%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache %%% dernière mise à jour : janvier 2026 \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2009~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2009}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 16 avril 2009} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 4 juin 2009} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\ \hyperlink{Liban}{Liban 11 juin 2009} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 18 juin 2009} \dotfill \pageref{Antillesjuin}\\ \hyperlink{Asie}{Asie 18 juin 2009} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{etrangers}{Centres étrangers 15 juin 2009} \dotfill \pageref{etrangers}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion 22 juin 2009} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole 23 juin 2009} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \\ \hyperlink{Metropoledevoilejuin}{Métropole dévoilé 23 juin 2009} \dotfill \pageref{Metropoledevoilejuin}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 17 juin 2009} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antilles-Guyanesep}{Antilles-Guyane septembre 2009} \dotfill \pageref{Antilles-Guyanesep}\\ \hyperlink{Metropolesep}{Métropole et La Réunion 10 septembre 2009} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 2009} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2009} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2009} \dotfill \pageref{Caledonienov} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2009 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{16 avril 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \parbox{0.52\linewidth}{Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = x\text{e}^{-x^2}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. Cette courbe est représentée ci-contre.}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=2.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(2.25,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2.25,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.25,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2.25}{x 2.71828 x dup mul exp div} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. (On pourra écrire, pour $x$ différent de $0$ : $\left.f(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\right)$. \item Démontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum. \end{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de $a$, l'aire $F(a)$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = a$. Quelle est la limite de $F(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n} = \int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x.\] On ne cherchera pas à expliciter $u_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ différent de 0 et de 1 \[f(n+1) \leqslant u_{n} \leqslant f(n).\] \item Quel est le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ ? \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Quelle est sa limite ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif $n,~ F(n ) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_{k}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip On donne ci-dessous les valeurs de $F(n)$ obtenues à l'aide d'un tableur, pour $n$ entier compris entre 3 et 7. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}m{2.25cm}|}*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$ &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $F(n)$ &\np{0,4999382951} & \np{0,4999999437} &0,5&0,5&0,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip Interpréter ces résultats. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A, B et C les points d'affixes respectives: \[a = 3 - \text{i},\quad b = 1- 3\text{i}~~\text{et}~~c = -1- \text{i}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$. \item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$. \end{enumerate} \item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe. Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2} + 2 + \text{i}$. \item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \,\text{e}^{\text{i}\theta}$. \item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que : \[S(\text{O}) = \text{A}~~ \text{et}~~ S(\text{A}) = \text{B}.\] \item Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : \[z' = (1 - \text{i})z + \text{i}.\] Préciser les éléments caractéristiques de $S$ (on notera $\Omega$ le centre de $S$). \end{enumerate} On considère la suite de points $\left(A_{n}\right)$ telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A_{0}$ est l'origine du repère et, \item[$\bullet~$] pour tout entier naturel $n$, $A_{n+1} = S\left(A_{n}\right)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $z_{n}$, l'affixe de $A_{n}$. (On a donc $A_{0} = \text{O},~ A_{1} = \text{A}$ et $A_{2} = \text{B}$). \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ z_{n} = 1 - (1 - \text{i})^n$. \item Déterminer, en fonction de $n$, les affixes des vecteurs $\vect{\Omega A_{n}}$ et $\vect{A_{n}A_{n+1}}$. Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{\Omega A_{n}},~\vect{A_{n}A_{n+1}}\right)$. \item En déduire une construction du point $A_{n+1}$ connaissant le point $A_{n}$. Construire les points $A_{3}$ et $A_{4}$. \end{enumerate} \item Quels sont les points de la suite $\left(A_{n}\right)$ appartenant à la droite $(\Omega \text{B})$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un repère orthonormé de l'espace \Oijk{} on considère les points : A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$. \medskip Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse : \medskip \textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite. \medskip \textbf{Proposition 2 :} La transformation qui, à tout point $M$ de l'espace associe le point $M'$ tel que $\vect{MM'} = \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}$ est l'homothétie de centre $G$, où $G$ désigne le barycentre du système $\{(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~2)\}$, et de rapport 3. \medskip \textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. \medskip \textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3~;~3~;~0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x + 2y + z+ 3 = 0$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$. \medskip \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \begin{enumerate} \item On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus. \begin{enumerate} \item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? \item Quelle est son espérance ? \item Calculer $P(X = 2)$. \end{enumerate} \item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite. On considère les évènements D et A suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D$ \og le dé choisi est le dé bien équilibré \fg{} ; \item[$\bullet~$] $A$ : \og obtenir exactement deux 6 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] \og choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 \fg{} ; \item[$\bullet~$] \og choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} (On pourra construire un arbre de probabilité). \item En déduire que : $p(A) = \dfrac{7}{48}$. \item Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ? \end{enumerate} \item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). On note $B_{n}$ l'évènement \og obtenir au moins un 6 parmi ces $n$ lancers successifs~\fg. