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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2005}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  2005~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2005}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2005} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2005} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2005} \dotfill \pageref{LaReunion}\\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2005} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2005} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2005}  \dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2005
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane  juin 2005 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

L'apport nutritionnel conseillé en calcium est $900$ mg par jour.

Une enquête sur l'apport en calcium quotidien en mg (noté AC)~auprès
d'une population de \np{25000} personnes, comprenant \np{13000} femmes et
\np{12000} hommes, a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $984$ hommes et \np{2132} femmes ont un apport en calcium strictement inférieur à $600$ mg.
\item[$\bullet$] $34,1$\,\% des hommes et $43,8$\,\% des femmes ont un apport en calcium supérieur ou égal à $600$ mg et strictement inférieur à $900$ mg.
\end{itemize}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous~:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 								&Hommes &Femmes &Total \\ \hline
$0 \leqslant \text{AC} < 600$ 	&  		&  		&  \\ \hline
$600 \leqslant \text{AC}< 900$	&  		&  		&  \\ \hline
$900 \leqslant  \text{AC}$  	&  		&  		&  \\ \hline
Total 							&  		&  		&\np{25000} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans la suite de l'exercice les résultats seront arrondis à près}.

\item On choisit au hasard une personne parmi les \np{25000}~personnes
interrogées dans l'enquête précédente.

On considère les évènements suivants~

$\bullet~~$$A$ : \og La personne a un apport en calcium strictement inférieur à $600$ mg par jour \fg{};

$\bullet~~$$B$ : \og La personne est une femme \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements $A \cap B$ et $\overline{A}$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne dont l'apport en calcium est
supérieur ou égal à $600$ mg. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\item On choisit une femme au hasard. Quelle est la probabilité que
son apport en calcium soit supérieur ou égal à $600$ mg~?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par

\[f(t) = -10\text{e}^{- 0,5t} - 2t + 17.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $5\text{e}^{-0,5t} - 2 > 0$ sur [0~;8]
(on montrera que cette inéquation est équivalente à $t < 2\ln(2,5)$.
		\item On note $a$ le nombre $2\ln(2,5)$.
Donner une valeur approchée de $a$ à $0,01$ près.
		\item Déduire des questions précédentes le tableau de
variations de $f$ sur [0~;~8].

On donnera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(8)$, ainsi qu'une valeur approchée de $f(a)$ à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira
les valeurs à $0,01$ près)~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&1 		&1,83 	&3 	&4 		&5 	&7 		&8 \\ \hline
$f(t)$ 	& 	&8,93 	& 		& 	&7,65 	& 	&2,70 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le
plan rapporté à un repère orthogonal tel que~:

$\bullet~~$1 cm représente 0,5 unité sur l'axe des abscisses~;

$\bullet~~$1 cm représente une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On injecte une substance dans le sang d'un individu. On considère
que $f(t)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A,
représente une bonne approximation du taux de la substance
(exprimé en mg.L$^{-1}$) présente dans le sang en fonction du temps $t$
(exprimé en heures).

On donnera des valeurs approchées à $0,1$ près, puis on convertira
les temps en heures et en minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quel moment le taux est-il maximum~? Que vaut alors ce maximum~?

\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, on fera apparaître les traits
de construction utiles sur le graphique de la Partie A.}
\item Déterminer graphiquement le moment où le taux vaut la moitié de
la valeur maximale.
\item Déterminer graphiquement la durée pendant laquelle le taux
est supérieur à 8 mg.L$^{-1}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole juin 2005
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole juin 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

Suite à la canicule d'août 2003, le Ministre de la Santé, des Affaires Sociales et des Personnes Handicapées a demandé à l'INSERM de déterminer de façon précise l'ampleur et les causes principales de l'augmentation de la mortalité sur cette période.

