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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2008}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS 2008~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2008}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2008} \dotfill \pageref{Metropole}\\
\hyperlink{LaReunion}{La Réunion 18 juin 2008} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ 
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2008} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2008} \dotfill \pageref{Antillessep}\\
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\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  septembre 2008} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2008 
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole 23 juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).

\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte retire $0,5$ point et l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\emph{Si le total des points obtenus dans cette partie est négatif la note est ramenée à $0$.}

\textbf{On inscrira sur la copie le numéro et la lettre de la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Un article coûte 25~\euro, une remise de 45\,\% est effectuée. Son nouveau prix est obtenu en effectuant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ $25 \times 0,55$&	\textbf{b.}~ $25 \times \dfrac{45}{100}$&		\textbf{c.}~ $25\times 1,45$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le prix d'un article augmente de 16\,\% puis baisse de 16\,\%. Après ces deux évolutions successives :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ il a augmenté&	\textbf{b.}~ il est revenu au prix de départ &		\textbf{c.}~ il a baissé\\
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Pour les questions $3.$ et $4.$ on considère deux évènements} $A$ \emph{et} $B$ \emph{d'un univers $\Omega$.}

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

On donne : $p(A) =0,32~ ;~ p(B) = 0,24~ ;~ p(A \cap B) = 0,13$.
\item  La probabilité de l'évènement $A~\cup~B$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$p(A\cup B)=0,56$&	\textbf{b.}~~$p(A \cup B)=0,43$ &\textbf{c.}~~$p(A \cup B) = 0,69$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité de l'évènement $\overline{\text{A}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $p\left(\overline{A}\right)= 0,68$&	\textbf{b.}~~ $p\left(\overline{A}\right) = 1,24$ &\textbf{c.}~~ $p\left(\overline{A}\right) = 0,24$\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Dans une classe de Terminale sciences médico-sociales de 30 élèves, on sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des élèves sont des filles,
\item[$\bullet~$] 25 élèves désirent devenir infirmiers ou infirmières,
\item[$\bullet~$] 3 filles veulent devenir secrétaires médicales, aucun garçon ne le veut,
\item[$\bullet~$] tous les garçons de la classe veulent devenir infirmiers, excepté l'un d'entre eux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Métier projeté}{Sexe}&	Garçon&	Fille&	Total\\ \hline
Infirmier(e)		&	&	&\\ \hline
Secrétaire médicale	&	&	&\\ \hline
Autre				&	&	&\\ \hline
Total				&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   On interroge au hasard un élève de cette classe. On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og l'élève interrogé veut devenir infirmier ou infirmière \fg{},
\item[] $B$ : \og l'élève interrogée est une fille \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ et celle de l'évènement $B$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$ puis calculer sa probabilité. 
		\item Calculer $p(A \cup B)$.
 	\end{enumerate}
\item   On interroge au hasard une fille de cette classe. On considère l'évènement :

$C$ : \og  la fille interrogée veut devenir secrétaire médicale \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
Dans un laboratoire on injecte dans le sang d'un patient une certaine substance. 

On en mesure la concentration, en gramme par litre (g$\cdot $L$^{-1}$), en fonction du temps $x$ exprimé en heures. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}
{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps écoulé : $x_{i}$ (en h)	&0	&1	&2	&3	&4		&5	&6	&7		&8\\ \hline
Concentration : $y_{i}$ 
(g$\cdot$ L$^{-1}$)				&3,8&4,5&4,2&3,6&3,1	&3	&2,9&2,9	&2,8\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A : ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire, sur la feuille de papier millimétré fournie, le nuage de points représentant cette série. On prendra comme unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  2 cm pour une heure sur l'axe des abscisses
\item  5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près). Placer le point G sur le graphique.
\item  On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point G et dont le coefficient directeur vaut $- 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item  On suppose que la droite $\mathcal{D}$ réalise un ajustement affine du nuage de points. En utilisant la droite $\mathcal{D}$, donner une estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près).
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : ajustement exponentiel}