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l'évènement $B_{n}$. \item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Commenter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2009 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{4 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. \begin{center} \textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours} \end{center} Au début de l'épidémie on constate que 0,01\,\% de la population est contaminé. Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours. On a donc $y(0) = 0,01$. On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie : \[y'= 0,05y(10 - y).\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} y(0)& 0,01\\ y'& 0,05y(10 - y)\\ \end{array} \right.$ si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions $\left\{\begin{array}{l !{=} l} z(0) &100\\ z' & - 0,5z + 0,05\\ \end{array} \right.$ \item \begin{enumerate} \item En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$. \item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin}\end{center} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92\,\% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10\,\% des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og l'individu n'est pas vacciné et tombe malade \fg{} est égale à $0,08$. \item Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip On supposera connus les résultats suivants : Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si $u \geqslant 0$ sur $[a~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant 0$. \item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],\: f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$ et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l} u_{0} =\displaystyle\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ \text{pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul},\: u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant f(x) \leqslant 1.$ \item En déduire que $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant 1$. \end{enumerate} \item Calculer $u_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n}$. \item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \bigskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8) \psframe(6.6,6.6) \psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6) \psline(8.4,8)(6.6,6.6) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8) \psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4) \uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} \uput[l](0,6.6){E} \uput[-20](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} \uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K} \psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ]. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. \item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). \item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG). \end{enumerate} \item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL]. \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. \medskip \textbf{Partie A : étude d'un cas particulier} \medskip On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \\[5pt] On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 1). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique. \item En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A. \end{enumerate} \item Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$. \item Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude du cas général} \medskip Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$. On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 2). L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$]. \begin{enumerate} \item Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$. \item En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ). \item Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(E) : \quad 23x + 47y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. \item En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que \[23x \equiv 1\quad (47).\] \end{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que si $ab \equiv 0 \quad (47)$ alors $a \equiv 0 \quad (47)$ ou $b \equiv 0 \quad (47)$. \item En déduire que si $a^2 \equiv 1 \quad (47)$ alors $a \equiv 1 \quad (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times q \equiv 1 \quad (47)$. \end{enumerate} Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté \emph{inv}$(p)$, appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv 1 \quad (47)$. Par exemple : \emph{inv}$(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad (47),~$ \emph{inv}$(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv 1 \quad (47),$ \emph{inv}$(3) = 16$ car $3 \times 16 \equiv 1 \quad (47)$. \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p =$ \emph{inv}$(p)$ ? \item Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE}} \vspace{1cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 4} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$} \pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-2,0)(-2,-2) \uput[dr](0,0){O} \uput[r](1,1.732){A} \uput[u](-0.732,2.732){B} \uput[u](-2,0){C} \uput[d](-2,-2){D} \rput(0,-2.75){Partie A : figure 1} \end{pspicture} \vspace{1cm} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$} \pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-1.95,0.39)(-2.23,-1.7) \uput[dr](0,0){O}\uput[r](1,1.732){A}\uput[u](-0.732,2.732){B}\uput[l](-1.95,0.39){A$'$} \uput[d](-2.23,-1.7){B$'$} \psarc(0,0){2}{60}{168} \psarc(0,0){2.828}{105}{218} \rput(0,-2.75){Partie B : figure 2} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2009 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{11 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 11 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.\\ Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} \bigskip \begin{enumerate} \item On désigne par $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$. On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) = \dfrac{3}{5}$. La probabilité de l'évènement $B$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{2}{5}$& \textbf{b.} $\quad \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{5}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{2}$ \end{tabularx} \medskip \item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. La valeur approchée de $p(X > 5)$ à $10^{-2}$ près par excès est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad 0,91$&\textbf{b.} $\quad 0,18$&\textbf{c.} $\quad 0,19$&\textbf{d.} $\quad 0,82$ \end{tabularx} \medskip \item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$. Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{9}{10}$&\textbf{b.