Le tableau suivant, extrait du rapport de l'INSERM, précise la répartition des décès par âge et par sexe pendant la période du $1\up{er}$ au 20 août 2003 dans toute la France métropolitaine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Femmes		&Hommes		&Total\\ \hline
Moins de 44 ans			&538		&\np{1310}	&\np{1848}\\ \hline
Entre 45 et 74 ans		&\np{3896}	&\np{7345}	&\np{11241}\\ \hline
Plus de 75 ans			&\np{18018}	&\np{10514}	&\np{28532}\\ \hline
Total					&\np{22452}	&\np{19169}	&\np{41621}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item	Sachant que le nombre de décès pour la même période de l'année 2002 était de \np{12946} pour les femmes et de \np{13877} pour les hommes, déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de décès pour les femmes puis pour les hommes (arrondir le résultat à l'entier le plus proche).

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à  $0,001$ près.}
\item On choisit au hasard une personne décédée pendant la période du $1\up{er}$ au 20 août 2003. 

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og La personne est une femme \fg{} ;

$B$ : \og La personne a plus de 75 ans \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{B}$ puis calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap~ \overline{B}$ puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup~ \overline{B}$ .

On choisit au hasard une personne décédée pendant la période du $1\up{er}$ au 20 août 2003 et âgée de plus de 75 ans. Calculer la probabilité pour que cette personne soit un homme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ~;~ 10] par :

\[f(t)  = -0,43t + 1 + 2,15 \ln (t + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par  l'égalité suivante :

\[f'(t) =  \dfrac{-0,43t + 1,72}{t + 1}.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(4)$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
\end{enumerate}

\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira à  $10^{-2}$ près)

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	& 0	&1		&2		&3		&4		&6	&8	&10\\ \hline
$f(t)$ 	& 	&2,06	& 		& 		& 		&2,6& 	&1,86\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

$1$~cm pour $1$ unité sur l'axe des abscisses ;

$5$~cm pour $1$ unité sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B :  contrôle du taux de lactate dans le sang}

\medskip

Lors d'un exercice physique d'une durée de 10 min, on a mesuré la concentration $\left(\text{en mmol.L}^{-1}\right)$ de lactate sanguin d'un patient. On suppose que cette concentration au temps $t$ (exprimé en minutes) est $f(t)$ où $f$ est la fonction étudiée à la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item À quel moment la concentration de lactate est-elle maximum ? Justifier. 
		\item Quelle est alors cette concentration ?
	\end{enumerate}

\emph{Les questions suivantes seront traitées \textbf{graphiquement} et  l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le  graphique.} 
\item Quel est le taux de lactate au bout de $5$~min ? 
\item Au bout d'une minute, le taux de lactate est très voisin de $2$.  Au bout de combien de temps le taux de lactate atteint-il à nouveau cette valeur ? 
\item Dans quel intervalle de temps le taux de lactate est-il supérieur à $2,5$ ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2005 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%  La Réunion juin 2005
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

Une enquête de la DREES réalisée en 2002 auprès de 922 médecins généralistes libéraux a permis de recueillir des informations sur \np{50000} consultations et visites. Il apparaît que :

$\bullet~$	$55$\,\% des consultations concernent des femmes.
 
$\bullet~$	$6$ fois sur $10$, le patiente a plus de $45$ ans. 

$\bullet~$	Dans $28$\,\% des cas, les patients ont plus de $70$~ans et parmi ces derniers, il y a 4/7$\up{es}$  de femmes.

$\bullet~$	$11$\,\% des cas concernent les 0--12 ans et $2$ cas sur $10$ concernent les 0--24 ans.

$\bullet~$	\np{3000} consultations et visites ont été faites par des filles âgées de 0 à 12 ans.

$\bullet~$	\np{2000} consultations et visites ont été faites par des filles âgées de $13$ à $24$~ans.

$\bullet~$	Il y a autant d'hommes que de femmes dans la tranche d'âge 25--44 ans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier la phrase : \og $6$\,\% des consultations et visites concernent des filles âgées de $0$ à $12$~ans. \fg{}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la répartition des consultations et
visites, selon le sexe et l'âge.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Femmes&	Hommes&	Total des patients\\ \hline
0--12 ans		&\np{3000} 	& 	& \\ \hline
13--24 ans  	& 			& 	& \\ \hline
25--44 ans  	& 			& 	& \\ \hline
45--69 ans 		&\np{9500}	& 	& \\ \hline
70 ans ou plus	& 			& 	&\np{1000} \\ \hline
Total			& 			& 	&\np{50000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans les questions $3$ et $4$, on donnera les résultats sous forme décimale à $0,01$ près}.
\item On choisit au hasard un patient parmi les \np{50000} et on considère les évènements suivants :

