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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 2011~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin  à septembre 2011}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{ReunionBiochimie}{La Réunion Biochimie juin 2011} \dotfill \pageref{ReunionBiochimie}\\
\hyperlink{MetroBiojuin}{Métropole Biochimie 17 juin 2011} \dotfill \pageref{MetroBiojuin}\\
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\hyperlink{MetroPhysep}{Métropole Physique  de laboratoire 13 septembre 2011} \dotfill \pageref{MetroPhysep}
\end{tabularx}

\newpage
~ 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Biochimie juin 2011
\hypertarget{ReunionBiochimie}{}

\label{ReunionBiochimie}
\lhead{\small STL  Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie La Réunion juin 2011~\decofourright}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\bigskip
 
On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

\bigskip
 

\textbf{A.} Sur les 800 élèves d'un lycée, 450 pratiquent un sport et parmi ceux-ci, $\dfrac{1}{3}$ sont des externes.

De plus 21,25\,\% des élèves du lycée sont des externes ne pratiquant aucun sport.
 
On interroge un élève au hasard parmi les 800 ; chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{450}$&
\textbf{b.~~}$\dfrac{9}{16}$&
\textbf{c.~~}$0,45$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La probabilité d'interroger un élève externe est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~}$0,32$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$0,4$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  La probabilité d'interroger un élève qui est externe ou qui pratique un sport est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{77}{80}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{31}{40}$&\textbf{c.~~} $0,75$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge au hasard un élève parmi les externes, la probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\np{0,46875}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{16}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln x - x$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\item  L'équation $f(x) = 0$ admet pour solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $0$&\textbf{b.~~} $1$&\textbf{c.~~} $\text{e}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item  La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $f'(x) = \ln x$&\textbf{b.~~} $f'(x)= \dfrac{1}{x} - 1$&\textbf{c.~~} $f'(x) = \ln x + x - 1$\\
\end{tabularx}

\medskip   
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{C.} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = 1 + \text{e}^{- x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En $+ \infty$ la courbe représentative de $f$ admet une asymptote d'équation : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $y = 0$&\textbf{b.~~} $y = 1$&\textbf{c.~~} $x = 0$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $F(x) = -  \text{e}^{- x}$&\textbf{b.~~} $F(x) = x +  \text{e}^{- x}$&\textbf{c.~~} $F(x) = x -  \text{e}^{- x}$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{D.} Soit l'équation différentielle $y' + 2 y = 0$ ; parmi les solutions de cette équation, on considère la solution particulière $f$ telle que $f(0) = 3$. L'expression de $f(x)$ sur $\R$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 3\text{e}^{- 2x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 3\text{e}^{2x}$&\textbf{c.~~} $f(x) = -3\text{e}^{- 2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip   

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique d'une courbe de titrage}

\medskip
 
Dans une solution d'acide chlorhydrique, on verse un volume $v$ (en mL) d'une solution d'hydroxyde de sodium et on mesure à chaque étape de l'expérience le pH de la solution obtenue.
 
Un élève a fait les mesures suivantes (pH arrondi à $0,1$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline 
Volume $v$ (ml) de NaOH versé &0 	&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12 	&14\\ \hline
pH 							  &2,2 	&2,3	&2,4 	& 2,5 	&2,6 	&2,7	&2,9	&3,8\\ \hline\hline
Volume $v$ (ml) de NaOH versé &16 	&18 	&20 	&22 	&24 	&26 	&28 	&30\\ \hline 
pH 							  &7 	&10,1 	&11 	&11,3 	&11,4 	&11,5 &11,6 	&11,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $(C)$ de titrage obtenue à partir du tableau ci-dessus.
 