} $\quad \dfrac{27}{40}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{4}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{27}{28}$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Tracer (D). \item Étudier la position relative de (D) et de $(\mathcal{C})$. \item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$. \item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}$. \item En déduire les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $d_{n}$, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) d'équation $y =\dfrac{1}{3}x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $d_{n} = \displaystyle\int_{0}^n \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$. \item On admet que pour tout réel $x,~ \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \leqslant \text{e}^{-x}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $d_{n} \leqslant 1$. La suite $\left(d_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(\mathcal{C})$. On note (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soient $M$ et $N$ deux points de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite (T). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(9.5,7) \psframe(1,0)(5.2,4.2)%ABFE \psline(5.2,0)(6.8,1.3)(6.8,5.5)(2.6,5.5)(1,4.2)%BCGHE \psline(6.8,5.5)(5.2,4.2)%GF \psline[linestyle=dashed](1,0)(2.7,1.3)(2.6,5.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.7,1.3)(6.8,1.3)%DC \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.1,4.2)(9.4,4.2) \uput[dl](1,0){A} \uput[dr](5.2,0){B} \uput[dr](6.8,1.3){C} \uput[ul](2.7,1.3){D} \uput[ul](1,4.2){E} \uput[dr](5.2,4.2){F} \uput[ur](6.8,5.5){G} \uput[ul](2.6,5.5){H} \uput[u](3.1,4.2){I} \uput[u](9.4,4.2){J} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I et J. \item Vérifier que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI). \item En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). \item Calculer la distance du point F au plan (BGI). \end{enumerate} \item On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI). \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$). \item Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE. \item Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6} \right)$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On considère les points A, B et C d' affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} = - 3.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A, B et C. \item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2.\] On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points \mbox{O, A, B et C.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. \item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . \item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. \end{enumerate} \item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points G et G$'$. \item Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1\rule{0pt}{10pt}}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole) \end{enumerate} \newpage \vspace*{-1cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv \np{2009} \mod \np{10000}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2009}^2$ par $16$. \item En déduire que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv \np{2009} \;\mod 16$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $u_{0} = \np{2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5. \item Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel~$n,$ \[u_{n+1} = u_{n}\left[{u_{n}}^4 + 5\left({u_{n}}^3 + 2{u_{n}}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].\] \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_{3} = \np{2009}^{250} -1$ puis en déduire que $\np{2009}^{250} \equiv 1 \mod 625$. \item Démontrer alors que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv \np{2009} \mod 625$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $\np{2009}^{\np{8001}} - \np{2009}$ est divisible par \np{10000}. \item Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE}} \vspace{0,5cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.125cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5.333,-0.666)(5.333,3.333) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt](0,0)(-5.333,-0.666)(5.333,3.333) \multido{\r=-0.8333+0.16667}{26}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.15pt](-5.333,\r)(5.333,\r)} \multido{\r=0+1}{4}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.5pt](-5.333,\r)(5.333,\r)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5.333,-0.833)(5.333,3.333) \uput[u](5.2,0){$x$} \uput[l](0,3.2){$y$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5.333}{5.333}{1 2.71828 x neg exp add ln 1 3 div x mul add} \uput[u](4,1.4){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% Fin Liban juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2009 \hypertarget{Antillesjuin}{} \label{Antillesjuin} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles - Guyane}} \rfoot{\small 23 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions. \smallskip On dispose de deux dés tétraédriques identiques: les quatre faces sont numérotées A, B, C et D. \medskip \begin{enumerate} \item On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés. \smallskip Déterminer la probabilité des évènements suivants: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $E_{0}$ : \og ne pas obtenir la lettre A~\fg, \item $E_{1}$ : \og obtenir une fois la lettre A~\fg, \item $E_{2}$ : \og obtenir deux fois la lettre A~\fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On organise un jeu de la façon suivante: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le joueur lance les deux dés simultanément. \item Si les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg, le jeu s'arrête. \item Si un seul dé repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance l'autre dé et le jeu s'arrête. \item Si aucun dé ne repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance les deux dés et le jeu s'arrête. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. %\begin{center} %\begin{tabular}{c@{\qquad\qquad}c@{\qquad\qquad}c} %&Nombre de &Nombre de \\ %& faces \og A~\fg & faces \og A~\fg\\[5ex] %&\rnode{b}{0}& %\begin{tabular}{c} %\rnode{e}{$0$}\\[2ex] %\rnode{f}{$1$}\\[2ex] %\rnode{g}{$2$}\\[2ex] %\end{tabular} %\\ %\rnode{a}{}&\rnode{c}{1}& %\begin{tabular}{c} %\rnode{h}{$0$}\\[2ex] %\rnode{i}{$1$}\\[4ex] %\end{tabular}\\ %&\rnode{d}{2}&\\[5ex] %&1\up{er} lancer&2\up{e} lancer %\end{tabular} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{b} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{c} %\ncline[nodesepB=3pt]{a}{d} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{e} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{f} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{g} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{h} %\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{i} %\end{center} \begin{center} \hspace*{2.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} } \hspace{1.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} } \bigskip \psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=7mm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$0$}} {\TR{$0$} \TR{$1$} \TR{$2$}} \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$1$}} {\TR{$0$} \TR{$1$}} \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$2$}} {$\phantom{\TR{0}}$} } \medskip \hspace*{2.5cm} 1\ier{} lancer \hspace{1.5cm} 2\ieme{} lancer \end{center} \item Le joueur gagne si, lorsque le jeu s'arrête, les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg. Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de $\dfrac{49}{256}$. \item Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S'il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s'arrête, un seul dé repose sur la face \og A~\fg, il est remboursé. Sinon, il perd sa mise. Le jeu est-il favorable au joueur? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = (1 + \text{i}\sqrt{3})z + 2\sqrt{3}.\] On note $A$ le point d'affixe $2\text{i}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2. \end{tabular} \item \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $1991^{2009}\equiv 2~(7)$. \end{tabular} \item $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na \equiv nb~(p)$. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient l'équation: $z = x^2 + y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'équation $y=3$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{S}$ est un cercle. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{P}$ est la surface d'équation $x^2 +y^2 = 3z^2$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} O le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(y\text{O}z)$ à coordonnées entières. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soit le point A d'affixe 3, le point B d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points M d'affixe $z$ tels que $\left\vert z - 3\right\vert=\left\vert z+4\text{i}\right\vert$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment [AB]. \end{tabular} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} A appartient au cercle de diamètre [BC]. \end{tabular} \item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac\pi7}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $z^{2009}$ est un nombre réel positif. \end{tabular} \item On considère trois points A, B et C non alignés de l'espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points M vérifiant $\left\vert\left\vert \vect{\text{MA}}+\vect{\text{MB}}+\vect{\text{MC}}\right\vert\right\vert=6$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{F}$ est la sphère de centre de G et de rayon 2. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{S}$ est la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 5$. $\mathscr{P}$ est le plan d'équation $x + y - 5 = 0$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} Le plan $\mathscr{P}$ coupe la sphère $\mathscr{S}$ suivant un cercle. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A.} \medskip La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$. $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle: \[f'(t) + \dfrac12f(t)=10.\] La température est exprimée en degrés Celsius (\degres C) et le temps $t$ en heures. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220~\degres~C. \item On pourra admettre désormais que la fonction $f$ est définie sur $\R^+$ par \[f(t) = 200\,\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\] On note $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal; les unités graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$. \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$. \item Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~7]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50\degres~C. On laissera apparents les traits de construction. \item Retrouver ce résultat par le calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B.} \medskip On considère la suite de terme général $d_{n} = f(n)-f(n + 1)$ où $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ représente l'abaissement de température de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer des valeurs approchées au dixième de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$. \item Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~? \end{enumerate} \item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5\degres~C. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : \[u_{n} = \left(1+\dfrac1n\right)^n.\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = x -\ln (1 + x).\] \begin{enumerate} \item En étudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\ln (1 + x)\leqslant x$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $v_{n} = \ln \left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$. \item Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$~? Aucune justification n'est demandée. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_{n}$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2009 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{16 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 16 juin 2009~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$. Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$. \medskip Une étude statistique a montré que: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 5\,\% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ; \item[$\bullet~$] 1,5\,\% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ; \item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\,\% des paires de chaussettes ont un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise. \medskip On considère les évènements $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$ et $D$ suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $F_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] $F_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] $F_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] $D$ : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents. \emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.} \medskip \item Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut. \item Calculer la probabilité de l'évènement $F_{2} \cap D$. \item En déduire la probabilité de l'évènement $F_{3} \cap D$. \item Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ? \end{enumerate} \item L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. \item Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \medskip On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, $B$ d'affixe $b$ où $b$ est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On construit à l'extérieur du triangle OA$B$, les carrés directs O$DC$A et O$BEF$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. \medskip \parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $c$ et $d$ des points C et D. \item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $+\frac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $r$. \item En déduire que l'affixe $f$ du point $F$ est $\text{i}b$. \item Déterminer l'affixe $e$ du point $E$. \end{enumerate} \item On appelle $G$ le point tel que le quadrilatère O$FG$D soit un parallélogramme. Démontrer que l'affixe $g$ du point $G$ est égale à $\text{i}(b -1)$. \item Démontrer que $\dfrac{e - g}{c - g} = \text{i}$ et en déduire que le triangle $EG$C est rectangle et isocèle. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=2.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.25,-1.5)(1.5,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-1.5)(1.