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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath}, \vect{\jmath}, \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 2007~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin  à septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{ReunionBio}{La Réunion Biochimie juin 2007} \dotfill \pageref{ReunionBio}\\
\hyperlink{MetroBio}{Métropole Biochimie juin 2007} \dotfill  \pageref{MetroBio}\\
\hyperlink{PolynesieBio}{Polynésie Biochimie juin 2007} \dotfill  \pageref{PolynesieBio}\\
\hyperlink{MetroBiosep}{Métropole Biochimie septembre 2007} \dotfill  \pageref{MetroBiosep}\\
\hyperlink{PolynesieBiosep}{Polynésie Biochimie septembre 2007} \dotfill  \pageref{PolynesieBiosep}\\
\hyperlink{MetroChimiejuin}{Métropole Chimie de laboratoire juin 2007} \dotfill  \pageref{MetroChimiejuin}\\
\hyperlink{MetroChimiesep}{Métropole Chimie de laboratoire septembre 2007} \dotfill  \pageref{MetroChimiesep}\\
\hyperlink{MetroPhyjuin}{Métropole Physique  de laboratoire juin 2007} \dotfill  \pageref{MetroPhyjuin}\\
\hyperlink{MetroPhysep}{Métropole Physique  de laboratoire septembre 2007} \dotfill  \pageref{MetroPhysep}
\end{tabularx}
\newpage
~ 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  La Réunion Biochimie juin 2007
\hypertarget{ReunionBio}{}

\label{ReunionBio}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL La Réunion  juin 2007~\decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Dans un lycée de \np{1280} élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 10\,\%
 des élèves contractent la maladie. De plus, 3\,\%
 des élèves vaccinés ont la grippe.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}					&Nombre d'élèves vaccinés &Nombre d'élèves non vaccinés &TOTAL\\ \hline
Nombre d'élèves ayant eu la grippe		&						  &								& \\ \hline
Nombre d'élèves n'ayant pas eu la grippe&						  &								&\\ \hline
TOTAL									&						  &								&\np{1280}\\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à $0,001$ près.
\item  On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :

$A$ : \og L'élève a été vacciné \fg ;
 
$B$ : \og L'élève a eu la grippe \fg ;
  
$C$ : \og  L'élève a été vacciné et a eu la grippe \fg. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$. 
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup B$. 
\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement: \og L'élève a eu la grippe \fg. 
\item  On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement : \og L'élève a eu la grippe \fg. 
\item  Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dès l'apparition des premiers symptômes de l'épidémie, l'infirmière du lycée relève pendant 8 jours le nombre d'élèves malades. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro du jour		&	1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Nombre d'élèves grippés	&2	&5	&9	&14	&17	&23	&27	& 31\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé cette série statistique. On prendra les unités suivantes :
\begin{itemize}
\item  en abscisse : 2 cm pour 1 jour ;
\item  en ordonnée : 1 cm pour 2 élèves. 
 \end{itemize}
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique. 
\item On appelle G$_{1}$ le point moyen des quatre premiers points de ce nuage et G$_{2}$ le point moyen des quatre derniers points. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$. 
\item  Placer les points G$_{1}$ et  G$_{2}$ sur le graphique puis tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). 
\item  Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous la forme $y =  mx + p$. On donnera les valeurs exactes de $m$ et de $p$.
\end{enumerate}
\item 	En utilisant l'équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$), estimer à partir de combien de jours au moins 5\,\%
 des élèves du lycée seront atteints par la grippe.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse, lors d'une expérience, à la croissance d'une population de bactéries dont le nombre triple toutes les heures. À l'instant $t = 0$, la population est de 10 germes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps (h)		&0	&1	&2	&6 	&9\\ \hline
Nombre de germes&10	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[~] $u_{0}$ le nombre de germes à l'instant $t = 0$
\item[~] $u_{1}$ le nombre de germes à l'instant $t = 1$
\item[~] $u_{n}$ le nombre de germes à l'instant $t = n$.
 \end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite de terme général $\left(u_{n}\right)$ et donner ses caractéristiques.
		\item Écrire $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer à partir de quelle heure la population de bactéries atteindra au moins un million de germes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(t) = 10\text{e}^{(\ln 3) t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$ puis en déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&1	&2	&3	&4	& 5 \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer dans un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative de la fonction $f$. On prendra pour unités graphiques :
		