$\bullet~$	  $A$ : \og Le patient choisi est une femme \fg{} ;

$\bullet~$	  $B$ : \og Le patient choisi est âgé de plus de $70$ ans\fg{} ;

$\bullet~$	  $C$ : \og Le patient choisi est une femme ou a plus de $70$ ans \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(A)$ de l'évènement $A$ puis la probabilité $P(B)$ de l'évènement $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$ puis calculer sa probabilité.  
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
		\item Sachant que le patient choisi est une femme, quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 70 ans ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~30] par 

\[f(t) = 3000\text{e}^{-\frac{t}{11}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer$ f'(t)$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~30]. On y reportera les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(30)$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs à la dizaine près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0  &5		&10			&20		&25		&30\\ \hline 
$f(t)$	& 	& 	 	&\np{1210}  &       &490 	&\\\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item	Sur la feuille de papier millimétré fournie, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques

$\bullet~~$en abscisse, $1$~cm pour $2$~unités ;

$\bullet~~$en ordonnée, $1$~cm pour $200$~unités.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

En médecine nucléaire, le traitement par l'iode 131 est particulièrement efficace dans certaines maladies de la thyroïde.

On injecte, au temps $t = 0$, un échantillon d'iode $131$ dans le corps d'un patient. 

On admet que la fonction $f$ définie et étudiée dans la \textbf{partie A}, donne une bonne approximation de l'activité du radio nucléide iode 131, en fonction du temps $t$, exprimé en jours.

L'activité est exprimée en Becquerel (Bq).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'activité initiale de l'iode 131.
\item Calculer l'activité de l'iode 131 au bout de 22 jours. On donnera la réponse à 1~Bq près. 
\item La période, notée $T$, d'un nucléide radioactif est le temps au bout duquel son activité a diminué de moitié.	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique de la \textbf{partie A}, donner une valeur approchée, à $0,1$ jour près, de la période $T$ de l'iode 131 (on laissera apparents les traits de constructions utiles).	
		\item Résoudre algébriquement l'équation $f(t) = \np{1500}$ et retrouver le résultat obtenu à la question précédente.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2005
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{10 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie 10 juin 2005 \decofourright}}

\vspace{0,5cm}
 
Coefficient 2 \hfill Durée : 2 heures

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire
N°99-186 du 16 novembre 1999.

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet

2 feuilles de papier millimétré seront mises lIa disposition des candidate.


LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE
ET LE PROBLÈME \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du montant du salaire minimum interprofessionnel de croissance (SMIC) horaire brut en euros. (Source INSEE)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang de	l'année $x_{i}$	&0		&1		&2		&3&4\\ \hline
SMIC $y_{i}$			&6,41	&6,67	&6,82	&7,19&7,61\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation du SMIC horaire brut entre 2000 et 2004.

\textsl{On arrondira le résultat à} 1\,\%.

\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i~}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.

\textsl{L'axe des abscisses sera gradué à partir de} 0 \textsl{et on prendra} 2 \textsl{cm par rang d'année.}
 
\textsl{L'axe des ordonnées sera gradué à partir de} 6 \textsl{et on prendra} 1 \textsl{cm pour} 0,10 \textsl{euro.}

\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
\item On admet que la droite ($d$) d'équation $y = 0,29x +6,36$ permet un ajustement affine satisfaisant du nuage sur la période considérée et permet de prévoir l'évolution du SMIC pour les trois années à venir.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite ($d$) dans le même repère que le nuage, et placer le point $G$.
		\item Vérifier par le calcul, que le point $G$ appartient à la droite ($d$).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par le calcul, le montant du SMIC horaire brut que l'on peut prévoir en 2005.
		\item Faire apparaître sur le graphique les traits de construction qui permettent de retrouver les résultats du \textbf{5. a.}.
	\end{enumerate}
\item Vérifier graphiquement qu'à partir de 2006, le SMIC horaire brut dépassera 8 euros. (On fera apparaître les constructions utiles).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~340] par :

\[f(x) = 50\text{e}^{0,004x} +10.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~340].
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~340]. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(340)$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant en arrondissant les valeurs à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0 	&40 &80 &120 &170 	&230 	&290 	&340\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& 	& 	& 91 & 		& 		& 169 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques :

$1$~cm en abscisse pour $20$~unités,

$1$~cm en ordonnée pour $10$~unités.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B :  application}

\medskip

Dans cette partie nous allons étudier le lien qui existe entre la puissance d'un effort fourni et la fréquence cardiaque d'un individu.

