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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2006}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  2006 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2006}  \dotfill \pageref{Antilles}\\

\hyperlink{France}{Métropole juin 2006}  \dotfill \pageref{Metropole}\\

\hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2006}  \dotfill \pageref{LaReunion}\\

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2006} \dotfill \pageref{Polynesie}\\

\hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2006} \dotfill \pageref{Antillessep}\\
 
\hyperlink{Francesep}{Métropole septembre 2006} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\
 
\hyperlink{LaReunionsep}{La Réunion septembre 2006} \dotfill \pageref{LaReunionsep}\\ 
 
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2006}\dotfill \pageref{Caledonienov}\\
\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2006 
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane juin 2006~\decofourright}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

Une maladie atteint $3$\,\% d'une population de \np{30000}~habitants. On soumet cette population à un test.

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item parmi les bien portants, $2$\,\%
 ont un test positif;
\item 	parmi les individus malades, $49$ ont un test négatif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Malades&Bien portants	&Total\\ \hline
Test positif	&		&				&  \\ \hline
Test négatif	&		&				&  \\ \hline
Total			&		&				&\np{30000}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats numériques demandés seront donnés à $10^{-3}$ près.}

\item   On choisit au hasard un individu de cette population. On considère les évènements T et M suivants :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  $T$  : \og le test est positif pour l'individu choisi \fg ;
\item  $M$ :  \og l'individu choisi est malade \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $T$ et $M$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{T}$	et calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase chacun des évènements $M \cup T$ et $\overline{M}~ \cap$ T.
		\item Calculer les probabilités des évènements $M \cup T$ et $M  \cap~ \overline{T}$.
	\end{enumerate}
\item  	On décide d'hospitaliser tous les individus qui ont un test positif. On choisit au hasard un individu hospitalisé. Quelle est la probabilité qu'il soit bien portant ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A :  étude et représentation graphique d'une fonction}\\
On appelle $f$ la fonction numérique de variable réelle définie sur [0~;~5] par

\[ f(t) =  t\text{e}^{ 2 - t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (1 - t)\text{e}^{ 2 - t}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~5].
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ (dans ce tableau ne figureront que des valeurs exactes).
 	\end{enumerate}
\item Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront données sous forme décimale arrondie à $0,01$ près)
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormé d'unité $3$~centimètres.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps}

\medskip

À l'instant $t = 0$, un malade absorbe un médicament. On admet que la concentration de celui-ci dans le sang, exprimée en mg.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$ exprimé en heures est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	À quel instant la concentration du médicament est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (donner sa valeur exacte puis son approximation décimale à $0,01$~mg.L$^{-1}$ près).
\item 	Dans cette question, on fera apparaitre sur le graphique tous les tracés utiles.
Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à $1$~mg.L$^{-1}$.
\item Déterminer graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à $2$~mg.L$^{-1}$
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%    fin Antilles-Guyane    juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%    Métropole juin 2006
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole  juin 2006 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiple :}

\medskip

Cocher les bonnes réponses, il y en a au moins une par question.

\emph{ Toute bonne réponse rapporte   $1$ point, toute erreur retire $0,5$ point,  l'absence de réponse ne retire rien. Si le total des points est négatif la note de l'exercice sera ramenée à zéro.}

\begin{enumerate}
\item  Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que leurs probabilités vérifient : 

$P(A) = P(B) = 0,2$ et $P(A \cap B) = 0,1$. Alors $P(A \cup B)$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	0,2$&	$\Box \quad 0,3$& $\Box \quad	0,4$&			$\Box \quad 0,5$
\end{tabularx}\]

\item La fonction $f$ définie sur [1~;~12] par  $f(x) = \dfrac{- x^2 + 3x - 4}{x}$	a pour dérivée la fonction $f'$ telle que $f'(x) = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	-1 + \dfrac{4}{x^2}$&	$\Box \quad \dfrac{4 - x^2}{x^2}$& $\Box \quad	\dfrac{x^2 - 4}{x^2}$& 			$\Box \quad \dfrac{-2x + 3}{1}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction logarithme népérien notée $\ln$.

