%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier}\usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Année 2002}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2002 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2002 à mars 2003}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2002} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 2002} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord} \\ \hyperlink{Antilles-Guyane}{Antilles-Guyane juin 2002} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane} \\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2002} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2002} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2002} \dotfill \pageref{Metropole} \\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2002} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2002}\dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Antilles-Guyanesept}{Antilles-Guyane septembre 2002} \dotfill \pageref{Antilles-Guyanesept} \\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2002} \dotfill \pageref{Metropolesept} \\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie spécialité septembre 2002} \dotfill \pageref{Polynesiesept} \\ \hyperlink{Nouvelle-Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2002} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonie} \\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud décembre 2002} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud} \\ \hyperlink{Caledomars}{Nouvelle-Calédonie mars 2003} \dotfill \pageref{Caledomars} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2002 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry avril 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv ; unité graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$, et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe $\left(1 + z_{\text{B}}^2\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs $\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right)$. Placer le point B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes $(z_{\text{B}} - z_{\text{A}})$ et $(z_{\text{E}}- z_{\text{A}})$. \item En déduire que les points A , B et E sont alignés. \end{enumerate} \item Placer le point E. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout nombre complexe $z$ tel que $z \neq 1$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ où $z' = 1 + z^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des points A, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$. \item En déduire que A, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est un réel. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une urne contient $n$ boules blanches ($n \in \N$ et $n \geqslant 2$), 5 boules rouges et 3~boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? \item On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même couleur. \begin{enumerate} \item Montrer que $p(n) = \dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p(n)$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour les questions suivantes $n = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $p(4)$. \item Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : \begin{itemize} \item si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, \item si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. \end{itemize} On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$. \medskip Soit $u$ la suite numérique définie par : $u_{0} = 0,~u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\] \item Calculer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$ de la suite $u$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ vérifie, pour tout entier naturel $n$, ~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~ $u_{n}$ est un entier naturel. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de $u_{n}$ et $u_{n+1}$. \end{enumerate} \item Soit $v$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{3}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_{0}$. \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de $4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \begin{center} La partie \textbf{B} peut être traitée indépendamment de la partie \textbf{A}. \end{center} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique : 2~cm. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\R$ par : \[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx} \left(1 + \text{e}^x\right)}.\] On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux fonctions $f_{0}$ et $f_{1}$ correspondant respectivement à $n = 0$ et $n = 1$. On considère d'abord la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par $f_{0}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}.$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}_{0}$. \end{enumerate} \item Montrer que le point K $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_{0}$. \item étudier les variations de $f_{0}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au point K. \item Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$, il suffit d'étudier sur $\R$ le signe de $g(x)$, où $g(x) = 2 \text{e}^x - x \text{e}^x - 2 - x$. \item Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$. \item Déterminer, en les justifiant, les signes de $g''(x),~ g'(x)$ et $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$. \end{enumerate} \item Tracer $\mathcal{C}_{0}$ et T dans le repère \Oij. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$, les points $M (x~;~f_{0}(x))$ et $M'\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ sont symétriques par rapport à la droite (d) d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. \item Comment obtient-on $\mathcal{C}_{1}$ à partir de $\mathcal{C}_{0}$ ? Tracer $\mathcal{C}_{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} étude de la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $u_{0} = \ln \left(\dfrac{ 1 + \text{e}}{2}\right)$. \item Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{1}$. \item Montrer que la suite $u$ est positive. \item On pose $k(x) = f_{n+1} (x) - f_{n}(x)$, \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ réel, $k(x) = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}$. \item Etudier le signe de $k(x)$ pour $x \in [0~;~ 1]$. \item En déduire que la suite $u$ est décroissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : \[u_{n-1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-(n - 1)}}{n - 1}.\] \item Calculer $u_{2}$. \end{enumerate} \item Soit $v$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 par : \[v_{n} = \dfrac{u_{n-1} + u_{n}}{2}.\] \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $v_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : \[0 \leqslant u_{n} \leqslant v_{n}.\] \item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2002 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \label{AmeriqueduNord} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière indépendante. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un questionnaire à choix multiple (Q. C. M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse exacte rapporte $n$ point(s) et une réponse fausse fait perdre $p$ point(s). Soit $N$ la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $N$. \item Quelle relation doit exister entre $n$ et $p$ pour que l'espérance mathématique de $N$ soit nulle ? \end{enumerate} \item À un concours un candidat doit répondre à un Q. C. M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu'il réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Répondre au Q. C. M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). \begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie} \end{center} Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d'entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions. L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée. \medskip \begin{itemize}\item[\textbf{a}.] On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un \og paquet \fg{}. Combien de \og paquets \fg{} contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ? \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ 180 & 330 & 110\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[\textbf{b.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que : \[p(A) = 0,4 \quad p(B) = 0,5 \quad p\left(\overline{A \cup B}\right) = 0,35.\] Combien vaut $p(A \cap B)$ ? \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 :& Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ $p(A \cap \text{B}) = 0,1$ & $p(A \cap B) = 0,25$ & Les données sont \\ & & insuffisantes pour répondre.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[\textbf{c.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que $p(B \cap A) = \dfrac{1}{6},~p_A(B) = 0,25$ (probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé). Combien vaut $p(A)$ ? \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(A) = \dfrac{2}{3}$ & $p(A) = \dfrac{1}{24}$ & $p(A) = \dfrac{1}{12}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \item[\textbf{d.}] Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline $x_{i}$ & 1 & 2&4\\ \hline $_{\rule[0mm]{0mm}{6mm}} p_{i}$\rule[0mm]{0mm}{6mm} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Combien vaut l'écart type de $X$ ? \end{itemize} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ \rule[-4mm]{0mm}{9mm} $\sigma = \dfrac{3}{2}$ & $\sigma = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ & $\sigma = 2$\\\hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique. \vspace{0,2cm} On considère l'application $F$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z'= (1 + \text{i})z + 2.\] \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe $- 2 + 2$i. Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement A$' = F$(A) et $F$(B) = A. \item Méthode de construction de l'image de $M$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera $\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe. \item établir que pour tout complexe $z$ distinct de $\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i. Soit $M$ un point distinct de $\Omega$. Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{M\Omega},~\overrightarrow{MM'})$. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$. \end{enumerate} \item étude de l'image d'un ensemble de points. \begin{enumerate} \item Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 - 2\text{i}| = \sqrt{2}$. Vérifier que B est un point de $\Gamma$. \item Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\C$ \[z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).\] Démontrer que l'image par $F$ de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle $\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2. Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme $\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est un chiffre quelconque. Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}. Les parties A et B peuvent être traitées séparément. \medskip \textbf{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Décomposer \np{1001} en produit de facteurs premiers. \item Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'éléments de (E) ? \item Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un élément de (E) s'écrivant sous la forme $\overline{abba}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 3 \fg{} équivaut à \og $a + b$ est divisible par 3~\fg{}. \item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 7~\fg{} équivaut à \og~$b$ est divisible par 7~\fg{}. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.} \medskip Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile. On admet que pour tout élément $n$ de (F), il existe des entiers naturels $p$ et $q$ tels que : \[n = \np{2000} + 4 p \quad \text{et} \quad n = \np{2002} + 11q.\] \begin{enumerate} \item On considère l'équation (e) : $4 p - 11 q = 2$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs. Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation (e). \item En déduire que tout entier $n$ de (F) peut s'écrire sous la forme \np{2024} + 44 $k$ où $k$ est un entier relatif. \item À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F). N. B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f_{k}(x) = \ln (\text{e}^x + kx) - x.\] Soit $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij, (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées). \textbf{étude préliminaire : mise en place d'une inégalité.} On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty$[ par : \[g(x) = \ln (1 + x) - x.\] \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de $g$. \item En déduire que pour tout réel $a$ positif ou nul $\ln (1 + a) \leqslant a$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie A : étude de la fonction \boldmath $f_{1}$ \unboldmath définie sur \boldmath $[0~;~+ \infty[$ \unboldmath par~\boldmath $f_{1}(x) = \ln \left(\mathrm{e}^x + x\right) - x$\unboldmath.