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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;\vect{u},\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2006 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à  septembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{AntillesBio}{Antilles-Guyane Biochimie juin 2006} \dotfill \pageref{AntillesBio}
\hyperlink{ReunionBio}{La Réunion Biochimie juin 2006} \dotfill \pageref{ReunionBio}\\
\hyperlink{MetroBio}{Métropole Biochimie juin 2006} \dotfill \pageref{MetroBio}\\
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\hyperlink{MetroBiosep}{Métropole Biochimie septembre 2006} \dotfill \pageref{MetroBiosep}\\
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\hyperlink{MetroChimiesep}{Métropole Chimie de laboratoire septembre 2006} \dotfill \pageref{MetroChimiesep}\\
\hyperlink{MetroPhy}{Métropole Physique de laboratoire juin 2006} \dotfill \pageref{MetroPhy}
\end{tabularx}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane  Biochimie juin 2006
\hypertarget{AntillesBio}{}

\label{AntillesBio}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique juin 2006~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane  }}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~4] par :
 
\[f(x) = \dfrac{3 + 2 \ln (x)}{x}\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 4 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
\item 2 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme :
\[f(x) = \left[3 + 2\ln (x)\right] \times\dfrac{1}{x}.\]

Donner une interprétation graphique du résultat.
\item Justifier que la derivée $f'$ est donnée par $f'(x) = \dfrac{-1 - 2\ln (x)}{x^2}$	pour $x$ appartenant à ]0~;~4].
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $- 1 -2 \ln (x) = 0$.
		
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie au centième.
		\item Résoudre l'inéquation : $-1 -2 \ln (x) > 0$.
		\item En déduire le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de variations de la fonction $f$ sur  ]0~;~4].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs arrondies au centième :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,2&0,3	&0,4	&0,6	&0,8	&1	&1,5&2	&3	&4\\ \hline
$f(x)$	&	& 1,97	&		&		&		&	&	&	& 	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$.
		\item Estimer, à l'aide du graphique, les solutions de l'équation $f(x) = 2$. On laissera apparents les traits de constructions.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
   
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}
 
\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, les valeurs calculées seront arrondies au millième.}
 
\medskip
 
On étudie l'évolution d'une population de bactéries en fonction du temps.

$N$ désigne le nombre de bactéries en milliers par millilitre à un instant donné $t$ exprimé en heures.

On a observé et relevé $N$ toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&0&0,5&1&1,5&	2&2,5&3&3,5&4&4,5&5\\ \hline
$N$	& 9&10,5&11&12,5&15&16&18&20&22&24&26\\\hline
\end{tabularx}\]
 
Pour étudier l'évolution de cette population, on effectue un changement de variable : $y = \ln (N)$.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$				&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&3,5&4	&4,5&5\\ \hline
$y = \ln (N)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 3~cm pour une heure
\item sur l'axe des ordonnées : 10~cm pour une unité, en commençant les graduations à partir de~2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de G, point moyen du nuage.
		\item Déterminer une équation de la droite $D$ passant par G et ayant pour coefficient directeur $0,215$.
		\item Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On considère que cette droite permet un ajustement de la série $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$. Estimer le nombre de bactéries (en milliers par millilitre) au bout de 6 heures, à l'aide du graphique puis par un calcul.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane  Biochimie juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Biochimie La Réunion juin 2006
\hypertarget{ReunionBio}{}

\label{ReunionBio}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\label{}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL La Réunion juin 2006~\decofourright\\[4pt]  Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\vspace{0,25cm}

Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix semestriel moyen du baril de pétrole, en dollars, depuis le début de l'année 2002 (\emph{cours du Brent}).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-9}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Janvier&Juin	&Janvier&Juin	&Janvier&Juin	&Janvier&Juin \\
\multicolumn{1}{c|}{~}&2002	&2002	&2003	&2003	&2004	&2004	&2005	&2005 \\\hline
Rang $x_{i}$ du 
semestre			&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Prix $y_{i}$ du 
baril en dollars	&20	&24		&29		&27		&30		&38		&44		&53\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