$\ln 27$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	3\ln 3$&$\Box \quad 9 \ln 3$&	$\Box \quad 27\ln 1$&$\Box \quad \ln 9 + \ln 3$\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $f$ définie sur [0,5 ~;~ 12] par $f(x) = 2\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	 2\ln 4$ &	$\Box \quad 0$ &	$\Box \quad 0,25$ &	$\Box \quad 	0,5$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans un classe de 20 élèves, 15 sont des filles, et il y a 8 élèves qui portent des lunettes. Par ailleurs un tiers des filles portent des lunettes. On prend un élève au hasard. 
\begin{enumerate}
\item  la probabilité que cet élève soit une fille est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad \dfrac{1}{15}$ &	$\Box \quad 0,75$ &	$\Box \quad 0,125$ &	$\Box \quad  0,067~\text{environ}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item la probabilité que ce soit un garçon et qu'il porte des lunettes est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad 0,6$  &	$\Box \quad	 0,15$  &	$\Box \quad	0,4$   &	$\Box \quad	0,5$
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~7] par

\[f(x) = 12 + 3x - \text{e}^{0,5x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que : $f'(x) =  3 - 0,5 \text{e}^{0,5x}$.
		\item Résoudre l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $x$	&0	&1	&2	&3	&$2\ln 6$	&4		&5		&6		&7\\ \hline
$f(x)$	&	&13,4	&	&	&		&16,6	&14,8	& 9,9	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal ; unités :

\setlength\parindent{5mm} 	
\begin{itemize}
\item 2~cm pour une unité en abscisses et
\item 1~cm pour une unité en ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On introduit une substance S dans un liquide contenant un certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.

On suppose que le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du temps $x$ (en heure) écoulé depuis l'introduction de la substance S est donné par l'expression :
 
\[f(x) = 12 + 3x - \text{e}^{0,5x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de micro-organismes au bout d'une heure ? au bout d'une heure et trente minutes ? (Arrondir les résultats à \np{100000} près)
\item Au bout de combien de temps la population est-elle maximale ? Quelle est cette population maximale ?
\item Déterminer graphiquement durant combien de temps la population est supérieure ou égale à 12 millions (laisser apparents les traits de construction).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2006
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion 2006 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill }

\medskip

Le tableau suivant, extrait du dernier recensement de l'INSEE, présente des données concernant le département du Nord et ses 6 arrondissements. Il porte sur le nombre de naissances observées dans ce département, et parmi elles, précise le nombre de nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement, et le nombre de mères n'ayant pas subi la totalité des sept consultations prénatales normalement prévues.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&\footnotesize Nom de la Zone	&\footnotesize  Nombre de naissances	&\footnotesize Nombre de	nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement		&\footnotesize  Nombre de naissances dont la mère a bénéficié de moins de  7 consultations prénatales\\\hline
ARRONDISSEMENT		&AVESNES-SUR-HELPE&\np{3210}	&\np{1226}	&371\\ \hline
					&CAMBRAI			&\np{2194}	&864		&379\\ \hline
					&DOUAI				&\np{3395}	&\np{1379}	&364\\ \hline
					&DUNKERQUE			&\np{5026}	&\np{1921}	&488\\ \hline
					&LILLE				&\np{17967}	&\np{9818}	&\np{2092}\\ \hline
					&VALENCIENNES		&\np{4881}	&\np{2163}	&608\\ \hline
DÉPARTEMENT DU NORD	& TOTAL				&\np{36673}	&\np{17371}	&\np{4302}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item  On sait par ailleurs que $7,29$\,\%
 des nouveaux-nés de Cambrai étaient de \og petit poids \fg, c'est-à-dire avaient un poids de naissance inférieur à \np{2500}~grammes. Déterminer le nombre de ces nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} en arrondissant à l'unité.
		\item Les nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} de Cambrai représentent $6,14$\,\%  de tous les nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} du département du Nord. Calculer le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de \og petit poids \fg{} (on arrondira à 1 près).
		
\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à} $0,001$ \emph{près}.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un nouveau-né dans le département du Nord. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og le nouveau-né bénéficie d'un allaitement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $D$ : \og le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $D$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{A}$ et calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap D$ et calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{A} \cup D$.
	\end{enumerate}