Unités : en abscisses 1 cm pour 2~mL ; en ordonnées 1~cm pour unité de pH. 
\item  À l'équivalence le pH de la solution est $7$. Quel volume de solution d'hydroxyde de sodium a été versé à l'équivalence ? 
\item  Quel est le pH initial de la solution d'acide chlorhydrique ? 
\item  Au point E(16~;~7), la courbe $(C)$ admet une tangente (T) de coefficient directeur égal à
2. Déterminer l'équation de la tangente (T) et tracer cette tangente sur la courbe du 1. 
\item  Pour un volume $v$ de solution d'hydroxyde de sodium versé inférieur strictement à 12~ml, on cherche à décrire à l'aide d'une fonction l'évolution du pH en fonction du volume $v$. Quel type de fonction pourrait-on proposer ? Déterminer cette fonction. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'un modèle mathématique}

\medskip
 
On considère que la courbe $(C)$, obtenue en partie A, est la représentation graphique de la fonction $f$ 
définie sur [0~;~30] par 

\[f(x) = 0,05 x + 10,2 - \dfrac{8}{1 + \text{e}^{x - 16}}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la valeur exacte de $f(16)$ est $7$. 
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'on peut écrire : 
 
\[f'(x) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{x - 16}}{\left(1 + \text{e}^{x - 16}\right)^2}\]
 
\item  Justifier que, pour tout $x$ réel de [0~;~30], $f'(x) > 0$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur cet intervalle. 
\item  Soit $\left(T_{\text{A}}\right)$ la tangente à $(C)$ au point A$(14~;~f(14))$ et soit $\left(T_{\text{B}}\right)$ la tangente à $(C)$ en B$(18~;~f(18))$.
 
Montrer que $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{B}}\right)$ sont deux droites parallèles. 
\item  On donne $f(14) = 3,85$ et $f(18) = 10,15$ à $10^{-2}$ près. À quel point du graphique de la première partie de l'exercice correspond le milieu de [AB] ? (Justifier). 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion Biochimie juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie juin 2011
\hypertarget{MetroBiojuin}{}

\label{MetroBiojuin}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole 17 juin 2011~\decofourright}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans un refuge animalier, pendant 12 semaines é partir du 1\up{er} juillet 2010, on a noté, pour chaque semaine, le nombre de cas confirmés d'animaux atteints du virus V. On a obtenu le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de la semaine : $x_{i}$&1 	&2 &3 &4 &5 &6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline 
Effectif : $y_{i}$			&2 	&1 &4 &6 &6 &10 &10 &14 &10 &13 &13 &17\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère orthonormal d'unité 1~cm. 
\item  Déterminer les coordonnées, sous forme de fraction, du point moyen $G_{1}$ de la série des six premières valeurs, ainsi que celles du point moyen $G_{2}$ de la série des six dernières valeurs. 
\item  Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ sur la figure précédente et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = \dfrac{4}{3}x+ \dfrac{1}{6}$. 
		\item Si l'on considère que cette droite est la droite d'ajustement de la série, quel serait le nombre de cas confirmés d'animaux atteints du virus au cours de la 15\up{e} semaine ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Pour des raisons sanitaires, le refuge doit fermer dés que le nombre de cas dépasse l'effectif de 50~animaux atteints du virus. Si cette épidémie se poursuit, et si l'on admet que l'ajustement défini à la question précédente reste valable, devra-t-on fermer le refuge avant sa désinfection annuelle, qui a lieu pendant la dernière semaine de décembre (26\up{e} semaine) ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par l'expression :

\[f(t) = 5\text{e}^{- 0,35t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~6]. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (donner les valeurs arrondies au dixième) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0 	&0,5&1 	&1,5&2 	&2,5 	&3 	&3,5 	&4 	&4,5 	&5 	&5,5 	&6\\  \hline 
$f(t)$	&5	&	&	&	&2,5&		&	&		&	&		&	&		&0,6\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item Tracer la courbe représentative $(C)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal en prenant pour unité 2~cm sur chaque axe. 
\item Résoudre graphiquement, sur l'intervalle [0~;~6], l'inéquation : $f(t) \leqslant 1$.
 
On fera apparaître les traits de construction.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : injection d'un médicament}

\medskip
 
Lorsque la pénicilline est injectée directement dans le sang, on considère que sa vitesse d'élimination est, à chaque instant, proportionnelle à la quantité de pénicilline présente dans le sang à cet instant.

