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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2010~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin  à septembre 2010}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{AntillesBio}{Antilles--Guyane  Biochimie juin 2010} \dotfill \pageref{AntillesBio}\\
\hyperlink{LaReunionBio}{La Réunion Biochimie juin 2010} \dotfill \pageref{LaReunionBio}\\
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\hyperlink{MetropoleChimie}{Métropole Chimie de laboratoire juin 2010} \dotfill \pageref{MetropoleChimie}\\
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\hyperlink{MetroPhy}{Métropole Physique  de laboratoire juin 2010} \dotfill \pageref{MetroPhy}\\
\hyperlink{MetroPhysep}{Métropole Physique  de laboratoire septembre 2010} \dotfill \pageref{MetroPhysep}\\
\end{tabularx}

\newpage
~ 
\newpage

\hypertarget{AntillesBio}{}

\label{AntillesBio}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Antilles--Guyane 
juin 2010~\decofourright}}\\

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans le cadre de la prévention des angines hivernales, une étude a été menée pour tester l'efficacité réelle d'un médicament constitué d'un cocktail de vitamines.
 
Dans ce but, on a sélectionné un échantillon de $600$ personnes réparties de manière aléatoire en trois groupes : 240~personnes dans le groupe A, 35\,\% de l'échantillon dans le groupe B, et le reste dans le groupe C.

\medskip
 
On a administré aux personnes du groupe A durant la période hivernale une dose journalière de ce médicament en le leur disant.
\medskip
 
On a administré aux personnes du groupe B un placebo (c'est-à-dire un comprimé neutre, ne contenant aucun élément médicinal actif), tout en leur disant qu'il s'agissait du médicament. 
\medskip

On a administré aux personnes du groupe C le médicament en leur disant qu'il s'agissait d'un placebo.

\medskip
 
Les résultats de l'étude sont recensés sur 600 fiches individuelles.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 28\,\% des fiches signalent un traitement efficace. Parmi celles-ci 72 fiches correspondent à des personnes du groupe B. 
\item[] 75\,\% des fiches correspondant aux personnes du groupe A ne signalent aucune amélioration significative. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
									&Groupe A	& Groupe B	& Groupe C	& Total\\ \hline 
Nombre de fiches signalant 
un traitement efficace				&			&			&			&\\ \hline 
Nombre de fiches ne signalant
 aucune amélioration significative	&			&			&			&\\ \hline 
Total								&240		&			&			& 600\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On choisit une fiche au hasard parmi les 600.
		 
On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $E_{1}$ : \og Il s'agit d'une fiche du groupe A. \fg, 
\item[] $E_{2}$ : \og Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace. \fg,
\item[] $E_{3} = E_{1} \cap E_{2}$. 
\item[] $E_{4} = E_{1} \cup E_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer les probabilités de ces quatre évènements. 
		\item On choisit au hasard une fiche du groupe B.
		 
On considère l'évènement $E_{5}$ : \og Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace. \fg.
 
Calculer la probabilité de l'évènement $E_{5}$. \emph{Le résultat sera arrondi  à $10^{-2}$}.
	\end{enumerate} 
\item Pour chacun des groupes, donner les fréquences en pourcentage des fiches signalant un traitement efficace. Commenter les résultats des groupes A, B et C en les comparant. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Trachypenaeus} est le nom d'une espèce de crevette se développant dans les eaux chaudes de l'île de la Guadeloupe.
 
L'objectif de l'exercice est l'étude de la croissance en taille de cette espèce en fonction de l'âge des crevettes.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Sur un échantillonnage et sur une courte durée, les relevés ont donné les résultats suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\begin{tabular}{l}Âge $t_{i}$ (en nombre\\
 de semaines)\\ \end{tabular} & 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Taille $y_{i}$ (exprimée\\
 en millimètre)\\ \end{tabular}& 10& 18& 25& 33& 40& 41& 50& 53\\ \hline 

\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit G le point moyen du nuage de points associé à ce tableau. On considère la droite $D$ passant par G et de coefficient directeur $6,14$. Déterminer une équation de la droite $D$. 
\item On considère que la fonction affine représentée par la droite $D$ traduit l'évolution de la taille en fonction de l'âge des crevettes avec les unités considérées. Déterminer selon ce modèle la taille d'une crevette de 12~semaines. 
\item On estime que l'espérance de vie d'une crevette \emph{Trachypenaeus} en haute mer est de 3~années. Calculer, avec le modèle retenu, la taille atteinte au bout de 3~ans. Commenter le résultat trouvé. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B} ({\footnotesize \emph{source: Ifremer}})

