%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \DeclareUnicodeCharacter{0008E}{~} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2004~\decofourright\\\vspace{1cm}L'intégrale d'avril 2004 à mars 2005}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2004} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 2004} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord} \\ \hyperlink{Antilles-Guyane}{Antilles-Guyane juin 2004} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane} \\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2004} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2004} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2004} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Liban}{Liban juin 2004} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2004} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2004} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Antilles-Guyanesept}{Antilles-Guyane septembre 2004} \dotfill \pageref{Antilles-Guyanesept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2004} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie spécialité septembre 2004} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Nouvelle-Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2004} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonie}\\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre 2004} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \hyperlink{NlleCaledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2005} \dotfill \pageref{NlleCaledoniemars} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2004 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 2004} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 1\up{er} avril 2004~\decofourright}} \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $u$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l c r r} u_0 &=&0&\\ u_{n+1} &=& \dfrac{1}{2 - u_n}&\quad \text{pour tout entier naturel}~n\\ \end{array} \right.$ \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$,\:$u_2$ et $u_3$. On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une fraction irréductible. \item Comparer les quatre premiers termes de la suite $u$ aux quatre premiers termes de la suite $w$ définie sur $\N$ par $w_n = \dfrac{n}{n+1}$. \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel $n,\:u_n = w_n$. \end{enumerate} \item Soit $v$ la suite de terme général $v_n$ défini par $v_n = \ln \left(\dfrac{n}{n+1}\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Montrer que $v_1 + v_2 + v_3 = - \ln 4$. \item Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : \[S_n = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] Exprimer $S_n $ en fonction de $n$. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé, \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ; \item[$\bullet~$] s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ; \item[$\bullet~$] si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_3$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne par $A$, $B$, $C$, et $N$ les évènements suivants : $A$ : \og Le dé amène le numéro 1. \fg $B$ : \og Le dé amène un multiple de trois. \fg $C$ : \og Le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg $N$ : \og La boule tirée est noire.\fg \medskip \begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale à $\dfrac{5}{3k}$. \item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à~$\dfrac{1}{2}$. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à $\dfrac{1}{30}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\dfrac{1}{30}$. Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres. Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par \[\varphi(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{-x} - 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $\varphi$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item étudier le sens de variations de $\varphi$ puis dresser son tableau de variations sur $\R$. \end{enumerate} \item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$, dont l'une dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$, qui sera notée $\alpha$. Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$ et le présenter dans un tableau. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B : étude de la position relative de deux courbes et calcul d'aire} \medskip Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$. Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ par : \[f(x) =(2x + 1)\text{e}^{-x}\qquad \text{et} \qquad g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2 + x + 1}.\] Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal \Oij~ sont notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0~;~1) et admettent en ce point la même tangente. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,\:f(x) - g(x) = \dfrac{(2x + 1)\varphi(x)}{x^2 + x + 1}$ où $\varphi$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \item À l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $\R$. \item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par \[h(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{-x} - \ln \left(x^2 + x + 1\right)\] est une primitive sur $\R$ de la fonction $x \mapsto f(x) - g(x)$. \item En déduire l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=-\dfrac{1}{2}$ et $x= 0$. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-4}$ de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 : enseignement obligatoire \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[ z^2 - 2z + 4 = 0.\] Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~z'$ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. \item Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{\np{2004}}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; (unité graphique : 2~cm). \begin{enumerate} \item Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. Tracer ce cercle puis construire les points A et B. \item On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_1$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_2$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$. Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points. \item Soit I le milieu du segment [OB]. \begin{enumerate} \item Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ? \item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$. Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$ est égale à $3 \sqrt{3} - \text{i}$. \item La conjecture émise à la \textbf{question a} est-elle vraie ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 : exercice de spécialité \hfill 5 points} \medskip L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(0~;~5~;~5) et B(0~;~0~;~10). \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$ rapporté au repère $\left(\text{O},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A. Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$. \item On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle $\mathcal{C}$ autour de l'axe (O$z$) et $\Gamma$ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l'axe (O$z$). \begin{enumerate} \item Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équatio $x^2 + y^2 = z^2$. \item Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$. Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques. \item Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace. \end{enumerate} \item On coupe le cône $\Gamma$ par le plan P$_1$ d'équation $x = 1$. Dans P$_1$, l'une des trois figures ci-dessous représente cette intersection. Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires. \item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément impairs. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{c c c} \begin{pspicture}(4,4) \pscircle(2,1.5){1} \end{pspicture}& \begin{pspicture}(4,3) \psline(0.5,0)(3.5,3) \psline(0.5,3)(3.5,0) \end{pspicture}& \begin{pspicture}(4,3) \pscurve(0.2,0)(0.5,0.25)(1,0.8)(1.5,1.25)(2,1.5)(2.5,1.25)(3,0.8)(3.5,0.25)(3.8,0) \pscurve(0.2,3.7)(0.5,3.45)(1,2.9)(1.5,2.45)(2,2.2)(2.5,2.45)(3,2.9)(3.5,3.45)(3.8,3.7) \end{pspicture}\\ Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\ \end{tabular} \end{center} \newpage \begin{center} \vspace*{3cm} \psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(3,1.5) \rput(1,2){\textbf{Exercice 3}} \psaxes[Dx=1,Dy=0.5,linewidth=1.25pt](0,0)(-1,-1)(3,1.5) %\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(3,0) %\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-1)(0,1.5) %\uput[d](-1,0){$-1$} \uput[d](1,0){$1$} \uput[d](2,0){$2$} %\uput[d](3,0){$3$} %\uput[l](0,-1){$-1$} \uput[l](0,-0.5){$-0,5$} \uput[l](0,0.5){$0,5$} %\uput[l](0,1){$1$} \uput[l](0,1.5){$1,5$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.738}{3}{ 2 x mul 1 add 2.71828 x neg exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{3}{ 2 x mul 1 add x 2 exp x add 1 add div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2004 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \label{AmeriqueduNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small mai 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC. Pour tout réel $m$, différent de $- \dfrac{1}{3}$, on note $G_m$ le barycentre du système de points pondérés \[S_m = \left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~m),~(\text{C},~2m)\right\}.\] Pour tout point $M$ du plan on note $\vect{V_{M}} = 3\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - 2\vect{M\text{C}}.$ Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F). \emph{Chaque bonne réponse donne} 0,5 \emph{point, chaque réponse fausse ou illisible enlève} 0,25 \emph{point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à} 0. Répondre aux affirmations sur la page annexe. \begin{center}\renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l |>{\centering \arraybackslash}X|}\hline \multicolumn{1}{| c |}{\textbf{Affirmation}}& ~\textbf{V ou F}~\\ \hline G$_{1}$ est le milieu du segment [CI].& \\ \hline $_{\rule[0mm]{0mm}{5mm}}$ G$_{1}$ est barycentre de $\left\{(\text{J},~ 2),~\left(\text{C},~\dfrac{2}{3}\right)\right\}$& \\ \hline Pour tout point $M~, ~\vect{V_{M}} = \vect{\text{AB}} + 2\vect{\text{AC}}$.&\\ \hline Pour tout $m$, distinct de $- \dfrac{1}{3},~ \vect{\text{A}G_{m}}$ est colinéaire à $\vect{\text{AG}_{-1}}$.&\\ \hline IBG$_{-\frac{1}{2}}$ est un triangle rectangle.&\\ \hline Pour tout point $P$ de (AG$_{-1}$), il existe un réel $m$ tel que $P = G_{m}$.&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On veut résoudre dans $\C$ l'équation \[(\text{E}) \quad : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\] \begin{enumerate} \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que l'équation (E) s'écrive : \[(z - 2)\left(z^2 + az + b\right) = 0.\] \item Résoudre (E) \end{enumerate} \item On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vérifiant : \[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $y$ les parties réelle et imaginaire de l'affixe $z$ d'un point $M$. Montrer que : $M$ appartient à (H) si et seulement si \[x^2 -y^2 = 4.\] \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives $2$,\: $- 3 - \text{i}\sqrt{5}$ et $- 3 + \text{i}\sqrt{5}$. Vérifier que A, B et C appartiennent à (H). \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes de A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives de A, B et C par la rotation $r$ (on donnera ces affixes sous la forme algébrique). \item On note $M'$ l'image par $r$ du point $M$ d'affixe $z$. On note $z'$ l'affixe de $M'$. Les parties réelle et imaginaire de $z$ sont notées $x$ et $y$, celles de $z'$ sont notées $x'$ et $y'$. On note (H$'$) l'ensemble des points du plan dont l'antécédent par $r$ est un point de (H). \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item En utilisant la question \textbf{2. a.} prouver que : $M'$ appartient à (H$'$) si et seulement si \[x'y' = -2.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, la courbe (H$'$), puis la courbe (H). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 + 4\text{i},~z_{\text{B}} =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$ est un rectangle. \item Soit $s$ la réflexion telle que $s$(A)=A$'$ et $s$(B)=B$'$. On note ($\Delta$) son axe. Donner une équation de la droite ($\Delta$) et la tracer dans le plan complexe. \item On note $z'$ l'affixe du point $M'$ image par $s$ du point $M$ d'affixe $z$. Montrer que \[z'= \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 2\text{i}-1.\] \end{enumerate} \item Soit $g$ l'application du plan dans lui même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $P$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 5 - \text{i}.\] \begin{enumerate} \item On note $C$ et $D$ les images respectives de A et B par $g$ ; déterminer les affixes de $C$ et $D$ et placer ces points dans le plan complexe. \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 + \text{i}$ et soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- 2$. Montrer que $C$ et $D$ sont les images respectives de A$'$ et B$'$ par $h$. \item Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ l'image par $h$ de $M$, d'affixe $z$. Donner les éléments caractéristiques de $h^{-1}$ et exprimer $z$ en fonction de $z_{1}$. \end{enumerate} \item On pose $f = h ^{-1} \circ g$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression complexe de $f$. \item Reconnaître $f$. En déduire une construction du point $P$, image par $g$ d'un point $M$ quelconque donné du plan. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante} : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R\\ \hline R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{La fléchette atteint toujours une case et une seule.} \emph{Les trente cases, blanches} (B), \emph{jaunes} (J), \emph{vertes} (V) \emph{ou rouges} (R), \emph{ont toutes la même probabilité d'être atteintes.} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros. \item Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros. \item Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. \item Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros, la lettre $a$ désigne un nombre réel positif. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd). \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance E($X$) soit nulle. \end{enumerate} \item Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ? \item Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ? \item Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en \textbf{2. b.} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on considère l'équation différentielle : \[(\text{E}_{n})\qquad y'+y = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item On fait l'hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et dérivables sur $\R$, vérifient, pour tout $x$ réel : \[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour tout $x$ réel, \[h'(x) = \dfrac{x^n}{n!}.\] \item En déduire la fonction $h$ associée à une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que $h(0)= 0$. Quelle est alors la fonction $g$ ? \end{enumerate} \item Soit $\varphi$ une fonction dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi - g$ est solution de l'équation : \[(\text{F})\qquad y' + y = 0.\] \item Résoudre (F). \item Déterminer la solution générale $\varphi$ de l'équation (E$_{n}$). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E$_{n}$) vérifiant $f(0) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Le but de cette partie est de montrer que \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} = \text{e} \quad (\text{on rappelle que par convention} \quad 0! = 1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item On pose, pour tout $x$ réel, \[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle : $y' + y = f_{0}$. \item Pour tout entier strictement positif $n$, on définit la fonction $f_{n}$ comme la solution de l'équation différentielle $y'+y = f_{n-1}$ vérifiant $f_{n}(0) = 0$. En utilisant la \textbf{Partie I}, montrer par récurrence que, pour tout $x$ réel et tout entier $n \geqslant 1$ : \[f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\] \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x. \quad \text{(on ne cherchera pas à calculer}~ I_{n})\] \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ élément de l'intervalle [0~;~1], l'encadrement : \[0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \dfrac{x^{n}}{n!}.\] En déduire que $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{(n+1)!}$,~ puis déterminer la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$. \item Montrer, pour tout entier naturel $k$ non nul, l'égalité : $I_{k} - I_{k-1} = - \dfrac{1}{k!}\text{e}^{-1}.$ \item Calculer I$_{0}$ et déduire de ce qui précède que : \[I_{n} = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{\text{e}^{-1}}{k!}\] \item En déduire finalement : \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = \text{e}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2004 \hypertarget{Antilles-Guyane}{} \label{Antilles-Guyane} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004~\decofourright}} \medskip L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On définit les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par $a_0 =1,~b_0 =7$ et \renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1}& =&\dfrac{1}{3}\left(2a_n +b_n\right)\\ b_{n+1}& =&\dfrac{1}{3}\left(a_n +2b_n\right)\\ \end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1} \medskip Soit D une droite munie d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$. Pour tout $n \in \N$, on considère les points $A_n$ et $B_n$ d'abscisses respectives $a_n$ et $b_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Placez les points A$_0$, B$_0$, A$_1$, B$_1$, A$_2$ et B$_2$. \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n = b_n - a_n$ pour tout $n \in \N$. Démontrez que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimez $u_n$ en fonction de $n$. \item Comparez $a_n$ et $b_n$. Étudiez le sens de variation des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$. Interprétez géométriquement ces résultats. \item Démontrez que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont adjacentes. \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v = a_n + b_n$ pour tout $n \in \N$. Démontrez que $\left(v_n\right)$ est une suite constante. En déduire que les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont tous le même milieu I. \item Justifiez que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{But de l'exercice :} approcher $\ln(1 + a)$ par un polynôme de degré 5 lorsque $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \medskip Soit $a \in [0~;~+ \infty[$. On note $I_0(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{1 + t} \:\text{d}t$ et pour $k \in \N^*$, on pose $I_k(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(t -a)^k}{(1 + t)^{k+1}} \:\text{d}t.$ \begin{enumerate} \item Calculez $I_0(a)$ en fonction de $a$. \item À l'aide d'une intégration par parties, exprimez $I_1(a)$ en fonction de $a$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrez que \[I_{k+1}(a) = \dfrac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1} + I_k(a) \quad \text{pour tout}\quad k \in \N^*.\] \item Soit $P$ le polynôme défini sur $\R$ par $P(x) = \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 +x$. Démontrez en calculant $I_2(a),~I_3(a)$ et $I_4(a)$, que $I_5(a) = \ln(1 + a) - P(a)$. \item Soit $J(a) = \displaystyle\int_0^a (t - a)^5\: \text{d}t$. Calculez $J(a)$. \item \begin{enumerate} \item Démontrez que pour tout $t \in [0~;~a],~\dfrac{(t-a)^5}{(1+t)^6} \geqslant (t - a)^5$. \item Démontrez que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[,~J(a) \leqslant I_5(a) \leqslant 0$. \end{enumerate} \item En déduire que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[,~\left|\ln (1 + a) - P(a)\right| \leqslant \dfrac{a^6}{6}$. \item Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel $P(a)$ est une valeur approchée de $\ln (1 + a)$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré $0,5$ point par réponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l'exercice ne peut être inférieure à zéro.} \medskip On pose $z = - \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \text{i}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$. \medskip \begin{enumerate} \item La forme algébrique de $z^2$ est : \[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}} \textbf{A} : $2\sqrt{2}$ &\textbf{B} : $2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}$ & \textbf{C} : $2 + \sqrt{2} + \text{i}\left(2 - \sqrt{2}\right)$ & \textbf{D} : $2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}$\\ \end{tabularx}}\] \item $z^2$ s'écrit sous forme exponentielle : \[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}} \textbf{A} : \quad $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ &\textbf{B} : \quad $4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$ &\textbf{C} : \quad $4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ &\textbf{D} : \quad $4\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ \end{tabularx}}\] \item $z$ s'écrit sous forme exponentielle : \[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}} \textbf{A} : \quad $2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{8}}$ &\textbf{B} : \quad $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}}$ &\textbf{C} : \quad $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{8}}$&\textbf{D} : \quad $2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{8}}$ \end{tabularx}}\] \item $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ sont les cosinus et sinus de : \[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}} \textbf{A} : \quad $\dfrac{7\pi}{8}$ &\textbf{B} :\quad $\dfrac{5\pi}{8}$ & \textbf{C} : \quad $\dfrac{3\pi}{8}$ &\textbf{D} : \quad $\dfrac{\pi}{8}$ \end{tabularx}}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~1)~;~(\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$. Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe). \item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(D,~2)\}$. Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$. \item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J. \end{enumerate} \item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~ 1)~;~(B,~ 1)~;~(C,~m-2)~;~(D,~m)\}$. \begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $G_{m}$ existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$. \item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD). \item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant. \item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit l'ensemble $\mathcal{E}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$) avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et (CD) en $S$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Précisez, en justifiant votre réponse, l'image de la droite (BC) par la rotation $r$. \item Déterminez les images de $R$ et de $P$ par $r$. \item Quelle est la nature de chacun des triangles A$RQ$ et A$PS$. \end{enumerate} \item On note $N$ le milieu du segment [$PS$] et $M$ celui du segment [$QR$]. Soit $s$ la similitude de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \begin{enumerate} \item Déterminez les images respectives de $R$ et de $P$ par $s$. \item Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit le segment [BC] privé de B ? \item Démontrez que les points $M$, B, $N$ et D sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe : exercice 4} \vspace{1,5cm} \begin{pspicture}(10,7) \pspolygon(0,0.9)(3.2,0)(9.5,0.9)(3.2,6.3) \psline(3.2,0)(3.2,6.3) \psline[linestyle=dashed](0,0.9)(9.5,0.9) \uput[u](3.2,6.3){A} \uput[l](0,0.9){B} \uput[d](3.2,0){C} \uput[r](9.5,0.9){D} \end{pspicture} \end{center} %%%% fin Antilles-Guyane juin 2004 \newpage %%%% Asie juin 2004 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2004}~\decofourright}} \\[7pt] $\bullet~$ \textbf{L'utilisation d'une calculatrice n'est pas autorisée} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par \og VRAI \fg{} ou par \og~FAUX~\fg. Aucune justification n'est demandée. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.9cm}| p{5.9cm}| X|}\hline Données & Affirmations & Réponses\\ \hline $f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}$,~ $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. & La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation $y = - \dfrac{1}{4}x$. & \\ \hline G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A}~;~-1),~ (\text{B}~;~1),~ (\text{C}~;~4)\}$ & L'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\vect{MM'} = -\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 4\vect{M\text{C}}$, est une homothétie de rapport $-3$. & \\ \hline $f(x) = x \sin 3x$ & Les solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}x$ sont : $0~;~\dfrac{\pi}{18} +2k\dfrac{\pi}{3}$ ou $\dfrac{5\pi}{18} + 2k'\dfrac{\pi}{3}$,~ $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le barème est le suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Réponse exacte : 1 point. \item[$\bullet~$] Réponse fausse : $- 0,5$ point. \item[$\bullet~$] Absence de réponse : 0 point. \item[$\bullet~$] La note attribuée à l'exercice ne peut être négative. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{e}_1},~\vect{\text{e}_2}\right)$,~ unité graphique 1 cm. Soit A le point d'affixe 3i. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Recherche des points invariants par $f$. \begin{enumerate} \item Développer $(z - 7\text{i})(z + \text{i})$. \item Montrer que $f$ admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin. \end{enumerate} \item On appelle $\Sigma$ le cercle de diamètre [BC]. Soit $M$ un point quelconque de $\Sigma$, distinct de B et de C, soit $M'$ son image par $f$. \begin{enumerate} \item Justifier que l'affixe $z$ de $M$ vérifie : $z = 3\text{i} + 4 \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel. \item Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $\theta$ et en déduire que $M'$ appartient aussi à $\Sigma$. \item Démontrer que $z' = - \overline{z}$ et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de $M'$. \end{enumerate} \item On considère un cercle de centre A, de rayon $r > 0$. Déterminer l'image de ce cercle par $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme $9 + a^2$ où $a$ est un entier naturel non nul ; par exemple $10 = 9 + 1^2~;~ 13 = 9 + 2^2$ etc. On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5. \begin{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a \quad :\quad a^2 + 9 = 2^n$ où $a \in \N,~n \in \N,~n \geqslant 4$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $a$ existe, $a$ est impair. \item En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution. \end{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2+9 = 3^n$ où $a \in \N,~n \in \N,~n \geqslant 3$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $n \geqslant 3,~ 3^n$ est congru à 1 ou à 3 modulo 4. \item Montrer que si $a$ existe, il est pair et en déduire que nécessairement $n$ est pair. \item On pose $n = 2p$ où $p$ est un entier naturel, $p \geqslant 2$. Déduire d'une factorisation de $3^n - a^2$, que l'équation proposée n'a pas de solution. \end{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2 + 9 = 5^n$ où $a \in \N,~n \in \N,~n \geqslant 2$. \begin{enumerate} \item En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solution si $n$ est impair. \item On pose $n = 2p$, en s'inspirant de \textbf{2 c} démontrer qu'il existe un unique entier naturel $a$ tel que $a^2 + 9$ soit une puissance entière de 5. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On appelle $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - y + 5 = 0$ et $\mathcal{Q}$ le plan d'équation $3x + y - z = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont sécants en une droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& = & \alpha\\ y&= &2\alpha+5\\ z&= &5\alpha + 5\\ \end{array}\right. \quad \text{où}~\alpha~\text{est un nombre réel.}\] \item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses : $\bullet~$ Affirmation 1 : $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$ d'équation : $- 5x + 5y - z = 0$. Soit $\mathcal{D}'$ la droite de l'espace de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-3\beta\\ y&=&1+ \beta\\ z&=&2 +2\beta\\ \end{array}\right. \quad \text{où}~\beta~\text{est un nombre réel.