\item On choisit maintenant au hasard un nouveau-né du département du Nord dont la mère n'a pas bénéficié des sept consultations prénatales. Quelle est la probabilité qu'il soit né à Lille ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par

\[ f(t) = 30 \text{e}^{-0,4t}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~5].
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ (dans ce tableau n'apparaitront que des valeurs exactes).
 	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $0,1$ près :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5	&3	&4	&5\\ \hline
$f(t)$	&	&	&20,1	&	&13,5	&	& 9	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses.
\item[$\bullet~~$]0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dissout $30$ kg de sucre dans de l'eau. À chaque instant $t$, exprimé en heures, on note $y(t)$ la quantité, exprimée en kg, de sucre non encore dissous. On admet que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle $y'= - 0,4y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'= - 0,4y$.
		\item Trouver la solution telle que $y(0) = 30$ puis vérifier que cette solution est la fonction $f$ de la partie A.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la partie A pour déterminer graphiquement, en faisant apparaitre les traits de construction utiles :
	\begin{enumerate}
		\item  Au bout de combien de temps on aura 50\,\%
 de la quantité de sucre dissoute. 
		\item Le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40\,\%  de la quantité initiale.
	\end{enumerate}
\item Retrouver le résultat de la question 2. a.  en résolvant une équation. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à $0,1$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2006
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 2006 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous présente l'évolution des dépenses de santé en France, de 1960 à 2000 (en milliards d'euros).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1960&1965	&1970	&1975	&1980	&1985	&1990	&1995&2000\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$	&0	 &1		&2		&3		&4		&5		&6		&7	 & 8\\ \hline
Dépense en milliards 
d'euros : $y_{i}$			&1,6 &3,3	&6,2	&13,8	&28,9	&55,1	&80		&103,5&121,7\\ \hline
\multicolumn{10}{l}{\footnotesize (\emph{source : Ministère de la Santé et de la Solidarité}).}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  De quel pourcentage la dépense a-t-elle augmenté entre 1995 et 2000 (arrondir le résultat à $10^{-1}$ près) ?
		\item En 2000, la consommation de soins et biens médicaux (CSBM) s'élevait plus précisément à \np{121673} millions d'euros. Dans cette somme, les médicaments représentaient \np{25212} millions d'euros. Quel pourcentage de la CSBM cela représente-t-il ? (arrondir le résultat à $10^{-1}$ près).
	\end{enumerate}
\item Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques : 

1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses

1 cm pour 10 milliards d'euros sur l'axe des ordonnées.
 
\textbf{Dans la suite de l'exercice, compte tenu de l'allure du nuage, on s'intéresse à la série statistique correspondant aux six derniers points (du rang 3 au rang~8).}
\item Soit G Le point moyen de ces six derniers points. Calculer les coordonnées de G (arrondir l'ordonnée à $10^{-1}$ près).
\item On effectue un ajustement affine de la série, représentée par ces six derniers points, par la droite $D$ d'équation $y= ax - 56,7$, où $a$ est un réel à déterminer.
	\begin{enumerate}
		\item  Sachant que $D$ passe par le point G, calculer $a$ (arrondir le résultat  à $10^{-1}$ près).
		\item Tracer $D$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2010.

À l'aide d'un calcul, estimer les dépenses de santé prévues pour 2010.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [\np{1850}~;~\np{2020}] par : 

\[f(t) = 250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [\np{1850}~;~\np{2020}].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $f'(t)$ est positif sur l'intervalle [\np{1850}~;~\np{2020}].
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera les valeurs exactes de $f(\np{1850})$ et de $f(\np{2020})$.
	\end{enumerate}
\item Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à l'entier le plus proche).

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&\np{1850}	&\np{1900}	&\np{1950}	&\np{1970}	&\np{1990}	&\np{2005}	&\np{2020}\\ \hline
$f(t)$	&			&			& 318		&			&			&			& \\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère.

On prendra comme unités graphiques :

1~cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,

1~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de \np{1850} et l'axe des ordonnées à partir de 270.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B - Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère}

{\footnotesize \emph{Source Laboratoire CNRS de Glaciologie Université Joseph Fourier, Grenoble}}

\medskip

Une étude statistique a montré que la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) contenu dans l'atmosphère de 1850 à nos jours, exprimée en parties par millions (ppm), peut être modélisée par la formule suivante :

\[f(t) =  250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5}\]
 
où $t$ représente l'année et $f(t)$ la teneur en dioxyde de carbone.

On supposera que ce modèle reste valable jusqu'en 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \emph{On fera apparaître sur le graphique, de la question A 4., les traits de construction utilisés pour répondre aux questions suivantes et l'on donnera les résultats à l'unité près.}

Estimer à l'aide du graphique
	\begin{enumerate}
		\item la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) qu'on peut prévoir en 2010,
		\item l'année à partir de laquelle la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) a dépassé 350 ppm.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le résultat de la question 1. a. par le calcul, en résolvant l'équation suivante :
\[250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5} = 350 \]
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2006 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles septembre 2006
\hypertarget{Antillessep}{}
 
\label{Antillessep}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \textbf{\Large   \decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles septembre 2006~\decofourright}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 9 points}

\medskip

Le Ministère de la Santé et de la Protection Sociale publie, chaque année, des statistiques concernant le personnel de santé.