\medskip

Étant donnée la forme du nuage, les biologistes de ce laboratoire en cherchent un autre ajustement. Ils considèrent la fonction $f$ définie par
 
\[f(x) = 2,75 + 2x\text{e}^{1 - x}\]

sur l'intervalle [0~;~10], où $x$ représente le temps écoulé en heures.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ puis vérifier que 

$f'(x) = (2 - 2x)\text{e}^{1 -x}.$
\item  À l'aide d'un tableau, donner le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  Si l'on utilisait la fonction $f$ quelle serait l'estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures ? (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près)
\item  Afin de choisir le meilleur ajustement, les biologistes décident de construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on arrondira ces valeurs à $10^{-2}$ près).
		
\medskip

\begin{tabularx}
{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(x)$ 	&	&4,75	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent, sur l'intervalle [0~;~8].
 	\end{enumerate}
\item Quel est l'ajustement qui paraît le mieux adapté ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2008
\hypertarget{LaReunion}{}

\label{LaReunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion 18 juin 2008~\decofourright}}

\bigskip

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point.
 
Toutes, les questions sont indépendantes.
  
\medskip
  
Recopier et compléter sur la copie le tableau ci-dessous en indiquant la réponse jugée correcte (a, b ou c), sans justification.
  
\medskip
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question		&1	&2	&3a	&3b	&4	&5	&6	&7\\ \hline
Réponse choisie	&	&	&	&	&	&	&	& 	\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur [0 ; 10], d'expression : 

\[f(x) = 3x^2 - 5x.\]

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point A d'abscisse $0$ est égal à :
	
\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
\textbf{a.~~}$-5$&\textbf{b.~~}$3$&\textbf{c.~~}$0$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item 	On donne la courbe d'une certaine fonction $g$, définie et dérivable sur $[- 2~;~2]$.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,0)(5,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-5,0)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-5,0)(5,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x dup mul 1 add}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\end{pspicture} 
 \end{center}
 
\bigskip
 
Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Par lecture graphique $g'(0)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
\textbf{a.~~}$3$&\textbf{b.~~}$0$&\textbf{c.~~}$-3$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Dans un lycée, on s'intéresse à l'ensemble des \np{1000} fiches des élèves de l'établissement.

30\,\% de ces fiches sont celles des élèves de la filière SMS. Un tiers des fiches des élèves de la filière SMS sont celles d'élèves en terminale.
	\begin{enumerate}
		\item  Le nombre d'élèves en terminale SMS est de :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
\textbf{a.~~}$300$&\textbf{b.~~}$100$&\textbf{c.~~}$900$\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item 	On choisit au hasard une fiche d'un élève de SMS, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie. La probabilité que cette fiche soit celle d'un élève en terminale est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{\np{1000}}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{300}$&\textbf{c.~~}
$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
 
 \medskip
 
 	\end{enumerate}
\item	Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$	et de premier terme $u_{0} = 5$. Le terme d'indice 13 est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\	
\textbf{a.~~}$6,5$&\textbf{b.~~} $13$&\textbf{c.~~}$11,5$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la série statistique suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs $x_{i}$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
Effectifs $n_{i}$	&2	&4	&1	&2	&1	&2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La moyenne arithmétique de cette série est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}\\
\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{2}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{13}{6}$&\textbf{c.~~}$1,25$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item	($\mathcal{C}$) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

On suppose que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =4$.
  
La courbe ($\mathcal{C}$) admet donc :

\textbf{a.~~} une asymptote verticale d'équation : $ x =4$ ;

\textbf{b.~~} une asymptote horizontale d'équation : $y =  4$ ;

\textbf{c.~~} une tangente d'équation : $y = 4 x + 4.$
\item	Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression : $f(x) = - \text{e}^{-2x}$.