\medskip
 
En fait, des relevés sur une longue durée ont permis d'établir que la taille $L(t)$ des crevettes Trachypenaeus exprimée en millimètre en fonction de l'âge $t$ exprimé en semaines est donnée par :
 
\[L(t) = 87,5\left(1 - \text{e}^{- 0,12t}\right)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $L$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique. 
		\item Déterminer la dérivée $L'$ de la fonction $L$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $L$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, avec ce modèle, la taille d'une crevette de trois ans. 		
		\item Déterminer l'âge théorique d'une crevette de taille 80 mm.
 	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Tracer la courbe représentative de la fonction $L$ sur l'intervalle [0~;~15] et la droite $D$ de la partie A dans le même repère. On prendra pour unité graphique 1~cm pour une semaine en abscisse et 1~cm pour 10~mm en ordonnée. 
Donner une interprétation du graphique obtenu. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane Biochimie juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%   La Réunion Biochimie juin 2010
\hypertarget{LaReunionBio}{}

\label{LaReunionBio}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie La Réunion juin 2010~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un laboratoire a mis au point un test de dépistage d'une maladie non contagieuse, et souhaite en évaluer l'efficacité. Une étude est alors menée sur une population de \np{10000} individus dont on sait que 15\,\% sont touchés par la maladie.
 
On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 36 individus sont atteints par la maladie et présentent un test négatif 
\item[$\bullet~$] 0,34\,\% de la population étudiée présente un test positif et n'est pas malade.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et remplir le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\hspace*{-0.38cm}\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}	&Individu malade 	&Individu sain 	&Total\\ \hline 
Test positif 			&					&				&\\ \hline
Test négatif			&					&				&\\ \hline 
Total					&					&				& \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $M$ l'évènement : \og l'individu est malade. \fg 
\item[] $\overline{M}$ l'évènement : \og l'individu est sain. \fg 
\item[] $T_{+}$ l'évènement : \og le test est positif. \fg 
\item[] $T_{-}$ l'évènement : \og le test est négatif. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne de cette population, chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie.
 
Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale exacte.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ , puis la probabilité $p\left(T_{+}\right)$ de l'évènement $T_{+}$. 
		\item Définir à l'aide d'une phrase l'évènement $M \cap T_{+}$ et l'événement $M \cup T_{+}$, et calculer la probabilité de chacun d'entre eux.
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard un individu malade, chaque individu malade ayant la même probabilité d'être choisi.
 
Quelle est la probabilité $p$ que son test soit négatif ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
En conclusion de l'étude, le test est déclaré efficace lorsque moins de 3\,\% des individus malades présentent un test négatif, et que plus de 97\,\% des individus sains présentent un test négatif.
 
Ce test sera-t-il déclaré efficace ? 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(t) = 67 - \dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 }\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de la fonction $f$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$ .
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ et démontrer que pour tout réel $t$ positif ou nul : 
		
\[f'(t) = \dfrac{54\text{e}^{0,18t}}{\left(\text{e}^{0,18t} + 5 \right)^2}\]
	 
		\item Déterminer le signe de $f'(t)$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à $0,1$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&3	&5	&8	&10	&12	&14		&17	&20		&24	&28\\ \hline
$f(t)$	&17	&	&	&	&	&	&49,8	&	&59,8	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour 2~unités en abscisses et 1~ cm pour 10~ unités en ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Application}

\medskip
 
Pour préserver l'environnement, les français trient depuis de nombreuses années leurs déchets, en particulier le verre. Le tableau suivant donne l'évolution depuis 1985 du taux de recyclage du verre en France exprimé en pourcentage:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année								&1985&1990&1995&1999&2005\\ \hline 
Taux de recyclage du verre (en\,\%)	&16,7&26,8&39,5&49,7&59,7\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source INSEE}}
\end{tabularx}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ de la partie A modélise de façon satisfaisante le taux (exprimé en pourcentage) de recyclage du verre en France lorsque $t$ représente le nombre d'années qui s'écoulent depuis l'année 1985 (année qui correspond donc à $t = 0$).
 