Dans la suite de l'exercice, le mot infirmier recouvre aussi bien les hommes que les femmes exerçant cette profession.

Voici les informations obtenues en 2004 pour les infirmiers du département du Cantal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \np{1 212} infirmiers exercent dans ce département.
\item Ils sont répartis en trois catégories : les \og infirmiers libéraux \fg, les \og salariés hospitaliers \fg{} et les \og autres salariés \fg.
\item 75\,\% des infirmiers sont des salariés hospitaliers et $180$ sont des infirmiers libéraux.
\item Parmi les infirmiers libéraux, 90\,\% sont des femmes.
\item Il y a \np{1 030} femmes au total. Parmi elles, 10\,\% font partie des \og autres salariés \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau ci-dessous et le compléter :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
						&Hommes	&Femmes	&	  Total \\ \hline
Infirmiers libéraux		&		&		&\\ \hline 	 	 
Salariés hospitaliers	&		&		&\\ \hline	 	 
Autres salariés			&		&		&\\ \hline	 	 	 
Total					&		&		&\np{1212}\\  \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize Source : DRESS -Ministère de la Santé et de la Protection Sociale}
\end{tabularx}
\end{center}


\emph{Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\item On choisit au hasard un individu parmi les \np{1212} infirmiers du département. On considère les évènements suivants :

    A : \og L'individu est une femme \fg{} ;
    
    B : \og L'individu est un infirmier libéral \fg{} ;
    
    C : \og L'individu est une femme salariée \fg.
    
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.

		\item Décrire par une phrase les évènements A~$\cap$~B et A~$\cup$~B, puis calculer leur probabilité.
		\item Exprimer C en fonction de A et B, puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un individu parmi les infirmiers hommes. Quelle est la probabilité qu'il soit un infirmier libéral ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  11 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0,1~;~4] par
 
\[f(x) = -\left[\dfrac{\left(x^2\right)}{2}\right] + x + 5 + 2 \ln x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item  Montrer que $f'(x)$ peut s'écrire sous la forme $\left[\dfrac{(-x + 2)(x + 1)}{x}\right]$.
\item  Utiliser la question 2 pour étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,1~;~4].
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1~;~4] (les valeurs de $f(x)$ figurant dans ce tableau seront données sous forme décimale arrondie à 0,1~ près).
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (avec des résultats sous forme décimale arrondie à 0,1~près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0,1	&0,5	&1 	&1,5	&2	& 2,5	&3	& 3,5	&4 \\ \hline
$f(x)$	&	& 4	&	 &	&	&6,2	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 	 	 
Tracer sur papier millimétré la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 2~cm).
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On veut suivre l'évolution de la population dans une culture bactérienne, suivant la température à laquelle on soumet cette culture. Pour une température $x$, en dizaines de degrés Celsius, comprise entre 0,1 et 4, le nombre de bactéries, en millions, dans la culture est $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle température, en degrés Celsius, le nombre de bactéries dans la culture est-il maximal ?

\emph{Dans les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles.}

\item Déterminer graphiquement le nombre de bactéries dans la culture chauffée à 37,5° C.
\item Pour quelles températures, en degrés Celsius, le nombre de bactéries dans la culture est-il inférieur ou égal à \np{5500000} ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  septembre 2006
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small novembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 2006~\decofourright}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant provient du recueil de données effectué pendant trois ans par sept hôpitaux français. Il s'agit d'admissions consécutives à des accidents de roller.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{sexe}{âge}	&9 ans et moins	& 10 à 14 ans	&15 à 19 ans	&20 à 34 ans & 35 ans et plus&	total\\ \hline
hommes				&	160	&694		&229	&174	&73		&\np{1330}\\ \hline
femmes				&	183	&312		&47		&127	&76		&745\\ \hline
total				&343	&\np{1006}	&276	&301	&149	&\np{2075}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A  :} On arrondira les résultats à $10^{-1}$ près

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les personnes hospitalisées suite à un accident de roller, déterminer le pourcentage d'hommes ? 
\item Parmi les hommes hospitalisés suite à un accident de roller, déterminer le pourcentage de personnes âgées de moins de 20 ans ?  
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B  :} On décide de contacter au hasard une personne ayant été hospitalisée.

