\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} %\rfoot{\small{L'année 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2001~\decofourright \\[7pt] L'intégrale d'avril à décembre 2001}} \bigskip Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2001} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2001} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\ \hyperlink{Antilles-Guyane2}{Antilles-Guyane juin 2001} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane2}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2001} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2001} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole juin 2001} \dotfill \pageref{Metropolejuin}\\ \hyperlink{Liban}{Liban juin 2001} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2001} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antilles-Guyanesept}{Antilles-Guyane septembre 2001} \dotfill \pageref{Antilles-Guyanesept} \\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2001} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie spécialité septembre 2001} \dotfill \pageref{Polynesiesept} \\ \hyperlink{Nouvelle-Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 2001} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonie} \\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud décembre 2001} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry mars 2001 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{mai 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry mai 2001~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[I_n=\frac{1}{n!}\int_0^1(1 - x)^n\text{e}^{- x}dx.\] \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer I$_1$. \item Prouver que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant I_n\leqslant \frac{1}{n !}\int_0^1\text{e}^{-x}dx.\] En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n.$ \item Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : \[I_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}-I_n\] \end{enumerate} \item On considère la suite réelle $\left(a_n\right)$, définie sur ${\N^*}$ par $a_1=0$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[a_{n+1} = a_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[a_n=\frac{1}{\text{e}}+(-1)^n I_n.\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \medskip On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe \[f(z) = \frac{2 - \text{i}z}{1 - z}.\] L'exercice étudie quelques propriétés de $f$. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1} et \textbf{2}. A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i. \medskip \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble. \item On pose $z' = f(z).$ \begin{enumerate} \item Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour $z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$. \item $M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe $z'$ ($z'$ différent de i). Montrer que O$M = \frac{\displaystyle{M'\text{C}}}{\displaystyle{M'\text{D}}}$ où C et D sont les points d'affixes respectives 2 et i. \item Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image $M'$ appartient à une droite fixe que l'on définira géométriquement. \item Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de A, alors $M'$ appartient à la droite (CD). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 (spécialité)} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (1) d'inconnue $(n,~m)$ élément de $\Z^2$ : \[ 11n - 24m = 1.\] \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution. \item En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de l'équation (1). \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1). \end{enumerate} \item recherche du P. G. C. D. de $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$. \begin{enumerate} \item Justifier que 9 divise $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$. \item $(n,~m)$ désignant un couple quelconque d'entiers naturels solutions de (1), montrer que l'on peut écrire \[\left(10^{11n} - 1\right) - 10\left(10^{24m} - 1\right) = 9.\] \item Montrer que $10^{11} - 1$ divise $10^{11n} - 1$. (on rappelle l'égalité $a^n - 1 = (a - 1)\left(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + a^0\right)$, valable pour tout entier naturel $n$ non nul). Déduire de la question précédente l'existence de deux entiers $N$ et $M$ tels que : \[\left(10^{11} - 1\right)N - \left(10^{24} - 1\right)M = 9.\] \item Montrer que tout diviseur commun à $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$ divise 9. \item Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Dans tout le problème, $(\mathcal{C})$ désigne la courbe d'équation $y = \ln x$ représen\-tant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O et d'unité graphique 4~cm. \emph{Question préliminaire} : Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D) d'équation $y = x.$ \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente ($\Delta$) à $(\mathcal{C})$ au point I d'abscisse 1. \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x - 1 - \ln x.\] \item En déduire la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de la question précédente la valeur minimale prise par $x-\ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item $M$ et $N$ sont les points de même abscisse $x$ des courbes $(\mathcal{C})$ et (D) respectivement. Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distance $MN$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $(\mathcal{C})$. Exprimer la distance O$M$ de l'origine à $M$ en fonction de $x$. \item \emph{Étude de la fonction auxiliaire $u$ définie sur} $]0~;~+\infty[$ \emph{par} $u(x) =x^2 + \ln x$. \begin{enumerate} \item Justifier les limites de $u(x)$ en $0$ et en $+\infty$ ainsi que le sens de variations de $u$. \item Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ et un seul tel que $u(\alpha) = 0$. Montrer que $\alpha$ est compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement de $\alpha $ d'amplitude $10^{-2}$. \item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant la valeur de $x$. \end{enumerate} \item \emph{Étude de la fonction $g$ définie sur } $]0~;~+\infty[$ \emph{par} $g(x) = x^2 + (\ln x)^2$. Calculer $g'(x)$ et vérifier que $g'(x)=\dfrac{2}{x}u(x)$. En déduire le tableau de variations de $g$. \item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courte distance de l'origine aux points de la courbe $(\mathcal{C})$ et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pour $\alpha$ la valeur centrale de l'encadrement trouvé à la question \textbf{2. b}. \item A étant le point d'abscisse $\alpha$ de $(\mathcal{C})$, démontrer que la tangente en A est perpendiculaire à la droite (OA). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C Étude d'une suite} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le réel $\alpha$ défini dans \textbf{la partie B} est solution de l'équation $h(x) = x$, où $h $ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[h(x) = x- \dfrac{1}{4}\left(x^2 + \ln x\right).\] \item \begin{enumerate} \item Calculer $h'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $ \left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ \item Prouver que $h\left(\left[\frac{1}{2}~;~1\right]\right)\subset \left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ \item Calculer $h''(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right].$ \item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$ , on a \[0\leqslant h'(x)\leqslant 0,3.\] \end{enumerate} \item On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = h\left(u_n\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant 1$, et que la suite v est décroissante. \item \textsl{Attention, cette question n'est plus au nouveau programme du baccalauréat S.} En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que l'on a pour tout entier naturel $n$, $|u_{n+1}-\alpha|\leqslant 0,3|u_n-\alpha|$ puis que $|u_n-\alpha|\leqslant \frac{1}{2}(0,3)^n.$ \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\alpha$. \item Déterminer un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à 10$^{-5}$ près et indiquer la valeur de $u_{n_0}$ donnée par la calculatrice (avec 5 décimales). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry mars 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2001 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2001~\decofourright~}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les trois points A (2~;~0~;~0), B(1~;~1~;~0) et C(3~;~2~;~6). (D) est la droite passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$(0~;~1~;~1) et ($\Delta$) la droite passant par C et de vecteur directeur $\vect{v}(1~;~- 2~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et $(\Delta)$ puis montrer que (D) et $(\Delta)$ sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{w} = \vect{\text{AB}}~\wedge \,\,\,\vect{\text{AC}}$ (question hors programme en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC). \item Soit H le projeté orthogonal du point F(2~;~4~;~4) sur le plan (ABC). \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vect{\text{FH}} = k\vect{w}$. \item Déterminer la valeur de $k$ et en déduire les coordonnées de H. \item Calculer le volume du tétraèdre FABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère le polynôme $P$ défini par : \[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\] \begin{enumerate} \item Calculer $P\left(\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $P\left(-~\text{i}\sqrt{3}\right)$ puis montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout $z \in \C$, on ait $P(z) = \left(z^2 + 3\right) Q(z)$. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. \item Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal \Ouv, les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = -~\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle. \item On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}} = \text{e}^{\frac{-~\text{i}\pi}{3}}$ puis déterminer la nature du triangle BEC. