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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small L'intégrale 2012}
%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2012~\decofourright \\ \vspace{1cm}L'intégrale de mars à novembre 2012}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2012} \dotfill  \pageref{Metroappli}\\
\hyperlink{Metroapplisep}{Métropole Arts appliqués septembre 2012} \dotfill \pageref{Metroapplisep}\\
\hyperlink{Antillescivil}{Antilles--Guyane Génie civil juin 2012} \dotfill \pageref{Antillescivil}\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2012} \dotfill  \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2012} \dotfill  \pageref{Polynesiecivil}\\
\hyperlink{Antillescivilsep}{Antilles--Guyane Génie civil septembre 2012} \dotfill \pageref{Antillescivilsep}\\
\hyperlink{Metrocivilsept}{Métropole  Génie civil septembre 2012} \dotfill \pageref{Metrocivilsept}\\
\hyperlink{Polynesiecivilsep}{Polynésie Génie civil septembre 2012} \dotfill  \pageref{Polynesiecivilsep}\\
\hyperlink{NlleCaledocivil}{Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2012} \dotfill \pageref{NlleCaledocivil}\\
\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles--Guyane Génie électronique juin 2012} \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2012} \dotfill  \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2012} \dotfill  \pageref{Polynesieelectro}\\
\hyperlink{Antilleselectrosept}{Antilles--Guyane Génie électronique septembre 2012} \dotfill \pageref{Antilleselectrosept}\\
\hyperlink{Metroelectrosept}{Métropole Génie électronique septembre 2012} \dotfill \pageref{Metroelectrosept}\\
\hyperlink{NlleCaledoelectro}{Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2012} \dotfill \pageref{NlleCaledoelectro}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2012} \dotfill  \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2012} \dotfill  \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués juin 2012
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\chead{L'intégrale 2012}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]
21 juin 2012}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 10 points}

\medskip
 
Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{L'association \og Arts martiaux et Self-défense \fg{} d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.

\medskip
 
60\,\% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36\,\% au cours de self-défense et 5\,\% aux deux. 

On interroge un adhérent au hasard.
 
On note $J$ l'évènement : \og l'adhérent interrogé pratique le judo \fg{} et $S$ l'évènement: \og l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense \fg.
 
Pour tout évènement $D$, on note $\overline{D}$ l'évènement contraire de $D$.}\hfill
\parbox{0.37\linewidth}{\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&$J$	&$\overline{J}$		&total\\ \hline
$S$						&		&					&36\,\%\\ \hline
$\overline{S}$			&		&					&\\ \hline
total					&		&					&100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus. 
\item Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements : 
	\begin{enumerate}
		\item $S \cap \overline{J}$ ; 
		\item $\overline{S} \cap J$ ; 
		\item $\overline{S} \cap  \overline{J}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
 
Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
 
Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée limitée par le cercle et l'ellipse 
comme indiqué ci-contre.}
\hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,2)(2.5,2)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,2){1.5}
\pscurve*(2.15,2.7)(2.2,2.8)(2.7,3)(2.9,2.8)(2.7,2.6)(2.3,2.5)(2.15,2.7)
\pscurve*(1.4,2.4)(2,2.2)(2.1,2.18)(3,2.5)(3.45,3)(3.4,2.8)(3,2.3)(2.5,2.1)(2,2.05)(1.7,2.15)(1.4,2.4)
\pscurve*(2.1,0.9)(2,1)(1.9,1.3)(2,1.7)(2.3,1.8)(2.4,1.78)(2.4,1.95)(2.85,2)(2.87,1.8)(3,1.78)(3.4,1.7)(3,1.65)(2.85,1.62)(3,1.3)(3.3,1)(3,0.92)(2.8,1)(2.4,1.4)(2.3,1.6)(2.2,1.58)(2,1.3)(2.1,0.9)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\end{pspicture}}

\medskip

On a représenté en annexe (à joindre à la copie) l'ellipse (E) dans un repère orthonormé du plan d'origine O. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les sommets A, A$'$, B et B$'$ ont des coordonnées entières. 

Préciser les coordonnées de ces sommets. 
\item Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F$'$. 
\item Le cercle (C) a pour diamètre [FF$'$]. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF$'$] est égale à $9\pi$. 
\item Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ?
 
On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à $\pi \times  \text{OA} \times \text{OB}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 10 points}

\medskip

La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1.25}{0.75}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}
\psdots(-1,0)(0,1)(1,0)
\uput[ur](1,0){H}\uput[dr](0,1){F}\uput[ul](-1,0){E}\uput[d](1.4,0){$x$}\uput[l](0,1.7){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, préciser $f(-1),{}f(0)$ et $f(1)$. 
\item Déterminer une équation de la droite (EF).
 
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de $f'(0)$. 
\item Julien affirme que la tangente au point d'abscisse $0,4$ est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour $f'(0,4)$ ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle $[-1~;~1]$ par : 

\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les valeurs de $f(-1)$,\: $f(0)$ et $f(1)$ obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[- 1~;~1]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^x$. 
		\item En déduire la valeur exacte de $f^{\prime}(0)$ et de $f^{\prime}(0,4)$.
	\end{enumerate} 
\item La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ? 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $- x^2 - 2x + 1$. 
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on pose $F(x) = \left(- 1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$. 

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$. 
\item Calculer l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$. 
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe à l'exercice 1 - À joindre à la copie}}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(5,4)

\uput[dl](0,0){O}\uput[d](5.8,0){$x$}\uput[ur](5,0){A}
\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](-5,0){A$'$}\uput[dr](0,-4){B$'$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués septembre 2012
\hypertarget{Metroapplisep}{}

\label{Metroapplisep}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{11 septembre 2011}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués 11 septembre 2012~\decofourright\\[5pt]Métropole-La Réunion }

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
Au départ d'une randonnée, trois itinéraires différents sont proposés à un groupe de 48 randonneurs : un itinéraire pour débutant, un de difficulté moyenne et un de niveau élevé. 

Ce groupe est composé de 32 femmes et de 16 hommes.
 
Concernant le choix de l'itinéraire :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  5 femmes et 2 hommes choisissent l'itinéraire de niveau débutant ; 
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des randonneurs choisissent l'itinéraire de difficulté moyenne et parmi eux, il y a autant de femmes que d'hommes ; 
\item[$\bullet~~$]Les autres randonneurs choisissent l'itinéraire de niveau élevé.
\end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
  
On choisit au hasard un randonneur (on suppose que tous les randonneurs ont la même chance d'être choisis) et on note :
 
$F$ l'évènement \og le randonneur est une femme \fg{} ; 

$H$ l'évènement\og le randonneur est un homme \fg{} ;
 
$D$ l'évènement\og le randonneur choisit l'itinéraire de niveau débutant \fg{} ;

$E$ l'évènement\og le randonneur choisit l'itinéraire de niveau élevé \fg.

\medskip
 
Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible. On pourra utiliser un arbre ou un tableau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p(F)$ de l'évènement $F$. 
\item Calculer la probabilité $p(E)$ de l'évènement $E$. 
\item Définir par une phrase l'évènement noté $H \cap E$ et calculer sa probabilité 
$p(H \cap E)$. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le randonneur est une femme ou choisit l'itinéraire de niveau débutant \fg{} est $\dfrac{17}{24}$. 
\item Dans cette question, on choisit au hasard un randonneur parmi les hommes. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi l'itinéraire de niveau élevé ? 
\item Commenter et critiquer éventuellement cette phrase: \og Le niveau des femmes de ce groupe est plus élevé que celui des hommes \fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = x^2 - 4.\]
 
On note $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Étudier le signe de $g(x)$ sur $\R$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $(C)$ (unité graphique : 2~cm). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	&$0$	&$1$	&$2$	&$3$\\ \hline
$g(x)$&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 3 \ln (x + 3).\]
 
On note $\left(C'\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le même repère que précédemment.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 3} f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ et interpréter graphiquement le résultat. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au dixième) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 2,5$&$- 2$	&$- 1$	&$0$&$1$&$2$&$3$\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère la droite $T_{1}$ tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ et la droite $T_{2}$ tangente à la courbe  
$\left(C'\right)$ au point d'abscisse $- 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite $T_{1}$ et une équation de la droite $T_{2}$. 
		\item Quelle est la position relative de ces deux droites ? 
\item Tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$  et la courbe $\left(C'\right)$ dans le même repère que la courbe $(C)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
On se propose de déterminer l'aire de la partie $D$ du plan, limitée par les courbes $(C)$ et $\left(C'\right)$ et les droites d'équations $x = - 2$ et $x = 3$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $]- 3~;~3]$ par : 

\[F(x) = 3(x + 3) \ln (x + 3) - 3x.\]
 
Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$. 
\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[- 2~;~3]$,\: $g(x) \leqslant f(x)$ et que l'aire de la partie $D$ en unités d'aire est 
égale à $\displaystyle\int_{- 2}^3 \left(f(x) - g(x) \right)\:\text{d}x$.
 
Donner la valeur exacte de l'aire de la partie $D$ en cm$^2$ puis une valeur approchée au mm$^2$ près. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane Génie civil juin 2012
\hypertarget{Antillescivil}{}

\label{Antillescivil}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane 20 juin 2012~\decofourright\\[5pt]
Génie mécanique (options A et F), civil, énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\smallskip

Une machine fabrique \np{10000} pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts: A et B.

Un contrôle qualité a permis d'établir qu'en moyenne:
\begin{itemize}
\item
10~\% du total des pièces présentent le défaut A;
\item 15~\% du total des pièces présentent le défaut B;
\item 2~\% du total des pièces présentant à la fois les défauts A et B.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Compléter le tableau figurant en annexe 1 qui sera à rendre avec la copie.

Aucune justification n'est attendue.
\item On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.
		\item Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.
	\end{enumerate}
\item Une entreprise commercialise les pièces fabriquées par cette machine.
\begin{itemize}
\item
Les pièces qui ne présentent aucun défaut sont vendues 20 euros chacune.
\item Les pièces qui présentent les deux défauts ne sont pas mises en vente.
\item Parmi les pièces qui présentent un seul défaut, 80\,\% sont vendues 12 euros chacune et les autres ne sont pas mises en vente.
\item Dans tous les cas, le coût de fabrication d'une pièce est 10~euros.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sur les \np{10000} pièces fabriquées le nombre de pièces vendues 12 euros.
		\item Sur les \np{10000} pièces fabriquées, montrer que l'entreprise peut espérer un bénéfice de \np{74160} euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\smallskip

\emph{
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\
Chaque réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse enlève \np{0,25} point; une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.
}

\smallskip

On désigne par $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Le nombre complexe $z = 1+\i\sqrt{3}$ a pour nombre complexe conjugué:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-1-\i\sqrt{3}$ & $-1+\i\sqrt{3}$ & $1- \i\sqrt{3}$ & $\dfrac{1}{1+\i\sqrt{3}}$
\end{tabular}
\end{center}
\item L'équation $\dfrac{z-1}{z+1}=\i$ d'inconnue $z$ admet pour solution:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$\i$ & $\dfrac12-\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\i$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=2\sqrt{2}\text{e}^{\i\frac{3\pi}{4}}$ a pour forme algébrique:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-2+2\i$ & $2+2\i$ & $2+\i\sqrt{2}$ & $2-2\i$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=-4\i$ a respectivement pour module et argument:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
4 et 0 & 1 et $\dfrac{\pi}{4}$ & 4 et $-\dfrac{\pi}{2}$  & $-4$ et $\dfrac{3\pi}{2}$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac12\i$ a pour notation exponentielle:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-\text{e}^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\text{e}^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\text{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$ & $-\text{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 10 points}
 
\smallskip

On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Les deux parties de ce problème peuvent être traitées de manière indépendante.

