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\setlength\parindent{0mm}
\chead{\small L'intégrale 2010}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2010~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de mars à novembre 2010}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Antillesappli}{Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2010} \dotfill \pageref{Antillesappli}\\
\hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2010} \dotfill  \pageref{Metroappli}\\
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%\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles-Guyane Génie des matériaux juin 2009}\dotfill \pageref{Antillesappli}\\
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\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2010
\hypertarget{Antillesappli}{}

\label{Antillesappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués Antilles-Guyane juin 2010~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
Un patron de PME souhaite un logo pour son entreprise. Celui qu'il a choisi est rectangulaire et une ellipse est inscrite dans le rectangle. Le nom de son entreprise sera placé à l'intérieur de l'ellipse. }\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(1,0)(9,3.5)
%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.2,0)(9,2.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,1.35)(3.4,1.35)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,1.1)(3.1,1.2)(4.75,2.4)(4.9,2.4)(4.15,1.1)(3.8,1.1)(3.95,1.3)(3.6,1.3)(3.3,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.3,1.1)(4.8,2.05)(5.2,2.05)(5,1.8)(4.85,1.8)(4.5,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.,1.2)(5.2,1.8)(5.1,1.8)(5.15,2)(5.2,2)(5.35,2.4)(5.55,2.4)(5.45,2)(5.6,2)(5.5,1.8)(5.4,1.8)(5.25,1.3)(5.35,1.3)(5.4,1.16)(5.3,1.14)(5.2,1.12)(5.1,1.1)(5.05,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.6,1.4)(5.7,1.3)(5.8,1.16)(6,1.1)(6.2,1.15)(6.3,1.3)(6.2,1.5)(6,1.7)(5.9,1.72)(5.8,1.75)(5.85,1.85)(5.9,1.8)(6,1.78)(6.05,1.85)(6,1.95)(5.95,2)(5.8,2.06)(5.7,2.03)(5.65,2)(5.5,1.8)(5.6,1.6)(6,1.39)(6.1,1.35)(6,1.3)(5.85,1.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.9,2.4)(6.05,2.4)(6.25,1.9)(6.1,1.9)
\rput(2.8,3){zone 1}\rput(1.6,1.6){zone 2}\rput(6,3){zone 3}
\psline{->}(2.8,2.9)(3,2.4)\psline{->}(2.1,1.6)(3,1.6)\psline{->}(6,2.8)(5.4,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,1.6)(4.15,1.6)(4.4,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](8.2,1.1)(8.1,1.2)(6.45,2.4)(6.3,2.4)(7.05,1.1)(7.4,1.1)(7.25,1.3)(7.6,1.3)(7.9,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](7.3,1.6)(7.05,1.6)(6.8,2)
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A} Coloriage du logo 

\medskip

Ce logo délimite trois zones à colorier: Le fond rectangulaire (zone 1), l'intérieur de l'ellipse (zone 2) et le nom de l'entreprise composé de lettres d'une même couleur (zone 3). Pour colorier ces trois zones, on utilise deux ou trois des couleurs suivantes : le jaune, le noir et le rouge. Deux zones voisines doivent être de couleurs différentes : la zone 1 a donc une couleur différente de la zone 2 qui, elle-même, a une couleur différente de la zone 3.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il y a douze façons de colorier le logo. 

\emph{On pourra utiliser un arbre de dénombrement}. 
\item On choisit un des douze coloriages au hasard. En supposant l'équiprobabilité dans le choix des couleurs, déterminer la probabilité des événements suivants :

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og Le nom de l'entreprise est en rouge \fg 
\item[] B : \og Le fond rectangulaire et le nom de l'entreprise sont de la même couleur \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{On donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\parbox{0.40\linewidth}{L'ellipse de sommets A, A', B et B' et de foyers F et F' est inscrite dans le rectangle CDEG. La taille des lettres et leur position sont telles que le nom de l'entreprise \og Arts' A \fg{} est entièrement contenu dans le losange BFB$'$F$'$qui a pour sommets B, B$'$ et les deux foyers F et F$'$ de l'ellipse.}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(1,-0.5)(9,3.5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.2,0)(9,2.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,1.35)(3.4,1.35)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,1.1)(3.1,1.2)(4.75,2.4)(4.9,2.4)(4.15,1.1)(3.8,1.1)(3.95,1.3)(3.6,1.3)(3.3,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.3,1.1)(4.8,2.05)(5.2,2.05)(5,1.8)(4.85,1.8)(4.5,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.,1.2)(5.2,1.8)(5.1,1.8)(5.15,2)(5.2,2)(5.35,2.4)(5.55,2.4)(5.45,2)(5.6,2)(5.5,1.8)(5.4,1.8)(5.25,1.3)(5.35,1.3)(5.4,1.16)(5.3,1.14)(5.2,1.12)(5.1,1.1)(5.05,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.6,1.4)(5.7,1.3)(5.8,1.16)(6,1.1)(6.2,1.15)(6.3,1.3)(6.2,1.5)(6,1.7)(5.9,1.72)(5.8,1.75)(5.85,1.85)(5.9,1.8)(6,1.78)(6.05,1.85)(6,1.95)(5.95,2)(5.8,2.06)(5.7,2.03)(5.65,2)(5.5,1.8)(5.6,1.6)(6,1.39)(6.1,1.35)(6,1.3)(5.85,1.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.9,2.4)(6.05,2.4)(6.25,1.9)(6.1,1.9)
\pspolygon[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2.4,1.35)(5.6,2.7)(8.8,1.35)(5.6,0)%FBF'B'
\uput[u](2.4,1.35){F} \uput[u](5.6,2.7){B} \uput[u](8.8,1.35){F$'$} \uput[d](5.6,0){B$'$}
\uput[dl](2.2,0){C} \uput[l](2.2,1.35){A}\uput[ul](2.2,2.7){G}
\uput[ur](9,2.7){E}\uput[r](9,1.35){A$'$}\uput[dr](9,0){D}
\psdots[dotscale=1.25](2.4,1.35)(5.6,2.7)(8.8,1.35)(5.6,0)(2.2,0)(2.2,1.35)(2.2,2.7)(9,2.7)(9,1.35)(9,0) 
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,1.6)(4.15,1.6)(4.4,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](8.2,1.1)(8.1,1.2)(6.45,2.4)(6.3,2.4)(7.05,1.1)(7.4,1.1)(7.25,1.3)(7.6,1.3)(7.9,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](7.3,1.6)(7.05,1.6)(6.8,2)
\end{pspicture}}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, l'ellipse a pour équation cartésienne :

\[\dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{25} = 1\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les dimensions du rectangle CDEG ainsi que les coordonnées des foyers F et F$'$. 
\item Calculer l'aire du losange (qui est la partie réservée à l'inscription du nom de l'entreprise) en unités d'aires.
 
\emph{On rappelle que l'aire d'un losange dont les diagonales ont pour mesures respectives $\ell$ et $L$ 
est égale à $\dfrac{\ell \times L}{2}$.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Sur l'ensemble des 4 rebords rectangulaires d'un couvercle de boîte ayant 60~cm de long, 30~cm de large et 3~cm de haut, on veut peindre une frise continue par juxtaposition d'un même motif.

\medskip
 
Les parties A et B ont pour objet la construction du motif de cette frise et la partie C porte sur le calcul de l'aire de la frise à peindre.}\hfill  
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.55,1.6)(0.65,1.1)(3,0)(3.8,0.8)(3.9,1.4)(3,0.6)
\psline(3,0)(3,0.6)
\pspolygon(3.05,0.8)(3.9,1.6)(1.6,2.3)(0.5,1.8)
\psline(0.55,1.6)(0.5,1.8)
\psline(3,0.6)(3.05,0.8)
\psline(3.9,1.4)(3.9,1.6)
\psline{<->}(0.45,2.2)(1.5,2.7)\rput{25}(0.975,2.7){30 cm}
\psline{<->}(1.52,2.7)(3.9,2)\rput{-17}(2.71,2.55){60 cm}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.75pt](0.55,1.7)(3,0.67)(3.85,1.46)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f(x) = 0,5x^2 - 2\text{e}^x + 3.\]
 
On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 5~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'(x)$. Étudier son signe et donner le tableau des variations de $f$. 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[g(x) = 4x - 2\text{e}^x + 5.\]

Soit $(\Gamma)$ sa représentation graphique dans le repère orthogonal défini à la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ où $g'$, est la fonction dérivée de $g$. 
		\item Résoudre l'équation $g'(x) = 0$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0~;~1] et en déduire le tableau des variations de $g$. On donnera la valeur exacte du maximum de $g$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième).
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0	&0,2&0,4 	&0,6 	&0,8 	&1 \\ \hline
$g(x)$	&	&	&		&		&		&	 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer $(\Gamma)$ dans le même repère que $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que l'aire de la partie P$_{1}$ du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$, $(\Gamma)$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à : $\displaystyle\int_{0}^1 [g(x) - f(x)]\:\text{d}x$ (en unités d'aire). 
\item Colorier P$_{1}$ sur le dessin et, en utilisant les parties A et B, donner la valeur exacte de son aire en cm$^2$ puis une valeur approchée au mm$^2$ près. 
\item Dessiner la partie P$_{2}$ du plan, symétrique de P$_{1}$ par rapport à la droite d'équation $x = 1$. Le motif de la frise est la réunion de P$_{1}$ et P$_{2}$.
 
