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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2000~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin  à septembre 2000}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  
 
\hyperlink{Antillesbio}{Antilles-Guyane, Biochimie juin 2000} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Metrobio}{Métropole Biochimie juin 2000} \dotfill 5 \medskip

\hyperlink{Metrobiosep}{Métropole Biochimie septembre 2000} \dotfill 7 \medskip

\hyperlink{MetroChimie}{Métropole Chimie de laboratoire  juin 2000} \dotfill 9 \medskip

\hyperlink{MetroChimiesep}{Métropole Chimie de laboratoire  septembre 2000} \dotfill 11 \medskip

\hyperlink{MetroPhysique}{Métropole Physique de laboratoire  juin 2000} \dotfill  14\medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane Biologie juin 2000
\hypertarget{Antillesbio}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL   Antilles--Guyane  juin 2000~ \decofourright\\ Biologie--Génie biologique}}

\vspace{0,5cm}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

$40$ livres de mathématiques pour la section STL sont disposés sur une étagère de la bibliothèque du centre de documentation et d'information d'un lycée. $7$ d'entre eux ont une couverture bleue, $12$ ont une couverture jaune et $21$ ont une couverture rouge.
 
Parmi ces $40$ livres, $35$\,\% sont des livres de première, et tous les autres sont des livres de terminale. Parmi les 7 livres à couverture bleue, 4 sont du niveau première.
 
Parmi les $12$ livres à couverture jaune, les $3/4$ sont du niveau terminale.

\begin{enumerate} 
\item Reproduire sur la copie et remplir le tableau suivant :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de livres& à couverture bleue & à couverture jaune& à couverture rouge&	Total\\\hline
de première	&	&	&	&\\ \hline
de terminale&	&	&	&\\ \hline
Total		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit un livre au hasard sur l'étagère, et on suppose l'équiprobabilité des tirages.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité $p_1$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale ?
		\item Quelle est la probabilité $p_2$ qu'il s'agisse d'un livre à couverture jaune ?
		\item Quelle est la probabilité $p_3$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale à couverture jaune ?
		\item Quelle est la probabilité $p_4$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale ou d'un livre à couverture jaune ? 
	\end{enumerate} 
\item Jacques et Sophie veulent chacun un livre à couverture bleue. Jacques choisit un livre, puis Sophie un autre parmi ceux qui restent.
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de résultats différents peut-on obtenir ? On pourra s'aider d'un arbre (même incomplet) ou d'un tableau.
		\item Quelle est la probabilité que Jacques et Sophie emportent tous les deux un livre de première ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A  Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $y' = 0,12 y$.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ cette équation différentielle.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle prenant la valeur $3,5$ pour la valeur $0$ de la variable.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère 
 orthonormal \Oij{} (unité 1~cm sur chaque axe).

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f.$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point de ($\mathcal{C}$)  d'abscisse 0.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera les résultats à $10^{-2}$ près.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Construire la tangente (T) et la courbe ($\mathcal{C}$) sur 
l'intervalle [0~;~10].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C Application}

\medskip

Dans un milieu biologique donné, on appelle $N$ le nombre de cellules d'une population  en développement. $N$ varie en fonction du temps $t$ selon la relation $N = f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}$, où $N$ est exprimé en millions de cellules  et $t$ en heures.
\begin{enumerate} 
\item Calculer l'instant $t$ (arrondi au centième) où le milieu donné contiendra une population de 6~millions de cellules.
\item Retrouver ce résultat graphiquement. On fera apparaître les traits de construction sur le dessin.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles  Biologie juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biologie juin 2000
\hypertarget{Metrobio}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL   Métropole  juin 2000~ \decofourright\\
Biochimie--Génie biologique}}
\end{center}   

\vspace{0,25cm}

\begin{center}	\textbf{} 

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Après la prise d'une boisson alcoolisée par une personne, on procède à l'étude de l'évolution de la quantité d'alcool présente dans son tube digestif} (\emph{exercice} I) \emph{puis dans les liquides du corps} (\emph{exercice} II).\emph{ Ces deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice I} \hfill 5 points}

\medskip

À l'instant $t$, on note $u(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif avec $t$ exprimé en minutes et $u(t)$ en moles d'alcool. On a relevé les résultats  suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en min)			&0	&1,5	&4,5	&9		&15		&18\\ \hline
$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&1,2&0,94	&0,56	&0,26	&0,10	&0,06\\\hline
\end{tabularx} \end{center}

On pose $v_{i} = \ln (u_{i})$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter, avec des valeurs arrondies 
à $10^{-2}$ près, le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$t_{i}$	&0	&1,5&4,5&9	&15	&18\\ \hline
$v_{i}$ & 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} \]

\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~v_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées).