}\] $\bullet~$ Affirmation 2 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{I : première partie étude d'une fonction}~\boldmath $f$ \unboldmath \medskip On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = $\left] - \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par \[f(x) = \ln (1 + 2x).\] \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle I. \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\dfrac{1}{2}$. \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par $g(x) = f(x) - x$. \begin{enumerate} \item étudier les variations de $g$ sur l'intervalle I. \item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions : 0 et une autre, notée $\beta$, appartenant à l'intervalle [1~;~2]. \item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle I. \end{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~\beta[,~f(x)$ appartient aussi à $]0~;~\beta[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{II : deuxième partie étude d'une suite récurrente} \medskip On appelle $\left(u_n\right)_{\geqslant 0}$ la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_0 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~ u_n$ appartient à $]0~;~\beta[$. \item Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ est croissante. \item Justifier que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente. \end{enumerate} \medskip \textbf{III : troisième partie Recherche de la limite de la suite}~\boldmath $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x \geqslant 1,~f'(x) \leqslant \dfrac{2}{3}$. \item Recherche de la limite de la suite $\left(u_n\right)_{\geqslant 0}$ \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~\displaystyle\int_{u_n}^{\beta} f'(t)\:\text{d}t \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_n\right)$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n, ~\beta - u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_n\right)$, puis à l'aide d'un raisonnement par récurrence que $0 \leqslant \beta - u_n \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. \item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2004 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm. On appelle A le point d'affixe $- 2\text{i}$. À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item On considère le point B d'affixe $b = 3-2\text{i}$. Déterminer la forme algébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin. \item Montrer que si $M$ appartient à la droite ($\Delta$) d'équation $y = - 2$ alors $M'$ appartient aussi à ($\Delta$). \item Démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z~, \left|z' + 2\text{i}\right| = 2|z + 2\text{i}|$ ; interprétez géométriquement cette égalité. \item Pour tout point $M$ distinct de A on appelle $\theta$ un argument de $z + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $\theta$ est une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Démontrer que $(z+2\text{i})(z'+2\text{i})$ est un réel négatif ou nul. \item En déduire un argument de $z'+2\text{i}$ en fonction de $\theta$. \item Que peut-on en déduire pour les demi-droites [A$M$) et [A$M'$) ? \end{enumerate} \item En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point $M'$ associé au point $M$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l'entreprise, s'il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 \euro. Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $\dfrac{1}{5}$, s'il est en retard un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $\dfrac{1}{20}$. Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $R_n$ l'évènement : \og l'employé est en retard le jour $n$ \fg. On note $p_n$, la probabilité de $R_n$ et $q_n$, celle de $\overline{R_n}$. On suppose que $p_{1} = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Détermination d'une relation de récurrence. \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités conditionnelles $p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{R_n}}\left(R_{n+1}\right)$. \item Déterminer $p\left(R_{n+1} \cap R_n\right)$ en fonction de $p_n$ et $p\left(R_{n+1} \cap \overline{R_n}\right)$ en fonction de $q_n$ \item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ et de $q_n$. \item En déduire que $p_{n+1} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{20}p_n$. \end{enumerate} \item Étude de la suite $\left(p_n\right)$. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $v_n = p_n - \dfrac{4}{23}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{3}{20}$. \item Exprimer $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et calculer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant : \og \emph{Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul chiffre} 1 \emph{peuvent-ils être premiers} ? \fg Pour tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots 1$ où 1 apparaît $p$ fois. On rappelle dès lors que $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$. \medskip \begin{enumerate} \item Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = \np{1111}$ sont-ils premiers ? \item Prouver que $N_{p} = \dfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être certain que $10^p - 1$ est divisible par 9 ? \item On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier, alors $N_{p}$ n'est pas premier. On rappelle que pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$ non nul, \[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\] \begin{enumerate} \item On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{2} = 11$. \item On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{3} = 111$. \item On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$ sont des entiers naturels plus grands que 1. En déduire que $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$. \end{enumerate} \item Énoncer une condition nécessaire pour que $N_{p}$ soit premier. Cette condition est-elle suffisante ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On s'intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d'une entreprise. Les fonctions $f$ associées définies sur l'intervalle [0~;~1] doivent vérifier les conditions suivantes : (1) $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ ; (2) $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] (3) Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1],~$f(x) \leqslant x$. Le plan est rapporté au repère orthonormal $\mathcal{R}$ = \Oij, unité graphique : 10~cm. \medskip \textbf{I. Première partie} étude d'un modèle \medskip On appelle $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par \[g(x) = x\text{e}^{x - 1}.\] \begin{enumerate} \item Prouver que $g$ vérifie les conditions (1) et (2). \item Montrer que $g(x) - x = \dfrac{x}{\text{e}}\left(\text{e}^x - \text{e}\right)$ et en déduire que $g$ vérifie la condition (3). \item Tracer les droites d'équations $y = x$ et $x = 1$ et la courbe représentative de $g$ dans le repère $\mathcal{R}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{II. Seconde partie} Un calcul d'indice \medskip Pour une fonction $f$ vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice $I_{f}$ égal à l'aire exprimée en unité d'aire, du domaine plan M délimité par les droites d'équations $y = x,~x = 1$ et la courbe représentative de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $I_{f} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x - f(x)\right] \text{d}x$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'indice $I_{g}$, associé à $g$. \item On s'intéresse aux fonctions $f_{n}$, définies sur l'intervalle [0~;~1] par \[f_{n}(x) = \dfrac{2x^n}{1 + x}\] où $n$ est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d'étudier l'évolution de leur indice $I_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \begin{enumerate} \item On pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x - f_{n}(x)\right]\:\text{d}x$ et $u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x$. Prouver que $I_{n} = \dfrac{1}{2} - u_{n}$. \item Comparer $\dfrac{t^{n+1}}{1 + t}$ et $\dfrac{t^n}{1 + t}$ sur l'intervalle [0~;~1] ; en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \item Prouver que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], \[0 \leqslant \dfrac{t^{n+1}}{1 + t} \leqslant t^n.\] \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 2,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{2}{n+1}$. \item Déterminer alors la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2004 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \medskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2004 \decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 & = &\phantom{u_n +2n +} 1\\ u_{n+1} & = &u_n +2n + 3\quad \text{pour tout entier naturel} \quad n. \end{array} \right.\] \begin{enumerate} \item étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_n > n^2$. \item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? \end{enumerate} \item Conjecturer une expression de $u_n$, en fonction de $n$, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument~$\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $(1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}$. \item On considère l'équation (E) : $z^2 = - 8\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E). \item L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. \end{enumerate} \item Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') $z^3 = - 8\text{i}$. \item On considère le point A d'affixe 2i et la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $b$ du point $B$, image de A par $r$, ainsi que l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par $r$. \item Montrer que $b$ et $c$ sont solutions de (E$'$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2~cm), représenter les points A, $B$ et $C$. \item Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? \item Déterminer le centre de gravité de cette figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier naturel $x$ : \[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\] Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur ou égal à 2. \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n~:~n = dk$. Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$. \item Déduire de la question précédente que $2^{\np{2004}} - 1$ est divisible par 7, par 63 puis par 9. \end{enumerate} \item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd. \begin{enumerate} \item On définit $m'$ et $n'$ par $m = dm'$ et $n = dn'$. En appliquant le théorème de Bezout à $m'$ et $n'$, montrer qu'il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $mu - nv = d$. \item On suppose $u$ et $v$ strictement positifs. Montrer que : $\left(a^{mu} - 1 \right) - \left(a^{nv} - 1 \right) a^d = a^d - 1$. Montrer ensuite que $a^d - 1$ est le pgcd de $a^{mu} - 1$ et de $a^{nv} - 1$. \item Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de $2^{63} - 1$ et de $2^{60} - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne le point S$(1~;~- 2~;~0)$ et le plan P d'équation $x + y - 3z + 4 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est : \[\textbf{A} : \left\{\begin{array}{l c l} x&= &\phantom{-}1 + \phantom{3}t\\ y&= &\phantom{-}1 - 2t\\ z&= &-3\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \textbf{B} : \left\{\begin{array}{l c r} x &= &\phantom{-}2 + \phantom{3}t\\ y &= &-1 + \phantom{3}t\\ z &= &\phantom{-}1 - 3t \end{array}\right.,~ t \in \R\] \[ \quad \textbf{C} : \left\{\begin{array}{l c r} x &= &1 + \phantom{3}t\\ y &= &-2 - 2t\\ z &= &3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \textbf{D} : \left\{\begin{array}{l c r} x &= &2 + \phantom{3}t\\ y &= &- 1 + \phantom{3}t\\ z &= &- 3 - 3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R.\] \item Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A~} : $(-4~;~0~;~0)$&\textbf{B~} : $\left(\dfrac{6}{5}~;~\dfrac{-9}{5}~;~\dfrac{3}{5} \right)$ & \textbf{C~} : $\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{-2}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$ &\textbf{D~}~:~$\left(\dfrac{8}{11}~;~\dfrac{-25}{11}~;~\dfrac{9}{11}\right)$ \end{tabularx} \item La distance du point S au plan P est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A} : $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$&\textbf{B} : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$ & \textbf{C} : $\dfrac{9}{\sqrt{11}}$& \textbf{D} : $\dfrac{9}{11}$ \end{tabularx} \item On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère S et du plan P est égale \textbf{A} : au point I$(1~;~-5~;~0)$ \textbf{B} : au cercle de centre H et de rayon $r = 3\sqrt{\dfrac{10}{11}}$ \textbf{C} : au cercle de centre S et de rayon $r = 2$ \textbf{D} : au cercle de centre H et de rayon $r = \dfrac{3\sqrt{10}}{11}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d'un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de $t$ semaines est \[p([0~;~t[) = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x.\] Une étude statistique, montrant qu'environ $50\:\%$ d'un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser $p([0~;~200[) = 0,5$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{200}$. \item Quelle est la probabilité qu'un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près. \item On admet que la durée de vie moyenne $d_m$ de ces composants est la limite quand $A$ tend vers $+ \infty$ de $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{- \lambda A} + 1}{\lambda}$. \item En déduire $d_m$ on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 5 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,8cm} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(13.2,4.5) \psline[linewidth=2pt](0,1.7)(12.2,1.7) \psline(0.5,0)(0.5,2.2) \psline{<->}(0.5,0.5)(6.4,0.5) \psline{->}(6.4,3.4)(11.4,3.4) \psline{->}(6.4,3.4)(6.4,0) \psline(4.1,2.45)(3.5,2.45)(2.9,4.4)(9.9,4.4)(9.4,2.45)(8.7,2.45) \psline(5.1,2.45)(7.7,2.45) \pscircle(4.6,2.25){0.55} \pscircle(8.2,2.25){0.55} \uput[d](0,1.7){O} \uput[dl](6.4,1.7){H} \uput[u](11.4,3.4){$\vect{\text{F}}$} \uput[u](2.3,0.5){$x$} \end{pspicture}\end{center} Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante $\vect{\text{F}}$ de valeur 50~N. Les forces de frottement sont proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m$^{-1}$.s. La position du chariot est repérée par la distance $x$, en mètres, du point H \`a l'origine O du repère en fonction du temps $t$, exprimé en secondes. On prendra $t$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement \[(\text{E}) \qquad 25x' + 200x'' = 50,~ \text{où}\] $x'$ est la dérivée de $x$ par rapport au temps $t$, $x''$ est la dérivée seconde de $x$ par rapport au temps $t$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$ ; on rappelle que $v(t) = x'(t)$. Prouver que $x$ est solution de (E) si et seulement si $x'$ est solution de l'équation différentielle (F)\quad $v' = - \dfrac{1}{8}v + \dfrac{1}{4}$. Résoudre l'équation différentielle (F). \item On suppose que, à l'instant $t = 0$, on a : $x(0) = 0$ et $x'(0) = 0$. \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout nombre réel $t$ positif, $x'(t)$. \item En déduire que l'on a, pour tout nombre réel $t$ positif, $x(t) = 2t - 16 + 16\text{e}^{\frac{-t}{8}}$. \end{enumerate} \item Calculer V = $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t)$ . Pour quelles valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à $90\,\%$ de sa valeur limite V ? \item Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30~secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2004 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le personnel d'un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). $12\,\%$ des personnels sont des médecins et $71\,\%$ sont des soignants. $67\,\%$ des médecins sont des hommes et $92\,\%$ des soignants sont des femmes. \medskip \textbf{On donnera une valeur approchée de tous les résultats à} \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \textbf{près.