\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item  2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses;
\item  1 cm pour 100 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans l'étude faite précédemment, la variation de la population bactérienne est modélisée par la solution $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $y' =  (\ln 3) y$ qui vérifie la condition initiale $g(0) = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie B est égale à $g$.
\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles, l'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin La Réunion Biochimie juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Biochimie Métropole juin 2007
\hypertarget{MetroBio}{}

\label{MetroBio}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique~\decofourright\\[4pt]Métropole  juin 2007}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}
 
\medskip

\emph{La partie} A \emph{et la partie} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
On étudie la vitesse de disparition d'un réactif et on constate qu'elle est proportionnelle à la concentration.
 
On note $f(t)$ la concentration (exprimée en mol$\cdot$L$^{-1}$) à l'instant $t~ (t$ exprimé en minutes), où 

$t\in [0~;~+ \infty[$.
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la concentration vérifie l'équation différentielle : $y' = - 0,002y$. 

Déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle.
\item Sachant que la concentration initiale est de 0,1 mol$\cdot$L$^{-1}$, déterminer la solution $f$ vérifiant cette condition.
\item On donne en annexe I la courbe représentative de la fonction $f$.

À l'aide d'une lecture graphique déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item  la durée en heures et minutes au bout de laquelle la concentration est égale à la moitié de la concentration initiale ;
		\item  la concentration au bout de 12 h. On fera apparaître les constructions utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On suit l'évolution de la réaction en dosant le produit formé $g(t)$ en fonction du temps $t$ (en minutes).

On appellera $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère. On admet que :

\[g(t) = 0,1 - 0,1\text{e}^{-0,002t}~~\text{où}~t \in [0~;~+ \infty[.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
		\item  En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$ (que l'on précisera).
	\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item Étudier le signe de $g'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $g$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}
 
\medskip
 
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
En octobre 2006, une tempête a balayé le Sud-Ouest de la France provoquant de nombreuses coupures d'électricité.

\medskip
	
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un lycée a un effectif de \np{1400} élèves ; 70\,\% d'entre eux habitent en zone rurale et les autres en zone urbaine.
	 
Suite à la tempête, 5\,\% des élèves habitant en ville et 75\,\% de ceux qui habitent à la campagne ont été privés d'électricité.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
						&Avec électricité	& Sans électricité	&Total\\ \hline
Elèves en zone rurale  	&					&		      		& \\ \hline
Elèves en zone urbaine	&					&		      		& \\ \hline
Total			     	&					&		      		&\np{1400}\\ \hline	
\end{tabularx}

\medskip

\item On croise au hasard un élève de ce lycée. Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og L'élève habite en zone urbaine \fg

$B$ : \og L'élève est sans électricité \fg
\item On croise au hasard un élève qui n'a pas d'électricité. Quelle est la probabilité qu'il habite en zone rurale ? (On donnera une valeur approchée arrondie au centième).
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Partie B}
 
\medskip
\emph{Si nécessaire, les résultats obtenus dans cette partie seront arrondis au centième.}

\medskip

La tempête a privé d'électricité \np{20000}~foyers dans tout le département.

Des moyens importants ont été mis en {\oe}uvre pour rétablir rapidement le courant. Des études statistiques portant sur le nombre d'abonnés restant privés d'électricité ont donné les résultats suivants.
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_{i}$ écoulé  en heures	&0			&4			&8			&12		  &16		&20			&24\\ \hline
Nombre $N_{i}$ d'abonnés
sans électricité				&\np{20000}	&\np{13028}	&\np{5234}	&\np{3714}&\np{2981}&\np{1212}  &\np{783}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$							&0	&4	&8	&12	&16	&20	&24\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(N_{i}\right)$&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités : $1$~cm pour 2 en abscisse, $1$~cm pour 1 en ordonnée.
\item 	Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
\item 	Soit D la droite passant par G et de coefficient directeur $- 0,13$. Déterminer une équation de D. Tracer D sur le graphique.
\item On utilise la droite D comme droite d'ajustement. Calculer le temps nécessaire pour que 99\,\% des abonnés concernés retrouvent l'électricité.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe I }

