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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2009~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2009}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}  
\hyperlink{Antillesappli}{Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2009} \dotfill \pageref{Antillesappli}\\
\hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2009} \dotfill  \pageref{Metroappli}\\
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\hyperlink{Antillescivil}{Antilles--Guyane Génie civil juin 2009} \dotfill \pageref{Antillescivil}\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2009} \dotfill  \pageref{Metrocivil}\\
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\hyperlink{Metrocivilsept}{Métropole  Génie civil septembre 2009} \dotfill \pageref{Metrocivilsept}\\
\hyperlink{Polynesiecivilsep}{Polynésie Génie civil septembre 2009}\dotfill \pageref{Polynesiecivilsep}\\
\hyperlink{Caledocivil}{Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2009} \dotfill \pageref{Caledocivil}\\
\hyperlink{Caledocivilmars}{Nouvelle-Calédonie Génie civil mars 2010} \dotfill \pageref{Caledocivilmars}\\
\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles--Guyane Génie électronique juin 2009} \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2009} \dotfill   \pageref{Metroelectro}\\
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\hyperlink{Antilleselectrosept}{Antilles-Guyane Génie électronique septembre 2009} \dotfill  \pageref{Antilleselectrosept}\\
\hyperlink{Metroelectrosept}{Métropole Génie électronique septembre 2009} \dotfill  \pageref{Metroelectrosept}\\
\hyperlink{Caledoelectro}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2009} \dotfill  \pageref{Caledoelectro}\\
\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles-Guyane Génie des matériaux juin 2009} \dotfill   \pageref{Antillesmateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2009} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Antillesmateriauxsept}{Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2009} \dotfill\pageref{Antillesmateriauxsept}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2009} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%    Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2009
\hypertarget{Antillesappli}{}

\label{Antillesappli}
\chead{\small L'intégrale 2009}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]juin 2009}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Parmi les 90 élèves de la section STI Arts appliqués d'un lycée : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 90\,\% aiment dessiner 
\item[$\bullet~$] 80\,\% aiment réaliser des maquettes
\item[$\bullet~$] Parmi ceux qui n'aiment pas dessiner les 2/3 aiment réaliser des maquettes
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
									&Aiment dessiner 	&N'aiment pas dessiner 	&Total\\ \hline 
Aiment réaliser des maquettes		&					&						&\\ \hline
N'aiment pas réaliser des maquettes	&					&						&\\ \hline
Total								&					&						&90 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, donner les probabilités sous forme de fraction irréductible puis en donner l'arrondi à }\boldmath $10^{-3}$.\unboldmath 
\item Parmi les 90 élèves de la section on choisit un élève au hasard.

On note $D$ l'évènement : \og l'élève choisi aime dessiner \fg.
  
On note $M$ l'évènement : \og l'élève choisi aime réaliser des maquettes \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer à l'aide d'une phrase chacun des évènements $D \cap M,~ \overline{D}$ et $\overline{D}  \cap \overline{M}$. 
		\item  Déterminer la probabilité de chacun de ces trois évènements.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les élèves qui aiment dessiner, on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que cet élève aime réaliser des maquettes ? 
\item On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il aime dessiner ou réaliser des maquettes ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par

\[f(x) = 4x + 1 - \text{e}^x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. 
		\item Déterminer $f(0),~f(\ln(4))$ et $f(2)$ (valeurs exactes puis valeurs arrondies à $1O^{-3}$). 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par 

\[g(x) = \ln (2x + 1).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
Déterminer l'expression de $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. 
		\item Démontrer que $g'(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. 
		\item Déterminer $g(0)$ et $g(2)$, on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à $10^{-3}$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l' intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate} 
\item  Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm.
 
L'origine de ce repère sera placée dans le coin en bas à gauche de la feuille millimétrée.

Tracer sur le même dessin les représentations graphiques $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
		
En déduire la valeur exacte de l'intégrale I $  = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$. 
		\item Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = \left( x + \dfrac{1}{2}\right)\ln(2x + 1) - x$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~2].
		 
En déduire la valeur exacte de l'intégrale J $ = \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x$. 
		\item  On admet que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
		 
Donner en unités d'aires la valeur exacte de l'aire de la portion de plan délimitée par les deux courbes tracées et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$, puis en donner la valeur en cm$^2$ arrondie à $10^{-2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    Fin Antilles-Guyane Arts appliqués juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%    Métropole--La Réunion  Arts appliqués juin 2009
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués 19 juin 2009~\decofourright\\[5pt]Métropole--La Réunion }

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Recopier pour chaque question le numéro de question suivi de la proposition qui vous semble exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.\\
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1}$ alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = 0$&\textbf{b.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$&\textbf{c.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = + \infty$
\end{tabularx}

\medskip
  
\item Une autre écriture de $\text{e}^{- \ln (2)}$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 2$&\textbf{b.}$\quad - 2$&\textbf{c.}$\quad \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur l'ensemble $]1~;~+ \infty[$, l'équation $\ln(x - 1) = 1$ admet comme solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 1$&\textbf{b.}$\quad 1 + \text{e}$&\textbf{c.}$\quad  \text{e} - 1$
\end{tabularx}

\medskip

\item  Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la conique $C$ d'équation
  
$4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ ;  alors :

	\begin{enumerate}
		\item $C$ n'a pas de foyer ;
	\item $C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{5}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{5}~ ;~0\right)$ ;
	\item $C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{3}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{3}~ ;~0\right)$. 
	\end{enumerate}
\item  Soient $A$ et $B$  deux évènement associés à une expérience aléatoire. Pour tout  évènement  $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
 
On suppose que : $p(A) = 0,25,\: p(B) = 0,6$  \: \text{et}\: $p(A \cup B) = 0,7$,  alors $p(A \cap  B)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 0,35$&\textbf{b.}$\quad 0,85$&\textbf{c.}$\quad 0,15 $
\end{tabularx}

\medskip 

\item Le plan est rapporté à un repère  orthonormal. On considère les points E$(0~;~- 1)$ et F$\left(3\sqrt{5}~;~1\right)$.
 
La distance EF est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 3\sqrt{5}$&\textbf{b.}$\quad 7$&\textbf{c.}$\quad \sqrt{7}$
\end{tabularx}

\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x} + 1$. Une primitive $F$ de la fonction $f$  est définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad F(x) = \text{e}^{2x} + x$&\textbf{b.}$\quad F(x) = 2\text{e}^{2x}$&\textbf{c.}$\quad F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x - 3$
\end{tabularx}

\medskip  

\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; on considère la conique $C_{1}$ d'équation 

$5x^2 - y^2 - 25 = 0$ et la droite $D_{1}$ d'équation $y = x$.
 
La conique $C_{1}$ et la droite $D_{1}$ : 
	\begin{enumerate}
		\item n'ont pas de point d'intersection 
	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2}~ ;~\dfrac{5}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{5}{2}~ ;~-\dfrac{5}{2}\right)$. 
	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$ et  $\left(-\sqrt{5}~;~0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Le but de ce problème est de calculer la surface d'un pendentif en forme de tulipe.
 
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

On choisit pour unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. 
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $  = [0~;~ 3]$ par : 

\[f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4}{3}x^2 -2x + 3.\]
 
La courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} est notée $\mathcal{C}_{f}$ et donnée en annexe.
 
Ce graphique sera complété au fur et à mesure du problème. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale K$ = \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle  I $  = [0~;~3]$ par 

\[g(x)  = (3 - x)\text{e}^{x}.\]
 
On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle I, on, a $g'(x) = (2 - x)\text{e}^{x}$ où $g'$ désigne la fonction  dérivée de la fonction $g$.
\item  Étudier le signe de $g'$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ (arrondir les valeurs au dixième). 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1		&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$g(x)$	&	&		&5,4	&6,7&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Compléter le graphique de la feuille annexe en traçant la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = (4 - x)\text{e}^{x}$ est une primitive de la fonction $g$.
		\item Donner la valeur exacte de l'intégrale J$ = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer $P_{1}$ la portion de plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$. 

\item Construire les courbes $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$ symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$ par rapport à l'axe des abscisses. 
\item Hachurer $P_{2}$ la portion de plan comprise entre  $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$. 
\item En utilisant les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b., exprimer en unités d'aire l'aire du motif représenté par les portions de plan $P_{1}$ et $P_{2}$.
 
En déduire une valeur exacte de l'aire en cm$^2$ puis la valeur arrondie au cm$^2$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(3.25,8.5)
\multido{\n=-.500+0.125}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-8)(\n,8.5)}
\multido{\n=-8+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(3.25,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-8)(3.25,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](3.25,0){$x$}\uput[l](0,8.5){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[u](2.5,1.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{4 3 div x dup mul mul 2 x mul sub 3 add x 3 exp 3 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   Fin Arts appliqués juin 2009 Métropole--La Réunion
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués septembre 2009
\hypertarget{Metroapplisept}{}

\label{Metroapplisept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.

\textbf{Justifiez vos réponses.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.

On tire au hasard une carte de ce jeu.
 
On considère les évènements suivants :
 
$C$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur \fg{}

$R$ : \og la carte tirée est un roi \fg{}
 
$C \cup R$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur ou un roi \fg.

Pour tout évènement $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
 
(P1) La probabilité de l'évènement $C \cup R$ est :
 
$p(C \cup R) = p(C) + p(R) = \dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32} = \dfrac{12}{32}$  c'est-à-dire $p(C \cup R) = \dfrac{3}{8}$. 

\medskip

\item  Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
On considère la conique d'équation cartésienne : $x^2 + 4 y^2 = 16$.
 
(P2) Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F$\left(2\sqrt{3}~;~ 0\right)$ et F$'\left(-2\sqrt{3}~;~0\right)$. 
\item  On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $] 0~;~ + \infty[$ par: $F(x) = 5 - x + x \ln (x)$.
 
(P3) 	$F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$. 
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^2 - 2 x + 2$.
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm est donnée ci-dessous. 

(P4) L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $\dfrac{8}{3}$ en cm$^2$.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine O, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : 

\[f(x) = x - \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = (1 - x)\text{e}^x\]

ainsi qu'une droite $D$ passant par l'origine O.
 