} \medskip \begin{enumerate} \item On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'interroger une femme soignante ? \item Quelle est la probabilité d'interroger une femme médecin ? \item On sait que $80\,\%$ du personnel est féminin. Calculer la probabilité d'interroger une femme AT. En déduire la probabilité d'interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT. \end{enumerate} \item Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0~;~1]. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15~min et 20~min ? \item Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à $40$ personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard $40$ noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu'il s'agit de $40$ tirages successifs indépendants avec remise). Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[(z - 2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0.\] Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses). \item Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$ À tout complexe $z$ différent de ${\text{A}}$ on associe le complexe \[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Soit ($E$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit imaginaire pur. Montrer que B $\in (E)$. Déterminer et construire l'ensemble ($E$). \item Soit ($F$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z'\right| = 1$. Déterminer et construire ($F$). \end{enumerate} \item Soit $R$ la rotation de centre $\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $B'$, image de B par $R$ et l'affixe du point $I'$, image par $R$ du point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$. \item Quelles sont les images de ($E$) et ($F$) par $R$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{C}} = 6+3\text{i},\quad z_{\text{D}} = - 1 + 6\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C et D. \item Montrer qu'il existe une similitude directe $f$ telle que $f$(A) = B et $f$(C) = D. Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques. \item Soit J le point d'affixe $3+5\text{i}$. Montrer que la rotation $R$ de centre J et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ transforme A en D et C en B. \item On appelle I le point d'affixe $1+\text{i}$,~M et N les milieux respectifs de segments [AC] et [BD]. Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN. \item On considère les points $P$ et $Q$ tels que les quadrilatères IA$P$B et IC$Q$D sont des carrés directs. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes $z_P$ et $z_Q$ des points $P$ et $Q$. \item Déterminer $\dfrac{\text{I}P}{\text{IA}}$ et $\dfrac{\text{I}Q}{\text{IC}}$ ainsi qu'une mesure des angles $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{I}P} \right)$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{I}Q} \right)$. En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe $g$ telle que $g$(A) = $P$ et $g$(C)= $Q$. \item En déduire que J est l'image de $M$ par $g$. Que peut-on en déduire pour J ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un nombre réel positif ou nul et $k$ un entier strictement supérieur à $x$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $k$, \[\dfrac{k^n}{ n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}.\] \item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $k$, \[\dfrac{x^n}{ n!} \leqslant \left(\dfrac{x}{k} \right)^n \times \dfrac{k^k}{k!}.\] \item Montrer que \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x^n}{ n!} = 0.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, \[\dfrac{n^{n-1}}{n!} \geqslant 1.\] (on pourra écrire $\dfrac{n^{n-1}}{n!}$ comme un produit de $n- 1$ facteurs supérieurs ou égaux à~1). \item En déduire que \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^n}{ n!} = + \infty.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x + 1},\] et ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique dans un repère du plan. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$, et sa limite en $- \infty$. \item Calculer, pour tout réel $x,~ f(x) + f(-x)$. Que peut-on en déduire pour le point A$(0~;~1 + \ln 4)$ ? \item étudier le sens de variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $m$, l'équation $f (x) = m$ admet une solution unique dans $\R$. \item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de la solution $a$ de l'équation $f(x) = 3$. Justifier la réponse. \item Pour quelle valeur de $m$ le nombre $- a$ est-il la solution de l'équation $f(x) = m$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = x + 2 + \ln 4 - \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. \item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x + \ln 4$ et la droite ($\Delta'$) d'équation $y = x + 2 + \ln 4$ sont des asymptotes de la courbe ($\mathcal{C}$). Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à son asymptote ($\Delta$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère un réel positif $\alpha$. Que représente l'intégrale : \[I(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha} \left[f(x) - x - \ln 4\right]\: \text{d}x \:?\] \item Montrer que $I(\alpha) = 2 \ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}} {\text{e}^{\alpha} + 1} \right)$. (On pourra utiliser le résultat de la question \textbf{5.~a.}) \item Calculer $\alpha$ pour que $I(\alpha) = 1$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2004 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2004~\decofourright}} \medskip L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable aléatoire notée $X$ qui suit la \og loi de durée de vie sans vieillissement \fg{} (ou encore loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. Toutes les probabilités seront données à $10^{-3}$ près. \begin{enumerate} \item Sachant que $p(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\lambda$ est $0,125$. On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice. \item Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. \item Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure dix ans ? \item On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure \`a 10 ans ? \item Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ? Rappel : \emph{Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~+ \infty [$, dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement }: pour $0 \leqslant a \leqslant b,\:p([a~;~b]) = \displaystyle\int_a^b \lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$ et pour $c \geqslant 0,~ p([c~;~+ \infty[) = 1 - \displaystyle\int_0^c \lambda \text{e}^{-\lambda t} \:\text{d}t$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 1~cm. \begin{enumerate} \item On désigne par A, B et I les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i},~\quad z_{\text{B}} = -3 \quad \text{ et} \quad z_{\text{I}} = 1 - 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. \item écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z = \dfrac{z_{\text{I}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{I}} - z_{\text{B}}}$. Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ? \item Calculer l'affixe $z_{C}$ du point $C$ image de I par l'homothétie de centre A et de rapport 2. \item Soit $D$ le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 1) ~;~ (\text{B},~- 1)~;~(C,~1)\right\}$ ; calculer l'affixe $z_D$ du point $D$. \item Montrer que AB$CD$ est un carré. \end{enumerate} \item Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = \dfrac{1}{2}\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{MC}\right\|.\] \item On considère l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ du plan tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = 4\sqrt{5}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que B appartient à $\Gamma_2$. \item Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma_2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan P est rapporté a un repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 3 cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que \[\text{a} = 3 \qquad \text{b} = 1 + \dfrac{2}{3}\text{i} \qquad \text{c} = 3\text{i} \quad \text{et} \quad \text{d} = -\dfrac{1}{3}\text{i}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C et D. \item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude directe $s$ transformant A en B et C en D. \item Donner l'écriture complexe de $s$. En déduire l'affixe du centre I de $s$. \item Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~ y)$ et $M'(x'~;~ y')$ son image par $s$. Montrer que : \renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l} x' & = &-\dfrac{1}{3}y + 1\\ y' & = & \phantom{-}\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}\\ \end{array} \right.$\renewcommand\arraystretch{1} \item On construit une suite $\left(M_{n}\right)$ de points du plan en posant \[\left\{\begin{array}{l c l} \text{M}_{0}& =&\text{A}\\ \multicolumn{3}{l}{\text{et, pour tout entier naturel } n}\\ M_{n+1} &= & s(M_{n})\\ \end{array} \right.\] Pour tout entier naturel, on note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ et on pose $r_{n} = \left|z_{n} -1\right|$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que I$M_{k} \leqslant 10^{-3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $k$ positif ou nul, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par : \[f_k(x) = x + \dfrac{1 - k\text{e}^x}{1 + k\text{e}^x}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $k$ positif ou nul, la fonction $f_k$ est solution de l'équation différentielle : \[(\text{E})\qquad : \quad 2y'= (y- x)^2 +1.\] \item En déduire le sens de variations de $f_k$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormal \Oij. Sur l'annexe, on a représenté la droite D d'équation $y = x - 1$, la droite D$'$ d'équation $y = x + 1$ et plusieurs courbes $\mathcal{C}_k$ correspondant à des valeurs particulières de $k$. Déterminer le réel $k$ associé à la courbe $\mathcal{C}$ passant par le point O puis celui associé à la courbe $\mathcal{C}'$ passant par le point A de coordonnées (1~;~1). \item On remarque que, pour tout $x$ réel, on a : \[f_k(x) = x-1 + \dfrac{2}{1 + k\text{e}^x} \quad (1) \quad \text{et} \quad f_k(x)=x + 1 - \dfrac{2k\text{e}^x}{1 + k\text{e}^x} \quad (2).\] En déduire pour tout $k$ strictement positif : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la position de la courbe $\mathcal{C}_k$ par rapport aux droites D et D$'$. \item les asymptotes de la courbe $\mathcal{C}_k$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Cas particulier : $k = 1$. \begin{enumerate} \item Justifier que $f_1$ est impaire \item Soit la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = \displaystyle\int_0^x f_{1}(t) \:\text{d}t.\] Interpréter graphiquement le réel $F(x)$ dans les deux cas : $x > 0$ et $x < 0$. Déterminer alors la parité de $F$ à l'aide d'une interprétation graphique. \item Déterminer les variations de $F$ sur $\R$. \item En utilisant l'égalité (2), calculer explicitement $F(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-t^2}}{1 + n + t}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variations de cette suite. \item Montrer que $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ , est une suite positive. \item Montrer que pour tout $t \in [0~;~1]$ on a $\dfrac{\text{e}^{-t^2}}{1 + t + n} \leqslant \dfrac{1}{1 + n}$ et en déduire que $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. Que peut-on en conclure quant à la convergence de $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ ? \end{enumerate} \item On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~1]$ par : \[f(x) = \text{e}^{-x} +x-1 \qquad \text{et}\qquad g(x) = 1 -x + \dfrac{x^2}{2} - \text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item étudier le sens de variations et le signe de $f$. \item En déduire le sens de variations de $g$ sur $[0~;~1]$. \item établir, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~1]$, l'encadrement : \[1 - x \leqslant \text{e}^{-x} \leqslant 1 - x + \dfrac{x^2}{2}.\] \item En déduire un encadrement de $\text{e}^{-t^2}$ pour tout $t$ appartenant à $[0~;~1]$. \item établir l'encadrement : \[\dfrac{2}{3(n + 2)} \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{23}{30(n + 1)}\] \item Donner une valeur de $p$ telle que $I_{p} \leqslant 10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie} \vspace {1,5cm} \textbf{Annexe} \vspace {1,5cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(3,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridlabels=09,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] \psline(-3,0)(3,0) \psline(0,-4)(0,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline(-3,-4)(3,2) \psline(-3,-2)(3,4) \psplot{-3}{3}{x 1 2.71828 x exp sub 1 2.71828 x exp add div add}%C_{1} \psplot[linecolor=blue]{-3}{3}{x 1 2.71828 x 1 sub exp sub 1 2.71828 x 1 sub exp add div add}%C_{1/e} \psplot{-3}{3}{x 1 0.5 2.71828 x exp mul sub 1 0.5 2.71828 x exp mul add div add}%C_{0,5} \psplot{-3}{3}{x 1 2 2.71828 x exp mul sub 1 2 2.71828 x exp mul add div add}%C_{2} \psplot{-3}{3}{x 1 3 2.71828 x exp mul sub 1 3 2.71828 x exp mul add div add}%C_{3} \uput[ul](1,1){A}\psdots(1,1) \uput[ul](2,3){D$'$} \uput[dr](-2,-3){D} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.5,0.3){$\mathcal{C}$} \uput[u](2,1.5){\blue$\mathcal{C}'$} \uput[d](1,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,1){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2004 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points } \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{1 - x^2}.