On pose $z_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, avec des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_{i}$								&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8 \\ \hline
$z_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$	&	&		&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Construire le nuage de points $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, dans un repère d'unités graphiques : 

1 cm en abscisse, 5 cm en ordonnée.
\item On désigne par G$_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des quatre derniers.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ (\emph{on arrondira les résultats à} $10^{-2}$). Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
		\item Calculer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{1}$) sous la forme $z = ax + b$. (\emph{On arrondira les résultats à} $10^{-2}$).
	\end{enumerate}
\item On admet que cette droite réalise un ajustement utilisable du nuage.

Si la tendance se confirme, prévoir, à partir de cet ajustement, le prix en dollars du baril de pétrole en janvier 2008.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

On étudie l'hydrolyse d'un ester en fonction du temps.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La concentration $y$ d'un ester, exprimée en moles par litre, en fonction du temps $t$, exprimé en heures, est solution de l'équation différentielle :

\[y' = -0,61y \quad  \text{avec} \quad  y(0) = 1,5.\]
Résoudre cette équation différentielle.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(t) =  1,5 \text{e}^{-0,61t}.\]

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 2 cm pour 1 heure en abscisse, 10 cm pour 1 unité en ordonnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$, dont on donnera une équation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$, où $f'$  désigne la dérivée de $f$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

(On placera les points d'abscisses 0 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que $f(t)$ représente la concentration de l'ester, en moles par litre, en fonction du temps $t$, exprimé en heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En faisant apparaître les constructions utiles, déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item  la concentration de l'ester au bout de 1 h 30 ;
		\item au bout de combien de temps la concentration de l'ester devient inférieure à 0,3 mole par litre.
\end{enumerate}
\item Retrouver le résultat du \textbf{1. b.} par le calcul.

(On donnera la valeur approchée par excès du résultat en heures et minutes).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Biochimie La Réunion juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Biochimie juin 2006
\hypertarget{MetroBio}{}

\label{MetroBio}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  juin 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

Le danger d'une exposition au bruit dépend de deux facteurs :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le niveau sonore $(x_{i})$
\item[$\bullet~$] la durée de l'exposition $(y_{i})$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le niveau sonore est exprimé en décibels, dont l'abréviation est dB.

Par exemple :

- 50 dB est le niveau habituel de conversation

- 85 dB est le seuil de nocivité (pour une exposition de 8 heures parjour).

Des durées limites d'exposition quotidienne à une phase bruyante ont été calculées et intégrées à la réglementation. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
Niveau sonore en dB  : $x_{i}$&	Durée maximale d'exposition en heures par jour : $y_{i}$\\ \hline
$x_{1} = 85$& $y_{1} = 8$\\ \hline
88&	4\\ \hline
91&	2\\ \hline
94&	1\\ \hline
97&	0,5\\ \hline
100& 0,25\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Ainsi être exposé 8 heures à 85 dB est exactement aussi dangereux que d'être exposé 1 heure à 94 dB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les six niveaux sonores donnés dans la première colonne du tableau ci-dessus sont en progression arithmétique.
		\item On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $x_{13}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les durées maximales d'exposition, exprimées en heures par jour, données dans la deuxième colonne sont en progression géométrique.
		\item On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $y_{13}$. Arrondir à la seconde la plus proche.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.
		
Recopier puis compléter le tableau ci-dessous dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de $z_{i}$ arrondies à $10^{-3}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau sonore $x_{i}$			&85		&88	&91	&94	&97 &100\\ \hline
$z_{i} =\ln \left(y_{i}\right)$	&2,079	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Placer les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal tel que l'intersection des axes a pour coordonnées (85~;~0) ; 0,5 cm représente 1 dB en abscisse et 1 cm représente 0,5 unité en ordonnées. 
		\item Les points du nuage semblent alignés.
		
Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A d'abscisse 85 et le point B d'abscisse 94, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont calculés à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Un concert de rock atteint les 120 dB. Déterminer pendant combien de temps, exprimé en secondes, on peut l'écouter pour que les normes en vigueur soient respectées :
	\begin{enumerate}
		\item en utilisant l'équation de la droite $\mathcal{D}$ ; 
		\item en utilisant le graphique (laisser apparents les tracés utiles).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip

On injecte à l'instant $t = 0$ une substance dans le sang d'un animal. La concentration $C$ (en mg/L) de la substance injectée varie en fonction du temps $t$ exprimé en heures suivant la relation :

\[C(t) = 8\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}\right).\]

On définit ainsi une fonction $C$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $C$ dans un repère orthogonal \Oij.

Unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
\item 5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $C$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote ? Si oui, préciser son équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $C'$ de $C$. Montrer qu'elle vérifie $C'(t) = 8\text{e}^{-2t}\left(2 - e\text{e}^t\right)$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ l'équation $C'(t) = 0$. Calculer la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
		\item Étudier le signe de $C'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $C$. Montrer que la valeur maximale de la concentration est 2.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous, en arrondissant les valeurs de $C( t)$ à $10^{-2}$ près.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en heures)	& 0 &0,25	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&4 	&5\\ \hline
$C(t)$			&	&		&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la tangente $T$ en précisant les coordonnées des deux points qui permettent son tracé. 
		\item Construire dans le même repère la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0~;~5].
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale, en faisant figurer les tracés utiles.

Donner le résultat en heures et minutes en arrondissant à la minute la plus proche.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Polynésie Biochimie juin 2006
\hypertarget{PolynesieBio}{}

\label{PolynesieBio}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2006 \decofourright\\[4pt]Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}\\

\medskip

Le thème de l'exercice est l'évolution de l'épidémie de SRAS de 2003. Le tableau suivant donne les nombres de cas déclarés $\left(N_{i}\right)$, relevés aux dates suivantes : 4, 8, 11, 15,  18, 23 et 28 avril 2003 :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&4			&8			& 11		& 15		&18			&23					&  28\\ \hline
$N_{i}$& \np{2322}& \np{2671}	& \np{2890}	& \np{3235}	& \np{3461}	& \np{4288}	& \np{5050}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On pose $y_{i} = \ln  N_{i}$ ($\ln$ désigne le logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,01 près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&4	&8	& 11& 15&18	&23	& 28\\ \hline
$y_{i}$&7,75& 	& 	& 	& 	& 	& 8,53\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 0,5 cm pour 1 jour sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.

On graduera l'axe des ordonnées à partir de 7.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage obtenu (résultats arrondis â 0,01 près).
\item Soit $d$ la droite passant par le premier et le dernier point du nuage.

Une équation de $d$ est $y =  \np{0,0325}x + 7,62$.

Le point G appartient-il à $d$ ?

Placer G et $d$   sur le dessin précédent.
\item On admet que $d$ constitue un ajustement convenable du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'équation de $d$, déterminer la valeur de $y$ correspondant à $x = 38$.
		
En déduire une estimation du nombre de cas prévisibles le 8 mai.
		\item À l'aide de l'ajustement affine $y = \np{0,0325}x + 7,62$ et de la relation $y = \ln  N$, exprimer $N$ en fonction de $x$. Déterminer, en utilisant ce modèle, à partir de quelle valeur entière de $z,~ N$ est supérieur ou égal à \np{10000}.
	\end{enumerate}
\item Le nombre de cas répertoriés a été, en réalité, de \np{7053} le 8 mai.