\smallskip

\textbf{Partie A: lectures graphiques}

\smallskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(6.99,4.99)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-4,-2.99)(6.99,4.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.0}{7.0}{(2*x+3)*EXP(-x)}
\psplot{-4}{7}{(--3-1*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\large $A$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psdots[dotstyle=*](3,0)
\rput[bl](2.7,-0.44){\large $B$}
\uput[-135](-1,4){\large $\mathcal{D}$}
\uput[180](-1.8,-2){\blue \large $\mathcal{C}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$.

Cette tangente passe par le point $B$ de coordonnées $(3~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement $f(0)$.
		\item En déduire la valeur de $b$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{D}$.
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$, puis en déduire la valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= (2x + 3)\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $-\infty$.
		\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Démontrer que pour tout réel $x$, on a: $f'(x)=(-2x-1)\text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = - f'(x) + 2\text{e}^{-x}$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I$, puis donner une valeur approchée de $I$ à $10^{-3}$ près.
		\item Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
		\item Interpréter $I$ comme l'aire, en unités d'aire, d'un domaine du plan à définir.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe de l'exercice 1}

(à rendre avec la copie)}

\bigskip


\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Nombre de pièces & Nombre de pièces ne &\\
& présentant le défaut & présentant pas le défaut & Total \\
& A & A & \\
\hline
Nombre de pièces & & & \\
présentant le défaut B & & & \\
\hline
Nombre de pièces ne & & & \\
présentant pas le défaut B & & & \\
\hline
Total & & & \np{10000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane Génie civil juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil juin 2012
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil 21 juin 2012~\decofourright\\[5pt]Métropole }}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.79\linewidth}{On considère le puzzle représenté ci-contre. Il est constitué de 3 pièces :
le triangle AEF et les quadrilatères AEBO et AFCO, découpés dans le triangle OBC.
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, fourni en annexe 1. On note i le nombre complexe 
 de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$}\hfill
\parbox{0.18\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(2.5,1.5)
\psdots(0,0)(1,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
\psline(0,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(0,0)(1,0)
\pspolygon(1,0)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
\uput[u](0,0){O} \uput[u](1,0){A} \uput[r](2.2,1.3){B} 
\uput[r](2.2,-1.3){C} \uput[r](2.2,0.65){E} \uput[r](2.2,-0.65){F} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue complexe z : 

\[z^2 - 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]
 
\item On considère les points B et C d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 4\sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{\text{B}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
		\item En déduire une écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{C}}$. 
		\item Placer précisément les points B et C dans le repère défini précédemment.
		\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item Le point A a pour coordonnées (3~;~0). Le point D a pour coordonnées $\left(4\sqrt{3}~;~0\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les affixes des points $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ des points A et D. 
		\item Calculer les affixes du point E milieu du segment [BD] et du point F milieu du segment [CD]. 
		\item Placer les points A, D, E et F dans le repère figurant en annexe 1. 
		\item Calculer l'aire exacte, en cm$^2$, du triangle AEF.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
Quelles sont les valeurs exactes, en cm$^2$, des aires des deux autres pièces du puzzle ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un puzzle est constitué de trois pièces: un triangle et deux quadrilatères. 

Un forain propose le jeu suivant utilisant six boîtes :
 
Trois boîtes parmi les six contiennent une et une seule pièce de ce puzzle, les autres restant vides. 

Une partie consiste :
\begin{itemize}
\item à placer les six boîtes au hasard sur un plateau; 
\item à demander au joueur de choisir une boîte parmi les six.
\end{itemize}
 
Le jeu nécessite une mise de 2 euros. Il consiste à ouvrir une boîte au hasard parmi les six. 
\begin{itemize}
\item Si le joueur trouve la pièce triangulaire on lui remet 5 euros: son gain relatif est alors de 3 
euros. 
\item Si le joueur trouve une autre pièce on lui remet 3 euros. 
\item Si la boîte est vide on ne lui remet rien.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui prend comme valeurs les gains relatifs du jeu précédent, c'est-à-dire la somme reçue (éventuellement nulle) moins la mise de 2~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
1 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $- \dfrac{1}{6}$. Interpréter le résultat obtenu. 
		\item Le forain paie 45~euros par jour pour la location de son emplacement. Trouver le nombre minimum de parties qu'il doit organiser chaque jour en moyenne pour espérer ne pas perdre d'argent.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
Un joueur prétend qu'il peut modéliser ce jeu à l'aide d'un dé cubique équilibré. Proposer un modèle correspondant à son affirmation. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Vérifier que la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 

\[g(x) = 2\text{e}^{- 0,1x}\]
 
est solution de l'équation différentielle $y' + 0,1y = 0$ où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur [0~;~3].
 
On a tracé $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe (2). 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre $x$ réel de l'intervalle $[-2~;~0]$, par 

\[f(x) = 2 \ln (\text{e} + x),\]
 
où e est le nombre réel tel que $ln(\text{e}) = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en détaillant les calculs, que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~0]$, la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par 

\[f'(x) = \dfrac{2}{\text{e} + x}.\]
 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
	\end{enumerate} 
\item Établir, par la méthode de votre choix, que le nombre réel $1 - \text{e}$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$. 
\item Dans le repère \Oij, on a placé le point A$(- \text{e}~;~0)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative de la fonction $f$ en B, son point d'abscisse $0$. 
		\item Vérifier que le point A appartient à $\mathcal{T}$. 
		\item Tracer précisément $\mathcal{T}$. 
		\item On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 - \text{e}~;~0]$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe 2. Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Hachurer la partie $P$ du plan limitée par la réunion des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.
 
Représenter sur votre copie l'allure du solide $S$ engendré par la rotation de la partie hachurée $P$ autour de l'axe des abscisses. 

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
On rappelle que le volume $V$ du solide engendré par la rotation autour de l'axe (O$x$) de la partie du plan limitée par la courbe représentative d'une fonction $h$, l'axe (O$x$) et les droites d'équations $x = a$ et $x = b\: (a < b)$ est 

\[V = \pi \int_{a}^b (h(x))^2\:\text{d}x\quad  \text{unités de volume.}\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit: 

\[I = \int_{1 -\text{e}}^0 (f(x))^2\:\text{d}x.\]

On admet que $I = 4\text{e} - 8$. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $I$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 

\[H : x \longmapsto  H(x) = - 20\text{e}^{-0,2x}\]
 
est une primitive de la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~3J associe $(g(x))^2$. 
		\item On note 

\[J = \int_{0}^3 (g(x))^2\:\text{d}x.\]

Montrer que $J = 20 \left(1 - \text{e}^{-0,6}\right)$.
 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $J$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est à choix multiples (QCM). Une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie la réponse choisie.}
 
Dans le tableau ci-dessous, parmi les quatre réponses proposées pour le volume en cm$^3$ du solide $S$, une seule est valable, laquelle ? Expliquer votre choix. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A & Réponse B & Réponse C & Réponse D\\ \hline\hline
12 &285 &299 &37\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\newpage
{\large\textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6.5)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-6.5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-6.5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](8.8,0){$x$}\uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\newpage
{\large\textbf{Annexe 2}} 
\vspace{3cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-3,-2.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psdots(-2.71828,0)\uput[u](-2.71828,0){A}
\psline(0,2)(3,1.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2012
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat mentionnera le numéro de la question, et la réponse qu'il pense être juste, sans justification.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point, l'absence de réponse ou une mauvaise réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} 

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des composants, qui peuvent présenter deux types de défauts :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des composants présentent le défaut A ; 
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des composants présentent le défaut B ; 
\item[$\bullet~~$] la moitié des composants qui présentent le défaut B présentent aussi le défaut A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève dans la production un composant au hasard, en supposant l'équiprobabilité des tirages. La probabilité que le composant prélevé ne présente aucun des deux défauts est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{Réponse A} : 0,05&\textbf{Réponse B} : 0,65&\textbf{Réponse C} : 0,5&\textbf{Réponse D} : 0,45\\
\end{tabularx}
\medskip
 
Les questions 2, 3, 4 portent sur la situation suivante :

\medskip

\parbox{0.76\linewidth}{ 
Un jeu se présente sous la forme d'une machine comprenant un carré de neuf cases où sont inscrits des numéros, comme sur le schéma ci-contre. Lorsqu'on actionne la machine, l'une des cases s'allume de façon aléatoire, toutes les cases ayant la même probabilité de s'allumer. 

Pour jouer une partie, un joueur mise 1~\euro{} et actionne la machine, il reçoit alors un montant en euro égal au numéro de la case qui s'est allumée. 
Par exemple, si la case portant le numéro 3 s'est allumée, le joueur a misé 1~\euro{} et reçoit 3~\euro{} donc son gain algébrique est égal à 2~\euro}\hfill
\parbox{0.22\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)(2,2)
\psline(0,1)(3,1)\psline(0,2)(3,2)\psline(1,0)(1,3)\psline(2,0)(2,3)
\psframe(3,3)
\rput(0.5,2.5){2}\rput(1.5,2.5){0}\rput(2.5,2.5){2}\rput(0.5,1.5){0}\rput(1.5,1.5){1}
\rput(2.5,1.5){0}\rput(0.5,0.5){0}\rput(1.5,0.5){3}\rput(2.5,0.5){0}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Question 2}
 
Un joueur joue une partie. La probabilité que son gain algébrique soit strictement positif est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{Réponse A} : $0$& 
\textbf{Réponse B} : $\dfrac{1}{3}$& 
\textbf{Réponse C} : $\dfrac{2}{3}$& 
\textbf{Réponse D} : $1$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\textbf{Question 3}
 
Un joueur joue une partie. Son gain algébrique moyen, en euro, est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{Réponse A} : $0$& 
\textbf{Réponse B} : $\dfrac{1}{9}$& 
\textbf{Réponse C} : $\dfrac{1}{3}$& 
\textbf{Réponse D} : $- \dfrac{1}{9}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\textbf{Question 4}
 
On veut modifier le numéro placé dans la case centrale (en grisé sur la figure) pour que le gain algébrique moyen du joueur qui joue une partie soit égal à $0$. Il faut pour cela placer dans la case centrale le numéro :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{Réponse A} : $0$ & \textbf{Réponse B} : $2$ &
\textbf{Réponse C} : $4$ &\textbf{Réponse D} : $6$
\end{tabularx}
\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$. Donner les solutions sous forme algébrique. 
\item On note $w = 1 + \text{i}$ et a = 2 + \text{i}, où $\text{i}$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.  
	\begin{enumerate}
		\item On pose $b = a \times w$. Calculer la forme algébrique du nombre complexe $b$. 
		\item On pose $c = \dfrac{a}{w}$. Démontrer que $c = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$. 
		\item  Calculer le module de $b$ et le module de $c$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv.
 