Répondre aux questions suivantes en utilisant la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux de recyclage du verre en France pour l'année 2011 (on arrondira le résultat à $0,1$\,\% près). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul l'année ou le taux de recyclage du verre en France sera de $62,6$\,\%. 
		\item Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître sur le graphique de la partie A les traits de construction utiles.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Selon le modèle précédent, le taux de recyclage du verre en France sera-t-il un jour de 70\,\% ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin La Réunion Biochimie juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie juin 2010
\hypertarget{Metrobiojuin}{}

\label{Metrobiojuin}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole 
18 juin 2010~\decofourright}}\\

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiple :}

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
Relever sur la copie la référence de chaque question, suivie de la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard. La probabilité d'obtenir un valet ou un pique est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{11}{32}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La fonction $f$ définie sur $[-4~;~0]$ par $f(x) = \dfrac{x - 2}{2 - 3x}$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$f'(x) = - \dfrac{4}{(2 - 3x)^2}$&\textbf{b.}~~$f'(x) = \dfrac{8 - 6x}{(2 - 3x)^2}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{4}{(3x - 2)^2}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0,5~;~12]$ par $f(x) = \ln (x + 0,5)$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0,5$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$y = x + 0,5$&\textbf{b.}~~$y = x - 0,5$&\textbf{c.}~~$y = -x + 0,5 $\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Soit (D) la droite passant par les points A(5~;~30) et B(7~;~50). Le coefficient directeur de (D) est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$10$&\textbf{b.}~~$20$&\textbf{c.}~~$0,1 $\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une population de bactéries augmente de 20\,\% toutes les demi-heures. Initialement, la population est de 10 milliers de bactéries. Au bout de six heures, la population est environ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~72 milliers de bactéries&\textbf{b.}~~89 milliers de bactéries&\textbf{c.}~~144 milliers de bactéries\\
\end{tabularx}

\item Le comité d'entreprise d'un grand magasin veut organiser un voyage pour son personnel.
 
Il envoie donc un questionnaire aux employés pour connaître leurs préférences, reçoit $400$~réponses et construit le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
\multicolumn{1}{c|}{}	&À l'hôtel 	&En club 	&En croisière 	&Total\\ \hline 
En France				&14 		&26 		&20 			&60\\ \hline 
À l'étranger 			&266 		&34 		&40 			&340 \\ \hline
Total 					&280 		&60 		&60 			&400\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{A.} On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé préfère un séjour à l'hôtel est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$0,28$&\textbf{b.}~~$0,7$&\textbf{c.}~~$0,35$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{B.} On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé ne souhaite pas partir en club est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$0,65$&\textbf{b.}~~$0,75$&\textbf{c.}~~$0,85$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\textbf{C.} On choisit un employé au hasard parmi ceux qui ont décidé de partir à l'étranger. La probabilité qu'il préfère un séjour en club est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$0,3$&\textbf{b.}~~$0,1$&\textbf{c.}~~$0,85$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) \qquad : y'= -0,046y,\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ dérivable sur $\R$.

Résoudre l'équation (E). 
\item Une contamination accidentelle des aliments dans un élevage de porcs a provoqué une intoxication aigüe chez les animaux. On étudie alors l'élimination de la toxine incriminée chez un porc prélevé dans le cheptel. On sait que la concentration de la toxine dans le sang varie en fonction du temps $t$ suivant la relation : 

\[f(t) = C\text{e}^{-0,046t},\]
 
où $f(t)$ est la concentration exprimée en $\mu$g/L, à l'instant $t$ exprimé en jours. 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que cinq jours après l'intoxication la concentration est de 23,8$\mu$g/L, déterminer la constante $C$ (on arrondira le résultat à l'unité). 
		\item Déterminer alors la concentration initiale de la toxine dans le sang de l'animal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(t) = 30\text{e}^{-0,046t}.\]
 