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier relatif $n$, les entiers $14n + 3$ et $5n + 1$ sont premiers entre eux. \item On considère l'équation (E) : $87x + 31y = 2$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier, en utilisant par exemple la question \textbf{1.}, que 87 et 31 sont premiers entre eux. En déduire un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tel que $87u + 31 v = 1$ puis une solution $(x_0~;~y_0)$ de (E). \item Déterminer l'ensemble des solutions de (E) dans $\Z^2$. \item \emph{Application} : Déterminer les points de la droite d'équation $87x - 31y - 2 = 0$ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100. \textsl{Indication} : On remarquera que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à la droite (D) si, et seulement si, le couple $(x~;~- y)$ vérifie l'équation (E). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Le but de ce problème est d'étudier dans la partie \textbf{A} la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty$[ par \[f(x) = x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x^2},\] de déterminer ensuite dans la partie \textbf{B.} la position de sa courbe représentative par rapport à son asymptote oblique et enfin d'étudier une suite récurrente dans la partie \textbf{C.}, cette dernière partie étant, dans une large mesure, indépendante des deux autres. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction numérique définie sur ]0~;~+~$\infty$[ par : \[g(x) = x^3 - x - 2 \ln x + 1.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ est dérivable et que, pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, \[g'(x) = \dfrac{(x - 1) \left(3x^2 + 3x + 2\right)}{x}.\] \item Étudier les variations de la fonction $g$ puis déterminer le signe de $g(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. \item Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~+~\infty$[,\: $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$ puis donner le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip ($\Gamma$) désigne la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+~\infty[$ par $h(x) = x + \ln x$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $h$, puis montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0,4~;~0,7]. \item Montrer que l'on a : $\text{e}^{- \alpha} = \alpha$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote oblique à ($\Gamma$) en + ~$\infty$. \item Utiliser les résultats de la question \textbf{1 a} pour déterminer les positions relatives de ($\Gamma$) et ($\Delta$). \end{enumerate} \item Construire ($\Gamma$) et ($\Delta$) dans le repère orthonormal \Oij. \item \begin{enumerate} \item Calculer, au moyen d'une intégration par parties, l'intégrale I \[\text{I} = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\ln t}{t^2}\: \text{d}t.\] \item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan limitée par la courbe ($\Gamma$), la droite ($\Delta$) et les droites parallèles à l'axe des ordonnées d'équations $x = 1$ et $x = 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{Étude d'une suite} (hors-programme en 2002) Dans cette partie : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[*] $I$ désigne l'intervalle [0,4~;~0,7] ; \item[*] $\alpha$ est le réel mis en évidence au \textbf{B 1} ; \item[*] $\varphi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = \text{e}^{-~x}$~; \item[*] $u$ est la suite récurrente définie par $\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &=&0,4\\ u_{n+1} &=&\varphi({u_n})\\ \end{array} \right.$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'on a, pour tout $x \in I$. \begin{enumerate} \item $\varphi(x) \in I$. \item $|\varphi'(x)| \leqslant 0,7$. \item $|\varphi(x) - \alpha| \leqslant 0,7|x - \alpha|$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'on a, pour tout $n \in \N,~\left|u_{n + 1} - \alpha \right| \leqslant 0,7 \left|u_n - \alpha \right|$, puis en déduire par récurrence qu'on a, pour tout $n \in \N$, \[\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 0,3 \times (0,7)^n.\] \item Conclure alors quant à la convergence de la suite $u$. \end{enumerate} \item Déterminer un entier $p$ tel que, pour $n \geqslant p$, on ait $\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 10^{- 3}$, puis donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de $u_p$ à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2001 \hypertarget{Antilles-Guyane2}{} \label{Antilles-Guyane2} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2001~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice1}\hfill4points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip Un joueur achète 10~euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100~euros avec une probabilité de $\dfrac{1}{50}$ ou bien ne rien gagner. \begin{description} \item[ ] $G$ désigne l'évènement : \og Le joueur gagne au grattage \fg. \end{description} \smallskip Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100~euros, ou 200~euros, ou bien ne rien gagner. \smallskip \begin{description} \item[ ]$L_1$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 100 euros à la loterie \fg. \item[ ]$L_2$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 200 euros à la loterie \fg. \item[ ]$P$ désigne l'évènement : \og Le joueur ne gagne rien à la loterie \fg. \end{description} \smallskip Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 euros à la loterie est $\dfrac{1}{70}$, et la probabilité qu'il gagne $200$~euros à la loterie est $\dfrac{1}{490}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent. \item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur. \item Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. \end{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. La probabilité de l'évènement \og $X = 90$ \fg{} est $\dfrac{2}{125}$. La probabilité de l'évènement \og $X = 190$ \fg{} est $\dfrac{1}{250}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 euros au grattage, est égale à $\dfrac{1}{10}$. \item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il a gagné 100~euros au grattage. \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe $z$. \begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C$(- 4 + 3\text{i})$ et D$(- 8)$, en prenant 1 cm pour unité graphique. \item Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe le point $M'(z')$ tel que : \[z' = (1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Préciser les images des points A et B par $f$. \item Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$~ ($M$ est un point fixe pour $f$ si, et seulement si, $f(M) = M$). \end{enumerate} \item On admet que $\omega = 1 - 2$i. Soit $M$ un point quelconque et $M'$ son image par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout complexe $z$ on a: $z' - z = 2\text{i}(w - z)$. Dans toute la suite, $M$ est différent de $\Omega$. \item Déduire de la question précédente le rapport des distances $\dfrac{MM'}{\Omega M}$, et l'angle de vecteurs $(\vect{M \Omega}, \vect{MM'})$. \item Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point $M'$, connaissant le point $M$. Réaliser cette construction sur la figure de la question \textbf{1)} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(5,5.5) \psline{<->}(0,0)(3.4,0) \psline{<->}(3.8,0.3)(4.9,1.5) \psline{<->}(5,1.5)(5,5.5) \psline(0,0.3)(3.4,0.3)(3.4,4.4)(0,4.4)(0,0.3) \psline(3.4,0.3)(4.5,1.5)(4.5,5.5)(3.4,4.4) \psline(3.4,4.4)(4.5,5.5)(1.2,5.5)(0,4.4) \psline[linestyle=dotted](0,0.3)(1.2,1.5)(4.5,1.5) \psline[linestyle=dotted](1.2,1.5)(1.2,5.5) \rput(1.7,-0.2){$\ell$} \rput(4.35,0.7){$\ell$} \rput(5.2,3.5){$L$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur $L$, à base carrée de côté $\ell$, où $\ell$ et $L$ sont des entiers naturels non nuls tels que $\ell < L$. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l'arête $a$ est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d'espace vide). \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus grande valeur possible pour $a$ ? Quelles sont les valeurs possibles pour $a$ ? \item Dans cette question, le volume de la boîte B est $v = \np{77760}$. On sait que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de $a$ est 12. Montrer qu'il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimensions. \end{enumerate} \item On veut remplir une caisse cubique C, dont l'arête $c$ est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la question \textbf{1} (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d'espace vide). \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus petite arête $c$ pour la caisse C ? Quel est l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour l'arête $c$ ? \item Dans cette question, le volume de la boîte B est \np{15435}. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105. Quelles sont les dimensions $\ell$ et $L$ de la boîte B ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip $\star$ \textbf{Résolution de l'équation différentielle} \boldmath $(1) : y' - 2y = x\text{e}^x$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (2) : $y' - 2y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\R$. \item Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par \[u(x) = (ax + b) \text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l'équation (1). \item Montrer que $v$ est une solution de l'équation (2) si, et seulement si, $u + v$ est solution de (1). \item En déduire l'ensemble des solutions de (1). \end{enumerate} \item Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip $\star$ \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - x - 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$ et la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations. \item On admet que l'équation $g(x) = 0$ a exactement deux solutions réelles. \begin{enumerate} \item Vérifier que $0$ est l'une de ces solutions. \item L'autre solution est appelée $\alpha$. Montrer que $- 1,6 \leqslant \alpha \leqslant - 1,5$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du réel $x$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip $\star$ \textbf{Étude de la fonction principale} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- ~\infty$ et la limite de $f$ en $+~\infty$. (On pourra mettre $\text{e}^{2x}$ en facteur.) \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Étudier le sens de variation de $f$ \item Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$ où $\alpha$ est défini dans la partie \textbf{B}. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$. (On rappelle que $- 1,6 \leqslant \alpha \leqslant - 1,5$.) \item Établir le tableau de variations de $f$. \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm). \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie D} \medskip $\star$ \textbf{Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $m$ un réel négatif. Interpréter graphiquement l'intégrale $\displaystyle\int_m^0 f(x)\:\text{d}x$. (On justifiera la réponse.) \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_m^0 x\text{e}^x\:\text{d}x$, à l'aide d'une intégration par parties. \item En déduire $\displaystyle\int_m^0 f(x) \:\text{d}x$. \end{enumerate} \item Calculer la limite de $\displaystyle\int_m^0 f(x) \:\text{d}x$, lorsque $m$ tend vers $- \infty$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2001 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de \np{1400}~mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à \np{2500}~mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement. \medskip \parbox[c]{0.55\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est égale à $\dfrac{1}{3}$.\\ La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à $\dfrac{3}{4}$.\\ La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.\\} \parbox[c]{0.38\textwidth}{ \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(4.5,5) \pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.6)(3,4.3)(3.4,4.7) \pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2) (2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7) \pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5) (3.3,4)(3.3,4.4) \pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4) \pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7) \pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,4)(3.4,4.7) \rput(2.5,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.5,3.5){6} \rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5} \rput(3.9,1.1){4} \rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$} \rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S. \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ; E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ; E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ; E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg. \item On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point $M$ au point $N$. On donne $d$(D, R$_1$) = 5 ;~$d$(D, R$_2$) = 4 ;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 4 ;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 ; $d$(R$_3$, S) = 2 ;~$d$(R$_1$,~S) = 5,5 ;~ $d$(R$_2$,~S) = 6. Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-\text{i}z - 2}{z + 1}.\] Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = - 1,~b = 2\text{i}$ et $c = - \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit C$'$ l'image du point C par $f$. Donner l'affixe $c'$ du point C$'$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. \item Calculer l'affixe $d$ du point D ayant pour image par f le point D$'$ d'affixe $d' = \dfrac{1}{2}$. \item Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on note $p$ le module de $z + 1$ (c'est-à-dire $|z + 1| = p$) et $p'$ le module de $z' + \text{i}$ (c'est-à-dire $\left|z' + \text{i}\right| = p'$). \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on a : $pp' = \sqrt{5}$. \item Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors $M' = f(M)$ appartient à un cercle ($\Gamma '$), dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on considère le nombre complexe $\omega = \dfrac{z - 2\text{i}}{ z + 1}$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe $\omega$. \item Montrer que $z' = - \text{i}\omega$. \item Déterminer l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ telle que $z'$ soit un réel non nul. \item Vérifier que le point D appartient aux ensembles ($\Gamma$) et (F). \end{enumerate} \item Représenter les ensembles ($\Gamma$), (F) et ($\Gamma'$) en prenant 4~cm pour unité graphique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $(f \circ f)(z)$ en fonction de $z$. \item Montrer que $f = \text{R} \circ \text{S}$, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S). \item Décomposer R à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $f$ est une réflexion, dont on donnera l'axe (D$_1$). Réaliser une figure, en y représentant l'axe (D$_1$) (unité graphique 2~ cm). \end{enumerate} \item On considère l'application $g$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que : \[z'' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de l'ensemble des points invariants de $g$. \item Montrer que $g = \text{T} \circ f$ où T est une translation (on précisera l'affixe du vecteur de la translation T). \item Décomposer la translation T à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $g$ est une réflexion, d'axe noté (D$_2$). \item Quelle est l'image par $g$ du point A d'affixe $\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ En déduire une construction de la droite (D$_2$), qui n'utilise pas son équation, et l'illustrer en complétant la figure précédente. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]- 1~;~+~\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^2}.\] On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \bigskip $\star~${\textbf{I.~~} Étude de la fonction~ $f$~ et tracé de $(\mathcal{C})$} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $- 1$. Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que son signe est celui de $\dfrac{x - 1}{x + 1}$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), les droites d'équations respectives $x = - 1$ et $y = 1$, ainsi que la tangente à cette courbe en son point d'abscisse $0$ (unité graphique : 4~cm). \item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle [1 ; 10]. Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécutifs $a$ et $b$ tels que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[a~;~b]$. \end{enumerate} \medskip $\star~${\textbf{II.~~} Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $]- 1~;~+~\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}.$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$ dans l'intervalle [1~;~2]. \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~2], on a : $1 \leqslant g(x) \leqslant 2,5$. \item En déduire un encadrement de A$_1 = \displaystyle\int_1^2 g(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \item Soit A$_2$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x$ = 1 et $x$ = 2, la courbe ($\mathcal{C}$) et l'axe des abscisses. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer A$_2$ en fonction de A$_1$, et en déduire un encadrement de A$_2$. \end{enumerate} \bigskip $\star~$ {\textbf{III.~~} Approximation d'un nombre à l'aide d'une suite} \medskip Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l'équation $f(x) = x$ a une unique solution $\beta$ et que celle-ci est élément de l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$. Soit $h$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^3}.$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $]- 1~;~+\infty[$ on a : \[f'(x) = f(x) - 2h(x).\] \item Calculer $h'(x)$. \item En utilisant la question \textbf{a}, calculer $f''(x)$. En déduire le sens de variation de $f$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ \item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ on a : \[\left|f'(x)\right| \leqslant \dfrac{1}{4}.\] \end{enumerate} \item On définit la suite $(U_n)$, pour tout nombre entier naturel $n$, par $U_0$ = 1 et $U_{n + 1} = f\left(U_n\right)$ pour $n \geqslant 0$. On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant U_n \leqslant 1$. (Question hors-programme en 2002). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : \[\left|U_{n+ 1} - \beta\right| \leqslant \dfrac{1}{4} \left|U_n - \beta\right|.\] \item Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : \[\left|U_n - \beta\right| \leqslant \left( \dfrac{1}{4}\right)^n.\] \item En déduire une valeur approchée numérique de $\beta$ à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2001 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 2001} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité} \medskip Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition. Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le visiteur passe \emph{au hasard} d'une salle à une salle voisine. \item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer. Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. Par exemple : \item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF. \item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,8.5) \psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) \psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche \psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2) (0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2) (3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2) \psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2) (4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intérieur gauche \psline(4.2,4.2)(4.2,7.2) \psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2) (2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas \psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2) (2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut \psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit \psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180} \psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180} \psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9} {-180}{0} \rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} \rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes. \begin{enumerate} \item Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur. \item Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est $\dfrac{1}{6}$. \item Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg. \item Pour des raisons techniques, le directeur installe les œuvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T \fg. \end{enumerate} \item Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X = 1)$. \item Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.) \item Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T. Prouver qu'il a tort. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm), dans lequel on considère les points A (2~;~0), B(0~;~2) et C$(- 2~;~- 2)$. \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b$ et $c$ les nombres définis pour $t$ réel par : \[\renewcommand\arraystretch{1.7}\left\{ \begin{array}{l c r} a &=& - \dfrac{1}{2}\sin 2t + \dfrac{2}{3}\cos t + \dfrac{2}{3}\\ b &=& \sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\ c & =& - \dfrac{1}{2}\sin 2t - \dfrac{1}{3} \cos t + \dfrac{2}{3}\\ \end{array} \right.\] \renewcommand\arraystretch{1} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $t$, il existe un barycentre, noté $G(t)$, du système de points pondérés \{(A,~a) ; (B,~b) ; (C,~c)\}. \item Montrer que, pour tout réel $t$, les coordonnées du point $G(t)$ sont : \[x(t) = \cos t \quad \text{et} \quad y(t) = \dfrac{3}{2} \sin 2t.\] Lorsque le paramètre $t$ varie, ce barycentre décrit une courbe ($\Gamma$), que l'on se propose d'étudier. \end{enumerate} \item Étude des symétries de la courbe ($\Gamma$) \begin{enumerate} \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(t + 2\pi$). \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(- t)$. \item Étudier les positions relatives des points $G(t)$ et $G(\pi - t)$. \item Déduire de ce qui précède, en justifiant la démarche, un intervalle d'étude approprié pour les fonctions $x$ et $y$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et les faire apparaître dans un même tableau. \item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs du paramètre 0, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ et tracer les tangentes à la courbe ($\Gamma$) en ces points. \item Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis tracer ($\Gamma$) complètement. (Hors-programme en 2002) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J$_1$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~ v)$ est solution de l'équation (E$_1)$~ : \[35x - 27y = 2.\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~y_0)$ solution particulière de l'équation (E$_2$) : \[35x - 27y = 1.\] \item En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$). \item Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$). \item Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer J$_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ? \item Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.) \item Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Les objectifs du problème sont de déterminer une solution particulière d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip On appelle (E) l'équation différentielle : $y'' - y = 0$, où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$, définie par $h(x) = \text{e}^{rx}$, soit solution de (E). \item Vérifier que les fonctions $\varphi$ définies par $\varphi(x) = \alpha \text{e}^x + \beta \text{e}^{- x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E). \item Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $\left(\ln 2~;~ \dfrac{3}{4}\right)$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\dfrac{5}{4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On appelle $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right).\] On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item Soit $\mu$ un réel. Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \mu$ équivaut à $\text{e}^{2x} - 2\mu \text{e}^x - 1 = 0$. En déduire que l'équation $f(x) = \mu$ a une unique solution dans $\R$ et déterminer sa valeur en fonction de $\mu$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0. \item En étudiant le sens de variation de la fonction $d$ définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - x$, préciser la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à (T). \item Tracer ($\mathcal{C}$) et (T) (unité graphique : 2 cm). \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c l c l} 0 & \leqslant &x & \leqslant &1\\ x &\leqslant &y &\leqslant &f(x)\\ \end{array}\right.\] Calculer, en cm$^2$ l'aire de $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip On cherche à caractériser les fonctions $\varphi$, dérivables sur l'ensemble des nombres réels, telles que, pour tout réel $x$ : \[\varphi(x) - \displaystyle\int_0^x (x - t) \varphi (t)\:\text{d}t = x \quad (\text{H}).\] \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe une telle fonction $\varphi$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[\varphi(x) = x + x \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\: \text{d}t - \displaystyle\int_0^x t \varphi(t)\:\text{d}t.\] Calculer $\varphi(0)$. \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x, ~\varphi'(x) = 1 + \displaystyle\int_0^x \varphi(t)\:\text{d}t$. Calculer $\varphi'(0).$ \item Vérifier que $\varphi$ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie \textbf{A}. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question \textbf{A 2}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^x t\left(\text{e}^t - \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t.$ \item Démontrer que la fonction trouvée à la question \textbf{1 c} vérifie bien la relation (H). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2001 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2001~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit $k$ un réel de l'intervalle $[- 1~;~1]$. On note $G_k$ le barycentre du système $\left\{\left(\text{A},~k^2+ 1\right),~ (\text{B},~k),~ (\text{C},~- k)\right\}$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G$_1$ et G$_{-1}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $k$ de l'intervalle $[- 1~;~1]$, on a l'égalité : \[\vect{\text{A}G_k} = - \dfrac{k}{k^2 + 1}\vect{\text{BC}}.\] \item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[- 1~;~1]$ par \[f(x) = - \dfrac{x}{x^ 2 + 1}.\] \item En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle $[- 1~;~1]$. \end{enumerate} Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie. \item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ de l'espace tels que : \[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\] \item Déterminer l'ensemble $F$ des points $M$ de l'espace tels que : \[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|.\] \item L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0~;~0~;~2), $(- 1~;~2~;~1)$ et $(- 1~;~2~;~5)$. Le point $G_{k}$ et les ensembles $(E)$ et $(F)$ sont définis comme ci-dessus. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_{-1}$. Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants. \item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de (E) et (F). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} [unité graphique : 6 cm]. On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par $\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et, pour tout entier naturel $n,~\alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1 tel que l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les douze points M$_0$,~ M$_1$,~ M$_2$,~$\ldots$, M$_{11}$. \item On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_n = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ; \item[$\bullet~$] les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$. En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$. \end{enumerate} \item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M$_0$,~M$_1$, ~M$_2$,~$\cdots$,~M$_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} [unité graphique : 6~cm]. On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points ($M_n$) de la manière suivante : M$_0$ a pour affixe $z_{0} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ et, pour tout entier naturel $n,~ M_{n+1} = f(M_{n})$. On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. Placer les points M$_{0}$,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité \[z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}\] (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). \item Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ soit supérieur ou égal à $p$. Montrer que deux points $M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et seulement si, $(n - p)$ est multiple de 12. \item \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $12x - 5y = 3$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2~cm). \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip $\star~$Étude d'une fonction $f$ \medskip On définit la fonction $f$ sur $]0~;~+~\infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+~\infty[$. \item Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans \Ouv~ et A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 3. Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\dfrac{5}{4}$, P le projeté orthogonal de B sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et H le projeté orthogonal de B sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère \Ouv~ et représenter la courbe $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip $\star~$Utilisation d'une rotation \medskip Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ la rotation $r$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner $z'$ en fonction de $z$. On note $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'\: (x,\: y,\: x',\: y'$ réels). Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item Déterminer les coordonnées des points A$'$, B$'$ et P$'$ images respectives des points A, B et P par la rotation $r$. \end{enumerate} \item On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{- 2x} + 2\text{e}^{- x}$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans le repère \Ouv. \begin{enumerate} \item Montrer que lorsqu'un point $M$ appartient à $(\mathcal{C})$, son image $M'$ par $r$ appartient à ($\Gamma$). On admet que lorsque le point $M$ décrit $(\mathcal{C})$, le point $M'$ décrit ($\Gamma$). \item Tracer sur le graphique précédent les points A$'$, B$'$, P$'$ et la courbe ($\Gamma$) (l'étude des variations de $g$ n'est pas demandée). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} $\star~$Calcul d'intégrales \medskip On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} g(x)\: \text{d}x$. Interpréter graphiquement cette intégrale. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan $\mathcal{D}$ limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe $(\mathcal{C})$ d'extrémités B et A. \item On pose I = $\displaystyle\int_{\frac{5}{4}}^3 \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right)\:\text{d}x.$ Trouver une relation entre $\mathcal{A}$ et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2001 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades $c_{1} ,~ c_{1} ,~c_{2} ,~c_{3} ,~c_{4},~ c_{5}.$ \medskip \textbf{Partie A} \medskip Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment l'une de l'autre, un des cinq circuits. \medskip \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des deux familles ? \item Quelle est la probabilité pour qu'elles fassent le même jour, le même circuit ? \item Quelle est la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ? \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque famille élimine de son tirage le circuit qu'elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour chacune des deux familles. On note : $E$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le premier jour \fg. $F$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le deuxième jour \fg. Calculer les probabilités suivantes : \centerline{$P(E),\: P(F/E),\: P\left(F/\overline{\text{E}}\right)\: \text{puis }\: P(F \cap E) \:\text{et}\:\: P\left(F \cap \overline{\text{E}}\right).$} En déduire $P(F)$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. \item En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right).$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct (O,~$\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}$) où $\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$. On considère les points A(3~;~1~;~0), B(1~;~2~;~0), C(3~;~2~;~1) et $D$(0~;~0~;~$d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABC$D$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose $\vect{\text{N}} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{N}}$. \item En déduire l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan (ABC). \begin{enumerate} \item On pose $\vect{DH} = \lambda \vect{\text{N}}$. Calculer $\lambda$ en fonction de $d$. \item En déduire l'expression de la distance $DH$. Montrer que le volume du tétraèdre ABC$D$ est V$_{d} = \dfrac{2d+5}{ 6}$. \end{enumerate} \item Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est perpendiculaire au plan (ABC). \item On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au plan (OBC). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(\Omega~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 3~cm. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de vecteurs directeurs respectifs $\vect{d_{1}} = \vect{u}$, et $\vect{d_{2}}$ et $\vect{d_{3}}$ supposés unitaires et tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \vect{d_{2}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3}} \right) = - \dfrac{2\pi}{3}$. On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$, et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois réflexions. \begin{enumerate} \item Tracer ces trois droites. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$. \item Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\vect{d}$. Tracer la droite D. \item En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E}} = \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la droite D. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C. \item Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$. \item Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A - Lectures graphiques} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.8cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture*}(-1.75,-6)(5.5,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-5.9)(5.5,2) \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1.75}{5}{ x 1 add dup mul 2.71828 0 x sub exp mul} \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{5}{1 x dup mul sub 2.71828 0 x sub exp mul} \rput(1.5,-0.7){\blue $F$} \rput(3,1.1){\cyan $C$} \end{pspicture*} \end{center} On donne dans un repère orthogonal les courbes $C$ et $F$ représentatives de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. On sait que l'une de ces fonctions est la fonction dérivée de l'autre, on peut donc les noter $g$ et $g'$. \medskip \begin{enumerate} \item Associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur l'intervalle $\left[-~\dfrac{3}{2}~ ;~ 5\right]$ le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$. \item Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 0 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y' + y = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par $f_{0}(x) = (x^2 + 2 x)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation $(E)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E')$ : $y'+ y = 0$. \item Soit $u$ une solution de $(E')$ . Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de (E). On admettra que, réciproquement, toute solution $f$ de $(E)$ est de la forme $f = f_{0} + u$ où $u$ est une solution de (E'). En déduire, pour $x \in \R$ , l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de $(E)$. \item Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de $(E)$, déterminer $g(x)$ pour $x \in \R$. \item Déterminer la solution $h$ de l'équation $(E)$ dont la représentation graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : $f(x) = (x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item On sait que $f$ est dérivable sur $\R$ : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de $f$. \item Dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm, on note $C'$ la représentation graphique de $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ à $C'$ au point $\Omega$ d'abscisse $- 1$. \item Tracer avec soin la courbe $C'$ et la tangente $T$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$. \item Soit $\alpha$ un réel positif. Calculer en cm$^2$ l'aire notée $\mathcal{A}(\alpha)$ de la zone du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2001 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité} \medskip Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2~cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1$ et $z_{\text{B}} = 3\text{i}$. Soit la fonction $f$ de $P$ privée du point A dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \text{i}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z + 1}\right) \quad (1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 2 - \text{i}$. Montrer qu'il existe un seul point D tel que $f$(D) = C. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item À l'aide de l'égalité (1), montrer que, pour tout $M$ distinct de A et de B : O$M' = \dfrac{\text{B}M}{\text{A}M}$ ~et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{O}M'}\right) = \dfrac{\pi}{ 2} + (\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}$) \: (modulo 2$\pi$). \item En déduire et construire les ensembles de points suivants : \begin{enumerate} \item L'ensemble $E$ des points $M$ tels que l'image $M'$ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1. \item L'ensemble $F$ des points $M$ tels que l'affixe de $M'$ soit réelle. \end{enumerate} \item On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note C$_1$ l'image de C par $R$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe de C$_1$. \item Montrer que C$_1$ appartient à l'ensemble $F$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une boîte contient 8 cubes: $\left\{\begin{array}{l} 1~\text{gros rouge et }~3 ~\text{petits rouges}\\ 2 ~\text{gros verts et}~ 1 ~\text{petit vert}\\ 1 ~\text{petit jaune}\\ \end{array}\right.$ \medskip Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (\emph{on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur}). \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles}. \medskip \begin{enumerate} \item On note $A$ l'évènement : \og obtenir des cubes de couleurs différentes \fg{} et $B$ l'évènement : \og obtenir au plus un petit cube \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de $A$. \item Vérifier que la probabilité de $B$ est égale à $\dfrac{2}{7}$. \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l'enfant. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item L'enfant répète $n$ fois l'épreuve \og tirer simultanément trois cubes de la boîte \fg, en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note $P_n$ la probabilité que l'évènement $B$ soit réalisé au moins une fois. \begin{enumerate} \item Déterminer $P_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P_n \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère $x$ et $y$ des entiers relatifs et l'équation $(E) \quad 91x + 10y = 1$. \begin{enumerate} \item Énoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation $(E)$. \item Déterminer une solution particulière de $(E)$ et en déduire une solution particulière de l'équation \[(E')\::\qquad 91x + 10y = 412.\] \item Résoudre $(E')$. \end{enumerate} \item Montrer que les nombres entiers $A_n = 3^{2n} - 1$, où $n$ est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). \item On considère l'équation $(E'')\: A_3x + A_2y = 3\:296$. \begin{enumerate} \item Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x,~ y)$ solutions de l'équation $(E'')$. \item Montrer que $(E'')$ admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité} \medskip Dans tout le texte e désigne le nombre réel qui vérifie $\ln$ e = 1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\ln x + x\text{e}}{x^2}.