On note A, B et C les points du plan d'affixes respectives $a, b$ et $c$. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure, dans laquelle on placera les points A, B, C. L'unité graphique est 2~cm. 
		\item Calculer la longueur BC. 
		\item Quelle est la nature du triangle OBC ? Justifier la réponse. 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Démontrer que la droite (OA) est une bissectrice du triangle OBC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} 

\bigskip

\parbox{0.45\linewidth}{L'organisateur d'une compétition de skateboard souhaite construire une piste dont le profil dans un plan est schématisé ci-contre dans un repère orthonormal, en convenant qu'une unité dans le repère correspond à 1~mètre.}\hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-6,-1.5)(4,8)
\psaxes(0,0)(-6,0)(4,8)
\psline[linewidth=1.5pt](0,4)(-6,7)(-6,0)(4,0)(4,7.437)
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.5pt]{0}{4}{x dup mul 4 div x sub 2 add 2.71828 x 4 div exp mul 2 add}
\uput[ur](-6,7){A}\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](4,7.437){C}
\end{pspicture}} 


Sur ce profil, on considère que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la piste entre les points A et B est rectiligne, elle est donc modélisée par un segment ; 
\item[$\bullet~~$] la piste entre les points B et C est modélisée par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de  l'intervalle [0~;~4] par : $f(x) = 2 + \left(\dfrac{1}{4}x^2 - x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A - Modélisation de la piste}

\medskip
 
Dans le repère, les coordonnées des points A et B sont respectivement A$(-6~;~7)$ et B(0~;~4).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Détermination graphique d'une équation de la droite (AB)}
 
La droite (AB) a une équation du type $y = a x + b$, où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer dans cette question. 
	\begin{enumerate}
		\item À partir des données de l'énoncé, donner la valeur du nombre $b$. 
		\item En utilisant les coordonnées du point A, déterminer la valeur du nombre $a$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Raccordement de la droite (AB) avec la courbe représentative de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath
 
On note $f^{\prime}$ la dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout nombre réel $x :\quad f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{16}\left(x^2 + 4x - 8\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$.  
		\item Vérifier que le point B est situé sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$ puis que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des variations et du signe de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 + 4x - 8 = 0$. 
		\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. Préciser les valeurs, arrondies au dixième, du maximum et du minimum de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
		\item En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~4], $f(x) > 3,5$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Calcul d'une intégrale}
 
Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] par:  

\[F(x) = 2x + \left(x^2 - 12x + 56\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4  f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
Pour déterminer le volume de béton nécessaire à la construction de la piste, l'organisateur doit connaître, sur le profil plan, l'aire de la surface située sous la piste. Pour cela, il découpe cette surface en deux parties.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note O et E les points de coordonnées respectives O(0~;~0) et E$(- 6~;~0)$, et $\mathcal{S}_{1}$ l'aire en m$^2$ du quadrilatère ABOE. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABOE ? 
		\item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{S}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{S}_{2}$ l'aire en m$^2$ de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.
 
Calculer la valeur exacte de $\mathcal{S}_{2}$, puis sa valeur arrondie au dm$^2$. En déduire l'aire totale du profil de la piste, en m$^2$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie civil septembre 2012
\hypertarget{Antillescivilsep}{}

\label{Antillescivilsep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}


{\Large \textbf{ Baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012\\[5pt]
Génie mécanique (options A et F),
Génie civil, Génie énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Dans tout le sujet, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne $P(z) = z^3 - 6z^2 + 18z - 27$ où $z$ est un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(3)$.
		 
Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z,\: P(z) = (z - 3)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 - 3z + 9 = 0$ puis en déduire les solutions de $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et F d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 3 ,\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et}\quad  z_{\text{F}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme trigonométrique des nombres complexes $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}}$  et $z_{\text{F}}$. 
		\item Justifier que les points A, B et F sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. 
		\item Placer les points A, B et F dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer les distances AB et AF ; quelle est la nature du quadrilatère OBAF ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$ par 

\[f(x) = 2 \sin \left( 2x - \dfrac{\pi}{6}\right).\] 

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(2.5,4)
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-6.28319,\n)(6.28319,\n)}
\multido{\r=-6.28319+1.570796}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,-4)(\r,4)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,trigLabels,xunit=3.14159265]{->}(0,0)(-2.5,-4)(2.5,4)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-6.282}{6.282}{x 2 mul RadtoDeg  30  sub  sin 2 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation 
		
$f(x) = 2$ dans l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 2$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
		
	\end{enumerate} 
\item On note $(E)$ l'équation différentielle $y^{\prime\prime} + 4y = 0$, où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(E)$. 
		\item Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ qui vérifie $g(0) = - 1$ et $g^{\prime}(0) = 2\sqrt{3}$ où $g^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
		\item Comparer $f(x)$ et $g(x)$ pour $x \in  [-2\pi~;~2\pi]$.
		 
\emph{On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$, on a : $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$.}

\medskip
 
\emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera en prise en compte dans la notation.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{30\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2}$  puis 
étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ pour $x$ dans $\R$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\text{e}^{- x}}$.  
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ et en déduire l'existence de deux asymptotes $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$. On précisera une équation de chacune de ces asymptotes.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$  est $y = \dfrac{5}{6}x + 1$. 
\item Dans le repère, tracer la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les droites $\mathcal{T},\:\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ sur une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Résolution d'une équation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle [1~;~5]. 
\item Graphiquement, donner un encadrement de $x_{0}$ à l'unité près, et placer $x_{0}$ sur le graphique. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale arrondie au centième de $x_{0}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C : Un calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
		\[G(x) = \ln \left(\text{e}^x + 5\right)\]
		
est une primitive de la  fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}$. 
		\item En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
		
$h(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5} - \left(\dfrac{5}{6}x + 1\right)$.  	 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique, le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, la tangente $\mathcal{T}$ ainsi que les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. 
		\item On admet que la fonction $h$ est positive sur l'intervalle [0~;~2]. 

Montrer que la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de ce domaine 
est $\mathcal{A} = 6\ln \left(\dfrac{\text{e}^2 + 5}{6} \right) - \dfrac{11}{3}$· 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie civil septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie civil septembre 2012
\hypertarget{Metrocivilsept}{}

\label{Metrocivilsept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 14 septembre 2012~\decofourright\\[5pt]  Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation suivante: 

\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
\item On considère les points A et B du plan d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}} = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$,  où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
		\item Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv. (La figure sera réalisée sur la copie.) 
		\item Démontrer que le triangle OAB est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation d'inconnue $z$  : 

\[2z - 4\text{i} = \text{i}z + 2. \]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le nombre complexe 2i est la seule solution de cette équation. 
		\item On note C le point d'affixe 2i. Placer le point C dans le plan muni du repère \Ouv. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Une absence de réponse ou une réponse erronée n'ôte pas de point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle 

\[y'' + 4y = 0,\]

où $y$ représente une fonction de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
 
Une solution de l'équation différentielle est la fonction définie sur $\R$ par: 
	\begin{enumerate}
		\item $t \longmapsto \text{e}^{- 2t}$ ; 
		\item $t \longmapsto \cos (4t)$ ; 
		\item $t \longmapsto \sin (4t)$ ; 
		\item $t \longmapsto \cos (2t)$.
	\end{enumerate} 
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite arithmétique dont le terme de rang 1 est $u_{1} = 2$ et dont le terme de rang $3$ est $u_{3} = 8$. 
	\begin{enumerate}
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 2 ; 
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 3 ; 
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est $- 2$ ; 
		\item la suite arithmétique n'a pas de raison.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. La fonction $f^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : 
	\begin{enumerate}
		\item  $f'(x) = \text{e}^x$ ; 
		\item  $f'(x) = (1 + x)\text{e}^x$ ; 
		\item  $f'(x) = (1 - x)\text{e}^x$ ; 
		\item  $f'(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3\text{e}^{1 - x}$. La courbe représentative de $f$ admet pour tangente au point d'abscisse 1 dans un repère \Oij{}: 
	\begin{enumerate}
		\item la droite d'équation $y = 1$ ; 
		\item la droite d'équation $x = 1$ ; 
		\item la droite d'équation $y = - 3x + 6$ ;
		\item la droite d'équation $y = \dfrac{- 6}{\text{e}^2}x + \dfrac{9}{\text{e}^2}$ 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Une cible est constituée d'un carré de 10 cm de côté. 
La surface de la cible est partagée en quatre zones délimitées par deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 

\medskip
\psset{unit=10cm}
\begin{center}
\begin{figure}
\begin{pspicture}(0.95,-0.05)(2.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](1,0)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1,Dx=20,Dy=20]{->}(1,0)(1,0)(2.1,1.1)
\psframe[linewidth=1.5pt](1,0)(2,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x ln }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2 x sub }
\rput(1.85,0.45){zone 1}\rput(1.5,0.25){zone 2}\rput(1.15,0.55){zone 3}\rput(1.55,0.85){zone 4}
\uput[u](1.2,0.19){\blue $\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](1.2,0.81){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](1.5,0){1,5} \uput[d](2,0){2} \uput[l](1,0.5){0,5} \uput[l](1,1){1}
\uput[u](2.08,0){$x$}\uput[l](1,1.08){$y$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Étude de fonction}

\medskip
  
On admet que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentent, dans un repère orthonormé d'unité 10~cm, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~ 2] par 

\[f(x) = \ln (x)\quad  \text{et} \quad  g(x) = 2 - x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Attribuer à chacune des fonctions $f$ et $g$ sa courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ ou $\mathcal{C}_{2}$, en justifiant votre choix. 
\item Résoudre graphiquement, sur l'intervalle [1~;~2] avec la précision permise par le dessin, l'équation $f(x) = g (x)$. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par $h(x) = g(x) - f (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $h'$ de la fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~2]  
	par $h'(x) = \dfrac{- x - 1}{x}$.  
		\item Déterminer le signe de $h^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [1~;~2]. En déduire le tableau des variations de la fonction $h$. 
		\item Démontrer que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~2]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. 
	\end{enumerate}
\item Donner le tableau de signe de la fonction $h$ sur l'intervalle [1~;~2], puis interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Calculs d'aires}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'objet de cette question est de déterminer l'aire de la zone 3 sur le dessin.  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par 
		
$H(x) = 3x - \dfrac{x^2}{2} - x \ln (x)$ est une primitive de la fonction $h$. 
		\item Montrer que : 

\[\int_{1}^{\alpha} h(x)\:\text{d}x = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} -  \alpha \ln (\alpha) - \dfrac{5}{2}.\] 

		\item En déduire une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{3}$ de la zone 3. On prendra $1,56$ pour valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminer une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{2}$ de la zone 2.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Probabilités}

\medskip
 
On admet dans cette question que les zones 1, 2, 3 et 4 ont pour aires respectives $\mathcal{A}_{1} = 16$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{2} = 23$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{3} = 27$ cm$^2$ et $\mathcal{A}_{4} = 34$ cm$^2$.
 