\medskip
 
Ainsi, la quantité de pénicilline $Q(t)$, exprimée en milligrammes, présente dans le sang à l'instant $t$ ($t \geqslant 0$, exprimé en heures), est solution de l'équation différentielle :
 
\[Q'(t) = -a Q(t),\quad \text{où}\, a\,  \text{est un réel}.\]
 
À l'instant $t = 0$, on injecte une dose de 5~mg de pénicilline.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 0$ : $\quad  Q(t) = 5\text{e}^{at}$. 
\item Sachant qu'au bout de 2 heures, la quantité de pénicilline présente dans le sang a diminué 
de moitié, montrer que : $a = \dfrac{\ln 2}{2}$. Donner une valeur arrondie de $a$ au centième.  
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ définie à la partie A décrit de façon satisfaisante la quantité de pénicilline présente dans le sang entre $0$ et $6$ heures.
 
Déterminer à partir de quel instant, exprimé en heures et minutes et arrondi à la minute, la quantité de pénicilline présente dans le sang sera inférieure à 1~mg. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Biochimie juin 2011
\hypertarget{PolynesieBio}{}

\label{PolynesieBio}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2011~\decofourright}\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Un institut de surveillance sanitaire a publié pendant un an des bulletins hebdomadaires relatifs à l'épidémie du chikungunya sur l'île de La Réunion.
 
Le tableau ci-dessous indique le nombre $n$ estimé de personnes nouvellement contaminées par semaine entre le 13 février et le 2 avril 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Numéro de la semaine $x_{i}$&7 			&8 			&9 			&10 		&11 	  &12 &13\\ \hline 
Nombre de personnes $n_{i}$ 
nouvellement contaminées	&\np{23850} &\np{16650} &\np{11620} &\np{8100} 	&\np{5660} &\np{3950} &\np{2750}\\ \hline
\end{tabularx} 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tracé du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~n_{i}\right)$ montre qu'un ajustement affine n'est pas judicieux. On choisit un changement de variable 

$y_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$ pour obtenir un ajustement affine convenable.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Numéro de la semaine $x_{i}$& 7 &8 	&9 	&10 &11 &12 	&13\\ \hline  
$y_{i}$						&	&	&	&	&	&8,28	&\\ \hline 
\end{tabularx} 
 
\medskip 
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier en le complétant le tableau ci-dessus en donnant les résultats arrondis à $0,01$ près. 
		\item Représenter le nuage de points $N_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On prendra comme unités : 1~cm pour 1~semaine en abscisse et 4~cm pour 1 en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées $(0~;~6)$.
	\end{enumerate} 
\item  On appelle $G$ le point moyen du nuage obtenu. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G$. Placer ce point sur le graphique. 
		\item On choisit de prendre comme ajustement affine la droite passant par $G$ et le point $N_{6}(12~;~8,28)$.
		 
Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = m x + p$.
	\end{enumerate} 
\item  En utilisant l'équation obtenue à la question 2. b. : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de personnes nouvellement contaminées la semaine numéro 15.
		
En réalité le nombre de personnes nouvellement contaminées s'élève à \np{1500} : que pensez vous de l'ajustement ? Quel est le pourcentage d'erreur ? 
		\item Déterminer à partir de quelle semaine, le nombre $n$ de personnes nouvellement contaminées sera inférieur ou égal à \np{1000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Au mois de mars 2006, l'île de la Réunion compte \np{780000}~habitants dont 30\,\% sont contaminés par le chikungunya. Dans cette population les personnes de moins de 25 ans représentent 40\,\% et parmi elles 12,5\,\% sont contaminés. Les personnes âgées de 25 à 55 ans représentent également 40\,\% mais elles sont trois fois plus contaminées. 

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline   
Âge								& moins de 25 ans	& de 25 à 55 ans& plus de 55 ans &Total\\ \hline 
Nombre de personnes non contaminées&				&			&				&\\ \hline 
Nombre de personnes contaminées	&					&			&				&\\ \hline 
Total							&					&			&				&\np{780000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item On choisit au hasard un habitant. On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og La personne est contaminée \fg. 