\medskip
\begin{figure}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](4.25,0){$x$} \uput[l](0,3.25){$y$}\uput[dr](3,3){$D$}
\uput[ur](0.5,-1.2){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{1}$}}\uput[dr](1.4,-1.5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_{2}$}}
\psplot{-5}{3.5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.8}{1.95}{x 2.71828 x exp sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5.5}{1.85}{2.71828 x exp 1 x sub mul}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{figure}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse. 
\item  Calculer la limite de $f(x) - x$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
 
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote oblique et en donner une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $g$\unboldmath.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\item  Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ puis établir le tableau de variations de la fonction $g$. 
\item  Indiquer si la fonction $g$ admet des extremums sur $\R$. 
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Partie C : Intersection des courbes représentatives de \boldmath $f$\unboldmath et \boldmath $g$\unboldmath}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = f(x) - g(x)$.
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout réel $x  : h'(x) = 1 - g(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. 
\item  En utilisant l'étude de la fonction $g$, déterminer pour tout $x$ réel le signe de $h'(x)$. Donner alors le tableau de variations de la fonction $h$. 

Les limites de la fonction $h$ en $+ \infty$ et $- \infty$ ne sont pas demandées. 
\item  Justifier que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1~;~2[$.

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\item  Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle $]1~;~2[$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole arts appliqués septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane génie civil juin 2008
\hypertarget{Antillescivil}{}

\label{Antillescivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique,\\ énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Une agence de voyage propose trois durées de séjours - un week-end, une semaine, ou deux semaines - et deux types de destination - France ou Étranger.
 
Parmi les dossiers de l'agence, on constate que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 60\,\% de séjours ont lieu en France; 
\item 20\,\% des séjours en France durent deux semaines; 
\item pour les séjours en France, il y a deux fois plus de séjours d'un week-end que de séjours d'une semaine ; 
\item 75\,\% des séjours à l'étranger durent deux semaines ; 
\item il y a autant de séjours d'un week-end que de deux semaines.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  L'agence a traité 250 dossiers. Reproduire puis compléter le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&France &Étranger 	&Total \\ \hline
Le week-end		&		&			&\\ \hline 
La semaine		&		&			& \\ \hline 
Deux semaines	&		&			&\\ \hline 
Total			&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

\item On choisit un dossier au hasard parmi les 250 dossiers traités. Calculer la probabilité des évènements suivants (on exprimera les résultats sous forme de fractions) : 
	\begin{enumerate}
		\item F : \og le dossier choisi est, celui d'un séjour en France \fg{} ; 
		\item S : \og le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines \fg{}; 
		\item Sachant que le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines, quelle est la probabilité qu'il soit celui d'un séjour en France ?
	\end{enumerate}
	 
Dans la suite, on considère que la probabilité pour un client de choisir un séjour d'un week-end ou de choisir un séjour de deux semaines est la même, égale à $0,42$.
 \item Le traitement d'un dossier par l'agence a un coût : appels téléphoniques, recherches, temps passé, \ldots
 
Les frais de dossier s'élèvent pour l'agence à :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 euros pour un séjour d'un week-end ; 
\item 5 euros pour un séjour d'une semaine ; 
\item 15 euros pour un séjour de deux semaines ; 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque type de dossier associe son coût. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer E($X$), espérance mathématique de $X$. On fera apparaître de façon détaillée l'application de la formule donnant E($X$). 
		\item Par souci de commodité, l'agence demande une somme forfaitaire à chaque client quelque soit le type de séjour qu'il a choisi.
		 
Quelle somme doit-elle demander à chaque client pour espérer rentrer au moins dans ses frais ? Expliquer cette réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.

 Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse sur la copie.
  
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse est comptée 0 point.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nombre complexe $z = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ a pour module et argument respectivement : 

\textbf{Réponse A :} 1 et $\dfrac{\pi}{6}$ ; 
 
\textbf{Réponse B :} 2 et  $\dfrac{\pi}{3}$ ;

\textbf{Réponse C :} 4 et $-\dfrac{\pi}{3}$ 

\item Le plan complexe est rapporté au repère \Ouv.
 
Le point d'affixe $1 + \text{i}$ appartient:

\textbf{Réponse A :} au cercle de centre O et de rayon 1 ; 

\textbf{Réponse B :} à la droite d'équation $y =-x$ ;

\textbf{Réponse C :} au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$. 

\item Une solution de l'équation $\dfrac{z - \text{i}}{z + \text{i}} = - \text{i}$ 	 est : 
 
\textbf{Réponse A :} 1 ;  \textbf{Réponse B :} i ;   \textbf{Réponse C :} $0$.

\item   L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que : $\left|z +  \text{i}\right| = \left|z -  1\right|$ est : 

\textbf{Réponse A :} la droite d'équation $y = x -1$ ; 

\textbf{Réponse B :} la droite d'équation $y = -x$ ;
 
\textbf{Réponse C :} la droite d'équation $y = x$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = a \dfrac{\ln x}{x} + b,\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à  déterminer.
  
$f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm.
 
On a représenté la courbe $\mathcal{C}$, sur la feuille annexe.
 
La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1~;~2) ; elle coupe l'axe des ordonnées au  point de coordonnées (0~;~1).

\medskip
 
\textbf{Partie A : recherche de l'expression de} \boldmath $f(x)$ \unboldmath

En utilisant le graphique de la feuille annexe,

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
\item Déterminer $f'(x)$, en fonction de la variable $x$, du nombre réel $a$ et du nombre réel $b$ si besoin. 
\item Utiliser les deux questions précédentes pour déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}  \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Dans la suite du problème, la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, la limite de $f(x)$ en $O$. 

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ dont on donnera une équation. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par le calcul, que la droite $D$, d'équation, $y = 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier par le calcul la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Tracer la droite $D$ sur la feuille annexe.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer $f'(x)$. 
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ en justifiant avec soin le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par 

\[g(x) = (\ln x)^2\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
 
En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On considère le domaine du plan $S$ délimité par la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$.
 
Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire du domaine $S$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(7,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-1.5,-2)(7,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-1.5}{4.5}{x 1 add}
\psline(-1.5,2)(7,2) \uput[d](7,2){$D$}
\psline(1,-1)(1,4) \psline(2.71828,-1)(2.71828,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{0.3}{7}{x ln x div 2 add}
\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,5.5){$y$}\uput[dr](4,5){$T$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](7,2.35){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane génie civil juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%  STI génie civil Métropole juin 2009
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\[5pt]23 juin 2009}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la fi\-gure 1 (vue de dessus de la piscine), où \Oij{} est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : $\widearc{\text{AB}}$ de centre O et de rayon 3, et $\widearc{\text{CD}}$ de centre O$'$ et de rayon 4, reliés par deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8]. 

\medskip
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(13,5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-5)(13,5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](13,0){$x$} 
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,-1)(8,-1)
\psline(8,0)(9.71,4.698) \psline{->}(9.71,4.698)(9.368,3.759)\rput{70}(9.3,4.5){$R = 4$}
\psarc(0,0){3}{90}{-90}
\psarc(8,0){4}{-90}{90}
\uput[ul](0,3){A} \uput[dl](0,-3){B} \uput[dr](8,-4){C} \uput[ur](8,4){D} 
\uput[d](4,-5){figure 1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](8,0){O$'$} \uput[u](4,-1){8}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add neg}
\psline[linestyle=dashed](8,-5)(8,5)\psline[linestyle=dashed](5,4)(8,4) \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)
\uput[u](4,3.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](4,-3.5){$\mathcal{C}'$} 
\SpecialCoor
\psline(0;0)(4;160) \rput{-20}(-3.8,1){$r = 3$}\psline[linewidth=1pt]{->}(4;160)(3;160)
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A d'abscisse $0$, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $f(0),~ f(8),~ f'(0)$ et $f'(8)$. 
		\item On suppose qu'il existe quatre nombres réels $a,~ b,~ c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$  de l'intervalle [0~;~8],{}$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 
	
Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a,~ b,~ c,~ d$ et $x$. 
		\item Déduire des questions précédentes que $c = 0$ et $d = 3$ et que les réels $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
512a + 64b	&=	&1\\ 
192a + 16b	&=	&0\\
\end{array}\right.$. 
		\item Résoudre le système précédent. 
	\end{enumerate}
\item Par la suite, on admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8],

$f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64} x^2 + 3$, et que $f$ est strictement positive sur [0~;~8]. 

\medskip

Le but de cette question est de déterminer l'aire de la piscine, en m$^2$, sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer une démarche qui permet d'obtenir l'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte. 
	\item Calculer, en m$^2$, la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner également la valeur arrondie à 0,1 m$^2$ de cette aire. 
	\end{enumerate}
\item La profondeur d'eau de cette piscine est constante, égale à 1,60~m. Calculer, en m$^3$, la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donner également la valeur arrondie au m$^3$ de ce volume. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 5~cm. 
 
On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i})$, où i désigne le nombre  
complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip 

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 
		\item Déterminer un argument de $z_{\text{B}} $. 
		\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$, et placer les points A et B. 
		\item Soit I le milieu du segment [AB] et $z_{\text{I}}$ son affixe. Placer I sur la figure et prouver que $z_{\text{I}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\text{i}$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance OI, et prouver que OI $ = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.  
		\item Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$. En déduire un argument 
de $z_{\text{I}}$. 
		\item Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{I}}$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$  est  	$\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} -x + 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par 

\[g(x) =  1- \ln x - x^2.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item  Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement cette limite.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.  
		\item Établir le tableau de variations complet de la fonction  $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$. 
		\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$, tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse e.
	 
On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) =  0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ]0~;~1[. 
		