Un joueur inexpérimenté, après un grand nombre d'essais, estime que la probabilité que sa fléchette se plante dans la cible est $\dfrac{4}{5}$. Il estime aussi que la probabilité que sa flèche atteigne l'une des quatre zones est proportionnelle à l'aire de cette zone.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $P_{0}$ pour le tireur de ne pas atteindre la cible ? 
\item Les probabilités $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ et $P_{4}$ d'atteindre respectivement les zones 1, 2, 3 et 4 sont données dans le tableau ci-dessous. 

Vérifier qu'elles sont proportionnelles aux aires des zones $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}, \mathcal{A}_{3}$ et $\mathcal{A}_{4}$.

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$P_{1}$	&$P_{2}$	&$P_{3}$	&$P_{4}$\\ \hline 
$0,128$	&$0,184$ 	&$0,216$ 	&$0,272$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\item Chaque lancer de fléchette rapporte un certain nombre de points selon la zone qui est atteinte : 

atteindre la zone 1 rapporte 10 points, la zone 2 rapporte 5 points, la zone 3 rapporte 2 points et la zone 4 rapporte 1 point. 

Ne pas atteindre la cible ne rapporte aucun point.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lancer associe le nombre de points obtenus. 
	\begin{enumerate}
		\item Présenter la loi de $X$ sous la forme d'un tableau. 
		\item Déterminer la probabilité que $X$ soit au plus égal à $2$. 
		\item Déterminer l'espérance de $X$. 
		\item Estimer le nombre moyen de lancers que doit effectuer le lanceur pour espérer atteindre ou dépasser les $100$~points. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole  Génie civil septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil septembre 2012
\hypertarget{Polynesiecivilsep}{}

\label{Polynesiecivilsep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie 14 septembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une seule} des réponses proposées est correcte.
 
Aucune justification n'est demandée.
 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Une absence de réponse ou une mauvaise réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
 
Le candidat indiquera sur la copie, le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse proposée.

\medskip
 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3}- \text{i}, \quad  z_{\text{B}} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad 
z_{\text{C}}  = - \sqrt{3} + \text{i}, \quad  z_{\text{D}}  = - \sqrt{3} - \text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les solutions complexes de l'équation $z^2 - 2\sqrt{3} z + 4 = 0$ sont : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$&\textbf{b.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$&\textbf{c.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ &\textbf{d.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$ sont: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
\end{array}\right.$&
\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{\pi}{3}
\end{array}\right.$&
\textbf{c.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{5\pi}{6}
\end{array}\right.$&
\textbf{d.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
\end{array}\right.$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\left|z - \sqrt{3} - \text{i}\right| = \left|z - \sqrt{3} + \text{i}\right|$  est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} la droite (CD)&\textbf{b.} l'axe des abscisses&\textbf{c.} l'axe des ordonnées&\textbf{d.} la droite (AB)\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item Le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $- 1$&\textbf{b.} $1$& \textbf{c.} $1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{d.} $\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'affixe du point E, tel que le quadrilatère DEAC est un parallélogramme, est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $- 3\sqrt{3} + \text{i}$&\textbf{b.} $2\sqrt{3} - 2\text{i}$& \textbf{c.} $\sqrt{3} - 3\text{i}$&\textbf{d.} $\sqrt{3} + \text{i}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
On considère le circuit ci-dessous composé d'une bobine, d'un condensateur et d'un interrupteur. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.75)
\pnode(0,3){A}\pnode(3,3){B}\switch(A)(B){Interrupteur}
\pnode(0,0){C}\capacitor(A)(C){Condensateur}
\pnode(8,3){D} \coil(B)(D){Bobine}
\psline(0,0)(8,0)(8,3)
\end{pspicture}
\end{center}

Le condensateur est initialement chargé.
 
Au temps $t = 0$, on ferme l'interrupteur. On étudie alors la décharge du condensateur dans la bobine.
 
On admet qu'à un instant $t$, la charge $q$ du condensateur, qui est une fonction du temps $t$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ : 

\[q'' + 121 \times 10^6 q = 0\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer l'expression de la solution particulière $q$ de $(E)$ qui vérifie les conditions : 

\[q(0) = 2 \times 10^{-6}\quad  \text{et}\quad  q'(0) = 0.\]
 
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $q$ ainsi obtenue. 

\item Montrer que l'intensité $i(t)$, définie par $i(t) = q^{\prime}(t)$, où $q'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $q$, est donnée, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par: 

\[i(t) = - 2, 2 \times 10^{-2} \sin \left(11 \times 10^3 t\right).\] 

\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}\right]$.

On en donnera la valeur exacte.
 
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;b]$ est donnée par: 

\[\dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t.\]

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 3 - 3\ln x + x^3.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ peut s'écrire, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, sous la forme :
		 
\[g'(x) = \dfrac{3(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x}.\]
 
		\item Déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Donner la valeur de $g(1)$. 
\item Déduire des questions précédentes que la fonction $g$ est strictement positive sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x^2 + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2},\: \text{où}\: g \:\text{est la fonction définie dans la \textbf{partie A}}.\] 
 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~1], la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point. 

À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2} x^2 + 1$ dans le repère \Oij. La parabole $\mathcal{P}$ est représentée en \textbf{annexe}, à rendre avec la copie. 

Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 

On précisera les coordonnées du point d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
\item Tracer sur le graphique de \textbf{l'annexe}, à rendre avec la copie, la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité, d'une part, par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, d'autre part, par les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe}, à rendre avec la copie. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x )^2.\]
 
Calculer $h'(x)$, où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unité d'aire. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe (problème) \\[5pt]à rendre avec la copie}}
 
\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-8)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](-2,3){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x dup mul 2 div 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2012
\hypertarget{NlleCaledocivil}{}

\label{NlleCaledocivil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Ouv.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation 

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En prenant comme unité graphique 1~cm, représenter dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives :
		 
\[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i},\quad \text{et}\:\: z_{\text{C}} = 4.\]
 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Démontrer que le triangle AOB est rectangle isocèle. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBCA est un carré.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit E le milieu du segment [OA] et D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{A}}$. 

Démontrer que le point E est le milieu du segment [CD].
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les cinq questions sont indépendantes. \\
Pour chaque question, quatre réponses ou affirmations sont proposées, dont une seule est juste. Le candidat mentionnera le numéro de la question, et la lettre correspondant à la réponse juste. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point, l'absence de réponse ou une mauvaise réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle $y^{\prime \prime} + 4y = 0$, où $y$ désigne une fonction de variable réelle $x$ deux fois dérivable.
 
Une solution de cette équation est la fonction $f$ vérifiant, pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
\textbf{A} : $f(x) = 4\text{e}^{-4x}$ &\textbf{B} : $f(x) = 4\text{e}^{2x}$\\ 
\textbf{C} : $f(x) = 10\cos (2x) - 10\sin (2x)$ &\textbf{D} : $f(x) = 10 \cos (4x) - 10 \sin (4x)$ 
\end{tabularx}
\medskip

\medskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x + 1}$. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Une expression de $f^{\prime}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
\textbf{A} : $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3}$&\textbf{B} : $f^{\prime}(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x + 1}$\\
\textbf{C} : $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3x + 1}$ &\textbf{D} : $f^{\prime}(x) = (2x + 3) \text{e}^{3x+1}$ 
\end{tabularx}
\medskip 


\medskip
 
\textbf{Question 3}

\medskip
 
Un jeu est basé sur une expérience aléatoire et il permet de gagner ou de perdre de l'argent. La variable aléatoire $X$ qui représente ce gain (positif ou négatif) admet la loi de probabilité suivante.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeurs de $X$& $- 5$ &$- 2$ &0 &1 &6\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité &$\dfrac{3}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{15}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{3}{25}$\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
  
On considère que le jeu est favorable au joueur si l'espérance mathématique de la variable $X$ est strictement positive, équitable si elle est nulle, et défavorable au joueur si elle est strictement négative.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A} : le jeu est défavorable au joueur& \textbf{B} : le jeu est équitable\\ 
\textbf{C} : le jeu est favorable au joueur& \textbf{D} : on ne peut pas savoir 
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 4}

\medskip 

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par $g(x) = x^2 + 1$. On fait tourner cette courbe autour de l'axe des abscisses. Cela engendre un solide de révolution dont le volume $V$, exprimé en unité de volume, est :
 
\[V = \pi  \int_{0}^1 [g(x)]^2\:\text{d}x.\]
 
La valeur exacte de $V$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A} : $\dfrac{4\pi}{3}$&\textbf{B} : $\dfrac{6\pi}{5}$&
\textbf{C} : $4\pi$ &\textbf{D} : $\dfrac{28 \pi}{15}$
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Question 5}

\medskip 

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle ]5~;~+00[ dont la représentation graphique dans un repère du plan est notée $C$.
 
On suppose que $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = + \infty$. Ce résultat s'interprète ainsi : 

\medskip

\textbf{Réponse A} : la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $x = 5$. 

\textbf{Réponse B} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $y = 5$. 

\textbf{Réponse C} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote oblique d'équation $y = 5x$. 

\textbf{Réponse D} : la courbe $C$ admet au point d'abscisse $5$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Exploitation d'informations graphiques}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = ax + b + \text{e}^{- x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels que l'on va déterminer dans cette partie.
 
On donne les renseignements graphiques suivants sur la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère d'axes (O$x$) et (O$y$) :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le point A de coordonnées (0~;~4) appartient à cette courbe représentative;
\item la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À partir des renseignements précédents, donner la valeur de $g(0)$ ainsi que celle du nombre dérivé $g'(0)$. 
\item Déterminer la valeur du nombre $b$ en utilisant la question 1. 
\item Pour tout réel $x$, calculer $g'(x)$ en fonction de $a$. En déduire la valeur du nombre $a$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : 

\[f(x) = x + 3 + \text{e}^{- x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
		
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, démontrer l'égalité : $f(x) = \text{e}^{- x}\left(1 + x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x}\right)$. 
		\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, démontrer que $f^{\prime}(x) = 1 - \text{e}^{- x}$, puis étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote $\mathcal{D}$ dans le même repère. On prendra pour unité 1~cm sur chacun des axes. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Existe-il une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Hachurer le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. On note $\mathcal{A}$ l'aire de ce repère, exprimée en unité d'aire. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis donner sa valeur arrondie au mm$^2$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie électronique juin 2012
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ Baccalauréat STI Antilles-Guyane 20 juin 2012\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\smallskip

Le plan est muni du repère orthonormal \Ouv.