Que remarque-t-on ?
\item On désigne par G$_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par G$_{2}$ celui des trois derniers.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ et tracer 
la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
		\item Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous 
la forme $v = mt + p$.
	\end{enumerate}
\emph{On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points} $M_{i}$.
\item À partir de cet ajustement, déterminer la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif de cette personne à l'instant $t = 20$.
\item On admet désormais que la fonction $u$ est dérivable et vérifie
l'équation différentielle :

\[u'= - 0,17u \qquad \text{avec}\quad u(0) = 1,2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ cette équation différentielle.
		\item Calculer $u(20)$ et comparer avec le résultat obtenu expérimentalement à la question \textbf{4.} précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice II} \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Après absorption, l'alcool se répartit dans les liquides du corps, en particulier dans le sang, où il est dégradé et évacué.}

À l'instant $t$, on note $q(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans les liquides du corps avec $t$ exprimé en minutes et $q(t)$ en moles d'alcool.

On admet que sur l'intervalle [0~;~400], l'expression de 
$q(t)$ en fonction de $t$ est :

\[q(t) =  1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}t - 1,2\text{e}^{-0,17t}.\]

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $q(0) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $q'$ dérivée de $q$ vérifie

\[q'(t) = 0,204\text{e}^{-0,17t} -2,9 \cdot 10^{-3}.\]

		\item Montrer que l'équation $q'(t) = 0$ admet une unique 
solution $t_{0}$. Calculer une valeur approchée, au centième près, de 
$t_{0}$ et de $q(t_{0})$.
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~400] l'inéquation $q'(t) 
\geqslant t_{0}$. En déduire les variations de la fonction $q$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $q$ (unités graphiques 1~cm pour 20~minutes sur l'axe des abscisses et 10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
\item Déterminer graphiquement l'instant $t$, à partir duquel la quantité
d'alcool redevient inférieure à 0,44~mole (cette quantité correspond pour cette personne à un taux d'alcoolémie de 0,5~g d'alcool par litre).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biologie juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biologie septembre 2000
\hypertarget{Metrobiosep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  septembre 2000~\decofourright\\Biochimie -- Génie biologique }}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

On met en contact des bactéries avec un agent antimicrobien.

Dans le tableau ci-dessous,

$t_i$ désigne le temps (en minutes) d'exposition des bactéries à l'agent 
antimicrobien,

$y_i$ désigne le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 			& 15	&20	&25	&30	&35	&40 &45 &50\\ \hline
$y_i$ 			&120 	&67 &49	&27	&20	&9	&7	&3\\ \hline
$z_i = \ln y_i$	& 		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate} 
\item Recopier le tableau en complétant la dernière ligne
 $z = \ln y_i$.

Donner les résultats arrondis à $10^{-1}$ près.
\item Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(t_i~; 
z_i)$ dans un repère orthogonal (\textsl{unités graphiques 2 cm pour 10 
minutes en abscisse et 2 cm pour une unité en ordonnée}).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$
 associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen
 G$_2$ associé aux quatre derniers points du tableau.
		\item Tracer la droite (G$_1$G$_2$).
		\item Une équation de la droite (G$_1$G$_2$) est de la forme $z = a t + b$. Calculer les nombres réels $a$ et $b$.

On admet que cette droite réalise un bon ajustement du nuage de points.
	\end{enumerate}
\item En utilisant l'ajustement précédent sur l'intervalle [15 ; 90],
	\begin{enumerate} 
		\item calculer le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries
 au bout de 90 minutes  d'exposition,
		\item discuter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$, définie par :

\[f(x) =  (x - 4) \text{e}^{0,2x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. (Unité graphique 1~cm).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de 
$f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.

