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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale S 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S  2000~\decofourright \\\vspace{0,5cm} L'intégrale d'avril 2000  à mars 2001}}
 
 \vspace{0.5cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}
 
\vspace{0.5cm}

{\Large 
	
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2000} \dotfill \pageref{Pondichery}\medskip

\hyperlink{Amerique du Nord}{Amérique du Nord juin 2000} \dotfill \pageref{Amerique du Nord}\medskip

\hyperlink{Antilles-Guyane2}{Antilles-Guyane juin 2000} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane2}\medskip

\hyperlink{Asie}{Asie juin 2000} \dotfill \pageref{Asie}\medskip

\hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers juin 2000} \dotfill \pageref{Centres etrangers}\medskip

\hyperlink{Metropolejuin}{Métropole  juin 2000} \dotfill \pageref{Metropolejuin}\medskip

\hyperlink{La Reunion}{La Réunion juin 2000} \dotfill \pageref{La Reunion}\medskip

\hyperlink{Liban}{Liban juin 2000} \dotfill \pageref{Liban}\medskip

\hyperlink{Polynesiejuin}{Polynésie juin 2000} \dotfill \pageref{Polynesiejuin}\medskip

\hyperlink{Antilles-Guyane}{Antilles-Guyane septembre 2000} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane}\medskip
	
\hyperlink{Metropolesept}{France septembre 2000} \dotfill \pageref{Metropolesept}\medskip	
	
\hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 2000} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\medskip
	
\hyperlink{Nouvelle-Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 2000} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonie}\medskip

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud  décembre 2000} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\medskip

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2001} \dotfill \pageref{Caledoniemars}\medskip
\medskip}
\vspace*{0.5cm}
\begin{center} Tapuscrit : Denis Vergès
\end{center}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2000
\newpage
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}} 
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry juin 2000~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On appelle $D_1$ l'évènement : \og La clef numéro 
1 n'ouvre pas la porte \fg. Calculer sa probabilité.
\item On appelle $D_2$ l'évènement : \og La clef numéro 2 n'ouvre 
pas la porte \fg. Calculer la probabilité que l'évènement $D_2$ se réalise, sachant que l'évènement $D_1$ est réalisé.

En déduire la probabilité de l'évènement $D_1 \cap D_2$.

On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre 
pondéré. 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement :
 \og Les clefs numéros 1  et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas \fg{} ?
\item Pour $1 \leqslant i < j \leqslant 
5$, on note $(i~;~j)$ l'évènement : \og Les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ \fg, et $P(i~;~j)$ la 
probabilité de cet évènement. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2~;~4)$.
		\item Calculer $P(4~;~5)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct 
\Ouv~ ; unité graphique 4~cm.
 
On appelle B le point d'affixe i et M$_1$ le point d'affixe : 

\[z_1 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}(1 - \text{i}).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$.
\item Soit M$_2$ le point d'affixe $z_2$, image de 
M$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Déterminer le module et un argument de $z_2$. 

Montrer que le point M$_2$ est un point de la droite $(D)$ d'équation $y = x$. 
\item Soit M$_3$ le point d'affixe $z_3$, image de 
M$_2$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3} + 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z_3 = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} (1 + i).$
		\item Montrer que les points M$_1$ et M$_3$ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item Construire, à la règle et au compas, les points M$_1$,~ M$_2$ et M$_3$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.
\item À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ (distinct de B), on associe 
le point $M'$, d'affixe $Z$ telle que $Z = \dfrac{1}{\text{i} - z}$.

Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ du plan ($M$ distinct de B) tels que $M'$ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer 
les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7. 
		\item Démontrer que, pour tout $n,\: 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7.		 
En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le même reste dans la division par 7. 
		\item À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{\np{1000}}$ par 7. 
		\item De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ?		 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: 3^n$ est premier avec 7. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7.
		\item Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7.
 
En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$ Étude de la fonction $g ~: ~x \mapsto \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$

\medskip 

Soit la fonction $g$ définie sur $]- 3~;~3[$ par : $g(x) = \ln\left(\dfrac{3 + x}{3 - x}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de la fonction $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $g$ en $- 3$ et en $3$.		 
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur [0~;~3[.
		
Dresser son tableau de variation sur $]- 3~;~3[$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit \Oij{} un repère orthonormal d'unité graphique 4 centimètres. Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans ce repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente ($T$) à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. 
		\item Tracer dans le repère la courbe ($\mathcal{C}$) et sa tangente ($T$). 
	\end{enumerate} 
\item Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto xg(x)$.		
		\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, de la portion de plan délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée au mm$^2$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ Partie B}

\medskip
 
$\star$ Étude d'une courbe paramétrée

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres.
 
Soit la courbe paramétrée ($\Gamma$) définie par : 

\[\left\{ \begin{array}{r c l} 
x(t) & = & t\left(3 - t^2\right)\\ 
y (t) & = & tg (t) 
\end{array}\right. \quad \text{pour}\quad t \in [-2~;~2].\]
 
où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A. On note $M(t)$ le point de coordonnées 
$(x(t)~;~y (t)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer d'une part $x(t)$ et $x(- t)$ et d'autre 
par $y(t)$ et $y(- t)$. 
		\item Par quelle transformation peut-on passer de $M(t)$ à $M(- t)$ ?
		 
En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. 
	\end{enumerate} 
\item Étudier la fonction $x ~:~ t \mapsto t \left(3 - t^2\right)$ et dresser son tableau de variations sur [0~;~2]. 
\item En utilisant la partie \textbf{A.}, montrer que la fonction 
$t \mapsto y(t)$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~2]. 
\item Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions 
$t \mapsto x(t)$ et $t \mapsto y(t)$ sur [0~;~2].
\item Pour quelles valeurs de $t$ l'abscisse de $M(t)$ est-elle nulle ?
 
Préciser alors les ordonnées des points correspondants de ($\Gamma$).
 
\item Tracé de ($\Gamma$) 
	\begin{enumerate}
		\item Placer, dans le repère \Oij, les points 
M(0), M(1), M$\left(\sqrt{3}\right)$ et M(2) qui correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, $\sqrt{3}$ et 2 du paramètre $t$. 
		\item Préciser un vecteur directeur des tangentes à ($\Gamma$) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.		 
		\item Tracer ($\Gamma$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2000  
\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord juin 2000
\hypertarget{Amerique du Nord}{}

\label{Amerique du Nord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}} 
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}\hfill 5 points

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
 
Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul.
 
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' = 
-~\dfrac{1}{z}$, puis le point $I$ milieu du segment $[MM']$. L'affixe de 
$I$ est donc $\dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z}\right)$.
 
Note : les questions \textbf{2, 3} et \textbf{4} sont largement indépendantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une relation entre les modules de $z$ 
et $z'$.
 
Donner une relation entre leurs arguments. 
		\item Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_1$ d'affixe $z_1$ sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point $M'_1$, puis le 
point $I_1$ milieu du segment $[M_1 M'_1]$. Effectuer cette construction. 
	\end{enumerate}
	 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(10,10) 
\pscircle(5,5){2,25} \pscircle(5,5){4,5} 
\pscircle*(9,7.061){0,05} \pscircle*(3,3.97){0,05} 
\psline(5,0.5)(5,10) \psline(0.2,5)(9.8,5) 
\uput[dl](5,5){O} 
\uput[ur](9.2,7.3){$M_{1}$} \uput[dl](3,3.8){$M_{2}$} 
\rput(6,4.7){$\vect{u}$} \rput(4.6,6.2){$\vect{v}$} 
\psline{->}(5,5)(7.25,5) \psline{->}(5,5)(5,7.25) 
\uput[dr](6.5,3.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
  
\item Pour cette question, $\theta$ est un réel et $M$ est le point d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sous forme algébrique l'affixe de $I$. 
		\item Sur la figure jointe est placé le point $M_2$ d'affixe $z_2$ sur le 
cercle $\mathcal{C}$, de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en 
utilisant le résultat de la question \textbf{2 a}, on peut obtenir géométriquement le point $I_2$ milieu du segment $[M_2M'_2]$ .

Effectuer cette construction.

Donner (sans justification) l'ensemble décrit par $I$ lorsque $M$ décrit 
$\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels $M$ et $I$ sont confondus. 
		\item Développer $(z - 2 \text{i})^2 + 3$.
		
Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est 2i. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, d'affixe
 
$z = x + \text{i}y~~(x$~et $y$ réels). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe de $I$. 
		\item Déterminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient à l'axe des abscisses.
		\item Déterminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient  à l'axe des ordonnées. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement obligatoire}
 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(5.5,7)
\psset{unit=0.8cm} 
\psline(0,0)(5,0) %OA 
\psline(0,0)(0,5) % OD 
\psline(5,0)(5,5) % AE 
\psline(1.4,1.7)(1.4,6.7) % CG 
\psline(6.4,1.8)(6.4,6.8) % BF 
\psline(1.4,1.7)(6.4,1.7) % CB 
\psline(1.4,6.7)(6.4,6.7) % GF 
\psline(0,5)(5,5) %DE 
\psline(0,0)(1.4,1.7) % OC 
\psline(0,5)(1.4,6.7) % DG 
\psline(5,5)(6.4,6.8) % EF 
\psline(5,0)(6.4,1.8) % AB 
\rput(0,-0.3){O} \rput(5,-0.3){A} \rput(6.6,1.8){B} 
\rput(1.6,1.9){C} 
\rput(-0.3,5){D} \rput(4.8,5.2){E} \rput(6.4,7){F} 
\rput(1.4,7){G} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}
 
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L'espace est orienté par le repère orthonormal direct $\left(\text{O}~ ;~ 
\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right)$. 
On désigne par $a$ un réel strictement positif.
 
$L,~ M$ et $K$ sont les points définis par $\vect{\text{O}L} = a 
\vect{\text{OC}},~ \vect{\text{O}M} = a \vect{\text{OA}}$, et $\vect{\text{B}K} = a \vect{\text{BF}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur 
$\vect{\text{D}M} 
\wedge \vect{\text{D}L}$. 
		\item En déduire l'aire du triangle D$LM$. 
		\item Démontrer que la droite (O$K$) est orthogonale au plan (D$LM$). 
	\end{enumerate} 
\item On note $H$ le projeté orthogonal de O (et de $K$) sur le plan 
(D$LM$). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\vect{\text{O}M} \cdot{} \vect{\text{O}K} = 
\vect{\text{O}H} \cdot \vect{\text{O}K}$. 
		\item Les vecteurs $\vect{\text{O}H}$ et $\vect{\text{O}K}$ étant 
colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que 

$\vect{\text{O}H} = \lambda\vect{\text{OK}}$.

Démontrer que $\lambda = \dfrac{a}{a^2 + 2}$. 
En déduire que $H$ appartient au segment [O$K$]. 
		\item Déterminer les coordonnées de $H$. 
		\item Exprimer $\vect{HK}$ en fonction de $\vect 
{\text{O}K}$. En déduire que $HK = \dfrac{a^2 - a + 2}{\sqrt{a^2 + 2}}$. 
	\end{enumerate} 
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du 
tétraèdre DL$MK$ en fonction de $a$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et 
isocèle en O.
 
On a donc $(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}) = 
\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.
 
On note $R_{\text{A}}$ et $R_{\text{B}}$ les rotations de centres respectifs 
A et B et de même angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $S_{\text{O}}$ la symétrie de 
centre O.
 
On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés 
B$ED$C et AC$FG$ directs. On a donc $(\vect{\text{B}E},~ 
\vect{\text{BC}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$ et 
$(\vect{\text{AC}},~ \vect{\text{A}G}) = 
\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer S$_{(\text{AO})} 
\circ S_{(\text{AB})}$ composée des réflexions d'axes (AB) et (AO). 
		\item En écrivant $R_{\text{B}}$ sous la forme d'une composée de deux réflexions, 
démontrer que $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}} = S_{\text{O}}$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image de $E$ par $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}}$.		 	\item En déduire que O est le milieu du segment [E$G$]. 
		\item On note $R_{F}$ et $R_{D}$ les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.
		 