\smallskip

On désigne par $\text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\smallskip

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=3 -\text{i}\sqrt{3}$ et $z_B=\text{e}^{\i\frac{\pi}{4}}z_A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Recopier et compléter la phrase suivante:
\begin{center}
\og Le point $B$ est l'image du point $A$ par \ldots\ldots de centre \ldots\ldots et \ldots\ldots $\dfrac{\pi}{4}$.
\end{center}
		\item Que peut-on en déduire pour la nature du triangle $OAB$~? Justifier.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
Donner la forme algébrique de $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item Vérifier que \[
z_B = \dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{2}+ \text{i}\dfrac{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2}.
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Déterminer la forme trigonométrique de $z_A$.
		\item Vérifier que $z_B = 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions 2. et 3. donner la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 

\smallskip

Un joueur participe à un jeu de hasard où il lance plusieurs fois une pièce de monnaie. Pour gagner, le joueur doit obtenir pile à tous ses lancers. Le nombre de lancers est fixé au début de chaque partie.

La pièce de monnaie utilisée est parfaitement équilibrée, de sorte qu'à chaque fois qu'elle est lancée, la probabilité d'obtenir pile est égale à la probabilité d'obtenir face.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, la pièce est lancée deux fois.

Les issues de cette expérience sont représentées par l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{p{2cm}p{2cm}c p{2cm} c}
 & premier & & second\\
 & lancer   &  & lancer \\[2ex]
 & &  & \rnode{b}{pile}\\
 & \rnode{a}{pile} & & \\
 & & & \rnode{c}{face}\\
 \rnode{o}{} & & & \\
 & &  & \rnode{B}{pile}\\
 & \rnode{A}{face} & & \\
 & & & \rnode{C}{face}\\
 \end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{a}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{A}{B}
\ncline[nodesep=3pt]{A}{C}
\ncline[nodesep=3pt]{o}{a}
\ncline[nodesep=3pt]{o}{A}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
\item On considère l'évènement $A$ : \og les résultats des deux lancers sont identiques\fg.

Quelle est la probabilité de l'évènement $A$~?
\item On considère l'évènement $B$ : \og le résultat face a été obtenu au moins une fois\fg.

Décrire par une phrase l'évènement $\overline{B}$, évènement contraire de l'évènement $B$.

En déduire la probabilité de l'évènement $B$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, la pièce est lancée trois fois.

Le joueur gagne 100 euros s'il obtient trois fois pile. Si le joueur n'obtient pas trois fois pile, il perd 1 euro. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $-1$ si le joueur perd.
\begin{enumerate}
\item
Représenter à l'aide d'un arbre les issues de cette expérience aléatoire.
\item Donner la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Le jeu est-il favorable au joueur ?
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Dans cette question, la pièce est lancée $n$ fois, $n$ étant un nombre entier naturel non nul.

Le joueur gagne 100 euros s'il obtient $n$ fois pile; sinon le joueur perd 1 euro. Soit $Y_n$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $-1$ si le joueur perd.

L'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_n$ est notée $E(Y_n)$.

On admet que la probabilité que $Y_n$ prenne la valeur 100 vaut $\dfrac{1}{2^n}$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer $E(Y_n)$, en fonction de $n$.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $E(Y_n)<0$.
\item Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}
 
\smallskip

\textbf{Partie A : signe d'une fonction}

\parbox{0.48\linewidth}{
La parabole $\mathcal{P}$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction polynôme $t$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[t(x) = ax^2 + bx + c\]

où $a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(6,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput{-180}(0.5,4){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{1.75}{x^2/2/0.13}}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

Le point $S\left(\dfrac12~;~4\right)$ est le sommet de la parabole $\mathcal{P}$.

Le point $A(0~;~3)$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Justifier que $c = 3$.
\item Justifier que $t\left(\dfrac12\right)=4$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
\item Soit $t'$ la fonction dérivée de la fonction $t$ sur $\R$.

Justifier que $t'\left(\dfrac12\right)=0$ et en déduire une seconde relation entre $a$ et $b$.
\item Montrer que les questions 2. et 3. conduisent au système $(S)$: $\left\{\begin{array}{rcl} a+b&=&0\\a+2b&=&4\end{array}\right.$

Résoudre le système $(S)$. En déduire une écriture de la fonction $t$.
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par:

\[g(x) = (2x + 1)(3 - 2x)\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $g(x) = t(x)\e^{-x}$.
\item Déterminer le signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (4x^2 + 4x + 1)\text{e}^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra utiliser que pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = \dfrac{4x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{4x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\e^x}$).

En déduire l'existence d'une asymptote  à la courbe $\mathcal{C}_f$ ; on précisera de quelle droite il s'agit.
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $f'(x) = g(x)$, où $g$ désigne la fonction définie à la question 5 de la partie A.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.

En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}_f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $H$, définie sur $\R$ par $H(x) = (- 4x^2 - 12x - 12)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (4x^2 + 2x)\text{e}^{-x}$.

En remarquant que pour tout réel $x$, on a $f(x) = h(x) + \text{e}^{-x}$, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\item On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item
Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\item Calculer la valeur exacte en cm\up{2} de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie électronique juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2012
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2012~\decofourright\\[5pt] Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
 
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'écriture exponentielle de $- 2 + 2\text{i}$ est: 
	\begin{enumerate}
		\item $-2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$
		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item La transformation qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe 
$z'  = z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item La rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$
		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\dfrac{\sqrt{2}}{2}  - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
		\item La rotation de centre O et d'angle  $- \dfrac{\pi}{4}$ 
		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe  $- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
	\end{enumerate}		 
\item Soient A, B, C et D les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1 + \text{i},  z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i}, z_{\text{C}} = 4$ et $z_{\text{D}} = 2 + 3\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont le même module 
		\item O appartient au cercle de diamètre [BD] 
		\item A appartient à la médiatrice du segment (BC] 
		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ ont des modules opposés
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$ où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Une fonction $f$ solution de cette équation est définie par : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 3$ 
		\item $f(x) = \sin (3x)$ 
		\item $f(x) = \text{e}^{3x}$ 
		\item $f(x) = x^2 - 4$ 
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 0$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels. La représentation graphique d'une solution de cette équation différentielle dans un repère orthonormal est : 
	\begin{enumerate}
		\item~ 
		
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.99,-2.99)(2.99,2.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-0.5}{1.5}{4 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}
		\item~ 
		
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-0.99)(2.99,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-0.7}{2.5}{2.71828 x neg exp}
\end{pspicture*}
		\item ~
		
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(6.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.5)(6.5,1.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-1.5}{6.5}{180 x mul 3.141 div cos}
\end{pspicture*}
		\item ~ 
		
\begin{pspicture*}(-3,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-2.5}{4.5}{x 1 sub dup mul 0.5 neg  mul 3.5 add}
\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Émile possède quatre pièces de monnaie, une pièce de 2 \euro, une pièce de 1 \euro{} et deux pièces de 0,50\euro{} et de quatre gobelets d'apparence identique. Sous chacun de ces gobelets, il place exactement une pièce de monnaie.
 
Il demande à son camarade Robert de soulever au hasard un gobelet puis un deuxième.
 
Il note alors la valeur de la pièce placée sous le premier gobelet soulevé puis la valeur de la pièce placée sous le second gobelet soulevé.
 
Chaque issue de cette expérience aléatoire est donc un couple de nombres. Par exemple, (1~;~0,5) est le couple obtenu en découvrant d'abord la pièce de 1 \euro{} et ensuite une pièce de 0,50 \euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, déterminer tous les tirages possibles. 
\item On admet que toutes les issues sont équiprobables. 

On note A l'évènement : \og Les deux pièces découvertes par Robert ont des valeurs différentes \fg. 

Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale $\dfrac{5}{6}$.  
\item On définit la variable aléatoire $S$ qui, à chaque issue, associe la somme des valeurs indiquées sur les deux pièces découvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $S$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de $S$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $S$. Interpréter ce nombre.
	\end{enumerate} 
\item Robert découvre deux pièces au hasard comme indiqué auparavant. On note B l'évènement : \og Robert a assez d'argent en main pour acheter un magazine à 1,30 \euro{} \fg. Déterminer la probabilité de l'évènement B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A : Étude graphique d'une inéquation}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe représentant la fonction logarithme népérien et la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$ dans un repère orthogonal \Oij. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(12,9)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-4,-3)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{x dup mul 2 div 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.07}{12}{x ln}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique, expliquer pourquoi on peut conjecturer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, 

\[\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x > 0.\] 

\textbf{Ce résultat est admis dans la suite du problème.}

\medskip

\textbf{Partie B : Calculatrice et conjectures}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan, $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$  les droites d'équations respectives $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ et 

$y = \dfrac{3}{2}x - 2$. 

La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta_{1}$ ont été représentées à l'aide d'un grapheur. Le graphique obtenu est donné en annexe. Cette annexe est à compléter et à rendre avec la copie.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe, tracer la droite $\Delta_{2}$. 
\item À l'aide du graphique, conjecturer les réponses aux questions posées ci-dessous : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ ? 
		\item Quelles sont les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $0$ ? 
		\item Que représente la droite $\Delta_{1}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Vérification des conjectures}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de démontrer les conjectures émises dans la partie précédente. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ puis en $0$. 
\item On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif. 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f^{\prime}(x) =  \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x \right)$. 
		\item À l'aide de la partie A, étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\right]$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la droite $\Delta_{1}$ ? 
		\item Étudier la position relative de la droite $\Delta_{1}$ et de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Démontrer la conjecture émise quant à ce que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe  $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $G$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par 

\[G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\] 

Montrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique fourni en annexe. 
\end{enumerate} 

\begin{landscape}
\begin{center}
 
 \psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(21,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-5)(19,8.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-5)(19,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[u](5.5,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](7.5,2.8){$\Delta_{1}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.5}{18.5}{0.5 x mul 1 sub}
\rput{-90}(20.5,1.75){\textbf{ANNEXE}}
\rput{-90}(19.5,1.75){\textbf{À rendre avec la copie}}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\psline(4,1)(2,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{18.5}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Génie électronique juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2012
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
Baptiste, François, Kévin et Thomas ont décidé de partir ensemble cet été à Londres. Ils ont convenu que chacun d'entre eux réserverait de son côté par internet son billet de train aller-retour Paris-Londres aux dates et heures qu'ils ont choisies en commun.
 
La politique tarifaire appliquée pour la vente des billets est la suivante : la première moitié des billets est vendue au tarif réduit de 90~euros (tarif noté R) puis la seconde moitié des billets est vendue au tarif normal de 120~euros (tarif noté N).
 
Les quatre amis, ignorant cette politique, réservent leurs billets à des moments différents sans savoir de quel tarif ils bénéficieront. On s'intéresse aux tarifs payés par Baptiste, François, Kévin et Thomas.
 