Donner une valeur approchée en cm$^2$, arrondie à $10^{- 1}$, de l'aire de ce motif. 
\item Donner une valeur approchée en cm$^2$, arrondie au cm$^2$, de l'aire de la frise à réaliser sur le couvercle de la boîte. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués juin 2010
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]21 juin 2010}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère l'ellipse (E) d'équation : 

\[x^2 + 9y^2 = 900.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de ses sommets A, A$'$, B, B$'$ (A et A$'$ étant les sommets situés sur le grand axe de l'ellipse). 
\item Dans le repère joint en annexe 1, les quatre points marqués. D, G, H, K sont des points de (E). Construire (E) dans ce repère. 
\item Tracer dans ce repère la droite d'équation $y = 9$. Elle coupe l'ellipse (E) en deux points C et C$'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les abscisses de ces points, avec la précision permise par le dessin. 
		\item Résoudre l'équation : $x^2 + 9^3 = 900$.
		 
En déduire les valeurs exactes des abscisses des points C et C$'$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite d'équation $x = 8$. Elle coupe l'ellipse (E) en deux points J et J$'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les ordonnées de ces points, avec la précision permise par le dessin. 
		\item Résoudre l'équation : $8^2 +9y^2 = 900$.
		 
En déduire les valeurs exactes des ordonnées des points J et J$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'ellipse (E) définie dans la partie A est la réunion de deux demi-ellipses. La demi-ellipse située au dessus de l'axe des abscisses représente une arche de pont au dessus d'une rivière (unité graphique du repère de l'annexe 1 : 1 carreau pour 1~m). Le segment [AA$'$] représente la surface de l'eau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner en mètres, la largeur AA$'$ de la rivière et la hauteur OB sous le pont. 
\item Une péniche de section rectangulaire, de largeur $L$ et de hauteur $h$ doit passer sous cette arche. (Voir schéma ci-dessous). 
	\begin{enumerate}
		\item Si la péniche fait 9~m de haut. quelle peut être sa largeur maximale à 0,1~m près ? 
		\item Si la péniche fait 16~m de large. quelle peut être sa hauteur maximale à 0,1~m près ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.15cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-35,-17)(35,17)
\psaxes[Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(-35,-17)(35,17)
\psplot{0}{30}{100 x dup mul 9 div sub sqrt} 
\psplot{-30}{0}{100 x dup mul 9 div sub sqrt}
\psplot[linestyle=dashed]{0}{30}{100 x dup mul 9 div sub sqrt neg} 
\psplot[linestyle=dashed]{-30}{0}{100 x dup mul 9 div sub sqrt neg}
\uput[d](35,0){$x$} \uput[l](0,12){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psframe(-8,0)(8,8.5)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-8,-4)(0,-4) \psline[linewidth=1pt]{<->}(0,-4)(8,-4)\uput[d](4,-4){$\frac{L}{2}$}\uput[d](-4,-4){$\frac{L}{2}$}
 \uput[u](-20,8){(E)}\uput[ur](30,0){A} \uput[ul](-30,0){A$'$}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-10,0)(-10,8.5)\uput[l](-10,4.25){$h$}
\psline[linewidth=1pt](-35,0)(-35,15)(35,15)(35,0)
\rput(0,4.25){péniche }
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 1 + \ln (x + 2).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ ; étudier son signe et en déduire les variations de $f$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant puis tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies au dixième.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = (x + 2) \ln (x + 2).\]

 Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 5$.
 
En déduire une valeur approchée de cette aire en cm$^2$ à 1 mm$^2$ près. 
\item Ce domaine représente à l'échelle $\dfrac{1}{40}$ l'un des deux battants d'un portail.
  
Quelle est l'aire totale de ce portail en m$^2$ à 1 cm$^2$ près ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{Annexe à l'exercice 1}

\vspace{1.5cm}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-35,-12)(35,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-35,-12)(35,13)
\uput[d](35,0){$x$} \uput[l](0,13){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](10,9.4281)(15,8.6603)(20,7.4536)(25,5.5277)
\uput[dl](10,9.4281){D} \uput[dl](15,8.6603){G} \uput[dl](20,7.4536){H} \uput[dl](25,5.5277){K} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués septembre 2010
\hypertarget{Metroapplisept}{}

\label{Metroapplisept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[4pt]
septembre 2010}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule des affirmations proposées est exacte. On indiquera pour chaque question la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = - 2x^2 + 5x - 3$ et $P$ la parabole représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.} Si $f(x) = 0$, alors $x = 1,5$ ;& \textbf{b.} $P$ a pour sommet le point S de coordonnées $\left(\dfrac{5}{4}~;~\dfrac{5}{40}\right)$\\ 
\textbf{c.} Pour tout $x$ réel, $f(x) = (x - 1)(2x - 3)$ ;& 	\textbf{d.} $f(- 1) = 6$.\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(x) =  \dfrac{2x - 3}{3x + 1}$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Alors, pour tout réel $x$ positif ou nul :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} \small $f'(x) = -\dfrac{7}{(3x + 1)^2}$ ;&\textbf{b.}\small $f'(x) =  \dfrac{11}{(3x + 1)^2}$ ; & \textbf{c.} $f'(x) = \dfrac{2}{3}$ ; & 
\textbf{d.} $f'(x) = \dfrac{11}{3x + 1}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une solution de l'équation $\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - 2 = 0$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $- 1$ ;&\textbf{b.} $0$ ; &\textbf{c.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{d.} $ \ln (2)$\\
\end{tabularx}

\medskip  
 
\item  
Pour tout $x$ réel,~ $\dfrac{\text{e}^{x+1}}{\text{e}^{-1 +x}}$ est égal  à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $1$ ; & \textbf{b.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{c.} $\text{e}^{x+1} \times \text{e}^{-(x + 1)}$ ; &\textbf{d.} $\text{e}^{2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Soit F et F$'$ deux points distincts du plan. Alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left|M\text{F} - M\text{F}' \right| = 8$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} l'ensemble vide ;& 
\textbf{b.} une hyperbole ; & 
\textbf{c.} une ellipse ; & 
\textbf{d.} un cercle.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse E d'équation cartésienne $x^2  + 2y^2 = 16$. On appelle F et F$'$ les deux foyers de E. Alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.} un de ses sommets a pour coordonnées $(0~;~4)$ ; &	\textbf{b.} FF$' = 8$ ; \\ 
\textbf{c.} un des foyers a pour coordonnées $\left(0~;~2\sqrt{2}\right)$ ; &\textbf{d.} Pour tout point $M$ de E : $M$F + $M$F$' = 8$.
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans une classe de 40 élèves, on sait que 10 élèves écoutent uniquement du rap, que 17 élèves écoutent uniquement de la techno et que 4 élèves écoutent à la fois du rap et de la techno. On interroge un élève au hasard. La probabilité qu'il n'écoute ni rap ni techno est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $\dfrac{13}{40}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{9}{40}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{14}{40}$ ;& $\dfrac{1}{10}$.\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une urne contient trois boules bleues et deux boules vertes.
 
On tire au hasard une boule que l'on remet dans l'urne après avoir noté sa couleur, puis on tire une deuxième boule au hasard. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.}$\dfrac{12}{5}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{12}{25}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{6}{25}$ ;& $\dfrac{1}{5}$.\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O.
 