En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection
 de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
		\item Donner l'équation de la tangente T en ce point.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique et en faisant apparaître les constructions 
nécessaires, résoudre l'inéquation : $f(x) < -2$.
\item Soit $F$ la fonction dérivable sur $\R$, définie par 

\[F(x) = (5x - 45)\text{e}^{0,2x}.\] 

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biologie septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie Labo juin 2000
\hypertarget{MetroChimie}{}

\rfoot{\small{ juin 2000}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  juin 2000~\decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 4\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\parbox[l]{0.7\textwidth}{Un cube de bois de 3 cm est
peint puis débité, parallèlement aux faces, en cubes de 1 cm d'arête.\\
On place les petits cubes dans un sac.} \hfill 
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(2.5,2.5)
\psline(0,0)(1.5,0)(2.1,0.6) \psline(0,0.5)(1.5,0.5)(2.1,1.1) 
\psline(0,1)(1.5,1)(2.1,1.6) 
\psline(0,1.5)(1.5,1.5)(2.1,2.1)
\psline(0,0)(0,1.5)(0.6,2.1) \psline(0.5,0)(0.5,1.5)(1.1,2.1) 
\psline(1,0)(1,1.5)(1.6,2.1) 
\psline(1.5,0)(1.5,1.5)(2.1,2.1)
\psline(0.2,1.7)(1.7,1.7)(1.7,0.2)
\psline(0.4,1.9)(1.9,1.9)(1.9,0.4) 
\psline(0.6,2.1)(2.1,2.1)(2.1,0.6) 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de petits cubes a-t-on placé dans le sac ?
		\item Combien y-en-a-t-il ayant zéro face peinte, une face peinte, deux faces peintes, trois faces peintes ?
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard, un cube du sac.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe	le nombre de faces peintes obtenues.

Donner la loi de probabilité de $X$.

Calculer l'espérance mathématique E($X$), la variance V($X$) 
puis l'écart-type $\sigma$($X$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal 
\Ouv, on considère les points A et M d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{M}} = \sqrt{2} + z_{\text{A}}$.

\begin{enumerate} 
\item Calculer OA, puis placer les points A et M.
\item En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle approprié, calculer OM et en déduire $\left|z_{\text{M}}\right|$.
\item Soit $Z$ le nombre complexe tel que $Z = z_{\text{M}}^2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $z_{\text{A}}^2$ puis montrer que 
$z_{\text{M}}^2 = 	\left(2\sqrt{2} + 2\right)(1 + \text{i})$.
		\item En déduire un argument de $z_{\text{M}}^2$  puis un argument 
de $z_{\text{M}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l' intervalle ]0~;~2[, dont 
la courbe représentative $\mathcal{C}$, dans le plan rapporté à un repère 
orthonormal \Oij, est la suivante :

\psset{unit=1.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-3)(4,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt](2,-3)(2,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[d](4,0){$x$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[l](0,-1){-1} \uput[r](0,-2){$\mathcal{C}$}
\uput[r](2,0.5){$\mathcal{D}$} \uput[l](0,1){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.025}{1.975}{x 2 mul x dup mul sub ln}
\end{pspicture}
\end{center}

La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x = 2$.

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer $f$ sachant que $f(x)$ est de 
la forme $\ln \left(ax^2 + bx\right)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{2ax + b}{ax^2 + bx}$.
\item Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A de coordonnées (1~;~0) où elle admet une tangente  horizontale , déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction\boldmath $f$ 
\unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = - x^2 + 2x$ et $f$ la 
fonction définie sur ]0~;~2[ par $f(x) = \ln g(x)$.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 0, puis la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.	
		\item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 2, puis la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 2.	
		\item En déduire les équations des asymptotes à la courbe 
$\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{-2x + 2}{g(x)}$.
\item Étudier le signe de $f(x)$, puis dresser le tableau 
de variations de $f$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Calcul d'aire.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Soit $F$ la fonction définie sur ]0~;~2[ par 

\[F(x) =  x \ln x + (x - 2)\ln (2 - x) - 2x.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~2[.
\item Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de 
l'aire A($\alpha$) de la partie du plan comprise entre
la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = \alpha$ et $x = 1$.
	
En déduire $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} \text{A}(\alpha)$,
puis son arrondi d'ordre 2.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie Labo juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie Labo septembre 2000
\hypertarget{MetroChimiesep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole  septembre 2000~ \decofourright\\
Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une roue de loterie munie d'un index fixe est divisée en secteurs 
de mêmes dimensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à miser 20 francs, à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l'index à l'arrêt de la roue.