On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. 
\item En déduire l'existence d'une asymptote (que l'on précisera) à la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item Pour tout nombre positif $t$, calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item On considère un repère orthonormal d'unités graphiques 1~cm pour 2~jours en abscisses et 1~cm pour 2~$\mu$g/L en ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $10^{-1}$ près) :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&	 0 & 	5 	&10 &15 & 20 & 25\\ \hline
$f(t)$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Placer dans le repère les points correspondants. 
		\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-1}$ près du coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $15$. Tracer alors cette tangente dans le repère précédent. 
		\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le même repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ étudiée dans la partie B modélise de façon satisfaisante la concentration de la toxine dans le sang de l'animal étudié.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul la concentration mesurée une semaine après l'intoxication. On arrondira le résultat à l'unité. 
		\item Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître les traits de construction utiles sur le graphique de la partie B.
	\end{enumerate} 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}
		
\medskip
		
On considère que la toxine n'est plus dangereuse pour le porc lorsque sa concentration atteint 10\,\% de la valeur initiale.
 
Déterminer le nombre de jours nécessaires pour annoncer que le porc est hors de danger. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%   Polynésie Biochimie juin 2010
\hypertarget{PolynesieBio}{}

\label{PolynesieBio}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2010~\decofourright}\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Une enquête est effectuée dans un établissement de \np{1250} élèves afin de connaître leur groupe sanguin.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Aucun élève n'est du groupe sanguin AB. 
\item[$\bullet~$] Il y a 650 garçons et 66\,\% d'entre eux sont du groupe A. 
\item[$\bullet~$] 42\,\% des élèves sont du groupe O et parmi ceux-là, il y a deux fois plus de filles que de garçons. 
\item[$\bullet~$]Il y a 12 filles du groupe B. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 	&B 	&O 	&Total\\ \hline 
Garçons	&	&	&	&\\ \hline  
Filles	&	&	&	&\\ \hline  
Total 	&	&	&	&\np{1250}\\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item On choisit au hasard un des élèves parmi les \np{1250}~élèves de l'établissement. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ : \og l'élève choisi est une fille \fg{}  est égale à $0,48$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $H$ : \og l'élève choisi est du groupe A \fg.
		 
Le résultat sera arrondi à $0,01$ près. 
		\item Définir par une phrase les évènements $F \cap H,~F \cup H,~ \overline{F} \cap  \overline{H}$ puis calculer chacune de leur probabilité. Les résultats seront arrondis à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{On choisit au hasard un élève du groupe B.}
 
Calculer alors la probabilité de l'évènement $G$ : \og l'élève choisi est un garçon \fg.

Le résultat sera arrondi à $0,01$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par : 

\[f(t) = 14 - t - 10\text{e}^{-0,8t}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction dérivée $f'$ de $f$ vérifie pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~8]

\[f'(t) = -1 + 8\text{e}^{-0,8t}.\]
 
\item Résoudre requation :
 
\[-1 +8\text{e}^{-0,8t} = 0.\]
 
Donner la valeur exacte $t_{0}$ de la solution de cette équation, puis une valeur arrondie au dixième. 
\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~8] l'inéquation :
 
\[-1 +8\text{e}^{-0,8t} > 0.\]
 
En déduire le signe de la dérivée de la fonction $f$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations. 
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$  au point d'abscisse $0$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $0,01$ près) :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&1	&2	&2,6&3	&4		&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&9,59	&	&	&	&5,98\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans un repère orthogonal, en prenant 2~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, construire les tangentes aux points d'abscisses $0$ et $t_{0}$ ainsi que la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On injecte une substance médicamenteuse dans le sang d'une personne et on surveille le taux de cette substance pendant 8 heures.
 
On considère que le taux de cette substance $\left(\text{en mg.l}^{-1}\right)$ en fonction du temps $t$ (en heures) est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À quel instant $t$ ce taux est-il maximum ? Exprimer cet instant en heures et minutes en utilisant la valeur approchée obtenue dans la partie A.
 
Quelle est alors la valeur du taux maximum de cette substance dans le sang du patient ? 
\item Pour les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles et les résultats seront arrondis à la demi-heure près.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'instant $t$ où le taux redevient inférieur à 8,5~mg.l$^{-1}$. 
		\item On considère que cette substance est active lorsque le taux est supérieur à 7~mg.l$^{-1}$.
		 