\bigskip

\psset{xunit=0.0108cm,yunit=75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-60,-0.01)(1050,0.12)
\multido{\n=0+30}{36}{\psline[linecolor=orange,gridwidth=0.1pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0+0.005}{25}{\psline[linecolor=orange,gridwidth=0.1pt](0,\n)(1050,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2000]{->}(0,0)(0,0)(1050,0.12)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](60,){$60$}\uput[l](0,0.1){$0,1$}
\uput[d](1000,0){temps $t$ en min}
\rput{90}(20,0.11){$y$ en mol$\cdot$L$^{-1}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1050}{0.1 2.71828 0.002 x mul neg exp mul}
\uput[d](60,0){60}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Biochimie juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Polynésie Biochimie juin 2007
\hypertarget{PolynesieBio}{}

\label{PolynesieBio}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2007}~\decofourright\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

On lâche une balle à une hauteur de 1 mètre. Celle-ci effectue alors plusieurs rebonds sur le sol avant de s'immobiliser. On note la hauteur (exprimée en centimètres) par rapport au sol de chaque rebond.

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus :

\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro du rebond : $n_{i}$	&1	&2	&3	&4&5&6&7	&8\\ \hline
Hauteur du rebond : $h_{i}$	&55	&30	&17	&9&5&3&1,5	&0,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer le nuage de points $M_{i}\left(n_{i},~h_{i}\right)$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?

\medskip

\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs numériques seront arrondies au dixième.}

\medskip

\item  Recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_{i}$							&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(h_{i}\right)$&4,0& 	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer dans un repère orthonormé (unité graphique : 2~cm) le nuage de points	$P_{i}\left(n_{i}~;~y_{i}\right)$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?
\item  Recherche d'un ajustement affine
	\begin{enumerate}
		\item  On note G$_{1}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{1},~ P_{2},~ P_{3}$ et $P_{4}$ et G$_{2}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{5},~ P_{6},~ P_{7}$ et $P_{8}$. Déterminer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$.
		\item  Placer les points G$_{1}$ et G$_{2}$ sur le graphique et construire la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
		\item  Lire graphiquement sur le graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ (mettre en évidence sur le graphique les éléments qui ont permis cette lecture).
	\end{enumerate}
\item  En utilisant le résultat de la question 4 c, exprimer, en fonction de son numéro $n$, la hauteur estimée du $n$-ième rebond.
\item  À partir de quel rebond, la hauteur estimée de celui-ci est-elle inférieure à un millimètre ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 :  lecture graphique}

\medskip

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et sa tangente au point d'abscisse 2.

\psset{unit=1.333cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(8.5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-5)(8.4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-5)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{8}{x ln x 2 add ln sub 2 x mul 3 div sub 4 add}
\psline{<->}(0.5,2.6)(3.5,1.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Déterminer, à l'aide de lectures graphiques, en justifiant par une phrase chaque réponse:

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f(3)$ et $f(4,5)$ ; 
\item  le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elles ; 
\item  l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant  1$ ; 
\item  $f'(2)$, nombre dérivé de $f$ en 2 ; 
\item  le nombre de solution(s) de l'équation $f'(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elle(s) ; 
\item  l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$ ; 
\item  une estimation de $f'(5)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : étude d'une fonction}

\medskip

On admet que la fonction $f$ représentée dans la partie 1 est définie par

\[f(x) = \ln (x) - \ln (x + 2) -- \dfrac{2}{3}x + 4.\]
\begin{enumerate}
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)$. Que peut-on en déduire ?
\item  Déterminer	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{x}{x + 2}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item  $p$ est la fonction définie sur $\R$ par	$p(x) = x^2 + 2x - 3$. Étudier le signe de $p(x)$.
\item  Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{-2 p(x)}{3 x(x + 2)}$.
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~  +\infty [$. En déduire le sens de variation de $f$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Biochimie juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Biochimie septembre 2007
\hypertarget{MetroBiosep}{}

\label{MetroBiosep}
\lhead{\small Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STL 
Biochimie-Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  septembre 2007}} 
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,4cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip
 
Un laboratoire universitaire compte 120~chercheurs, dont 25\,\% de physiciens, 30\,\% de chimistes, les autres étant des biologistes.
 