On admet que chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. La roue 
comporte :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $n$ secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur : $-20$ F) ;
\item 6 bleus où l'on reçoit 20 F (gain du joueur nul) ;
\item 3 verts où l'on reçoit 80 F ;
\item 1 jaune où l'on reçoit 120 F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur.

\begin{enumerate} 
\item \textbf{Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs 
rouges}\boldmath ($n = 14$) \unboldmath
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de X.
		\item Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
		\item Calculer l'écart-type de X au franc près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, la roue comporte $n$ secteurs rouges et son 
propriétaire désire gagner en moyenne au moins $15\,\%$ des sommes misées.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de X doit être inférieure ou égale à $-3$.
		\item Montrer que l'espérance mathématique de X est : $\dfrac{-20n + 280}{n+10}$
		\item Déterminer le nombre minimum $n$ de secteurs rouges que doit 
comporter la roue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
:

\[z^2 - 4 z + 16 = 0.\]

\item Soit $P$ le polynôme défini par : 

\[P(z) =  z^3 + \left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right)z + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(-4)$.
		\item En déduire une factorisation de $P(z)$ sous la forme $(z + 4) (z + a)$ où $a$ est un nombre complexe à déterminer.
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
\[P(z) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

Soit les nombres complexes : 

$z_{\text{A}} = 2 + 2 \text{i}\sqrt{3}$ d'image le point A,

$z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ d'image le point B,

$z_{\text{C}} = - 4$ d'image le point C.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.
		\item Placer les trois points A, B et C.
		\item Démontrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de 
centre O.
		\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \begin{pspicture}(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
 \psline(-1,-5)(-1,5)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](5,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$}
\uput[dr](0,-3){A} \uput[d](-2,-2){D} \uput[l](-1,-4.5){$\Delta$}
\uput[d](3,-2.4){$\mathcal{C}$}
\psline{<->}(-0.5,-3)(0.5,-3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7385}{5}{1 x 1 add 2 exp div 2 x 1 add div sub 2 sub}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt](-1,-5)(-1,5)\psline[linewidth=1.5pt](-2,-2)(5,-2)
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Ci-dessus est tracée dans le repère orthonormal \Oij{} la représentation 
graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ 
dont la valeur minimale n'est atteinte que pour $x = 0$.

On sait notamment que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes D et 
$\Delta$ qui sont représentées sur le graphique, qu'elle passe par le 
point A de coordonnées $(0~;~-3)$ et qu'elle admet en A une tangente 
horizontale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate} 
\item En utilisant l'énoncé et le graphique, donner les limites 
de $f$ aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item La fonction $f$ est de la forme : 

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 1} + \dfrac{c}{(x + 1)^2},\]

où $a,~b,$ et $c$ sont trois constantes réelles.
	
Montrer que $f'(x) = \dfrac{- bx - b - 2c}{(x + 1)^3}$.

\item En utilisant les questions précédentes : 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $a = - 2$.
		\item Déterminer $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que $f$ est définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = -2  - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de 
variations de $f$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D d'équation $y = - 2$.
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la 
région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = 3$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie Labo septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique Labo juin 2000
\hypertarget{MetroPhysique}{}

\rfoot{\small{juin 2000}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2000~\decofourright \\Physique de laboratoire et de procédés industriels}}
 
\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4
\end{center}  

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
 (unité graphique 10~cm).

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_{n}$ le point 
d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\cdot \text{i}^n$ où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument	$\dfrac{\pi}{2}$ . (Par convention, pour $n = 0,$

$\text{i}^0 = 1$.)

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un
argument de chacun des nombres complexes $z_{0},~z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$.

Placer dans le plan les points $M_{0},~M_{1},~M_{2}$ et $M_{3}$.

\item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$. En déduire que
$M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$, par une rotation $r$ de centre O. Préciser une mesure de l'angle de cette rotation.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer un argument de $z_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ soit confondu avec $M_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $Q_{n}$, le point
d'affixe $\omega_{n} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\cdot 
\left(\dfrac{\text{i}}{2} \right)^n$.  (par convention, pour $n = 0,~
\left(\dfrac{\text{i}}{2} \right)^0 = 1)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, les points O,~ 
$M_n$, et $Q_{n}$ sont alignés.
		\item Placer les points $Q_{0},~ Q_{1},~ Q_{2}$ et $Q_{3}$ dans
le plan.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg).