Étudier l'image de C par la transformation $R_{F} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. 
Déterminer la transformation R$_{\text{F}} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. 
\item Placer $H$ le symétrique de $D$ par rapport à O.
 
Démontrer que $R_{F}(H) = D$. Démontrer que le triangle 
$F$O$D$ est rectangle et isocèle en O. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}}\hfill 10 points

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,~+~ \infty[$ par : 
\[\left \{ \begin{array}{l c l } 
f(x) & = & \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2}\text{e}^{-~\frac{1}{x}}~ \text{pour}~x > 
0\\ 
f(0)& = &0. 
\end{array}\right.\] 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij{} (unité graphique 5~cm). 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$. 
\item Pour $x > 0$ , calculer $\dfrac{f(x) - f(0)}{x}$. Étudier la limite de 
cette expression quand $x$ tend vers 0. (on pourra utiliser, pour $n$ entier 
naturel non nul,

$\displaystyle\lim_{u \to +~\infty} u^n\text{e}^{-u} = 0$.
 
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ? Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Démontrer que pour tout $x$ de $]0, +~ \infty[$ on a $f'(x) = 
\dfrac{1 - x}{x^4}\text{e}^{- \frac{1}{x}}$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau des 
variations de $f$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = f(x)  - xf'(x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans $]0~;~+ \infty[$, les équations $g(x) = 0$ et 
$x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$ sont équivalentes. 
\item Démontrer que l'équation $x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$ admet une seule racine 
réelle $\alpha$ dont on justifiera un encadrement à $10^{- 2}$ près. 
\item On pose $A = \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}$. Encadrer $A$ à $2 \times 
10^{- 1}$ près (justifier) et montrer que 

$A = f'(\alpha)$. 
\item Pour tout $a > 0$, on note $T_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au 
point d'abscisse $a$.
Montrer que $T_{a}$ a pour équation $y = Ax$. Tracer $T_{a}$, puis la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes $T_{a}$ à $\mathcal{C}$ (en des points d'abscisses non nulles), seule $T_{\alpha}$ passe par l'origine O.
\item On admettra que $T_{\alpha}$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ sur 
$]0~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions 
de l'équation $f(x) = m$ , suivant le réel $m$ donné. 
		\item Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = mx$ selon le réel $m$ donné. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour $n \in \N$* on pose $u_{n} = \displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 
f(x)\:\text{d}x$. Sans calculer explicitement $u_{n}$, déterminer le signe de 
$u_{n+1} - u_{n}$. En déduire que la suite $(u_{n})$ est croissante. 
\item Démontrer que la fonction $h$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = (x + 1)\text{e}^{-\frac{1}{x}}$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item Calculer $u_{n}$. Interpréter graphiquement le résultat. 
\item Étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% ANTILLES-GUYANE juin 2000
\hypertarget{Antilles-Guyane2}{}

\label{Antilles-Guyane2} 
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip
 
Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de 
suite pour voir deux films A et B.
 
Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.
 
Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont 
revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la 
semaine précédente.

Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. 
On considère les évènements suivants :
 
$A_1$ \og la personne interrogée a vu le film A le premier samedi \fg{} ;
 
$A_2$ \og la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi \fg{} ;
 
$B_1$ \og la personne interrogée a vu le film B le premier samedi \fg{} ;

$B_2$ \og la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi \fg.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités suivantes : $p(A_1)$ et $p(A_2)$.
		\item Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants : 

\[p(A_2/A_1),~ p(A_2/B_1)~ \text{et}~ p(A_1 \cap A_2)\]
 
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=2.8cm,nodesep=3.5pt]{\Tr{}} 
{ 
\pstree{\Tr{$A_{1}$}\taput{?}} 
{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$} 
\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$} 
\tbput{?}} 
\pstree{\Tr{$B_{1}$}
\taput{?}}{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$} 
\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$}\tbput{?}} 
}
\end{center}
\bigskip
 
		\item Retrouver à partir de l'arbre pondéré que $p(A_2) = \dfrac{8}{11}$. 
	\end{enumerate} 
\item Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film $B$.

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne 
interrogée, des deux séances de cinéma. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z + 
7$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(-~1)$ . 
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait :
		 
\[P(z) = (z+1)\left(z^2 + az + b\right).\]
 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. 
	\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par A,\: B,\: C et G  les points du plan d'affixes respectives
 
\[z_{\text{A}} = - 1,~z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{\text{G}} = 3.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser une figure et placer les points A,\:B,\:C et G. 
		\item Calculer les distances AB,~ BC et AC. En déduire la nature du triangle 
ABC. 
		\item Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$ . En déduire la nature du triangle GAC. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
\[\left(-~\vect{M\text{A}} + 2\vect{M\text{B}} + 
2\vect{M\text{C}}\right) \cdot\: \vect{\text{CG}} = + 12~~ (1)\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés 
\[\left\{(\text{A},~- 1)~ ;~(\text{B},~2)~ ;~ (\text{C},~2) 
\right\}.\] 
		\item Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation 
$\vect{\text{G}M}\cdot\: \vect{\text{CG}} = - 4 \:\: (2)$. 
		\item Vérifier que le point A appartient à l'ensemble $(D)$. 
		\item Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation 
$\vect{\text{A}M} .\: \vect{\text{GC}} = 0$. 
		\item En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Les points $A_0 = \text{O}~;~A_1~;~\ldots~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21~côtés, de sens direct.
 
Les points $B_0 = \text{O}~;~B_1~;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15~côtés, de sens direct.
 
Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$ 
et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$.
 
On définit la suite $(M_n)$ de points par :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  $M_0$ est l'un des points $A_0,~ A_1,~ A_{2},~\ldots,~ A_{20}$ ;
\item  pour tout entier naturel $n,~ M_{n + 1} = r_{\text{A}}(M_n).$

On définit la suite $(P_n)$ de points par :
\item  $P_0$ est l'un des points $B_0,~ B_1,~B_{2},~\ldots,~B_{14}$ 
\item  pour tout entier naturel $n,~ P_{n + 1} = r_{\text{B}}(P_n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant : 

\[M_n = P_n = \text{O}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $M_0 = P_0 =$ O. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la position du point $M_{\np{2000}}$ et celle du point $P_{\np{2000}}$. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $M_n = P_n =$ O.

En déduire l'ensemble $S$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M_0 = A_{19}$ et $P_0 = B_{10}$.
 
On considère l'équation $(E) : 7x - 5y = 1$ avec $x \in \Z$ et $y \in 
\Z$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une solution particulière $(a~;~b)$ de $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$. 
		\item En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_n = P_n = $O. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par : 

\[ f(x) = x\ln \left(x^2\right) - 2x.\] 

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{}; unité graphique : 1~cm.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A - Étude de} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x > 0,\: f(x) = 2x\ln x - 2x$ puis que $f(x) = 
2x\ln\dfrac{x}{\text{e}}$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+~\infty$.
		\item Montrer que $f$ est dérivable en tout $x > 0$ ; calculer $f'(x)$ 
pour $x > 0$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ . 
		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection de la courbe 
$(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet sur l'intervalle [1~;~5] une unique solution et en donner la valeur décimale arrondie à $10^{-~2}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Calcul d'aires}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +~ \infty[$ par 

\[\left\{ \begin{array}{l c l} 
F(0)& =& 0\\ 
F(x)& =& x^2\ln x-2 - \dfrac{3x^2}{2} \quad \text{si} \quad x > 0\\ 
\end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ ; montrer que $F$ est dérivable en 0 et préciser $F'(0)$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+~\infty[ ,\: F'(x) = f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère pour chaque entier $n$ positif ou nul, la droite $D_n$ d'équation 
$y = nx$.
 
On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe $(\mathcal{C})$ et des droites 
$D_0,~ D_1 ,~ D_2.$
 
\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture}(-5,-5)(20,22) 
\multido{\d=-5+1}{28}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=0.4pt](-5,\d)(20,\d)} 
\multido{\d=-5+1}{25}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\d,-5)(\d,22)} 
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(20,22) 
\psline(-2,-2)(20,20) 
\psline(-1,-2)(11,22) 
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{9.15}{x 2 exp ln x mul x 2 mul sub} 
\rput(18,0.5){$D_{0}$} \rput(16,18){$D_{1}$} 
\uput[r](6,9){\blue $(\mathcal{C})$} \rput(11,19){$D_{2}$} 
\end{pspicture} 
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $I_{n}$, d'abscisse strictement positive, intersection de $(\mathcal{C})$ et de $D_n$.
 
On appelle $P_n$ le point de l'axe des abscisses de même abscisse 
que $I_n$. Placer les points $I_0,~ I_1,~ I_2,~ P_0, P_1, P_2$ sur la figure 
donnée en annexe.
		\item Déterminer la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $D_{n}$ pour les 
abscisses appartenant à $]0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout $n \geqslant 1$ , on considère le domaine $A_{n}$ situé dans le quart de 
plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$, délimité par $(\mathcal{C}),~ 
D_{n-1}$ et $D_{n}$.
 
On note $a_{n}$ son aire, exprimée en unités d'aire. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire apparaître les domaines $A_1$ et $A_2$ sur la figure. 
		\item Calculer l'aire $t_n$ du triangle O$P_{n}I_{n}$ , en unités 
d'aire. 
		\item Calculer l'aire $u_n$, en unités d'aire, du domaine situé dans le quart de 
plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$, délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des 
abscisses, et les parallèles à l'axe des ordonnées passant par $P_{0}$ 
et $P_{n}$. 
		\item Vérifier que l'aire $v_{n}$ en unités d'aire, du domaine situé dans le quart 
de plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ , délimité par $(\mathcal{C})$ , l'axe des 
abscisses et $D_{n}$, est $v_n = t_n - u_n = \text{e}^2\left(\text{e}^n - 1\right)$. 
		\item Calculer alors $a_n$. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est une suite géométrique.\\ 
En préciser la raison et le premier terme. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2000
\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2000
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}\hfill 4 points
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité 
qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{1}{3}$ . Lorsqu'elle 
a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au 
lancer suivant est égale à $\dfrac{4}{5}$. On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.
 
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les évènements suivants :

$A_n$~: \og Alice atteint la cible au $n\up{e}$ coup \fg.

$B_n$~: \og Alice rate la cible au $n\up{e}$ coup \fg.

On pose $P_n = p(A_n)$.

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{4}{15}$. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, 

\[p_n = \dfrac{2}{15}p_{n - 1} + \dfrac{1}{5}.\]
 
\item Pour $n \geqslant 1$ on pose $u_n = p_n - \dfrac{3}{13}$. 
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le 
premier terme $u_1$ et la raison $q$. 
\item Écrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +~\infty} p_n.$ 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2 cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - \text{i}~;~ z_{\text{B}} = 3~;~ z_{\text{C}} = 2 + 
3\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = - 1 + 2\text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item Placer sur une figure les points A,\:B,\:C et D. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le module et l'argument 
du complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - 
z_{\text{B}}}$. 
		\item Calculer le complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - 
z_{\text{B}}}$. 
		\item Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
		 
		\item Calculer l'aire $s_0$ du quadrilatère ABCD. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure précédente les points 
$\text{A}_1,~ \text{B}_1,~ \text{C}_1$ et $\text{D}_1$ tels que
 
$\vect{\text{DA}_1} = \vect{\text{A}_1\text{B}_1} = 
\vect{\text{B}_1\text{C}}$, où les points $\text{A}_1$ et 
$\text{B}_1$ appartiennent à [DC], le quadrilatère $\text{A}_1\text{B}_1 
\text{C}_1\text{D}_1$ étant un carré situé à l'extérieur du quadrilatère 
ABCD. 
		\item Tracer le carré $\text{A}_1\text{B}_1 
\text{C}_1\text{D}_1$ et déterminer son aire $s_1$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On continue par le même procédé : un carré 
$\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$ étant déterminé, on considère 
les points $\text{A}_{n+1},~\text{B}_{n+1},~\text{C}_{n+1}$ et $\text{D} 
_{n+1}$ tels que 

$\vect{\text{D}_n\text{A}_{n+1}} = 
\vect{\text{A}_{n + 1}\text{B}_{n + 1}} = \vect{\text{B} 
_{n+1}\text{C}_n}$ où les points 
$\text{A}_{n+1}$ et $\text{B}_{n + 1}$ appartiennent à $[\text{D}_n 
\text{C}_n]$, le quadrilatère 
$\text{A}_{n+1}\text{B}_{n+1}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n+1}$ étant un carré 
situé à l'extérieur du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$

Tracer le carré $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2$. 
\item Soit $s_n$ l'aire du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$.