\medskip

On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[ ] $A$  : \og la personne contactée est une femme \fg  ;
\item[ ] $B$  : \og la personne contactée a 15 ans et plus \fg  ;
\item[ ] $C$  : \og la personne contactée a entre 10 et 14 ans \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les réponses aux questions suivantes seront données sous forme décimale arrondie à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$ et $C$. 

\item 	Soit $D$ l'évènement  : \og la personne contactée est un homme de 15 ans et plus \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $D$ à l'aide de $A$ et $B$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $D$.
	 \end{enumerate} 

\item Décrire par une phrase l'évènement $\overline{A} \cup B$ et donner sa probabilité. 

\item On décide de n'interroger que des hommes qui ont été hospitalisés. On contacte un homme au hasard. Quelle est alors la probabilité qu'il soit âgé de 20 ans et plus ?
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème  \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = [0~;~5] par 

\[f(x) = 5 x \text{e}^{-x}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.

Vérifier que cette dérivée peut s'écrire $f'(x) = (5 - 5x)\text{e}^{-x}$.

\item 	Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I (utiliser au besoin un tableau de signes).

\item 	Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

\item 	Compléter le tableau suivant après l'avoir recopié (on arrondira les résultats à 0,01 près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,25	&0,75	&1	&1,5	&2	&3	&5 \\  \hline
$f(x)$	&	&		&1,77	&	&		&	&	&0,17 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item	Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. Tracer $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré en prenant pour unités  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 4 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses  ;
\item 10 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Lors d'une ingestion d'alcool, à jeun, le taux d'alcool présent dans le sang, en grammes par litre, en fonction du temps $x$, exprimé en heures, est donnée par $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la Partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le taux d'alcool présent dans le sang au bout d'une demi-heure ? 
\item Au bout de combien de temps ce taux est-il maximal ?   Quelle est la valeur de ce maximum ? 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant 0,4$ (on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique).
\item Sachant que pour conduire une voiture le taux d'alcool doit être inférieur à 0,5~grammes par litre, au bout de combien de temps après une telle ingestion d'alcool peut-on reprendre le volant ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%    fin Métropole  septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%    La Réunion septembre 2006
\hypertarget{LaReunionsep}{}

\label{LaReunionsep}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small novembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion septembre 2006~\decofourright\\
}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Pour étudier les violences envers les femmes en France, l'INED (Institut National d'Études Démographiques) a effectué de mars à juillet 2000 une enquête par téléphone auprès de \np{6970}~femmes.

Les résultats concernant les violences subies au cours des 12 derniers mois dans l'espace public sont donnés dans le tableau suivant :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type de violences		&20-24 ans&25-34 ans&35-44 ans&45-59 ans&Total \\ \hline 
Insultes et menaces verbales&179&294&248&189&910\\ \hline
Agressions physiques		&20	&31	&25	&37	&113\\ \hline
Être suivie					&89	&112&85	&62	&348\\ \hline
Exhibitionnisme				&64	&64	&36	&26	&190\\ \hline
Avances et agressions sexuelles&47&50	&19	&11&127\\ \hline
Aucune agression			&318&\np{1383}&\np{1709}&\np{1872}&	\np{5282}\\ \hline
Total&717&\np{1934}	&\np{2122}&\np{2197}&\np{6970}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize (source : http://www.ined.fr/ Enquête Enveff)}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage, à 0,1\,\% près, des femmes ayant subi des insultes et menaces verbales parmi les femmes âgées de 20 à 24~ans, puis parmi les femmes âgées de 35 à 59 ans.

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés à $0,001$ près.}

\item On choisit au hasard une femme parmi les \np{6970} femmes interrogées. On considère les évènements suivants :

$A$ :  \og la femme est âgée de 20 à 24 ans \fg ;
    
$B$ : \og la femme a été suivie ou a subi des avances et une agression sexuelle \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase les évènements $A \cup B$ et $\overline{A}~ \cup  B$, puis calculer leur probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une femme âgée de 20 à 24 ans parmi les femmes interrogées.