$B$ : \og La personne a plus de 55 ans \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A~\cup~B$.
	\end{enumerate} 
\item  On choisit au hasard une personne de plus de 55 ans. Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[y' = \left(-\dfrac{1}{3} \ln 2\right)y \quad (1)\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ cette équation. 
\item Déterminer la fonction $f$ solution de (1) qui vérifie la condition initiale 

$f(0) = 5$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[F(t) = 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t}.\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$	est tracée sur le document en annexe \textbf{que vous devrez rendre avec votre copie}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $F(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ? En donner une interprétation graphique. 
\item Soit $F'$ la fonction dérivée de $F$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $F'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$	au point d'abscisse $0$. La tracer dans le repère en annexe. 
	\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[,\, F(t + 3) = \dfrac{1}{2}F(t) \quad (2)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Le nombre de cellules, exprimé en millions, d'une culture cellulaire soumise à une expérimentation est modélisé, en fonction du temps, par la fonction $F$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment interpréter l'égalité (2) de la question B. 3. ? 
\item Déterminer l'instant $t$ (en heures et minutes) où le nombre de cellules n'est plus que de \np{750000}. 
\item Retrouver graphiquement le résultat en faisant apparaître les tracés utiles.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Annexe}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.6667cm,yunit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16.5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(17,5.5)
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%\multido{\n=0.25+0.50}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(16.5,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](15.5,-0.25){$t$ en heures}\uput[r](0,5.65){$y = F(t)$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{5 2.71828 2 ln 3 div x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Biochimie juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Biochimie septembre 2011
\hypertarget{MetroBiosep}{}

\label{MetroBiosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole~\decofourright\\[4pt]septembre 2011}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
\textbf{Questionnaire à choix multiples :}

\medskip
 
\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

\medskip
 
\textbf{A.} Dans les laboratoires de recherche d'une université, on compte 130 personnes dont 100~techniciens. Ces 130~personnes se répartissent de la façon suivante : 45~hommes, 85~femmes dont 60~femmes techniciennes.
 
On choisit au hasard une personne de ces laboratoires (chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce soit une femme est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{6}{13}$ 	&\textbf{b.~~} $\dfrac{17}{26}$&\textbf{c.~~}  0,85\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La probabilité que ce soit une femme ou un technicien est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{21}{26}$ 	&\textbf{b.~~} $\dfrac{23}{26}$&\textbf{c.~~}  $\dfrac{25}{26}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item On choisit maintenant un homme. La probabilité qu'il soit technicien est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{4}{13}$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{8}{9}$&\textbf{c.~~}  $0,4$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\end{enumerate}

\textbf{B.} Soit $X(t)$ le nombre de bactéries présentes dans un milieu donné à l'instant $t$ (exprimé en heures). On admet que la fonction $X$ est solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle (E) : $y^{\prime} = (\ln 2)y$.
 
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$  par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $y = C\text{e}^{(\ln 2)t}$ &\textbf{b.~~} $y = (\ln 2)t + C$&\textbf{c.~~}  $y = C \ln t + 2$\\
\multicolumn{3}{l}{$C$ désignant un réel quelconque}
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Sachant qu'à l'instant $t = 0$, il y a $10^4$ bactéries, on admet que la solution de l'équation (E) peut s'écrire : $y = 10^4 \times 2^t$. 

À combien d'individus peut-on estimer la population de bactéries, arrondie à la centaine, au bout de 2~heures 30~minutes ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \np{56600} &\textbf{b.~~} \np{23000} &\textbf{c.~~}  \np{49200}\\
\end{tabularx}

\medskip  

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C.}  Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $]-\infty~;~+ \infty[$ par $f(x) = x\text{e}^x$.
 