Exprimer $s_{n + 1}$ en fonction de $s_n$, puis de $n$.

En déduire $s_n$ , en fonction de $n$. 
		\item Déterminer, en fonction de $n$, l'aire $S_n$ de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés $\text{A}_1\text{B}_1 \text{C}_1\text{D}_1,~\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2 
,~\ldots$ et $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$ 
		\item La suite $(s_n)$ est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer PGCD$(\np{2688}~;~\np{3024})$. 
\item Dans cette question, $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes
		
$(1)~ \np{2688}x + \np{3024}y = - \np{3360}$;

$(2)~ 8x + 9y = -~10.$ 
		\item Vérifier que $(1~;~- 2)$ est une solution particulière de l'équation 
(2). 
		\item Déduire de ce qui précède les solutions de (2). 
	\end{enumerate} 
\item Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace.
 
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives 
\[x + 2y - z = - 2 \quad \text{et} \quad 3x - y + 5z = 0.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D). 
		\item Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l'équation 
(2).
		\item En déduire l'ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{Problème}\hfill 11 points 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un 
repère orthonormal \Oij ; unité graphique : 5~cm. 

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+~ \infty$. Déterminer les 
asymptotes de $(\mathcal{C})$.
\item Étudier le sens de variation de $f$. Dresser le tableau 
de variation de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1\right]$ une solution unique, notée 
$\alpha$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{- 2}$.
 
Donner, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ sur 
$]0~;~+~\infty[$.
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B Calcul d'aire} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(D)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie, pour tout $x > 0$, par : 

\[\varphi(x) = x - x^2 + \ln x.\] 

Calculer $\varphi'(x).$
 
En déduire le sens de variation de $\varphi$, puis le signe de 
$\varphi(x)$, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que, pour tout $x > 0,~f(x) - x = \dfrac{\varphi(x)}{x}$. 
		\item En déduire la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(D)$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère le domaine limité sur le graphique par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et la tangente $(D)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer ce domaine.
		\item Soit $\mathcal{A}$ son aire, en cm$^2$. Écrire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ 
comme expression polynomiale du second degré en $\alpha$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C Étude d'une suite}

\medskip
 
Soit $x_{0}$ un réel appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$. On note $M_{0}$ le point de $(\mathcal{C})$d abscisse $x_{0}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $(T_{0})$ 
à $(\mathcal{C})$ en $M_{0}$, en fonction de $x_{0},~f\left(x_{0}\right)$ et $f'\left(x_{0}\right)$.
		\item Soit $x_{1}$ l'abscisse du point d'intersection de $\left(T_{0}\right)$ avec l'axe des  abscisses. Écrire $x_{1}$ en fonction de $x_{0},\:f\left(x_{0}\right)$ et 
$f'\left(x_{0}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $h$ définie sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$ par : 

\[h(x) = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.~\text{(On remarquera que}~ 
h\left(x_{0}\right) = x_{1}).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $h'(x) = \dfrac{f''(x) \times f(x)}{[f'(x)]^2}$. 
		\item Calculer $f''(x)$ et étudier son signe sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$. 
		\item En déduire que $h$ est strictement croissante sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~ 
\alpha \right]$, puis montrer que $x_{1} < \alpha$. 
		\item En écrivant $h(x) - x = - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$ , étudier le signe de $h(x) - x$ sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$
		
En déduire que $\dfrac{1}{\text{e}} < x_{0} < x_{1} < \alpha$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right],~ h(x)$ appartient à $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha\right]$. 
		\item On considère la suite $\left(x_{n}\right)$ de réels définie par $x_{0}$ et $x_{n+1} = h\left(x_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$.
 
Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est strictement croissante. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Étranger groupe 1 juin 2000
\hypertarget{Centres etrangers}{}

\label{Centres etrangers} 
\lfoot{\small Centres étrangers} 
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions.

Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, 
indiscernables au toucher. 
\begin{enumerate} 
\item On tire simultanément au hasard 3 boules de l'urne.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
$E_1$ : \og Les boules sont toutes de couleurs différentes. \fg
 
$E_2$ : \og Les boules sont toutes de la même couleur. \fg
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées.
 
Établir la loi de probabilité de $X$.
 
Calculer l'espérance mathématique de $X$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2.
 
On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de 
l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne avant de procéder au tirage suivant.
 
On effectue ainsi $k$ tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

On se propose d'étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} d'unité 1~km. Le 
plan \Oij{} représente le sol.

Les deux \og routes aériennes \fg{} à contrôler sont représentées par deux droites (D$_1)$ et (D$_2)$ , dont on connaît des représentations 
paramétriques :
 
(D$_1) \left\{ \begin{array}{l c l} 
x& =& 3+\phantom{3}a\\ 
y& = &9+3a\\ 
z& = &2 
\end{array}\right.~\text{avec}\quad a \in \R \quad(\text{D}_{2})~\left 
\{ \begin{array}{l c l} 
x 	&=	&0,5 + 2b\\ 
y	& =	&4\phantom{,2} + \phantom{2}b\\ 
z	& = &4\phantom{,2} - \phantom{2}b 
\end{array}\right. \text{avec} \quad b \in \R$. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer les coordonnées d'un vecteur $\vect{u_1}$ directeur de la droite (D$_1)$ et d'un vecteur $\vect{u_2}$ directeur de la droite (D$_2)$. 
		\item Prouver que les droites (D$_1)$ et (D$_2)$ ne sont pas coplanaires. 
	\end{enumerate} 
\item On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées 
S(3~;~4~;~0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté 
par une droite notée (R) . Soit (P$_1)$ le plan contenant S et (D$_1)$ et 
soit (P$_2)$ le plan contenant S et (D$_2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (D$_2)$ est sécante à (P$_1)$. 
		\item Montrer que (D$_1)$ est sécante à (P$_2)$.
		\item Un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de $(R)$ pour que cette droite coupe chacune des droites (D$_1)$ et (D$_2)$. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que

AB = BC = CD = DA = 5 et $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.
 
On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments 
[AB], [BC], [CD], [DA] et [BD].
 
On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice 
de [CD].

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B} ,~ 
f (\text{B}) = \text{O} ,~ f(\text{D}) = \text{C}.$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que $f$ est un antidéplacement.
		\item Démontrer que s'il existe un point $M$ invariant par $f$, alors $M$ est 
équidistant des points A,~ B,~ C, D. 
		\item L'isométrie $f$ admet-elle un point invariant ? 
\end{enumerate} 
\item Soit $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ et $r$ la rotation de 
centre B et d'angle $-~\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $f = r \circ \sigma$.
		\item A-t-on $f = \sigma \circ r$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Soit $s_1$, la symétrie orthogonale d'axe (BC). 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $s_2$, telle que $r = s_1 \circ s_2$. 
		\item En déduire que $f$ peut s'écrire sous la forme $f = s_1 \circ t_1$, où 
$t_1$ est une translation que l'on précisera. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $t_2$ la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AD}}$ ; 
on note $t_2^{-~1}$ sa réciproque et on pose $g = t_2^{-~1} \circ f$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $g(\text{D}),~ g(\text{I}),~ g(\text{O})$. En déduire la 
nature précise de la transformation $g$. 
		\item Démontrer que $f = t_2 \circ g$. A-t-on $f = g \circ t_2$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip

Les buts du problème sont l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par :
 
\[f(x) = \dfrac{\ln \left(\text{e}^{2x} - 1\right)}{\text{e}^x},\]
 
 puis la recherche de primitives de cette fonction.
 
\medskip 

\textbf{Partie A - Étude de fonctions auxiliaires} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]1~ ;~ +~ \infty[$ par : 

\[g(x) = 2x - (x - 1)\ln (x - 1).\]
 
	\begin{enumerate}
		 \item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$. En déduire la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 1. 
		\item Calculer $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. 
		\item Résoudre l'inéquation $1 - \ln (x - 1 ) > 0$, d'inconnue $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique, notée $\alpha$, dans  l'intervalle $\left[\text{e} + 1 ~;~\text{e}^3 + 1\right]$ et étudier le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]1~;~\alpha[$ et $]\alpha~;~+~\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ 
par : 

\[\varphi(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 - 1\right)}{x}\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 1} \varphi(x)$ et prouver que $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} \varphi(x) = 0$. 
		\item Calculer $\varphi'(x)$ et montrer que $\varphi'(x)$ est du signe de 
$g(x^2)$ sur l'intervalle $]1~;~+~ \infty[$. 
		\item Montrer que $\varphi$ est croissante sur l'intervalle 
$\left]1~;~\sqrt{\alpha}\right[$ et décroissante sur l'intervalle 
$\left]\sqrt{\alpha}~;~+~\infty\right[$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$, on a 

\[f(x) = \varphi \left(\text{e}^x\right).\] 

\item En déduire : 
	\begin{enumerate} 
		\item La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0. 
		\item La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et que $f$  admet un maximum en $\ln (\sqrt{\alpha})$. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: 
f(x) \leqslant \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$. 
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs 
approchées à $10^{-2}$ près : 

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ & 0,1 	&0,5 	&1 	& 1,5 	& 2 	& 3\\ \hline 
$f(x)$ & 		& 		& 	& 		& 		& \\ \hline 
\end{tabularx}\] 

\item Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthogonal, d'unités 5~cm en abscisse et 10~cm en ordonnée, On prendra 10 comme valeur approchée de~$\alpha$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{Partie C - Recherche de primitives de} \boldmath 
$f$\unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle : 

\[y' + y = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}- \dfrac{\text{e}^x} 
{\text{e}^x + 1}.\] 

\item On pose $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}- \dfrac{\text{e}^x} 
{\text{e}^x + 1}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Trouver une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$. 
		\item En déduire les primitives $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers groupe 1 juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2000
\hypertarget{metropolejuin}{}

\label{Metropolejuin}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.}
 
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$ et 
$p(A / B)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est réalisé. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On interroge un élève de la classe pris au 
hasard.
 
On appelle $P$ l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et $T$ l'événement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg.
 
Montrer que les évènements $P$ et $T$ sont indépendants.

\item Lors d'une séance du club photo, les 10 
membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre 
la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $T_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (T_1)$. 
		\item On appelle $T_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club 
théâtre \fg. Calculer $p\left(T_2 /\text{T}_1\right)$, puis $p\left(T_2 
/\overline{T_1}\right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ T_1\right)$ et 
$p\left(T_2~ \cap~ \overline{T_1}\right)$.\\ 
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
		\item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club 
théâtre est $0,2$. 
	\end{enumerate} 
\item Toutes les semaines, on recommence de façon 
indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et 
du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de 
suite.
 
Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, unité graphique 4 cm, on 
considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et B d'affixe $z_{\text{B}} = 2$.\\ 
Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]0 ~;~ \pi[$.
 
On note $M$ le point d'affixe $z = 1 + \text{e}^{2\text{i}\theta}$.
\begin{enumerate} 
\item Montrer que le point $M$ appartient au cercle 
$(\mathcal{C})$ de centre A et de rayon 1. 
\item Exprimer l'angle 
$(\vect{\text{AB}}~ ;~\vect{\text{A}M})$ en fonction de $\theta$.
 
En déduire l'ensemble $E$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $]0~ ;~ \pi[$. 

\item On appelle $M'$ l'image de $M$ par la 
rotation de centre O et d'angle $-~2\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. 
Montrer que $z' = \overline{z}$ puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C})$.
\item Dans toute la suite, on choisit $\theta = 
\dfrac{\pi}{3}$.\\ 
On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $-~ 
\dfrac{2\pi}{3}$ et A$'$ l'image de A par $r$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r$.
		 