On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3].
 
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières.
 
La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. La droite (AB') est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$. 
On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront donnés en valeurs approchées à 0,1 près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1),~f(2)$ et $f(3)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB').
		\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$. 
\item Calculer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
La fonction représentée dans la première partie est définie sur l'intervalle [1~;~3] par : 

\[f(x) = x- 2\ln (x).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(3) =  \ln \left(\dfrac{\text{e}^3}{9}\right)$.
\item  Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par :

\[ F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x - 2x \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3]. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$ et en donner une interprétation 
graphique.
	\end{enumerate} 
\item Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{P})$. 
		\item Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette du logo d'une société. Une unité sur le graphique représente 10~cm en réalité.
		 
Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo en grandeur réelle, arrondie au cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\vspace{0.5cm}

\psset{unit=4.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=5,subgriddots=5,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1.5pt](0,0)(3.2,2.4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3.2,2.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.803)(3,0.803)(3,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.614)(2,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,1)(1,0)(2,0)(2,0.614)(3,0.803)%AA'B'BD
\uput[ur](1,1){A} \uput[ur](1,0){A$'$}\uput[u](2,0.614){B}\uput[ur](2,0){B$'$} \uput[u](3,0.803){D}\uput[d](2.7,0.7){\blue $(\mathcal{C})$}\uput[ur](3,0){D$'$}\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,0.6){E}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\psline(-0.2,2.2)(2.2,-0.2)
\rput(1.5,2.8){\textbf{\large Annexe au problème}}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués septembre 2010
\newpage

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie civil juin 2010
\hypertarget{Antillescivil}{}

\label{Antillescivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt]juin 2010}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ les équations d'inconnue $z$ suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item  $z^2 = - 1$ ; 
		\item  $z^2 - 4z  + 13 = 0$ ;
		\item  $z - 3\text{i} = - 2\text{i}z + 4$.
	\end{enumerate}
	 
\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = \text{i},~ z_{\text{B}} = 2  + 3\text{i} \quad \text{et}~~z_{\text{C}} = \dfrac{4 + 3\text{i}}{1 + 2\text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer la distance AB.
		\item Montrer que $z_{\text{C}} = 2 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
		\item En déduire l'écriture exponentielle de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
		\item Déterminer géométriquement l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan qui vérifient $\left|z - z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$. 
		\item Justifier que les points B et C appartiennent à l'ensemble $E$ puis tracer cet ensemble dans le plan.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Un concessionnaire propose à ses clients, au moment d'acheter un véhicule neuf, d'équiper celui-ci avec des options :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La peinture métallique (option A) pour un coût de 500~euros 
\item  La climatisation (option B) pour un coût de \np{1000}~euros 
\item  Un système GPS embarqué (option C) pour un coût de \np{1500}~ euros
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le client est libre de choisir zéro, une ou plusieurs options parmi les trois proposées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de combinaisons d'options qu'il est possible de faire. 
\item N'ayant aucune information sur le choix des clients, le concessionnaire suppose les combinaisons d'options équiprobables. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins une option.
		\item Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins l'option B.
 	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire associée au coût total (en euros) des options que peut choisir un client qui achète un véhicule chez ce concessionnaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$			&0	&500&\np{1000}	&\np{1500}	&\np{2000}	&\np{2500}	&\np{3000}\\ \hline
$p(X = k)$	&	&	&			&			&			&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Calculer la probabilité qu'un client achète pour plus de \np{1500}~euros d'options. 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, qui représente le co\^ut moyen (en euros) d'une combinaison d'options pour un véhicule.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Le concessionnaire propose la promotion : \og l'option C au prix de l'option B \fg.
 
Calculer le pourcentage de baisse de son chiffre d'affaire moyen sur la vente des combinaisons d'options pour un véhicule.
 
(Comme à la question 2., on supposera les combinaisons d'options équiprobables.) 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}+ 2x.\] 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = 1 - \ln x + 2x^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$.
		 
Montrer que $h'(x) = \dfrac{4x^2 -1}{x}$ puis déterminer le signe de $h'(x)$ pour $x$ dans $]0~;~+\infty[$. 
		\item Calculer $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ puis dresser le tableau de variations de $h$.
		 
On ne déterminera pas les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition. 
		\item En déduire le signe de $h(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item Montrer que pour tout $x > 0,~ f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$ puis dresser le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
 	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$, et les droites $\mathcal{T}$ et $\Delta$ dans le repère \Oij. 
\item Soit $G$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par les droites d'équation $x= 1,$
		
$x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. 
		\item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de cette partie hachurée. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie civil juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil juin 2010
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole~\decofourright\\[5pt]22 juin 2010}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
En 2008, les ateliers Ouest et Est d'une même entreprise produisent respectivement \np{1100} et 900 pièces d'un unique modèle chaque jour.
 
On estime que 2\:\% de la production de l'atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3\:\% de la production de l'atelier Est.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter sur l'annexe à rendre avec la copie, le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Pièces défectueuses 	&Pièces non défectueuses 	&Total\\ \hline
Ouest 	&22						&							&\\ \hline 
Est		&						&							&\\ \hline 
Total	&						&							&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. 
	\begin{enumerate}
		\item On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $E$ : \og la pièce prélevée est produite dans l'atelier Est \fg,
\item $D$ : \og la pièce prélevée est défectueuse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$.

Calculer $p(E),~ p(D),~ p(E \cap D)$ puis $p(E \cup D)$. 
		\item On a prélevé au hasard une pièce dans la production de l'entreprise. Elle est défectueuse.
		 
Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier Ouest.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
En 2009, la production journalière est la suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&Pièces défectueuses &Pièces non défectueuses &Total\\ \hline 
Ouest 	&20 &980 		&\np{1000}\\ \hline 
Est 	&24 &776 		&800\\ \hline 
Total 	&44 &\np{1756} 	&\np{1800}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Chaque pièce coûte 7~\euro{} à produire et est testée.
 
La réparation d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Ouest coûte 3~\euro{} et celle d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Est 5~\euro{}.
 
Chaque pièce est ensuite vendue 10~\euro{}. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l'atelier Ouest rapporte : $10 - 7 - 3$ soit 0~\euro{} à l'entreprise.
 
On appelle $B$ le gain journalier de l'entreprise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le gain journalier $B$ de l'entreprise. 
\item Durant l'année, les ateliers fonctionnent $300$ jours. Estimer le gain annuel, exprimé en euros, de l'entreprise. 
\item Le chef d'entreprise envisage d'éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les pièces non défectueuses. Cette stratégie lui coûte \np{100000}~\euro{} par an compte tenu du recyclage. Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv{} orthonormal direct d'unité graphique 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par 

\[P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z + 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(-1) = 0$. 
		\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z,$
		
\[P(z) = (z + 1)\left(z^2 + az + b\right).\]
 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -1$,\:$z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. En déduire une écriture exponentielle de ces trois nombres. 
		\item Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle notée (E) : 

\[y' + 0,1y = 3\]
 
où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle notée (F) : 

\[z' + 0,1 z = 0\]
 
où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  

$y(t) = z(t) + 30$, où la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle (F). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle (E). 
		\item Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle vérifiant $y(0) = 20$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La température  en degrés Celsius (\degres C) du lubrifiant d'un moteur varie en fonction du temps $t$ de fonctionnement exprimé en heures.
 
La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 30 - 10\text{e}^{-0,1t}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la température du lubrifiant: 
	\begin{enumerate}
		\item À l'arrêt. 
		\item Au bout de vingt quatre heures.
	\end{enumerate} 
\item On s'intéresse au comportement de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.  
		\item Donner une interprétation graphique du résultat obtenu. 
		\item Donner une signification concrète de ce résultat pour le lubrifiant.
	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		 
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ dans le repère orthogonal $[0~;~+\infty[$ de l'annexe qu'on rendra avec la copie. 
		\item À quel instant la température du lubrifiant est-elle de 28 \degres C ? Donner une valeur approchée à l'heure près puis à la minute près du résultat. 
		\item Calculer la température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure de fonctionnement.
	\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $g$ dérivable sur [a~;~b] est :}
 

\[V_{m} = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\] 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Pièces défectueuses&Pièces non défectueuses&Total\\ \hline
Ouest 	&22					&						&\\ \hline 
Est		&					&						&\\ \hline 
Total	&					&						& \np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.5cm}

\begin{pspicture}(-10,-2)(150,35)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(150,35)
\uput[d](150,0){$x$}\uput[l](0,35){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,35)}
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(150,\n)}
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2010
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'équation de la variable complexe $z$:

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]
 
Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
 
On considère les points A, B, C, D et K d'affixes respectives : 

\[a = 2 + 2\text{i}, \quad  b = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  c =  2 - 2\text{i}, \quad  d = 3 -\text{i}\sqrt{3}~\text{et} ~ k = 2.\]
 
\item Construction du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AC] et le milieu du segment [BD]. 
		\item Placer les points A, C et K, puis construire les points B et D.
	\end{enumerate} 
\item Nature du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne contient 100 boules. Chacune de ces boules porte l'un des numéros 1,  2, 3, 4 ou 5.