Le modèle étudié dans cet exercice est-il adapté pour décrire la situation le 8 mai (on considère que le modèle est adapté si l'écart entre la valeur réelle et la valeur donnée par le modèle est inférieur à 50 unités) ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 3] par 

\[f(x) = 6 - 5x\text{e}^{-2x +2}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 3],  $f'(x) = 5(2x - 1)\text{e}^{-2x +2}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~3].
		\item Déterminer les valeurs exactes de $f(0),\:f(0,5),\:f(3)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs arrondies au dixième de $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :

\[0,25~;~0,5~;~1~;~1,5~;~2~;~2,5~;~3.\]

		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $x_{1} = 0,75,~ x_{2} = 1$ et $x_{3} =  1,25$. (On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près). Pour laquelle de ces abscisses, le coefficient directeur est-il le plus grand ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $x_{1},~x_{2}$ et $x_{3}$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère que la courbe $\mathcal{C}$ donne un modèle de la variation de la température de l'eau en fonction de la profondeur près de l'estuaire d'un grand fleuve un jour d'hiver. La température est exprimée en degrés Celsius et la profondeur en centaines de mètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle profondeur la température de l'eau est-elle minimale ?
\item Déterminer graphiquement pour quelles profondeurs la température est comprise entre 0 \degres C et 4 \degres C. Faire figurer les constructions utiles.
\item En utilisant la question A. 2., indiquer au voisinage de quelle profondeur, entre 50 m et 300 m, la température de l'eau augmente le plus rapidement.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie Biochimie juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Biochimie septembre 2006
\hypertarget{MetroBiosep}{}

\label{MetroBiosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie-Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  septembre 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}
\begin{center}
\textbf{Les deux parties sont indépendantes}
\end{center}

Une population de bactéries diminue en fonction du temps sous l'effet d'un antiseptique. On va chercher à modéliser l'évolution de cette population à l'aide de résultats expérimentaux obtenus ci-dessous. Le temps $t$ est donné en minutes, $N(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ et $N'(t)$ est la vitesse de variation  de cette population à la date $t$, c'est en fait la dérivée de $N(t)$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0				&2				&4			   &6		 &8			&10\\ \hline
$N(t)$	&\np{12000}		&\np{8000}		&\np{5400}	   &\np{3600}&\np{2500}	&\np{1650} \\ \hline
$N'(t)$	&$- \np{2400}$	&$- \np{1600}$	&$- \np{1070}$ &$- 730$  &$- 480$ 	&$- 340$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à chaque date $t$ le rapport $\dfrac{N'(t)}{N(t)}$ à $0,001$ près. Calculer la moyenne arithmétique des résultats obtenus.
\item Résoudre l'équation différentielle $N'(t) = - 0,2N(t)$ sachant que $N(0) = \np{12000}$.
\item Estimer la population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau initial, reproduire et compléter ce tableau dans lequel la fonction logarithme népérien (on donnera les valeurs arrondies à $0,01$) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$										&0	&2	&4&6	&8	&10\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(N\left(t_{i}\right)\right)$&9,39	&	&	&	&&7,41\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Représenter graphiquement le nuage de points correspondant $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ (unités : $1$~cm pour $1$~minute en abscisse et $1$~cm pour $1$~unité en ordonnée).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle G le point moyen des trois premiers points et G$'$ le point moyen des trois derniers. Calculer à $0,01$ près les coordonnées de G et G$'$.
		\item Placer G et G$'$ sur le graphique et tracer la droite (GG$'$).
		\item Trouver par le calcul, l'équation de la droite (GG$'$), en arrondissant à $0,01$ près les résultats.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire, en utilisant le modèle d'estimation donné dans le 3. c., que $N(t) = \text{e}^{-0,2t}\text{e}^{9,39}$.
		\item  Estimer la population au bout de $15$~minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}		

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

Vers 1840, Verhulst propose un modèle d'évolution d'une population de bactéries en culture. Il suppose que la population ne peut dépasser une certaine valeur maximale.

On note $f(t)$ le pourcentage de cette valeur maximale à l'instant $t$. On suppose que $f(0) = 1$ et, pour une certaine population, on obtient que

 \[f(t) = \dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6t}},\] 
 
où $t$ est exprimé en heures.