On admet que la fréquence cardiaque d'une sportive en fonction de la puissance de l'effort qu'elle fournit est donnée par la fonction $f$ de la \textbf{partie A} :

$x$ est la puissance de l'effort fourni exprimée en Watts (unité W),

$f(x)$ est le nombre de battements du c{\oe}ur par minute.

\textsl{Pour les résolutions graphiques ci-dessous on fera apparaître sur le graphique les traits de construction utiles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la fréquence cardiaque de cette sportive si elle exerce un effort d'une puissance de $200$~W.
		\item Vérifier ce résultat par le calcul. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la puissance que doit fournir la sportive pour que sa fréquence cardiaque dépasse $180$~battements par minute.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2005
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep} 
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane \decofourright\\septembre 2005}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

À la rentrée 2003, les écoles primaires d'une ville de l'agglomération parisienne ont effectué un bilan de santé auprès de leurs \np{1300}~ élèves. Une partie de ce bilan de santé avait pour objectif de diagnostiquer les enfants atteints d'asthme et de détecter ceux qui présentaient des symptômes asthmatiques.

\medskip

Parmi les $600$ filles de ces écoles, 4,5\,\% étaient asthmatiques.

De plus, 5\,\% des filles et 7\,\% des garçons présentaient des symptômes asthmatiques.

Enfin, 88\,\% des élèves ne présentaient aucun trouble en rapport avec cette maladie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et remplir le tableau d'effectifs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Filles&Garçons& Total \\ \hline
Asthmatiques	& & 	& \\ \hline 
Symptômes asthmatiques	& 	& 	& \\ \hline
Aucun trouble& 	& & \\ \hline
Total& & & \np{1300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $0,01$ près.}

On choisit au hasard un élève parmi les \np{1300} élèves des écoles primaires et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
$A$ : \og L'élève est un garçon \fg{} ;

$B$ : \og L'élève est asthmatique \fg{} ;

$C$ : \og L'élève présente des symptômes asthmatiques \fg.
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$, puis calculer sa probabilité.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A \cup B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup  C$ et calculer sa probabilité
		\item On considère l'évènement :

     \og L'élève est une fille qui présente des symptômes asthmatiques \fg.

Écrire cet évènement à l'aide des évènements $A$, $B$ ou $C$ puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève atteint d'asthme. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude et représentation d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~120] par :

\[f(t) = 4,4 + 0,12 t \text{e}^{-\frac{t}{60}}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = 0,002(60 -  t)\text{e}^{-\frac{t}{60}}$.
		\item Résoudre $f'(t) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~120].
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&10		&20	& 40	&60	&80	& 100 	&  120\\ \hline
$f(t)$	&	&5,42	&	& 6,86	&	&	& 6,67	&\\ \hline
\end{tabularx}\] 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item En prenant en abscisses $1$~cm pour $10$~unités et en ordonnées $2$~cm pour une unité, construire la droite T puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Utilisation du graphique}

\medskip

Pour étudier le bilan hépatique du glucose, on réalise chez un chien une expérience de laboratoire. Celui-ci reçoit, pendant $2$~heures, une perfusion de $235$~mg de glucose par minute. On mesure alors l'évolution de la glycémie dans le sang de l'artère hépatique.

On admet que l'évolution de la glycémie (exprimée en mmol.L$^{-1}$) en fonction du temps écoulé (exprimé en minutes) à partir du début de la perfusion est représentée par la fonction : 

\[ f(t) = 4,4 + 0,12 t \text{e}^{-\frac{t}{60}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la glycémie est-elle maximale ? Quelle est alors cette glycémie ?