La répartition des boules suivant leur numéro est donnée par le tableau ci-dessous :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Numéro inscrit sur la boule&1&2&3&4&5\\ \hline
Nombre de boules&15&25&15&35&10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Un joueur tire au hasard une boule dans cette urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$ tel que $1 \leqslant   n \leqslant 5$, on note $p_{n}$ la probabilité de tirer une boule numérotée $n$.
 
Déterminer $p_{1},~p_{2},~p_{3},~p_{4}$ et $p_{5}$.
\item On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og La boule tirée porte un numéro inférieur ou égal à  3 \fg{ ;}
\item[$\bullet~$] $B$ : \og La boule tirée porte un numéro pair \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer les probabilités des évènements $A,~B,~ A \cap  B$ et $A \cup B$.
\item Un jeu est défini de la façon suivante : un joueur mise 6~\euro{} puis il tire une boule de l'urne.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule est impair il reçoit une somme de 11~\euro{}; 
\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le gain (éventuellement négatif) du joueur. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ 
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$. 
		\item On modifie la règle du jeu, la mise reste identique.
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule tirée est impair il reçoit la somme de $a$ euros ;
\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer la valeur du nombre $a$ pour que le jeu soit équitable. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{2\ln x}{x} - 2x + 4.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

L'unité graphique est 2~cm sur chacun des axes.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On note  $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 1 - \ln x - x^2\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (les limites ne sont pas demandées). 
\item Étude du signe de $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(1)$. 
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des limites 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $ \infty$.
	\end{enumerate}
	
\item Étude d'une asymptote 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage 
de $+\infty$. 
		\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}	  
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis démontrer 
que : $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe une tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
\item Construire dans le repère \Oij{} les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~ 2]. 
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = (\ln x)^2 - x^2 + 4x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner la valeur arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie civil septembre 2010
\hypertarget{Metrocivilsept}{}

\label{Metrocivilsept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil  Métropole 16 septembre 2010~\decofourright\\}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 27.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(3)$ ; en déduire une factorisation de $P(z)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation: 

\[z^2 + 3z + 9 = 0.\]
 
		\item En déduire la résolution dans $\C$ de $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Soient M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ les points d'affixes respectives : 

\[z_{1} = 3, \quad  z_{2} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et} \quad  z_{3} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On propose dans le tableau ci-dessous trois écritures sous forme exponentielle des nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	Écriture 1& Écriture 2 &Écriture 3\\ \hline 
$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{\pi}{6}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}$&
$z_{2} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$&
$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Déterminer celle qui convient en justifiant votre réponse. 
		\item Placer de façon précise les points M$_{1}$,  M$_{2}$ et M$_{3}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
		\item Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre choix à chaque proposition suivante :
		 
Proposition 1 : Les distances M$_{1}$M$_{2}$ et M$_{1}$M$_{3}$ sont différentes. 

Proposition 2 : L'aire du triangle M$_{1}$M$_{2}$M$_{1}$ est $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$~cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des pots de peinture cylindriques en fer, dont l'étanchéité est assurée par un joint de caoutchouc. Tous les jours, le chef d'équipe prélève un échantillon au hasard dans la production, contrôle les dimensions de chaque pot et l'épaisseur du caoutchouc.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Échantillon du lundi}

\medskip
 
Ce lundi, le chef d'équipe prélève 250~pots au hasard. Il les contrôle tous et il constate que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 232 pots ne présentent pas de défaut ; 
\item[$\bullet~$] 5 pots présentent au moins un défaut de dimension ; 
\item[$\bullet~$] 2 pots exactement présentent à la fois un défaut de dimension et un défaut d'épaisseur de caoutchouc.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter sur l'annexe (à rendre avec la copie), le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{Tableau du lundi}	& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline  
Total& 5& & 250\\ \hline 
\end{tabularx}} 

\medskip

\item En déduire le pourcentage de pièces dans l'échantillon du lundi ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B - Échantillon du mardi}

\medskip
 
Le lendemain mardi, le chef d'équipe prélève 200 pots au hasard dans la production et il les contrôle tous; la répartition des pièces suivant les défauts est donnée dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{Tableau du mardi}& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&1&10&11\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&2&187&\\ \hline  
Total& 3&197 & 200\\ \hline 
\end{tabularx} }

\medskip

On admet que cette répartition reflète l'ensemble de la production de ce mardi, et que chaque pot a la même probabilité d'être prélevé. 
On prélève au hasard un pot de peinture produit ce jour, et on considère les événements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $D$ : \og le pot prélevé présente un défaut de dimension \fg{} ; 
\item[ ] $E$ : \og le pot prélevé ne présente pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des événements $D$ et $E$. 
		\item Définir en une phrase chacun des événements $D \cap E$ et $D \cup E$, puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
\textbf{On admet désormais que cette répartition du mardi reflète parfaitement l'ensemble de la production journalière.}

\medskip
 
Sachant que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item tout pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc est réparé avec un surcoût de 0,15 euro,
\item tout pot avec un défaut de dimension est invendable,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
le tableau ci-dessous récapitule le coût de production et le prix de vente des pots suivant les défauts constatés :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|} p{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
&Pot sans défaut& Pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc &
Pot avec un dé\-faut de dimension (au moins)\\ \hline 
Coût de production &1,30 euros& 1,45 euros (car 0,15 euro de surcoût pour corriger le défaut)&1,30 euros\\ \hline 
Prix de vente& 1,50 euros &1,50 euros &$0$ euro (invendable)\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
 
On note $X$ la variable aléatoire associant à chaque pot, le gain net en euros (différence entre le prix de vente et le coût de production) réalisé par l'entreprise lors de sa vente. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Vérifier que la probabilité pour que le gain net soit égal à 0,05 euro est :  

\[p(X = 0,05) = \dfrac{1}{20}\] 

		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ; interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~mètres, enjambe une route à double circulation. Dans un repère orthonormé, la figure ci-dessous représente à l'échelle $1/100$ une vue de l'une des deux façades de ce pont.
 
La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~mètres au dessus de la route. 

La partie de l'axe des abscisses comprises entre $-8$ et $+ 8$ représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-0.5)(8,6)
\psaxes(0,0)(-8,-0.5)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){A}\uput[ur](0,1){B}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
\psline(-8,5)(8,5) 
\uput[r](0,5.2){\scriptsize partie supérieure du pont}
\uput[r](0,3.6){\scriptsize partie inférieure du pont}
\uput[u](-2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
\uput[u](-4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
\uput[u](-7,0.5){\scriptsize zone piétons}
\uput[u](2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
\uput[u](4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
\uput[u](7,0.5){\scriptsize zone piétons}
\psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.35)
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.35)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
\psline(8,5)(-8,5) }
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\textbf{Partie 1 - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath représentée par la courbe } \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par :
 
\[f(x) = a - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]
 
où $a$ désigne un nombre entier naturel.
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O,~A,~B). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$,
 
\[f(x) = 5 - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]

\item Comparer $f(-x)$ et $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$.
 