Placer sur une figure A,~ B,~$ (\mathcal{C}),~ M,~ (\mathcal{C}')$ puis le point 
$M'$ image de $M$ par $r$. 
		\item Montrer que le triangle $AM$O est équilatéral. 
		\item Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en O et 
en $M'$. 
		\item Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à A. Montrer 
que $M'$ est le milieu de $[\text{A}'P]$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le 
point E tel que $\vect{\text{AE}} = \dfrac{3}{4} 
\vect{\text{AB}}.$
 
Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et 
AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.
 
Soit un point $C$, distinct de $A$, tel que 
$\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}C}\right) = 
\dfrac{\pi}{4}$.
 
La droite parallèle à (B$C)$ passant par E coupe la droite (A$C)$ en 
$F$.

On appelle $I$ le milieu de [B$C],~ J$ le milieu de [E$F]$ et $D$ le point 
d'intersection des droites (E$C)$ et (B$F)$.
 
On note $h_{\text{A}}$ l'homothétie de centre A qui transforme B en E et 
$h_{D}$ l'homothétie de centre $D$ qui transforme E en $C$.
\begin{enumerate} 
\item Déterminer $h_{\text{A}}(C)$ puis $h_{D}(F)$. 
\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques 
de $h_{D} \circ h_{\text{A}}$ puis de $h_{\text{A}} \circ h_{D}$.
\item On appelle $E'$ l'image de E par 
$h_{\text{A}}$ et $E''$ l'image de $E'$ par $h_{D}$.
 
Représenter $E'$, puis construire $E''$ en justifiant la construction. 
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques 
de $h_{D} \circ h_{\text{A}} \circ h_{\text{A}} \circ h_{D}$.
\item Montrer que le quadrilatère BE$CE''$ est un 
parallélogramme. 
\item On appelle $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ tels 
que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}M}\right) = 
\dfrac{\pi}{4}.$
 
$(\Delta)$ est donc une demi-droite ouverte d'origine A.
 
Pour la suite, les points A,\: B,\:E sont fixes et le point $C$ décrit 
$(\Delta)$.
 
Déterminer et construire le lieu géométrique $(\Delta)''$ du point 
$E''$. 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} (unité graphique : 5 cm). 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}
 
$\bigstar~$ On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x^2}\]
 
et on appelle $(\mathcal{C}_{1})$ sa courbe représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout réel positif $x,~ 
f'_{1}(x) = \text{e}^{-~x^2} - 2x^2\text{e}^{-~x^2}$. En déduire le sens 
de variation de $f_{1}$. 
\item Calculer la limite de $f_{1}$ en $+~\infty$ (on pourra 
poser $u = x^2$). Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$. 
\item On appelle $(\Delta)$ la droite d'équation 
$y = x$.

Déterminer la position de ($\mathcal{C}_{1}$) par rapport à 
$(\Delta)$.
\item Tracer ($\mathcal{C}_{1}$) et $(\Delta)$.\\ 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B}
 
$\bigstar$ On considère la fonction $f_{3}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f_{3}(x) = x^3\text{e}^{- x^2}$ et on appelle  $(\mathcal{C}_{3})$ sa courbe représentative.
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout réel $x$ positif, 
$f'_{3}(x)$ a même signe que $3 - 2x^2$. En déduire le sens de variation 
de $f_{3}$. 
\item Déterminer les positions relatives de 
($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$).
\item Tracer ($\mathcal{C}_{3}$) dans le même repère que ($\mathcal{C}_{1}$) (on admettra que ($\mathcal{C}_{3}$) a la même asymptote que ($\mathcal{C}_{1}$) en $+ ~\infty$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $x = 1$. Soit $\mathcal{A}_{1}$ l'aire en unités d'aire du domaine limité par la courbe 
($\mathcal{C}_{1}$), les deux axes de coordonnées et la droite 
$(D)$ et soit $\mathcal{A}_{3}$ l'aire en unités d'aire du domaine limité par la courbe ($\mathcal{C}_{3}$) les deux axes de coordonnées et la droite 
(D). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{1}$. 
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\mathcal{A}_{3} = - \dfrac{1}{2\text{e}} + \mathcal{A}_{1}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
$\bigstar$ On désigne par $n$ un entier naturel non nul et on considère la 
fonction $f$ définie sur $[0~;~ +~\infty[$ par
 
\[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{-~x^2}.\]
 
On note $(\mathcal{C}_{n})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,~ 
f_{n}$ admet un maximum pour $x = \sqrt{\dfrac{n}{2}}$. On note $\alpha_{n}$, ce maximum. 
\item On appelle $S_{n}$ le point de $(\mathcal{C}_{n})$ 
d'abscisse $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$.

Montrer que, pour tout $n,\:(\mathcal{C}_{n})$ passe par $S_{2}$. 
Placer $S_{1},~ S_{2},~ S_{3}$ sur la figure. 
\item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~+~\infty[$ 
par : 

\[g(x) = \text{e}^{-~\frac{x}{2}\left[- 1 + \ln 
\left(\frac{x}{2}\right)\right]}\]
 
c'est-à-dire $g(x) = \exp \left[-~\frac{x}{2} \left(-~1 + 
\ln\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $g$. 
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,~\alpha_{n} = g(n)$.
		 
En déduire que tout point $S_{n}$ a une ordonnée supérieure à 
celle de $S_{2}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2000  
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2000
\hypertarget{La Reunion}{}

\label{La Reunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S La 
Réunion juillet 2000~ \decofourright}}} \end{center} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv (unité : 2~cm). 
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si \\
$\left(\vect{\text{AB}},~ 
\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. On pose 
j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que 1 ,~j et j$^2$ 
sont solutions de l'équation $z^3 = 1$. 
		\item Calculer $(1 - \text{j})(1 +\text{j}+\text{j}^2)$ ; en déduire que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 
		\item Vérifier que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} +\text{j}^2 = 0$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans le plan complexe, on considère trois points $A,\: B,\: C$, deux à deux 
distincts, d'affixes respectives $a,\: b,\: c$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $\dfrac{c-a}{b - a} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

		\item En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si : $a + b\text{j} + c\text{j}^2 = 0.$ 
	\end{enumerate} 
\item À tout nombre complexe $z \neq 1$ , on associe les points $R,~ M$ et $M'$ d'affixes respectives 1, $z$ et $\overline{z}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $z$ les points $M$ et $M'$ sont-ils distincts ? 
		\item En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ d'affixe $z$ tels que le triangle $RMM'$ soit équilatéral direct est une droite privée d'un point. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On désigne par 
$\Gamma$ la courbe paramétrée, ensemble des points $M(\theta)$ dont les coordonnées $(x(\theta),~y(\theta)$ sont définies par 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x(\theta) &= &20\text{e}^{-\theta} \cos \theta \\ 
y(\theta) &=& 20\text{e}^{-\theta} \sin \theta\\ 
\end{array}\right. \quad \text{où} \quad \theta \in [0 ~;~ + \infty[\] 

\begin{enumerate}
\item Soient $M$ et $M_{1}$, les points de $\Gamma$ correspondant 
respectivement aux paramètres $\theta$ et $\theta + \pi$. 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe un réel $k$, indépendant de $\theta$, que l'on déterminera, tel que 

\[\vect{\text{O}M_{1}} = k\vect{\text{O}M}.\] 

		\item En déduire une transformation géométrique par laquelle, pour tout réel $\theta$ positif, $M_{1}$ est l'image de $M$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $\Gamma_{1}$ la partie de $\Gamma$ correspondant à 
$\theta$ élément de l'intervalle $[0~ ;~ \pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : 
\[x'(\theta) = - 20\sqrt{2}\text{e}^{-\theta}\cos 
\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\quad \text{et} \quad y'(\theta) = - 
20\sqrt{2}\text{e}^{-\theta}\sin \left(\theta - 
\dfrac{\pi}{4}\right).\] 

		\item Étudier le sens de variations des fonctions $x$ et $y$ sur $[ 
0 ~;~ \pi]$ ; rassembler les résultats dans un tableau unique et indiquer les points de $\Gamma$, en lesquels la tangente est parallèle à l'un des axes de coordonnées. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer $\Gamma_{1}$, ainsi que ses tangentes aux points $M(0),~ 
M\left(\dfrac{\pi}{4}\right),~M \left(\dfrac{3\pi}{4}\right),~M(\pi)$. 

(unité graphique : 1~cm ; on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la longueur avec l'axe des ordonnées à 4~cm du bord gauche). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres 

\[a = n^3 - n^2 - 12n \qquad \text{et} \qquad b = 2n^2 - 7n - 4.\] 

\begin{enumerate}
\item Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n - 4$. 
\item On pose $\alpha = 2 n + 1$ et $\beta = n + 3$. On note $d$ le PGCD 
de $\alpha$ et $\beta$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$. 
		\item Démontrer que $d$ est un diviseur de 5. 
		\item Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement 
si $n - 2$ est multiple de 5. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $2n + 1$ et $n$ sont premiers entre eux. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le PGCD de $a$ et $b$. 
		\item Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n = 11$ et $n = 12$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude simultanée de deux fonctions $f$ et $g$ 
(\textbf{partie A}), utilisées ensuite pour déterminer une valeur approchée d'un certain nombre réel noté C. 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; (unité 
graphique : 2~cm). 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble des nombres réels 
par : 

\[f(x) = x - \text{e}^x\qquad \text{et} \qquad g(x) = (1 - 
x)\text{e}^x.\]
 
On appelle ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) leurs courbes représentatives respectives 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). 
		\item Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$, sur l'ensemble des nombres réels. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout réel $x$, on pose $h(x) = f(x) - g(x)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ h'(x) = 1 - g(x)$. 
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $h$ sur l'ensemble des nombres réels. 
		\item Démontrer que les courbe ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) admettent un unique point d'intersection, dont l'abscisse notée $\alpha$, appartient à l'intervalle [1~;~2]. 

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position relative de ($\mathcal{C}$) 
et ($\mathcal{C}'$). 
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite $(\Delta)$ et les courbes ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$). 
\item Pour tout réel $x$, on pose $\theta(x) = \displaystyle\int_0^x 
h(t) \:\text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\theta(x)$. 
		\item En déduire, sous la forme d'une expression rationnelle en $\alpha$, 
l'aire en cm$^2$ du domaine limité sur le graphique par les courbes ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$), l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 
\alpha$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

\[S_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de $S_{20}$ d'amplitude $10^{-3}$. 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item En utilisant le tableau de variations de la fonction 
$g$ définie dans la \textbf{partie A}, démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~1[, 

\[\text{e}^x \leqslant \dfrac{1}{1 - x}.\] 

		\item En déduire que, pour tout nombre entier $k \geqslant 2, 
~\text{e}^{\frac{1}{k}} \leqslant \dfrac{k}{k - 1}$, 
puis que, pour tout nombre entier $k \geqslant 2 ,~ \dfrac{1}{k} 
\leqslant \ln\left(\dfrac{k}{k - 1}\right)$. 
		\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ , calculer $S_{n} - S_{n- 1}$. 
En déduire que la suite $\left(S_{n}\right)$ est décroissante. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n > 20$, on pose $u_{n} = S_{20} - S_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier $n > 20,~ u_n \geqslant 0$. 
		\item En utilisant le tableau de variations de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie A}, démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 1], $1 + x \leqslant \text{e}^x$. 
		\item En déduire que pour tout nombre entier $k \geqslant 1,~ 
\dfrac{k+1}{k} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{k}}$, puis que, pour 
tout nombre entier $k \geqslant 1,~ \ln \left(\dfrac{k+1}{k}\right) 
\leqslant \dfrac{1}{k}$. 
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[u_{n} = \ln \left(\dfrac{n}{20}\right) - \left(\dfrac{1}{21} + 
\dfrac{1}{22} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right).\] 

En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[\ln \left(\dfrac{n + 1}{21}\right) \leqslant \dfrac{1}{21} + 
\dfrac{1}{22} + \cdots + \dfrac{1}{n}.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[u_{n} = \ln \left(\dfrac{21}{20}\right) - \ln \left(\dfrac{n + 1}{n}\right).\] 

puis que, pour tout entier naturel $n > 20,~ u_{n} \leqslant 0,049$. 