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La dérivée $f^{\prime}$ de $f$ est définie par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = ( x + 1)\text{e}^x$&\textbf{c.~~}  $f'(x) = (x - 1)\text{e}^x$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty~;~+ \infty[$ est définie par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $F(x) = \text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $F(x) = (x + 1)\text{e}^x$&\textbf{c.~~}  $F(x) = (x - 1)\text{e}^x$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Laquelle de ces trois propositions est exacte ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ &\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$&\textbf{c.~~}  La droite d'équation $x = 0$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

On observe l'évolution d'une culture microbienne.
 
On note $x$ le nombre de microbes à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en heures. Les mesures obtenues sont consignées dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'heures : $t_{i}$&2 &3 &4 &5 &6 &8\\ \hline% 
Nombre de microbes exprimé en milliers : $x_{i}$&0,9 &1,5 &2,5 &4 &6,7 &18\\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip 

Le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~x_{i}\right)$ obtenu ne permet pas d'effectuer un ajustement affine satisfaisant. On pose alors $y = \ln(x)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'heures : $t_{i}$ 		&2 	&3 	&4 		&5 	&6 		&8\\ \hline%   
$y_{i} = \ln \left(x_{i}\right)$&	&	&0,92	&	& 1,90	&\\ \hline%  
\end{tabularx}

\medskip 

\item Construire le nuage de points $N_{i}$ de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal en prenant comme unité graphique : 2~cm. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage (\emph{on arrondira les coordonnées de G à $10^{-2}$ près}) et placer ce point $G$ sur le graphique précédent. 
\item On admet que la droite d'ajustement affine (D) a pour équation : $y = 0,5t + b$.
 
Calculer la valeur du réel $b$ (valeur arrondie à $10^{-1}$ près) pour que la droite (D) passe par le point $G$, puis tracer la droite (D). 
\item En utilisant le graphique, déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 11~milliers d'individus (\emph{on expliquera la démarche utilisée et on laissera les traits de construction apparents}). 
\item Déterminer par le calcul le nombre $x$ de microbes présents dans le milieu de culture au bout de 10~heures (\emph{on arrondira au millier}).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{0,5t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer $f^{\prime}(t)$, où $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$, et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le tableau de variations de $f$. 
\item On admet que la fonction $f$ décrit l'évolution de la population bactérienne de la partie A de cet exercice.
 
Résoudre l'équation $f(t) = 11$ et interpréter le résultat. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Biochimie septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Antilles--Guyane Chimie de Labo juin 2011
\hypertarget{ChimieAntilles}{}

\label{ChimieAntilles}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles juin 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.}
 
\emph{Le candidat doit recopier sur sa copie la réponse qu'il estime correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne l'équation d'inconnue $z$ dans $\C :\quad z^2 - z + 1 = 0$.

Les solutions de cette équation sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z = \cos \dfrac{5\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{\pi}{6} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{2\pi}{3} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z' = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Une primitive $F$ de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\dfrac{1}{\text{e}^x + 1}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans une entreprise, une machine fabrique des flacons en verre, de 500~mL. Un flacon peut présenter l'un des deux défauts suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item défaut A : le volume n'est pas conforme 
\item défaut B : le verre est de mauvaise qualité
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sur un lot de 100 flacons, les informations suivantes sont données :

\begin{description}
\item[ ] 10 présentent au moins le défaut A 
\item[ ] 6 présentent au moins le défaut B 
\item[ ] 2 présentent les deux défauts simultanément.
\end{description}
 
	\begin{enumerate}
		\item On tire au hasard un flacon dans le lot. Chacun des flacons ayant la même probabilité d'être tiré. La probabilité qu'un flacon ne présente aucun défaut est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 		 
0,86 &0,84 &0,18\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item  Un flacon sans défaut rapporte 3~\euro{} à l'entreprise, un flacon avec un seul défaut coûte 1~\euro{} à l'entreprise et un flacon avec les deux défauts coûte 4~\euro{} à l'entreprise.
		 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon choisi au hasard dans le lot de 100, associe le gain (positif ou négatif) correspondant.
 
L'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
0	&2,38	&$-2$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

	\end{enumerate}
\item On donne l'équation différentielle (E) : $3 y' = 2 y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.
 
La solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 3$ est définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x) = - 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{-\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip
 
La désintégration du Thorium, corps radioactif, donne du Radium.
 
On désigne par $N_{0}$ le nombre d'atomes dans un échantillon de Thorium à l'instant $t = 0$, par $N_{1}$ le nombre d'atomes de Thorium un jour après, et, pour tout entier naturel $k$, par $N_{k}$ le nombre d' atomes de Thorium $k$ jours après.
 
On sait que le nombre d'atomes de Thorium diminue de 3,7\,\% par jour.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $N_{1}$ en fonction de $N_{0}$ puis $N_{k+1}$ en fonction de $N_{k}$. 
\item En déduire la nature de la suite $\left(N_{k}\right)$ en précisant sa raison et son premier terme. 
\item Un échantillon contient $10^{20}$~atomes à l'instant $t = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que $N_{k} = 10^{20}\times  0,963^k$. 
		\item Déterminer le nombre d'atomes de Thorium dans cet échantillon au bout de 2~ans (on admettra qu'il y a 365~jours par an). 
		\item Au bout de combien de jours le nombre d'atomes sera-t-il égal à la moitié de sa valeur initiale ? (Cette durée  s'appelle période ou demi-vie d'un corps radioactif).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ par 

\[f(x) = 2\text{e}^x - \text{e}^{2x}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ ; interpréter géométriquement le résultat obtenu. 
\item  On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty~;~1]$ , on note $f'$ sa dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $]-\infty~;~1],\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(1 -  \text{e}^x\right)$. 
		\item Résoudre sur $]-\infty~;~1]$ l'équation $f'(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$. Indiquer la limite en $- \infty$ ainsi que les valeurs exactes de $f(0)$ et  $f(1)$.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $M$ le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de l'abscisse de $M$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en $M$. 
	\end{enumerate}
\item  Construire $T$ et $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty~;~1]$. 
		\item Justifier graphiquement le signe de $f(x)$ sur $[0~;~\ln 2]$. 
		\item On considère le domaine $D$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$.
		 
Montrer que l'aire du domaine $D$ est égale à 12,5 cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin AntillesGuyane Chimie de Labo juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Chimie de Labo juin 2011
\hypertarget{MetropoleChimie}{}

\label{MetropoleChimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 17 juin 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Pour  tout nombre complexe $z$, on note $P(z)$ le nombre complexe défini par : 

\[P(z) = z^3 - 8z^2 + 24z - 24.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$. 
\item Déterminer des nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait 

\[P(z) = (z - 2)\left(z^2 +az + b\right).\]
 
\item  Résoudre dans  l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

\[z^2  -6z + 12 = 0.\]
  
\item  En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation : 
\[P(z) = 0.\] 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On note A, B,  C les points du plan complexe d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\quad  ;\quad z_{\text{B}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} =  3 - \text{i}\sqrt{3}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces trois points dans le repère \Ouv. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{B}}$.
		\item En déduite le module et un argument de $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.  
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Les points A, B, C appartiennent à un même cercle. Donner son centre et son rayon. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise produit et commercialise des articles destinés à l'industrie chimique.

Ces articles sont susceptibles de présenter au plus trois défauts.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui à tout article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le nombre de défauts. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			& 0 	&1 		&2 		&3\\ \hline% 
$P(X = k)$	& 0,917 & $\cdots$&0,016	&0,005\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau en déterminant la valeur de $P(X = 1)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item Calcule l'écart type de $X$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

Le prix de vente d'un article est fixé à 350~\euro, son prix de fabrication est de 100~\euro.
 
Si l'article est défectueux, l'entreprise le répare avant sa mise sur le marché. Pour chaque défaut, le coût de réparation s'élève à 40~\euro.

Le bénéfice réalisé par l'entreprise sur la vente  d'un article est alors égal au prix de vente de l'article diminué du prix de fabrication et de montant d'éventuelles réparations.