Que peut-on en déduire graphiquement ? 
\item Montrer que la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$, est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par : 

\[f'(x) = \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right).\] 

\item Calculer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
\item Résoudre algébriquement, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-8~;~8]$. 
\item Reproduire et compléter avec une précision de $10^{-2}$ par défaut le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch {1.5}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&4	&5,5&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
En déduire la hauteur maximale d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous ce pont en tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm au dessus du véhicule.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2 - Calcul d'aire}

\medskip
 
On veut peindre les deux façades de l'armature du pont à arche. 
On appelle $\mathcal{A}$ l' aire de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^{8} \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$. 
\item Calculer $\mathcal{A}$ l'aire (exprimée en m$^2$) de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème. 
\item En déduire que l'aire de la surface totale à peindre est égale à $10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right)$ m$^2$, soit environ $47,52$~m$^2$. 
\item La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 30~litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,3~mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Tableau du lundi& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline  
Total& 5& & 250\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin  Métropole  Génie civil septembre 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2010
\hypertarget{Caledocivil}{}

\label{Caledocivil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre 2010~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Pour tout nombre complexe $z$, on pose : $P(z) = z^3 + \left(2\sqrt{3} - 2\right)z^2 + \left(4 - 4\sqrt{3}\right)z - 8$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résolution de l'équation $P(z) = 0$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$. 
		\item Déterminer les deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ :
		 
\[P(z) = (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right).\]
 
		\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B, C, d'affixes respectives : 

$a = 2,~b = - \sqrt{3} + \text{i},~ c = - \sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $b$ et $c$. 
		\item En déduire que les points A, B, et C appartiennent à un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv{} et tracer le cercle $\mathcal{C}$. 
		\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. 
		\item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}} \right)$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

On dispose d'un échantillon d'os fossile contenant initialement une masse de 10 grammes de carbone 14. Le but de l'exercice est d'étudier l'évolution de cette masse au fil des siècles, par deux méthodes différentes.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Première méthode}

\medskip
 
On considère que la masse de carbone 14 dans un tel échantillon diminue à raison de 1,2\,\% par siècle. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle masse de carbone 14 contiendra l'échantillon : 
	\begin{enumerate}
		\item un siècle plus tard ? 
		\item deux siècles plus tard ?
	\end{enumerate} 
\item On note $M_{n}$ la masse de carbone 14 contenue dans l'échantillon au bout de $n$ siècles, où $n$ est un entier naturel. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(M_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,988$. 
		\item Exprimer $M_{n}$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l'échantillon sera inférieure à 5~g.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Seconde méthode}

\medskip
 
On note $m(t)$ la masse en gramme de carbone 14 contenue dans l'échantillon à l'instant $t$ (en siècle). On admet que la fonction $m$ est solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~: \quad  y'+ 1,21\cdot 10^{-2}y = 0.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E), qui vérifie : $m(0) = 10$. 
\item Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l'échantillon sera inférieure à 5~grammes. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip
 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est 2~cm.
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = x\text{e}^{-x} - 2x + 3.\] 
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = \text{e}^{-x}(1 - x) - 2.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$, puis en $+\infty$. 
\item Étude des variations de la fonction $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur $\R$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Étude du signe de la fonction $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution sur $\R$.
		 
Démontrer que cette solution, notée $\alpha$ , appartient à l'intervalle $[-1~;~0]$. 
		\item Donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième. 
		\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ en fonction des valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction}~\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
		\item En remarquant que, pour tout réel $x,~f(x) = x\left(\text{e}^{-x} - 2\right) + 3$, déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
	\end{enumerate} 
\item Étude d'une asymptote 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. 
		\item Étudier la position relative de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x,~f'(x) = g(x)$ où $g$ est la fonction définie dans la partie A et où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\item En utilisant le signe de la fonction $g$, obtenu précédemment, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. (On prendra : $f(\alpha) \approx 3,2$)
	\end{enumerate} 
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $H$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[H(x) = (-x - 1)\text{e}^{-x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H'(x)$ où $H'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $H$. 
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \dfrac{3}{2}$. On donnera une valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie au mm$^2$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2011
\hypertarget{Caledocivilmars}{}

\label{Caledocivilmars}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI mars
 2011 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation 

\[(\text{E}) : \quad  z^3 - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)z^2 + 4\left(1 + \sqrt{3}\right)z - 8 = 0.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le nombre 2 est une solution de l'équation (E). 
		\item En déduire qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que l'équation (E) soit équivalente à l'équation : 
		
$(z- 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) = 0$. 
		\item Résoudre l'équation $z^2 + \alpha z + \beta = 0$, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions.
	\end{enumerate} 

\medskip

On désigne par A et B les points du plan complexe d'affixes respectives :

$a = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $b = 2$.
 
On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note $c$ l'affixe du point C.
 
\item On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv{} et démontrer que le triangle OAB est isocèle. 
		\item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OC}}\right)$.
		\item Déterminer l'écriture algébrique du nombre complexe $c$.  
		\item Calculer le module de $c$ et démontrer que $|c| = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$. 
		\item Démontrer que $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. 
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[f(x) = \cos x + 2 \sin x.\]

\parbox{0.54\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-contre, dans un repère orthogonal \Oij.
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d' équations $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$. 
 
Le but de cet exercice est de déterminer la mesure $\mathcal{V}$, exprimée 
en unité de volume, du volume engendré par la rotation de $\mathcal{D}$ 
autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.} \hfill
\parbox{0.36\linewidth}{\psset{unit=3.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{1.57}{x 180 mul 3.14159 div cos x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul add}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.57,0)(1.57,2)
\end{pspicture}
}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calcul de deux intégrales 
 
On note $I$ et $J$ les deux intégrales : $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item En simplifiant l'écriture de $I + J$, démontrer que $I + J = \dfrac{\pi}{2}$.  
		\item Démontrer de même que $I - J = 0$. 
		\item Déduire des questions a. et b. les valeurs de $I$ et $J$. 
	\end{enumerate} 
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ cherché est donné par la formule: $\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2 (x)\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f^2(x) = \cos ^2 x + 2 \sin 2x + 4 \sin ^2 x$. 
		\item Déduire des questions précédentes, la valeur exacte de $\mathcal{V}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle (E) :\quad $ y'- y = - \text{e}^x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'- y = 0$. 
\item Vérifier que toute fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = - x\text{e}^x + C\text{e}^x$, où $C$ est une constante, est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item Parmi ces solutions, déterminer celle qui vérifie la condition initiale : $u(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote horizontale et en donner une équation.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ sur $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la tangente $T_{0}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec les axes du repère. 
		\item Tracer, dans le repère \Oij, la droite $T_{0}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x) = (3 - x)\text{e}^x$, est une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Soit $\alpha$ un nombre réel strictement inférieur à 2.
 
On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie électronique juin 2010
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique,\\ électrotechnique et optique}


%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie électronique juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2010
\hypertarget{Reunionelectro}{}

\label{Reunionelectro}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2010~\decofourright\\[5pt] Génie électronique, électrotechnique, optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 4z + 13 = 0.\]
 
\item Dans le plan complexe $\mathcal{P}$, on considère les points A, B et C d' affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = - 2 - 3\text{i},~z_{\text{B}}  = - 2 + 3\text{i}\quad \text{et}~~ z_{\text{C}} = 3 - 2\text{i}.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Écrire $\dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique. 
		\item En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$. 
		\item En justifiant, donner la nature du triangle OAC.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par D l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire à la règle et au compas le point D dans le repère \Ouv.
		 
On laissera apparents les traits de construction. 
		\item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Les points A, B, C et D semblent appartenir à une même figure géométrique. Laquelle ? On justifiera la réponse.
 
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans une entreprise qui fabrique des pièces pour l'horlogerie, on souhaite étudier la conformité d'un type de pièce ayant la forme d'une roue dentée. Deux machines produisent ce type de pièce. Sur chacune des machines, on prélève 200 unités sortant de la chaîne de fabrication et on mesure avec précision le diamètre des roues dentées. On rassemble les résultats dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm& 3,45& 3,5& 3,55& 3,6\\ \hline 
Nombre de pièces issues de la machine A& 5& 184& 10& 1\\ \hline 
Nombre de pièces issues de la machine B& 9& 173& 15& 3\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Une pièce est dite conforme lorsqu'elle a un diamètre de $3,5$~mm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une pièce dans le lot issu de la machine A. 
La probabilité que cette pièce soit conforme est de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,8925 &\textbf{b.} 0,92 &\textbf{c.} 0,865 &\textbf{d.} 1,02\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item On tire au hasard une pièce parmi les 400 qui ont été prélevées dans la production.
 