	\end{enumerate} 
\item On admet que la suite $\left(S_{n}\right)$ est convergente de limite notée C. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'encadrement $S_{20} - 0,049 \leqslant \text{C} \leqslant S_{20}$. 
		\item Déterminer un encadrement de C d'amplitude 0,05. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin LA RÉUNION juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2000
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}} 
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5~rouges, 3~jaunes, et 2 ~vertes.

Dans les questions \textbf{1} et \textbf{2} on tire au hasard et simultanément 3 
boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions 
irréductibles. 
\begin{enumerate} 
\item Soit les évènements suivants :

$A$ \og Les trois boules sont rouges. \fg

$B$ \og Les trois boules sont de la même couleur. \fg

$C$ \og Les trois boules sont chacune d'une couleur différente. \fg 

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les probabilités $p(A) ,~ p(B)$ et $p(C)$. 
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le 
nombre de couleurs obtenues.
 
Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer $E(X)$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par 
$n$ boules rouges où $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. L'urne contient 
donc $n + 5$ boules, c'est-à-dire, $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes. 
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit 
les évènements suivants :
 
$D$ \og Tirer deux boules rouges. \fg
 
$E$ \og Tirer deux boules de la même couleur. \fg

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est
		 
\[p(D) = \dfrac{n(n- 1)}{(n + 5)(n + 4)}.\] 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E,~ p(E)$ en fonction de $n$. 
Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $ p(E) \geqslant \dfrac{1}{2}$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives i et $-$~ i.
 
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte 
de $-$~ i associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}z}{z + \text{i}}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Quelle est l'image par l'application $f$ du point O ?
\item Quel est le point qui a pour image par l'application 
$f$ le point $C$ d'affixe $1 + \text{i}$ ?
\item Montrer que l'équation $\dfrac{1 + \text{i}z}{z + 
\text{i}} = z $ admet deux solutions que l'on déterminera. 
\item Vérifier que $z' = \dfrac{\text{i}(z - \text{i})}{z + \text{i}}$, en déduire 
$\text{O}M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ et : 

\[\left(\vect{u\phantom{'}},\: \vect{\text{O}M'}\right) = 
\left(\vect{M\text{B}},~ \vect{M\text{A}}\right) + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi~~\text{avec}~ 
k \in \Z.\]
 
\item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont 
leurs images par l'application $f$ situées sur un même cercle 
$(\mathcal{C})$ que l'on précisera. 
\item Soit $M$ un point du cercle de diamètre 
[AB] différent de A et de B, montrer que son image $M'$ est située sur 
l'axe des abscisses.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère 
orthonormal direct \Ouv. Soit A et B dans ce plan 
d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}~ ;~ b = -4 - \text{i}$. Soit $f$ la 
transformation du plan $(\mathcal{P})$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $\vect{\text{O}M'} = 
2\vect{\text{A}M} + \vect{\text{B}M}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. 
		\item Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega$ dont on donnera l'affixe. En déduire que $f$ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. 
	\end{enumerate} 
\item On se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \leqslant x \leqslant 8$ et $1 \leqslant y \leqslant 8$.
 
Les coordonnées $(x'~;~y')$ de $M'$ sont alors : $x' = 3x + 2$ et $y' = 3y - 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $G$ et $H$ les ensembles des valeurs prises respectivement 
par $x'$ et $y'$. Écrire la liste des éléments de $G$ et $H$. 
		\item Montrer que $x'- y'$ est un multiple de 3.
		\item Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples $(x'~;~y')$ de $G \times H$ tels que $m = x'^2 - y'^2$ soit un multiple non nul 
de 60. 
		\item Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'- y'$ est un multiple de 6. Le nombre $x'- y'$ peut-il être un multiple de 30 ?
		\item En déduire que, si $x'^2 - y'^2$ est un multiple non nul de 60, $x'+ y'$ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x'~;~ y')$ qui conviennent. 
En déduire les couples $(x~;~ y)$ correspondant aux couples $(x'~;~ y')$ trouvés. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème\hfill 11 points} 

\medskip
 
$\bigstar~$\textbf{Partie A - Préliminaires} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la fonction 
$g$ définie sur $\R$ par 

\[g(t) = \text{e}^t - t - 1.\] 

Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$ ? 
\item En déduire les inégalités suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout réel $t,~\text{e}^t \geqslant t + 1 ,~\text{e}^t > t$ et $-~t\text{e}^{-~t} > - 1$.
		\item Pour tout réel $t$ tel que $t > -~ 1 ,~ \ln (1 + t) \leqslant t$ . 
	\end{enumerate} 
\item En déduire que pour tout réel $x,~\ln \left(1 - 
x\text{e}^{-x}\right) < - x \text{e}^{-x}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
$\bigstar~$\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = x^2 - 2 \ln\left(\text{e}^x - x\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x) = x^2 - 2x - 2 \ln\left(1 
-~x\text{e}^{-x}\right)$. Quelle est la limite de $f$ en 
$+ \infty$ ? On admettra que la limite de la fonction $f$ en 
$- \infty$ est $+ \infty$. 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) 
=\dfrac{2(x - 1)(\text{e}^x - x - 1)}{ \text{e}^x - x}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
 
Dans un repère orthonormal (unité : 3 cm), on considère la parabole 
$(\mathcal{P})$ d'équation $y = x^2 - 2x$ et $(\mathcal{C})$ la courbe 
représentative de $f$. Montrer que $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{C})$ sont 
asymptotes en $+ ~\infty$. Étudier les positions relatives des courbes 
$(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{C})$. 
\item Donner une équation de chacune des tangentes 
$(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D}')$ respectivement aux courbes $(\mathcal{P})$ et 
$(\mathcal{C})$ aux points d'abscisse 0.\\ 
\item Tracer dans un même repère les courbes $(\mathcal{P})$ 
et $(\mathcal{C})$ et leurs tangentes $(\mathcal{D})$ et 
$(\mathcal{D}')$ . 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

$\bigstar~$\textbf{Partie C - Étude d'une intégrale}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel, on pose 
$u_{n} = \displaystyle\int_{0}^n x \text{e}^{- x}\:\text{d}x.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $u$ de terme général $u_{n}$ est croissante. 
		\item Calculer $u_{n}$ à l'aide d'une intégration par parties. 
		\item Déterminer la limite de la suite $u_{n}$ . 
	\end{enumerate} 
\item L'aire du domaine (en unités d'aire) limité par les 
droites d'équation $x = 0,~x = n$, la parabole $(\mathcal{P})$ et la 
courbe $(\mathcal{C})$ est définie par 
\[I_{n} = - 2\displaystyle\int_{0}^n \ln\left(1 - x\text{e}^{- x} \right) 
\:\text{d}x\] 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer en utilisant la question 3. des préliminaires 
que $I_{n} \geqslant 2u_{n}$. 
		\item On admet que la suite $\left(I_{n}\right)$ a pour limite $l$ . Montrer que : 
$l \geqslant 2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Liban juin 2000 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   POLYNÉSIE juin 2000
\hypertarget{Polynesiejuin}{}

\label{Polynesiejuin}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2000~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle $f$ l'application, qui, à tout nombre complexe $z$ différent de 
$- 2$, associe 
\[Z = f(z) = \dfrac{z - 2 + \text{i}}{z + 2\text{i}}.\] 
\begin{enumerate}
\item Si $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant deux réels, 
exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$.
 
On vérifiera que $\Re(Z) = \dfrac{x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2}{x^2 + (y + 2)^2}$.

En déduire la nature de : 
	\begin{enumerate}
		\item l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel ;
		\item l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan, tels que $Z$ soit un imaginaire pur éventuellement nul. 
		\item Représenter ces deux ensembles. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $A$ et $B$ les points d'affixes respectives 
$z_{A} = 2 - \text{i}$ et $z_{B} = - 2\text{i}$.
 
En remarquant que $Z = \dfrac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$ , retrouver les ensembles $E$ et $F$ par une méthode géométrique. 
\item Calculer $|f(z) - 1| \times |z + 2\text{i}|$, et en 
déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$ parcourt le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
 
4 jetons blancs marqués 0 ;
 
3 jetons rouges marqués 7 ;

2 jetons blancs marqués 2 ;

1 jeton rouge marqué 5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire simultanément 4 jetons du sac.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
\item On suppose que tous les tirages sont équiprobables, 
et on considère les évènements suivants :
 
$A$ : \og Les quatre numéros sont identiques \fg.

$B$ : \og Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 \fg.

$C$ : \og Tous les jetons sont blancs \fg.
 
$D$ : \og Tous les jetons sont de la même couleur \fg.
 
$E$ : \og Au moins un jeton porte un numéro différent des autres \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$, est $\dfrac{4}{105}$. 
		\item Calculer la probabilité des évènements $A,~ C,~ D,~ E$. 
		\item On suppose que l'évènement $C$ est réalisé, calculer alors la probabilité de l'évènement $B$.
 
On établit la règle de jeu suivante :
\begin{itemize}
\item  Si le joueur peut former \np{5000}, il gagne 75~F.
 
\item  Si le joueur peut former le nombre \np{7000}, il gagne 50~F.
 
\item  Si le joueur peut former le nombre \np{2000}, il gagne 20~F.

\item  Si le joueur peut former le nombre \np{0000}, il perd 25~F.
\end{itemize} 
Pour tous les autres tirages, il perd 5~F.
 
$G$ est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
 
Établir la loi de probabilité de $G$ et calculer l'espérance mathématique 
de $G$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On cherche deux entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de 
l'équation 

$(1)~ ax + by = 60 ~(a$ et $b$ entiers naturels donnés tels 
que $ab \neq 0$). On notera $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que l'équation (1) a au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$. Montrer que $d$ divise 60. 
		\item On suppose que $d$ divise 60. Prouver qu'il existe alors au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$ à l'équation (1). 
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation : 
$(2) \quad 24x + 36y = 60.\quad (x$ et $y$ entiers relatifs).

	\begin{enumerate}
		\item Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l'équation (2). 
		\item Trouver une solution évidente pour l'équation (2) et résoudre cette équation. On appellera $S$ l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ solutions. 
		\item Énumérer tous les couples $(x~;~ y)$ solutions de (2) et tels que : 

\[- 10 \leqslant x \leqslant 10.\]
 
Donner parmi eux, ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont multiples de 5. 
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l'ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que : 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x &=& 1 + 3t\\ 
y &= &1 - 2t 
\end{array}\right. t \in \R.\] 
		\item Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x~;~y)$ de l'équation (2) appartiennent à $E$.

Comment peut-on caractériser $S$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$, de la variable réelle $x$, définie 
sur $\R$ par :
 
\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]
 
On appelle ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe d'équation $y = f(x)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

On prendra 2~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, et 6 cm pour $\pi$ unités sur l'axe des abscisses. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ -~ \text{e}^{- x} \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{- x}$.

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} f(x)$ et l'existence d'une asymptote pour la courbe ($\mathcal{C}_{f}$). 
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ 
vérifie :
 
$f'(x) = -\sqrt{2} \text{e}^{- x} \cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$, pour $x$ élément de $\R$. 
\item On étudie la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.