On dénombre parmi les physiciens 12~femmes, et parmi les chimistes 21~hommes. On sait, de plus, qu'il y a en tout 50~femmes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Physiciens 	&Chimistes 	&Biologistes 	&Total\\ \hline 
Femmes 	&				&		&		&  \\ \hline
Hommes 	&				&		&		&  \\ \hline 
Total 	&				&		&		&120  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans quelle spécialité y-a-t-il proportionnellement le plus de femmes ? (On justifiera en calculant dans chaque catégorie le pourcentage de femmes) 
\item  On questionne, au hasard, une des personnes du laboratoire. Soit les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og La personne interrogée est une femme \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og La personne interrogée est biologiste \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$. 
\item Définir par une phrase chacun des évènements suivants : $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$, puis calculer sa probabilité. 
\item On prend, au hasard, une personne parmi les hommes ; calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og La personne choisie est biologiste \fg. 

(Les résultats aux questions 3, 4 et 5 seront donnés sous forme de fractions irréductibles.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

À la suite d'un accident nucléaire, on relève, à chaque heure, avec un appareil de mesure de radioactivité, le nombre $x_{i}$ ($x_{i}$, entier naturel) de particules recueillies en 1~seconde. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$&0	& 1		&2	&3	&4	&5	&6	&7 \\ \hline
$x_{i}$&175 &105 	&60 &42 &25 &15 &10 &6\\ \hline
$z_{i}$&	&		&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z_{i} = \ln \left(x_{i}- 2\right)$. Donner les valeurs de $z_{i}$ arrondies au dixième le plus proche dans le tableau précédent que l'on recopiera. 
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (2~cm pour 1~heure en abscisse, 4~cm pour 1~unité en ordonnée). 
\item Un ajustement linéaire du nuage de points semble-t-il justifié ? 
\item On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$  sur le graphique. 
		\item Montrer que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ admet pour équation réduite 
		
$z = - 0,53 t + 5,20$. 
		
(On arrondira au centième le plus proche.)
	\end{enumerate} 
\item Donner l'expression de $x$ en fonction de $t$, associée à l'expression réduite ci-dessus. En supposant que cette expression constitue une bonne modélisation, déterminer à partir de quel relevé on obtient une valeur de $x \leqslant  3$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une étude mathématique plus poussée conduit à supposer que la fonction qui à $t$ (exprimé en heures) associe le nombre $x(t)$ est solution de l'équation différentielle : 

\[(\text{E})\quad  :\quad  y' = - 0,53(y- 2). \]

Vérifier que la fonction $x$ définie par $x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ est la solution de (E) telle que $x(0) = 175$.

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2.\]

Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2~cm en abscisse, 1~mm en ordonnée).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
 
\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Donner le tableau de variations de $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les résultats au dixième le plus proche :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire $\mathcal{C}$ et la droite $D$ d'équation $y = 2$. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) \leqslant  30$.

(On laissera apparents les tracés utiles.) 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Biochimie septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Polynésie Biochimie septembre 2007
\hypertarget{PolynesieBiosep}{}

\label{PolynesieBiosep}
\lhead{\small Biochimie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie-Génie biologique~\decofourright\\[4pt] Polynésie  septembre 2007}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

Un corps C à la température $y$ est placé dans une enceinte dont la température est supposée constante égale à 20\,\degres C. La température $y$ du corps C est relevée en fonction du temps $t$ mesuré en minutes.

On a obtenu les résultats suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_{i}$ (en min)				&0	&10&15	&20&30	& 40\\ \hline
Température $y_{i}$ (en \,\degres C)&70	&50&43,5&38&31,1&27\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z$ au centième le plus proche.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en min)			&0	&10	&15		&20	&25	&30\\ \hline
Température $y_{i}$ 
(en \degres C)				&70	&50	&43,5	&38	&34	&31,1\\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i} 
- 20\right)$				&	&	&		&	&	&2,41\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points formé par les points $M\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$. (On prendra comme unités graphiques :

1 cm pour 5 minutes en abscisse

1 cm pour une unité en ordonnée.)
\item 	Pour déterminer un ajustement affine de $z$ en $t$, on considère la droite D passant par le premier point et le dernier point du nuage.
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer la droite D.
		\item  Déterminer une équation de la droite D.
	 \end{enumerate}
\item Sachant que $z = \ln(y - 20)$, écrire $y$ en fonction de $z$.
\item En utilisant l'ajustement affine déterminé en 3., calculer au bout de combien de temps le corps C a une température inférieure ou égale à 21\,\degres C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip
	
Un médicament dosé à $5$~mg de principe actif est absorbé par voie orale. Le principe actif passe dans le sang puis est éliminé. On appelle $Q(t)$ la quantité de principe actif présente dans le sang exprimée en mg à l'instant $t (t \geqslant 0$  exprimé en heure).