On appelle B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$ .
	\end{enumerate} 
\item Dans le repère \Oij, placer les points A et B puis tracer les droites $\mathcal{D}$,~$\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    Fin STI Métropole génie civil juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%    Polynésie mécanique, civil juin 2009
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un  repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 20z - 24.\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(3) = 0$. 
		\item Déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $P(z) = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right).$ 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation \mbox{$P(z) = 0$}.
	\end{enumerate} 
\item On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $a = 3,~b = 2 + 2\text{i}$ et $c = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $b$.
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $c$.
		\item Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle. 
  	\end{enumerate}
\item On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $|z - 3| = \sqrt{5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{E}$. 
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{E}$ et représenter cet ensemble sur le dessin.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

\medskip

On s'intéresse au jeu suivant :
 
Une urne (urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10. 

Une deuxième urne (urne 2) contient trois boules : une blanche (B), une jaune (J) et une rouge (R).

 Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'urne 2.
  
Un résultat possible est par exemple :
 
\og la boule 1 porte le \no  5 et la boule 2 est jaune \fg{} que l'on codera (5~;~ J). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dresser la liste de tous les résultats possibles. 

Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5~\euro ; 
\item[$\bullet~$]suite au résultat obtenu à  l'issue des deux tirages il gagne : 
	\begin{itemize}
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ; 
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ; 
		\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge. 
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le \og  gain réel \fg{} du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat (5~;~R) est 

$5 \times  3 - 5 = 10$~euros.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.
 
\item Quels sont les différents \og  gain réels \fg{} possibles du joueur ? 
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
\item S'il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] réponse A : être ruiné ? 
\item[$\bullet~$] réponse B : devenir riche? 
\item[$\bullet~$] réponse C : ni l'un ni l"autre ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
Quelle est ta bonne réponse ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Étude sommaire d'une fonction \boldmath $g$ \unboldmath}\end{center}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[g(x) =  \text{e}^{x^3 - x - 5}.\]

La courbe représentative de la fonction $g$ est notée $\mathcal{C}$ et est représentée sur la feuille annexe. 
 
Le dessin suggère que $g$ est croissante sur $\R$. On se propose dans cette partie de confirmer ou d'infirmer cette impression. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Étudier selon les valeurs du nombre réel $x$ le signe de $P(x) = 3x^2 -1$. 
\item Justifier que $g'(x)$ et $P(x)$ sont de même signe pour tout nombre réel $x$. 
\item En déduire le tableau de variations de $g$. (L'étude des limites n'est pas demandée.) 
\item Que penser des variations de $g$ suggérées par le dessin ? 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : Étude de quelques propriétés d'une fonction \boldmath $f$\unboldmath }\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
\[ f(x) =  -x\ln x +\dfrac{1}{3}x + 1.\]

La courbe représentative de $f$ est notée $\Gamma$, cette courbe est représentée sur la feuille annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$
		
$f'(x) = - \ln x - \dfrac{2}{3}$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'inéquation $f'(x) > 0$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (On ne demande pas de calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.) 
	\end{enumerate}
\item Calcul d'une aire 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = 2$, l'axe des abscisses, et la courbe $\Gamma$. 
		\item On note $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ {par 
	
	$H(x) = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2}$.
	 
Déterminer $H'(x)$ et en déduire une primitive de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer l'aire de la partie du plan hachurée exprimée en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C ; Résolution de l'équation \boldmath $f(x) = g(x)$ \unboldmath sur l'intervalle [1~;~2]}\end{center} 

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[1~;~2]$ par $h(x)=  g(x)- f(x)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2],  $h'(x) > 0$. 
\item En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~2]. 
\item Donner la valeur approchée arrondie au centième de cette solution. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=2.25cm}

\begin{pspicture}(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)


\multido{\n=-0.500+0.125}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-1.66666)(\n,2.66666)}
\multido{\n=-1.66666+0.16667}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0.01}{3.2}{x 3 div 1 add x x ln mul sub}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,2.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](3,-1.15){$\Gamma$}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{1.9975}{2.71828 x 3 exp x sub 5 sub exp}\uput[r](2,2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   Fin Polynésie mécanique, civil juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole civil septembre 2009
\hypertarget{Metrocivilsept}{}

\label{Metrocivilsept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil  Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Ceci est un QCM.} Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C, ou D est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
  
On ne demande \emph{aucune justification.}
 
\textbf{NOTATION :} \emph{Chaque réponse juste rapporte un point, une réponse fausse coûte $0,25$ point. Une absence de réponse ne rapporte ni ne coûte de point.\\ 
Si la note globale de l'exercice est négative, elle est ramenée à zéro.}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\begin{enumerate}
\item  $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XX} 
Réponse A : $f(x) = \cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x$&Réponse B : $f(x) = \sqrt{3} \cos \dfrac{1}{3}x + \sin \dfrac{1}{3}x$\\
Réponse C : $f(x) = \cos \dfrac{1}{9}x + \sqrt{3}\sin \dfrac{1}{9}x$& Réponse D :  $f(x) = \cos \dfrac{1}{3}x + \sqrt{3} \sin \dfrac{1}{3}x$. \\
\end{tabularx} 
 
\item  $f$ est solution de l'équation différentielle:

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}  
Réponse A : $y''- 9y = 0$ &	Réponse B : $9y'' + y = 0$\\ 
Réponse C: $y'' + 3y = 0$ & Réponse D : $y'' + \dfrac{1}{3}y = 0$.\\
\end{tabularx} 
 
\item  La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}  
Réponse A : $\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$ &	Réponse B :  $\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}$& Réponse C: $\dfrac{3}{\pi}$& 	Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$.\\
\end{tabularx}
  
\item  La solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi ]$ est :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}  
Réponse A  :  $\dfrac{5\pi}{6}$& Réponse B :$\dfrac{5\pi}{2}$&  Réponse C: $\dfrac{\pi}{6}$&Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans une usine, le tableau de production de deux chaînes de montage est le suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois& 
Productions mensuelles chaîne A &Productions mensuelles chaîne B& 
\No de rang des productions\\ \hline 
Janvier 2009 	&\np{2056} &\np{1770} &1  \\ \hline%
Février 2009 	&\np{2069} &\np{1805} &2  \\ \hline% 
Mars 2009 		&\np{2082} &\np{1840} &3   \\ \hline%
Avril 2009 		&\np{2095} &\np{1875} &4   \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 

Les productions forment des suites arithmétiques.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la raison de la suite pour la chaîne A ? Justifier. 
		\item  Quelle est la raison de la suite pour la chaîne B ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item En supposant que l'une des productions mensuelles de la chaîne B soit \np{2050}, quel serait alors son numéro de rang ? 
\item  Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par A$_{n}$ et B$_{n}$ les productions mensuelles respectives de rang $n$ des chaînes A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer A$_{n}$ en fonction de $n$ et de A$_{1}$. 
		\item Exprimer B$_{n}$ en fonction de $n$ et de B$_{1}$. Retrouver ainsi le résultat de la question 2. 
		\item À partir de quelle date (mois et année), la production de la chaîne B sera-t-elle supérieure ou égale à celle de la chaîne A ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip
 
Les objectifs de ce problème sont:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  l'étude de quelques propriétés d'une fonction $f$ et de sa courbe 
représentative,
\item  un calcul d'aire entre deux courbes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit l'équation différentielle (E) : 	$y' + y = x^2 + x + \text{e}^{-x}$,
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$  sa dérivée.
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) =  (x + k)\text{e}^{-x} + x^2 - x + 1,\]
  
où $k$ désigne une constante réelle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $f$ est solution de l'équation (E). 
\item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout nombre réel $x$, par : 

\[f(x) = x\text{e}^{-x} + x^2  - x + 1\quad  \text{et} \quad  g(x) = x^2 - x + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{P}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x), \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - g(x)]$. Interpréter graphiquement ce dernier résultat. 
		\item Étudier sur $\R$ la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)= \text{e}^{-x}(1 - x) + 2x - 1$. 
		\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0.
	\end{enumerate} 
\item Sur la feuille annexe : 

	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs arrondies au centième. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le cadre où a déjà été tracée la courbe $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = (- x - 1)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{-x}$. 
\item  Soit A la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \alpha$ où $\alpha$ est un nombre réel supérieur ou égal à 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Colorier la partie A sur la feuille annexe dans le cas particulier où $\alpha = 2$. 
		\item Pour $\alpha \geqslant 2$ quelconque, déterminer l'aire de la partie A en fonction de $\alpha$, en unités d'aire puis en cm$^2$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \left(- \alpha\text{e}^{-\alpha}  - \text{e}^{- \alpha} + 1\right)$.  
		\item  Quelle est la limite de l'aire de A en cm$^2$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$ ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$	&$-1,5$	&$-1,1$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3\\ \hline%
$f(x)$	&		&		&		&		&		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-9)(3.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-9)(3.5,9)
\psaxes[linewidth=1pt,xsubticks=5,ysubticks=10](0,0)(-2.5,-8.9)(3.5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,xsubticks=5,ysubticks=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.7}{3.75}{x 2 exp x sub 1 add}
\psframe(-2.5,-9)(3.5,9)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole civil septembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie civil septembre 2009
\hypertarget{Polynesiecivilsep}{}

\label{Polynesiecivilsep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique,  énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $(E)$ l'équation d'inconnue complexe $z~:\quad  z^2 - 8z + 41 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
		\item On note $z_{1}$ la solution de l'équation $(E)$ dont la partie imaginaire est positive et on note $z_{3}$ le 
nombre complexe défini par $z_{3} = \dfrac{1}{8}\left(- z_{1}^2 - 25 + 16\text{i}\right)$. Démontrer que $z_{3} = -2 - 3\text{i}$·
	\end{enumerate} 
\item On note A, B, C et K les points du plan d'affixes respectives: $a = 4 + 5\text{i},$

$b = -3 + 4\text{i},~ c = - 2 - 3\text{i}$ et $k = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C et K dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que K est le milieu du segment [AC]. 
		\item Calculer $|a - k|$ et $|b - k|$ puis en déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
 
\item Soit D le symétrique de B par rapport à K; on note $d$ l'affixe du point D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $d$ et placer le point D dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On note $(E)$ l'équation différentielle 

\[y'' + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item On note $f$ la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions : 
\[f(0) = 1\quad  \text{et} \quad  f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -2.\]
 
Déterminer l'expression de la fonction $f$. 
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x~:\quad  f(x) = 2 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$. 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On considère la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^{-2x} +4\text{e}^{-x} + 6x + 1.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude des limites et recherche d'une asymptote}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que $f(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{-x} + 4 + 6x\text{e}^{x} + \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On note $h$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

$h(x) =  f(x) - (6x + 1)$.
 
Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire ? 
\item Déterminer le signe de $h(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 6x + 1$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude des variations de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f'(x) =  -2\left(\text{e}^{-x} + 3\right)\left(\text{e}^{-x} - 1\right).\]
 
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation $\text{e}^{-x} -1 \geqslant  0$ ; en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip  
 
$m$ étant un nombre réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, en unités d'aire, comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = m$. 	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$.
\item Calculer $\mathcal{A}(1)$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au centième.
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation

 $-4\text{e}^{-2x} - 32\text{e}^{-x}  + 17 = 0 \left(\text{on pourra poser}~ 
 X = \text{e}^{-x}\right)$. 
\item Déterminer le réel $m > 0$, tel que $\mathcal{A}(m) = \dfrac{19}{8}$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie civil septembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Génie civil Nouvelle Calédonie novembre 2009

\hypertarget{Caledocivil}{}

\label{Caledocivil}  
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie STI novembre
 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d' argument $\dfrac{\pi}{2}$· 

Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résolution de l'équation $P(z) = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$ et déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que 
		
$P(z) = (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
		
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
On désigne par A, B, et C les points d'affixes respectives :

$a = 2~;~ b = -2 - 2\text{i}~ ;~ c = 4\text{i}$.  
\item Étude du triangle ABC 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, et C dans le repère \Ouv. 
		\item  Calculer les modules des nombres complexes $b - a,~ c - a$ et $c - b$· 
		\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. 
		\item  Déterminer l'affixe $d$ du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré. 
	\end{enumerate}
\item On note $\Omega$ le point du plan d'affixe $\omega = \sqrt{2} \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'écriture algébrique de $\omega$ et placer le point $\Omega$ dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que les points A,  B, C, et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
- 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $\left(x_{n}\right)$ la suite arithmétique de premier terme $x_{0} = 10$ et de raison $r$.
 
Sachant que $x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 100$, déterminer $r$ et en déduire les valeurs de $x_{1},~ x_{2},~x_{3}$  et $x_{4}$. 
\item  Un sac contient 100 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est inscrit l'un des numéros 0, 1, 2, 3 ou 4. Le nombre de boules portant chaque numéro est indiqué dans le tableau ci-dessous : 
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Numéro de la boule& 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline%
Nombre de boules portant ce numéro& 10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline%

\end{tabularx}

\medskip 

Un joueur tire au hasard une boule dans le sac, et on admet que les tirages sont équiprobables.

Pour chaque entier $n$ compris entre 0 et 4, on note $P_{n}$ la probabilité que le joueur tire une boule  portant le numéro $n$.
 
Déterminer les valeurs des nombres $P_{0},~P_{1},~P_{2},~P_{3}$ et $P_{4}$· 
\item  On convient de la règle du jeu suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est impair, le joueur perd $n$ euros (son gain est donc égal à $- n$ euros) ; 
\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est pair, le joueur gagne $n$ euros (son gain est donc égal à +$n$ euros) .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'une boule associe le gain du joueur.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$. 
		\item Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à $0,2$. 
		\item Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ puis déterminer son espérance mathématique E($X$). 
		\item On modifie la règle du jeu de façon à ce que les numéros pairs soient perdants (le gain est égal à $-n$ euros) et les impairs gagnants (le gain est égal à $+n$  euros). 
		
Calculer, selon cette nouvelle règle, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ associée au gain du joueur. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle} 

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle 

\[\left(E_{1}\right) :\quad  y'+ 2y = x \]

où $y$ désigne une fonction numérique de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{2}\right) :\quad  y'+ 2y = 0$. 
\item Vérifier que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, par $u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$, est une 
solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$. 
\item On admet que toute solution $\varphi$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ est de la forme $\varphi(x) = u(x) + C\text{e}^{-2x}$ où $C$ est un nombre réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
 
Déterminer la solution $\varphi_{0}$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ telle que : $\varphi_{0}(0) = \dfrac{3}{4}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij, d'unités 4~cm en abscisses et 10~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$·  
		\item  Justifier que $f(x) = \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x} + 1\right)$ et en déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la dérivée $f'$ de la fonction $f$· 
		\item Résoudre l'inéquation $\text{e}^{-2x} \leqslant \dfrac{1}{4}$  et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$. 
		\item Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ possède une unique solution sur l'intervalle [1~;~2]. Justifier avec précision et donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
	\end{enumerate} 
\item Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis tracer la courbe $\mathcal{C}$ 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $m$ un nombre réel strictement supérieur à $\ln 2$. On note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = \ln 2$ et $x = m$.

Déterminer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$. 
\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(m)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$· 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%    Fin Génie civil Nouvelle Calédonie décembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2010
\hypertarget{Caledocivilmars}{}

\label{Caledocivilmars}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI mars
 2010 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer, sous forme algébrique, les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifiant le système : 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
z_{1} + \text{i}z_{2} &=& 2 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)\\
z_{1} - \text{i}z_{2} &=& \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)
\end{array}\right.\]
 
\item On note A, B, C les points d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}\sqrt{3},~~ 	b = 1 - \text{i},~~ c = ab$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme algébrique de $c$. 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a,~ b$ et $c$. 
		\item Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate} 
\item  Déduire de la question précédente, la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 
\item  Soit $M$ un  point quelconque du plan complexe d'affixe $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement les modules $\left|z - (1 + \text{i}\sqrt{3})\right|$ et $|z- (1 - \text{i})|$· 
		\item Déterminer alors l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ tels que 
		
$\left|z - (1 + \text{i}\sqrt{3})\right| = |z- (1 - \text{i})|$. 
		\item Représenter l'ensemble $\mathcal{D}$ dans le repère \Ouv. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle notée
 
\[(E) \quad  4y'' + 9y =  0\]

où $y$ désigne une fonction numérique de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions: 
\[ f(0) = 1 \quad  \text{et}\quad f'(2\pi) = \dfrac{3}{2}.\] 
\item  Démontrer que pour tout nombre réel $t \quad : f(t) =\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{3}{2}t +  \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item  Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{2\pi}{3}\right]$. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f(x) = - \text{e}^{-x} + x^2 + x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $g(x) = \text{e}^{-x} + 2x + 1$. On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$. 
\item Déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire le sens de variation de $g$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et dresser son tableau de variations. On précisera la valeur exacte de l'extremum de $g$. 
\item En déduire que $g(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.$ 
		\item Vérifier que $f(x) = x^2\left(\dfrac{-\text{e}^{-x}}{(-x)^2} + 1 + \dfrac{1}{x}\right)$ et déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x :\quad  f'(x) = g(x)$. 
		\item Déduire de la partie A le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$·
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$.
 
À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item On considère la fonction $p$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $p(x) = x^2 + x$. 

Sa courbe représentative notée $\mathcal{P}$ est représentée sur la feuille annexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{P}$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - p(x)]$. 
	\end{enumerate}
\item Construire dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe en tenant compte des précédents résultats.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $\beta$ un nombre réel strictement supérieur à 1. Calculer en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}(\beta)$ du domaine plan compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ d'une part, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \beta$ d'autre part. 
\item  Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\beta)$ quand $\beta$ tend vers $+\infty$. 
\end{enumerate}

\newpage

\psset{unit=0.75cm}
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\begin{pspicture}(-8,-3)(8,9)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-8,-3)(8,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-8,-3)(8,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.542}{2.542}{x dup mul x add}
\uput[r](2.35,7.5){\blue $\mathcal{P}$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%    Antilles-Guyane génie électronique juin 2009
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique,\\électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini de la façon suivante :
 
\[P(z) = 9z^3 - 21z^2 + 17z - 5.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(1)$.
\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 1 )\left(az^2 + bz + c\right)$. 
\item Résoudre dans l'ensemble des complexes l'équation : $P(z) = 0$. 
\item On munit le plan d'un repère direct orthonormal \Ouv d'unité graphique 6~cm.
 
Soient A, B et C les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 1,~ z_{\text{B}} = \dfrac{1}{3}(2 + \text{i})~ \text{et}~ z_{\text{C}} = \dfrac{1}{3}(2 - \text{i}).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C (on utilisera une des feuilles de papier millimétré fournies). 
		\item Calculer les modules suivants : $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|,~ \left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|$ et $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}}\right|$ ; en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle ABC. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $\mathcal{C}$ et son rayon $r$ en cm. 
		\item Placer $\Omega$ et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\begin{center}Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. \end{center}

\textbf{Partie A - Effet de réponses au hasard à un exercice de type vrai/faux.}

\medskip
 
On imagine un exercice vrai/faux à quatre questions dont la règle de notation serait la suivante : chaque réponse correcte rapporte un point. Chaque réponse incorrecte fait perdre un demi-point. Un total négatif pour ce vrai/faux est ramené à zéro.

\medskip
 
On suppose qu'un élève répond au hasard à chacune des quatre questions par \og vrai \fg{} ou \og  faux \fg{} et qu'il ne laisse aucune question sans réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer dans un tableau tous les totaux de points possibles en fonction du nombre de réponses correctes fournies. 
\item Compléter l'arbre des choix de la feuille annexe avec les mots \og correct \fg{} et \og incorrect \fg, puis indiquer, dans la dernière colonne, le nombre de points obtenus pour chacune des 16 éventualités. 
\item On suppose que chacune des 16 éventualités a la même probabilité d'être obtenue. 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le nombre de points correspondant. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer E($X$), l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un exercice de type vrai-faux.}

\medskip 
 
\textbf{Cette partie B est un exercice de type vrai/faux qui doit être traité effectivement par le candidat.}

\medskip
 
La règle de notation est la suivante : à chaque bonne réponse est attribué 0,5~point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25~point. L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à cette partie sera 0.