Ainsi, on notera NNRR l'évènement élémentaire: \og Baptiste paie 120 euros, François paie 120 euros, Kévin paie 90 euros et Thomas paie 90~euros \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les seize évènements élémentaires (on pourra s'aider d'un arbre). 
\item On suppose que les seize évènements élémentaires sont équiprobables. 

On considère les trois évènements suivants : 

$A$ : \og Les quatre amis paient le tarif réduit \fg{} ;
 
$B$ : \og Aucun des quatre amis ne paie le tarif réduit \fg{} ;
 
$C$ : \og Au moins un des quatre amis paie le tarif réduit \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Citer deux évènements contraires parmi les évènements $A, B$ et $C$. 
		\item Calculer les probabilités de chacun des évènements.
	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque évènement élémentaire, associe la somme totale en euros payée par les quatre amis. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1 centimètre. On considère les points A et B d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad ; \quad  z_{\text{B}} = - 2\sqrt{3} - 2\text{i}\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis placer les points A et B.

\item On désigne par C l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C, puis placer ce point sur la figure. 
		\item Montrer que le quadrilatère OCAB est un losange.
		 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte.}
	\end{enumerate} 
\item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : 

\[\left|z + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = 4.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point C appartient à l'ensemble $\Gamma$. 
		\item Justifier que $\Gamma$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Tracer l'ensemble $\Gamma$ sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item On note D l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{w} = - 7\vect{u}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D sur la figure. 
		\item Le point D est-il sur le cercle $\Gamma$ ? Justifier. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip


Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~centimètre.
 
Le but de ce problème est :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item d'émettre des conjectures sur la fonction $f$ dans la partie A ; 
\item d'établir des résultats concernant ces conjectures dans la partie B ; 
\item de vérifier la validité de ces conjectures dans la partie C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
 
On a obtenu à l'aide d'un logiciel la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~20[ (la courbe est fournie en annexe).
 
On précise que la droite $T$ est la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point A d'abscisse $1$.
 
Par simple lecture graphique, déterminer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la limite de la fonction $f$ en zéro; 
\item une valeur de la (ou des) solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ ; 
\item le signe de $f(x)$ en fonction de $x$ ; 
\item le sens de variation de la fonction $f$ ; 
\item l'équation réduite de la tangente $T$ ; 
\item une valeur approchée de l'aire du domaine grisé en centimètres carrés.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On admet dans cette partie que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

\[f(x) = (\ln x)^2 - 5 \ln x + 4\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en zéro. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$. 
		\item En déduire, en posant $X = \ln x$, les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, calculer $f^{\prime}(x)$ et justifier que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $2 \ln x - 5$. 
		\item Résoudre l'inéquation $2 ln x - 5 ~ 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$. 
\item On donne les fonctions $g, h, G$ et $H$ suivantes, définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

$g(x) = \ln x, h(x) = (\ln x)^2, G(x) = x\ln x - x$ et $H(x) = x\left[(\ln x)^2 - 2\ln x + 2\right]$.
 
On admet que $G$ est une primitive de la fonction $g$ et que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Conclusion}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les conjectures formulées dans la partie A, indiquer en détaillant les réponses : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item celles qui ont été vérifiées; 
\item celles qui sont fausses; 
\item celles pour lesquelles on ne peut pas conclure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On s'appuiera sur les résultats obtenus dans la partie B. 
\item On souhaite tracer sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ de manière à visualiser les résultats établis dans la partie B. Proposer un paramétrage de fenêtre de la calculatrice qui permet d'obtenir un tel tracé. 
\end{enumerate}

\vspace*{-5cm}
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(21,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.5)(21,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.2}{2.5}{9 5 x mul sub}
\rput{-90}(21.5,4){\large \textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie} }
\uput[u](2.71828,0){e}\uput[r](2.4,-2.5){$T$} \uput[d](14.5,-2.25){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ur](7.38906,0){$\text{e}^2$}\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](1,4){A}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,9)(1,4)(2.71828,0)(7.38906,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(2.71828,0)(7.38906,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7.38906}{2.71828}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.37}{20}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.5)(21,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie Génie électronique juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane Génie électronique septembre 2012 
\hypertarget{Antilleselectrosept}{}

\label{Antilleselectrosept}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule réponse proposée est correcte. Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On désigne par i le nombre  
complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le module et un argument de $z_{\text{B}}$ sont respectivement 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}
$- 1$ et $0$& 	$- 1$ et $\pi$& $1$ et $0$& $1$ et $\pi$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  	Une forme exponentielle de $z_{\text{A}}$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item L'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est le point A$'$ d'affixe :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{$\bullet~~$}X}} 
$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\ 
$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La suite définie par $u_{n} = \left|z_{\text{A}}\right|^n$ pour tout entier naturel $n$ :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
est arithmétique&est géométrique&n'est ni arithmétique, ni géométrique\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
À la fin d'une émission de télévision, un jeu est organisé de la manière suivante.
 
Une question est posée et plusieurs réponses possibles sont données. Le joueur tape le numéro de la réponse qui lui semble correcte et l'envoie par l'intermédiaire d'un message électronique. La communication lui coûte alors 1? (on suppose que l'organisateur du jeu reçoit l'intégralité de cet euro).
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si la réponse est fausse, le joueur a perdu.
\item[$\bullet~~$]Si la réponse est correcte, un tirage au sort peut lui permettre de gagner un chèque d'une valeur de 50~\euro, ou une console de jeu d'une valeur de 300~\euro, ou un voyage d'une valeur de \np{1000}~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Au total, $16$ lots sont à gagner : $10$ chèques, $5$ consoles et $1$ voyage.
 
Une étude statistique indique que 1\,\% des joueurs n'ont pas la bonne réponse. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On suppose que \np{1000}~personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. 

On désigne par :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $R$ l'évènement \og la personne choisie a donné une bonne réponse à la question \fg{} ;
\item[ ] $G$ l'évènement \og la personne choisie a gagné un lot \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $R$. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{125}$. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard. 
Par exemple, la valeur de $X$ pour un joueur qui perd est $- 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og $X$ prend la valeur 299 \fg{} est égale à $\dfrac{1}{200}$. 
		\item Donner toutes les valeurs prises par $X$. 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Montrer que l'espérance de $X$ est $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que $n$ personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
 
Soit $X_{n}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $X_{n}$. 
\item Montrer que l'espérance de $X_{n}$ est égale à $\frac{\np{3000} - n}{n}$. 
\item Jusqu'à quelle valeur de $n$, le jeu est-il favorable à un joueur ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle du second ordre : 

\[(E) :\quad  y^{\prime\prime} + 3y^{\prime} + 2y = 0\]
 
où la fonction inconnue $y$ de la variable $x$ est définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels ; $y^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime}$ la fonction dérivée de $y^{\prime}$.

\medskip
 
Le but de ce problème est de déterminer et d'étudier une solution de l'équation différentielle $(E)$. 

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette solution est donnée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{0.4}{4 x mul 2.77259 add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{-1}{0}{4 x mul 2.77259 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{-0.9}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.5,1)(4.5,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[ul](-0.69,0){B}
\uput[u](1.5,0.4){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](0.35,4){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.9}{4.5}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{- x} + b\text{e}^{- 2x}$, $a$ et $b$ étant deux constantes réelles.
 
La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessus est la courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$. Cette courbe passe par le point A(0~;~1) et la tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
 
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$. 
		\item En utilisant $f(x)$, exprimer $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$ en fonction de $a$ et $b$. 
		\item En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $f$ obtenue est effectivement une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$, étudiée dans la partie A, définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{- x} -  \text{e}^{- 2x}.\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 

Donner une interprétation graphique de cette limite. 
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$, puis déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{- 2x}\left(1 - \text{e}^{x}\right)$ pour tout réel $x$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^{x} > 0$. 

En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$, dans lequel on reportera les limites.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de déterminer l'aire du domaine hachuré sur le graphique donné au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par B l'unique point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe (O$x$).
 
Montrer que l'abscisse du point B est $x_{\text{B}} = - \ln (2)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f^{\prime}(- \ln (2)) = 4$. 
		\item En déduire qu'une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est :
		 
\[y = 4x + 4\ln (2).\]

	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ par : 

\[g(x) = (4x + 4\ln(2)) - f(x).\]
 
On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. On admet que le signe de la fonction $g^{\prime}$ est donné Dar le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)\psline(0,2)(10,2)
\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](6,2){$- \ln (2)$} \uput[u](9.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){signe de}\rput(1,0.5){$g^{\prime}(x)$}\rput(4,1){$-$}\rput(6,1){$0$}\rput(8,1){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de la fonction $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées). 
		\item Montrer que $g(- \ln (2)) = 0$. 
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a $g(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire la position de la droite $\mathcal{D}$ par rapport à celle de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
		\[G (x) = 2x^2 + ( 4\ln (2))x + 2\text{e}^{- x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}\]

est  une primitive de $g$ sur $\R$. 
		\item On admet que l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations respectives $x = -  \ln (2)$ et $x = 0$, est égale à $\displaystyle\int_{- \ln (2)}^{0} g(x)\:\text{d}x$. 

Déterminer la valeur exacte de cette aire, en unité d'aire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles--Guyane Génie électronique septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique septembre 2012
\hypertarget{Metroelectrosept}{}

\label{Metroelectrosept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 13 septembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou une absence de réponse vaut $0$ point. 

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 

Recopier sur la copie cette réponse exacte.

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On note i le nombre complexe de
module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ avec: 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe $z_{\text{A}}$ est solution de l'équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.}~~ $\text{i}z - \sqrt{2}  - \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{b.}~~ $ \text{i}z -\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{c.}~~$\text{i}z + \sqrt{2}  + \text{i}\sqrt{2} = 0$
\end{tabularx}
\medskip 

\item Le nombre complexe $z_{\text{B}}$ est solution de l'équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.}~~ $z^2 - 2z + 4 = 0$&\textbf{b.}~~ $z^2 + 2z + 4 = 0$&\textbf{c.}~~ $ 
 z^2 - 2z - 4 = 0$
 \end{tabularx}
 \medskip
  
\item L'écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{B}}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.}~~ $2\text{e}^{- \frac{\pi}{6}\text{i}}$&\textbf{b.}~~ $2\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$&\textbf{b.}~~$\sqrt{2}\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$
 \end{tabularx}
 \medskip
 
\item Le triangle OAB est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
\textbf{a.}~~  équilatéral& \textbf{b.}~~ rectangle et isocèle& \textbf{c.}~~  isocèle
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit C le point d'affixe $- 2\text{i}$.
 