La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(x) = 2\text{e}^{-2x}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-2x}$&\textbf{c.~~} $f'(x) = 2\text{e}^{2x}$
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~20], d'expression :
 
\[f(x) = 0,2x + 0,5\ln (2x + 1)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~20]. Vérifier que : $f'(x) = \dfrac{0,4x + 1,2}{2x + 1}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~20].
		\item  En déduire le tableau de variations de $f$ sur [0~;~20].
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de $f(x)$ arrondies à $0,01$.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1	&2		&4	&7		&10		&13		&16		&20\\ \hline
$f(x)$	&	&	&1,20	&	&		&3,52	&		&4,95	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\item	Déterminer une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ à la courbe $\mathcal{C}$.
\item	Tracer la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{On définit  l'indice de masse corporelle (IMC) comme le quotient du poids d'un individu par le carré de sa taille. Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un individu est dit en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à $25$ et il est dit obèse si son IMG est supérieur ou égal à $30$.}

\medskip

Pour un nombre $x$ de personnes de la population française en surpoids, une étude a montré que l'on peut admettre que le nombre d'obèses est donné par:

\[f(x) = 0,2x + 0,5\ln (2x + 1)\]

($x$ et $f(x)$ étant exprimés en millions de personnes).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de personnes obèses quand le nombre de personnes en surpoids est de $8,5$~millions de personnes.
\item 	Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item  Le nombre de personnes obèses pour douze millions de personnes en surpoids.
		\item  Le nombre de personnes en surpoids lorsque le nombre d'obèses est de deux millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2008
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 2008 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Avant l'entrée des enfants à l'école primaire, les médecins et infirmiers du Ministère de l'Éducation Nationale effectuent un bilan de santé. Ces professionnels de santé ont été chargés de réaliser une enquête auprès d'un échantillon national de \np{30000}~élèves examinés en 2000-2001.

\medskip

On étudie ici les résultats d'un groupe de 555 élèves de Champagne-Ardenne au sujet de leur poids.

\textbf{Pour ce groupe :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $275$ enfants sont des filles ;
\item[] $12$\,\% des filles sont concernées par un surpoids modéré;
\item[] $252$~garçons ont un poids normal et parmi les garçons 7,5\,\% ont un surpoids modéré ;
\item[]  $18$~enfants sont obèses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par un calcul que $21$~garçons et $33$~filles du groupe ont un surpoids modéré.
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Élèves			&Filles	&Garçons&Total\\ \hline
Poids normal	&		&		&\\ \hline
Surpoids modéré	&33		& 21	&\\ \hline
Obèse			&		&		&\\ \hline
Total			&		&		&555\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{(Source : flash STAT 2003)}
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près.}

On choisit au hasard l'un des 555 élèves du groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item On note $A$ l'évènement suivant : \og L'enfant choisi présente un surpoids modéré \fg{} et $B$ l'évènement : \og L'enfant choisi est obèse \fg. 
		
Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cup B$ et calculer sa probabilité.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A \cup  B}$ et calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une fille parmi les $555$~enfants du groupe. Calculer la probabilité que cette fille soit obèse.
\item  L'enquête réalisée auprès de l'échantillon national de \np{30000}~élèves indique que 86\,\% des enfants ont un poids normal. Qu'en est-il du groupe étudié en Champagne-Ardenne ?

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9] par :

\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer les valeurs exactes de $f(0),~f(3),~f(9)$.

\item  Calculer $f'(t)$ où $f'(t)$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :

\[f'(t)= 2\text{e}^{- \frac{t}{3}}(3 - t).\]

\smallskip

\item   Résoudre l'équation $f'(t) = 0$ et étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~9].
\item   En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9].
\item   Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item   Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&0,5&1		&1,5&2		&3	&4	&5  &6 &7   &8&9\\ \hline
$f(t)$	&	&2,5&	 	&5,5&6,2	&	&  	&5,7&  &4,1 & &2,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Sur une feuille de papier millimétré, construire la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal en prenant $2$~cm pour une unité sur chaque axe.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Les pénicillines naturelles sont des antibiotiques extraits de cultures de la moisissure \emph{Penicillium}. La pénicilline V, administrée par voie orale est une des molécules naturelles le plus souvent prescrite.