\medskip

Une étude a permis de déterminer que :

\[\text{pour}~t \geqslant 0, \quad 	Q(t) = 5\left(\text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Déterminer la limite de $Q(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $Q$ ?
\item 	Montrer que pour $t \geqslant 0,~~ Q'(t) = 5\text{e}^{-0,5t}\left(-0,5 + \text{e}^{-0,5t}\right)$.
\item 	Étudier le signe de $Q'(t)$ pour $t \geqslant 0$. En déduire le tableau de variations de $Q$.
\item 	Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

(On donnera des valeurs approchées arrondies au centième.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,5&1	&1,5&2	&3	&4	&6	& 8\\ \hline
$Q(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe représentative de $Q$ dans un repère orthogonal

(Unités graphiques : $2$~cm pour une heure en abscisse et $10$~cm pour 1 mg en ordonnée.)
\item Le médicament est efficace lorsque la quantité de principe actif présente dans le sang est supérieure ou égale à $0,8$ mg.

À l'aide du graphique obtenu à la question 5, déterminer la durée pendant laquelle le médicament est efficace.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Biochimie septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie de laboratoire juin 2007
\hypertarget{MetroChimiejuin}{}

\label{MetroChimiejuin}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2007~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle :

\[(\text{E}) \quad 	y' - 2y = 0.\]

On note $f$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $f(0) = 1$ et $g$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $g(0) =2$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{2x}$.
		\item Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item  Sur l'annexe, à rendre avec la copie, figurent les courbes représentatives $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij.\\
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y =2$. Cette droite coupe respectivement les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ aux points A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ et placer les points A et B.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$   tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$   et celui de la droite $\mathcal{T}'$  tangente en B à la courbe $\mathcal{C}'$.
		\item Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4. Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante:

On tire au hasard une première boule de l'urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l'urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro.

À l'issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2~;~3) est différent du couple (3~;~2)).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, établir la liste des 16 couples possibles.
\item   Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur $16$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $A$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres pairs \fg.
		
Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $\dfrac{4}{16}$.
\item 	On note $B$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres impairs \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
\item 	On note $C$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres de parité différente \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
\end{enumerate}
\item 	On organise un jeu.

Un joueur mise 2~\euro{} et réalise ensuite l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $A$ est réalisé, le joueur reçoit 8~\euro{} de l'organisateur du jeu;
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $B$ est réalisé, le joueur reçoit 4~\euro{} de l'organisateur du jeu;
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $C$ est réalisé, le joueur donne 4~\euro{} à l'organisateur du jeu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.

Par exemple, s'il obtient le couple (2~;~2), son gain est 6~\euro{}.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
		\item On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.

Quelle aurait du être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(2x^2 - 5x +2\right)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on donne $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \text{e}^x = 0$).
		
En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.
	\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \left(2x^2 - x - 3\right)\text{e}^x$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ (préciser la valeur exacte de chaque extremum).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 2$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3].
		\item	Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du nombre $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et placer son point A d'abscisse $\alpha$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : calcul d'une intégrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $F$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[F(x)= \left(2x^2 - 9x+ 11\right)\text{e}^x.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\item   Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x$.
\item   Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}ANNEXE à rendre avec la copie

\vspace{2cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(1,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,0)(1,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(1,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.695}{2.71828 x 2 mul exp}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.348}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie de laboratoire juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie de laboratoire septembre 2007
\hypertarget{MetroChimiesep}{}

\label{MetroChimiesep}
\lhead{\small Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2007~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère la suite arithmétique $\left(\theta_{n}\right)$, de raison $\dfrac{\pi}{2}$ et de premier terme 

$\theta_{0} = \dfrac{\pi}{4}$. 

Exprimer $\theta_{n+1}$, en fonction de $\theta_{n}$. 
\item  On considère la suite géométrique $\left(\rho_{n}\right)$ de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $\rho_{0} =  8$.
 