Le point C est l'image du point B par la rotation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point d'affixe $z'$ tel que: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
\textbf{a.}~~$z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z' = z + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z'' = z \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
On interroge \np{2000}~ personnes qui possèdent un téléphone portable. On leur demande quel est leur opérateur de téléphonie et quelle est la durée mensuelle de communication de leur forfait. On consigne les résultats dans un fichier. L'analyse de ce fichier permet d'obtenir les résultats suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$1/2$ heure &1 heure &2 heures\\ \hline 
Opérateur A &100 &500 &300\\ \hline  
Opérateur B &40 &100 &160\\ \hline  
Opérateur C &300 &300 &200\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

On choisit au hasard le nom d'une personne dans le fichier. On suppose que chaque nom a la même chance d'être choisi.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants : 

$E$ : \og le nom choisi est celui d'une personne cliente de l'opérateur C \fg.
 
$F$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure chez l'opérateur C \fg.
 
$G$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure ou qui a opté pour l'opérateur C \fg.
 
$H$ : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une durée d'au moins une heure \fg.
\item Soit $X$ Ia variable aléatoire qui à chaque client associe la durée, exprimée en heure, de son forfait. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Quelle est l'espérance mathématique de cette variable aléatoire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip 

Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 \ln x - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x\]

On désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 2x \ln x - 2x + 2 .\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
Etablir que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g^{\prime}(x) = 2\ln x$. 
\item En déduire que la fonction $g$ possède un minimum. Préciser la valeur de ce minimum. 
\item Démontrer alors que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g(x) \geqslant 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \ln x = 0$. 
		
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 
		
\[f(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{x}\right).\]
 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) = g(x)$.
		\item En utilisant les résultats de la partie A, préciser les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, puis dresser son tableau de variations sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : position relative de deux courbes et calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y = x^2 \ln x$.
 
Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont tracées sur le document annexe à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(x) - x^2 \ln x = \dfrac{x}{2}(- 3x + 4)$. 
		\item Étudier le signe de $f(x) - x^2 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $a$ un réel appartenant à $\left]\dfrac{4}{3}~;~+ \infty \right[$.
 
La droite d'équation $x = a$ coupe la courbe $\Gamma$ en $M$ et la courbe $\mathcal{C}$ en $N$. 
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question uniquement, on choisit $a = 3$.
		 
Sur le graphique en annexe, placer les points $M$ et $N$, puis calculer la distance $MN$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Pour quelles valeurs du réel $a$ la distance $MN$ est-elle supérieure ou égale à $10$ ?
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre les courbes $\Gamma$, $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac{4}{3}$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer ce domaine sur le graphique annexe. 
		\item Calculer $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} 
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-1)(4.5,17)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(4.5,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3.54}{x dup mul x ln mul}
\uput[ul](2,3){\red $\mathcal{C}$}\uput[dr](3,2.5){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Génie électronique septembre 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2012
\hypertarget{NlleCaledoelectro}{}

\label{NlleCaledoelectro}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie 15 novembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On a placé dans une boîte quatre résistors : deux verts notés V et V$'$, un marron noté 
M et un rouge noté R.
 
On choisit successivement et sans remise deux résistors l'un après l'autre. Un résultat d'un tel tirage peut être par exemple rouge, puis marron : il sera noté (R~;~M). Tous les tirages sont équiprobables.
 
On donnera les résultats des probabilités demandées sous forme de fractions irréductibles.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les 12 tirages possibles (on pourra s'aider d'un arbre). 
\item On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le premier résistor choisi est vert \fg 
\item[ ] $B$ : \og l'un au moins des résistors choisis est vert \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Énoncer par une phrase l'évènement $\overline{B}$, évènement contraire de l'évènement $B$. 
		\item Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
	\end{enumerate} 
\item Chaque résistor vert a une résistance nominale de 0,5~ohm, le résistor marron a une résistance de 1~ohm et le rouge de 2~ohms. On décide de monter en série les deux résistors obtenus lors d'un tirage.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux résistors, associe la résistance équivalente en ohms du montage en série obtenu (on rappelle qu'elle est égale à la somme des résistances des deux résistors). 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Que désigne l'évènement $(X = 1)$ ? Calculer sa probabilité. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sous forme de tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C les équations :  
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{- 2}{z - 2} = 2$
		\item $z^2 - 2z + 2 = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2 centimètres.
 
Soient A, B et C trois points du plan complexe d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\quad ;\quad 
z_{\text{C}} = 1.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure en plaçant les points A, B et C.
		 
On complètera la figure au fur et à mesure des questions de l'exercice. 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Déterminer la nature du triangle OAB. 
		\item Tracer alors le cercle circonscrit au triangle OAB, qu'on notera $\Omega$.
	\end{enumerate} 
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{D}}$ sous forme algébrique et placer le point D. 
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item Soit D$'$ le milieu du segment [OD]. Montrer que D$'$ appartient au cercle $\Omega$. 

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On donne, à l'instant $t = 0$, un médicament à un animal.
 
On note $f(t)$ la concentration, en milligrammes par litre, de ce médicament présent dans le sang à l'instant $t \geqslant 0$ exprimé en heures. La courbe $\Gamma$ fournie en annexe représente l'évolution de cette concentration $f(t)$ en fonction de $t$.
 
Dans cette partie A, il est demandé de répondre aux questions par simple lecture graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de la concentration à l'instant $t = 0$ ? 
\item Combien de temps après la prise du médicament la concentration est-elle maximale ? 

Quelle est alors la concentration maximale de ce médicament ? 
\item Au bout de combien de temps après la prise du médicament la concentration redescend-elle au quart de sa valeur maximale ? 
\item Que peut-on conjecturer sur la concentration quand $t$ tend vers l'infini ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 8\left(\text{e}^{- t} - \text{e}^{- 2t}\right).\]

On admet que la courbe $\Gamma$ fournie en annexe représente la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$. 
\item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe de la fonction $f$ ? 
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t \geqslant 0,\: f^{\prime}(t) = 8\text{e}^{- t}\left(2\text{e}^{- t} - 1\right)$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $2\text{e}^{- t} - 1 < 0$. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Ce résultat est-il cohérent avec les réponses données à la question 2 de la partie A ? Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle équation $(E)$ convient-il de poser pour vérifier la réponse à la question 3 de la partie A ? 
		\item En posant $X = \text{e}^{- t}$, montrer que résoudre cette équation (E) revient à résoudre  l'équation 
		
		\[(E') :\qquad  X^2 - X + 16 = 0.\]
		 
		\item Résoudre cette équation $(E')$ dans l'ensemble des nombres réels $\R$. En déduire les solutions de l'équation $(E)$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Ce résultat est-il cohérent avec la réponse donnée à la question 3 de la partie A ? Pourquoi? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[F(t) = 2(2t + 1)\text{e}^{- 2t} - 8(1 + t)\text{e}^{- t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $F(0)$. 
		\item Montrer que, pour tout $t$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[,\: F'(t) = tf(t)$.
	\end{enumerate} 
\item On note $Q(t)$ la quantité d'anticorps présente dans l'organisme de l'animal à l'instant $t$.
 
On suppose qu'à l'instant $t = 0$, cette quantité est nulle. Dans les conditions de l'expérience, on admettra que la dérivée de cette quantité $Q$ est reliée à la concentration de la substance par la relation : $Q'(t) = tf(t)$ (lorsque $t \geqslant 0$). 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout $t$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[,\: Q(t) = F(t) + k$ où $k$ désigne une constante réelle. 
		\item Déterminer la valeur de $k$. 
		\item En déduire l'expression de $Q(t)$ en fonction de $t$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe (problème) : à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(6.5,2.2)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{23}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(6.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true,Dx=10,Dy=5](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{2.71828 x neg exp 2.71828 x 2 mul neg exp sub 8 mul}
\uput[r](0.1,0.4){\color{blue}$\Gamma$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2012
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique,\\ génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2012~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Les différentes situations proposées sont indépendantes.\\ 
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rap- 
porte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $z_{\text{B}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les points A et B, images de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, sont représentés sur l'une des figures ci-dessous. Laquelle ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;-30)(1;-120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{b.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;150)(1;-120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{c.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;-30)(1;120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
\end{pspicture}&\textbf{d.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1;150)(1;120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
 
\item Un argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{4}$&\textbf{b.~~} $- \text{i}\dfrac{\pi}{2}$&\textbf{c.~~}$- \dfrac{\pi}{2}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{\pi}{6}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item La longueur AB est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\sqrt{3}$&\textbf{b.~~}$\sqrt{2}$&\textbf{c.~~}$0$&\textbf{d.~~}$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item Soit $z_{\text{C}}$ le nombre complexe défini par $z_{\text{C}} = z_{\text{B}}^2$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{4\pi}{9}}$&\textbf{b.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{ \text{i}\frac{24\pi}{3}}$\\
\textbf{c.~~} $\left|z_{\text{C}}  \right| = 2$&\textbf{d.~~} Les points B et C sont symétriques par rapport à O.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2 + z + 1 = 0$ :
 
\textbf{a.~~} n'admet pas de solution ;
 
\textbf{b.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{A}}$ et $\overline{z_{\text{A}}}$ ;
 
\textbf{c.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{B}}$ et $\overline{z_{\text{B}}}$ ;
 
\textbf{d.~~} admet deux solutions réelles :  $\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ et  $\dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $y$ une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

On note $y''$ sa dérivée seconde.
 
Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'' + y = 0$.
 \item Déterminer la solution particulière $f$ de (E), de dérivée notée $f'$, vérifiant les conditions : 

\[f(0) = 1\quad \text{et} \quad  f^{\prime}(0) = 1\]
 
\item  On admet que $f(x)$ peut s'écrire: 

\[f(x) = \sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right)\]

et qu'une représentation graphique de cette fonction est donnée ci-dessous. 

\psset{unit=1.2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(7,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-1.5)(7,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7}{x 0.7854 sub  180 mul 3.141 div cos 1.41421 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de solutions possède l'équation $f(x) = 1,5$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
		\item Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 1$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
		\item Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 0$ sur $[0~;~2\pi]$ ?
	\end{enumerate} 
\item Résoudre, dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation $f(x) = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Calcul de volume}

\medskip
 
Une entreprise souhaite construire un conteneur métallique (voir la figure 1) pour le commercialiser . 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(9,8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,0)(6.6,7.4)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.65,3.7)(0.4,1.9)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\pscurve(-0.65,5.6)(-0.2,5.8)(0,6.1)(0.4,6.8)(1,7.35)(1.1,7.4)\psline(1.1,7.4)(1.1,0)
\pscurve(1.1,0)(1,0.05)(0.4,0.6)(0,1.3)(-0.2,1.6)(-0.65,1.8)}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.6,3.7)(0.8,3.7)
\scalebox{0.216}[1]{\psarc(-2.8,3.7){1.85}{90}{-90}}%
\scalebox{0.216}[1]{\psarc[linestyle=dashed](-2.8,3.7){1.85}{-90}{90}}
\scalebox{0.2027}[1]{\psarc(4.8,3.7){3.65}{90}{-90}}%
\scalebox{0.2027}[1]{\psarc[linestyle=dashed](4.8,3.7){3.65}{-90}{90}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](0.9,0)(1.1,7.4)
\rput(4,-0.5){Figure 1 - Le conteneur}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Ce conteneur est composé d'un cylindre et d'un goulot. Ce goulot est obtenu en faisant tourner, autour de l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~1], et représentée par l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la figure 2.
 