\medskip
 
\textbf{Le texte ci-dessous comporte quatre affirmations, numérotées de 1 à 4.\\ 
Pour chacune d'elles, indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification.}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des réels par 

\[f(x) = \cos \left(2x- \dfrac{\pi}{4}\right).\]

Une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous :

\begin{center}
\medskip
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3.926,-1.5)(3.926,1.5)
\multido{\n=-3.9270+0.3927}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](\n,-1.5)(\n,1.5)}
\multido{\n=-1.5+0.5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](-3.927,\n)(3.927,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5]{->}(0,0)(-3.926,-1.5)(3.926,1.5)
\uput[dl](0.392,0){$\frac{\pi}{8}$}\uput[dl](3.142,0){$\pi$} \uput[dl](0,0){0}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.927}{3.927}{x  2 mul 0.785 sub 180 mul 3.142 div cos}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Affirmation 1 :} L'équation $f'(x) = 0$ admet une seule solution dans $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. 

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :} $\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{8}} f(x)\:\text{d}x =  \dfrac{1 - \sqrt{2}}{4}$.

\bigskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = 3 \sin (2x)$.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 3 :} $g$ est une solution de l'équation différentielle : $y"+ 4y = 0$.

\bigskip
 
\textbf{Affirmation 4 :}  La valeur moyenne de $g$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ vaut $\dfrac{12}{\pi}$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = x - 1 + \text{e}^{2x}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. On prend comme unité graphique 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}_{g}$ en $- \infty$. 
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ réel, $g'(x)$ et montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $g(O)$ puis justifier l'affirmation suivante: \og si $x < 0$, alors $g(x) < 0$ ; si $x > 0$, alors $g(x) > 0$ \fg. 
\item  Construire dans le repère \Oij{} la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$. (On utilisera une feuille de papier millimétré.)
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (x - 1)^2 + \text{e}^{2x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Démontrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x) = 2g(x)$. 
\item  En utilisant la question  I. 4., dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (les limites ne sont pas demandées). 
\item  En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f$ admet un minimum et déterminer ce minimum.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III -} \emph{Application à un problème de distance minimale}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : 

\[h(x) = \text{e}^x.\]
 
On donne en annexe la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$ dans un repère orthonormal d'origine $\Omega$. On a également représenté le point P de coordonnées (1~;~0).

\medskip
 
On rappelle que, dans un repère orthonormal, le carré de la distance entre les points A$\left(x_{\text{A}},~ y_{\text{A}\right)$ et B$\left(x_{\text{B}},~ y_{\text{B}}\right)$ est donné par : AB$^2 = \left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}}\right)^2 + \left(y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\right)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer, dans le repère donné en annexe, les points A$\left(-1~;~ \text{e}^{-1}\right)$ et B$(1~;~\text{e})$
		\item Calculer PA$^2$ et PB$^2$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, pour un réel $x$, le point $M$ de $\mathcal{C}_{h}$ d'abscisse $x$, c'est-à-dire le point $M\left(x~;~\text{e}^x\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que P$M^2 = f(x)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie II. 
		\item En déduire les coordonnées du point de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ le plus proche du point P. \emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre agrafée à la copie}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-6)(12,8)
%\psgrid
\rput(1,7.4){Question 1}\rput(3,7.4){Question 2}\rput(5,7.4){Question 3}
\rput(7,7.4){Question 4}\rput(9.2,7.4){Nombre de points} 
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}\taput{correct}}
	  { 
		  \pstree{\TR{}\taput{correct}}
						{\pstree{\TR{}\taput{correct}}
		  			{\TR{}~{4 points}\taput{correct} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}}
									{\TR{} \TR{}
									}
								}				
							\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\tbput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
									{\TR{} \TR{}~{0 point}\tbput{incorrect}
									}
								}		   
	  }
	\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
	  { 
		  \pstree{\TR{}\taput{}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\taput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}}
									{\TR{} \TR{}
									}
								}				
							\pstree{\TR{}\tbput{}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\tbput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}\tbput{}}
									{\TR{} \TR{}\tbput{}
									}
								}		   
	  }
}

\end{pspicture}

\newpage

\begin{flushleft}\textbf{Problème : partie II} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=6,Dy=6]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){$\Omega$} \uput[ur](1,0){P} \uput[r](1,2.718){\blue $\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   Fin Antilles-Guyane génie électronique juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Génie électronique Métropole juin 2009
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 23 juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique,  électrotechnique, optique}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 +\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$. 
	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 
	\item Placer le point A dans le repère \Ouv{} en prenant comme unité graphique 2~cm.
	\end{enumerate} 
\item Soit B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture du nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$). 

	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. 
	\item Placer le point B dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que le triangle AOB est équilatéral. 
\item  Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle transformation géométrique le point C est-il l'image du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation. 
	\item Placer le point C dans le repère \Ouv.
	\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique. 
	\item Établir que 
$z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
	 
En déduire l'écriture du nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique. 
	\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes $\cos \dfrac{7\pi}{12}$  et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux. 

Une bonne réponse rapporte 2~points, une mauvaise réponse enlève 1~point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
 
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.

 On appelle :
 
 \setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A l'évènement : \og le candidat n'a pas répondu à la question \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] B l'évènement : \og le candidat a donné la bonne réponse à la question \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] C l'évènement : \og  le candidat a donné la mauvaise réponse à la question \fg. 
\end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
 
\medskip

Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C). 

\medskip

Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item soit il répond au hasard aux trois questions ; 
\item soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{I. Première stratégie :}  le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse.
 
Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de triplets différents peut-on obtenir? (On pourra utiliser un arbre.) 
\item Calculer la probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute. . 
\item Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à $0,375$. 
\item On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice. 	 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. 
	\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 
	\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{II. Deuxième stratégie :}  le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de triplets différents peut-on obtenir? 
\item On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y. 
	\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. 
	\item Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable aléatoire Y.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{III. Comparaison des stratégies :} parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ? 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. 

On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire }

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[g(x) = 2\text{e}^x +2x+3. \]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
 
Les limites ne sont pas demandées. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $g( x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-2~;~-1]$. 
	\item Donner l'arrondi au dixième de $\alpha$. 
	\item En déduire, selon les valeurs du nombre réel $x$, le signe de $g(x)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) = 2\text{e}^x + x^2 + 3x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
\item  Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. 
\item  Soit $\mathcal{P}$ la parabole d' équation $y = x^2 + 3x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x) - \left(x^2 + 3x\right)$ quand $x$ tend vers 
		$-\infty$. 
	\item  Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\item  Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la parabole $\mathcal{P}$. 
	\end{enumerate}
\item On note  $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
		\item  Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole $\mathcal{P}$ dans le repère \Oij, en prenant comme unité graphique 2~cm.
 
Tracer sur cette feuille annexe la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée précédemment. 
		\item En déduire, en cm$^2$, la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.5cm}

Cette feuille est à rendre avec la	 copie

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(2,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](-4.15,4.5){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.542}{1.542}{x dup mul 3 x mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%    fin Génie électronique Métropole juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%    Polynésie génie électronique juin 2009
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation, d'inconnue $z$ :
 
\[z^2 -  2z\sqrt{2} + 4 = 0.\]
 
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Construire le cercle de centre O et de rayon 4~cm, puis placer les points A et B dans le repère \Ouv{} précisé ci-dessus.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \text{i}z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
		\item Le point C est l'image du point A par la transformation $R$.
	 
Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. Placer ce point C dans le repère précédent. 
		\item Montrer que le point C est le symétrique du point B par rapport au point O.
	\end{enumerate} 
\emph{Dans cette question, toute rédaction,  même partielle, sera prise en compte dans 
l'évaluation.} 

\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Un sac contient 4 boules indiscernables au toucher : une jaune, une rouge, une verte et une noire notées respectivement : J, R, V et N. 

\medskip

Dans une fête foraine, un jeu est organisé de la manière suivante: 

On tire au hasard une première boule du sac ; on note sa couleur et on la remet dans le sac. On effectue ensuite un deuxième tirage au hasard, indépendant du premier, dont on note également la couleur.
 
Ces tirages sont équiprobables.

\medskip
 
On appelle résultat un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage et le second élément est celle de la boule obtenue au second tirage.

\textbf{Exemple : Le résultat du tirage de la boule rouge suivie de la boule verte se note (R~;~ V).}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des résultats possibles. 
\item Calculer la probabilité du résultat (N~;~N). 
\item Pour jouer, on doit miser 20~euros.
 
Une boule jaune rapporte 20~euros, une boule rouge 12~euros, une boule verte 5~euros et une boule noire ne rapporte rien.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le bénéfice ou la perte réalisé par le joueur, un bénéfice étant compté positivement et une perte négativement.
 
\textbf{Exemple : le résultat (R~;~ V) rapporte au joueur 17~euros. Il perd dans ce cas 20 - 17 = 3 euros. La valeur de $X$ correspondant à ce cas est donc $-3$.}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour le résultat (J~;~R), la variable aléatoire $X$ prend la valeur $12$.
		\item Indiquer dans un  tableau les résultats obtenus dans la question 1 en y mentionnant les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Montrer que la probabilité que $X$ prenne la valeur 12 est égale à $\dfrac{1}{8}$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$, par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 4. \]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \OIj{} (unités graphiques : 4~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées). 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on précisera une équation. 
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x ~: f(x) = \text{e}^{x} \left(\text{e}^{x}  - 5\right) + 4$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty. 	
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f'$la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout nombre réel $x$, calculer $f'(x)$.
		 
Montrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) =\text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right)$. 
	\item Résoudre dans  l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2\text{e}^{x} - 5 = 0$. 
		
Résoudre ensuite dans $\R$ l'inéquation $2\text{e}^{x} - 5 > 0$. 
	\item En déduire les variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution sur l'intervalle [1~;~2].
 Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le point O appartient à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item  Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point O. 
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère \Oij{} l'asymptote $D$ la droite $\Delta$ et, sur l'intervalle $[-2,5~;~2]$, la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PARTIE B : Calcul d'aire }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right]$ ?
\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur  $\R$. 
\item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$,  la droite d'équation 

$x = \ln \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur  le graphique précédent. 
		\item Calculer l'aire exacte du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$, puis donner une valeur approchée au centième de cette aire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%    Fin Polynésie génie électronique juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%    Antilles-Guyane électronique septembre 2008
\hypertarget{Antilleselectrosept}{}

\label{Antilleselectrosept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans cet exercice, les quatre questions sont \textbf{indépendantes}.
 
Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = -1 + \text{i}\sqrt{3}$.
 
Écrire $z$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 

\item Soit A le point du plan d'affixe $_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$  et A$'$ l'image de A par la rotation de centre O et 
d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe de A$'$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. 
\item On considère les points B, C et D du plan d'affixes respectives : 

\[z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}, ~z_{\text{C}} = 4 - \text{i}, ~z_{\text{D}} = -1 - 3\text{i}. \]

Calculer les distances DB et DC. Donner une interprétation géométrique du résultat. 
\item Déterminer le réel c pour que le nombre complexe $- 4 + 2\text{i}$ soit solution de l'équation : 

\[z^2 + 8z + c = 0.\]
 
Résoudre ensuite cette équation dans l'ensemble $\C$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip
 
Une personne possède un téléphone portable dont le code comporte quatre chiffres. Elle ne se souvient plus de ce code et dispose seulement des informations suivantes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les quatre chiffres sont pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 et sont tous différents ;
\item le deuxième chiffre est un 2 et le quatrième est un 5.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La situation peut être schématisée de la façon suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm} ?& 2 & \mbox{?} &5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En tenant compte de toutes ces informations, cette personne saisit un code en choisissant au hasard les deux chiffres manquants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire la liste des douze codes de quatre chiffres qui sont alors possibles. 
\item Sachant que ces douze codes sont équiprobables et que le bon code est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}3&2&6&5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
déterminer les probabilités respectives $p_{1},~p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants :
 
	\begin{enumerate}
		\item \og Le code saisi est correct \fg. 
		\item \og Le code saisi ne comporte aucun chiffre exact bien placé à part les deux déjà connus \fg. 
		\item \og Le code saisi comporte au moins un chiffre exact bien placé en plus des deux chiffres déjà connus \fg. 
	\end{enumerate}

\item On définit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque code saisi, associe le nombre total de chiffres exacts bien placés (y compris ceux déjà connus au départ). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og X = 3 \fg. 
		\item Donner les trois valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~ cm.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par : 

\[f(x) = 1 + \ln (2x + 1)\]
 
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe pour aider le candidat et lui permettre de vérifier ses réponses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ et en donner une interprétation graphique.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$· 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer  $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$. 
		\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation. 
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f(x) \geqslant  1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$ l'équation : $1 + \ln (2x +1) = 0$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec chacun des axes du repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath 

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
 
On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.
	\end{enumerate}
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~ g'(x) = - x\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs du réel $x$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $g(x) \leqslant  1$. 
\item Tracer la courbe $\Gamma$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille donnée en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par: 

\[F(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\ln (2x + 1).\] 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
		\item Calculer l'intégrale $I_{1} = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

$G(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}$.
 
On admet que la fonction $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
 
Calculer l'intégrale $I_{2} = \displaystyle\int_{0}^2  g(x)\:\text{d}x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, en utilisant des résultats établis dans les parties A et B, que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\Gamma$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item  Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{P}$ du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
		\item  Déduire de ce qui précède la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{P}$ exprimée en unités d'aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe : À rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2.5)(3,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.485}{3}{x 2 mul 1 add ln 1 add}
\uput[ul](1,2.1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   Fin Antilles-Guyane électronique septembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole électronique septembre 2009
\hypertarget{Metroelectrosept}{}

\label{Metroelectrosept}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole \& La Réunion septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

\[z^2 - 8z\sqrt{3}+ 64 = 0.\]
 
\item  Soit $z_{0}$ le nombre complexe de module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{6}$.
 
Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{0}^3$.
 
En déduire la forme algébrique de $z_{0}^3$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
  
On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

\[ z_{\text{A}} = 8\text{i},~z_{\text{B}} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}~ \text{et}~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}\]

où $\overline{z_{\text{B}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{B}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer le module et déterminer un argument de $z_{\text{B}}$ puis de $z_{\text{C}}$ 
\item  Vérifier que $z_{\text{A}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. 
\item  On appelle $z_{\text{D}}$ l'affixe du point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $z_{\text{D}}$ et l'écrire sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 
		\item En déduire que $z_{\text{D}} = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv{} en prenant comme unité graphique 1~ cm. 
		\item  Démontrer que le triangle OAD est équilatéral. 
		\item  Démontrer que le point O est le milieu du segment [CD]. 
		\item  Déterminer la nature du triangle ACD.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Pour un jeu de hasard, on place dans un sac opaque cinq jetons numérotés de 1 à 5, indiscernables au toucher.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lors d'une partie, un joueur pioche au hasard dans le sac un jeton qu'il place devant lui. Il pioche ensuite au hasard un second jeton qu'il place à droite du premier, formant ainsi un nombre de deux chiffres. Le premier jeton tiré indique donc le chiffre des dizaines et le second celui des unités. 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'un arbre, écrire les 20 nombres qu'il est possible d'obtenir. 
		\item Soit M$_{2}$ l'évènement \og le nombre obtenu est un multiple de 2 \fg{} et M$_{3}$ l'évènement \og le nombre obtenu est un multiple de 3 \fg.
		 
Démontrer que $P\left(\text{M}_{2}\right) = P\left(\text{M}_{3}\right)$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement A: \og le nombre obtenu est un multiple de 3 qui n'est ni un multiple de 2 ni un multiple de 5 \fg.
\end{enumerate}
 
\item Un joueur doit miser 3 euros pour faire une partie.
 
Si le nombre obtenu est un multiple de 2, le joueur perçoit 2 euros.

Si le nombre obtenu est un multiple de 3, le joueur perçoit 3 euros.
 
Si le nombre obtenu est un multiple de 5, le joueur perçoit 5 euros.
 
Les sommes perçues sont cumulatives. (\emph{Par exemple, si le joueur obtient le nombre $45$ qui est à la fois un multiple de $3$ et de $5$, il perçoit $8$ euros}).
 
On note X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain (positif ou négatif) finalement réalisé par le joueur en tenant compte de la mise initiale. (\emph{Par exemple, si le joueur obtient le nombre $45$, la variable aléatoire X prend la valeur} $8 - 3 = 5$). 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont $-3~;~-1~;~ 0~;~2$ et $5$.
		\item  Démontrer que $P(X = 0) = \dfrac{1}{10}$.  
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. 
		\item Le jeu est-il équitable?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par (E) l'équation différentielle

\[ 2y' + y = 0,\]

dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$.  $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Soit $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant $f(2) = \text{e}$.
 
Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \text{e}^{2 - \frac{1}{2}x}$. 
\item Pour tout nombre réel $x$, on pose $g(x) = (2x + 1)[f(x)]^2 - 9$.
 
Montrer que $g(x) = (2x + 1)\text{e}^{4  - x} - 9$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, que pour tout nombre réel $x,~ g(x) = 2\text{e}^4x\text{e}^{-x} + \text{e}^4\text{e}^{-x} - 9$. 
		\item Utiliser cette expression pour déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
Montrer que pour tout réel $x,~ g'(x) = (1 - 2x)\text{e}^{4 - x}$.
		\item Déterminer le sens des variations de $g$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte des nombres $g(- 1)$ et $g(0)$. 
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 1~;~0]$. 
		\item Donner l'arrondi au centième de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs de $g$ qui se trouve sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
		 
On arrondira les valeurs à l'unité. 
		\item Tracer la droite $\Delta$, la droite $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$, dans le repère figurant sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 

\[G(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{4 - x} - 9x\]

est une primitive sur $\R$ de la fonction $g$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{H}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. 
		\item  Calculer en unités d'aire la mesure exacte de l'aire de la partie $\mathcal{H}$ du plan.		 
		\item En déduire en cm$^2$ la valeur arrondie au centième de l'aire de de $\mathcal{H}$.
		 
On rappelle que les unités graphiques sont : 2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 10~unités en ordonnée.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe du problème à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}

\textbf{Tableau des valeurs de la fonction \emph{g} (valeurs arrondies à l'unité)}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{c|}*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-0,75$&$-0,5$	&$-0,25$&0	&0,5&1	&2	&3	&4	&5	&6 \\ \hline%
$g(x)$	&		&		&		&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\begin{flushleft}

\textbf{Repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour 1~unité en abscisse et 1~cm pour 10 unités en ordonnée}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1.3333cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-110)(7.5,110)
\multido{\n=-1.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-110)(\n,110)}
\multido{\n=-110+5}{45}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-1.5,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1.5,-110)(7.5,110)
\uput[d](7.5,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Génie électronique Métropole  sept. 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie Génie électrique novembre 2009
\hypertarget{Caledoelectro}{}

\label{Caledoelectro}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie I}

\medskip 

Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ : 

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\medskip
 
\textbf{Partie II} 

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv d'unité graphique 1~cm.
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. Placer le point A dans le repère \Ouv.
 \item Soit $R$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = \left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est cette transformation $R$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item  On appelle B l'image du point A par la transformation $R$. On note $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$. Placer le point B dans le repère \Ouv. 
		\item  Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 2\sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle C l'image du point A par la transformation $T$. On note $z_{\text{C}}$ l'affixe du point C. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{C}}$. Placer le point C dans le repère \Ouv. 
		\item  \emph{Dans cette question, toute rédaction, même partielle, sera prise en compte.}
		 
Quelle est la nature du quadrilatère OCAB ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) : 

\[y'' + 4y = 0.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie : $f(0) = \dfrac{1}{4}$ et $f'(0) = 0$. 
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = 3 \sin x$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$. 
\item Pour tout nombre réel $x$, on définit la fonction $h$ par : 

\[h(x) = 3\sin x + \dfrac{1}{4}\cos 2x.\]
 
Calculer $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 

\item Questionnaire à choix multiples :
 
\emph{pour chaque question, il y a une seule réponse exacte; recopier la réponse exacte sur la copie. Chaque réponse exacte rapporte $0,5$ point. Aucune justification n'est demandée.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la valeur de $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\triangleright~$ 	3&$\triangleright~$ $- \dfrac{1}{4}$&$\triangleright~$ $\dfrac{11}{4}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item  Quelle est la valeur moyenne de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
$\triangleright~$$-\dfrac{3}{\pi}$&$\triangleright~$$0$&$\triangleright~$ $\dfrac{6}{\pi}$\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item  Combien l'équation $h(x) = 0$ admet-elle de solutions dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}  
$\triangleright~$0&$\triangleright~$1&$\triangleright~$2\\
\end{tabularx} 

\medskip 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
La courbe $\mathcal{C}$ tracée sur l'annexe ci-jointe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 

La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en O et au point A de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;~0\right)$. 