 Un patient a absorbé par voie orale de la pénicilline V. On admet que la concentration de pénicilline V dans son sang (en milligrammes par litre) en fonction du temps $t$ (en heures) après le début du traitement est donnée par :
 
\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la concentration de pénicilline V présente dans le sang au bout de 2~h 30~minutes après la prise du traitement (\emph{donner ce résultat sous forme décimale arrondie à $0,1$~près}).
\item Au bout de combien de temps la concentration de pénicilline V est-elle maximale ? Quelle est alors cette concentration à $0,1$~près ? 
\item  Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration de pénicilline V reste supérieure ou égale à $5$ milligrammes par litre (\emph{indiquer sur le dessin de la partie A les traits de construction utiles}). Exprimer le résultat en heures et minutes.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane  septembre 2008
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep} 
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Antilles--Guyane septembre 2008~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 9 points}

\medskip

144 coureurs se sont inscrits à une course pédestre de 10 km. 

Parmi les 144 coureurs, 73 sont non licenciés. 

Par ailleurs, 13 non licenciés et 26 licenciés parcourent la distance en moins de 40 minutes. 

Il y a 20 personnes qui parcourent la distance en plus de 50~minutes et parmi celles-ci, 3 sont licenciées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter ce tableau après l'avoir reproduit. 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Licenciés &Non licenciés& TOTAL\\ \hline 
Moins de 40 minutes &&& \\ \hline
De 40 à 50 minutes &&&\\ \hline 
Plus de 50 minutes&&& \\ \hline 
TOTAL &&&144\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item En arrondissant chaque résultat au centième, calculer le pourcentage : 
	\begin{enumerate}
		\item de non licenciés parmi les coureurs. 
		\item de coureurs qui parcourent la distance entre 40 et 50~minutes parmi les licenciés. 
	\end{enumerate}
\item Les renseignements précédents sont repris sur 144 fiches, une par coureur.
 
On choisit, au hasard, une fiche parmi les 144, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie. 

On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og la fiche choisie est celle d'un coureur parcourant la distance en moins de 40 minutes \fg.

$B$ : \og la fiche choisie est celle d'un coureur licencié \fg. 

\emph{Les probabilités seront arrondies au centième.} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ et celle de l'évènement $B$. 
		\item Soit $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$. Décrire l'évènement contraire $\overline{A}$ par une phrase et calculer sa probabilité. 
		\item Décrire l'événement $A \cap B$ par une phrase et calculer sa probabilité. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement suivant : 
		
$C$ : \og la fiche choisie est celle d'un coureur licencié ou qui parcourt la distance en moins de 40 minutes \fg. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE A} \end{center} 

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~20], d'expression :

\[f(t) = 2t\text{e}^{-0,25t}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~ 20]. 

Vérifier que : $f'(t) = (2 - 0,5t)\text{e}^{-0,25t}$. 
\item  Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~20]. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~;~20]. 
(On écrira les valeurs, arrondies au dixième, de $f(0)$, de $f(20)$ et du maximum). 
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies au dixième. 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2 	&4 	&6 	&8	&10 &12 &15 &20\\ \hline 
$f(t)$	&0	&1,6&	&	&	&2,2&	&	&	&0,3\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\medskip
 
\item À l'aide des questions précédentes, construire sur la feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 
\item[] 2 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE B} \end{center}
 
Avant de subir un examen médical, un patient doit absorber un certain produit. 

Sachant que la fonction $f$ est celle étudiée dans la partie A, on admet que $f(t)$ représente la quantité de ce produit dans le sang du patient (en mg.L$^{-1}$) à l'instant $t$ (exprimé en heures). L'instant $t = 0$ est le moment où le patient absorbe le produit.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de temps après la prise du produit la quantité de celui-ci dans le sang du patient est-elle maximale ? 
\item Pour que l'examen effectué par le médecin soit fiable, il faut que la quantité de produit dans le sang du patient soit supérieure à 2~mg.$^{-1}$. 