Recopier et compléter le tableau suivant : 

\[\begin{array}{| c | l c r|}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}x 					& - \dfrac{\pi}{2} & & \pi\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}x + \dfrac{\pi}{4} & & ~~~~~~~~~~~\dfrac{\pi}{2}~~~~~~~~~~~ & \\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \text{Signe de }~\cos \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) & & & \\ \hline 
\end{array}\]
 
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.
\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-~ 
\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ ainsi que les courbes $(\mathcal{C}_{1})$ 
et $(\mathcal{C}_{2})$ d'équations $y = - \text{e}^{- x}$ et $y = 
\text{e}^{- x}$. 
\item Déterminer algébriquement sur $\R$, puis sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~; 
~\pi\right]$, les coordonnées des points communs à : 
	\begin{enumerate}
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses. 
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{1})$. 
		\item $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{2})$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer un réel $\alpha$ tel que, pour $x \geqslant \alpha$, on 
ait $|f(x)| \leqslant 10^{- 2}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le but de cette partie est de déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item En calculant les dérivées successives de la fonction 
$f$ jusqu'à l'ordre 4 (on rappelle que $f(x) = \text{e}^{-~x} \sin x)$, trouver une relation entre la fonction $f$ et sa dérivée d'ordre 4 notée 
$f^{(4)}$. 
\item En déduire qu'on peut choisir $F(x) = - \dfrac{1}{4}f^{(3)}(x).$ 
\item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} 
\text{e}^{- x} \sin x\: \text{d}x$. Montrer que $I = \dfrac{\text{e} + 1}{2}$. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $I_n = \displaystyle\int_{2n\pi}^{(2n + 1)\pi} f(x)\: \text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $I_0 = I$ et interpréter $I_0$ comme 
l'aire d'un domaine plan. Hachurer ce domaine. 
\item Montrer que, pour tout naturel $n,~ I_n = 
\dfrac{\text{e}^{- 2n\pi}}{2}\left(\text{e}^{-\pi} + 1\right).$\\ 
\item Prouver que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ est une suite 
géométrique.

Calculer sa raison. 
\item Prouver que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ converge 
et préciser sa limite. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin POLYNÉSIE juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2000
\hypertarget{Antilles-Guyane}{}

\label{Antilles-Guyane}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane  septembre 2000~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour tout nombre complexe $z$, on considère

\[f(z) = z^4 - 10z^3 + 38z^2 - 90z + 261.\]
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $b$ un nombre réel. Exprimer en fonction de $b$ les parties
 réelle et imaginaire de $f(\text{i}b)$. En déduire que l'équation $f(z) = 0$
 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
	 \item Montrer qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que
 l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$, 
\[f(z) = \left(z^2 + 9\right) \left(z^2 + \alpha z + \beta \right).\] 
 	\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $f(z) = 
0$.
	\end{enumerate}
 \item Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère 
orthonormal. 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A, B, C et D ayant
 respectivement pour affixes : $a = 3$i,~ $b = -3$i,~ $c = 5 + 2$i et 
 $d = 5 - 2$i. 
		\item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des points A, B, C, 
D. 
		\item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de $\mathcal{P}$ tels que : 
\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} +
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 10.\]
Tracer E sur la figure précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu'il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu'elle \og fait un 
pas \fg.
\end{enumerate}
 
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\textbf{a.} La fourmi se trouve en A.\\ 
  Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité
    qu'elle soit :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en A ? 
\item[$\bullet~$] en B ?
\item[$\bullet~$] en C ? 
\item[$\bullet~$] en D ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\textbf{b.}  Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on 
note :\\
 S$_n$ l'évènement \og la fourmi est au sommet S après $n$ pas \fg, et $p_n$ la probabilité de cet évènement.} 
\hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{
\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.5,5)
\psline(4.1,0)(6,1.2)(2.9,4.5)(0,0)(4.1,0)(2.9,4.5)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,1.2)(2.9,4.5)
\psline[linestyle=dotted](1.9,1.2)(6,1.2)
\uput[l](0,0){A} \uput[dr](4.1,0){B} \uput[r](6,1.2){C} 
\uput[ul](1.9,1.2){D} \uput[ur](2.9,4.5){S}  
\end{pspicture}}\\
 Donner $p_1$.\\ 
En remarquant que S$_{n+ 1}$ =~ S$_{n + 1} \cap \overline{\text{S}_n}$,
 montrer que
\[p_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right).\]

\textbf{2.} On considère la suite $(p_n)$, définie pour tout nombre 
entier $n$ strictement positif par : $\left\{ \begin{array}{l c l}
p_1 & = & \dfrac{1}{3}\\
p_{n+1} & = & \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right)\\
\end{array}\right.$.

\hspace{0,7cm}\textbf{a.} Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel $n$ strictement
 positif, on a $p_n = \dfrac{1}{4}\left(1 - \left(-~\dfrac{1}{3}\right)^n\right)$.
 
\hspace{0,7cm}\textbf{b.} Déterminer $\displaystyle\lim_{n  \to + \infty} 
p_n$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

L'objet de ce problème est d'étudier, à l'aide d'une fonction auxiliaire, 
une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est 
solution.

\vspace{0,25cm}

\textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + 2\text{e}^x} - \ln \left(1 + 
2\text{e}^x\right).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $g'(x)$ et montrer que ce nombre est strictement négatif
 pour tout $x$ de $\R$.
\item Déterminer les limites de $g$ en $- \infty$ et +~$\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
\item Donner le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul d'une aire}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-2x} \ln \left(1 + 2\text{e}^x\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x,~f'(x) = 
2\text{e}^{-2x} g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 On pourra remarquer que : 

\[\text{si on pose}~ X = 1 + 2\text{e}^x,~ f(x)~ \text{s'écrit}~ 4 
\dfrac{X}{(X - 1)^2}  \dfrac{\ln X}{X}.\]

	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer $\mathcal{C}$.
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x,~\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x} = \text{e}^{-x} -  2 \dfrac{\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} + 2}.$
		
En déduire la valeur de l'intégrale $I(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha}	\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x}\:\text{d}x.$
		\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale :

\[J(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha}f(x)\:\text{d}x.\]

Donner une interprétation graphique de $J(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[\text{(E)}~ :~ y'+ 2y = 2 \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie \textbf{B)}
 est solution de (E).
\item Montrer qu'une fonction $\varphi$ est solution de (E) si et
 seulement si $\varphi - f$ est solution de l'équation différentielle 

\[\text{(E$'$)} ~: ~ y'+ 2y = 0.\]
 
\item Résoudre (E$'$) et en déduire les solutions de (E).
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2000
\hypertarget{Metropolesept}{}

\label{Metropolesept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{Les résultats seront donnés à} $10^{-3}$ \textsl{près}.

\medskip

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.

Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu'il accepte de répondre au questionnaire est $0,2$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]A$_1$ l'évènement \og la personne est absente lors du premier appel \fg{} ; 
\item[$\bullet~$]R$_1$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire 
lors du premier appel \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est la probabilité de R$_1$ ? 
\item Lorsqu'une personne est absente lors du premier appel, on lui 
téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu'elle soit absente est $0,3$. Et, sachant qu'elle est présente lors du second appel, la probabilité pour qu'elle accepte de répondre au questionnaire est encore $0,2$.

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la 
contacter.
 
On note :
 
A$_2$ l'évènement \og la personne est absente lors du second appel \fg{} ;
 
R$_2$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire lors du 
second appel \fg{} ;
 
R l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire \fg.

Montrer que la probabilité de R est $0,176$. (On pourra utiliser un arbre). 
\item Sachant qu'une personne a accepté de répondre au questionnaire, 
quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier 
appel ? 
\item On suppose que les sondages auprès des personnes d'une même liste 
sont indépendants. Un enquêteur a une liste de $20$~personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu'une au moins des $20$ personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire} (hors-programme en 2002)
 
\medskip

\parbox[c]{0.35\textwidth}{Les questions \textbf{1)} et \textbf{2)} 
sont indépendantes.\\ 
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct.\\ 
ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. Son arête $a$ pour longueur 1, le 
centre de la face ABCD est le point I.\\ 
Aucune figure n'est demandée sur la copie.}\hfill 
\parbox[c]{0.55\textwidth}{ 
\begin{pspicture}(7,6) 
\psline(0,0)(4.2,0)(5.8,1.3)(5.8,5.5)(4.2,4.2)(4.2,0) 
\psline(5.8,5.5)(1.6,5.5)(0,4.2)(0,0) 
\psline(0,4.2)(4.2,4.2) 
\psline[linestyle=dashed](1.6,5.5)(1.6,1.3)(5.8,1.3)(0,0)(1.6,1.3) 
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.3)(4.2,0) 
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4.2,0){B} \uput[r](5.8,1.3){C} \uput[ul](1.6,1.3){D} 
\uput[l](0,4.2){E} \uput[r](4.2,4.2){F} \uput[ur](5.8,5.5){G} 
\uput[ul](1.6,5.5){H} \uput[u](2.9,0.7){I} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}$. 
		\item En déduire l'ensemble ($\mathcal{E}$) des points $M$ de l'espace 
tels que : 

\[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}\right) \wedge \vect{\text{B}M} = \vect{0}.\]
 
	\item Déterminer l'ensemble ($\mathcal{F}$) des points $M$ de l'espace 
tels que : 

\[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}\right) \cdot \:\vect{\text{B}M} = 0.\]
 
	\end{enumerate} 
\item On appelle P le barycentre du système $\{ (\text{A},\: 2)~;~(\text{C},\: - 1)\}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A. 
		\item Soit ($\mathcal{G}$) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\| 2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{C}}\right\| = 
\left\|-~\vect{M\text{A}} + 2 \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\|.\] 
Déterminer l'ensemble ($\mathcal{G}$).

Montrer que le point A appartient à l'ensemble ($\mathcal{G}$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv. L'unité graphique est 4~cm. 
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$ telles que :
 
\[a = 1, \quad b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad c = 
\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}, \quad d = 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la forme exponentielle de $c$ et la forme algébrique
de $d$. 
		\item Représenter les points A, B, C et D.
		\item Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les points D, A et C sont alignés.
\item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude 
directe $s$ de centre O qui transforme A en C. 
\item On note F et G les images par la similitude directe $s$ des points D 
et C respectivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés. 
\item Déterminer l'affixe $f$ du point F. 
\item On considère la transformation $\varphi$ qui à tout point $M$, 
d'affixe $Z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ telle que : 
\[Z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \overline{Z} + \dfrac{3}{2} + \text{i} 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] 
Pour toute droite $\delta$ du plan, on notera $\sigma_{\delta}$ la symétrie orthogonale d'axe $\delta$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $r$ la transformation qui à tout point $M_1$ d'affixe $Z_1$, 
associe le point $M'_1$ d'affixe $Z'_1$, telle que : 

\[Z'_1 = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}Z_1 + \dfrac{3}{2} + \text{i} 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] 

Déterminer la nature de $r$ et donner ses éléments caractéristiques. 
		\item En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de 
l'angle 

$\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{AB}}\right)$, 
puis déterminer la droite $\Delta$ telle que :
 
\[r = \sigma_{\Delta} \circ \sigma_{(\text{AO})}.\] 

		\item Montrer que $\varphi = r \circ \sigma_{(\text{AO})}$. En déduire la nature de $\varphi$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2 + \cos x)\text{e}^{1-x}.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$ : $f(x) > 0$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~ :~ \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x + \sin x$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $\R~ :~ 2 + \cos x + \sin x > 0$. 
		\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~ :~ 
\text{e}^{1-x} \leqslant f(x) \leqslant3 \text{e}^{1-x}$. 
		\item En déduire les limites de $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$.
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~\pi$], l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
	\end{enumerate} 
\item Représenter la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~4]. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On veut calculer l'aire, $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que : $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + 
\displaystyle\int_0^1 \cos t \text{e}^{ 1-t}\: \text{d}t$.
\item On pose I = $\displaystyle\int_0^1 \cos t~ \text{e}^{1 -t}\: \text{d}t$ et J = $\displaystyle\int_0^1 \sin t~ \text{e}^{1 - t}\: \text{d}t$.
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : I =  $- \cos 1 + \text{e} - $ J et J =  $- \sin 1 + 1$. 
\item En déduire la valeur de I. 
\end{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, puis donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près par défaut. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h (x) = - 1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $h$ admet des primitives sur $\R$. 
		\item Calculer la primitive $H$ de la fonction $h$, qui prend en 0 la valeur $(1 + \ln 3)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\ln \left(f(x)\right)$ pour tout $x$ de $\R$. 
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $H$.
		\item Déterminer le tableau de variations de $H$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction définie 
sur $\R$ par 

$x \mapsto 1 - x + \ln (2 + \cos x)$. (On ne demande pas de 
représenter $\Gamma$). 

On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = - x + 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et de $\Delta$. 
		\item Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et 
$\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Établir une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et T. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la courbe $\Gamma$ est contenue dans une bande du plan 
limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie  septembre 2000 
\hypertarget{Polynesiesept}{}

\label{Polynesiesept}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par $p_k$ la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée $k$ ($k$ est un entier et $1 \leqslant k \leqslant 6$).
 