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$.
  
\begin{center}
\psset{xunit=0.666cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(18,110)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=20]{->}(0,0)(18,110)
\psplot[plotpoints=1500,linecolor=blue]{0}{18}{100 2.71828 x 0.6 mul neg exp 99 mul 1 add div}
\uput[u](17,0){$t$ (heures)} \uput[l](0,105){\%}
\uput[u](8,57){$(\blue \mathcal{C})$}
\psline(0,100)(18,100)
\end{pspicture}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A :} Les questions sont résolues par lecture graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner le pourcentage du maximum de la population à la date $t  = 10$.
\item  Quelle est la limite de $f(t)$ en $+ \infty$ ?
\item  À quel instant $t$, à $0,1$ près, la population atteint-elle $50$\:\% de son maximum ?
\item  Quel est le signe de $f(t)$ ?
\item  À quelle date la croissance de la population, est-elle la plus rapide, à la date $t =  2$ ou à la date $t = 10$ ? Expliquer.
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B :} Les questions sont résolues par le calcul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer à $0,1$\:\% près le pourcentage de la population à la date $t = 10$.
\item  Quelle est la limite de $f(t)$ en $+ \infty$ ? Que peut-on en déduire ?
\item  À quel instant $t$ la population atteint-elle $50$\:\% de son maximum (à $0,01$ près) ?
		
\item  Prouver que la dérivée de $f$ est
 
\[f'(t) = \dfrac{5940\text{e}^{-0,6t}}{\left(1 +99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}.\]

En déduire le signe de $f'(t)$.
\item  Trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $10$ (le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine étant donnés à $0,1$ près).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Biochimie septembre 2006  %%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Chimie de laboratoire Métropole juin 2006
\hypertarget{MetroChimiejuin}{}

\label{MetroChimiejuin}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2006~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$, on note 

\[P(z) = z^3	- 4z^2 + 8z - 8.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2).$

Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z)$ peut s'écrire sous la forme
$P(z) =  (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$.
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

$z^2 - 2z +4 = 0$.

En déduire les solutions, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, de l'équation $P(z) =0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
\[a = 2 \qquad 	b = 1 + \text{i}\sqrt{3} \qquad  c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer, sur la copie, les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O.
		\item Construire le cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un argument du nombre complexe $b$. En déduire une mesure de l'angle $\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}})$. Quelle est la nature du triangle OAB ?
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est \np{1013} hectopascal.

Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25\,\%  à chaque élévation de 100~m.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $P_{n}$ la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude $100n$, exprimée en mètres. Soit $\left(P_{n}\right)$ la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique. On a alors $P_{0}= \np{1013}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les pressions $P_{1}$ et $P_{2}$, arrondies à l'unité, aux altitudes $100$ et $200$.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ P_{n} = \np{1013} \times  \np{0,9875}^n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude \np{3200}.
\item Calculer à partir de quelle altitude, à $100$ m près, la pression atmosphérique devient inférieure à $600$ hectopascal.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par

\[f(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,~f(x)$ est égal à $\dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$, déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[f'(x) = \dfrac{- 2+\ln x}{x^2}.\]

\item Étudier le signe de $- 2 + \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item On note I le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.

Déterminer les coordonnées du point I.
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$.
\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{T}$.

On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\imath}\right)$ et 5~cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
		 
\[g(x) = (\ln  x)^2.\]

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

Calculer $g'(x)$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer J $= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
\item Interpréter graphiquement l'intégrale J.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Chimie Labo juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Chimie Labo septembre 2006 
\hypertarget{MetroChimiesep}{}

\label{MetroChimiesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2006~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle $y''+ 4y = 0$, où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item 	Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~- \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $2$.
\item 	Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = 2 \cos \left(2x  + \dfrac{\pi}{6}\right).$
\item 	Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation	$\dfrac{1}{2}z^2 + z + 1 =  0$.
		\item  On note $z_{1},\:  z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$ les nombres complexes définis par :
\[z_{1} = -1+ \text{i},\quad 	z_{2}= \overline{z_{1}},\quad 	z_{3} = - 2 \quad  	\text{et}~ z_{4}= -2z_{1}.\]
Écrire $z_{2}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique: 1 cm).