\] Son tableau de variations est le suivant : \begin{center} \begin{pspicture}(7.5,2.5) \psline(0,0)(7.5,0) \psline(0,2)(7.5,2) \psline(0,2.5)(7.5,2.5) \psline(0,0)(0,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,2.5) \psline(7.5,0)(7.5,2.5) \psline(4.5,0.4)(4.5,2) \uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.7,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$1$} \uput[u](7,2){$+ \infty$} \rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(1.7,1.7){$1$} \rput(4.5,0.2){$0$} \rput(7.2,1.7){$1$} \psline{->}(1.9,1.7)(4.2,0.2) \psline{->}(4.8,0.2)(7,1.7) \end{pspicture} \end{center} Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ et son asymptote $\Delta$, d'équation $y = 1$, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie. \bigskip \textbf{A - Lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item $k$ est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de $k$ le nombre de solutions dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = k$. \item $n$ étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ admet deux solutions distinctes. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B - Définition et étude de deux suites} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ admet deux solutions $u_{n}$ et $v_{n}$ respectivement comprises dans les intervalles $[0~;~ 1]$ et $[1~;~+ \infty[$. \item Sur la feuille en annexe, construire sur l'axe des abscisses les réels $u_{n}$ et $v_{n}$ pour $n$ appartenant à l'ensemble $\{2~;~3~;4\}$. \item Déterminer le sens de variation des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite $\left(v_{n}\right)$. En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} ; i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Soient les points A, B et C d'affixes respectives i, $1 + \text{i}$ et $-1 + \text{i}$. Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan différent de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ du plan d'affixe $z'$ tel que : \[z'= \dfrac{\text{i}z +2}{z - \text{i}}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les images de B et de C par l'application $f$. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de i, on a la relation : \[\left(z’ - \text{i}\right)(z - \text{i}) = 1.\] \item Soit D le point d'affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D$'$ image du point D par l'application $f$. \end{enumerate} \item Soit $R$ un nombre réel strictement positif. Quelle est l'image par l'application $f$ du cercle de centre A et de rayon $R$ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, si l'affixe du point $M$ est un imaginaire pur différent de i, alors l'affixe du point $M'$ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l'image par l'application $f$ de l'axe imaginaire privé du point A ? \item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point A et de vecteur directeur $\vect{u}$. Déterminer l' image de la droite $\mathcal{D}$ privée du point A par l'application $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$ ; alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$ \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $p$ un nombre premier impair. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que $2^k \equiv 1 \quad [p]$. \item Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $2^k \equiv 1 \quad [p]$ et soit $n$ un entier naturel. Montrer que, si $k$ divise $n$, alors $2^n \equiv 1 \quad [p]$. \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de $n$ par $b$, que si $2^n \equiv 1\quad [p]$, alors $b$ divise $n$. \end{enumerate} \item Soit $q$ un nombre premier impair et le nombre $A = 2^q- 1$. On prend pour $p$ un facteur premier de $A$. \begin{enumerate} \item Justifier que : $2^q \equiv 1 \quad [p]$. \item Montrer que $p$ est impair. \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant \textbf{1.} que $b$ divise $q$. En déduire que $b = q$. \item Montrer que $q$ divise $p - 1$, puis montrer que $p \equiv 1 \quad [2q]$. \end{enumerate} \item Soit $A_{1} = 2^{17} - 1$. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme $34m + 1$, avec $m$ entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que $A_{1}$ est premier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. \begin{center}{Première partie} \end{center} Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B$_{1}$, \np{6000} adresses, dont 120 sont erronées et \np{5880} sont exactes, B$_{2}$, contenant \np{4000} adresses, dont 200 sont erronées et \np{3800} sont exactes. \medskip \begin{enumerate} \item On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6\,000 réalisées à l'aide de B$_{1}$. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :~~} $\dfrac{\binom{120}{3} + \binom{\np{5880}}{7}}{\binom{\np{6000}}{10}}$&\textbf{B :~~}$~ \dfrac{3}{120}$\\ \textbf{C :~~}$~ \binom{10}{3} \times {\left(\dfrac{120}{\np{6000}}\right)}^3 \times {\left(\dfrac{\np{5880}}{\np{6000}}\right)}^7$&\textbf{D :~~}$ \binom{10}{3} \times {\left(\dfrac{3}{120}\right)}^3 \times {\left(\dfrac{7}{\np{5880}}\right)}^7$ \end{tabularx} \item Parmi les \np{10000} étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B$_{1}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :~~}$~ 0,98$ &\textbf{B :~~} $\dfrac{0,4 \times 0,95}{0,6 \times 0,98 + 0,6\times 0,02}$\\ \text{C :} $0,6 \times 0,98$ &\text{D :~~}$\dfrac{0,6 \times 0,98}{0,6 \times 0,98 + 0,4 \times 0,95}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \begin{center}{Deuxième partie} \end{center} La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ (loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0005}$). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instant $t$ est : \[p\left([0~;~t[\right) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à \np{2500}~heures est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~} $\text{e}^{-\frac{\np{2500}}{\np{2000}}}$ & \textbf{B :~~} $\text{e}^{\frac{5}{4}}$ &\textbf{C :~~} $1- \text{e}^{-\frac{\np{2500}}{\np{2000}}}$ &\textbf{D :~~} \quad $\text{e}^{-\frac{\np{2000}}{\np{2500}}}$ \end{tabularx} \item La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule : E $ = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x} \:\text{d}x.$ \begin{enumerate} \item L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x} \: \text{d}x$ est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~} \scriptsize $\lambda \dfrac{t^2}{2}\text{e}^{-\lambda t}$& \textbf{B :~~} \scriptsize $- t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{\lambda} + \dfrac{1}{\lambda}$& \textbf{C :~~} \scriptsize $\lambda t \text{e}^{-\lambda t}- \lambda \text{e}^{-\lambda t} - \lambda$&\textbf{D :~~}\scriptsize $t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{- \lambda}$ \end{tabularx} \item La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A :~~} \np{3500} &\textbf{B :~~} \np{2000}& \textbf{C :~~} \np{2531,24} & \textbf{D :~~} \np{3000} \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et par $f'$ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{l} (1) pour tout nombre réel $x,~ \left[f'(x)\right]^2 - \left[f(x)\right]^2 = 1$,\\ (2) $f'(0) = 1$,\\ (3) la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. \end{tabular} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) \neq 0$. \item Calculer $f(0)$. \end{enumerate} \item En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que : (4) pour tout nombre réel $x,~ f''(x) = f (x)$, où $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. \item On pose : $u = f'+f$ et $v = f'-f$. \begin{enumerate} \item Calculer $u (0)$ et $v(0)$. \item Démontrer que $u'= u$ et $v'= - v$. \item En déduire les fonctions $u$ et $v$. \item En déduire que, pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $m$ un nombre réel. Démontrer que l'équation $f(x) = m$ a une unique solution $\alpha$ dans $\R$. \item Déterminer cette solution lorsque $m = 3$ (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à $10^{-2}$ près). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1} \vspace{0,5cm} \textbf{À compléter et à rendre avec la copie} \vspace{0.5cm} \rotatebox{90}{% \psset{xunit=6cm,yunit=5.5cm} \begin{pspicture}(0,0)(3,1.5) \multido{\r=0+0.083333}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\r)(3,\r)} \multido{\r=0+0.071429}{43}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,1.5)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,1.5) \psline[linewidth=1.5pt](0,1)(3,1) \uput[d](2.9,0){$x$} \uput[l](0,1.4){$y$} \uput[u](0.4,1){$\Delta$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3}{1 x 2 exp 2.71828 1 x 2 exp sub exp mul sub} \uput[d](2.8,0.96){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture}% } \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2004 \hypertarget{Antilles-Guyanesept}{} \label{Antilles-Guyanesept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\] Les deux parties peuvent être abordées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative. \item \begin{enumerate} \item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathcal{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation \[f(x) = \ln (x) \quad \text{sur}~~[1~;~+\infty[.\] \item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par : \[g (x) = \ln (x) - f(x)\] est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$. En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~+\infty[$. \item Déterminer à $10^{-3}$ près une valeur approchée de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer : \[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3 x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\] \item On définit le solide $\mathcal{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant 3$ dans le plan ($x\text{O}\negthinspace y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ du solide est donné par : \[\mathcal{V} = \pi\displaystyle\int_{0}^3 [f(x)]^2\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $\mathcal{V}$ en fonction de I. \item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravité respectifs des triangles B CA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. \begin{center}\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(6,7) \rput(2.3,5.5){$\bullet$} \uput[u](2.3,5.5){A} \rput(1.3,3.5){$\bullet$} \uput[l](1.3,3.5){B} \rput(5.2,3.4){$\bullet$} \uput[r](5.2,3.4){C} \rput(3.2,0){$\bullet$} \uput[d](3.2,0){A$'$} \rput(5.5,7){$\bullet$} \uput[r](5.5,7){B$'$} \rput(0,5.3){$\bullet$} \uput[l](0,5.3){C$'$} \rput(3.2,2.2){$\bullet$} \uput[d](3.2,2.2){P} \rput(4.3,5.3){$\bullet$} \uput[ur](4.3,5.3){Q} \rput(1.15,4.7){$\bullet$} \uput[l](1.15,4.7){R} \pspolygon(2.3,5.5)(1.3,3.5)(5.2,3.4) \pspolygon(3.2,2.2)(4.3,5.3)(1.15,4.7) \pspolygon(2.3,5.5)(5.5,7)(5.2,3.4)(3.2,0)(1.3,3.5)(0,5.3) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note $a,~b,~c,~a',~b',~c',~p,~q$ et $r$ les affixes respectives des points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, P, Q et R. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire, avec les affixes des points concernés, que C$'$ est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre. \item Montrer que $a'+ b'+ c' = a + b + c$. \end{enumerate} \item En déduire que $p + q + r = a + b + c$. \item En déduire que les triangles ABC, A$'$B$'$C$'$ et PQR ont même centre de gravité. \item Montrer que : \[3(q - p) = \left(b’ - c\right) + \left(c - a’\right) + (a - b).\] On admettra que, de même : $3(r - p) = (a - c) + \left(b - a’\right) + \left(c’ - b\right).$ \item Justifier les égalités suivantes : \[a - c = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(b’ - c\right)~ ;~ b - a' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(c - a’\right) ~;~ c' - b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b).\] \item Déduire des \textbf{questions 4.} et \textbf{5.} que le triangle PQR est équilatéral. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 (obligatoire)} \hfill 5 points} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$. Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$. Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe e$^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , on appelle E$'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de E$'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. \item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et K$'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de K$'$. \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$ ; $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$. En déduire que $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|.$ \item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ décrit l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat de \textbf{a.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 (spécialité)} \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. \medskip \begin{enumerate} \item Le PGCD de \np{2004} et \np{4002} est 6. \item Si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls, $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$ et par $2^{q} - 1$. \item Pour tout $n$ de $\N^{*},~ 2^n - 1$ n'est jamais divisible par 9. \item L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation : \[24x + 35y = 9\] est l'ensemble des couples : \[(-144 + 70k~;~99 -24k)~\text{où}~k \in \Z.\] \item Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note $f$ l'homothétie de centre A et de rapport 3 et $g$ l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{1}{3}$ alors $g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB.}}$. \item Soit $s$ la similitude d'écriture complexe $z' = \text{i}\overline{z} + (1 - \text{i})$, l'ensemble des points invariants de $s$ est une droite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textsl{Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.} \textsl{Les trois questions sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égale à $0,003$. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50\,\% des cas ; \item[$\bullet~$] le test est positif pour 3\,\% des personnes saines. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ? \[{\huge \Box}\quad 0,95\quad {\huge \Box}\quad 0,9\quad {\huge \Box}\quad 0,15 \quad {\huge \Box}\quad 0,05\] \item On considère une planche à clous de ce type : \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(6,4) \psline(0,0.8)(0,0.5)(1.1,0.5)(1.1,0.8) \psline(1.5,0.8)(1.5,0.5)(2.6,0.5)(2.6,0.8) \psline(3,0.8)(3,0.5)(4.1,0.5)(4.1,0.8) \psline(4.5,0.8)(4.5,0.5)(5.6,0.5)(5.6,0.8) \pscircle*(1.3,1.1){0.2}\pscircle*(2.8,1.1){0.2} \pscircle*(4.3,1.1){0.2}\pscircle*(2,1.9){0.2} \pscircle*(3.5,1.9){0.2}\pscircle*(2.8,2.7){0.2} \pscircle(2.8,3.7){0.3} \psline{->}(2.8,3.4)(2.8,3) \psline{->}(2.8,3)(2.2,2.5) \psline{->}(2.8,3)(3.4,2.5) \psline{->}(4.2,2.8)(3.7,2.2) \rput(4.4,2.9){clou} \rput(2.8,3.7){B} \rput(2.2,2.8){0,3} \rput(3.4,2.8){0,7} \rput(0.55,0.2){R$_{1}$}\rput(2,0.2){R$_{2}$} \rput(3.55,0.2){R$_{3}$}\rput(5,0.2){R$_{4}$} \end{pspicture} \end{center} On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatre récipients notés R$_{1}$, R$_{2}$, R$_{3}$ et R$_{4}$. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'aller vers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives à l'observateur). On note $p_{1}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{1}$ ou dans le bac R$_{3}$ et $p_{2}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{2}$ ou dans le bac R$_{4}$. Que valent $p_{1}$ et $p_{2}$ ? \[\begin{array}{*{4}{l}} {\huge \Box}\quad& p_{1} = p_{2} =0,5\qquad& {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,216~\text{et}~p_{2} = 0,784\\ {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,532\\ {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,432.\\ \end{array}\] \item Les \np{1000} premières décimales de $\pi$ sont données ici par un ordinateur : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{X}} 1415926535& 8979323846& 2643383279& 5028841971& 6939937510\\ 5820974944& 5923078164& 0628620899& 8628034825& 3421170679\\ 8214808651& 3233066470& 9384460959& 0582235725& 3594085234\\ 8111745028& 4102701930& 5211055596& 4462294895& 4930301964\\ 4288109756& 6593344612& 8475648233& 7867831652& 7120190914\\ 5648566923& 4603486534& 5432664825& 3393607260& 2491412737\\ 2450700660& 6315580574& 8815209209& 6282925409& 1715364367\\ 8925903600& 1133053054& 8820466525& 3841469519& 4151160943\\ 3057270365& 7595919530& 9218611738& 1932611793& 1051185480\\ 7446297996& 2749567355& 8857527240& 9122793318& 3011949129\\ 8336733624& 4065664308& 6025394946& 3952247371& 9070217986\\ 0943702770& 5392171762& 9317675238& 4674818467& 6691051320\\ 0056812714& 5263560827& 7857753427& 9778900917& 3637178721\\ 4684409012& 2495343054& 6549585371& 0507922796& 8925892354\\ 2019956112& 1290219608& 6403441815& 9813629774& 7713099605\\ 1870721134& 9999998372& 9780499510& 5973173281& 6096318599\\ 0244594553& 4690830264& 2522300253& 3446850352& 6193110017\\ 1010003137& 8387528865& 8753320830& 1420617177& 6691473035\\ 9825349042& 8755460731& 1595620633& 8235378759& 3751957781\\ 8577805321& 7122600661& 3001927876& 6111959092& 1642019894\\ \end{tabularx} En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeurs &0 &1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline Occurrences &93 &116 &102 &102 &94 & 97 &94 & 95 &101 & 106\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Avec un tableur, on a simulé \np{1000} expériences de \np{1000} tirages aléatoires d'un chiffre compris entre 0 et 9. Pour chaque expérience, on a calculé $d^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=9} \left(f_{k} - 0,1\right)^2$ où $f_{k}$ représente, pour l'expérience, la fréquence observée du chiffre $k$. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile ($d_{1}$ et $d_{9}$), le premier et troisième quartile ($Q_{1}$ et $Q_{3}$) et la médiane (Me) : $d_{1} = \np{0,000422}\:;\: Q_{1} = \np{0,000582}\:;\:\text{Me} = \np{0,000822}\:;\:Q_{3} = \np{0,001136}\:;\: d_{9} = \np{0,00145}.$ En effectuant le calcul de $d_{2}$ sur la série des \np{1000} premières décimales de $\pi$, on obtient : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} {\large $\Box$}~~\np{0,000456} &{\large $\Box$}~~\np{0,00456}&{\large $\Box$}~~ \np{0,000314} \end{tabularx} Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales de $\pi$, fait l'hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10\,\% de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ? \[{\huge \Box}\quad \text{Oui} \quad {\huge \Box}\quad \text{Non} \quad {\huge \Box}\quad \text{Il ne peut pas conclure.}\] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2004 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{Baccalauréat S Métropole septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,25cm} \emph{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.\\ Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.\\ Le sujet est composé de $4$ exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{1}{x\left(x^2 -1\right)}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que l'on ait, pour tout $x > 1$ : \[g(x) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1} + \dfrac{c}{x - 1}.\] \item Trouver une primitive $G$ de $g$ sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2}.\] Trouver une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. \item En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : \[I = \displaystyle\int_{2}^3 \dfrac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2} \ln x \:\text{d}x.\] On donnera le résultat exact sous la forme $p \ln 2 + q \ln 3$, avec $p$ et $q$ rationnels. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.} Le but de ce problème est d'étudier, pour $x$ et $y$ éléments distincts de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, les couples solutions de l'équation $x^y = y^x$ (E) et, en particulier, les couples constitués d'entiers. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation (E) est équivalente à $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln y}{y}$. \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[h(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\] La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $h$ est donnée en annexe ; $x_{0}$ est l'abscisse du maximum de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Rappeler la limite de la fonction $h$ en $+\infty$ et déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$. \item Calculer $h'(x)$, où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$ ; retrouver les variations de la fonction $h$. Déterminer les valeurs exactes de $x_{0}$ et de $h(x_{0})$. \item Déterminer l'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item Soit $\lambda$ un élément de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$. Prouver l'existence d'un unique nombre réel $a$ de l'intervalle ]1 ; e[ et d'un unique nombre réel $b$ de l'intervalle $]\text{e}~ ;~ + \infty[$ tels que $h(a) = h(b) = \lambda$. Ainsi le couple $(a,~b)$ est solution de (E). \item On considère la fonction $s$ qui, à tout nombre réel $a$ de l'intervalle [1~;~e[, associe l'unique nombre réel $b$ de l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$ tel que $h(a) = h(b)$ (on ne cherchera pas à exprimer $s(a)$ en fonction de $a$). Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux questions suivantes \begin{enumerate} \item Quelle est la limite de $s$ quand $a$ tend vers 1 par valeurs supérieures ? \item Quelle est la limite de $s$ quand $a$ tend vers e par valeurs inférieures ? \item Déterminer les variations de la fonction $s$. Dresser le tableau de variations de $s$. \end{enumerate} \item Déterminer les couples d'entiers distincts solutions de (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules : $75\,\%$ de particules A et $25\,\%$ de particules B. Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments KI et K2. L'expérience est modélisée de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la probabilité $\dfrac{1}{3}$ et dans K2 avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$ ; \item une particule au hasard parmi les particules de type B entre dans chacun des compartiments avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \newpage \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit une particule au hasard. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : A1 : \og la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 \fg, A2 : \og la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 \fg, B1 : \og la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 \fg, B2 : \og la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 \fg, C1 : \og la particule entre dans K1 \fg, C2 : \og la particule entre dans K2 \fg. \item On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l'épreuve décrite en introduction. Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions $75\,\%$ et $25\,\%$ restent constantes. Calculer la probabilité de l'évènement E suivant : \og il y a exactement deux particules dans K2 \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A sont radioactives et se transforment spontanément en particules B ; chaque particule A donne en se transformant une particule B. On note $p(t)$ la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l'instant $t = 0$, on a $p(0) = 0,75$. Plus généralement, si $t$ est exprimé en années, on a $p(t) = 0,75 \text{e}^{- \lambda t}$, où $\lambda$ est une constante réelle. La demi-vie \footnote{temps au bout duquel le nombre de particules restantes est la moitié du nombre initial.} des particules de type A est égale à \np{5730}~ans. \begin{enumerate} \item Calculer $\lambda$ ; on prendra une valeur approchée décimale à $10^{-5}$ près par défaut. \item Au bout de combien d'années $10\,\%$ des particules de type A se seront-elles transformées en particules de type B ? \item Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle il y aura autant de particules de type A que de particules de type B (on arrondira à l'unité). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique 1~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation suivante : \[z^2 -8z\sqrt{3} + 64 = 0.\] \item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes \[a = 4\sqrt{3} - 4\text{i} \qquad \text{et} \qquad b = 4\sqrt{3} + 4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle. \item Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB. \end{enumerate} \item On désigne par C le point d'affixe $c = - \sqrt{3} + \text{i}$ et par D son image par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D. \item On appelle G le barycentre des trois points pondérés $(\text{O}~;~- 1)$, (D~;~+ 1), (B~;~+ 1). \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de G et montrer que ce point a pour affixe $g = 4\sqrt{3} + 6\text{i}$. \item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. \item Montrer que les points C, D et G sont alignés. \item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle AGC ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textsl{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.} \medskip A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$ distinct des points A et C. Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit équilatéral direct ; on a donc $\left(\vect{B\text{C}},~\vect{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $B$C$D$. Les droites (A$B$) et (C$G$) se coupent en un point $M$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points $D,~ G$ et $M$ sur la figure de la feuille annexe. \item Montrer que les points O, $D$ et $G$ appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point $G$ est le milieu du segment [C$M$]. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de centre C transformant $B$ en $M$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives $- 1$ et 1. Soit $E$ le point construit pour que le triangle AC$E$ soit équilatéral direct ; on a donc $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{A}E}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $E$ et construire le point $E$ sur la feuille annexe. \item Soit $\sigma$ la similitude directe d'expression complexe $z' = \dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{4}$. Déterminer les éléments caractéristiques de $\sigma$ et en déduire que $\sigma$ est la similitude réciproque de $s$. \item Montrer que l'image $E'$ du point $E$ par $\sigma$ a pour affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et montrer que le point $E'$ appartient au cercle $\Gamma$. \item On note $\mathcal{C}$ le lieu des points $M$ lorsque le point $B$ décrit le cercle $\Gamma$ privé des points A et C. Montrer que le point $E$ appartient à $\mathcal{C}$. Soit O$'$ l'image du point O par la similitude $s$. Démontrer que le point O$'$ est le centre de gravité du triangle AC$E$. En déduire une construction de $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 2} \vspace{0,5cm} À rendre avec la copie \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.8)(20,0.4) \multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-0.8)(\n,0.4)} \multido{\n=-0.8+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,-0.8)(20,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.2](0,0)(0,-0.8)(20,0.4) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.613}{20}{x ln x div} \uput[d](10,-0.9){Courbe {\blue $\mathcal{C}$}, obtenue à l'aide d'un traceur de courbes} \end{pspicture} \vspace{3,5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \SpecialCoor \rput(3.4;90){\textbf{Annexe spécialité}} \pscircle(0;0){3} \uput[r](3;0){C}\uput[l](3;180){A}\uput[ur](3;40){B} \psline(2.9;0)(3.1;0) \psline(2.9;180)(3.1;180)\psline(2.9;40)(3.1;40) \uput[dl](3;-120){$\Gamma$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2004 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \medskip {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} + 1 - x.