Déterminer la probabilité pour qu'elle ait subi une agression physique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I = [0~;~7] par
 
\[f(t) = 50 t \text{e}^{-0,5 t + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (50 - 25 t) \text{e}^{-0,5 t + 1}$, pour tout $t$ de [0~;~7].
\item Étudier le signe de $f'(t)$.
\item Construire le tableau de variations de $f$ sur I.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $10^{-1}$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,4	&0,5	&1		&2	&3	&4		&5 	&6 		&7\\ \hline 
$f(t)$	&	&44,5	&		&82,4	& 	&91	&73,6	&	&40,6	& \\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\item On munit le plan d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 0,2~cm en ordonnées. Construire la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Avant de mettre sur le marché une nouvelle crème solaire, un laboratoire teste la qualité d'un composant agissant comme un réservoir d'hydratation pour la peau tout au long de l'exposition au soleil. Pour cela, il a mesuré le taux d'hydratation de la peau $t$ heures après l'application.

La fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} correspond au taux mesuré, exprimé en pourcentage, pendant 7 heures.

À l'aide de la \textbf{partie A}, indiquer le moment où le taux est maximum.

\emph{Dans les questions suivantes, faire apparaître les traits de construction utiles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le ou les moments où le taux d'hydratation est égale à 20\,\%.
\item La qualité est jugée satisfaisante pour commercialiser cette crème si le taux d'hydratation dépasse 50\,\% pendant une durée d'au moins six heures. À l'issue des résultats de ce test, le laboratoire peut-il commercialiser cette crème ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%    fin La Réunion septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%    Nouvelle Calédonie novembre 2006
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat SMS Nouvelle-Calédonie novembre 2006~\decofourright\\
}


Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Deux feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'espérance de vie d'une femme selon son année de naissance. (source INSEE,
bilan démographique).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1985	&1988	&1991	&1994	&1997 	&2000\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&0		&3		&6		&9		&12 	&15\\ \hline
Espérance de vie $y_{i}$	&79,4	&80,5	&81,1	&81,8	&82,2	&82,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On graduera l'axe des abscisses de $0$ à $25$. On prendra sur cet axe pour unité graphique : $1$ cm pour une unité. On graduera l'axe des ordonnées à partir de $79$. On prendra sur cet axe pour unité graphique : $2$ cm pour une unité.
		\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère.
		\item  On admet que la droite $(d)$ d'équation $y = 0,22x + 79,65$ constitue un bon ajustement de ce nuage.\\
Vérifier que le point G appartient a $(d)$.
		\item  Construire la droite $(d)$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item  Dans la suite de l'exercice on admet que la droite $(d)$ permet d'estimer l'espérance de vie des femmes nées jusqu'en 2010.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique et en laissant les traits de construction apparents, estimer l'espérance de vie d'une femme née en 2006.
		\item Sur la période de 6 ans allant de 1994 à 2000, l'espérance de vie a augmenté de 1,22\,\%.
		
Ce taux se maintiendra-t-il sur la période allant de 2000 à 2006 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}  
\item  Estimer graphiquement à partir de quelle année de naissance l'espérance de vie d'une fille devrait dépasser 85 ans.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Au cours d'une étude sur les rythmes cardiaques, on note toutes les cinq minutes à partir du temps $x =0$, correspondant au début de l'épreuve physique, le rythme cardiaque d'un sportif en pulsations par minute.

Les résultats obtenus ont permis de mettre en place un modèle mathématique étudié dans la partie A.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par
 
\[f(x) = - 2x + 60 + 32 \ln (x  + 1)\]

permet d'estimer le rythme cardiaque à l'instant $x$ exprimé en minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle [0~;~30] et vérifier que $f'(x) = \d
frac{2(15 - x)}{x + 1}$.
\item  Sur l'intervalle [0~;~30], étudier le signe de $f'(x)$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On y fera figurer les valeurs exactes de $f(0),~f(15),~ f(30)$.
\item  Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous, en arrondissant les valeurs à l'unité près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&5	&10	&15	&20	&25		&30\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&114	& 	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 2 cm pour 5~minutes sur l'axe des abscisses 1~cm pour 10~pulsations par minute sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}

\item  Au bout de combien de temps le rythme cardiaque est-il maximal ?