\] On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Ouv, unité graphique : 2~cm. \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = -2 \ln x - x\text{e} + 1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en + ~$\infty$. \item Étudier le sens de variation de $g$. \item Montrer que dans [0,5~;~1] l'équation $g(x) = 0$ admet une solution et une seule notée $\alpha$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à 0,1 près. \item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$ puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty$[. \item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha \text{e}}{2\alpha^2}$. \item Donner le tableau de variations de $f$. \item Construire $\Gamma$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Intégrale et suite} \medskip Soit $I_n = \displaystyle\int_{\text{e}^n}^{\text{e}^{n+1}} \dfrac{\ln t}{t^2}\: \text{d}t$ et $A_n = \displaystyle\int_{\text{e}^n}^{\text{e}^{n+1}} f(t)\: \text{d}t$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que : \[I_n = \dfrac{n + 1}{\text{e}^n} - \dfrac{ n + 2}{\text{e}^{n+1}}.\] \item \begin{enumerate} \item Montrer que $A_n = I_n +$ e. \item Calculer $I_0$ et $A_0$. \item Donner une interprétation géométrique de $A_0$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $(A_n)$ converge vers e. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2001 \hypertarget{Antilles-Guyanesept}{} \newcommand{\im}{\,\text{i}} \label{Antilles-Guyanesept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2001}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2001~\decofourright}}\end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[\left\{ \begin{array}{l c l l} f(x) &= &m \sin x& \text{pour}~ x \in [0~;~\pi]\\ f(x)& =& 0& \text{sinon}.\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $m$ tel que $f$ soit une densité de probabilité. \item Représenter $f$ dans un repère orthonormé. \item Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité de probabilité. Définir la fonction de répartition de $X$ puis représenter graphiquement $F$ dans un repère orthonormé. \item Calculer la probabilité $p\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right)$. \item Calculer les probabilités $p(X \geqslant 0)$ et $p(X \leqslant 0).$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ : \[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\] \item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes \[a = - 4\sqrt{3} - 4\im \quad\text{et}\quad b = - 4\sqrt{3} + 4\im.\] Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. \item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3} + \im$ et par D son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D. \item On appelle G le barycentre des points pondérés (O~;~$- 1$),\: (D~;~1)\: et\: (B~;~1). \begin{enumerate} \item Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6\im$. \item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm). \item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{GA}}, ~\vect{\text{GC}}\right)$, ainsi que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$. Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels que PGCD$(a + b~;~ab) = p$, où $p$ est un nombre premier. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$ \item En déduire que $p$ divise $a$. On constate donc, de même, que $p$ divise $b$. \item Démontrer que PGCD$(a,~b) = p$. \end{enumerate} \item On désigne par $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \leqslant b$. \begin{enumerate} \item Résoudre le système \[\left\{ \begin{array}{l c r} \text{PGCD}(a,~ b)& =& 5\\ \text{PPCM}(a,~ b)& =& 170\\ \end{array} \right.\] \item En déduire les solutions du système : \[\left\{\begin{array}{l c r} \text{PGCD}(a + b,~ab)& =& 5\\ \text{PPCM}(a,~b) &=& 170\\ \end{array} \right.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = - 3 - \ln x + 2(\ln x)^2.\] On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. \begin{center} \textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \textbf{et tracé de la courbe} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. (On pourra poser $\ln x = X$). \item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $f(x) > 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$. \item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse e$^{\frac{5}{4}}$. \item On se propose d'étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $(\mathcal{T})$. Pour cela, on considère la fonction $\varphi$, définie sur ]0~;~$+ \infty[$ par : \[ \varphi(x) = f(x) - \left(4\text{e}^{-\frac{5}{4}}x - \dfrac{41}{8}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi'(x) = \dfrac{4 \ln x - 1}{x} - 4\text{e}^{-\frac{5}{4}}$ puis calculer $\varphi''(x)$. \item Étudier le sens de variation de $\varphi'$ sur $]0~;~+ \infty[$. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à ]0~ ;~ $+ \infty[$, on a $\varphi'(x) \leqslant 0$. \item Calculer $\varphi \left(\text{e}^{\frac{5}{4}}\right)$. Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ déterminer le signe de $\varphi(x)$. En déduire la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $(\mathcal{T})$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et la droite $(\mathcal{T})$. (Unité graphique : 2~cm). \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B - Calcul d'une aire} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $h$, définie par $x \mapsto x \ln x - x$, est une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0~;~+ \infty[$. \item On pose $I_{1} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} \ln x\: \text{d}x$ et $I_{2} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} (\ln x) ^2\: \text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer $I_{1}$. \item En utilisant une intégration par parties, montrer que $I_{2} = \dfrac{5}{4}\text{e}^{\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{\text{e}}$. \item Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} f(x)\: \text{d}x$. En déduire l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des points $M(x~ ;~ y)$ du plan tels que $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e}^{\frac{3}{2}}$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles Guyane septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2001 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2001}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textbf{Exercice 1}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le tirage d'une boule dans l'urne choisie. On note $A$ l'évènement \og l'urne $a$ est choisie \fg{} , $B$ l'évènement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et $R$ l'évènement \og une boule rouge est obtenue au tirage \fg. On note $p_{A}(R)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $R$ par rapport à l'évènement $A$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches. \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités suivantes : $p\left(A\right)$,~$p_{A}(R)$,~$p(A \cap R)$. \item Montrer que \[p(R) = \dfrac{13}{30}\] \item Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit l'urne $a$ ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$. \begin{enumerate} \item Exprimer $p_{A}\left(R\right) $ et $p_{B} \left(R\right)$ en fonction de $n$. \item Démontrer que \[ p(R) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\] \item On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ donnant la plus grande valeur possible de $p\left(R\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv~ direct. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ par : \[f(z) = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $z$ de $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$, $f(z) = - \text{i} + \dfrac{2}{z - \text{i}}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $- \text{i}$ n'a pas d'antécédent par $f$. \item Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$. \end{enumerate} \item À tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \cdot \text{B}M'=2$). \item Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M(z)$ tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul. \item Démontrer que lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ se déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera. \item Lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ? \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20. \item Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? \item Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, et en détaillant les calculs effectués, deux entiers relatifs $m$ et $p$ tels que $42m + 5p = 1$. \item En déduire deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $42u + 5v = 2$. \item Démontrer que le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $42x + 5y = 2$ si, et seulement si $42(x + 4) = 5(34 - y)$. \item Déterminer tous les couples d'entiers $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $42x + 5y = 2$. \end{enumerate} \item Déduire du \textbf{2.} les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $(42x + 5y - 3)(42x + 5y + 3) = - 5$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Problème}\hfill 9 points} \medskip \emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.} Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij. L'unité graphique est $1$ cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f\left(x\right) =\left(x^{2}- 3x + 1\right) \text{e}^{x}.\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$ et donner le tableau de variation de $f$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Soit \[ \text{I}= \int_{-3}^{0} f(x) \, \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement I. \item En utilisant l'intégration par parties, calculer \[\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x,\] puis \[\int_{-3}^{0}x^{2}\text{e}^{x}\:\text{d}x.\] \item En déduire la valeur exacte de I. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g\left( x\right) = \text{e}^{\left(x^{2} + ax + b\right)}.\] Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de variations de $g$ est celui donné ci-dessous ? \[\begin{array}{l|lllll} x & -\infty & & \frac{3}{2} & & + \infty\\\hline g'\left( x\right) & & - & 0 & + & \\\hline & + \infty & & & & +\infty\\ g(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \text{e}^{-\frac{5}{4}} & & \end{array} \] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[h\left(x\right) = \text{e}^{\left(x^{2}- 3x + 1\right)}\] et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$. \item Justifier l'affirmation suivante : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{}. \item Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près. Établir que \[0,28\leqslant h\left(\alpha\right) \leqslant 0,47.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous ( $a,~b$ et $c$ étant trois nombres réels). \[\begin{pspicture}(10,3.6) \psframe(10,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,3)(10,3) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$0$} \uput[u](6,3){$a$} \uput[u](8,3){$b$} \uput[u](9.7,3){$+ \infty$} \uput[u](1,1){$u(x)$} \uput[d](2.3,3){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$c$} \rput(8,1.55){$0$} \uput[d](9.7,3){$+ \infty$} \psline{->}(2.6,2.7)(5.8,0.4) \psline{->}(6.2,0.4)(9.6,2.6) \psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0.7) \psline[linestyle=dashed](8,3)(8,1.7) \end{pspicture}\] Soit $v_{1},~v_{2},~v_{3}$ les fonctions définies par : \[v_{1}(x) = \text{e}^{u(x) } \qquad v_{2}(x) = u\left(\text{e}^{x}\right) \qquad v_{3}(x) = u(x) \text{e}^{x}. \] \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ et $v_{2}$ (en justifiant votre réponse). \item Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction $v_{3}$ (en justifiant votre réponse). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2001 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2001}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout naturel $n \geqslant 1$ on pose : \[I_n = \dfrac{1}{2^{n+1}n!} \displaystyle\int_0^1 (1 - t)^n\text{e}^{\frac{t}{2}}\:\text{d}t.\] \smallskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer I$_1$. \item Démontrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$ on a : \[I_{n+1} = I_n - \dfrac{1}{2^{n+1}(n+1)!}.\] \item En déduire par récurrence que pour tout naturel $n \geqslant 1$ on a : \[\sqrt{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1!} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} \cdot \dfrac{1}{n!} + I_n.\] \item Montrer que l'on peut trouver une constante A telle que : \[0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n n!}\text{A}.\] On pourra déterminer A en majorant la fonction : \[t \longmapsto (1 - t)^n\text{e}^{\frac{t}{2}} \quad \text{sur l'intervalle [0~;~1]}\] En déduire la limite quand $n$ tend vers l'infini de : \[u_n = 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1!} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} \cdot \dfrac{1}{n!}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2\text{i}, \quad z_{\text{B}} = \text{i}, \quad z_{\text{C}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{D}} =1 + \text{i}.\] \textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P} - \{\text{B}\}$ dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ où \[z' = \text{i}\dfrac{z - 2\text{i}}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Développer $(z + 1 - \text{i})(z - 1 - \text{i})$. \item Chercher les points $M$ vérifiant $f(M) = M$ et exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $z$ différent de i, \[|z'| = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M},\] et que, pour tout $z$ différent de i et de 2i, \[\text{arg}\left(z'\right) = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M}\right) + \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} 2\pi).\] \item Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| = 1$. \item Déterminer et construire l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que arg$\left(z'\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} \quad 2\pi$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $z'- \text{i} = \dfrac{1}{z - \text{i}}$ et en déduire que $|z'- \text{i}| \times |z - \text{i}| = 1$, pour tout complexe $z$ différent de i. \item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de rayon $\dfrac{1}{2}$. Prouver que le point $M'$ d'affixe $z'$ appartient à un cercle de centre B et de rayon à déterminer. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 1~cm, on considère les points B, D définis par : $\vect{\text{AB}} = 2\vect{u},~\vect{\text{AD}} = 3\vect{v}$ et C tel que ABCD soit un rectangle. \textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit E l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{DB}}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ de E. \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ tels que le point F d'affixe $z_{\text{F}} = 6 - \text{i}$ soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients $a,~ b$ et 1. \item On considère la similitude $s$ qui transforme A en E et B en F. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, image de $M$ par $s$. \begin{enumerate} \item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. \item Déterminer le centre I, l'angle et le rapport de la similitude $s$. \item Déterminer les images de C et de D par $s$. \item Calculer l'aire de l'image par $s$ du rectangle ABCD. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Omega$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|6\vect{M\text{A}} - 10\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9.\] \item Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l'image de $\Omega$ par $s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Problème\hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2 + \cos x)\text{e}^{1 - x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$ : $f(x) > 0$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $\R ~:~\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x + \sin x$. \item En déduire que, pour tout $x$ de $\R~:~2 + \cos x + \sin x > 0$. \item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~:~\text{e}^{1 - x} \leqslant f(x) \leqslant 3\text{e}^{1 - x}$. \item En déduire les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~\pi]$, l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique $\alpha$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Représenter la courbe $\mathcal{C}$ sur [0~;~4]. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On veut calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + \displaystyle\int_{0}^1 \cos t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$. \item On pose : I $= \displaystyle\int_{0}^1 \cos t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$ et J $= \displaystyle\int_{0}^1 \sin t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : \[\text{I} = - \cos 1 + \text{e} - \text{J}\quad \text{et} \quad \text{J} = - \sin 1 + \text{I}.\] \item En déduire la valeur de I. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, puis donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ si à $10^{-2}$ près par défaut. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : \[h(x) = - 1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ admet des primitives sur $\R$. \item Calculer la primitive $H$ de la fonction $h$, qui prend en 0 la valeur $(1 + \ln 3)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\ln [f(x)]$ pour tout $x$ de $\R$. \item Étudier le sens de variations de la fonction $H$. \item Déterminer le tableau de variations de $H$. \end{enumerate} \item On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $x \longmapsto 1 - x + \ln (2 + \cos x)$. (On ne demande pas de représenter $\Gamma$.) On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = - x + 1$. \begin{enumerate} \item Étudier la position relative de $\Gamma$ et de $\Delta$. \item Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Établir une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse 0. \item Étudier la position relative de $\Gamma$ et T. \end{enumerate} \item Montrer que la courbe $\Gamma$ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 2001 \hypertarget{Nouvelle-Caledonie}{} \label{Nouvelle-Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2001}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie décembre 2001~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \textbf{Partie I}\end{center} L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[(- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 2~;~4).\] On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et $\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : \[ 8x + 9y + 5z - 12 = 0.\] \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. \item Montrer que : \[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]. \[\vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} \qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}\] Soit G le barycentre de {(A,~3), (B,~3), (C,~1), D,~1)}. \begin{enumerate} \item Déterminer les barycentres de \{(A,~3), (D,~1)\} et le barycentre de \{(B,~3), (C,~1)\}. \item En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 4~cm. Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - $i et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$i. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, $M$ distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, si $z$ est un imaginaire pur, $z \neq - \text{i}$, alors $z'$ est imaginaire pur. \item Déterminer les points invariants par l'application $f$. \item Calculer $\left|z' - \text{i}\right| \times |z + \text{i}|$. Montrer que, quand le point $M$ décrit le cercle de centre A et de rayon 2, le point $M'$ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. \item \begin{enumerate} \item Développer $(z + \text{i})^2$, puis factoriser $z^2 + 2\text{i}z - 2$. \item Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$, tels que $M'$ soit le symétrique de $M$ par rapport à O. \end{enumerate} \item Déterminer et représenter l'ensemble E des points $M$, tels que le module de $z'$ soit égal à 1. $\left(\text{On pourra remarquer que}~ z' = \dfrac{\text{i}\left(z -z_{\text{B}} \right)}{z - z_{\text{A}}}.