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
 
$\bullet~$ les six faces ne sont pas équiprobables,

$\bullet~$ les nombres $p_1,\: p_2,\: p_3,\:p_4,\:p_5,\:p_6$, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$,

$\bullet~$ les nombres $p_1,\:p_2,\:p_4$ dans cet ordre, sont trois termes 
consécutifs d'une suite géométrique. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que : $p_k = \dfrac{k}{21}$ pour tout entier $k$ tel que 
$1 \leqslant k \leqslant 6$. 
\item On lance ce dé une fois et on considère les évènements 
suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og le nombre obtenu est pair \fg 
\item $B$ : \og le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 \fg
\item $C$ : \og le nombre obtenu est 3 ou 4 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun de ces évènements. 
		\item Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair. 
		\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Les évènements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate} 
\item On utilise ce dé pour un jeu. On dispose : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] d'une urne U$_1$ contenant une boule blanche et trois boules noires, 
\item[$\bullet~$] d'une urne U$_2$ contenant deux boules blanches et une boule noire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le joueur lance le dé : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_1$, 
\item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré gagnant 
lorsqu'il tire une boule blanche, on note $G$ cet évènement.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $G \cap A$, puis la probabilité de l'évènement $G$. 
		\item Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer plus simplement le vecteur $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}}$. 
		\item En déduire que le produit scalaire $\vect{\text{AG}}~\cdot~
\vect{\text{BD}}$ est nul.
		\item Démontrer de même que le produit scalaire 
$\vect{\text{AG}}~\cdot\vect{\text{BE}}$ est nul. 
		\item Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
	\end{enumerate} 
\item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de \textbf{1. a.} que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG]. 
\item Dans cette question, l'espace est orienté par le repère orthonormal 
direct 

(A ;~$\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}$). 
	\begin{enumerate} 
		\item Écrire une équation du plan (BDE). 
		\item Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ 
passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\Delta$ avec le plan (BDE). 
		\item En déduire la distance du point H au plan (BDE).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,6) 
\psframe(0,0)(4.3,4.3) 
\psline(4.3,0)(5.9,1.3)(5.9,5.6)(1.6,5.6)(0,4.3)(4.3,4.3)(5.9,5.6) 
\psline[linestyle=dotted](0,0)(5.9,1.3)(1.6,5.6)(0,0)(1.6,1.3)(5.9,1.3) 
(1.6,5.6)(1.6,1.3)(5.9,1.3) 
\psline[linestyle=dotted](1.6,1.3)(4.3,4.3) 
\uput[ul](1.6,1.3){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.3,0){C} 
\uput[dr](5.9,1.3){D} \uput[u](1.6,5.6){E} \uput[ul](0,4.3){F} 
\uput[dr](4.3,4.3){G} \uput[ur](5.9,5.6){H} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point 
d'intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit :
 
$\bullet~$l'homothétie $h_1$ de centre I qui transforme G en E.

$\bullet~$l'homothétie $h_2$ de centre I qui transforme F en H.
 
\parbox[c]{0.55\textwidth}{\begin{enumerate}\item Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie $h_1$ puis par la composée 

$h_2 \circ h_1$. 
\item Déterminer l'image de la droite 
(CF) par la composée $h_1 \circ h_2$. 
\item Justifier l'égalité :\\ 
\[h_2 \circ h_1 = h_1 \circ h_2.\] 
En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I. 
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[c]{0.32\textwidth}{ 
\begin{pspicture}(4.5,4) 
\psline(2.4,2.4)(2.4,0)(0,0)(0,2.4)
\psline(0,2.4)(2.4,2.4)
\psline(0,2.4)(0,3.6)(3.6,3.6)(3.6,2.4)(2.4,2.4)(2.4,3.6) 
\uput[225](0,0){G} \uput[180](0,2.4){D} \uput[135](0,3.6){C} 
\uput[315](2.4,0){H} \uput[315](2.4,2.4){A} \uput[90](2.4,3.6){B} 
\uput[dr](3.6,2.4){E} \uput[ur](3.6,3.6){F} 
\end{pspicture}} 

\item On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du 
triangle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment 
[EH]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{AO}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{AH}}$. 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{BD}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$.
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AO}} \cdot \vect{\text{BD}}$ et conclure. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme 
A en B et D en A.
 
On pose AB = 1 et AD = $k \quad (k > 0)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude S. 
		\item Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO), par cette similitude S.
		\item En déduire que le point d'intersection $\Omega$ des droites (BD) 
et (AO) est le centre de la similitude S.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 2x + 1 - x \text{e}^{ x-1}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
\bigskip
 
\textbf{A. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\textbf{et construction de la courbe} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ puis en $+ 
\infty$ (on pourra écrire 

$x \text{e}^{ x-1} = \dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^x$).
 
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x + 1$ est 
asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $- \infty$ et préciser la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $\Delta$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f'$ en précisant la limite de la fonction $f'$ en - ~$\infty$. 
		\item Calculer $f'(1)$ et en déduire le signe de $f'$ pour tout réel $x$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit I l'intervalle [1,9 ; 2]. Démontrer que, sur I, l'équation 
$f(x) = 0$ a une solution unique, $\alpha$.
\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $(\mathcal{C})$ (unité 
graphique : 2~cm). 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{B. Recherche d'une approximation de} \boldmath $\alpha$ \unboldmath

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par : 

\[g(x) = 1 + \ln \left( 2 + \dfrac{1}{x}\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, sur I, l'équation $f(x) = 0$ équivaut à l'équation 
$g(x) = x.$ 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur I et démontrer 
que, pour tout $x$ appartenant à I, $g(x)$ appartient à I. 
\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle I, 
$|g'(x)| \leqslant \dfrac{1}{9}$. 
\item Soit $(u_{n})$ la suite de nombres réels définie par : 

\[u_{0} = 2 \quad \text{et, pour tout}~ n ~\text{de}~ \N,~ u_{n + 1} = 
g(u_{n}).\]
 
On déduit de la question \textbf{B 2} que tous les termes de cette suite 
appartiennent à l'intervalle I. On ne demande pas de le démontrer. 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout $n$ de $\N,~ |u_{n + 1} - 
\alpha| \leqslant \dfrac{1}{9}|u_{n} - \alpha|.$
		\item En déduire, en raisonnant par récurrence, que : 
\[\text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N, \quad |u_{n} - \alpha| \leqslant 
\left(\dfrac{1}{9}\right)^n \times \dfrac{1}{10}.\] 
		\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et préciser sa limite. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item En intégrant par parties, calculer l'intégrale I = $\displaystyle\int_{1}^{\alpha} x \text{e}^{x- 1}\: \text{d}x$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 1$ et la droite d'équation $x = \alpha$. 
		\item Démontrer qu'on peut écrire $\mathcal{A} = (\alpha - 1) 
\left(\alpha - \dfrac{1}{\alpha}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie  septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie décembre 2000
\hypertarget{Nouvelle-Caledonie}{}

\label{Nouvelle-Caledonie}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} 
\rfoot{\small{décembre 2000}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Nouvelle -- Calédonie~\decofourright\\ 
décembre 2000}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk, on considère les 
points : 

A(4~;~0~;~0), B(2~;~4~;~0), C(0~;~6~;~0), S(0~;~0~;~4), E(6~;~0~;~0) et F(0~;~8~;~0). 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Réaliser une figure comportant les points définis dans l'exercice que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que E est le point d'intersection des droites (BC) et (OA). 
\item On admettra que F est le point d'intersection des droites (AB) et (OC). 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel 
$\vect{\text{SE}} \wedge \vect{\text{EF}}$. 
En déduire l'équation cartésienne du plan (SEF). 
		\item Calculer les coordonnées du point A$'$ barycentre des points pondérés (A,~1) et (S,~3). 
		\item On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A$'$. 
Vérifier qu'une équation cartésienne de P est $4x + 3y + 6z -22 = 0$. 
	\end{enumerate} 
\item Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide 
SOABC respectivement aux points O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées de O$'$. 
		\item Vérifier que C$'$ a pour coordonnées $\left(0~;~2~;~\dfrac{8}{3}\right)$. 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B$'$. 
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que O$'$A$'$B$'$C$'$ est un parallélogramme. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[ z^2 - 2z + 2 = 0.\] 

Préciser le module et un argument de chacune des solutions. 
		\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation 

\[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\] 

	\end{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 
On considère les points A, B et C d'affixes respectives

$z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et 
$z_{\text{C}}$. 
		\item Placer les points A, B et C. 
		\item Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$. 
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire la nature du triangle IAC. 
		\item Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 \vect{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E. 
		\item Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

Déterminer l'affixe du point D. 
		\item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$. 

S est l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que PGCD$(x~;~y) = y - x$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le PGCD(363~;~484). 
		\item Le couple (363~;~484) appartient-il à S ? 
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n~;~ n + 1)$ appartient-il à S ? 

Justifier votre réponse. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $(x~;~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y - x)$ et $y = (k + 1)(y-x)$. 
		\item En déduire que pour tout couple $(x~;~y)$ de S on a : 

PPCM $(x~;~y) = k(k + 1)(y - x).$ 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 
		\item En déduire l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ de S tels que 
		
PPCM $(x~;~y) = 228$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par 

\[u(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\] 

et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $u$ en $- \infty$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, on a $u(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$. 

En déduire la limite de $u$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $[u(x)+2x]$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$. En déduire le signe de
		
$[u(x) + 2x]$.
 
		\item Interpréter graphiquement ces résultats. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\R$ par 

\[u'(x) = \dfrac{- u(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.\] 

		\item Étudier les variations de la fonction $u$. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et son asymptote oblique. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \dfrac{-1}{\sqrt{t^2 + 
1}}\:\text{d}t.\] 

et ($\Gamma$) sa courbe représentative. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que pour tout $x$ réel on a $f(x) = \ln u(x)$ en utilisant la question \textbf{A 3. a}.
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ , puis en $+ \infty$ et 
étudier les variations de~$f$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe ($\Gamma$) au point d'abscisse $0$. 
		\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) + x$. Montrer que 
$\varphi$ est croissante sur $\R$ et que $\varphi(0) = 0$. En déduire 
la position de la courbe ($\Gamma$) par rapport à la tangente (T). 
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur le même graphique la courbe ($\Gamma$) et la 
tangente (T). 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose $\alpha = \dfrac{1 - \text{e}^2}{2\text{e}}$, montrer que $u(\alpha) = \text{e}$ et en déduire $f(\alpha)$. 

\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer 
$\displaystyle\int_{\alpha}^0 \ln \left(\sqrt{x^2 + 1} - 
x\right)\:\text{d}x$. 

\item Soit $V$ une primitive de $u$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
$g(t) = \dfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $u\left(\dfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}\right) = \text{e}^{-t}$. 
		\item Justifier que $V \circ g$ est dérivable sur $\R$ et que sa dérivée est définie par 

\[\left(V \circ g\right)'(t) = \dfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}.\] 

		\item En déduire que $V(0)-V(\alpha) = (V \circ g)(0) - (V \circ g)(-1) = \displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}\: \text{d}t$, 

puis que $\displaystyle\int_{\alpha}^0 u(x)\:\text{d}x = 
\dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout $x$ réel, $f(x) < u(x)$. 

Déduire des questions précédentes l'aire, en unité d'aires, du domaine limité par les courbes ($\mathcal{C}$), ($\Gamma$) et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie décembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud décembre 2000
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2000}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher.
 
On tire une boule du sac, on note son numéro $x$ et on la remet dans le sac, 
puis on tire une seconde boule, on note son numéro $y$ et on la remet dans le sac.
 
Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.
 
À chaque tirage de \textbf{deux boules}, on associe dans le plan, muni d'un repère orthonormal \Oij, le point $M$ de coordonnées $(x~;~y).$
 
On désigne par $D$ le disque de centre O et de rayon 1,7.
 