Quelle valeur atteint-il ?
\item  Quel est le rythme cardiaque du sportif au repos  ?
\item  À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  À quel instant le rythme est-il de 90 pulsations par minute ?
		\item  Dans les conditions de cette épreuve, on considère qu'une personne est en très bonne condition physique lorsque la durée pendant laquelle son c{\oe}ur bat à plus de 1,5 fois sa vitesse au repos est inférieure à vingt minutes. Ce sportif est-il en très bonne condition physique ? Justifier.
\item  De même, une personne est considérée en mauvaise condition physique lorsque son rythme cardiaque atteint ou dépasse le double du rythme au repos. Ce sportif est-il en mauvaise condition physique ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle Calédonie novembre 2006
\end{document}

Soient deux dés cubiques notés $D_1$ et $D_2$ dont toutes les faces
ont la même probabilité d'apparition.

Le dé $D_1$ a une face numérotée $1$ et cinq faces numérotées $2$.

Le dé $D_2$ a deux faces numérotées $1$, une face numérotée $2$ et
trois faces numérotées~$3$.

On jette le dé $D_1$ puis le dé $D_2$ et on regarde le chiffre obtenu
par chacun d'eux.

On appelle évènement élémentaire tout couple $(a,~ b)$ de deux
chiffres, où $a$ est le chiffre apparu  sur le dé $D_1$ et $b$ le
chiffre apparu sur le dé~$D_2$.

\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau à double entrée faisant apparaitre les $36$
  couples possibles.
\item Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
	  \begin{enumerate}[$A$ :]
		\item \og deux faces portent le même numéro \fg;
		\item \og deux faces portent des numéros différents \fg ;
		\item \og au moins une face porte le numéro $1$ \fg ;
		\item \og une des faces et une seule porte le numéro $3$ \fg.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements $(C \cap E)$ et $(C \cup E)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité
graphique $0,5\ cm$. On donne deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$
d'équations respectives $x+2y=30$ et $2x+y=30$
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $I$,
  intersection de ces deux droites.
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont
  les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système:
\[
\left \{ 
\begin{array}{l}
x \geqslant 0\\
y \geqslant 0\\
x + 2y \geqslant 30\\
2x + y \geqslant 30
\end{array}\right.
\]

\textbf{On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.}
\item Un cyclo-club désire acheter au moins un cuissard et au moins un
  coupe-vent pour équiper chacun de ses $60$ adhérents.
  
Le trésorier du club contacte deux fournisseurs.

Le premier propose un lot $A$ composé de $2$ cuissards et $4$
  coupe-vent, au prix de $80$ \euro{} ;
  
Le second propose un  lot $B$ de $4$ cuissards et $2$ coupe-vent, au
  prix de $90$ \euro{}.
  
On désigne par $x$ le nombre de lots $A$ et $y$ le nombre de lots $B$
  commandés par le trésorier.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le système de la question \textbf{2.}
  est un système d'inéquations traduisant les contraintes d'achat.
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $d$
  occasionnée par l'achat de $x$ lots $A$ et $y$ lots $B$.
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $80x+90y=1800$ dans le
  repère \Oij{}.
		\item En expliquant la méthode utilisée, déterminer graphiquement
  les valeurs de $x$ et de $y$ qui occasionnent la dépense
  minimale. Calculer alors cette dépense.
		\item En déduire la somme restant à la charge du club dans le
  meilleur des cas si chaque adhérent verse $10$ \euro{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $

\[f(x)=1 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal\Oij{} d'unité graphique $2\ cm$.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe  $(\mathscr{C})$ admet deux
  asymptotes et donner leur équation.
	\end{enumerate}
\item Soit $f'$ la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur  $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à
$(\mathscr{C})$ au point $A$ d'abscisse~$1$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T')$ à
$(\mathscr{C})$ au point $B$ d'abscisse $\mathrm{e}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant, pour
chaque valeur de $x$, une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près
 de $f(x)$:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  x&0,3&0,4&0,5&0,7&1&2&\mathrm{e}&4\\
  \hline
  f(x)&&&&&&&&\\
  \hline
\end{array}
\]
		\item Construire $(T)$ et $(T')$, les deux asymptotes puis la courbe  $(\mathscr{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
  \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
  $h(x)=0,5 [\ln x ]^2$.\\
  Montrer que $h$ est une primitive de la fonction $g$ définie par
  $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $] 0~;~ + \infty[$.
  \item En déduire une primitive de $f$ sur $] 0~;~+ \infty[$.
  \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en $cm^2$, l'aire $D$ du domaine plan limité par la
  courbe $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites
  d'équation $x = 1$ et $x=\mathrm{e}$.
		\item Calculer en cm$^2$, l'aire du domaine plan délimité par les
  droites d'équations $x = 1$, $x=\mathrm{e}$, $y = 1$ et l'axe des
  abscisses.
		\item En déduire, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la
  courbe $(\mathscr{C})$ et les droites d'équation $y = 1$, $x= 1$ et
  $x = \mathrm{e}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%  La Réunion juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Polynésie juin 2006

\begin{center}
 {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 2006 \decofourright}}
 \end{center}
 
 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}\\
Le tableau ci-dessous présente l'évolution des dépenses de santé en France, de 1960 à 2000 (en milliards d'euros).