\] \begin{center}\psset{xunit=3cm} \begin{pspicture}(0,-4)(3,1) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-4)(3,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0,1){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](1,0){$\vect{\imath}$} \uput[d](2.8,-1.1){$\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1515}{3}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub} \uput[u](.2,0){$\alpha$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1515}{1}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub} \psline(1,0)(.1515,0)} \psline[linewidth=1pt](0.155,-4)(0.1515,0) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est dérivable et que, pour tout $x$ strictement positif, $f'(x)$ est du signe de \[N(x) = -\left[2\left(x\sqrt{x} -1 \right) + \ln x.\right]\] \item Calculer $N(1)$ et déterminer le signe de $N(x)$ en distinguant les cas $0 < x < 1$ et $x > 1$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et les coordonnées du point de $\mathcal{C}$ d'ordonnée maximale. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où $\alpha$ désigne un réel de $]0~;~1[$. \begin{enumerate} \item Exprimer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ (on pourra utiliser une intégration par parties). \item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers 0. Donner une interprétation graphique de cette limite. \end{enumerate} \item On définit une suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par son premier terme $u_0$ élément de [1~;~2] et : \[ \text{pour tout entier naturel} \quad n,~ u_{n+1} = \dfrac{\ln u_n}{\sqrt{u_n}} + 1.\] \begin{enumerate} \item Démontrer, pour tout réel $x$ élément de [1~;~2], la double inégalité $0 \leqslant \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant 1$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ u_n$ appartient à [1~;~2]. \end{enumerate} \item En remarquant que, pour tout entier naturel $n,~u_{n+1} = f\left(u_n\right) + u_n$, déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \item Déterminer la valeur exacte de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique. Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on considère les points $M'$ et $M''$ d'affixes respectives \[z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les points $M$ pour lesquels $M''= M$. \item Déterminer les points $M$ pour lesquels $M'' = M'$. \end{enumerate} \item Montrer qu'il existe exactement deux points M$_1$ et M$_2$ dont les images M$_1',~\text{M}_1'',~\text{M}_2'$ et M$_2''$ appartiennent à l'axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées. \item On pose $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. \begin{enumerate} \item Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{z'' - z}{z' - z}$. \item En déduire l'ensemble E des points $M$ du plan pour lesquels les points $M,~ M'$ et $M''$ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur. \end{enumerate} \item On pose $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ ainsi définis et chacun des ensembles $\Gamma'$ et $\Gamma''$ des points $M'$ et $M''$ associés à $M$. \item Représenter $\Gamma,~ \Gamma'$ et $\Gamma''$ sur la figure précédente \item Dans cette question $\theta = \dfrac{\pi}{6}$. Placer le point M$_3$ obtenu pour cette valeur de $\theta$, et les points M$_3'$ et M$_3''$ qui lui sont associés. Montrer que le triangle M$_3$M$_3'$M$_3''$ est rectangle. Est-il isocèle ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $- 1$ + i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2}}\overline{z} - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A})$ et C$' = f(\text{C})$. \item En déduire la nature de $f$ et caractériser cette transformation. \item Placer les points A, B et C puis construire le point B$' = f(\text{B})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de l'homothétie $h$ de centre A et de rapport $\sqrt{2}$. \item Montrer que la composée $g = f \circ h$ a pour écriture complexe \mbox{$z'' = (1 + \text{i})\overline{z} - 1 + 3\text{i}$}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit M$_0$ le point d'affixe $2 - 4\text{i}$. Déterminer l'affixe du point M$_0'' = g\left(\text{M}_0\right)$ puis vérifier que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AM}_0''}$ sont orthogonaux. \item On considère un point $M$ d'affixe $z$. On suppose que la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ de $z$ sont des entiers. Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux si, et seulement si $5x + 3y = -2$. \item Résoudre dans $\Z^2$ l'équation $5x + 3y = -2$. \item En déduire les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-6~;~ 6]$ tels que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés. Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres $-2,~- 1,~0,~1,~2$ et $3$. Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre $- 1$. On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note $a$ le nombre lu sur le canon de U et $b$ celui lu sur le carton de V. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les points pondérés (A, $a$), (B, $b$) et (C, 4) admettent un barycentre. On le note $G$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E$_1$ \og $G$ appartient à la droite (BC) \fg{} ; E$_2$ \og $G$ appartient au segment [BC] \fg. \item Montrer que la probabilité de l'évènement E$_3$ : \og $G$ est situé à l'intérieur du triangle ABC et n'appartient à aucun des côtés \fg{} est égale à $\dfrac{2}{5}$. On pourra faire appel des considérations de signe. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On répète $n$ fois dans les mêmes conditions l'épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre $G$ de la question \textbf{1}. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l'évènement E$_3$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'entier $n$ pour que l'espérance de la variable aléatoire $X$ soit égale à 4. \item Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité d'avoir au moins un des barycentres situé à l'intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à $0,999$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie novembre 2004 \hypertarget{Nouvelle-Caledonie}{} \label{Nouvelle-Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie novembre 2004~\decofourright }} \medskip L'utilisation de la calculatrice est autorisée. \medskip \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = z^2 - 4z.\] \begin{enumerate} \item Soient A et B les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 3 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$ images des points A et B par $f$. \item On suppose que deux points ont la même image par $f$. Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera. \end{enumerate} \item Soit I le point d'affixe $- 3$. \begin{enumerate} \item Démontrer que O$M$I$M'$ est un parallélogramme si et seulement si $z^2 - 3z + 3 = 0$. \item Résoudre l'équation $z^2 - 3z + 3 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\left(z'+ 4\right)$ en fonction de $(z - 2)$. En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et $|z - 2|$ puis entre arg$\left(z'+ 4\right)$ et arg$(z - 2)$. \item On considère les points J et K d'affixes respectives $z_{\text{J}} = 2$ et $z_{\text{K}} = - 4$. Démontrer que tous les points $M$ du cercle ($\mathcal{C}$) de centre J et de rayon 2 ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera. \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 4 -3\text{i}$. Donner la forme trigonométrique de $(z_{\text{E}} + 4)$ et à l'aide du \textbf{3. a.} démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point E. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)}\end{center} \textsl{Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.} \textbf{Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.} Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent $\frac{1}{2}$ point. \vspace{0,2cm} \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,3.5) %\psgrid \psline(2,2)(0,2.4)(1.4,3.1)(3.4,2.7)(2,2)(2,0)%GFEHGC \psline(0,0.4)(2,0)(3.4,0.7)(3.4,2.7)%BCDH \psline(0,2.35)(0,0.4) \psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(0,0.4)%AB \psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(1.4,3.1)%AE \psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(3.4,0.7)%AD \uput[d](1.4,1.1){A} \uput[dl](0,0.4){B} \uput[d](2,0){C} \uput[dr](3.4,0.7){D} \uput[u](1.4,3.1){E} \uput[l](0,2.4){F} \uput[u](2,2){G} \uput[ur](3.4,2.7){H} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.5\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$} \bigskip On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~3)\}$. Soit ($\pi$) le plan d'équation $4x - 4y + 3z - 3 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Les coordonnées de L sont : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~0~;~0\right)$& \textbf{b.~~} $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~0\right)$ & \textbf{c.~~} $\left(\dfrac{2}{3}~;~0~;~0\right)$\\ \end{tabularx} \item Le plan ($\pi$) est le plan \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} (GLE) & \textbf{b.~~} (LEJ) & \textbf{c.~~} (GFA) \end{tabularx} \item Le plan parallèle au plan ($\pi$) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{4}\right)$ & \textbf{b.~~} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{5}\right)$ & \textbf{c.~~} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right)$\\ \end{tabularx} \item \textbf{a.~~} Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par rapport à B. \textbf{b.~~} Les droites (EL) et (IM) sont parallèles. \textbf{c.~~} Les droites (EL) et (IM) sont sécantes. \item Le volume du tétraèdre FIJM est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac{1}{36}$ & \textbf{b.~~} $\dfrac{1}{48}$ &\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{24}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\] On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \Oij, l'unité graphique est $2$~cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\R$. En déduire le signe de $g$. \item Justifier que pour tout $x,\:\left(\text{e}^x - x\right)$ est strictement positif. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Interpréter graphiquement les résultats précédents. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$. \item étudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$. \item À l'aide de la \textbf{partie A}, étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite (T). \end{enumerate} \item Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Exercice de spécialité} \medskip Dans cet exercice, $a$ et $b$ désignent des entiers strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $a u + b v = 1$ alors les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \item En déduire que si $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs $(a~;~b)$ tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ lorsque $a = b$. \item Vérifier que (1~;~1), (2~;~3) et (5~;~8) sont trois solutions particulières. \item Montrer que si $(a~;~b)$ est solution et si $a < b$ , alors $a^2 - b^2 < 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $(x~;~y)$ est une solution différente de (1~;~1) alors $(y - x~;~ x)$ et $(y~;~y + x)$ sont aussi des solutions. \item Déduire de \textbf{2. b.} trois nouvelles solutions. \end{enumerate} \item On considère la suite de nombres entiers strictement positifs $\left(a_{n}\right)_{n}$ définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier $n , n \geqslant 0,~ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$. Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 0,~\left(a_{n}~;~a_{n+1}\right)$ est solution. En déduire que les nombres $a_{n}$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par : \[\left\{\begin{array}{l c c} u_0 & =&3\\ u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\ \end{array} \right. \qquad \left\{\begin{array}{l c c} v_0 & =&4\\ v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\ \end{array} \right.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~v_1,~u_2$ et $v_2$. \item Soit la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = v_n - u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$. \item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et préciser la limite de la suite $\left(w_n\right)$. \end{enumerate} \item Après avoir étudié le sens de variation de suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ? \item On considère à présent la suite $\left(t_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $t_n = \dfrac{u_n + 2v_n}{3}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(t_n\right)$ est constante. \item En déduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, $a$ et $b$ désignent des entiers strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que \[au + bv = 1\] alors les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \item En déduire que si $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$ , alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs $(a~;~b)$ tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ lorsque $a = b$. \item Vérifier que (1~;~1), (2~;~3) et (5~;~8) sont trois solutions particulières. \item Montrer que si $(a~;~b)$ est solution et si $a \neq b$ , alors $a^2 - b^2 < 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $(x~;~y)$ est une solution différente de (1~;~1) alors $(y - x~;~x)$ et $(y~;~y + x)$ sont aussi des solutions. \item Déduire de \textbf{2. b.} trois nouvelles solutions \end{enumerate} \item On considère la suite de nombres entiers strictement positifs $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier $n,~n \geqslant 0,~a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$. Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 0,\: \left(a_{n}~;~a_{n +1}\right)$ est solution. En déduire que les nombres $a_{n}$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Calédonie novembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2004 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small novembre 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{-x}.\] On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij~(unité graphique : 10 cm). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Construire $\Gamma$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $m$ de $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions. \item Dans le cas où $m = \dfrac{1}{4}$, on nomme $\alpha$ et $\beta$ les solutions (avec $\alpha < \beta$). Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Résoudre l'équation $f(x) = m$ dans le cas où $m = 0$ et $m = \dfrac{1}{\text{e}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 & = & \alpha\\ u_{n+1} & = & u_n\text{e}^{-u_n},~\text{pour tout entier naturel}~n\\ \end{array}\right.\] où $\alpha $ est le réel défini à la question \textbf{A. 2. b.} \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_n > 0$. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \ln u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, on a $u_n = w_n - w_{n+1}$. \item On pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Montrer que $S_n = w_0 - w_{n+1}$. \item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par son premier terme $v_0~(v_0 > 0)$ et, pour tout entier naturel $n,~v_{n+1} = v_n\text{e}^{-v_n}$. Existe-t-il une valeur de $v_0$ différente de $\alpha$ telle que, pour tout $n \geqslant 1$, on ait $u_n = v_n$ ? Si oui, préciser laquelle. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \qdisk(0,2.71828){1.5pt} \qdisk(1,1){1.5pt} \uput[ur](0,2.71828){A} \uput[ur](1,1){B} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{4.1}{2.71828 1 x sub exp} \end{pspicture} \end{center} \medskip On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal \Oij, la courbe représentative de la fonction $f$ dérivable sur $\R$, solution de l'équation différentielle \[(\text{E})\qquad : \quad y' + y = 0 \quad \text{et telle que} \quad f(0) = \text{e}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $f(x)$ pour tout $x$ réel. \item Soit $t$ un réel donné de l'intervalle [1~;~e]. Résoudre dans $\R$ l'équation $\text{e}^{1 - x} = t$ d'inconnue $x$. \item Soit A le point d'abscisse 0 et B le point d'abscisse 1 de la courbe. On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: \text{d}t$. Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3) \psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) \psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} \psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} \scalebox{1}[0.25]{\psarc[linewidth=0.04](0,3.8){1}{180}{0}}% \scalebox{1}[0.25]{\psarc[linewidth=0.04,linestyle=dotted](0,3.8){1}{0}{180}}% \end{pspicture}\end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textsl{On note} $p_{\text{A}}(\text{B})$ \textsl{la probabilité conditionnelle de l'évènement} B \textsl{sachant que l'évènement} A \textsl{est réalisé.} \medskip Une urne contient 4~boules rouges et 2~boules noires indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne. On note $A_{0}$ l'évènement ; \og on n'a obtenu aucune boule noire \fg{} ; On note $A_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire \fg{} ; On note $A_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires \fg. Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. \item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne. On note $B_{0}$ l'évènement : \og on n'a obtenu aucune boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg On note $B_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg On note $B_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires au tirage n$\up{o}~ 2$ \fg \begin{enumerate} \item Calculer $p_{A_{0}}(B_{0}),~ p_{A_{1}}(B_{0})$ et $p_{A_{2}}(B_{0})$. \item En déduire $p(B_{0})$. \item Calculer $p(B_{1})$ et $p(B_{2})$. \item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ? \end{enumerate} \item On considère l'évènement $R$ : \og il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'une \fg. Montrer que $p(R) = \dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1~cm. Soit P le point d'affixe $p$ où $p = 10$ et $\Gamma$ le cercle de diamètre [OP]. On désigne par $\Omega$ le centre de $\Gamma$. Soit A, B, C les points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$, où $a = 5 + 5 \text{i},~ b = 1 + 3\text{i}$ et $c = 8 - 4\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que A, B et C sont des points du cercle $\Gamma$. \item Soit D le point d'affixe 2 + 2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À tout point $M$ du plan différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' = \dfrac{20}{\overline{z}}\quad \text{où}~~\overline{z}~ ~\text{désigne le nombre conjugué de} ~ z.\] \begin{enumerate} \item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $x = 2$ et $M$ un point de $\Delta$ d'affixe $z$. On se propose de définir géométriquement le point $M'$ associé au point $M$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $z + \overline{z} = 4$. \item Exprimer $z' +\overline{z'}$ en fonction de $z$ et $\overline{z}$ et en déduire que $5\left(z'+ \overline{z'}\right)~=~ z'\overline{z'}$. \item En déduire que $M'$ appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle $\Gamma$. Placer $M'$ sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Exercice de spécialité} \medskip Soit A$_0$ et B$_0$ deux points du plan orienté tels que A$_0$B$_0$ = 8. On prendra le centimètre pour unité. Soit S la similitude de centre A$_0$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. On définit une suite de points $(B_n)$ de la façon suivante : \begin{center} pour tout entier naturel $n,~B_{n+1} = \text{S}(B_n)$. \end{center} \begin{enumerate} \item Construire B$_1$,~B$_2$,~B$_3$ et B$_4$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, les triangles A$_0B_{n}B_{n+1}$ et A$_0B_{n + 1}B_{n + 2}$ sont semblables. \item On définit la suite $(l_n)$ par : pour tout entier naturel $n,~ l_n = B_nB_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(l_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison. \item Exprimer $l_n$ en fonction de $n$ et de $l_0$. \item On pose $\Sigma_n = l_0 + l_1 + \cdots + l_n$. Déterminer la limite de $\Sigma_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $3x - 4y = 2$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. \item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire en A$_0$ à la droite (A$_0$B$_0$). Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n,~ B_n$ appartient-il à $\Delta$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud décembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2005 \hypertarget{NlleCaledoniemars}{} \label{NlleCaledoniemars} \lhead{\small BaccalaurŽéat S (obligatoire)} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small mars 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie mars 2005~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose trois affirmations. Pour chacune d'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n'est demandée. \smallskip \textsl{Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.} \smallskip Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu'une question est traitée correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point. L'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à zéro. Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\small}m{5.2cm}|>{\small}X|l|}\hline & \multirow{3}{5.2cm}{Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout réel $\theta,~\left(\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^n$ est égal à :}&$\text{e}^{\text{i}n\theta}$ & ${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai\\\cline{3-4} Q1 & & $\cos \left(\theta^n\right) + \text{i}\sin \left(\theta^n\right)$&${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4} & & $ \cos (n\theta) + \text{i} \sin(n\theta)$ & ${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai\\ \hline & \multirow{3}{5.2cm}{La partie imaginaire du nombre $z$ est égale à :} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{z +\overline{z}}{2}$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4} Q2 & &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\dfrac{z - \overline{z}}{2\text{i}}$ &${\huge \Box} $Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4} & & \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{z - \overline{z}}{2}$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\ \hline & \multirow{3}{5.2cm}{Soit $z$ un complexe tel que $z = x + \text{i}y$ ($x$ et $y$ réels). Si $z$ est un imaginaire pur, alors $|z|^2$ est égal à :} & $y^2$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\ \cline{3-4} Q3 & & $- y^2$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\ \cline{3-4} & & $- z^2$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\ \hline & \multirow{3}{5.2cm}{A, B et C sont des points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$ telles que $\dfrac{b - a}{c - a} = \text{i}\sqrt{3}$, alors :} & BC = 2 AC &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4} Q4& &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,~k \in \Z$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4} & & $\vect{\text{CA}}~\cdot~\vect{\text{CB}} = \text{CA}^2$ &${\huge \Box}$ Faux ${\huge \Box}$ Vrai \\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur de trajet par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à $p$. Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude. Soit $X_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au $i$-ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit $X$ la variable aléatoire définie par $X = X_{1} + X_{2} + X_{3} + \cdots + X_{40}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Dans cette partie on suppose que $p = \dfrac{1}{20}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item Calculer les probabilités $P(X = 0),~ P(X = 1)$ et $P(X = 2)$. \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois. \end{enumerate} \item Soit $Z_{i}$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur. Justifier l'égalité $Z = 400 - 100 X$ puis calculer l'espérance mathématique de $Z$ pour $p = \dfrac{1}{5}$. \item On désire maintenant déterminer $p$ afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à $99\,\%$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $P(X \leqslant 2) = (1 - p)^{38}\left(741p^2 + 38p + 1\right)$. \item Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par : $f(x) = (1 - x)^{38}\left(741x^2 + 38x + 1\right)$. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur [0~;~1] et qu'il existe un unique réel $x_{0}$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] tel que $f(x_{0}) = 0,01$. Déterminer l'entier naturel $n$ tel que $\dfrac{n}{100}< x_{0} < \dfrac{n + 1}{100}$. \item En déduire la valeur minimale qu'il faut attribuer à $p$ afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à $99\,\%$. (On exprimera $p$ en fonction de $x_{0}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = x^2 - 2,2x + 2,2\ln (x + 1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre $- 2\leqslant x \leqslant 4,\quad -5 \leqslant y \leqslant 5$. Reproduire sur la copie l'allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice. \item D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : \begin{enumerate} \item sur les variations de la fonction $f$ ? \item sur le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ ? \end{enumerate} \item On se propose maintenant d'étudier la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ \item Étudier les limites de la fonction $f$ en $- 1$ et en $+\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$. \item Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. \item Les résultats aux questions \textbf{3. a.} et \textbf{3. c.} confirment-ils les conjectures émises à la question \textbf{2.} ? \end{enumerate} \item On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 0,1~;~0,2]$, de façon à visualiser les résultats de la question \textbf{3.}. \begin{enumerate} \item Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée $y$ proposez-vous pour mettre en évidence les résultats de la question \textbf{3. c.} dans la fenêtre de votre calculatrice ? \item À l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de la plus grande solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. \end{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par \[F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 1,1x^2 - 2,2x + 2,2(x + 1)\ln (x+1).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]-1~;~+ \infty[$. \item Interpréter graphiquement l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \:\text{d}x$. \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \:\text{d}x$ et exprimer le résultat sous la forme $b\alpha^3 + c\alpha^2 \: (b$ et $c$ réels). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Étant donnés deux points distincts A$_{0}$ et B$_{0}$ d'une droite, on définit les points : A$_{1}$ milieu du segment [A$_{0}$ B$_{0}$] et B$_{1}$ barycentre de $\left\{\left(\text{A}_{0},~1\right)~;~\left(\text{B}_{0},~2\right)\right\}$. Puis, pour tout entier naturel $n,~ A_{n+1}$ milieu du segment $[A_{n}B_{n}]$ et $B_{n+1}$ barycentre de $\left\{\left(A_{n},~1\right)~;~\left(B_{n},~2\right)\right\}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A$_{1}$ , B$_{1}$, A$_{2}$ et B$_{2}$ pour A$_{0}$B$_{0}$= 12 cm. Quelle conjecture peut-on faire sur les points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ devient très grand ? \item On munit la droite (A$_{0}$B$_{0}$) du repère $\left(\text{A}_{0}~ ;~\vect{\imath}\right)$ avec $\vect{\imath} = \dfrac{1}{12}\vect{\text{A}_{0}\text{B}_{0}}$. Soit $u_{n}$ et $v_{n}$ les abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$. Justifier que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a \[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 0~ ;~v_{0} = 12~;$ \[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ définie par $w_{n } = v_{n} - u_{n}$ est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante puis que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. \item Déduire des deux questions précédentes que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes et ont la même limite. \item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 2u_{n} + 3v_{n}$. Montrer qu'elle est constante. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip À partir des résultats obtenus dans les \textbf{parties A et B}, préciser la position limite des points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ tend vers plus l'infini. %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2005 \end{document}