On admet que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $\dfrac{1}{2}$ et $3$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
 
La droite $\Delta$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point O et passe par le point B de coordonnées $(-1~;~ 3)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie I Exploitation graphique de la courbe}\boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\item Donner le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\item Donner les valeurs $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'(3)$. 
\item Donner une équation de la tangente $\Delta$. En déduire $f'(0)$. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \left(2x^2 - 3x\right)\text{e}^{-x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Justifier la réponse. 
\item Justifier que pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \dfrac{2x^2}{\text{e}^x} - \dfrac{3x}{\text{e}^x}$ puis déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
 
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \left(-2x^2 + 7x - 3\right)\text{e}^{-x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie III Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$. Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [2~;~3]. 
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(-2x^2 - x - 1\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Sur l'annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$. 
		\item  Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis donner une valeur approchée au centième de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\vspace*{4cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.15cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,0){O} \uput[u](1.5,0){A} \uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$}\uput[ur](-1,3){B}\uput[d](0.75,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$}\uput[u](0.5,0){$\dfrac{1}{2}$}
\psline{<->}(2.5,0.448)(3.5,0.448)
\psline{<->}(0.1,-0.6065)(0.9,-0.6065)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,0.448)
\psline[linestyle=dashed](0.5,-0.6065)(0.5,0)\uput[l](-1.333,4){$\Delta$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)\uput[r](-0.625,4.9625){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(1.5,0)(-1,3)
\psplot{-1.333}{0.41}{3 neg x mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.628}{4}{x dup mul 2 mul 3 x mul sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   Fin électronique Nouvelle-Calédonie novembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Génie des matériaux Antilles-Guyane juin 2008 
\hypertarget{Antillesmateriaux}{}

\label{Antillesmateriaux} 
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux,\\ mécanique }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright  \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante (E) : 

\[(E)~~:\quad  (z - 2)\left(\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}\right) = 0.\]
 
On donnera la forme algébrique des solutions. 
\item  Les points A et B ont pour affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2,~ z_{\text{B}} = 	- 1 + \sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. 
		\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{B}}$. 
		\item Expliquer pourquoi les points A et B sont sur le même cercle $\Omega$ de centre O et de rayon 2, 
		\item On considère le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -1 + \lambda\text{i}$  où $\lambda$ est un nombre réel négatif.
		 
Déterminer le nombre $\lambda$ tel que le point C soit sur le cercle $\Omega$.
 
Que représente le nombre complexe $z_{\text{C}}$ par rapport au nombre complexe $z_{\text{B}}$ ? 
		\item Sur la feuille annexe 1, placer avec soin les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		 
\emph{(On laissera apparents les traits de construction à la règle et au compas. Ces traits seront pris en compte dans l'évaluation de la question.)} 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Un objet produit en série a un coût de production de 95~euros.
 
Un objet défectueux à l'issue de sa fabrication peut présenter seulement le défaut A, seulement le défaut B, ou les deux défauts A et B simultanément.
 
La garantie permet d'effectuer les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 10 euros pour le seul défaut A, 
\item 15 euros pour le seul défaut B, 
\item 25 euros pour les deux défauts A et B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur un lot L de $200$ objets prélevés sur l'ensemble de la production, on constate que 16 objets ont au moins le défaut A, 12 objets ont au moins le défaut B et 180 objets n'ont aucun des deux défauts. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'objets du lot L 	&Avec le défaut A 	&Sans le défaut A 	&Total\\ \hline 
Avec le défaut B			&					&					&\\ \hline 
Sans le défaut B			&					&					&\\ \hline 
Total 						&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item On prélève au hasard un objet parmi les 200~objets du lot L, décrits précédemment.
		 
Calculer la probabilité $p_{1}$ que cet objet ne présente aucun défaut. On donnera la valeur décimale de $p_{1}$. 
		\item On prélève au hasard un objet parmi les 200 objets du lot L, décrits précédemment.
		 
Calculer la probabilité $p_{2}$ que cet objet présente seulement le défaut A. On donnera la valeur décimale de $p_{2}$. 
	\end{enumerate} 
 
\item \emph{Pour la suite de l'exercice. on admettra que, sur l'ensemble de la production, $90$\,\% des objets n'ont aucun défaut, $4$\,\% des objets ont le seul défaut A. $2$\,\% des objets ont le seul défaut B et $4$\,\% des objets ont les deux défauts A et B.}

\bigskip
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard sur l'ensemble de la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. (On pourra présenter cette loi sous la forme d'un tableau,) 
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de cette variable aléatoire $X$. Que représente-t-elle pour l'usine ?
		 
\emph{On admet pour la suite de l'exercice que tous les objets produits sont vendus.} 
		\item L'usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 96~euros chaque objet produit ? 
		\item L'usine veut faire un bénéfice moyen de 10~euros par objet.
		 
Expliquer comment on doit alors choisir le prix de vente d'un objet produit.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}
 
$f$ est une fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$.
 
La courbe représentative de cette fonction $f$, notée $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère 
orthonormé \Oij{} du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=7](0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.1,3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4.5}{4.5}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub} 
\end{pspicture*}
\end{center} 

\medskip

\emph{Les deux questions suivantes sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi les trois courbes données ci-dessous se trouve la représentation graphique de la fonction $f'$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Indiquez de quelle courbe il s'agit en justifiant votre choix. 

\medskip

\psset{unit=0.5cm}\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{1}{2.71828 x exp x mul 1.5 mul 1 sub}
\rput(-1.25,-2.5){Courbe 1}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{0.75}{2.71828 x 2 mul  exp 2 mul 2.71828  x exp 2 mul  sub}
\rput(-1.25,-2.5){Courbe 2}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4.5,-5)(2,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-1.25,-5.5){Courbe 3}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{0.83}{2.71828 4 x mul 3 div exp x  mul 2 mul  neg}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item  La fonction $f$ est définie par 

\[f(x) = \text{e}^{\alpha x} - 2\text{e}^{x},~ \text{où}~ \alpha~ \text{est un nombre réel.}\]
 
Sachant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~-1)$ est horizontale, déterminer le nombre $\alpha$. On détaillera le raisonnement et les calculs.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La fonction $f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) = \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}.\]

La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $+ \infty$

$\left(\text{on pourra factoriser par}~ \text{e}^x\right)$. 
\item  Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement. 
\item  Vérifier que pour tout nombre réel $x~:~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 1\right)$.
 
Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (on justifiera soigneusement le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^x + 4.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante : $X^2 - 3X - 4 = 0$. 
\item En déduire les coordonnées du (ou des) points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe 2, dans le même repère orthonormé \Oij{} du plan. L'unité est 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
On note $S$ le domaine du plan délimité par la droite d'équation $x = 0$, la droite d'équation $x = 1$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer sur la feuille \textbf{annexe 2} le  domaine $S$. 
		\item  Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.66667cm}
\begin{pspicture*}(-9,-6.5)(9,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-9,-6.5)(9,6.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8.9,-6.5)(8.9,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.33333cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(4.5,12)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(4.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4.5}{1.528}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-4.5}{2.08}{2.71828 x  exp 4 add}
\uput[l](1.5,11.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](2,11.5){\red $\mathcal{C}_{g}$}
\uput[dl](0,0){O}  
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%    Fin Antilles-Guyane  Génie des matériaux juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%    Métropole Génie des matériaux juin 2009
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI France 23 juin 2009~\decofourright  \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\vspace{0.5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle

\[ 4y'' + y = 0 \tag{E}, \]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et ou $y''$ désigne sa dérivée seconde.
\item Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appelée $f$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est fournie en annexe. On note $f'$   la fonction dérivée de $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(0\,;\,1)$ et
   admet en ce point une tangente de coefficient directeur
   $\frac{1}{2}$. En déduire les valeurs de $f (0)$ et $f'(0)$.
		\item Montrer que la solution particulière $f$ de l'équation
   (E) est définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \cos\left (\frac{x}{2} \right) + \sin\left (\frac{x}{2} \right).\]
   
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ le domaine du plan délimité par : 
	\begin{itemize}
		\item l'axe des abscisses ;
		\item l'axe des ordonnées ;
		\item la droite d'équation $x =  \pi$,
		\item la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{itemize}
Hachurer  le domaine $D$ sur la feuille annexe.  
\item Montrer que $[f(x)]^2 = 1 + \sin (x)$.
\item On considère le solide de révolution engendré
 par la rotation du domaine $D$ autour de l'axe des abscisses.

 Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ de ce
 solide.  

 On rappelle que $V = \pi\displaystyle\int_{0}^{\pi}[f(x)]^2\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 1 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(6.2,4.5)
\psset{unit=1cm,algebraic,} 
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{6}{cos(x/2)+sin(x/2)}
\psplot[plotpoints=3000]{-3}{6}{0.5*x+1}
\psaxes[Dx=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-3,-1)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,1)(3.141,0)
\uput[u](6.1,0){$x$}
\uput[r](0,4.1){$y$}
\uput[ur](0,1){A}\uput[d](3.141,0){$\pi$}
\uput[ur](3,1.1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On désigne par $i$ le complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: 

\[(z + 4)\left(z^{2} - 4z + 16\right) = 0.\]

\item On considère les nombres complexes définis par :

\[z_A = 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \qquad z_B = 2 - 2\text{i}\sqrt{3} \qquad z_c = -4.\]

 Calculer le module et un argument de $z_A$.