Estimer graphiquement l'intervalle de temps dont dispose le médecin pour effectuer son examen (on laissera apparents les traits de construction). 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole septembre 2008  
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole--La Réunion septembre 2008~\decofourright}}\\

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant donne, en milliards d'euros, les dépenses de santé en France de 2001 à 2007. Ces dépenses sont déterminées au 31 décembre de chaque année.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006	&2007\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Dépenses de santé en
 milliards d'euros : $y_{i}$&122	&130	&137,5	&145	&150	&155	&157,5\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{D'après des données de l'INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le taux d'augmentation des dépenses de santé entre 2001 et 2007 (on donnera un arrondi du résultat, exprimé en pourcentage, à 0,01\,\% près).
		\item  Calculer les dépenses en médicaments en 2007 sachant qu'elles représentaient 21\,\% des dépenses totales de santé au cours de cette même année (on arrondira le résultat au milliard près).
	\end{enumerate}
\item Sur l'une des feuilles de papier millimétré fournie, représenter par un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ la série statistique correspondant aux données du tableau ci-dessus. On utilisera un repère orthogonal du plan tel que :
	\begin{itemize}
	\item[$\bullet~$] 2~cm représentent une année sur l'axe des abscisses,
	\item[$\bullet~$] 2~cm représentent 10~milliards d'euros sur l'axe des ordonnées (cet axe sera gradué de 100 à 200).
	\end{itemize}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira son ordonnée au dixième). Placer le point G sur le graphique.
		\item  Soit $(\mathcal{D})$ la droite de coefficient directeur $5,9$ passant par le point G, déterminer une équation cartésienne de la droite $(\mathcal{D})$. Tracer la droite $(\mathcal{D})$ sur le graphique.
		\item  Cette droite vous paraît-elle représenter un bon ajustement du nuage de points ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item On admet que l'ajustement réalisé par la droite $(\mathcal{D})$ est valable jusqu'en 2009. Déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item  une estimation des dépenses de santé en 2008,
		\item  l'année au cours de laquelle ces dépenses dépasseront 170~milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\item  Justifier par un calcul les résultats de la question \textbf{4}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~7] par :

\[f(t) = 0,6\text{e}^{-0,8t} + 0,84.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(t)$.
		\item  Étudier le signe de $f(t)$ sur l'intervalle [0~;~7] et dresser le tableau de variations de $f$.
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près).
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2		&3	&4	&5	&6		&7\\ \hline
$f(t)$	&	&	&0,96	&	&	&	&0,84	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

 	\end{enumerate}
	
\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. On prendra 2~cm par unité sur l'axe des abscisses et 10~cm par unité sur l'axe des ordonnées.

On appelle (T) la droite tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le coefficient directeur de la droite (T) est $- 0,48$. 
		\item  Donner une équation cartésienne de la droite (T).
		\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection I de la droite (T) avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Sur la seconde feuille de papier millimétré fournie, tracer la courbe $\mathcal{C}$,la droite (T) et placer le point I dans le repère précédent.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On injecte du glucose à un patient par voie intraveineuse. On choisit comme instant $t = 0$ celui où le glucose commence à être éliminé par l'organisme.

 La fonction $f$ de la partie A donne, à l'instant $t$ exprimé en heures, la glycémie exprimée en grammes par litre de sang.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le graphique de la partie A en mettant la légende sur les axes.
\item  Calculer la glycémie de ce patient au bout d'une heure et trente minutes (on arrondira le résultat à $10^{-2}$ près).
\item  Déterminer graphiquement : 
	\begin{enumerate}
		\item le temps au bout duquel la glycémie descend à $1,24$~grammes par litre,
		\item le temps, mesuré depuis l'instant $t = 0$, au bout duquel la glycémie aura diminué de $0,5$~gramme par litre.
(on arrondira chaque résultat à cinq minutes près et on fera apparaître les traits de construction utiles à ces lectures)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2008 
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\label{Polynesiesep}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.}

Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.

\medskip
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point Chaque réponse fausse retire $0,5$~point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\begin{center}
Aucune justification n'est demandée.
\end{center}
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en inscrivant pour chaque question la lettre a, b ou c correspondant à la réponse que vous pensez être correcte.
 