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'_{1}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{1}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f_{1}(x) = \ln \left(1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude et propriétés des fonctions \boldmath $f_{k}$\unboldmath .} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f_{k}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ $f_{k}(x) = \ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{k}$, en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de $f_{k}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f_{k}(x) \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $T_{k}$ à $\mathcal{C}_{k}$ au point O. \item Soit $p$ et $m$ deux réels strictement positifs tels que $p < m$. étudier la position relative de $\mathcal{C}_{p}$ et $\mathcal{C}_{m}$. \item Tracer les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ainsi que leurs tangentes respectives $T_{1}$ et $T_{2}$ en O. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Majoration d'une intégrale.} \medskip Soit $\lambda$ un réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{k}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Sans calculer $\mathcal{A}(\lambda)$, montrer que $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant k\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$ (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire). \item Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$. \item On admet que $\mathcal{A}(\lambda)$ admet une limite en + $\infty$. Montrer que $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda) \leqslant k$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2002 \hypertarget{Antilles-Guyane}{} \label{Antilles-Guyane} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright}}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l'été. On sait que $20\,\%$ des chaudières sont sous garantie. Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{100}$. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{10}$. On appelle $G$ l'évènement suivant : \og la chaudière est sous garantie \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : $A$ : \og la chaudière est garantie et est défectueuse \fg{} ; $B$ : \og la chaudière est défectueuse \fg. \item Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu'elle soit sous garantie est de $\dfrac{1}{41}$. \item Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte $80$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et n'est pas défectueuse. Il coûte $280$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et est défectueuse. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d'une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique. \item Au cours de la période de contrôle, on a trouvé $5$~chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles soit sous garantie ? \end{enumerate} \bigskip  \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, (unité graphique 2~cm). On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et $- 2$. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Soit B le point d'affixe $b = \dfrac{1 + 4\text{i}}{1 - 2\text{i}}$. écrire $b$ sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Soit D le point du cercle $(\mathcal{C})$ tel que l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~ \vect{\text{KD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + 2 k \pi$ où $k$ est un entier relatif et soit $d$ l'affixe de D. \begin{enumerate} \item Quel est le module de $d + \dfrac{1}{2}$~ ? Donner un argument de $d + \dfrac{1}{2}$. \item En déduire que $d = \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \item Déterminer un réel $a$ vérifiant l'égalité $\dfrac{1 + 2\text{i}a} {1 - \text{i}a} = \dfrac{1}{4} + 3\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \end{enumerate} \item Soit $x$ un réel non nul et $M$ le point d'affixe $m = \dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x}$. On pose $Z = \dfrac{(m -1)}{ (m + 2)}$. Calculer $Z$ et en déduire la nature du triangle AI$M$. \item Soit $N$ un point, différent de A du cercle $(\mathcal{C})$ et $n$ son affixe. Démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $n = \dfrac{1 + 2\text{i}y}{1 - \text{i}y}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ (unité graphique 4 cm) \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives : \[Z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} ,~Z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C}} = - 1,~Z_{\text{D}} = - \text{i}~ \text{et}~ Z_{\text{E}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Faire la figure \item Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC]. \item Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{OI}}$. Placer les points K et L sur la figure. \end{enumerate} \item On considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M'$ d'affixe $Z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z}$, où $\overline{Z}$ désigne le conjugué de $Z$. \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité $F = R ~\circ~ S$ où $S$ est la réflexion ou symétrie axiale d'axe (OI) et $R$ une rotation dont on précisera le centre et l'angle. \item Montrer que $F$ est une réflexion dont on précisera l'axe. \end{enumerate} \item Soit $G$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M''$ dont l'affixe $Z''$ définie par la formule $Z'' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z} + 1$. Déterminer une application $T$ telle que $G = T ~\circ~ F$. En déduire que $G$ est un antidéplacement. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère les fonctions $f_n$ définies sur $\R$ par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x}.\] \medskip \textbf{Partie A - étude de \boldmath $f_0$ \unboldmath \textbf{et de} \boldmath $f_1$ \unboldmath} \medskip On appelle $f_0$ la fonction définie par $f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$. On appelle $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ les courbes représentatives respectivement de $f_0$ et de $f_1$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 5 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_0$ en $- \infty$ puis en $+ \infty$. \item Calculer la dérivée de $f_0$ et étudier son sens de variation. \item Montrer que le point I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_0$. \item Déterminer une équation de la tangente en I à $\mathcal{C}_0$. \item Montrer que pour tout réel $x,~f_1(- x) = f_0(x)$. \item Par quelle transformation simple $\mathcal{C}_1$ est-elle l'image de $\mathcal{C}_0$ ? Construire $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x,~ f_0(x) + f_1(x) = 1$. \item Soit $a$ un réel positif ou nul. Calculer $\displaystyle\int_0^a f_0(x)\: \text{d}x$ puis $\displaystyle\int_0^a f_1(x)\: \text{d}x$. \item En déduire l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie du plan définie par \[ \left\{ \begin{array}{l c l} 0 & \leqslant x \leqslant & a \\ f_{1}(x) & \leqslant y \leqslant & 1 \end{array}\right.\] \item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C étude d'une suite} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$. \item Montrer que pour tout entier $n,~ u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{\text{e}^n - 1}{\text{e}^n}$. \item En déduire la limite quand $n$ tend vers $+ \infty$ de $u_{n+1} + u_{n}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ de [0 ;1]~ \[\dfrac{\text{e}^{(1-n)x}}{1 + \text{e}^x} \geqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x}.\] \item En déduire le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis la limite de $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2002 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2002~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note $E_n$ l'évènement \og Amélie est arrêtée par le $n\up{e}$ feu rouge ou orange \fg{} et $\overline{E_n}$, l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de $\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut $\dfrac{1}{8}$. On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : $\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est rouge ou orange, vaut $\dfrac{1}{20}$. $\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est vert, est égale à $\dfrac{9}{20}$. \medskip \begin{enumerate} \item On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=3cm,treesep=2cm,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree[treesep=2cm]{\TR{}\taput{$\ldots$} \tbput{\footnotesize vert}} {\TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$} \TR{}\ncput{$\frac{9}{20}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange} } \pstree[treesep=2cm]{\TR{}\taput{$\frac{1}{8}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange}} { \TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$} \TR{} \ncput{$\frac{1}{20}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange} } } \hspace{1,5cm} 1\up{er} feu \hspace{3cm} 2\up{e} feu \end{center} \item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item On se place maintenant dans le cas général. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités conditionnelles $p_{\text{E}_n}\left(E_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1}\right)$. \item En remarquant que $E_{n+1} = \left(E_{n+1} \cap E_n\right) \cup \left(E_{n+1} \cap \overline{E_n}\right)$, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, \[p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n + \dfrac{9}{20}q_n.\] \item En déduire l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_n\right)$ de nombres réels définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n = 28p_n - 9$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison $k$. \item Exprimer $u_n$, puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite, si elle existe, de $p_n$, quand $n$ tend vers $ + \infty$. Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~- 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C et D dans le plan. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des complexes les équations : \[z^2 -(1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i} = 0 \quad (1) \quad \text{et} \quad z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0 \quad (2)\] \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$, et l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$. \item Développer $(z - 3)(z + 2 - 3\text{i})$, puis $(z - 4\text{i})(z - 1 + \text{i})$. \item En déduire les solutions de l'équation : \[ \left(z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}\right)\left(z^2 - (1 +3\text{i})z + 4 + 4\text{i}\right) = 0.\] \item Soit $z_0$ la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$. \item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points $M_n$ d'affixes $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y = x.$ \end{enumerate} \item On appelle $f$ l'application qui au point $M$, d'affixe $z$, associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que : \[z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}.\] \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points $M$ pour lesquels $f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et \renewcommand\arraystretch{2} \[ \left\{ \begin{array}{l c l} x_{n+ 1} & = & \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\ y_{n + 1} & =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\ \end{array}\right., ~n \in \N\] \renewcommand\arraystretch{1} \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que $x_{n+ 1} = 4x_n + 2.$ \item Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels. \item Montrer que : \begin{enumerate} \item $x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par 3. \item Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que $x_n = \dfrac{1}{3} \left(4^n \times 5 - 2\right)$. \item En déduire que $4^n \times 5 - 2$ est un multiple de 3, pour tout entier naturel $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Partie 1} \end{center} On définit la fonction $u$ sur $\R^*$ par \[u(x) = 2x^3 - 1 + 2 \ln |x|.\] \smallskip \begin{enumerate} \item étudier les variations de la fonction $u$ sur $\R^*$. Préciser la valeur de l'extremum relatif de $u$. \item étudier les limites de $u$ en 0, et en $+ \infty$. \item On considère l'équation $u(x) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'elle n'admet qu'une seule solution sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ et en déduire qu'elle est la seule sur $\R^*$ ; cette solution sera notée $\alpha$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ par deux nombres rationnels de la forme$\dfrac{n}{10}$ et $\dfrac{n+1}{10}$, avec $n$ entier. \end{enumerate} \item En déduire le signe de $u(x)$ sur $\R^*$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie 2} \end{center} On définit la fonction $f$ sur $\R^*$ par \[f(x) = 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item étudier les limites de $f$ en 0, en $+ \infty$ et $- \infty$. \item Pour tout $x$ réel, déterminer le nombre dérivé $f'(x)$. \item En utilisant les résultats déjà établis, donner les variations de la fonction $f$ et le tableau de variations de $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $f(\alpha) = 3\alpha - \dfrac{1}{2\alpha ^2}$. \item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ trouvé à la \textbf{partie 1 3}, prouver que $1,6 < f(\alpha) < 2,1$. La construction de $\mathcal{C}$ n'est pas demandée. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie 3} \end{center} \smallskip Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~y)$ et $M'$ le point de coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ dans le repère \Oij, où $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation de la courbe $\Gamma$ à laquelle appartient $M'$ lorsque $M$ décrit la courbe $\mathcal{C}$ est la suivante : $y = - 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}$. \item étudier la position relative des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie 4} \end{center} On considère un réel $m$ supérieur ou égal à 1. \medskip \begin{enumerate} \item On note $A(m$) l'intégrale $\displaystyle\int_1^m \left[2x - f(x)\right]\:\text{d}x$. Calculer $A(m$). (On utilisera une intégration par parties.) \item Déterminer, si elle existe, la limite de $A(m$) quand $m$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2002 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2002}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2002~\decofourright}} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On définit deux suites $u$ et $v$ par $u_0 = 1,~ v_0 = 12$ et pour tout entier naturel $n$ : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[\left\{ \begin{array}{r c r} u_{n+1}& =& \dfrac{1}{3} \left(u_n + 2v_n\right)\\ v_{n+1} & = & \dfrac{1}{4}\left(u_n + 3v_n\right) \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $w$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = v_n - u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $w$ est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison. \item Déterminer la limite de la suite $w$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ est croissante. \item Montrer que la suite $v$ est décroissante. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\;u_0 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_0$. \end{enumerate} \item On admet que les suites $u$ et $v$ convergent. Montrer qu'elles ont alors même limite que l'on appellera $\ell$. \item On appelle $t$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $t_n = 3u_n + 8v_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $t$ est une suite constante. Déterminer cette constante. \item Déterminer alors la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\text{i}}{2}$. $\mathcal{T}$ est l'application qui, à tout point $M$, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[2zz'= \text{i} (z + z').\] \begin{enumerate} \item On appelle I et J les points d'affixes respectives : $z_{\text{I}} = 1 ,~ z_{\text{J}} = \text{i}$ . Soit K le milieu du segment [IJ]. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ de K. \item Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l'application $\mathcal{T}$. \item En déduire que $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux. \end{enumerate} \item Déterminer les points invariants par $\mathcal{T}$. \item Montrer que $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si $\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - \dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$. \item En déduire l'image par $\mathcal{T}$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon 1. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation : \[\textbf{E}~: x^2 + y^2 = p ^2\] \begin{enumerate} \item On pose $p = 2$. Montrer que l'équation \textbf{E} est sans solution. On suppose désormais $p \neq 2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation \textbf{E}. \item Le but de cette question est de prouver que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes. \item Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$. \item En déduire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que $p$ est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$ où $u$ et $v$ sont deux entiers naturels strictement positifs. \begin{enumerate} \item Vérifier qu'alors le couple $\left(\left|u^2 - v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}. \item Donner une solution de l'équation \textbf{E}, lorsque $p = 5$ puis lorsque $p = 13$. \end{enumerate} \item On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation \textbf{E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de deux carrés. \begin{enumerate} \item $p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ? \item Démontrer que les équations $x^2 +y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 = 49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Pour chaque entier naturel $n$, on définit, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ la fonction notée $f_n$ par : \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} + n \ln x,\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \medskip \textbf{Partie A : étude du cas particulier} \boldmath $n = 0$ \unboldmath $f_0$ est donc la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x}$. \begin{enumerate} \item Construire dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction exponentielle, puis tracer sa tangente au point d'abscisse 0. \item Résolution graphique d'une inéquation : \begin{enumerate} \item Justifier graphiquement l'inégalité suivante : \[\text{pour tout réel}~u,~\text{e}^u \geqslant u + 1.\] \item En déduire que pour tout réel $x$, \[\text{e}^{- x} + x - 1 \geqslant 0,~ \text{puis que},~ 1 + (x - 1)\text{e}^x \geqslant 0.\] \end{enumerate} \item Limites : \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_0$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f_0$ en 0. \end{enumerate} \item Sens de variations : \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ on a $f'_0(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1) + 1}{x^2}$. \item En déduire le sens de variation de $f_0$. \end{enumerate} \item On appelle $\mathcal{C}_0$ la courbe représentative de $f_0$ dans un repère orthonormal \Oij~ pour lequel l'unité graphique est 2 cm. Tracer $\mathcal{C}_0$ dans ce repère et placer le point A de coordonnées (0~;~1). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude de la famille de fonctions} \boldmath $f_n$ \unboldmath \textbf{pour} \boldmath $n \geqslant 1$ \unboldmath On appelle $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le repère \Oij{} précédent. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $f_n$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Déterminer les limites de $f_n$ en $+ \infty$ et en 0. En déduire que $\mathcal{C}_n$ possède une asymptote qu'on précisera. \item étudier les positions respectives des courbes $\mathcal{C}_{n+1}$ et $\mathcal{C}_n$. \item Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ passent par un même point B dont on précisera les coordonnées. \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_1$, appartenant à l'intervalle [0,2~;~0,9] tel que $f_1(\alpha_1) = 0$. \item Montrer que $f_n\left(\alpha_1\right) < 0$ pour tout entier naturel $n > 1$. \item Pour tout entier naturel $n > 1$ , montrer qu'il existe un unique réel $\alpha_n$ appartenant à l'intervalle $\left[\alpha_1~;~1\right]$ tel que $f_n\left(\alpha_n\right) = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant la \textbf{partie A} montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~1], \[\dfrac{\text{e}^x - 1}{x} \leqslant \text{e} - 1.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n,~ \ln (\alpha_n) \geqslant \dfrac{1 - \text{e}}{n}$,\:puis que, $\alpha_n \geqslant \text{e}^{\frac{1 - \text{e}}{n}}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_n\right)$. \end{enumerate} \item Construire sur le graphique précédent, les courbes $\mathcal{C}_1,~\mathcal{C}_2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : étude d'une suite d'intégrales} Pour tout entier naturel $n$, on appelle $I_n$ l'intégrale \[I_n = \displaystyle\int_1^{\frac{3}{2}} f_n(x)\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de cette intégrale. \item étudier le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. \item Démontrer que l'aire comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{n+1}$, et $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$ est constante. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2002 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2002~\decofourright}}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le numéro du jeton tiré. Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ de coordonnées respectives $(a~;~- 5~;~1 - a)$ et $(1 + b~;~1~;~b)$. Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à~$\dfrac{1}{4}$. \item Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête. Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue. Pour tout entier $n$, on désigne par : $A_n$ l'évènement : \og A gagne la $n$-ième partie \fg{}, $B_n$ l'évènement : \og B gagne la $n$-ième partie \fg{}, $C_n$ l'évènement : \og le jeu continue après la $n$-ième partie \fg. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p\left(A_1\right) ,~ p\left(B_1\right)$ et $p\left(C_1\right)$. \item Exprimer $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrer que $p\left(C_n\right) = \left(\dfrac{5}{8}\right)^n$. Exprimer $p\left(A_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(C_n\right)$ et en déduire que $p\left(\text{A}_n\right) = \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n - 1}.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $p\left(A_n\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p\left(A_n\right)$ soit inférieur ou égal à 0,01. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv [unité graphique : 2 cm]. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$. On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. \item \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente. \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{3}{2}$. Calculer l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point B par $h$. Placer $B'$ sur la figure précédente. \end{enumerate} \item Soit $C$ le centre du cercle circonscrit au triangle O$A'B'$ et $R$ le rayon de ce cercle. On désigne par $c$ l'affixe du point $C$. \begin{enumerate} \item Justifier les égalités suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{ccc} $c\overline{c}=R^2$ & $(c - 2\text{i})\left(\overline{c}+2\text{i}\right) = R^2$ & $\left(c + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}\right)\left(\overline{c}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}\right) = R^2.$ \\ \end{tabular} \end{center} \item En déduire que $c-\overline{c}=2\text{i}$ puis, que $c + \overline{c} = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. \item En déduire l'affixe du point $C$ et la valeur de $R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(\text{E}) ~:~ 6x + 7y = 57\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $6u + 7v = 1$ ; en déduire une solution particulière $(x_{0},~ y_{0})$ de l'équation (E). \item Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \item Soit \Oijk~ un repère orthonormal de l'espace. On considère le plan (P) d'équation : $6x + 7y + 8z = 57$. On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan \Oij. Montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point. \item On considère un point $M$ du plan P dont les coordonnées $x,~ y$ et $z$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que l'entier $y$ est impair. \item On pose $y = 2p + 1$ où $p$ est un entier naturel. Montrer que le reste dans la division euclidienne de $p + z$ par 3 est égal à 1. \item On pose $p + z = 3q + 1$ où $q$ est un entier naturel. Montrer que les entiers naturels $x,~ p$ et $q$ vérifient la relation : $x + p + 4q = 7$. En déduire que $q$ prend les valeurs 0 ou 1. \item En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = \dfrac{1}{2}\left[ (x + (1 - x)\text{e}^{ 2x}\right].\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, (unité graphique 2~cm). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote à $\mathcal{C}$. étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$. \end{enumerate} \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer $f'(x)$. \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = 1 + (1 - 2x)\text{e}^{2x}$. \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de $u$. Montrer que l'équation $u(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1]. Déterminer une valeur décimale approchée par excès de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on considère la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^x$ et la droite D d'équation $y = x$. Les courbes $\Gamma$ et D sont tracées sur la feuille annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $t$ un réel ; on désigne par $M$, le point de $\Gamma$ d'abscisse $t$. La tangente à $\Gamma$ au point $M_t$ coupe l'axe des ordonnées au point $N_t$. Déterminer les coordonnées du point $N_t$. \item On désigne par $P_t$ le point de D d'abscisse $t$ et par $G_t$ l'isobarycentre des points O,\: $M_t,\: P_t$ et $N_t$. Le point $G_t$ est donc le barycentre des points pondérés (O~;~ 1),\:$ (M_t~;~1) ,\: (P_t~;~1)$ et $(N_t~;~1)$. \begin{enumerate} \item Placer les points $M_{-2},~P_{-2}$, et $N_{-2}$ puis construire, en justifiant, le point $G_{-2}$ sur la feuille annexe. \item Déterminer en fonction de $t$ les coordonnées du point $G_t$. \end{enumerate} \item Quel est l'ensemble des points $G_t$ quand $t$ décrit $\R$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ de la \textbf{partie A} sur la feuille annexe. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ (on pourra utiliser une intégration par parties). \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe problème}} \vspace*{1.2cm} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(3,5) \psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-4,-5)(3,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-5)(3,5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4,-5)(3,5) \psline(-4,-4)(3,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.60944}{2.71828 x exp} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2002 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2002}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une pièce truquée est $\dfrac{3}{4}$. La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une pièce équilibrée est $\dfrac{1}{2}$. On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indépendants les uns des autres. La probabilité d'un évènement $A$ est notée $p(A)$. On désigne par $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est notée $p(A/B)$. \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \begin{enumerate} \item On prend une pièce au hasard et on la lance : soit $T$ l'évènement : \og la pièce est truquée \fg{}, soit $P$ l'évènement : \og on obtient PILE\fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir \og Pile \fg{} (on pourra s'aider d'un arbre). \item Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l'on a obtenu \og PILE \fg{} ? \end{enumerate} \item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois. \begin{itemize} \item si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Pile \fg{}, on décide d'éliminer la pièce, \item dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce. \end{itemize} On note $E$ l'évènement \og la pièce est éliminée \fg{}. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est équilibrée ? \item Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu'elle est truquée ? \item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir conservée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). On considère l'application $f$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe \[z' = z^3 - 3z^2 + 3z.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points B et C d'affixes respectives i et i$\sqrt{3}$. Calculer les affixes des points images de O, B et C par $f$. Placer les points B, C et leurs images B$'$ et C$'$ sur une figure. L'application $f$ conserve-t-elle l'alignement ? \item Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie l'équation $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie : \[z^3 - 3z^2 + 2z = 0.\] En déduire que $f$ possède trois points invariants, dont on déterminera les affixes. \item \begin{enumerate} \item Montrer pour tout $z$ de $\C$ l'égalité suivante : \[z' - 1 = (z - 1)^3.\] \item Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on note $r$ le module de $z - 1$ et $\alpha$ un argument de $z - 1$. Exprimer le module $r'$ et un argument $\alpha'$ de $z'- 1$ en fonction de $r$ et de $\alpha$. Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une relation entre la distance A$M'$ et la distance A$M$, et une relation entre une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ et une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Montrer que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A de rayon $\sqrt{2}$, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma '$ de même centre dont on déterminera le rayon. \end{enumerate} \item Montrer que, si $M$ appartient à une demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B, alors $M'$ appartient à une demi-droite D$'$ que l'on déterminera. Justifier l'appartenance du point B$'$ à $\Gamma '$ et à D$'$. Compléter la figure avec les différents éléments : $\Gamma,~\Gamma '$,\: D et D$'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). \emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on considère l'application $s$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe \[z'= - \text{i}\overline{z}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $s$ est une réflexion d'axe noté D et de vecteur directeur $\vect{w}$ d'affixe $1 - \text{i}$. \item Soit D$'$ la droite d'équation $y = - 1$, on appelle $s'$ la réflexion d'axe D$'$. Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{w},~\vect{u}\right)$. Déterminer géométriquement la composée $r = s' \:\circ\: s$. \item Déterminer l'écriture complexe de $r$. \end{enumerate} \item Dans cette question un considère l'application $p$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe \[z_1 = \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2}\text{i}\overline{z} = \dfrac{z + z'}{2}.\] \begin{enumerate} \item Soit le point A d'affixe $z = 2 + \text{i}$,~ déterminer l'affixe du point A$_1$ image de A par $p$. \item Montrer que tout point $M$ a son image $M_1$ située sur la droite d'équation $y = - x$. \item Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l'application $p$. \end{enumerate} \item On considère l'application $f$ définie par $f = s'\:\circ \:p$. Construire l'image A$''$ du point A par $f$. Montrer que $s\:\circ\: p = p$ et en déduire que $f= r\: \circ\: p$. Montrer que, tout point $M$ du plan a son image par $f$ sur une droite $\Delta$, que l'on déterminera. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2}.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O};~\vect{\imath} ,~\vect{\jmath}\right)$ (unité graphique 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire comme propriété géométrique pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B}\end{center} On considère le point A du plan de coordonnées (1~0~) et on s'intéresse au minimum de la distance A$M$ où $M$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item $M$ étant un point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$, calculer en fonction de $x$ la distance A$M$. \item On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = (x - 1)^2 + \dfrac{\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} \right)^2}{4}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. \item On désigne par $g''$ la fonction dérivée seconde de $g$. Calculer $g''(x)$. Montrer que pour tout $x$ réel : \[g''(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^{- 2x} + 2.\] \item En déduire les variations de $g'$ sur $\R$. \item Montrer qu'il existe un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] vérifiant $g'(\alpha) = 0.$ Vérifier l'inégalité suivante : $0,46 \leqslant \alpha \leqslant 0,47$. Déterminer le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$. \item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (on ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$). Quel est le minimum sur $\R$ de la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item établir que la distance A$M$ est minimum au point $M_{\alpha}$ d'abscisse $\alpha$ de la courbe $\mathcal{C}$. Placer le point $M_{\alpha}$ sur le graphique. \item En utilisant la définition de $\alpha$, montrer les égalités : \[\alpha - 1 = - \dfrac{1}{2} f(2\alpha)\] puis : \[g(\alpha) = \dfrac{1}{4}\left[f(2\alpha)\right]^2 + \left[f(\alpha)\right]^2.\] Utiliser les variations de $f$ et le résultat suivant,~ $0,46 \leqslant \alpha \leqslant 0,47$ pour encadrer $g(\alpha)$ ; en déduire un encadrement de la distance A$M_{\alpha}$ d'amplitude $2\cdot10^{- 2}$. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Partie C}\end{center} Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par \[f_n (x) = \dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}} - \text{e}^{-\frac{x}{n}}}{2}.\] On appelle $\mathcal{C}_n$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Ouv. On donne ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f_2,\:f_3,\: f_4,\:f_5$,\: et $f_6$ soit respectivement les courbes $\mathcal{C}_2, ~ \mathcal{C}_3,~ \mathcal{C}_4,~\mathcal{C}_5$ et $\mathcal{C}_6$ obtenues à l'aide d'un logiciel. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'intégrale $I_1 = \displaystyle\int_0^1 f_1\: \text{d}x$. \item On considère pour $n$ entier naturel non nul l'intégrale $I_n = \int_0^1 f_n\: \text{d}x$. Interpréter géométriquement $I_n$. Calculer pour $n$ entier naturel quelconque, $I_n$ en fonction de $n$. \item Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite $(I_n)$ ? Montrer que $I_n = \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1} {\left( \dfrac{1}{n}\right)} - \dfrac{\text{e}^{- \frac{1}{n}} - 1}{\left(- \dfrac{1}{n} \right)} \right]$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=8cm,yunit=16cm,comma=true} \begin{pspicture}(1,0.64) \multido{\n=0+0.1}{11}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.6)} \multido{\n=0.00+0.05}{13}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(1,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1,0.62) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1,0.6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 2 div exp 2.71828 x 2 div neg exp sub mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 3 div exp 2.71828 x 3 div neg exp sub mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 4 div exp 2.71828 x 4 div neg exp sub mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 5 div exp 2.71828 x 5 div neg exp sub mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 6 div exp 2.71828 x 6 div neg exp sub mul} \rput(1,0.15){$\mathcal{C}_{6}$} \rput(1,0.18){$\mathcal{C}_{5}$} \rput(1,0.24){$\mathcal{C}_{4}$} \rput(1,0.32){$\mathcal{C}_{3}$} \rput(1,0.5){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%% fin La Réunion juin 2002 \newpage %%% Polynésie juin 2002 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,2cm} \parbox[c]{0.6\textwidth}{On dispose d'une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M$_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine M$_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M$_3$ place un jeton dans une case libre.}\hfill \parbox[c]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \uput[r](3,0.5){3} \uput[r](3,1.5){2} \uput[r](3,2.5){1} \uput[u](0.5,3){A} \uput[u](1.5,3){B} \uput[u](2.5,3){C} \end{pspicture}} \medskip On note les évènements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $H$ : \og Les trois jetons sont alignés horizontalement \fg{} ; \item[$\bullet~$] $V$ : \og Les trois jetons sont alignés verticalement \fg{} ; \item[$\bullet~$] $D$ : \og Les trois jetons sont alignés en diagonale \fg{} ; \item[$\bullet~$] $N$ : \og Les trois jetons ne sont pas alignés \fg{}. \end{itemize} \emph{Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des trois évènements $H,\: V$ et $D$. En déduire que la probabilité de $N$ est égale à $\dfrac{19}{21}$. \item On considère la variable aléatoire $X$ définie par : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $X = 20$, lorsque $H$ ou $V$ est réalisé ; \item[$\bullet~$] $X = \alpha$, lorsque $D$ est réalisé ; \item[$\bullet~$] $X = - 2$, lorsque $N$ est réalisé. \end{itemize} Déterminer $\alpha$ pour que l'espérance de $X$ soit nulle. \item Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M$_1$ est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l'un des coins de la grille. On note $\Delta$ l'évènement : \og la machine M$_1$ est déréglée \fg{}. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir un alignement horizontal c'est-à-dire $p_{\Delta}(H)$, puis de même, d'avoir un alignement vertical $p_{\Delta}(V)$, d'avoir un alignement en diagonale $p_{\Delta}(D)$. \item En déduire que la probabilité d'avoir un alignement horizontal ou vertical ou diagonal, est égale à $\dfrac{3}{28}$. \end{enumerate} \item $A$ désigne l'évènement \og les trois jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale \fg{}. On admet que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes : \begin{center} \pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=3cm,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$\Delta$}\taput{$\dfrac{1}{5}$}} {\TR{$A$} \TR{$\overline{A}$} } \pstree{\TR{$\overline{\Delta}$}} { \TR{$A$} \TR{$\overline{A}$} } } \end{center} Calculer $p(A))$. (On pourra remarquer que $p_{\Delta}(A)$ et $p_{\overline{\Delta}}\left(\overline{A} \right)$ ont déjà été calculées.) \item On ne sait pas lorsque l'on joue, si la machine M$_1$ est en bon état de marche. On joue une partie et on constate que les trois jetons sont alignés. Déterminer la probabilité pour que la machine M$_1$ soit déréglée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $2$~cm, on considère les points $M$ d'affixe $z$, $M_1$ d'affixe $\overline{z}$, A d'affixe 2 et B d'affixe 1. Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{\overline{z} + 4}{\overline{z} - 2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les points invariants par $f$. \item Soit C le point d'affixe $2\left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)$. Montrer que C$'$ est le milieu du segment [OC]. \item \begin{enumerate} \item Calculer pour tout $z \neq 2$, le produit $\left(\overline{z} - 2\right)\left(z' - 1\right).$ \item En déduire : \begin{itemize} \item la valeur de A$M_1 \cdot \text{B}M'$, \item une expression de $\left(\vect{u} ~;~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction de $\left(\vect{u} ~;~\vect{\text{A}M_1}\right)$. \end{itemize} \item Justifier les relations : \[\begin{array}{l l} (1) &\qquad \text{A}M \cdot \text{B}M' = 6\\ (2) &\qquad \left(\vect{u}~;~\vect{\text{B}M'}\right) = \left(\vect{u} ~; ~\vect{\text{A}M}\right).\\ \end{array}\] \item Application : construire l'image D$'$ du point D d'affixe $2 + 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. \item On pose $\alpha = n + 3$ et $\beta = 2n + 1$ et on note $\delta$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$. \begin{enumerate} \item Calculer $2\alpha - \beta$ et en déduire les valeurs possibles de $\delta$. \item Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement si $(n - 2)$ est multiple de 5. \end{enumerate} \item On considère les nombres $a$ et $b$ définis par : \[ \begin{array}{l c l} a & = & n^3 + 2n^2 - 3n\\ b & = & 2n^2 - n - 1\\ \end{array}\] Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $(n - 1)$. \item \begin{enumerate} \item On note $d$ le PGCD de $n(n + 3)$ et de $(2n + 1)$. Montrer que $\delta$ divise $d$, puis que $\delta = d$. \item En déduire le PGCD, $\Delta$, de $a$ et $b$ en fonction de $n$. \item Application : Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2001}$ ; Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2002}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 15 points} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1} - \text{e}^{- x}\] et l'on désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 3 cm. \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ? \item Calculer $f'(x)$, en déduire les variations de $f$ pour $x$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 0. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $u$. Montrer que $u$ appartient à [1~;~2] et déterminer un encadrement d'amplitude $10^{- 1}$ de $u$. \item Tracer (T) et $(\mathcal{C})$ sur la même figure. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\neq - 1,\: \dfrac{x - 1}{x + 1} = a + \dfrac{b}{x + 1}$. \item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par (T), $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $x = 1$ (on admettra que T est au-dessus de $(\mathcal{C})$). \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} $n$ désigne un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f_{n}(x) = \dfrac{x - n}{x + n} - \text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'_{n}(x)$ et donner son signe sur $[0~;~+ \infty[$. Préciser $f_{n}(0)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x)$. Dresser le tableau de variations de $f_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n}(n)$ ; quel est son signe ? \item Démontrer, par récurrence que, pour tout $n$ de $\N,~\text{e}^{n+1} > 2n + 1$. En déduire le signe de $f_{n}(n + 1)$. \item Montrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une solution unique sur $[n~;~n~+~1]$~; cette solution sera notée $u_{n}$. \end{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ puis $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n}}{n}$. \item \begin{enumerate} \item En remarquant que, pour tout $x$ de [0 ;~$+ \infty[~:~\dfrac{x - n}{x + n} = 1 - \dfrac{2n}{x + n}$, montrer que la valeur moyenne, $M_{n}$ de $f_{n}$ sur $[0~;~u_{n}]$ est égale à : \[1 - \dfrac{1}{u_{n}} + \dfrac{\text{e}^{-u_{n}}}{u_{n}} - 2\left( \dfrac{n}{u_{n}}\right)\ln \left(\dfrac{u_{n}}{n} + 1 \right)\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} M_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2002 \hypertarget{Antilles-Guyanesept}{} \label{Antilles-Guyanesept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt]septembre 2002}}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_1=\frac12$ et par la relation de récurrence : \begin{equation*}u_{n+1} = \frac16u_n+\frac13. \end{equation*} \begin{enumerate} \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour $n \geqslant 1$ par $v_n = u_n - \frac25$ ; montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis celle de $u_n$. \end{enumerate} \item On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite. On désigne par $A_n$ l'évènement \og on utilise le dé A au $n$-ième lancer \fg, par $\overline{A_n}$ l'évènement contraire de $A_n$, par $R_n$ l'évènement \og on obtient rouge au $n$-ième lancer \fg, par $\overline{R_n}$ l'évènement contraire de $R_n$, par $a_n$ et $r_n$ les probabilités respectives de $A_n$ et $R_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $a_1$. \item Déterminer $r_1$. Pour cela, on pourra s'aider d'un arbre. \item En remarquant que, pour tout $n\geqslant 1$, $R_n=\left(R_n\cap A_n\right)\cup\left(R_n\cap \overline{A_n}\right)$, montrer que $r_n = -\frac16a_n + \frac23$. \item Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$, $A_{n+1}=\left(A_n\cap R_n\right)\cup\left(\overline{A_n}\cap \overline{R_n}\right)$. \item En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$, $a_{n+1} = \dfrac16a_n + \frac13$, puis déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$. \item En déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $n$ puis la limite de $r_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe rapportéŽ au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}}= - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{A}}$ et celle de $z_{\text{B}}$. \item Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point de $(\mathcal{C})$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\alpha},~\alpha \in [0~ ;~ 2\pi]$. On considère l'application $f$ qui ˆà tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, associe $f(M) = M\text{A} \times M\text{B}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout $\alpha \in \R$, l'égalité suivante : \[\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 = 2\text{i}\text{e}^{\text{i}\alpha}\sin \alpha.\] \item Montrer l'égalité suivante : $f(M) = \left|\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}\right)\text{e}^{\text{i}\alpha}\right|$. \item En déduire l'égalité suivante : $f(M) = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \left(- \dfrac{3}{2} + 2\sin \alpha\right) ^2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant \textbf{2 c}, montrer qu'il existe deux points $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnées, pour lesquels $f(M)$ est minimal. Donner cette valeur minimale. \item En utilisant \textbf{2 c}, montrer qu'il existe un seul point $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnéŽes, pour lequel $f(M)$ est maximal. Donner cette valeur maximale. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que \[\text{AC = BD}\qquad \text{et}\qquad \widehat{\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right)} = - \dfrac{\pi}{2}.\] On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle ($\mathcal{C}_{1}$), ($\mathcal{C}_{2}$), ($\mathcal{C}_{3}$) et ($\mathcal{C}_{4}$) les cercles de diamètres respectifs [AB], [BC], [CD] et [DA]. On pourra s'aider de la figure ci-jointe. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l'angle de $r$ ? Montrer que le centre I de $r$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$). \item Soit $r'$ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l'angle de $r'$ ? Montrer que le centre J de $r'$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$). \item Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? \end{enumerate} \item On désigne par P et R les points diamèŽtralement opposés ˆà I sur, respectivement ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$) et par Q et S les points diamètralement opposéŽs ˆà J sur, respectivement ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$). Soit $s$ la similitude directe de centre I, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les images par $s$ des points D, N, B ? \item En déduire que J est le milieu de [PR]. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(8,8) \pspolygon[linestyle=dotted](2.6,6.3)(6.3,5.8)(4.2,0.7)(0.7,4.2) \psline(2.6,6.3)(4.2,0.7) \psline(6.3,5.8)(0.7,4.2) \pscircle(4.45,6.05){1.9} \pscircle(5.25,3.25){2.75} \pscircle(2.45,2.45){2.45} \pscircle(1.65,5.25){1.4} \uput[ur](2.6,6.3){A} \uput[r](6.3,5.8){B} \uput[d](4.2,0.7){C} \uput[l](0.7,4.2){D} \uput[r](3.4,3.5){M} \qdisk(3.4,3.5){1pt} \uput[u](3.5,5){N} \qdisk(3.5,5){1pt} \uput[u](4.18,4.18){I} \qdisk(4.18,4.18){1pt} \uput[l](2.82,4.5){J} \qdisk(2.82,4.5){1pt} \uput[u](4.7,7.92){P} \qdisk(4.7,7.92){1pt} \uput[r](7.8,2.2){Q} \qdisk(7.8,2.2){1pt} \uput[dl](0.72,0.72){R} \qdisk(0.72,0.72){1pt} \uput[ul](0.57,6.1){S} \qdisk(0.57,6.1){1pt} \uput[l](0,2.3){($\mathcal{C}_{3}$)} \uput[u](1.2,6.5){($\mathcal{C}_{4}$)} \uput[u](6,7.5){($\mathcal{C}_{1}$)} \uput[r](8,4.3){($\mathcal{C}_{2}$)} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(0)&=&0\\ f(1)&=&0\\ f(x)&=& (\ln x) \times \ln (1 - x), \quad \text{pour} \quad x \in \: ]0~;~1[\\ \end{array}\right.\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme néŽpérien. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unitéŽ graphique : 10~cm). On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$, ainsi que le résultat suivant : \[\text{pour}\quad \alpha > 0,\quad \displaystyle\lim_{x \to 0} x^{\alpha} \ln x = 0.\] \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A - ƒétude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression $\dfrac{\ln(1 - x)}{x}$. %$\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = $\dfrac{\ln(1 - x) - \ln (1)}{x - 0}$. Par définition cette limite est égale au nombre dérivé de la fonction $x\longmapsto \ln (1 - x)$ en $x = 0$. % %Or $\left(\ln (1 - x) \right)'(x) = \dfrac{- 1 }{1 - x}$. On a donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = - 1$. \item En déduire la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression $\dfrac{f(x)}{x}$ ; que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? %On a $\dfrac{f(x)}{x} = \ln x \times \dfrac{{\ln(1 - x)}{x}$. % %Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = - 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty$, on en déduit par produit des limites que $\dfrac{f(x)}{x} = + \infty$. % %On en déduit que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$ et que la courbe $\mathcal{C}$ admet en $0$ une tangente verticale. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right[, \quad f\left(\dfrac{1}{2} - x\right) = f\left(\dfrac{1}{2} + x\right)$. Que peut-on en conclure pour $\mathcal{C}$ ? %On a $- \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow - \dfrac{1}{2} < - x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} < - x + \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ soit finalement : % %$0 < - x + \dfrac{1}{2} < 1$. % %De même $- \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} + x < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \iff 0 < x + \dfrac{1}{2} < 1$. % %D'autre part $f\left(\dfrac{1}{2} - x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right) \times \ln \left(1 - \dfrac{1}{2} + x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right) \times \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right)$. % %$f\left(\dfrac{1}{2} + x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right) \times \ln \left(1 - \dfrac{1}{2} - x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right) \times \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right)$. % %On a donc pour tout $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right[, \quad f\left(\dfrac{1}{2} - x\right) = f\left(\dfrac{1}{2} + x\right)$. \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur ]0~;~1[ par : \[\varphi(x) = (1 - x)\ln(1 - x) - x\ln x.\] \begin{enumerate} \item DéŽterminer $\varphi'(x)$, puis montrer l'égalité $\varphi''(x) = \dfrac{ 2x- 1}{x(1 - x)}$~; en déduire les variations de $\varphi'$ sur ]0~;~1[. \item Montrer que $\varphi'$ s'annule en deux valeurs $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ sur ]0~;~1[ (on ne cherchera pas àˆ calculer ces valeurs). Donner le signe de $\varphi'$ sur ]0~;~1[. \item Déterminer la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression $\varphi(x)$ et la limite quand $x$ tend vers 1 de $\varphi(x)$. Calculer $\varphi \left(\dfrac{1}{2}\right)$. En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur ]0~;~1[. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x)$ a même signe que $\varphi(x)$ sur ]0~;~1[. \item Donner le tableau de variations de $f$. \item Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~1[$, les inégalités suivantes sont vraies : \[0 < (\ln x) \times \ln (1 - x) \leqslant (\ln 2)^2.\] \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale} \medskip Pour $t \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$, on pose : \[I_{1}(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} x \ln x\: \text{d}x,\quad I_{2}(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} x^2 \ln x\: \text{d}x,\quad I(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} f(x)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'intégrations par parties, montrer que : \[I_{1}(t) = - \dfrac{\ln 2}{8} - \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{2} t^2 \ln t + \dfrac{t^2}{4} ;\] \[I_{2}(t) = - \dfrac{\ln 2}{24} - \dfrac{1}{72} - \dfrac{t^3 \ln t}{3} + \dfrac{t^3}{9}.\] \item DéŽterminer les limites de $I_{1}(t)$ et de $I_2(t)$ quand $t$ tend vers $0$. \end{enumerate} \item Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\left]0 ~;~\dfrac{1}{2}\right[$ par : \[g(x) = - \left[x + \dfrac{x^2}{2}\right]\qquad \text{et} \qquad h(x) = g(x) - \dfrac{x^2}{2}.\] \begin{enumerate} \item ƒétudier sur $\left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ les variations de la fonction \[x \mapsto \ln (1 - x) - g(x).\] \item En déduire que, pour tout $x \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : \[\ln (1 - x) \leqslant g(x).\] \item Par un procédé analogue, montrer que pour tout $x \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : \[\ln (1 - x) \geqslant h(x).\] \item En déduire un encadrement de $f(x)$ sur $\left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $-I_{1}(t) - \dfrac{1}{2}I_{2}(t) \leqslant I(t) \leqslant - I_{1}(t) - I_{2}(t)$. \item En supposant que $I(t)$ admet une limite notée $\ell$ quand $t$ tend vers $0$, donner un encadrement de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2002 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun ˆtous les candidats} \vspace{0,25cm} \parbox[c]{0.54\textwidth}{Un carréŽ de c™ôté 20 cm est partagéŽ selon les 10 zones suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un disque D de rayon 1 cm, \item 8 secteurs S$_1$,~ S$_2$, ~\ldots, S$_8$ de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D$'$ de même centre et de rayon 9 cm, \item une zone R entre le disque D$'$ et le bord du carré. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On place un point aléatoirement dans le carréŽ. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle ˆà l'aire de cette zone.} \hfill \parbox[c]{0.41\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(8,8) \psframe(0,0)(8,8) \pscircle(4,4){0,45} \pscircle(4,4){3,25} \psline(4.45,4)(7.25,4) \psline(4.318,4.318)(6.298,6.298) \psline(4,4.45)(4,7.25) \psline(3.682,4.318)(1.702,6.298) \psline(3.55,4)(0.75,4) \psline(3.682,3.682)(1.702,1.702) \psline(4,3.55)(4,0.75) \psline(4.318,3.682)(6.298,1.702) \rput(5.94,4.804){S$_1$} \rput(4.804,5.94){S$_2$} \rput(3.196,5.94){S$_3$} \rput(2.06,4.804){S$_4$} \rput(2.06,3.196){S$_5$} \rput(3.196,2.06){S$_6$} \rput(4.804,2.06){S$_7$} \rput(5.94,3.196){S$_8$} \rput(1,1){R}\rput(4,4){D} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p$(D) pour que le point soit placéŽ dans le disque D. \item Déterminer la probabilité $p(\text{S}_1)$ pour que le point soit placéŽ dans le secteur S$_1$. \end{enumerate} \item Pour cette question \textbf{2.}, on utilisera les valeurs approchéŽes suivantes : $p$(D) = 0,008 et pour tout $k$ appartenant ˆà $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\},$ $p(\text{S}_k) = \np{0,0785}$. À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ; \item un point placéŽ dans le secteur S$_k$ fait gagner $k$ euros pour tout $k$ appartenant ˆà $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\}$ ; \item un point placéŽ dans la zone R fait perdre 4~euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p$(R) pour que le point soit placéŽ dans la zone R. Calculer l'espéŽrance de $X$. \item On joue deux fois de suite. On a donc placéŽ deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d'obtenir un gain total positif ou nul. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal ˆà deux. On joue $n$ fois de suite. On a donc placé $n$ points de manière indépendante dans le carréŽ. Calculer la probabilité $p_n$ d'obtenir au moins un point placéŽ dans le disque D. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p_n \geqslant 0,9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté àŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i. À tout point $M$, distinct de A et d'affixe $z$, est associé le point $M'$ d'affixe $Z$ définie par : \[Z = \dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point C$'$ associé au point C d'affixe $- \text{i}$. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ désignent deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Montrer l'égalité : \[Z = \dfrac{ (x-1)^2 +(y-1)^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2} - \text{i}\dfrac{x^2 + y^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2}.\] \item Déterminer l'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ telle que $Z$ soit réel. \item DéŽterminer l'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ telle que Re($Z$) soit négatif ou nul. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item écrire le nombre complexe $(1 - \text{i})$ sous forme trigonoméŽtrique. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$, distinct de A et de B. Montrer que : $\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. \item En déduire l'ensemble des points $M$ véŽrifiant $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{center} \psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(26.2,10.2) \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(0,10)(5,10)(5,5)(10,5)(10,10)(15,10)(15,5)(25,5)(25,0) \psline[linewidth=1.25pt](5,0)(5,5) \psline[linewidth=1.25pt](10,0)(10,5) \psline[linewidth=1.25pt](15,0)(15,5) \uput[ul](0,10){C} \uput[ur](5,10){B} \uput[d](0,0){D} \uput[d](5,0){A} \uput[d](6.55,0){E$_1$} \uput[d](13.1,0){E$_2$} \uput[d](19.65,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](26.2,0){E$_4$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6.55,0)(13.1,0)(19.65,0)(26.2,0) \psline(20,0)(26.2,0) \end{pspicture} \end{center} \bigskip On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10~cm et AD = 5~cm. \begin{enumerate} \item Faire une figure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Construire le centre $\Omega$ de la rotation $r'$ qui véŽrifie $r'$(A) = N et $r'$(B) = P. Déterminer l'angle de $r'$. \item Montrer que l'image de ABCD par $r'$ est AMNP. \item DéŽterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r^{- 1} \circ r'$. \end{enumerate} \item On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur $\vect{\text{DM}}$. Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points $\left(A_k\right)_{k \geqslant 1}$ véŽrifiant, en cm,~ D$A_k = 5 + 15k$. Sur la même demi-droite, on considère la suite de points $\left(E_n\right)_{n \geqslant 1}$ vérifiant, en cm, D$E_n = 6,55 n$. \begin{enumerate} \item DéŽterminer l'entier $k$ tel que $E_{120}$ appartienne ˆà $[A_k,~A_{k+1}]$. Que vaut la longueur $A_kE_{120}$ en cm ? \item On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale $n_0$ le point $E_{n_0}$ est confondu avec un point $A_k$. Montrer que si un point $E_n$ est confondu avec un point $A_k$ alors $131 n - 300k = 100$. Vérifier que les nombres $n = \np{7100}$ et $k = \np{3100}$ forment une solution de cette équation. Déterminer la valeur minimale $n_0$ recherchée. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \begin{center} \textbf{Partie A :} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 0$, on a : e$^{2x} -1 > 0$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} - 1}$. \begin{enumerate} \item DéŽterminer les limites de $g$ en 0 et en $+ \infty$. InteroréŽter graphiquement les résultats. \item Calculer $g'(x)$. ƒétudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B :}\end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~\infty[$ dont la courbe représentative $\cal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d'abscisse e. On admet l'égalité suivante : $f(x) = 2x\left[a(\ln x)^2 + b \ln x + c\right]$ où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a,~b$ et $c$. \item À l'aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de $f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~f'\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f'(\text{e})$. \item En déduire l'égalitéŽ : $f(x) = 2x\left[2(\ln x)^2 - 3 \ln x + 2\right]$ pour tout $x \in\: ]0~;~+ \infty[$. \item DéŽterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra poser $t =- \ln x$ et véŽrifier pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité : \[f(x) = 2\text{e}^{-t}\left[2t^2 + 3t + 2\right].\] \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Montrer pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité : $f'(x) = 2(\ln x+ 1)(2\ln x - 1)$. \item ƒétudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie C :} \end{center} \begin{enumerate} \item Tracer, dans le repère \Oij{} de la feuille annexe, la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$ éŽtudiée en \textbf{partie A}. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 0$ , on a $g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1} - 1$. \item Calculer, et exprimer en unités d'aire, l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x = \dfrac{1}{4}$ et $x = 2$. \end{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur [0,1~;~0,3] par : $\varphi(x) = f(x) - g(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant ˆ [0,1~;~0,3], on a : $\varphi'(x) > 0$. \item Montrer que l'équation $f(x) = g(x)$ possède une solution unique $\alpha$ sur [0,1~;~0,3] et déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Partie D :} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 0,\: f(x) > 0$. \item On définit la fonction $h$ sur $]0~;~+ \infty[$ par l'expression suivante : $h = g \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites en 0 et en $+ \infty$ de $h$. \item Déterminer le sens de variation de $h$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer que $h(\alpha) = g \circ f (\alpha)$. Déterminer une valeur approchée de $h(\alpha)$ ˆà $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \psset{unit=2.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4,7) \psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0pt] \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(4,7) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.05,5.15)(0.65,5.15) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1.30,3.3)(1.95,3.3) \psline(1.359,0)(3.109,7) % tangente en e \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.649,0)(1.649,3.3) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.3679,0)(0.3679,5.15) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,5.437)(2.718,5.437)(2.718,0) \uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[d](0.3679,0){$\dfrac{1}{\text{e}}$} \uput[d](1.359,0){$\dfrac{\text{e}}{2}$}\uput[d](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$} \uput[d](2.718,0){e} \uput[l](-0.1,5.437){2e} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{3}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add 2 mul x mul} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Fin Métropole septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2002 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S PolynŽésie septembre 2002~\decofourright}}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention, parmi ses dossiers d'accidents de la circulation. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $85\:\%$ des dossiers entraînent des frais de réŽparation matŽérielle. \item[$\bullet~$] $20\:\%$ des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. \item[$\bullet~$] $12\:\%$ des dossiers entraînant des frais de rŽéparation matéŽrielle entraî”nent aussi des frais de dommages corporels. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soit les Žévènements suivants : $R$ : le dossier traitŽé entraî”ne des frais de réŽparation matŽérielle $D$ : le dossier traitéŽ entraî”ne des frais de dommages corporels. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les notations $R$ et $D$, exprimer les trois pourcentages de l'ŽénoncŽé en termes de probabilitŽés ; les rŽésultats seront donnŽés sous forme dŽécimale. \item Calculer la probabilitŽé pour qu'un dossier : \begin{enumerate} \item entraîne des frais de réŽparation matŽérielle et des frais de dommages corporels ; \item entraî”ne seulement des frais de rŽéparation matéŽrielle ; \item entraîne seulement des frais de dommages corporels ; \item n'entraî”ne ni frais de réŽparation matéŽrielle ni frais de dommages corporels ; \item entraî”ne des frais de rŽéparation matŽérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels. \end{enumerate} \item On constate que 40\,\% des dossiers traitéŽs correspondent ˆà des excès de vitesse et parmi ces derniers 60\,\% entraînent des frais de dommages corporels. \begin{enumerate} \item On choisit un dossier ; quelle est la probabilitŽé pour que ce dossier corresponde àˆ un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ? \item On choisit cinq dossiers de fa\c{c}on indŽépendante. Quelle est la probabilitŽé pour qu'au moins un dossier corresponde ˆà un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes ; rŽésoudre le système d'Žéquations suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_1\sqrt{3} - z_2&=&- 2\\ z_1\phantom{\sqrt{3}} - z_2\sqrt{3}&=&- 2\text{i}\\ \end{array}\right.\] \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonorméŽ direct de centre O, d'unitéŽ graphique 4~cm, on considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}.\] Donner les Žécritures de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. Placer les points A et B. \item Calculer module et argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$. En dŽéduire la nature du triangle ABO et une mesure de l'angle $\left( \vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right)$. \item DŽéterminer l'affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la transformation qui ˆà tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}z.\] \begin{enumerate} \item DéŽfinir cette transformation et donner ses éŽlŽéments caractŽéristiques. \item Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A$'$, B$'$, et C$'$ images par $f$ de A, B et C ? \item Quelle est l'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ en cm$^2$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}} \medskip Le plan est rapporté à Žun repère orthonormal \Oij, toutes les courbes demandŽées seront tracŽées dans ce repère (unitéŽ graphique 4 cm). \medskip \textbf{Partie A - ƒétude d'une fonction} \medskip $f$ est la fonction déŽfinie sur $\R$ par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^{2x} + 1},\] $\Gamma$ est sa courbe reprŽésentative dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item éƒtudier la paritŽé de $f$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant ˆ $\R,\:- 1 < f(x) < 1$. \item Quelles sont les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$ ? En dŽéduire les Žéquations des asymptotes Žéventuelles ˆà $\Gamma$. \item ƒétudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations ; en déŽduire le signe de $f(x)$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item $\alpha$ Žétant un nombre appartenant ˆà $]- 1~;~1[$, montrer que l'Žéquation $f(x) = \alpha$ admet une solution unique $x_0$. Exprimer alors $x_0$ en fonction de $\alpha$. \item Pour $\alpha = \dfrac{1}{2}$, donner une valeur approchŽée de $x_0$ ˆà $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Tangentes àˆ la courbe} \medskip \begin{enumerate} \item DŽéterminer une Žéquation de la tangente $\Delta_1$ ˆà $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. \item Montrer que pour tout nombre $t$ rŽéel, $f'(t) = 1 - [f(t)]^2$. En dŽéduire un encadrement de $f'(t)$. \item Pour $x$ positif ou nul, dŽéterminer un encadrement de $\displaystyle\int_0^x f'(t)\: \text{d}t$, puis justifier que $0 \leqslant f(x) \leqslant x$. Quelles sont les positions relatives de $\Gamma$ et $\Delta_1$ ? \item DŽéterminer une Žéquation de la tangente $\Delta_2$ ˆà $\Gamma$ au point A d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$. \item Montrer que le point B de la courbe $\Gamma$, d'ordonnŽée positive, où le coefficient directeur de la tangente est Žégal ˆà $\dfrac{1}{2}$ a pour coordonnéŽes : \[\left(\ln \left(1 + \sqrt{2}\right)~;~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).\] \item Tracer $\Gamma,~\Delta_1$ et $\Delta_2$. On placera les points A et B. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C - Calcul d'intéŽgrales} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{x} + \text{e}^{-x}}$ ; en dŽéduire une primitive de $f$. \item Quelle est l'aire en cm$^2$ de la surface comprise entre $\Gamma$, la droite d'Žéquation $y = x$ et les droites d'Žéquations $x = 0$ et $x = 1$ ? Hachurer cette surface sur la représentation graphique. \item Calculer $\displaystyle\int_0^1 [f(x)]^2\:\text{d}x$. \item En utilisant une intŽégration par parties, montrer que : \[\displaystyle\int_0^1 x\left(1 - [f(x)]^2\right)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 - 1}{\text{e}^2 + 1} - \ln \left(\dfrac{\text{e}^2 +1}{2\text{e}}\right).\] En déduire $\displaystyle\int_0^1 x[f(x)]^2 \:\text{d}x$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2002 \hypertarget{Nouvelle-Caledonie}{} \label{Nouvelle-Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002}}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \hfill 5 points \medskip Un jeu consiste ˆà tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont Žéquiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100~\euro~; si exactement deux boules tirŽées sont rouges, il gagne 15~\euro{} et si une seule est rouge il gagne 4~\euro. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilitŽé de la variable alŽéatoire $X$. \item Pour un jeu, la mise est de 10~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-àˆ-dire l'espérance mathŽématiques est-elle strictement supérieure ˆà 10 ? \item Pour l'organisateur, le jeu ne s'avéŽrant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item soit augmenter la mise de 1 \euro, donc passer ˆà 11~\euro, \item soit diminuer chaque gain de 1 \euro, c'est-àˆ-dire ne gagner que 99 \euro, 14~\euro{} ou 3~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialitŽé} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le polynô™me $P$ de la variable complexe $z$, dŽéfini par : \[P(z) = z^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(74 - 14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\] \begin{enumerate} \item DéŽterminer le nombre rŽéel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'Žéquation \\$P(z) = 0$. \item Trouver deux nombres rŽéels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $P(z) = \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + az + b\right)$ \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'Žéquation $P(z)=0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unitŽé graphique. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}~;~z_{\text{B}} = - 7 - 5\text{i}$ et $z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$. \item DŽéterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$. DéŽterminer l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme. \item Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 1 + 11\text{i}$ . Calculer $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}$ sous forme algŽébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en dŽéduire la nature du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitŽé} \medskip On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux. On pose $S = x + y$ et $P =xy$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽémontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$. \item En dŽéduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux. \item DŽémontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de paritŽés diffŽérentes (l'un pair, l'autre impair). \end{enumerate} \item DŽéterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant. \item Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$. \item DéŽterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vŽérifiant les conditions suivantes : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} a + b &=& 84\\ ab& =& d^3\\ \end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a~;~b)\] (On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux) \end{enumerate} \bigskip \textbf{Problème} \hfill 10 points Le plan $\mathcal{P}$ est rapportŽé à un repère orthonormal direct \Oij. (UnitŽés graphiques : 2 cm). \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ dŽéfinie sur $\R$ par \[f(x) = (3 + x)\text{e}^{-\frac{x}{2}}.\] \begin{enumerate} \item DéŽterminer les limites de $f$ en $- \infty$, puis en $+ \infty$. \item ƒétudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations. \item Construire la courbe $(\Gamma)$ reprŽésentative de $f$ dans \Oij. \item À l'aide d'une intŽégration par parties, calculer I = $\displaystyle\int_{-3}^0 x\text{e}^{-\frac{x}{2}}\: \text{d}x$ et en dŽéduire l'aire, en unitŽés d'aire, du domaine dŽéfini par les couples $(x,~y)$ tels que \\$0 \leqslant y \leqslant f(x)$ et $x \leqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item DéŽmontrer que l'Žéquation $f(x) = 3$ admet deux solutions dans $\R$. Soit $\alpha$ la solution non nulle, montrer que : $-2 < \alpha < -\dfrac{3}{2}$. \item Plus gŽénŽéralement, déŽterminer \textbf{graphiquement} suivant les valeurs du nombre rŽéel $m$, le nombre de solutions de l'Žéquation $f(x) = m$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $\varphi$ dŽéfinie sur $\R$ par $\varphi(x) = 3\text{e}^{\frac{x}{2}} - 3$. \medskip \begin{enumerate} \item DŽémontrer que $f(x) = 3$ si et seulement si $\varphi(x) = x$ \item Soit $\varphi'$ et $\varphi''(x)$ les dŽérivŽées première et seconde de la fonction $\varphi$. \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout rŽéel $x,\:\varphi'(x)$ et $\varphi''(x)$. Justifier que $\varphi' (\alpha) = \dfrac{\alpha +3}{2}$. \item ƒétudier le sens de variation de $\varphi'$, puis celui de $\varphi$. \end{enumerate} On se place dŽésormais dans l'intervalle I = $[-2~;~\alpha]$. \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant ˆI ; \begin{enumerate} \item $\varphi(x)$ appartient ˆà I. \item $\dfrac{1}{2} \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{3}{4}$ \item En dŽéduire, àˆ l'aide d'une intéŽgration, que pour tout $x$ de l'intervalle I, on a : \[0 \leqslant \dfrac{1}{2}(\alpha - x) \leqslant \varphi(\alpha) - \varphi(x) \leqslant \dfrac{3}{4}(\alpha - x).\] \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ dŽéfinie sur $\N$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0} & = & - 2\\ u_{n+1} & = & \varphi\left(u_{n}\right)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item DŽémontrer par rŽécurrence que, pour tout entier $n,\:u_{n}$ appartient ˆà l'intervalle I. \item Justifier que, pour tout entier $n$, \[0 \leqslant \alpha - u_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} \left(\alpha - u_{n}\right) \qquad \text{puis que}\qquad 0 \leqslant \alpha - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n.\] \item En dŽéduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite. \item DéŽterminer le plus petit entier $p$ tel que : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^p \leqslant 10^{-2}$. Donner une approximation dŽécimale ˆ $10^{-2}$ près de $u_p$, ˆà l'aide d'une calculatrice, puis une valeur approchŽée de $\alpha$ àˆ $2 \times 10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud décembre 2002 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{décembre 2002}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\[7pt]décembre 2002}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip Dans le plan complexe, rapporté à ˆun repère orthonorméŽ direct \Ouv{}~ on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et $- 2$. à tout point $M$ d'affixe $z,~ z$ différent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \] \begin{enumerate} \item Calculer $z'$ et $\left|z'\right|$ lorsque $z = 5$ puis lorsque $z = 1 + \text{i}$. \item \begin{enumerate} \item Interpréter géoméŽtriquement $|z - 2|$ et $\left|\overline{z} - 2\right|$. \item Montrer que, pour tout $z$ distinct de $2, ~|z'| = 2$. En déduire une information sur la position de $M'$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z~ (z ­\neq 2)$ tels que $M'$ = B. \item On note $Z_{\vect{\text{A}M}}$ et $Z_{\vect{\text{B}M'}}$, les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}M'}$. Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A et n'appartenant pas ˆ$\mathcal{E}$, le quotient $\dfrac{Z_{\vect{\text{A}M}}}{Z_{\vect{\text{B}M'}}}$ est un nombre réel. InterpréŽter géoméŽtriquement ce résultat. \item Un point $M$ distinct de A, n'appartenant pas ˆ $\mathcal{E}$, étant donnéŽ, proposer une méŽthode géŽométrique pour construire le point $M'$. On illustrera par une figure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}. \medskip \begin{enumerate} \item En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$. \item On considère la division euclidienne par \np{2001} : expliquer pourquoi parmi les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste. Soit $a_n$ et $a_p$ deux termes de la suite admettant le même reste $(n < p)$. Quel est le reste de la division euclidienne de $a_p - a_n$ par \np{2001} ? \item Soit $k$ et $m$ deux entiers strictement positifs vérifiant $k < m$. Démontrer l'égalité $a_m - a_k = a_{m - k} \times 10^k$. \item Calculer le PGCD de \np{2001} et de 10. Montrer que si \np{2001} divise $a_m - a_k$, alors \np{2001} divise $a_{m - k}$. \item Démontrer alors que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item On dispose d'un dé à 6 faces, parfaitement équilibréŽ, numéŽroté de 1 ˆà 6. On le lance une fois ; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitéŽ d'obtenir une boule noire. \item Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ? \item Quelle est la probabilitéŽ que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ? \end{enumerate} \item On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l'on pose ˆ chaque fois devant l'urne. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og la $3^{\text{e}}$ boule tirée est noire \fg{} vaut $\dfrac{1}{4}$. \item Certains pensent que l'évènement \og la première boule tirée est noire \fg{} a une probabilitéŽ supéŽrieure àˆ l'évènement \og la troisième boule tirée est noire \fg. Est-ce vrai ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{A. ƒétude d'une fonction auxiliaire.} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \boldmath \[g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1.\]\unboldmath \begin{enumerate} \item ƒétudier le sens de variation de $g$. \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [1,27~;~1,28] ; on note $\alpha$ cette solution. \item DéŽterminer le signe de $g(x)$ sur $]- \infty~;~0[$. Justifier que $g (x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. ƒétude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath définie sur \boldmath $\R$ \unboldmath par :} \[\boldmath f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} + 2. \unboldmath\] \medskip On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} ; unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et interpréŽter graphiquement ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Démontrer que la droite (d) d'équation $y = x + 2$ est une asymptote pour $\mathcal{C}_f$. \item ƒétudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport àˆ (d). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction dérivée de $f$ a même signe que la fonction $g$ étudiée dans la partie \textbf{A)}. \item Montrer qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $f(\alpha) = p\alpha + q$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse $\alpha$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Encadrements d'aires} \medskip Pour tout entier naturel $n$, tel que $n \geqslant 2$, on note $\mathcal{D}_n$ l'ensemble des points $M (x~;~y)$ du plan, dont les coordonnées vérifient : $2 \leqslant x \leqslant n$ et $2 \leqslant n \leqslant f(x)$ et on appelle $\mathcal{A}_n$ son aire, exprimée en unités d'aire. \begin{enumerate} \item Faire apparaître $\mathcal{D}_5$ sur la figure. \item Démontrer que pour tout $x$, tel que $x \geqslant 2$, on a : \[ \dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} \leqslant x\text{e}^{-x}.\] \item On pose $I_n = \displaystyle\int_2^n x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. à l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_n$ en fonction de $n$. \item ƒécrire un encadrement de $\mathcal{A}_n$ en fonction de $I_n$. \item On admet que $\mathcal{A}_n$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Déterminer la limite de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la limite de $\mathcal{A}_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud décembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% NouvelleCalédonie mars 2003 \hypertarget{Caledomars}{} \label{Caledomars} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\textbf{\Large{\decofourleft~BaccalaurŽéat S Nouvelle--Calédonie mars 2003~\decofourright}}} \medskip \end{center} \textbf{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par : \[z' = z^2 + 1.\] \begin{enumerate} \item DŽéterminer les antŽécŽédents du point O. \item Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, prŽéciser leurs affixes respectives. \item Montrer que deux points symŽétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points syméŽtriques par rapport à l'axe des abscisses ? \item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignŽés. \item Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi[$ et $N$ le point d'affixe~$\text{e}^{\text{i}\theta}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1. \item Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on préŽcisera le centre et le rayon. \item Vérifier que $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta \vect{\text{O}N}$. En dŽéduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignéŽs. \item Expliquer la construction du point $N'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \medskip Une sociétŽé de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adaptŽé à ses services. On note, pour $n$ entier naturel non nul, $I_{n}$ l'Žévènement \og La sociŽété intervient durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur \fg{} et $p_{n} = p\left(I_{n}\right)$ la probabilitéŽ de l'Žévènement $I_{n}$. Le bureau d'Žétude a mis en évidence les rŽésultats suivants pour une entreprise dŽéterminŽée : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $p\left(I_{1}\right) = p_{1} = 0,75.$ \item[$\bullet~$] Sachant qu'il y a eu une intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,04$. \item[$\bullet~$] Sachant qu'il n'y a pas eu d'intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,64$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que $\overline{A}$ est l'Žévènement contraire de l'Žévènement $A$ et que $p_{B}(A)$ est la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est rŽéalisé. \bigskip \textbf{\textsc{Partie 1}} \medskip \begin{enumerate} \item PréŽciser $p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right)$ puis calculer $p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right)$ et $p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right)$ en fonction de $p_{n}\quad \left(n \in \N^*\right)$. \item En déduire $p_{n + 1} = - 0,6p_{n} + 0,64$. \item On considère la suite $(q_{n})$ déŽfinie sur $\N^*$ par : $q_{n} = p_{n} - 0,4$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $(q_{n})$ est une suite gŽéoméŽtrique. \item En déduire $q_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Donner une valeur approchéŽe de $p_{6}$ à $10^{-3}$ près par excès. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Partie 2}} \medskip Le même mois, la sociŽété de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau. On estime que la probabilitŽé d'intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à $0,373$. Donner, à $10^{-3}$ près par excès, la probabilitŽé qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les diffŽérentes entreprises sont des Žévènements indŽépendants). \bigskip \textbf{ Exercice 3\hfill 10 points} \medskip \begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.2)(8,0.6) \psline(0.8,-0.2)(1.6,0.6) \psline(0,0)(3.262,0.6) \psline(0,0.368)(8,0.368) \psline(0,0.44)(8,0.25) \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](\n,-0.2)(\n,0.6)} \multido{\n=-0.2+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](0,\n)(8,\n)} \qdisk(1,0){2pt} \qdisk(1.648,0.3031){2pt} \qdisk(2.7183,0.368){2pt} \qdisk(4.4817,0.3347){2pt} \psaxes[Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(8,0.6) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.843}{8}{x ln x div} \uput[ul](1,0){A} \uput[dr](1.648,0.3031){B} \uput[d](2.7183,0.368){C} \uput[d](4.4817,0.3347){D} \uput[u](7.75,0.26){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](7.75,0.25){(T)} \end{pspicture} \end{center} \textbf{\textsc{Partie I}} \medskip Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ où $f$ est une fonction dŽéfinie et dérivable sur $\R_{+}^{*}$. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1,~$\sqrt{\text{e}}$, e et e$\sqrt{\text{e}}$ ; de plus, A appartient à l'axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à $\mathcal{C}$ au point D. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on ne demande qu'une observation graphique. \textsl{Avec la prŽécision permise par ce graphique :} \begin{enumerate} \item Donner une estimation à $5 \times 10^{-2}$ près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, B, C et D. \item PrŽéciser combien la courbe $\mathcal{C}$ admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l'origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l'abscisse du point de contact avec la courbe $\mathcal{C}$. \item Choisir le seul tableau pouvant dŽécrire les variations de la fonction dŽérivŽée de $f$. Justifier ce choix. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(12,2.6) \psframe(0,0)(3.8,2.6) \psline(0,2)(3.8,2) \psline(0.8,0)(0.8,2.6) \uput[u](0.4,2){$x$} \uput[u](1,2){$0$} \uput[u](3.5,2){$+ \infty$} \psframe(4,0)(7.8,2.6) \psline(4,2)(7.8,2) \psline(4.8,0)(4.8,2.6) \uput[u](4.4,2){$x$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$} \psframe(8,0)(11.8,2.6) \psline(8,2)(11.8,2) \psline(8.8,0)(8.8,2.6) \uput[u](8.4,2){$x$} \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](11.5,2){$+ \infty$} \uput[u](2.3,2){e} \uput[u](6.3,2){e$\sqrt{\text{e}}$} \psline{->}(0.9,0.1)(2.2,1.8) \psline{->}(2.4,1.8)(3.7,0.1) \psline{->}(4.9,1.8)(6.3,0.1) \psline{->}(6.5,0.1)(7.7,1.8) \psline{->}(8.9,0.1)(11.7,1.8) \end{pspicture}\end{center} \item On rappelle que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$. On admet que la fonction dŽérivéŽe de $f$ est dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par \[g(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\] \begin{enumerate} \item ƒétudier les variations de $g$. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question \textbf{1. c.} ? \item Déterminer les limites de $g$ en 0, puis en $+ \infty$. \item Calculer $g(1),~ g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)$ ; puis dŽémontrer que l'Žéquation $g(x) = 1$ n'a qu'une seule solution. Quelle observation de la question \textbf{1. b.} a-t-on dŽémontrŽée ? \item Expliquer pourquoi $f$ est dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par \[f(x) = \displaystyle\int_{1}^x \left(\dfrac{1 - \ln t}{t^2}\right)\:\text{d}t.\] Calculer $f(x)$ à l'aide d'une intégration par parties. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie II} \medskip On Žétudie la fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item éƒtudier les variations de $f$, prŽéciser ses limites en $0$ puis en $+ \infty$. \item On cherche à justifier les observations de la question \textbf{I. 1.} concernant les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur Žégal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère. DŽémontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente véŽrifie la condition donnŽée, préŽciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les rŽésultats dŽémontrŽés dans la partie \textbf{I. 2. c.} et préŽciser ces points. \item ƒétude de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point D (le point D a pour abscisse e$\sqrt{\text{e}}$). \begin{enumerate} \item DŽémontrer qu'une équation de la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point D est \[y = \dfrac{- x + 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2\text{e}^3}.\] \item Montrer que le signe de $\left(2\text{e}^3\ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}\right)$ détermine la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente. \item On note $\varphi$ la fonction dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par \[\varphi(x) = 2\text{e}^3 \ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}.\] À partir des variations de $\varphi$, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente (T). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{ Partie III Calcul d'aires} \medskip \begin{enumerate} \item DéŽmontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d'une suite géométrique dont on prŽécisera la raison. Vérifier que l'abscisse de D est le quatrième terme de cette suite. \item Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement supéŽrieur à 1 et $E$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{0}$. On considère les droites $\Delta_{\text{A}},~\Delta_{\text{B}},~\Delta_{\text{C}},~\Delta_{\text{D}}$ et $\Delta_{E}$ parallèles à l'axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et $E$. On note $U_{1}$ l'aire de la partie du plan limitŽe par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{A}}$ et $\Delta_{\text{C}}$ ; $U_{2}$ l'aire de la partie du plan limitŽée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{B}}$ et $\Delta_{\text{D}}$ et $U_{3}$ l'aire de la partie du plan limitŽée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{C}}$ et $\Delta_{E}$ \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$, puis $U_{2}$. \item Déterminer $x_{0}$ pour que $U_{1},~U_{2}$ et $U_{3}$ soient les trois premiers termes d'une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l'abscisse du point $E$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin NouvelleCalédonie mars 2003 \end{document}