La probabilité que le diamètre de cette pièce soit supérieur ou égal à 3,5~mm est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} 0,035 &\textbf{b.} 0,8925 &\textbf{c.} 0,0725 &\textbf{d.} 0,965\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce mesurée, associe l'écart par rapport à la dimension théorique de 3,5~mm. Le tableau suivant donne la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline  
$x_{i}$& $-0,05$& 0 &0,05 &0,1\\ \hline 
$P\left(X = x_{i}\right)$&0,035& \np{0,8925} &\np{0,0625} &0,01\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} 0,2375 &\textbf{b.} 2,375 &\textbf{c.} \np{0,002375} &\textbf{d.} \np{0,005875}\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' + 3 y = 6 x + 5$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x}$& 
\textbf{b.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x} + 2x + 1$ \\
\textbf{c.} $x \longmapsto \text{e}^{3x} + 2x + 1$  &
\textbf{d.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x} + 2x + 3$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip 

\item Une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y'' + 9 y = 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.} $x \longmapsto 2\cos (9x) + 5\sin (3x)$& \textbf{b.} $x \longmapsto 2\cos (3x) + 5\sin (3x)$\\
\textbf{c.} $x \longmapsto 2\cos (9x)$ &\textbf{d.} $x \longmapsto 2 \cos (9x)+5 \sin (9x)$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, en prenant pour unité graphique 2~cm.
 
Sur la \textbf{feuille annexe jointe, à rendre avec la copie}, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = a \ln x + \dfrac{b}{x} + c ,\]

où $a,~ b$ et $c$ désignent trois  nombres réels.
 
On a également placé les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~\ln 2 - 2)$ et $(-4 \ln 2 + 8~;~0)$ dans le repère \Oij. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$. 
		\item Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$, calculer $f'(2)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.  
		\item Montrer que $a, b$ et $c$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{2a +}b + c&=&-1\\
\phantom{2}a - b& =& 0\\
2a - b& =&1
\end{array}\right.$. 
		\item Calculer $a, b$ et $c$. 
En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \ln x + \dfrac{1}{x} - 2.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$. 

Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item La courbe $\mathcal{C}$ semble couper l'axe des abscisses sur l'intervalle [6~;~7].
 
Prouver ce résultat, puis donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de l'abscisse du point d'intersection. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
On désigne par $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du (ou des) pointes) d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. 
\item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. 
\item Tracer la courbe $\Gamma$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. 
		\item Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire 
		$\mathcal{A}$ de la partie hachurée.  
		\item En déduire, en cm$^2$, la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Problème}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe, à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.41cm}

\begin{pspicture}(-1,-2)(7.5,3)
\multido{\n=-1.00+0.2}{43}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.2}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(7.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.146}{7.5}{x ln 1 x div add 2 sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1}{7.5}{x 4 div 2 ln add 2 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,-1.30685)(5.22741,0)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.5,-1)(1.5,-1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.2,2){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dr](0,-1.30685){A} \uput[u](5.22741,0){B}

\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion Génie électronique juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2010
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 22 juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique\\ }}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z) = z^3 - 27$, où $z$ désigne un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(z) = (z-3)\left(z^2 + 3z + 9\right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
		
$P(z) = 0$.
		\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
 
\[z_{\text{A}} = 3, \quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. 
		\item Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
	\end{enumerate} 
\item Le point D est l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{D}}$ l'affixe du point D.
 
Montrer que $z_{\text{D}} = -3$, puis placer le point D sur la figure précédente. 
\item Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $|z + 3| = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points O, B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{F}$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
L'ensemble $\mathcal{F}$ est l'image du cercle $\Gamma$ par certaines transformations du plan.

En citer une et préciser ses éléments caractéristiques. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Deux machines A et B produisent un même type de pièce. On a prélevé \np{3000} unités sortant de la machine A et \np{2000} de la machine B.
 
Ces pièces peuvent présenter deux types de défauts: un défaut de couleur, noté C, et un défaut de taille, noté T.
 
Pour la machine A, 2\:\% des pièces présentent uniquement le défaut C, 5\:\% uniquement le défaut T et 1\:\% les deux défauts.
 
Pour la machine B, 3\:\% présentent le seul défaut C, 4\:\% le seul défaut T et 2\:\% les deux défauts.
 
On pourra éventuellement se servir du tableau ci-dessous 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&C seul &T seul &C et T	&ni C ni T 	&Total\\ \hline 
A		&		&		& 30	&			&\np{3000}\\ \hline 
B		&60 	&		&		&			&\np{2000}\\ \hline 
Total	&		&		&		&			&\np{5000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On prend au hasard une pièce parmi les \np{5000} prélevées; toutes les pièces ont la même chance d'être choisies.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que la pièce soit fabriquée par la machine A est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{5}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{5}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité que la pièce présente uniquement le défaut C est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$0,024$&\textbf{b.}~~$0,02$&\textbf{c.}~~$0,03$&\textbf{d.}~~$120$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité que la pièce présente le défaut T est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$\dfrac{23}{500}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{50}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{7}{500}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{20}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité que la pièce présente au moins l'un des deux défauts est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$0,014$&\textbf{b.}~~$0,06$&\textbf{c.}~~$0,038$&\textbf{d.}~~$0,084$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'entreprise décide de commercialiser les \np{5000} pièces prélevées :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les pièces présentant les deux défauts sont invendables et sont détruites ; 
\item[$\bullet~$] les pièces présentant uniquement un défaut de taille sont bradées au prix de 10~\euro{} chacune; 
\item[$\bullet~$] celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25~\euro{} chacune ; 
\item[$\bullet~$] enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30~\euro{} chacune.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sachant que le coût de fabrication d'une pièce est de 10~\euro{}, on considère la variable aléatoire $X$ égale au bénéfice fait par l'entreprise sur chaque pièce, exprimé en euros. 
\item L'entreprise peut espérer un bénéfice moyen, exprimé en euros, de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a}~~$18,68$&\textbf{b}~~$18,54$&\textbf{c}~~$18,89 $&\textbf{d}~~$18,75$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

\medskip
 
\parbox{0.52\linewidth}{La courbe ci-contre est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $\R$ par :
 
$g(x) = x^3 - x^2 + ax + b$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
 
On suppose $g$ strictement croissante sur $\R$.

Cette courbe coupe les axes de coordonnées 
aux points A(1~;~0) et B$(0~;~- 2)$.
 
La droite en pointillés est la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Elle coupe l'axe des ordonnées au point C$(0~;~- 3)$. 
\begin{enumerate}
\item Lire $g(1)$ sur le graphique.
 
En déduire une relation entre $a$ et $b$. 
\item Donner la valeur de $g'(1)$.
 
Écrire alors une relation vérifiée par $a$. 
\item À l'aide des deux premières questions, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. 
\item Donner le signe de $g(x)$ sur $\R$. 
\end{enumerate}}
\hfill  \parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt](-2,-4)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-0.53}{1.55}{x 3 exp x dup mul sub 2 x mul add 2 sub}
\psplot[linestyle=dashed]{-0.166}{1.667}{3 x mul 3 sub}

\end{pspicture*}}

\medskip

\emph{Dans la suite, on admettra que :} $g(x) = x^3 - x^2 + 2x - 2$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère maintenant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :

\[f(x) = 4\ln x + x^2 - 2x + 1 + \dfrac{4}{x}.\]
  
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère \Oij{} du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 

En remarquant que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$,

$f(x) = \dfrac{1}{x}\left(4x\ln x + x^3 - 2x^2 + x + 4\right)$, 
déterminer la limite de la fonction $f$ en zéro et interpréter graphiquement le résultat. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$ où $g$ est la fonction définie dans  la partie A.
 
En déduire le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : position relative de deux courbes}

\medskip
 
Dans la question 1. on demande de conjecturer des résultats à partir de la calculatrice ; dans la question 2. on demande de prouver ces résultats.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, ainsi que l'hyperbole $\Gamma$ d'équation $y = \dfrac{4}{x}$. 

 Les résultats attendus dans cette question seront obtenus à partir de la lecture d'écran. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée. 
		\item Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ semblent avoir un point commun. Donner ses coordonnées. 
		\item Préciser la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $d$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :
 
\[d(x) = f(x) - \dfrac{4}{x}.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question précédente, proposer une solution de l'équation $d(x) = 0$ et, à l'aide d'un calcul, opérer une vérification. 
		\item Calculer $d'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $d$. 
		\item En déduire le signe de $d(x)$ sur l'intervalle $]0~;~5]$. 
		\item La position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$ précisée à la question 1. c. est-elle confirmée ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par : $H(x) = x\ln x - x$.
 
Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0~;~5]$. 
\item Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. Le résultat sera donné en unités d'aire. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2010
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique   2~centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes. 
\item On considère les nombres complexes : 

\[z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}\quad ; \quad  z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}\quad   \text{et}~ z_{3} = 2\text{i}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$. 
		\item Placer les points A B et C d'affixes respectives $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$ dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_{3}}{z_{2}}$.
		\item En déduire que le point C est l'image du point B par une rotation $R$ de centre O dont on précisera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item Soit E le symétrique du point A par rapport à l'origine O du repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point E. 
		\item Montrer que le point E est l'image du point C par la rotation $R$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle BEC est équilatéral.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) :

\[9y'' + y = 0  \]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ et $y''$ la dérivée seconde de la fonction $y$. 
\item  On désigne par $f$ la solution de (E) vérifiant $f(0) = \dfrac{1}{2}$ et $f'(0) = - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction $f$. 

		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = \sin \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{5\pi}{6}\right)$.
	\end{enumerate}
\item La valeur efficace de la fonction $f$ est le réel positif $E$ défini par

 $E^2 = \dfrac{1}{6\pi}\displaystyle\int_{0}^{6\pi} \left[f(x)  \right]^2\:\text{d}x$.	 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ \left[f(x) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\left[1 - \cos \left(\dfrac{2x}{3} + \dfrac{5\pi}{3}\right)\right]$.
		\item Calculer le réel $E$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On donne en annexe la courbe représentative $\Gamma$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$ et sa tangente $\Delta$ au point d'abscisse $0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs entières de $g(0)$ et de $g'(0)$. 
\item On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que  pour tout réel $x,$

$g(x) = \text{e}^x + ax + b$.

On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item À l'aide des résultats des deux questions précédentes calculer les valeurs de $a$ et de $b$.
	\end{enumerate} 
\item Dans la suite du problème on admet que, pour tout réel $x,~g(x) = \text{e}^x - 2x + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (les limites ne sont pas demandées).
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant \`a $\R$. 
		\item Comment ce résultat se traduit-il graphiquement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x\left(1 + 2\text{e}^{-x} \right)\]
 
On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~centimètres en abscisse 
et 1~centimètre en ordonnée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite D d'équation $y = x$.
		 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite D. On précisera leur point d'intersection.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que,  pour tout réel,  $f'(x) = \text{e}^{-x}g(x)$. 
		\item En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
\item Sur une feuille de papier millimétré qui vous sera fournie, tracer les droites D et T ainsi que la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
  
On note $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en centimètres carrés, de l'aire du domaine du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$ la droite D l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine ainsi défini. 
\item Soient $h$ et $H$ les fonctions définies sur $\R$ par $h(x) = 2x\text{e}^{-x}$ et

 $H(x) = 2(-x - 1)\text{e}^{-x}$.

Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner une valeur arrondie au millimètre carré près. 
\end{enumerate}

\newpage

\psset{unit=1.4cm}
\begin{center}

\textbf{Annexe (problème - partie A)}

\vspace{3cm}

\begin{pspicture}(-5,-1)(3.2,10.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](-5,-1)(3,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-1)(3.2,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-5,8)(3.2,-0.2)
\uput[l](-3.5,9){\blue $\Gamma$} \uput[dl](-4,7){$\Delta$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-4.12}{2.6}{2.71828 x exp 2 x mul sub 2 add}
 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie électronique juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique septembre 2010
\hypertarget{Metroelectrosept}{}

\label{Metroelectrosept}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{  \decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole \& La Réunion 16 septembre 2010~\decofourright\\[5pt]
Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C\\ \hline 
\textbf{1.} Le nombre complexe solution de l'équation $(1 + \text{i})z - 3 + \text{i} = 0$ est :&$1- 2\text{i}$& $2 - \text{i}$ &$2 - 2\text{i}$\\ \hline 
\textbf{2.} On considère le nombre complexe $z_{0}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le nombre complexe $z_{0}^{\np{2010}}$ est :& un réel positif&un imaginaire pur&un réel négatif\\ \hline 
\textbf{3.} L'écriture exponentielle du nombre complexe $- 1 + \text{i}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ \hline
\textbf{4.} Si $z_{1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et  $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$, alors l'écriture exponentielle de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$& $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{11\pi}{12}}$\\ \hline
 \textbf{5.} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, l'image du point $M$ d'affixe $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$  par la rotation de centre O 
et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ est le point $M'$ d'affixe $z'$ :&$z' = - \sqrt{3} + \text{i}$&$z' = \sqrt{3} + \text{i}$  & $z' = \sqrt{3} - \text{i}$\\ \hline
\textbf{6.} Si les points A, B, C ont pour affixes respectives $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, alors le triangle ABC est : &rectangle &isocèle& 
équilatéral\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 10~boules. Sur chacune d'elles, on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre inscrit sur la boule &5 	&6 &10 	&11	&12 &13 &14\\ \hline 
Nombre de boules			&1	& 2&1	&3	&1	&1	& 1\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

Un joueur mise 10~\euro, tire une boule au hasard dans l'urne et reçoit en euros la somme inscrite sur la boule. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Le joueur joue une fois : on appelle $p_{1}$ la probabilité qu'il perde de l'argent (c'est-à-dire que le nombre inscrit sur la boule soit inférieur à 10) et $p_{2}$ la probabilité qu'il ait un gain positif ou nul.
 
Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$· 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le \og gain \fg{} du joueur (une perte est un gain négatif).
 
Par exemple: si le joueur tire le nombre 12 son gain est de $+ 2$ ; s'il tire le nombre 6 son gain est de $- 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Présenter la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ dans un tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique, notée E($X$) , de la variable aléatoire $X$.
		 
Que représente E($X$) pour le joueur ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On souhaite, en changeant le nombre inscrit sur UNE boule et une seule, rendre le jeu équitable. Proposer une solution. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y' - 2y = 0$ (E). 
\item Déterminer la fonction $g$, solution particulière de (E), vérifiant $g'(0) = - 1$.
\end{enumerate}

 \medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La courbe fournie sur le \textbf{document annexe} représente la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
 
Les points K et F ont pour coordonnées respectives (0~;~3) et (1~;~6). La droite (KF) est tangente à la courbe au point K.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (KF). 
\item À l'aide des coordonnées du point K et du coefficient directeur trouvé, déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$ par : 

\[f(x) = 3\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $]-\,\infty~;~2]$ : $f'(x) = \text{e}^x \left(3 - \text{e}^x\right)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		 
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente ($T$) à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse  $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$. 
\item Déterminer les coordonnées du point B, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
\item Tracer la tangente ($T$) et la courbe $\mathcal{C}$, après avoir placé les points A et B. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 6$. 
		\item Calculer en unités d'aire, puis en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Pour tout nombre réel $\alpha$ inférieur à $\ln 6$, on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine constitué par l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c c c l}
\alpha&\leqslant &x & \leqslant & \ln 6\\
0&\leqslant&y&\leqslant & f(x)
\end{array}\right.$
 
On admet que : $\mathcal{A}(\alpha) = \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2$ unités d'aire.
 
Peut-on obtenir une aire de $8$~cm$^2$ ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Problème, partie B}

\vspace{1cm}

\textbf{Document annexe}

\vspace{1cm} 

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,7.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-4,-1)(4,7.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-1)(4,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,3)(1,6)
\uput[dr](0,3){K}\uput[dr](1,6){F}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.95}{2.71828 x exp 3 mul}
\psplot{-1.33}{1.66}{3 x mul 3 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique septembre 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2010
\hypertarget{Caledoelectro}{}

\label{Caledoelectro}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{  \decofourleft ~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2010~\decofourright\\[5pt]
Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 3 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

\[z^2 - z\sqrt{3} + 1 = 0.\]
 
\item  Soient A et B deux points du plan complexe d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}\quad \text{et}~~z_{\text{B}} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{2}\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$. 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
	\end{enumerate}
\item  Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point C, image du point B par la rotation $r$. 
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. On donnera d'abord la forme exponentielle de $z_{\text{C}}$ puis sa forme algébrique.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{AO}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AO}}$ a pour affixe 
$- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$. 
		\item  En déduire l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D, image du point B par la translation $t$. 
		\item  Construire le point D.
	\end{enumerate} 
\item  Montrer que le triangle OBD est équilatéral. 
\item  Montrer que le triangle BCD est rectangle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est considérée conforme si elle répond aux critères de diamètre et d'épaisseur exigés. Afin de vérifier la conformité de ces pièces, on procède à deux tests : un test sur le diamètre et un test sur l'épaisseur.