\medskip
 
On note $Y$ la variable aléatoire qui à tout  article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le bénéfice (en \euro) 
réalisé par l'entreprise lors de la vente de cet article. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer les quatre valeurs prises par la variable aléatoire $Y$. 
\item Dresser le tableau donnant la loi de  probabilité de $Y$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de $Y$. 
\item Donner une estimation du bénéfice que l'entreprise peut espérer faire sur la vente de \np{10000}~articles. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = 1 + x  - \text{e}^{2x}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice. 

\begin{enumerate}
\item Au vu de ce graphique, dresser un tableau de variations possible de $f$ sur $\R$. 
\item Conjecturer le signe de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.15cm}\begin{pspicture}(-11,-10)(11,10)
\psframe(-11,-10)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(-11,-10)(11,10)
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{1.248}{1 x add 2.71828 x 2 mul exp sub}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} 

\medskip

\emph{Les variations et le signe de $f$ sur $\R$ sont-ils réellement ce qu'ils semblent être ? C'est à cette question que se propose de répondre la partie B.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on désigne par $f'$ la fonction dérivée  
de $f$. Déterminer l'expression de $f'(x)$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1- 2\text{e}^{2x} \geqslant  0$.
 
En déduire le signe de $f'$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\, f(x) = 1 + \text{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dresser alors le tableau des variations de $f$ sur $\R$. Déterminer  la valeur exacte de son extremum. 
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-0,8~;~0,7]$  une unique solution $\alpha$. 
		\item Préciser la valeur exacte de $f(0)$ et une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f\left(- \dfrac{\ln 2}{2}\right)$. 
		\item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$. 
	\end{enumerate}
\item Que peut-on dire de la conjecture envisagée à la fin de la partie A ? 
\item Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 4~cm. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
 
Construire la portion de $C$ correspondant à des abscisses $x$ comprises entre $-1,5$ et $0,5$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $P$ la partie du plan limitée par les droites d'équation $x = -\dfrac{1}{2}$ et $x = 0$ d'une part, l'axe des abscisses  et la courbe $C$ d'autre part.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer $P$ sur le graphique réalisé à la question B. 6. 
\item Démontrer que la fonction $F$ définie par $F(x) =  x + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$
est une  primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Démontrer que l'aire de $P$ est égale à $\dfrac{4 - \text{e}}{8\text{e}}$ unités d'aire.  
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole  Chimie de Labo juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Chimie de Labo septembre 2011
\hypertarget{MetropoleChimiesep}{}

\label{MetropoleChimiesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 13 septembre 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 64$.

Déterminer des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$:\: $P(z) = (z - 4)\left(z^2 + az + b\right)$.
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
\item  On munit le plan complexe d'un repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4$,\: $z_{\text{B}} = - 2 + 2 \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y''+ 4y = 0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle précédente qui vérifie les conditions suivantes :

\[(0) = 1 \quad \text{et} \quad  f'(0) = 2\sqrt{3}.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$,\: $f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$  l'équation $f(x) = \sqrt{3}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2x - 5)\text{e}^x.\]

On munit le plan d'un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est 1~cm. On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement avec
l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ puis sa limite en $- \infty$.
\item  La fonction $f$ est dérivable. On désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f'(x) = (2x - 3)\text{e}^x$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. On fera figurer les limites trouvées précédemment et la valeur de l'extrémum de la fonction.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point B.
\item  Représenter la courbe $(\mathcal{C})$, les points A et B et la droite $T$.
\item  Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non
fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer des réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(X) = (ax + b)\text{e}^x$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \dfrac{5}{2}$. 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Chimie de Laboratoire septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole  Physique de Labo  juin 2011
\hypertarget{MetroPhyjuin}{}

\label{MetroPhyjuin}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédé industriels }}\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} direct d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - z^2 + 2.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $-1$ est une racine du polynôme $P$. 
\item Déterminer les réels $a,\,b$ et $c$ tels que : $P(z) = (z + 1)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On appelle A, B, C et D les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - 1 \quad ; \quad z_{\text{B}} = 1 + \text{i} \quad;\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i} \quad\text{et}\quad z_{\text{D}} = 1 - 4\text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. 
		\item Montrer que le point B est l'image du point C par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle ABD est rectangle en A. 
		\item En déduire l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABD. 
		\item Déterminer l'affixe du point E tel que le quadrilatère ABED soit un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip 