\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question	&1	&2	&3	&4	&5A	&5B	&5C&5D\\ \hline
Réponse	&	&	&	&	&	&	&&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Les solutions de l'inéquation $3x + 2 \geqslant  9x -16$ sont :
	\begin{enumerate}
		\item tous les nombres supérieurs ou égaux à 3
		\item tous les nombres inférieurs ou égaux à 3
		\item tous les nombres inférieurs ou égaux à $- 3$
	\end{enumerate}
\item  Dans une classe de 36 élèves, 32 sont allés à l'étranger, dont 16 en Angleterre, 18 en Espagne et 4 dans ces deux pays. On choisit au hasard un élève de cette classe. La probabilité pour qu'il soit allé seulement en Angleterre est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{7}{18}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{4}{9}$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par $f(x) = \dfrac{4}{2x - 1}$. La fonction	 dérivée $f'$ est définie par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(x) = \dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{12x + 5}{(2x - 1)^2}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{-8}{(2x - 1)^2}$\\
 \end{tabularx}

\item  Le nombre A $= \dfrac{3\times 10^6 - 0,25 \times 10^5}{0,25}$ s'écrit sous la forme :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$2,9 \times 10^6$&\textbf{b.~~}$1,19 \times 10^7$&\textbf{c.~~}$2,9^6$\\
 \end{tabularx}

\item   Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~5]$, dont on donne la courbe représentative ci-dessous. Répondre aux questions A, B, C et D.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{center}\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(9,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(-6,-6)(9,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-6)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{x 3 exp 10 div x dup mul 3 mul 10 div sub 18 x mul 10 div sub 4 add}
\uput[ur](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8.8,0){$x$}\uput[r](0,5.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \medskip
 
\textbf{A.} Sur l'intervalle [0~;~2], la fonction est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}négative&\textbf{b.~~}croissante&\textbf{c.~~}décroissante
\end{tabularx} 

\textbf{B.} L'inéquation $f(x) \leqslant  0$ a pour ensemble de solutions :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}[2~;~5]&\textbf{b.~~}$[-1,6~;~3,6]$&\textbf{c.~~}$[-3~;~0]$
\end{tabularx} 
 
\textbf{C.} L'équation $f(x) = 0$ a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}une solution&\textbf{b.~~}deux solutions &\textbf{c.~~}trois solutions
\end{tabularx}
 
\textbf{D.}  Le nombre dérivé $f'(0)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}positif&\textbf{b.~~}négatif&\textbf{c.~~}égal à zéro
\end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ~;~ 10] par :

\[f(x) = x\text{e}^{-0,25x} + 2.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :

\[f'(x) = \text{e}^{-0,25x}(1 -  0,25x).\]

\smallskip

\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] (\emph{les valeurs figurant dans ce tableau seront données sous forme exacte}).
\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{on donnera des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près})

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	& 1		&2	&3		&4	&5	&6		&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(x)$	&	&2,78	&	&3,42	&	&	&3,34	&	&	&	&2,82\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur une feuille de papier millimétré, construire la courbe 
$\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 1~cm représente une unité,
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 10~cm représentent une unité et on graduera à partir de 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Dans un hôpital, les dépenses de téléphone par année sont données dans le tableau ci-dessous pour six années consécutives.

On désigne par $x_{i}$ le rang de l'année et par $y_{i}$ le montant  des dépenses  de téléphone en milliers d'euros pour l'année de rang
$x_{i}$.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\ \hline
$x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
$y_{i}$	&2,1	&2,75	&3,25	&3,38	&3,5	&3,4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère précédent.

\item L'observation du graphique précédent nous permet d'admettre qu'une bonne estimation du montant en milliers d'euros des dépenses de téléphone pour l'année de rang $x$ est donnée par la valeur de $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer par un calcul le montant des dépenses de téléphone en 2008.
		\item  Estimer, par une méthode graphique, à partir de quelle année la dépense redeviendra inférieure à \np{3000}~euros (\emph{on fera figurer les tracés utiles sur le graphique.})
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 2008 
\end{document}