Déterminer graphiquement la durée pendant laquelle cette substance est active.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Biochimie juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie septembre 2010
\hypertarget{Metrobiosep}{}

\label{Metrobiosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole 14 septembre 2010~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous décrit l'évolution de la capacité mondiale de production d'électricité des éoliennes, depuis l'année 2000, en mégawatts (MW).

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline 
Production en mégawatts $y_{i}$&\np{16700} &\np{23600} &\np{29700} &\np{38700} &\np{46400} &\np{56000} &\np{72200} &\np{90000} &\np{120600}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, où $\ln \left(y_{i}\right)$ désigne le logarithme népérien de $y_{i}$.

\medskip
 
Les valeurs seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées $(0~;~9)$ et pour unités : 1~cm pour 1 année en abscisse et 5~cm pour 1 unité en ordonnée.

\medskip
 
\item On désigne par $G_{1}$ le point moyen des cinq premiers points du nuage et $G_{2}$ le point moyen des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et placer ces points sur le graphique. 
		\item Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ et déterminer son équation sous la forme 
		
$z = ax + b$. Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.
		 
On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.
	\end{enumerate} 
\item  	En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, exprimée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près. 
		\item Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pourrait atteindre \np{230000}~mégawatts. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

On étudie l'évolution d'une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps $t$. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d'individus, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[ f(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\text{e}^{0,5t} + 2},\]
 
où $t$ représente le temps écoulé depuis l'an 2000, exprimé en années (donc $t = 0$ en l'an 2000).
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat. 
		\item Montrer que : 

\[f(t) = 3 - \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2}.\]

		\item  En déduire la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
		 
Que peut-on en déduire sur l'évolution à long terme de cette population ?
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ vérifie, sur $[0~;~+ \infty[$ :
		 
\[f'(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2}\]
 
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$, puis établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous. 
On arrondira les valeurs à $10^{-2}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&  0& 2 & 4 & 6 & 8 &10\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
 
1~cm pour 1~année en abscisse, et 5~cm pour une centaine d'individus en ordonnée. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250~individus. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie septembre 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Chimie de labo juin 2010
\hypertarget{ChimieAntilles}{}

\label{ChimieAntilles}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles 17 juin 2010~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de de procédés industriels}} \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les deux nombres complexes $z$ et $z'$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l}
3z - z'&=&4\sqrt{3}\\ 
z + z' &=& 4\text{i}
\end{array}\right.$. 
\item  On considère les nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$ donnés par
: 

\[z_{1} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad z_{2} = - \sqrt{3} + 3\text{i}, \quad z_{3} = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$. 
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{3}$. 
	\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$. 
		\item Montrer que OAB est un triangle rectangle. 
		\item Déterminer l'affixe du milieu K du segment [AB]. 
		\item On note C le point d'affixe $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}z_{3}$.
		
Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
On estime que les émissions mondiales de CO$_{2}$ se sont élevées en l'an 2000 à 6,8~ milliards de tonnes, et que, depuis, l'augmentation de ces émissions est chaque année de 3\:\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $E_{0}$ la quantité de CO$_{2}$ émise en l'an 2000 et, pour $n$ entier naturel, $E_{n}$ la quantité émise en  l'an $2000 + n$. Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimer $E_{n}$ par l'égalité : 

\[E_{n} = 6,8 \times 1,03^n.\]
 
\item Selon ce modèle, quelle quantité de CO$_{2}$ serait-elle émise en 2010 ? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.	
\item Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1\up{er} janvier 2000  et le 31 décembre 2010 ? 
\item Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO$_{2}$ atteindrait-elle le double de ce qu'elle fut en 2000 ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm.

On note H le point de coordonnées $(\ln 3~;~\ln 3)$.

\medskip
 
On se propose à présent d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
  

\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}.$ 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$. 
\item Démontrer que les droites $D_{1}$ d'équation $y = x - 2$ et $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ courbe représentative de la fonction $f$. 
\item Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et des droites $D_{1}$ et $D_{2}$. 
\item Montrer que, pour tout réel $x$ : 

\[f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}.\]
 
Présenter le tableau de variation de $f$. 
\item Montrer que H est un point de $\mathcal{C}_{f}$. Tracer sur un même graphique la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ ainsi que la tangente en H à $\mathcal{C}_{f}$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, qu'on notera $x_{0}$, sur $\R$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Antilles Chimie de labo juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%  Métropole Chimie de labo juin 2010
\hypertarget{MetropoleChimie}{}