On estime qu'une batterie de téléphone portable perd, à chaque charge, 0,2\,\% de sa capacité. La capacité initiale de la batterie, notée $C_{0}$, est de 800~mAh (milliampères-heure). Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la capacité restante après la $n$-ième charge.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $C_{1},\: C_{2}$ et $C_{3}$ arrondies à l'unité près. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\, C_{n+1} = 0,998 C_{n}$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$. On donnera son premier terme et sa raison.
	\end{enumerate} 
\item Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la valeur arrondie à l'unité près de la capacité restante de la batterie après 100 charges. 
\item On considère que la batterie est hors d'usage lorsque sa capacité est inférieure à 10~mAh.
 
Déterminer à partir de combien de charges la batterie est hors d'usage. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\emph{La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première partie.}

\medskip
 
\textbf{Première partie : résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle
 
\[(\text{E}) :\quad  y' + y = 2x - \dfrac{3}{2}\]
 
où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad  y' + y = 0$. 
7 
\item Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = 2x - \dfrac{7}{2}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x) = C\text{e}^{-x} + u(x)$ où $C$ est un réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $h$ est solution de l'équation (E). 
		\item Déterminer le nombre réel $C$ tel que $h(0) = - \dfrac{1}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : étude de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{-x}\left(2x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} + 3\right)$, puis en déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - \dfrac{7}{2}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : calcul d'une aire}

\medskip
 
On appelle $\mathcal{E}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de l'ordre de grandeur en cm$^2$ de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en calculant l'aire d'un trapèze \footnote{On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $\dfrac{B + b}{2} \times h$, où $B,\, b$ et $h$ sont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur.} que l'on précisera. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en unités d'aire. Donner sa valeur arrondie en cm$^2$ à $0,01$ cm$^2$ près. 
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole  Physique de Labo juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Physique de Laboratoire septembre 2011
\hypertarget{MetroPhysep}{}

\label{MetroPhysep}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{13  septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 13 septembre 2011~\decofourright\\[4pt] Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante : 

\[z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]
 
Les solutions seront données sous forme algébrique. 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i},\quad z_{\text{C}} = 6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les formes exponentielles des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ c'est-à-dire leur écriture sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r$ nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
		\item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$. 
		\item Construire avec précision les points A, B et C. 
		\item Calculer les longueurs OA, OC et AC. En déduire la nature du triangle OAC.
	\end{enumerate} 
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. On définit le point D comme l'image 
du point A par cette rotation. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la forme algébrique de l'affixe de D notée $z_{\text{D}}$. 
		\item À l'aide de la question 2. a., déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{D}}$. 
		\item Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin  \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante :

\[ y^{\prime\prime} + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction définie sur $\R$ et $y^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la solution générale de (E). 
\item Déterminer la solution particulière, notée $f$, de (E) telle que 

\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}\quad \text{et}\: f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = - 4,\: \text{où}\: f'\: \text{est la dérivée de la fonction}\: f.\] 

\item Vérifier que $f$ peut s'écrire sous la forme : $f(t) = 4 \cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 9 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\textbf{Partie A\quad   Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = 1 - 2x - 2 \ln x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction $g^{\prime}$, dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur cet intervalle (les limites ne sont pas demandées). 
\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~1\right[$.
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. 
\item En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B\quad  Étude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x + \ln x}{x^2} + 3 \]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{2}{x} + 3$.
		 
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement les résultats des limites précédentes.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et montrer que pour tout $x$ strictement positif : $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$ dans le repère orthonormé \Oij. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie C\quad   Calcul d'aire }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{E}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique. 
\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $H(x) = 	\dfrac{- \ln x - 1}{x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [1~;~e]. 
 
Montrer que la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{E}$ est $3\text{e} - \dfrac{2}{\text{e}}$ unités d'aire. 
\end{enumerate} 
\end{document}