Un mobile de masse 16~kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d'air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut $k = 1$.

Si l'on écarte le centre d'inertie G du solide de sa position d'équilibre O, alors G effectue des oscillations autour de celle-ci.

À l'instant $t$, la position de G est repérée par le point 
$M$ d'abscisse $f(t)$ dans le repère 
$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath}\right)$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psline(0,0)(0,1) 
\psline(0,0.5)(0.8,0.5)(1.05,1)(1.55,0)(2.05,1)(2.55,0)(3.05,1)(3.55,0)(4.05,1)(4.55,0)
(5.05,1)(5.55,0)(6.05,1)(6.55,0)(7.05,1)(7.2,0.5)(7.5,0.5)
\psframe(7.5,0)(8.5,1)  \rput(8,0.5){G}
\psline(0,2)(0,3)
\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline[linewidth=2pt]{->}(4.2,2.5)(5.2,2.5)
\uput[u](4.2,2.5){O} \uput[u](8,2.5){$M$}
\uput[d](4.5,2.5){$\vect{\imath}$} \uput[d](8,2.5){$f(t)$}
\psline(0,3.5)(0,4.5)
\psline(0,4)(0.8,4)(1.05,4.5)(1.3,3.5)(1.55,4.5)(1.8,3.5)(2.05,4.5)(2.3,3.5)(2.55,4.5)
(2.8,3.5)(3.05,4.5)(3.3,3.5)(3.4,4)(3.8,4)
\psframe(3.8,3.5)(4.8,4.5) \rput(4.3,4){G}
\psline(8,2.4)(8,2.6)
\end{pspicture}    
\end{center}

\vspace{0,8cm}

On admettra que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :

\[(\text{E}) \qquad :~ 16y'' +y = 0.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation
    différentielle (E).

		\item On suppose qu'à l'instant $t= 0$ le mobile est au point 
d'abscisse $f(0) = 0,5$ m et a une vitesse égale à $f'(0) = 0,125$ 
m.s$^{-1}$.

Montrer que la fonction $f$ est définie par 
$f(t) = \dfrac{1}{2}\left[ \cos \dfrac{t}{4} + \sin 
\dfrac{t}{4}\right]$.

		\item Vérifier que, pour tout réel $t~ :~ f(t) = 
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos \left[\dfrac{1}{4}(t- \pi)\right]$.

	\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout réel $t$, on a : $- 
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqslant f(t) \leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur positive $t_{0}$ de $t$ pour laquelle
le point $M$ se trouve pour la première fois en O.
		\item Combien de fois le point $M$ se trouve-t-il en O dans l'intervalle de temps [0~;~35] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - 2 \ln x + ax^2 + bx,~ \text{où}~a~ \text{et}~b~ \text{sont deux nombres réels.}\]

On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Ouv~ d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$	passe par le point 
A$\left(1~;~- \dfrac{13}{2}\right)$ et que le coefficient directeur de la tangente en A est égal à $- 6$, déterminer les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\item Pour la suite du problème, on prendra $f(x)= -  2 
\ln x + \dfrac{5}{2}x^2 - 9x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item Vérifier que l'on peut écrire : 

\[f(x) = x^2\left(- 2\dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{5}{2} - 
\dfrac{9}{x}\right).\]

En déduire la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle
$]0~;~+ \infty[$.
\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.	
\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, dans l'intervalle [3~;~4], l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $x_{0}$.
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $0,01$ de $x_{0}$.	
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite D tangente 
à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\item Tracer dans le repère \Ouv{} la droite D et la courbe
$\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x \ln x - x.\]

Expliciter la dérivée $g'$ de la fonction $g$.

\item Déduire de la question précédente une 
primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[$.
\item On appelle $\mathcal{A}$	la partie du plan située entre la
courbe,	l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = x_{0}$ 
et $x = 5$~ ($x_{0}$ est défini à la question \textbf{B. 2}).
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur la figure la partie $\mathcal{A}$.
		\item On désigne par A l'aire, en unités d'aire, de la partie $\mathcal{A}$.
Calculer A en fonction de $x_{0}$ puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée de $x_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Physique Labo septembre 2000
\end{document}