présente dans le sang 8 heures après l'injection.

En déduire le pourcentage de la quantité de produit présente dans le sang au bout de 8~heures par rapport à  la dose injectée.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement et en faisant apparaître les constructions utiles, combien de temps s'est écoulé après l'injection pour que la quantité de produit contenue dans le sang  soit de 2,2 cm$^3$. 
		\item Retrouver le résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie novembre 2003
\end{document}