On appelle $f^{\prime}$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~1].
 
Le repère utilisé est orthonormal d'unité graphique : 1~m. 

On donne : A(0~;~1); B(1~;~2); C(4~;~2).
 
On précise que la courbe $C_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en A et en B. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(5,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,1){A}\uput[ur](1,2){B}\uput[ur](4,2){C}
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt](1,2)(4,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x dup mul 3 mul x 3 exp 2 mul sub 1 add}
\rput(2,-0.75){Figure 2 - Coupe latérale du conteneur}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item À partir des données précédentes, préciser les valeurs de : 

\[f(0)\quad ; \quad  f(1)\quad ; \quad f'(0)\quad ; \quad f^{\prime}(1).\]
 
\item  On admet qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = ax^3 + bx^2 + 1$.
 
On cherche à déterminer ces deux nombres. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question 1, montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système :
		 
\left\{\begin{array}{l c l}
a + b + 1 	&=&2\\
3a + 2b 	&=&0
  \end{array}\right.$ 
		\item En déduire les valeurs de $a$ et $b$, puis $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~1].
	\end{enumerate}		 
\item On admet que, sur l'intervalle [0~;~1], on a: 

\[[f(x)]^2 = 4x^6 - 12x^5 + 9x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 1\]

Déterminer une primitive de la fonction d'expression $[f(x)]^2$ sur [0~;~1]. 
\item Le volume du goulot engendré par $C_{f}$ sur [0~;~1] est donné en m$^3$ par : 

\[\pi\int_{0}^1  [f(x)]^2\:\text{d}x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie au dm$^3$ du volume du goulot. 
		\item En déduire la valeur arrondie au dm$^3$ du volume total du conteneur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de l'évolution des ventes}

\medskip
 
On admet que l'évolution des ventes de ce conteneur métallique est modélisée par la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et d'expression: 

\[g(x) = \dfrac{400}{16\text{e}^{-x} + 4}	 - 20\] 

où $x$ désigne le nombre de mois écoulés depuis le début de la fabrication des conteneurs et $g(x)$ le nombre de conteneurs vendus par mois.
 
On note $C_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $C_{g}$ ? 
		\item Comment interpréter ce résultat pour l'évolution des ventes ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
Montrer que : 
	 	
\[g^{\prime}(x) = \dfrac{6400\text{e}^{-x}}{\left(16\text{e}^{-x} + 4\right)^2}\]
 
		\item Déterminer le signe de $g^{\prime}(x)$ en justifiant la réponse et en déduire le tableau de variation de $g$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Justifier que l'entreprise devrait dépasser 70~conteneurs vendus par mois au cours du quatrième mois de production. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2012
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2012
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2012~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Les deux situations proposées sont indépendantes.\\ 
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\ 
Indiquer sur la copie la référence de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions dont l'expression est donnée ci-dessous, déterminer celle qui est solution de l'équation différentielle 

\[4y'' + y = 0.\]

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}\quad $f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$&\textbf{c.}\quad $f(x) = \cos \left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$\\ 
\textbf{b.}\quad $f(x) = \text{e}^{4x}$&\textbf{d.}\quad  $f(x) = \cos (2x) + \sin (2x)$
\end{tabularx}
 
\item Soient deux nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ tels que $z_{A} = \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et $z_{B} =  \text{e}^{\frac{- 2\text{i}\pi}{3}}$.
 
Un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{A}}{z_{B}}$ est égal à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $\dfrac{\text{i}\pi}{6}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{\pi}{6}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{- \text{i}\pi}{2}$&\textbf{d.}\quad$- \dfrac{\pi}{2}$
\end{tabularx} 

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \ln(x) - x$.
 
La limite de $f$ en $+ \infty$ vaut : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $ - \infty$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $0$&\textbf{d.}\quad $- 1$
\end{tabularx} 
 
\item $u$ est une suite géométrique de raison $- 5$ et de premier terme $u_{0} = 2$.
 
Laquelle de ces affirmations est exacte ? 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad $u_{3} = - 13$&\textbf{b.}\quad $u_{3} = - 10$ &\textbf{c.}\quad $u_{3} = = 250$&\textbf{d.}\quad $u_{3} = - 250$
\end{tabularx}

\item La somme des cent premiers entiers strictement positifs vaut: 

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
\textbf{a.}\quad \np{5000}&\textbf{b.}\quad \np{10000}&\textbf{c.}\quad 
\np{5050}&\textbf{d.}\quad 
\np{9990}
\end{tabularx}
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une société souhaite mettre sur le marché un nouveau jeu à gratter, dont le principe est le suivant.

\medskip
 
Chaque ticket est composé de deux cases :
 
la première case représente soit un soleil, soit une lune ;

la seconde case représente soit un c{\oe}ur, soit un pique.
 
La société compte commercialiser \np{10000}~tickets répondant aux contraintes suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ces tickets comportent un soleil ; 
\item[$\bullet~~$] 1\,\% des tickets présentant un soleil comportent un c{\oe}ur ; 
\item[$\bullet~~$] 0,5\,\% des tickets présentant une lune comportent un c{\oe}ur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les différents tickets possibles. 
		\item Justifier que le nombre de tickets comportant un soleil et un pique est égal à $990$.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau fourni en annexe, à rendre avec la copie. 
\item Un joueur reçoit \np{1000}~euros lorsqu'il obtient un soleil et un c{\oe}ur, $50$~euros lorsqu'il obtient une lune et un c?ur, 10~euros lorsqu'il obtient un soleil et un pique, 0~euro sinon.
 
On admet que chaque ticket a la même probabilité d'être choisi par le joueur.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
		 
Que représente E($X$) pour le joueur ?
	\end{enumerate} 
\item La société qui commercialise ce jeu vend chaque ticket 3~euros.
 
Quel est le bénéfice réalisé par la société pour la vente des \np{10000}~tickets, en admettant qu'ils ont tous été vendus ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le dessin ci-dessous schématise la vue latérale d'un pont suspendu entre deux pylônes modélisés par les segments [AB] et [A$'$B$'$]. Les câbles verticaux, comme celui modélisé par le segment [HH$'$], sont régulièrement espacés les uns des autres. La longueur AA$'$ est de 220 mètres. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-120,0)(120,40)
\psline(-122,0)(122,0)
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline(-110,0)(-110,27.15)\psline(-99,0)(-99,19.54)
\psline(-88,0)(-88,14.09)\psline(-77,0)(-77,10.17)
\psline(-66,0)(-66,7.38)\psline(-55,0)(-55,5.4)
\psline(-44,0)(-44,4.01)\psline(-33,0)(-33,3.06)
\psline(-22,0)(-22,2.45)\psline(-11,0)(-11,2.11)
\psline(0,0)(0,2)\psline(11,0)(11,2.1)
\psline(22,0)(22,2.45)\psline(33,0)(33,3.06)
\psline(44,0)(44,4.01)\psline(55,0)(55,5.4)
\psline(66,0)(66,7.38)\psline(77,0)(77,10.17)
\psline(88,0)(88,14.09)\psline(99,0)(99,19.54)
\psline(110,0)(110,27.15)
\uput[d](77,0){H}\uput[u](77,10.17){H$'$}
\uput[d](110,0){A}\uput[u](110,27.15){B}
\uput[d](-110,0){A$'$}\uput[u](-110,27.15){B$'$}
\uput[d](0,0){O}\uput[u](0,2){K}
\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,40)\uput[l](0,40){$y$}
\uput[u](125,0){$x$}
\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Dans le dessin ci-dessus, le point O et les demi-droites [O$x$) et [O$y$) permettent de définir un repère orthonormal \Oij{} dans lequel le point A aura pour coordonnées (110~;~0), l'unité étant le mètre.
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$[-110~;~110]$ d'expression :
 
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,06x} + 1}{\text{e}^{0,03x}}\]

On admet que l'arc $\wideparen{\text{B}'\text{KB}}$ est la courbe représentative, dans le repère donné, de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Une propriété de la courbe représentative}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$ : 

\[f(x) = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{- 0,03x}.\]
 
\item On remarque que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle 
$[-110~;~110]$, 

$f(-x) = f(x)$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \: \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-110~;~110]$.
 
Montrer que : $f'(x) = \dfrac{0,03\left(\text{e}^{0,06x} - 1\right)}{\text{e}^{0,03x}}$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : 	$\text{e}^{0,06x} - 1 > 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item À l'aide du tableau de variation, donner en mètres : 
	\begin{enumerate}
		\item la longueur du câble vertical le plus court ; 
		\item la hauteur du pylône représenté par le segment [AB] dont on donnera une valeur approchée à $0,1$près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Étude de la résistance au vent}

\medskip
 
On s'intéresse maintenant à la résistance au vent de la structure verticale du pont suspendu.
 
Un bureau d'étude affirme que l'aire de la surface exposée à l'action du vent est égale au dixième de l'aire de la surface plane, pleine et fermée, délimitée par les segments [B$'$A$'$], [A$'$A], [AB] et l'arc BKB$'$.
 
Cette surface est représentée par la partie grisée sur la figure ci-dessous : 

\begin{center}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-120,-10)(120,30)
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-110,0)(110,29)
\psline(-110,0)(110,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline(110,0)(-110,0)}
\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
\psline(-110,0)(-110,27.15)\psline(-100,0)(-100,20.14)
\psline(-90,0)(-90,14.95)\psline(-80,0)(-80,11.1)
\psline(-70,0)(-70,8.29)\psline(-60,0)(-60,6.21)
\psline(-50,0)(-50,4.7)\psline(-40,0)(-40,3.6)
\psline(-30,0)(-30,2.9)\psline(-20,0)(-20,2.4)
\psline(-10,0)(-10,2.1)
\psline(0,0)(0,2)\psline(10,0)(10,2.1)
\psline(20,0)(20,2.4)\psline(30,0)(30,2.9)
\psline(40,0)(40,3.6)\psline(50,0)(50,4.7)
\psline(60,0)(60,6.21)\psline(70,0)(70,8.29)
\psline(80,0)(80,11.1)\psline(90,0)(90,14.95)
\psline(100,0)(100,20.14)
\psline(110,0)(110,27.15)
\uput[d](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,30)\uput[l](0,30){$y$}
\uput[d](125,0){$x$}
%\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
%\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $F$, définie et dérivable pour tout $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$, d'expression: 
 
\[F(x) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03x} - \text{e}^{-0,03x}\right).\] 
 
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer l'aire, exprimée en m$^2$, de la surface exposée à l'action du vent. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (exercice 2) à rendre avec la copie }

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}Nombre de tickets :\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&avec un soleil& avec une lune& Total\\ \hline 
avec un c{\oe}ur&&& \\ \hline 
avec un pique& 990&&\\ \hline 
Total&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux septembre 2012
\end{document}