Exprimer $\rho_{n+1}$ en fonction de $\rho_{n}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
 
On considère les nombres complexes $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$ de modules respectifs $\rho_{0},~\rho_{1},~\cdots,~ \rho_{n}$, et d'arguments respectifs $\theta_{0},~\theta_{1},~\cdots,~ \theta_{n}$. 

On note alors $M_{0},~M_{1},~\cdots,~M_{n}$ les points d'affixes respectives $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1& 2& 3 \\ \hline
$\rho_{n}$&8&&&\\ \hline
$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\theta_{n}$&$\dfrac{\pi}{4}$&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   En utilisant les résultats du tableau précédent, placer les points $M_{0},~M_{1},~M_{2}$ et $M_{3}$ sur la copie et tracer la ligne brisée $M_{0}M_{1}M_{2}M_{3}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) :

\[ 4y' + 5y = 0\]

où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$. 
\item  On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer alors en utilisant la question 1. que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}.\]
 
		\item Calculer $f'(0)$. 
		\item Sur l'annexe 1  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0.5~;~ 3]$. Construire, sur la figure de l'annexe 1 la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\item On note $D$ le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(7,7)
\psline{->}(-2,0)(7,0)\uput[d](7,0){$x$}
\psline{->}(0,-7)(0,7) \uput[l](0,7){$y$}
\defFunction{tromp}(u,v){u}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
sin mul}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
cos mul}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=0 2 0 360,function=tromp,linewidth=.5\pslinewidth,ngrid=25,RotZ=137]
\end{pspicture}
}
\hfill \parbox{0.55\linewidth}{
On note $V$ le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.

Calculer $V$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près). 

On rappelle que $V =  \pi\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$. }

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{I.}  On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ g(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 

Calculer $g'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$ 

$g'(x)  = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x^2}$.

\item Étudier le signe de $g'(x)$, suivant les valeurs du nombre réel $x$. 

Donner le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (on indiquera la valeur exacte de $g(\text{e})$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la valeur du nombre réel $x_{0}$ arrondie au dixième. 
		\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$, suivant les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{II.}  On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = (\ln x)^2  + x. \]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. 

\medskip

Sur l'annexe 2,  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle ]0~;~3].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		
Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[,$

$f'(x) = g(x)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. 
		\item Calculer la valeur de $f\left(x_{0}\right)$ arrondie au dixième (on utilisera pour $x_{0}$ la valeur 0,7). 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
		\item Étudier la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Construire la droite $\mathcal{T}$ sur la figure de l'annexe 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(3,4) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) 
\uput[dr](0,0){O}
\uput[ur](0,2){A}
\uput[l](-0.55,3.75){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.553}{3}{2.71828 1.25 x mul neg exp 2 mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(3,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(3,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3.2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)  
\uput[dr](0,0){O} 
\uput[u](2.8,3.6){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0.14}{2.88}{x ln 2 exp  x add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie de laboratoire septembre 2007
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique de laboratoire juin 2007
\hypertarget{MetroPhyjuin}{}

\label{MetroPhyjuin}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2007 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $1$~cm).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $P(z) =  z^3 +4z^2\sqrt{3} + 24z + 24\sqrt{3}$ où $z$ est une variable complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $P(z) = \left(z+2\sqrt{3}\right)\left(z^2+2z\sqrt{3}+ 12\right)$.
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \\$z^2+2z\sqrt{3}+ 12 = 0$.
\item  En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives  \[z_{\text{A}} =  -2\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + 3\text{i},~z_{\text{C}} = - \sqrt{3} -3\text{i}.\]
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item  Donner l'écriture exponentielle de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate}
\item 	$R$ est la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item  Montrer que l'image de A par $R$ est B. 
		\item  Calculer, sous forme algébrique, l'affixe de D, image de B par $R$.
	\end{enumerate}
\item 	Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [CD].
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que O est le centre de $\mathcal{C}$.
		\item  Montrer que les points A et B appartiennent à $\mathcal{C}$.
		\item  En déduire la nature des triangles CAD et CBD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