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{9}{c|}}\hline
Année	& 1960	& 1965	& 1970	& 1975	& 1980	& 1985	& 1990	& 1995&	2000\\ \hline
Rang de &&&&&&&&&\\
l'année : $x_{i}$	& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6& 7& 8\\ \hline
Dépense en mil-&&&&&&&&&\\
liards d'euros : $y_{i}$& 1,6& 3,3& 6,2& 13,8& 28,9& 55,1& 80& 103,5& 121,7\\ \hline
\multicolumn{10}{l}{(\emph{source : Ministère de la Santé et de la Solidarité}).}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  De quel pourcentage la dépense a-t-elle augmenté entre 1995 et 2000 (arrondir le résultat à $10^{-1}$ près) ?
\item En 2000, la consommation de soins et biens médicaux (CSBM) s'élevait plus précisément à \np{121 673} millions d'euros. Dans cette somme, les médicaments représentaient \np{25 212} millions d'euros. Quel pourcentage de la CSBM cela représente-t-il ? (arrondir le résultat à $10^{-1}$ près).
\end{enumerate}
\item Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques : 

1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses

 1 cm pour 10 milliards d'euros sur l'axe des ordonnées.
 
\textbf{Dans la suite de l'exercice, compte tenu de l'allure du nuage, on s'intéresse à la série statistique correspondant aux six derniers points (du rang 3 au rang 8).}
\item Soit G Le point moyen de ces six derniers points. Calculer les coordonnées de G (arrondir l'ordonnée à $10^{-1}$ près).
\item On effectue un ajustement affine de la série, représentée par ces six derniers points, par la droite $D$ d'équation $y= ax - 56,7$, où $a$ est un réel à déterminer.
\begin{enumerate}
\item  Sachant que $D$ passe par le point G, calculer $a$ (arrondir le résultat  à $10^{-1}$ près).
\item Tracer $D$ sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\item On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2010.\\
À l'aide d'un calcul, estimer les dépenses de santé prévues pour 2010.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie à - Étude d'une fonction}\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1850 ;  2020] par : 
\[f(t) = 250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1850 ; 2020].
\item \begin{enumerate}
\item  Justifier que $f'(t)$ est positif sur l'intervalle [1850 ; 2020).
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera les valeurs exactes de $f(1850)$ et de $f(2020)$.
\end{enumerate}
\item Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à l'entier le plus proche).

\[\begin{array}{|*8{c|}}\hline
t	& 1850&1900&1950&1970&1990&2005&2020\\ \hline
f(t) &	&	& 318&	&	&	& \\ \hline
\end{array}\]

\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.\\
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère.\\
On prendra comme unités graphiques :

1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,

1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.\\
De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de 1850 et l'axe des ordonnées à partir de 270.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B - Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère}\\
\emph{Source Laboratoire CNRS de Glaciologie Université Joseph Fourier, Grenoble}\\
Une étude statistique a montré que la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) contenu dans l'atmosphère de 1850 à nos jours, exprimée en parties par millions (ppm), peut ôetre modélisée par la formule suivante :
 \[f(t) =  250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5}\]
  où $t$ représente l'année et $f(t)$ la teneur en dioxyde de carbone.\\
On supposera que ce modèle reste valable jusqu'en 2020.
\begin{enumerate}
\item  \emph{On fera apparaître sur le graphique, de la question A 4., les traits de construction utilisés pour répondre aux questions suivantes et l'on donnera les résultats à l'unité près.}

Estimer à l'aide du graphique
\begin{enumerate}
\item la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) qu'on peut prévoir en 2010,
\item l'année à partir de laquelle la teneur en dioxyde de carbone (CO$_{2}$) a dépassé 350 ppm.
\end{enumerate}
\item Déterminer le résultat de la question 1. a. par le calcul, en résolvant l'équation suivante :
\[250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5} = 350 \]
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin           %%%%%%%%%%%%% 