Les résultats seront donnés sous forme de \textbf{fraction 
irréductible}.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer dans le plan muni du repère (O~;~$\vect{\imath}, 
~\vect{\jmath}$) les points correspondant aux différents résultats 
possibles. 
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements 
suivants :
 
$A$ \og Le point $M$ est sur l'axe des abscisses \fg{} ;
 
$B$ \og Le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 \fg. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de 
deux boules, associe la somme $x^2 + y^2$. Déterminer la loi de probabilité de 
la variable aléatoire $X$. Calculer son espérance mathématique E($X$). 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le point $M$ appartient au disque $D$ \fg{} est égale à $\dfrac{4}{9}$. 
	\end{enumerate} 
\item On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux 
boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.

Quelle est la probabilité de l'évènement suivant :

$C$ : \og Au moins un de ces points appartient au disque $D$ \fg{} ? 
\item On renouvelle $n$ fois de suite, de façon indépendante, le 
tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi $n$ points du plan.

Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un de ces points appartient à $D$ \fg{} soit supérieure ou égale à \np{0,9999}. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats qui n'ont pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv (unité graphique : 2~cm).

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation i$z - 2 = 4\text{i} - z$. On donnera la solution sous forme algébrique. 
	\end{enumerate} 
\item On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i. 
	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. 
		\item Calculer l'affixe $z_C$ du point C image de A par la symétrie de 
centre I. 
		\item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac 
{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}$.
 
En déduire le module et un argument de ce nombre. ($z_{\text{A}}$ et 
$z_{\text{B}}$ désignent les  affixes des points A et B). 
		\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ tel que $z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$.
		
Montrer que ABCD est un carré. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur 
$\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$ en fonction du vecteur $\vect{M\text{I}}$. 
		\item Montrer que le point $K$ défini par $\vect{K\text{A}} + \vect{K\text{B}} + \vect{K\text{C}} + \vect{K\text{D}} = 2 \vect{\text{AB}}$ est le milieu du segment [AD]. 
		\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que 
\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 
\left\|2 \vect{\text{AB}}\right\|.\] 
Construire $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On désigne par $m$ un nombre réel. On considère la transformation 
T$_{m}$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : 

\[z'= (m + \text{i})z + m - 1 - \text{i}\] 

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Peut-on choisir $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit 
une translation ? 
\item Déterminer le réel $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit une rotation. Préciser alors le centre et l'angle de cette rotation. 
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans la suite de l'exercice on pose $m = 1$.
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'affixe du point $\Omega$ invariant 
par T$_{m}$. 
		\item Pour tout nombre complexe $z$ différent de 1, calculer $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$.
		 
En interprétant géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$, démontrer que T$_{1}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. 
		\item Démontrer que, pour tout nombre $z$ on a : $z'- z = \text{i} (z - 1)$. En déduire que si $M$ est distinct de $\Omega$ , alors le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle en $M$. 
	\end{enumerate} 
\item On définit dans le plan une suite $(M_{n})$ de points en posant : 

\[M_{0} = \text{O},~M_{1} = \text{T}_{1}(M_{0}),~\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul}~: M_{n} = \text{T}_{1}(M_{n-1}).\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points $M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et 
$M_{4}$ dans le plan muni du repère \Ouv. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_{n} = 
\Omega M_{n}$. Démontrer que la suite $(d_{n})$ est une suite géométrique. 
Converge-t-elle ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A étude préliminaire : mise en place d'une 
inégalité.}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
On désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 1$ et par $\Gamma$ la 
courbe d'équation $y = \text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la droite $\Delta$ pour la courbe $\Gamma$ ? 
		\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et donner l'allure de $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $t,~ \text{e}^t 
\geqslant t + 1$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item En déduire que pour tout réel $t,~ \text{e}^{-t} + t + 1 \geqslant 2$, et que pour tout $x$ de $\R_{+}^{*}$ on a : $\dfrac{1}{x} + \ln x + 1 \geqslant 2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B étude d'une fonction.}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+~\infty$[ par
 
\[g(x) = (x + 1) \ln x.\] 

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan 
muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de $g$ en 
utilisant la \textbf{partie A}. 
		\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en 0 et en +~$\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $D$ à 
$\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
		\item On appelle $h$ la fonction définie sur ]0~ 
;~$+~\infty$[ par : $h(x) = g (x) - 2x + 2$.
 
étudier le sens de variations de $h$. On pourra utiliser la question 
\textbf{A 2 b}.

En déduire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. 
	\end{enumerate}
	 
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $D$ dans le repère \Ouv.
\item Pour tout $n$ de $\N^{*}$, on pose $U_n = 
\displaystyle\int_n^{n+1} g(x)\:\text{d}x.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation géométrique de $U_n$. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a : 

\[g(n) \leqslant U_n \leqslant g(n + 1).\]
 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $(U_n)$. 
		\item La suite $(U_n)$ est-elle convergente ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C étude d'une primitive.}

\medskip
 
$G$ désigne la primitive de $g$ sur $]0~;~ + \infty[$ qui s'annule en 1.

On a donc : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ + \infty[,~ 
G(x) = \displaystyle\int_1^x g(t)\:\text{d}t$.

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $G(x)$ suivant les valeurs de 
$x$ ? 
\item Calculer $G(x)$ à l'aide d'une intégration par parties. 
\item Déterminer les limites de $G$ en 0 et en +~$\infty$.\\ 
Pour l'étude en $+\infty$, on pourra mettre $x$ en facteur dans l'expression 
$G(x)$.

Pour l'étude en 0, on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud décembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie mars 2011
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\label{Caledoniemars}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2001}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
 \thispagestyle{empty}
 
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  série S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\mars 2001}}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 9}\right).\]
 
et ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les images de 0 et de 4 par $f$, puis l'antécédent de 0 par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en +~$\infty$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $\sqrt{x^2 + 9} + x = \dfrac{9}{\sqrt{x^2 + 9} - x}$	et en déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel, $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 
9}}$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item On considère la fonction $g$ définie, pour tout $x$ réel, par
\[g(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^x  - \dfrac{9}{2} \text{e}^{-x}\]
et ($\mathcal{C}'$) sa représentation graphique dans le même repère \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ réel, $(g \circ f)(x) = x$.

On admettra de même que, pour tout $x$ réel, $(f \circ g) (x) = x$.
		\item En déduire que le point $M (x~;~y)$ appartient à ($\mathcal{C}$)
 si, et seulement si, le point $M'(y~;~x)$ appartient à ($\mathcal{C}'$).
		\item Démontrer que la fonction $g$ est négative sur $[0~;~\ln 3]$.
	\end{enumerate}
\item Soit $D_1$ et $D_2$ les domaines définis par : 

\[D_1 = \left\{M (x~;~y)\left| \begin{array}{l}
0 \leqslant x \leqslant \ln 3\\
g(x) \leqslant y \leqslant 0\\
\end{array}\right. \right\}\quad  ; \quad  D_2 = \left\{M (x~;~y)\left|
\begin{array}{l}
-~4 \leqslant x  \leqslant 0\\
0 \leqslant y  \leqslant f(x)\\
\end{array}\right. \right\}.\]

Les domaines $D_1$ et $D_2$ ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d'aire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk, on
 considère les points A (1~;~2~;~2), B (3~;~2~;~1) et C (1~;~3~;~3).
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. Donner une
 équation de ce plan.
\item On considère les plans (P$_1$) et (P$_2$) d'équations 
respectives :

(P$_1$)~:~$x - 2y + 2z - 1 = 0$~;~(P$_2)~:~x - 3y + 2z + 2 = 0$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (P$_1$) et (P$_2$) sont sécants. On notera
 ($\Delta$) leur droite d'intersection.
		\item Montrer que le point C appartient à la droite ($\Delta$).
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{u}(2~;~0~;~- 1)$ est un
 vecteur directeur de la droite ($\Delta$).
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$).
 	\end{enumerate}
\item Pour déterminer la distance du point A à la droite ($\Delta$) de
 représentation paramétrique :
 
\[\left\{ \begin{array}{l c r}
x  &=& 2k + 1\\
y  &=& 3 \\
z &=& -  k + 3\\
\end{array}\right. \qquad (k \in \R),\] 

on considère le point $M$ de paramètre $k$ de la droite ($\Delta$).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $k$ pour que les vecteurs 
$\vect{\text{A}M}$ et $\vect{u}$ soient orthogonaux.
		\item En déduire la distance du point A à la droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice, $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls
 vérifiant $x < y$.
 
S est l'ensemble des couples $(x~;~y)$ tels que P.G.C.D. $(x~;~y) = y - 
x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le P.G.C.D. (363~;~484).
		\item Le couple (363~;~484) appartient-il à S ?
	 \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n~;~n + 1)$
 appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(x~;~y)$ appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y - x)$ et $y = (k + 1) (y - x)$. 
		\item En déduire que, pour tout couple $(x~;~ y)$ de S, on a :
		
 P.P. C.M. $(x~;~y) = k(k + 1) (y - x)$.
	 \end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 
		\item En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ de S tels que 
		P.P.C.M. $(x~;~y)$ = 228.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
Il est possible que certains des résultats, à démontrer dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l'écran de votre calculatrice graphique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$  \textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~1[ \cup  ]1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{10 (x - 8)}{x(x - 1)}\]

et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
		\item Déterminer les limites de $f$ quand $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures et quand $x$ tend vers 1 par valeurs supérieures. 
		\item En déduire les asymptotes à la courbe ($\mathcal{C}$).
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Montrer que $f'(x)$ s'annule pour $\alpha = 8 + 2\sqrt{14}$ et pour $\beta = 8 - 2 \sqrt{14}$.
	\item Dresser le tableau de variation de $f$
	 \end{enumerate} 
\item Soit I le point de la courbe ($\mathcal{C}$) d'abscisse 
$\dfrac{1}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite ($\Delta$) tangente en I à la courbe ($\mathcal{C}$).
	\item Montrer que le point L, intersection de la courbe ($\mathcal{C}$)
 avec son asymptote horizontale, appartient à la droite ($\Delta$).
	 \item Représenter la partie de la courbe ($\mathcal{C}$) pour les valeurs de $x$ strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1~cm en abscisse et 3~cm en ordonnée).
	 \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ élément de
l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, on ait $f(x) = \dfrac{a}{x} + 
\dfrac{b}{x - 1}.$
		\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à 8.
		
Calculer, en unités d'aire, en fonction de $\lambda$, l'aire $\mathcal{A}(\lambda$) du domaine limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  8$ et $x= \lambda$.
		\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda$)  lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$  \textbf{Probabilités}

\medskip

Une urne contient $n$ boules ($n > 8$) dont 3 jaunes et 5 vertes.

Les autres boules sont rouges.

\textbf{I.}  Étude d'un cas particulier : $n = 16$. Il y a donc 8 boules 
rouges.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire une boule de l'urne, on note sa couleur, on la remet, puis
on effectue un nouveau tirage d'une boule.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og On obtient deux boules rouges \fg,
\item $B$ : \og On obtient une boule rouge puis une boule verte ou une boule
verte puis une boule rouge \fg,
\item $C$ : \og On obtient une boule rouge puis une boule jaune ou une boule
jaune puis une boule rouge \fg,
\item $D$ : \og On obtient au moins une boule rouge \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item On effectue maintenant un \emph{tirage simultané de deux boules} de l'urne.

Déterminer la probabilité des évènements :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item $A'$ \og On obtient deux boules rouges \fg,
\item $B'$ \og On obtient une boule rouge et une boule verte \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} $n$ quelconque ($n > 8$) Il y a donc ($n - 8$) boules  rouges. 
\begin{enumerate}
\item  Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l'urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d'une boule. Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'évènement :
 
 \og Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une boule rouge \fg. 
\item On revient au \textbf{tirage simultané de deux boules :}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'évènement :
		
\og Obtenir deux boules rouges \fg.
		\item Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p_n$ de 
l'évènement :

 \og Obtenir une boule rouge et une boule verte \fg. 
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$ étudiée dans la partie \textbf{A}, indiquer les valeurs de $n$ qui rendent $p_n$ maximum, puis indiquer la valeur de ce maximum.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie mars 2011
\end{document}