La tension $u$ aux bornes d'un circuit électrique vérifie l'équation différentielle (E) :

\[u'' + \np{3600}\pi^2  u =  0\]

dans laquelle $u''$ désigne la dérivée seconde de la tension par rapport au temps $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que :

\[f\left(\dfrac{1}{180}\right) = 0 ~~\text{ et}~~ f'(0) = - \dfrac{\pi}{2}\]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout réel $t$, on a :
		
\[f(t) = \dfrac{1}{60}\cos \left(60\pi t + \dfrac{\pi}{6} \right)\]

		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{1}{90}\right]$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par
 
\[g(x) = x^2 - 8\ln x + 8.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$.
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $g$ (l'étude des limites de $g$ n'est pas demandée).
	\end{enumerate}
\item  Donner une valeur approchée de $g(2)$ à $10^{-2}$ près, en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B : étude et représentation graphique d'une fonction}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique 1~cm.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par
 
 \[f(x) = \dfrac{x^2 - 8\ln x + 8}{x}\]
 
et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $f(x) = x - 3 + \dfrac{8\ln x}{x}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les limites en $0$ et en $+ \infty$ de $f(x)$.
		\item  En déduire l'existence d'une asymptote a la courbe $\mathcal{C}$, et en donner une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item  Vérifier que pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $f'(x)= \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire le signe de $f'(x)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
		\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection A de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de  $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
 
\[h(x) =  \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Vérifier qu'une primitive de $h$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $H$ définie par $H(x)  = (\ln x)^2$.
\item   En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 5$.
		\item  Calculer en cm$^2$ l'aire de la partie du plan hachurée ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée a $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Physique de laboratoire juin 2007
\newpage
%%%%%%%%%%  Métropole Physique de laboratoire septembre 2007  %%%%%%%%
\hypertarget{MetroPhysep}{}

\label{MetroPhysep}
\lhead{\small Physique de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2007~\decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 + 2\sqrt{3} z + 4 = 0.\] 

		\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. 
		\item Donner la forme exponentielle de chacune des solutions.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -\sqrt{3} + \text{i}$  et $z_{\text{B}} = -\sqrt{3} - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item On note E le symétrique du point A par rapport à O. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E. 
		\item On note D l'image de B par la rotation de centre O d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$. 
		
Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D 
		\item Placer les points A, B, E et D dans le plan complexe.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les points A, B, E et D sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item En déduire, en justifiant votre réponse, la nature du triangle AED.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle : 
	
\[16y'' + \pi^2 y = 0 \]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$ est une solution de (E) 
 vérifiant les deux conditions : 
\[f(1) = \sqrt{2}\quad  \text{et}  \quad f'(0) = 0.\]
 
\item  Résoudre, dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$, l'équation $f(x) = \sqrt{2}$. 
\item  Calculer la valeur efficace de $f$ sur [0~;~2], c'est-à-dire le réel positif I défini par : 

\[\text{I}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x.\] 
 
(On pourra utiliser la formule : $\cos ^2 a = \dfrac{1}{2}(1 + \cos 2a)$) 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = (x+1)\text{e}^x + 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
		\item  Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $g'$ la dérivée de $g$, calculer $g'(x)$ 
		\item  Étudier le signe de la dérivée $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que $g(x) > 0$ pour tout réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $a$ et $b$ deux réels, on désigne par $G$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[G(x) = (ax + b)\text{e}^x + 2x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $G$ soit une primitive de la fonction $g$. 
\item  La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ est donnée sur la feuille jointe en annexe qui est à rendre avec la copie. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, les deux axes de coordonnées et la droite d'équation $x = - 1$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{E}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Étude d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+\infty[$ par
 
\[ f(x) = \text{e}^x+ 2 \ln (x + 1).\]
  
On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $-1$. En déduire que la courbe $\Gamma$ admet une asymptote $\mathcal{D}$  dont on précisera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-1~;~+\infty[,~f'(x) = \dfrac{(x+1)\text{e}^x + 2}{x + 1}$.

		\item  En utilisant les résultats de la partie A, étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle  $\left[- \dfrac{9}{10}~;~0\right]$.
		\item Donner la valeur arrondie à $0,1$~près de $\alpha$. 
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\Gamma$ sur une feuille de papier millimétré dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-6,0)(3,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,0)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3,0){$x$} \uput[r](0,6){$y$}\uput[d](-4,1.9){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-6}{0.8}{2.71828 x exp x 1 add mul 2 add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Physique de labo septembre 2007
\end{document}