On effectue les deux tests sur $500$~pièces et on observe que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 18 pièces ont un défaut de diamètre; 
\item 15 pièces ont un défaut d'épaisseur; 
\item  5 pièces ont les deux défauts.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip 

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
								&Pièces ayant un défaut de diamètre&Pièces n'ayant pas un défaut de diamètre&
Total\\ \hline
Pièce ayant un défaut d'épaisseur		&	&	&\\ \hline 
Pièce n'ayant pas un défaut d'épaisseur	&	&	&\\ \hline  
Total 									&18	&	&500\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
  
\item On prélève au hasard une pièce parmi les 500 pièces testées. Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité  que la pièce prélevée présente les deux défauts ? 
\item On prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent un défaut de diamètre. 
Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité, à $10^{-2}$ près, que la pièce prélevée présente également un défaut d'épaisseur ? 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe le nombre de défauts de conformité de la pièce. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip
 
\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^x + c\]
 
où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
 
Sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~centimètre en abscisse et 0,25~centimètre en ordonnée.
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~7) et la droite T est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$. Le point B$(-2~;~1)$ appartient à la droite T.
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide des données précédentes et du graphique, donner sans justification les valeurs de $f(0),~f'(0)$ et $f'(3)$. 
\item  Exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et de $c$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = (ax + a + b)\text{e}^x$. 
		\item En déduire les expressions de $f'(0)$ et de $f^{\prime}(3)$ en fonction de $a$ et de $b$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats des questions 1., 2. et 3.b, montrer que $a,~b$ et $c$ vérifient le système d'équations : 
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{4a +}b+c&=&7\\ 
\phantom{4}a+b&=&3\\
4a + b &=&0
\end{array}\right.\] 
		\item Déterminer les valeurs de $a,~b$ et $c$ puis donner l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Dans la suite du problème, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = (-x + 4)\text{e}^x + 3\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
\item En remarquant que, pour tout réel $x,~f(x) = -x\text{e}^x + 4\text{e}^x + 3$, calculer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).  

Interpréter graphiquement la limite trouvée. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe. 
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = (-x + 5)\text{e}^x + 3x.\]
 
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit D le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite T d'équation $y = 3x + 7$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 3$.
		 
Hachurer le domaine D sur le graphique de l'annexe. 
		\item Calculer, en centimètres carrés, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine D.
		 
On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie}

\vspace{3cm} 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.3cm} 
\begin{pspicture}(-5.5,-16)(3,26)
\multido{\n=-5+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-16)(\n,24)}
\multido{\n=-16+4}{11}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](-5,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=4](0,0)(-5.5,-16)(3,26)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.5}{3}{4 x sub 2.71828 x exp mul 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{3}{3 x mul 7 add}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,7)(-2,1)

\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2010
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurét STI Métropole juin 2010~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}
\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij. On considère l'équation différentielle (E) suivante : 

\[4y'' = -y\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et où $y''$ désigne sa dérivée seconde.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par :

\[f(x) =  2 \cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right).\]
 
Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$, puis vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E). 
		\item Déterminer la solution particulière $g$ de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative passe par les points A(0~;~1) et B$\left(\pi~;~-\sqrt{3}\right)$. 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $g(x) = f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ ; 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des complexes l'équation : 

\[(z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0.\]
 
\item On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives :

\[ z_{\text{A}} = 2 ~~;~~ z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}~~ ;~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}~~ ;~~ z_{\text{D}} = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}~~ ;~~ z_{\text{E}} = 2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Donner le module et un argument de $z_{\text{C}}$. 
		\item Donner sans calcul le module et un argument de $z_{\text{D}}$ 
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D, E dans le repère indiqué sur la feuille de papier millimétré fournie.
		 
On prendra comme unité graphique 2~cm sur chacun des axes.

\medskip
 
\emph{Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item Montrer que les points A, B, C, D, E sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Tracer le cercle dans le repère. 
		\item Quelle est la nature du triangle DBC ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

\[f(x) = 6 - x - \text{e}^{-x}.\]

Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item Montrer que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $f(x) = \text{e}^{-x}\left(6\text{e}^{x} -  x\text{e}^{x} - 1\right)$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$. En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y =  -x + 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
 	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur R. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la forme 
		
$f'(x) = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^x}$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^x \geqslant 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\Delta'$ la parallèle à $\Delta$ passant par l'origine.
 
	Calculer les coordonnées du point d'intersection N de $\Delta'$ et de $\mathcal{C}_{f}$. 
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $- \ln (6)$. 
\item En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $\Delta$, $\Delta'$ et $\mathcal{T}$. On prendra comme unité graphique 1~cm sur chacun des axes.  
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

\[F(x) = 6x - \dfrac{x^2}{2}+ \text{e}^{-x}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - \ln (6)$ et l'axe des ordonnées. 
		\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ de la partie hachurée.
		 
On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie de $\mathcal{A}$ au dixième de cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux septembre 2010
\hypertarget{Metromateriauxsept}{}

\label{Metromateriauxsept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2010~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, des matériaux}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
			\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: 

\[z^2 + z + 1 = 0\]
 
On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de cette équation,  $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative. 
			\item Montrer que $z_{1}^2 = z_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère dans la suite de l'exercice les points A, B et C d'affixes respectives 
		
		\[z_{1} = \dfrac{-1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}, \quad z_{2} =  \dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{2} \quad \text{et}~~z_{3} = 1.\]
		 
Écrire chacun de ces trois nombres complexes sous forme trigonométrique et en déduire que $z_{1}^3 = z_{3}$. 
		\item Calculer $z_{1}^{\np{2010}}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan. On prendra 4~cm comme unité graphique sur chacun des axes. 
		\item Montrer que ces points sont sur un cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	 
\textbf{Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\item Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme puis calculer les coordonnées du point D. 
\item Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[\left(E_{0} : \right)\quad  	y'' + 9y = 0\]

où $y$ est une fonction deux fois dérivable  sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$. 
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ vérifiant les conditions $f(0) = \sqrt{3}$ et $f'(0) = 3$. 
\item À l'aide de la formule $\cos (a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$, montrer que $f(x)$ peut s'écrire: 

\[f(x) = 2\cos \left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On considère maintenant l'équation différentielle 

\[\left(E_{1}\right) :\quad y'' + 9y = \text{e}^{- x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{1}{10}\text{e}^{- x}$ est une solution de $\left(E_{1}\right)$· 
\item  Montrer que la fonction $f + g$ est solution de $\left(E_{1}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = x^2 + 2 - 2\ln (x)\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et montrer que cette dérivée peut s'écrire : 

\[g'(x) = \dfrac{2 \left(x^2 - 1\right)}{x} \]

\item Étudier le signe de $g'(x)$ et établir le tableau de variations de la fonction $g$ (les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+ \infty$ ne sont pas demandées). 
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère maintenant la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, d'expression: 

\[f(x) = \dfrac{2\ln (x)}{x} + x - 1\] 

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le repère donné sur l'annexe jointe au sujet.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et en déduire que la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ admet une asymptote 
dont on déterminera une équation. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$ comme asymptote. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\Delta$. 
		\item Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné dans l'annexe, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item Déduire de la partie A le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
		\item Représenter $\mathcal{T}$ sur le graphique joint en annexe, à rendre avec la copie.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $H$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = \left[\ln (x)\right]^2$. 
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$.
 	\end{enumerate} 
\item Déduire de ce calcul la valeur exacte de l'intégrale suivante : $\displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x$. 
\item Cette intégrale correspond à l'aire calculée en unités d'aire d'une surface. Hachurer cette surface sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4.5)(13,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,-5)(13,11) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1,-5)(13,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](13,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.408}{11.7}{x ln 2 mul x div x add 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin  Métropole génie des matériaux septembre 2010
\end{document}