\emph{Répondre aux questions suivantes après avoir indiqué sur le graphique les cons\-tructions utiles.}
\item Quelle est la glycémie au bout de $45$~minutes ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit G$_{0}$ la valeur initiale de la glycémie, combien faut-il de temps pour que la glycémie atteigne la valeur G$_{1}$ supérieure de $50$\,\% à la valeur initiale G$_{0}$ ?
		\item Combien de temps la glycémie reste-t-elle supérieure à la valeur G$_{1}$ définie ci-dessus ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2005
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}  
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 2005~\decofourright}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Une enquête sur le niveau de recrutement des secrétaires médicales ou médico-sociales a été réalisée à l'aide d'un questionnaire auprès de $732$ d'entre elles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous à l'aide des informations suivantes (on arrondira les réponses à l'entier le plus proche) :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Parmi les secrétaires recrutées, $85$\,\% ont le niveau baccalauréat et $7$\,\% le niveau BTS.
\item Le secteur médical emploie $93,3$\,\% des secrétaires recrutées.
\item Le secteur médico-social quant à lui, recrute trois fois plus de secrétaires au niveau CAP-BEP qu'au niveau BTS.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Niveau & Secteur médical & Secteur médico-social & TOTAL\\ \hline
Baccalauréat & &$17$  & \\ \hline
BTS & & & \\ \hline
CAP / BEP& & & \\ \hline
TOTAL & & &$732$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Calculer le pourcentage de secrétaires recrutées au niveau CAP/BEP (donner la réponse à $1$\,\% près).

\emph{Dans les questions suivantes, on arrondira les réponses à  $0,01$ près.}
\item On choisit au hasard une secrétaire ayant répondu au questionnaire. On considère les évènements suivants :

     $A$ : \og La secrétaire a le niveau baccalauréat \fg{} ;

     $B$ : \og La secrétaire a été recrutée dans le secteur médico-social \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A  \cap B$, puis calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$, puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item Parmi les secrétaires ayant répondu au questionnaire, il y en a 232 exerçant dans le secteur médical et 5 dans le secteur médico-social qui ont le niveau du baccalauréat SMS.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit au hasard une secrétaire ayant répondu au questionnaire. Calculer la probabilité qu'elle ait le niveau du baccalauréat SMS.
		\item On choisit au hasard une secrétaire recrutée dans le secteur médical. Calculer la probabilité qu'elle ait le niveau du baccalauréat SMS.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~7] par
 
\[f(t) = (300 - 10t)\text{e}^{- 0,5t}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et montrer que $f'(t) = (5t  - 160)\text{e}^{-0,5t}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le signe de $5t - 160$ sur l'intervalle [0~;~7].
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~7].
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Le compléter par les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(7)$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira les valeurs de $f(t)$ à l'entier le plus proche) :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&0,5	&1		&2	& 3	&4	& 5	& 7\\ \hline 
$f(t)$	&	&		&176	&	&	&	& 21& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques :

$2$~cm pour une unité en abscisse ;

$1$~cm pour $20$~unités en ordonnée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'éviter toute contamination, un matériel chirurgical a été chauffé dans une étuve. On constate que sa température de refroidissement (en degrés Celsius) en fonction du temps $t$ (exprimé en minutes) est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Préciser la température du matériel à la sortie de l'étuve. Dans les questions suivantes on devra indiquer sur le dessin de la \textbf{Partie A} les traits de construction utiles. On exprimera les temps en minutes et en secondes.
\item  Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la température a baissé de moitié.
\item  Déterminer graphiquement durant combien de temps la température reste supérieure ou égale à $100$~\degre C.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie novembre 2005
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}  
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Novembre
 2005 Nouvelle-Calédonie~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }\hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Troubles visuels dépistés par l'examen scolaire en
  2001-2002}
  
\emph{(Source : Direction de la Recherche des Études de
  l'Évaluation et des Statistiques - DREES)}
  