 En prenant comme unité graphique $1$ cm, placer dans le plan
 complexe (en utilisant une feuille de papier millimétré) le point $A$
 d'affixe $z_A$, le point $B$ d'affixe $z_B$ et le point $C$ d'affixe
 $z_C$.

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
   incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
   compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ appartiennent à un même
   cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Placer le point $D$ milieu du segment $[AC]$.
		\item Déterminer la nature du triangle $BDA$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }  \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression

\[f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}. \]

On note $f'$ sa fonction dérivée.

Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la
   forme :

\[f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^{x} - 1\right) \left(\text{e}^{x} + 1\right)}{\text{e}^{x}}.\]
   
		\item Étudier le signe de $f' (x)$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$ d'inconnue $X$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ équivaut à $2\left(\text{e}^{x}\right)^2 -
   5\text{e}^x + 2 =  0$.
		\item En utilisant la question a., résoudre l'équation 
   $2 \left(\text{e}^x\right)^2 -  5\text{e}^x + 2 = 0$.
		\item Quelles sont les abscisses des points d'intersection de la
   courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ?
		\item En utilisant les résultats des questions 2. c. et 3. d. déterminer le
   signe de $f(x) $sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à
 $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\ln (2)$.
\item En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le
 repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{T}$
 : unités graphiques $4$ cm sur l'axe des abscisses et $2$ cm sur
 l'axe des ordonnées. 
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable sur $\R$,
 d'expression $F(x) = \text{e}^x - \dfrac{5}{2}x -\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale 

   \[I= \int_{\ln(2)}^{2} f(x) \:\text{d} x.\]
   
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan dont l'intégrale $l$
   donne la valeur de l'aire $A$ en unité d'aire.
		\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de l'aire
   $A$ de la partie hachurée, exprimée en cm\up{$2$}. On donnera
   ensuite une valeur approchée de $A$ à $0,1$ cm\up{$2$} près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin  Métropole Génie des matériaux juin 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2009
\hypertarget{Antillesmateriauxsept}{}

\label{Antillesmateriauxsept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. Toutes les constructions demandées seront à faire sur le même graphique.
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - 5\text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 6z + 25 = 0$. 
			
On note $z_{\text{B}}$ la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive. 
		\item Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $(C)$ de centre O. 
		\item Construire le cercle $(C)$.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
Dans la suite de l'exercice, on note I, J et K les points d'affixes respectives $z_{\text{I}},~ z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$,
\item[$\bullet~$] $z_{\text{J}}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{5\pi}{6}$,
\item[$\bullet~$] $z_{\text{K}} = - z_{\text{J}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{J}}$. 
		\item Comparer les modules des nombres $z_{\text{I}},~z_{\text{J}}$  et $z_{\text{K}}$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Pour la question 4., toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\begin{enumerate}
		\item Placer avec soin les points I, J et K et tracer le cercle $\left(C'\right)$ circonscrit au triangle IJK dans le plan complexe \textbf{en laissant apparents les traits de construction}.
		 
Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier cette réponse. 
		\item Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la relation : $2 < |z| < 5$.
		 
Représenter l'ensemble $(E)$ sur le graphique précédent à l'aide de hachures, en expliquant la démarche mise en {\oe}uvre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Un bâtiment industriel est équipé d'une alarme qui se déclenche, en principe, lorsqu'il y a un dégât des eaux.
 
Il arrive cependant que ce système d'alarme soit mis en défaut.
 
On suppose qu'il ne peut pas y avoir plus d'un dégât des eaux par jour et qu'il ne peut pas y avoir plus d'un déclenchement d'alarme par jour.
 
Une étude portant sur 500~journées montre qu'il y a eu :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 5 jours où il y a eu un dégât des eaux. 
\item 1 jour où il y a eu un dégât des eaux sans que l'alarme se déclenche. 
\item 10 jours où l'alarme s'est déclenchée sans qu'il y ait un dégât des eaux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  À l'aide des données de l'énoncé, recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
&Nombre de jours où il y a un dégât des eaux &Nombre de jours où il n'y a pas de dégât des eaux &TOTAL\\ \hline
Nombre de jours où l'alarme se déclenche&&&  \\ \hline 
Nombre de jours où l'alarme ne se déclenche pas&&&  \\ \hline 
TOTAL&&& 500 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item On choisit un jour au hasard parmi les 500~journées étudiées.
 
On considère les évènements suivants :
 
$E$ : \og Ce jour-là il y a un dégât des eaux \fg 

$A$ : \og Ce jour-là l'alarme se déclenche \fg
 
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$. 
		\item Soit $B$ l'évènement : \og le système d'alarme est mis en défaut \fg.
		 
Calculer la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$. 
		\item Sachant que ce jour-là, l'alarme s'est déclenchée, quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un dégât des eaux ? 
	\end{enumerate} 

\item On admet que les probabilités calculées au 2. restent valables si on choisit n'importe quel jour au hasard, quelle que soit sa date.
 
Pour une journée donnée, on peut se trouver dans l'une des quatre situations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item il y a un dégât des eaux et l'alarme se déclenche,
\item il y a un dégât des eaux et l'alarme ne se déclenche pas,
\item l'alarme se déclenche sans qu'il y ait un dégât des eaux,
\item rien ne se passe.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Les assureurs estiment les coûts suivants pour le bâtiment :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \np{1000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme fonctionne. 
\item \np{3000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme ne fonctionne pas.
\item  150~euros lorsque l'alarme se déclenche par erreur. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On note $X$ la variable aléatoire représentant le coût journalier pour le bâtiment industriel. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Quel est le coût moyen journalier de cette assurance ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : étude graphique d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x}}{\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5}.\]
 
On a représenté en annexe la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le repère  orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ (avec OI = OJ = 2~cm).
 
La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point B$(0~;~-1)$ passe par le point M$(-1~;~0)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x\quad  :\quad  f(x) = \dfrac{2 - 4\text{e}^{-x}}{1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}}$.

En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat  pour la courbe $(\mathcal{C})$, et compléter le graphique en annexe. 
		\item Montrer que le point A$(\ln 2~;~0)$ est un point de la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate} 
\item Par lecture graphique, en justifiant : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item Déterminer la valeur de $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : étude d'une primitive de \boldmath$f$ \unboldmath sur} \boldmath$\R$ \unboldmath

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[F(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5\right).\]
 
Soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de la fonction $F$ en $- \infty$.
 
Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x \quad :\quad F(x) = 2x + \ln \left(1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}\right)$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $F$ en $+ \infty$ et la limite de $F(x) - 2x$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est la fonction dérivée de la fonction $F$ sur $\R$. 
		\item Vérifier que $F(\ln 2) = 0$. 
		\item Déduire de la partie A le tableau de variations de la fonction $F$.
	\end{enumerate} 
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-2$& $-1$ &0 &0,5& 1 &2 \\ \hline
$F(x)$&&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ en faisant apparaitre les interprétations graphiques des questions 1. et 2. c. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\ln 2}^2 f(x)\:\text{d}x$. 
\item De quel domaine le calcul précédent permet-il de calculer l'aire ?
 
Hachurer sur le graphique de la feuille annexe ce domaine, et déterminer une valeur  approchée de la mesure, en cm$^2$, de son aire (on exprimera la réponse à 0,01~cm$^2$ près). 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=all]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,ticks=all]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.718 x exp 4 mul sub 2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 5 add div}
\uput[dl](0.75,0){A}\uput[ur](-1,0){M} \uput[ur](0,-1){B}
\psplot{-4}{1}{1 neg x sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2009
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2009
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle : $y' + y = 0$ , où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\R.$
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation (E).
		\item  Montrer que  la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$  est la fonction $f$ définie par $f(x) = \text{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur  [2~;~3].
		\item Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[n~;~n+ 1]$.
    \end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n} = \left(1 - \text{e}^{-1}\right)\text{e}^{-n}$, pour tout $n$ entier positif ou nul.
    
Quelle est la nature de cette suite ?
\end{enumerate}    
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill }

\medskip

Le plan complexe  est rapporté à un repère \Ouv{} orthonormal direct.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 
\[z^3 - 12z^2 + 48z = 0.\]

\item Soient A et B  les points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que 

$z_{\text{A}} = 6 + 2\text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 6 - 2\text{i}\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item En prenant comme unité graphique 1~cm, placer les points A et B dans le repère \Ouv.
 
(On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet)
\item  Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
\item  Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
\item  Soit $\Omega$ le point d'affixe 4. Démontrer que le points O, A et B se trouvent sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ dont on précisera le rayon en cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}       
       
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\text{I}  = ]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = x^2 - 2\ln (x) + 4\]

et dont la représentation graphique est donnée ci-après.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la dérivée de $g$ sur l'intervalle I. Montrer que $g'(x) = 2\dfrac{x^2 - 1}{x}$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur I
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur I.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,4)(3,8)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt](0,4)(3,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Oy=4](0,4)(3,8)
\uput[d](3,4){$x$} \uput[l](0,8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.1347}{2.4}{x dup mul 4 add x ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I, par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln (x) - 1}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $0$ et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ en remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}$.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I,~$f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}.$ 
		\item En utilisant la partie A donner le signe de $f'(x)$.
       En déduire que la fonction $f$ est croissante sur I.
		\item Calculer $f(1)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur I.
	\end{enumerate}
\item  Construire sur une feuille de papier millimétré, la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} en prenant comme unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $F$, définie et dérivable sur l'intervalle I, d'expression :
 
\[F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\left[\ln (x) - 1 \right]^2.\]

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie à la partie B.
\item  Dans le repère \Oij, tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = \text{e}$.

Hachurer la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et délimitée par $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
\item  Que représente  le nombre $A = 4\left[F(\text{e}) - F(1)\right]$.

Calculer la valeur exacte de $A$, puis sa valeur arrondie au centième .
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux septembre 2009
\end{document}