On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C, D dans le repère \Ouv.
		\item  On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l'affixe du point I. 
		\item  Montrer que le triangle ACD est rectangle.
		\item  Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
	
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f (x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthononnal \Oij.

Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item  Étudier la limite de $f$ en $- \infty$. On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0 ~;~ n \in \N$.
	\end{enumerate}
\item 	On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item	Déterminer les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II: Tracé d'une parabole}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y =  6 - 2x^2$.\\
Vérifier que les points A et B, définies à la question 3 de la partie I, appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$.
\item 	\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$,
\[\left(6- 2x^2\right) - f(x) = \left(3  - x^2\right)\left(2 - \text{e}^x\right).\]
\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$,
 \[\left(3- x^2\right)\left(2- \text{e}^x\right) \geqslant 0.\]
\item 	En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$, la parabole $\mathcal{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
 \end{enumerate}
\item 	Tracer la parabole $\mathcal{P}$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie III : Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur $\R$ par
 
\[G(x) = \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item  On note $G'$ la fonction dérivée de la fonction $G$. Calculer $G'(x)$. 
		\item  En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item 	On considère le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, les droites d'équations	respectives $x= -\sqrt{3}$ et $x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
		\item 	On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire.
		
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(3,7)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-5,-4)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.897}{3 x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
\uput[r](2,-3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Chimie de laboratoire septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%% Physique de laboratoire Métropole  juin 2006
\hypertarget{MetroPhy}{}

\label{MetroPhy}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2006 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\vspace{0,25cm}

Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.

Sur chacune d'elles est inscrit un nombre comme l'indique le tableau ci-dessous :

\[ \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Nombre inscrit}	&1		&2		&5	&10\\ \hline
\text{Nombre de boules}	&4		&3		&2	&1\\ \hline
\end{tabularx}\]

Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le joueur effectue un tirage.

On appelle $p_{1}$ la probabilité pour qu'il perde (c'est à dire qu'il reçoive moins de 4 euros)	et $p_{2}$ la probabilité pour qu'il gagne (c'est à dire qu'il reçoive plus de 4 euros).

Calculer $p_{1}$ et$p_{2}$.
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le \og gain \fg{} du joueur (positif s'il gagne, négatif s'il perd),
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		\item Présenter la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\item Un jeu est équitable si et seulement si E($X) =  0$.\\
On décide de changer le nombre inscrit sur une seule boule portant le nombre $1$.

Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	
	
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
	
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. (unité graphique 1 cm).

On considère un polynôme $P$ défini par $P(z) = z^3 - 2z^2 +16$ où $z$ est une variable complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z + 2)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A et B.
		\item Quelle est la nature du triangle OAB ?
	\end{enumerate}
\item On considère la transformation T du plan $\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z.\]
	\begin{enumerate}
		\item Caractériser géométriquement la transformation T.
		\item Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l'affixe du point A$'$ image de A par la transformation T.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	
	
\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}	
	
\medskip

On considère la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = (x + 1)^2 \text{e}^{-x}\]

dans le plan rapporté a un repère orthonormal \Oij (unité graphique 2cm).
	
\bigskip
	
\textbf{PARTIE A}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Montrer que si $x$ est différent de zéro on a : $f(x) =  x^2 \text{e}^{-x}\left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)$.\\
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{-x}.$
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à  la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Étude de la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout réel $x$ on a :

\[f(x) - (x + 1) =  (x+1)\text{e}^{-x}\cdot g(x)\quad  \text{avec} \quad  g(x) = x + 1 - \text{e}^x.\]
	
		\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
		\item En déduire le signe de $g(x)$, puis de $f(x) - (x + 1)$. 
		\item En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\item Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous,
 tracer $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.\\
Donner les valeurs de $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&-2	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1	&2	&3	&4	&6\\ \hline
$f(x)$&	&		&		&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{PARTIE B}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(-x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.
\item Calculer l'aire en cm$^2$ de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x =  3$.
 
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% fin Physique de laboratoire Métropole  juin 2006
\end{document} 