Un examen visuel est pratiqué sur \np{8350} élèves de CM 2. Il
révèle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $4\,\%$ des élèves examinés ont une vision anormale de loin et se  savaient myopes lors de l'examen.
\item $668$ élèves ont une vision anormale de loin et ne se savaient
  pas myopes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{On admet qu'aucun enfant ne peut être myope et avoir une vision  normale de loin.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
    &Myopie connue au préalable&Myopie incon\-nue au préalable&Total\\\hline
Nombre d'élèves présentant des problèmes visuels de loin&&&\\\hline
Nombre d'élèves ne présentant pas de problèmes visuels de loin& $0$&&\\\hline
\textbf{Total}&&&\textbf{$8\ 350$}\\\hline
\end{tabularx}

\medskip  
\item On reporte les observations de chaque examen sur une fiche
  médicale. On choisit au hasard la fiche médicale d'un élève. Il y a
  équiprobabilité des choix.
  
  On définit les évènements suivants :
  
\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item [$V :$] \og sur la fiche médicale, l'élève présente des  problèmes visuels de loin \fg.
\item [$M :$] \og sur la fiche médicale, l'élève se savait myope lors  de l'examen \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $V$ et $M$.
		\item $\overline{M}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement  $M$. Le définir par une phrase et calculer sa probabilité.
		\item Définir l'évènement $V \cap \overline{M}$ par une
  phrase. Calculer la probabilité de cet évènement.
	\end{enumerate}
\item On choisit la fiche médicale d'un élève dont la vision de loin
  est anormale. Quelle est la probabilité que cette fiche indique que
  l'élève savait qu'il était myope ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[\np{1850}~;~\np{2020}]$
par : 

\[f(t) = 250 + 25 \mathrm{e}^{0,01t - 18,5}\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Calculer $f'(t)$, pour tout $t$ élément de l'intervalle $[\np{1850}~;~\np{2020}]$.
\item 
	\begin{enumerate}
 		 \item Montrer que, pour tout élément $t$ de l'intervalle $[\np{1850}~;~\np{2020}]$, $f'(t)$ est positif.
		  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur  l'intervalle $[\np{1850}~;~\np{2020}]$. On précisera les valeurs exactes de  $f(\np{1850})$ et de $f(\np{2020})$.
	\end{enumerate}
\item Recopier, puis compléter le tableau de valeurs suivant:
  (arrondir les résultats à l'entier le plus proche)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&\np{1850}	&\np{1900}	&\np{1950}	&\np{1970}	&\np{1990}	&\np{2005}	&\np{2020}\\ \hline
$f(t)$	&			&			&318		&			&			&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Tracer la courbe
  $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle
  $[\np{1850}~;~\np{2020}]$.

\setlength\parindent{5mm}   
  \begin{itemize}
  \item L'axe des abscisses sera gradué à partir de \np{1850} et on
  prendra 1~cm pour $10$~unités.
  \item L'axe des ordonnées sera gradué à partir de $270$ et on
  prendra 1~cm pour $10$~unités.
  \end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Teneur en dioxyde de carbone contenu dans
  l'atmosphère}
  
\emph{Source : Laboratoire CNRS de Glaciologie, Université Joseph
  Fourier, Grenoble}

\medskip
  
Une étude statistique a montré que l'évolution de la teneur en dioxyde
de carbone(CO$_2)$ contenu dans l'atmosphère, de $1850$ à nos jours,
exprimée en parties par millions (ppm), peut être modélisée par la
formule suivante : 

\[f(t) = 250 + 25\mathrm{e}^{0,01t - 18,5},\]

 où $t$ représente l'année et $f(t)$ la teneur en dioxyde de carbone
correspondante.

On supposera que ce modèle reste pertinent jusqu'en 2020.

\medskip

\emph{On fera apparaître sur le graphique de la question \textbf{A -
 4.}, les traits de construction utilisés pour répondre aux  questions suivantes.\\Les résultats seront donnés à l'unité.}
 
\medskip
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Selon ce modèle et d'après le graphique, quelle teneur en
  dioxyde de carbone (CO$_2)$ peut-on prévoir en $2010$ ?
		\item Retrouver ce résultat par le calcul. (on donnera la valeur  exacte, puis la valeur arrondie à l'unité). 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'année à partir de laquelle la  teneur en dioxyde de carbone (CO$_2)$ a dépassé $350$\ ppm.
		\item Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle--Calédonie novembre 2005
\end{document}