\label{MetropoleChimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle 

\[y'' + 25 y = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
 
\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes : $f(\pi) = - \sqrt{3}$ et $f'(\pi) = 5$. 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $t,~f(t) = 2\cos\left(5t + \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2\cos x = 1$. 
		\item En déduire les solutions dans $\R$ de l'équation $f(t) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

Un conteneur contient 100~flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10\:\% du produit P ;
\item[] 30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20\:\% du produit P ; 
\item[] 40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30\:\% du produit P ; 
\item[] 20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40\:\% du produit P ; 
\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50\:\% du produit P.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On tire au hasard un flacon du conteneur. On admet que tous les flacons ont la même probabilité d'être tirés.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon. Ainsi, si on tire l'un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10\:\%, $X$ prend la valeur $10$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\item Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100~flacons dans un même récipient. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Le produit P étant toujours dosé soit à 10\:\%, soit à 20\:\%. soit à 30\:\%, soit à 40\:\%, soit à 50\:\%, on souhaite obtenir E$(X) = 29,2$ en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  \dfrac{3}{2}x^2 - x^2 \ln x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ (on rappelle que la limite de $x\ln x$ lorsque $x$ tend vers $0$ est $0$). 
\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[f(x) = x^2\left(\frac{3}{2} - \ln x\right) + 1.\] 

En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		 
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

\[f'(x) = 2x(1 - \ln x).\] 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$. Indiquer les limites en $0$ et en $+ \infty$, ainsi que la valeur de l'extremum de la fonction $f$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle [4~;~5].
 
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 1~cm).
 
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ (faire figurer sur le tracé le point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$). 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{11}{18}x^3 -\dfrac{1}{3}x^3\ln x + x.\]
 
Vérifier que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 4$.
 
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$.
 
Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Métropole Chimie de labo juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie de Labo septembre 2010
\hypertarget{MetropoleChimiesep}{}

\label{MetropoleChimiesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 14 septembre 2011 Métropole~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle :
 
\[(\text{E}) :\quad  4 y'' + 25 y = 0,\]
 
dans laquelle $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ la fonction dérivée seconde de $y$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la fonction $f$, solution de (E) vérifiant : $f(0) = \sqrt{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$. 
\item Vérifier que, pour tout $t$ de $\R$, on a : $f(t) = 2\cos \left(\dfrac{5}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}, \quad  z_{\text{C}} = -2\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$. 
\item  Écrire les nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer les points A, B et C sur une figure. 
\item  Déterminer la nature du triangle ABC. 
\item  Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un rectangle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f( x) = - \text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4x - 5.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = \text{e}^{x}\left(- \text{e}^{x}  + 6 - 4x\text{e}^{-x} - 5\text{e}^{-x}\right)$.

 En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. 
		\item Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité:
		
		\[f'(x) = 2\left(\text{e}^{x} - 1 \right)\left(2 - \text{e}^{x} \right).\] 
		\item Étudier le signe de $f'$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. On calculera les valeurs exactes de $f(\ln 2)$ et $f(0)$.
	\end{enumerate}		 
\item Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera les résultats arrondis au centième.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$ &$- 0,8$ &$- 0,6$&$- 0,4$&$- 0,2$& 0		&0,2 	&0,4 	&0,6 	&0,8	&1\\ \hline 
$f(x)$	&	   &		&		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On placera les tangentes horizontales.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer ce domaine sur la figure. 
\item Montrer l'égalité : $\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^{-2}}{2} - 6\text{e}^{-1}  + \dfrac{5}{2}$. 
\item Exprimer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera un arrondi au centième de ce nombre. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie de Labo septembre 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%  Métropole Physique de laboratoire juin 2010
\hypertarget{MetroPhy}{}

\label{MetroPhy}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique est égale à 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 - 4z + 16 = 0.\]
 
\item On considère les points du plan A et B d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  	z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]
 
Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} - 2\text{i}$.
		 
Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item  Construire le cercle $\mathcal{C}$ et les points A, B, C. (On laissera apparaître les traits de construction)
	\end{enumerate} 
\item Soit le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 4\text{i}$. Montrer que le point D a pour image le point C par la 
rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
\item Montrer que le point E, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$, appartient au cercle $\mathcal{C}$. Placer le point E sur le graphique.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 
 
\emph{Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme de fraction.}

\medskip

Une urne contient des boules de couleur numérotées.
 
\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Une boule blanche numérotée \ding{'300}, que l'on notera B1, 
\item[$\bullet~$] Deux boules rouges numérotées \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera R2 et R3 
\item[$\bullet~$] Trois boules vertes numérotées \ding{'300}, \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera V1, V2 et V3.  
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On extrait une boule de l'urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l'urne. 

On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.
 
Par exemple (R2~;~V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée \ding{'301} et que la deuxième boule est verte numérotée \ding{'302}.
 
Pour répondre aux questions posées, on pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de résultats possibles. 
		\item On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]	$A$ : \og Les deux boules sont de la même couleur.\fg 
\item[] $B$ : \og Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. \fg
\item[] $C$ : \og Il y a au moins une boule blanche. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\end{enumerate}

\item Un jeu consiste à tirer 2 boules de l'urne, selon la méthode décrite dans la question 1.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.
 
Exemple : on associe au tirage (B1 ; V2) le nombre 2 car $1 \times 2 = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$. 
		\item Montrer que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur 9 est égale à $\dfrac{1}{15}$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sous forme de tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip 
 
Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.\]
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau de signes de la fonction $g'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, indiquer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ : 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6.5,2)
\psframe(6.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2)\psline[doubleline=true](1.7,0)(1.7,1)\psline(0,1)(6.5,1)
\uput[u](0.75,1.2){$x$} \uput[u](1.7,1.2){$0$} \uput[u](4,1.2){$1$} \uput[u](6.2,1.2){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.5){$g'(x)$}\rput(2.75,0.5){$-$} \rput(4,0.5){0} \rput(5.25,0.5){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center}

 
\item Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm.

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
	1 	1 lnx 
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
 	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :
		
\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}.\] 

En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif. 		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Donner, en justifiant, un encadrement d'amplitude $0,01$ du nombre réel $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point B d'abscisse $\text{e}^{\frac{1}{2}}$. 
		\item  Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}  
\item Tracer dans le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm) les droites $T$ et 	$\mathcal{D}$, ainsi que la courbe $\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \text{e}^{\frac{1}{2}}$ et $x = \text{e}$. 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie par $H(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée $E$ est, en unités d'aire,
 
\[\mathcal{A} = \dfrac{2\text{e}^2 + 6\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{8}.\]

En déduire une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%% fin Métropole Physique de laboratoire juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole Physique de laboratoire septembre 2010
\hypertarget{MetroPhysep}{}

\label{MetroPhysep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14  septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 14 septembre 2010~\decofourright\\[4pt] Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 2z\sqrt{6} + 8 = 0.  \]
 
\item  On considère les points A, B, C d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}\quad ; \quad  	z_{\text{B}} = - z_{\text{A}}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}. \]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$· 
		\item En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r > 0$. 
		\item Soit $\mathcal{R}$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{12}$. Quelle est l'image du point B par la 
rotation $\mathcal{R}$ ? Justifier la réponse.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On note $y$ une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : 

\[\dfrac{1}{4}y'' +y = 0.\]
 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ solution de l'équation (E), qui vérifie les  conditions suivantes :
 
\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \quad  \text{et} \quad  f'(0) = \sqrt{3}\]
 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = - \dfrac{3}{2} \cos (2x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x)$. 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) = -\sqrt{3} \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$· 
\item Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$. 
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}  \hfill 11 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :

\[f(x) = x - 1 - 2\text{e}^{-2x} + 5\text{e}^{-x}.  \]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{-x}\left(-2\text{e}^{-x} + 5 + x\text{e}^{x} - \text{e}^{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item Soit la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
 	\end{enumerate} 
\item Montrer que $f(\ln 4) = \dfrac{1}{8} + \ln 4$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = 	\dfrac{\left(\text{e}^{x} - 4\right)\left(\text{e}^{x} - 1\right)}{\text{e}^{2x}}$. 
		\item  Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}		 
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm).

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip	 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 4$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $E$ du plan en unités d'aire. En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Métropole Physique de laboratoire septembre 2010
\end{document}