\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{center}\textbf{Partie I}\end{center} Soit $x$ un nombre réel. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$. \item En déduire que $x^4 + 4$ peut s'écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ leur PGCD. \begin{enumerate} \item Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier. \item Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2. \item Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, divise $4n$. \item Dans cette question on suppose que $n$ est impair. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est impair. \item Montrer que $d$ divise $n$. \item En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que $n$ est pair. \begin{enumerate} \item Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$. \item Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair. \item Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On pourra s'inspirer de la démonstration utilisée à la question \textbf{4}) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = x - \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{- x}.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; l'unité graphique est 2~cm. \begin{center} \textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath }\end{center} Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x) = \left(x^2 + 2x - 1\right)\text{e}^{- x} + 1. \] \smallskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)$ et $(3 - x^2)$ ont le même signe. \item En déduire le tableau de variations de $g$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$. Vérifier que $g(0) = 0$. On note $\alpha$ la solution non nulle. \item Prouver que $- 2,4 < \alpha < - 2,3$. \end{enumerate} \item En déduire le signe $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x$, est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (D)et la courbe $(\mathcal{C})$ se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées. \item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D). \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie C - Calculs d'aire}\end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : \[H(x) = \left(ax^2 + bx + c \right)\text{e}^{-x}.\] Déterminer les réels $a,~b$ et $c$ tels que la fonction $H$ soit une primitive de la fonction $h$ définie par : \[ h(x) = \left(x^2 + 4x + 3 \right)\text{e}^{-x}.\] \item Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la partie de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D). \item Soit $m$ un réel strictement supérieur à $- 1$. On considère le domaine $\left(\mathcal{D}_m \right)$ délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations respectives $x = - 1$ et $x = m$. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire $\left(\mathcal{A}_m \right)$ du domaine $\left(\mathcal{D}_m \right)$, en unités d'aire. \item Déterminer la limite de $\left(\mathcal{A}_m \right)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud décembre 2001 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{décembre 2001}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\[7pt]décembre 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2~cm). On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont une représentation paramétrique est : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} x = f(t) & \text{où} & f(t) = 2 \left(\cos ^2 t + \cos t -1\right)\\ y = g(t) & \text{où} & g(t) = \sin ^3t + \sin t \end{array} ~~\text{avec}~t \in [ - \pi~;~\pi]\right.\] On appelle $M(t)$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ défini par la valeur $t$ du paramètre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les positions relatives de $M(t)$ et $M( - t)$. \item Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracer $\mathcal{C}$, d'étudier $f$ et $g$ sur $[0~;~\pi]$. Soit $\mathcal{C}'$ la partie de $\mathcal{C}$ correspondante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(t) = - 2 \sin t ( 2 \cos t + 1)$. Étudier le signe de $f'$ sur $[0~;~\pi]$. \item Montrer que $g'(t) = \cos t \left( 3 \sin^2 t + 1\right)$. Étudier le signe de $g'$ sur $[0~;~\pi]$. \item Dans un même tableau, faire figurer les variations de $f$ et de $g$ sur $[0~;~\pi]$. \end{enumerate} \item On veut déterminer l'intersection de $\mathcal{C}'$ et de l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item À l'aide du \textbf{2.} montrer que l'équation $f(t) = 0$ a une unique solution dans $[0~;~\pi]$. Soit $t_0$ celle solution. \item Donner une valeur approchée de $t_0$ à $10^{- 1}$ près par défaut. \item Déterminer une valeur approchée de $g(t_0)$. \end{enumerate} \item Placer les points $M(0),~M(t_0),~M\left(\dfrac{\pi}{2}\right),~M(\pi)$. Construire les tangentes à $\mathcal{C}'$ parallèles aux axes de coordonnées. Tracer $\mathcal{C}'$ puis en déduire la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie sur $\N$ par : \[\left\{ \begin{array}{l c l} u_{0} & = & 0\\ u_{n+1} &= &\sqrt{3u_{n} +4}\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est majorée par 4. \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante. \item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 4 - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(4 - u_{n}\right).\] \item Retrouver le résultat du \textbf{1. c}. \item Étudier la convergence de la suite $(v_{n})$ définie sur $\N$ par : \[v_{n} = n^2\left(4 - u_{n}\right).\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas pris l'enseignement de spécialité} \medskip On considère l'ensemble $E = \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6 ,~7\}$. Avec deux chiffres distincts $x$ et $y$ de $E$ on crée un unique domino simple noté indifféremment \begin{pspicture}(1,0.5) \psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$x$} \rput(0.75,0.25){$y$} \end{pspicture} ou \begin{pspicture}(1,0.5) \psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$y$} \rput(0.75,0.25){$x$} \end{pspicture}.\\ Avec un chiffre $z$ de $E$, on forme un unique domino double noté \begin{pspicture}(1,0.5) \psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$z$} \rput(0.75,0.25){$z$} \end{pspicture}. \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut ainsi créer 36 dominos. \item On tire au hasard un domino. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ? \end{enumerate} \item On tire au hasard et simultanément deux dominos. Un élève affirme : \og la probabilité d'obtenir un domino double et un domino simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est égale à $\dfrac{4}{45}$ \fg. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (\emph{La réponse sera justifiée}). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère les nombres $a$ et $b$ tels que : \[a = 2 n^3 + 5n^2 + 4n + 1 \qquad \text{et} \qquad b = 2 n^2 + n.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que $2n + 1$ divise $a$ et $b$. \item Un élève affirme que le PGCD de $a$ et $b$ est $2n + 1$. Son affirmation est-elle vraie ou fausse? (\emph{La réponse sera justifiée.}) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points.} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{- 2x}\] et sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \medskip \textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ? \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty $. \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe de $f'$ sur $\R$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point A d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \item Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude d'une tangente} \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ réel, $f''(x) = 4(2x - 1) \text{e}^{- 2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x) = 0$. \end{enumerate} \item Soit B le point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$. Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ en B. \item On veut étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et T : pour cela, on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = f(x) - \left(- \dfrac{2}{\text{e}}x + \dfrac{3}{\text{e}}\right).\] \begin{enumerate} \item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. \item Étudier le signe de $g''(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire le sens de variations de $g'$ sur $\R$. \item En déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur $\R$. \item Déterminer alors le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la position relative de $\mathcal{C}$ et T ? \end{enumerate} \item Dans le repère \Oij{} placer les points A et B puis tracer la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : calculs d'aire et de volume} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On note A($\lambda$), l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = \lambda$. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer A($\lambda$) en fonction de $\lambda$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \text{A}(\lambda)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $\R$ respectivement par : \[h(x) = (2x + 1 )^2 \text{e}^{- 4x} \qquad \text{et} \qquad H(x) = \left (- x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{8}\right) \text{e}^{- 4x}.\] Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$. \item On considère le domaine E limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = \dfrac{1}{2}$. On note $V$ le volume du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de l'axe des abscisses. On rappelle que $V$, en unités de volume, est exprimé par $V = \pi \displaystyle\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |f(x)|^2\:\text{d}x$. Déterminer la valeur exacte de $V$ en unités de volume puis une valeur approchée de $V$ à $10^{- 3 }$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2001 \end{document} %%%%%%%%%%%% Fin 2001 %%%%%%%%%%%%%%