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psframe(0,0)(1,-1) \rput{40}(0,0){\psframe(0,0)(1.2,1.2)} \psline(0,-1)(-0.76,-0.12)(-0.76,0.92) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){A} \uput[ur](0.86,0.78){$B$} \uput[dr](1,-1){C} \uput[dl](0,-1){D} \uput[u](0.17,1.63){$E$} \uput[l](-0.78,0.86){$F$} \uput[dl](-0.78,-0.14){$G$} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que \[\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r} N& 5&(13)\\ N& 1&(17) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que 239 est solution de ce système. \item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système. Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$. \item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \item En déduire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $N = 18 + 221k$. \item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et $\left\{\begin{array}{l !{\equiv} l r} N& 5&(13)\\ N& 1&(17) \end{array}\right.$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ? \item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$. \medskip Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. \bigskip \begin{center}\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\end{center} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x + \ln x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant \alpha \leqslant 1$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B : encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. \medskip \begin{enumerate} \item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, $g(x)$ appartient à cet intervalle. \item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $g(x) = x$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \item Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$ \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. \item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près \mbox{de $\alpha$.} En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant \alpha \leqslant v$ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{L'exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d'entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s'agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.\\ Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Question 1 La solution $f$ de l'équation différentielle $y' + 2y = 6$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse (1) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{- 2x} +3$& Réponse (2) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{2x} +3$& Réponse (3) :\par $f(x) = - 2\text{e}^{- 2x}- 3$\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 2 On considère un triangle ABC et on note I le point tel que $2\vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}}= \vect{0}$. Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse (1) :\par \{(A,~1), (C,~2)\}& Réponse (2) :\par \{(A,~1), (B,~2), (C,~2)\}& Réponse (3) :\par \{(A,~1), (B,~2), (C,~1)\} \end{tabularx} \medskip \item Question 3 Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $x - 3y + 2z = 5$ et le point A$(2~;~3~;~-1)$. Le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ est le point : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse (1) :\par H$_{1}(3~;~-1~;~4)$&Réponse (2) :\par H$_{2}(4~;~-3~;~-4)$&Réponse (3) :\par H$_{3}(3~;~0~;~1)$ \end{tabularx} \medskip \item Question 4 La valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse (1) :\par \smallskip $-\dfrac{\pi}{2}$&Réponse (2) :\par \smallskip $\dfrac{\pi}{4}$&Réponse (3) :\par \smallskip $\dfrac{\pi}{2}$ \end{tabularx} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2009 \hypertarget{etrangers}{} \label{etrangers} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{15 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} \medskip \textbf{Prérequis :} On rappelle que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$. \medskip Soient $A$ et $B$ deux évènements associés à une expérience aléatoire. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. \item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. \end{enumerate} \item \textbf{Application :} Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $R$ : \og il n'entend pas son réveil sonner \fg{} ; \item[$\bullet~$] $S$ : \og Son scooter, mal entretenu, tombe en panne \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de $R$ est égale $0,1$ et que celle de $S$ est égale à $0,05$. Lorsque qu'au moins l'un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. \item Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné. \item Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace. L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. \begin{enumerate} \item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère \Oijk. \item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points H, C, I sont alignés. \item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). \item En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \end{enumerate} \item Calculs d'aire et de volume. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. \item Déterminer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On note (E) l'équation $3x + 2y = 29$ où $x$ et $y$ sont deux nombres entiers \mbox{relatifs.} \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E). \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ ; \end{enumerate} \item Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk{} et on désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x+2y= 29$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{P}$ est parallèle à l'axe (O$z$) de vecteur directeur $\vect{k}$. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les axes (O$x$) et (O$y$) de vecteurs directeurs respectifs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$. \item Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois plans de coordonnées. \item Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ($x$O$y$), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives. \end{enumerate} \item Étude d'une surface $\mathcal{S}$ est la surface d'équation $4z = xy$ dans le repère \Oijk. Les figures suivantes représentent les intersections de $\mathcal{S}$ avec certains plans de l'espace. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-4}{-1}{4 x div} \psplot[linecolor=blue]{1}{3.5}{4 x div} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-2.7}{2.7}{3 x dup mul sub} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) {\psset{linecolor=blue} \psline(-4,0)(3,0) \psline(0,-4)(0,3)} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot[linecolor=blue]{-2}{2}{2 x mul} \end{pspicture}\\ \hline figure \no 1&figure \no 2&figure \no 3&figure \no 4\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{enumerate} \item $S_{1}$ désigne la section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan ($x$O$y$). Une des figures données représente $S_{1}$ laquelle ? \item $S_{2}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{R}$ d'équation $z = 1$. Une des figures données représente $S_{2}$, laquelle ? \item $S_{3}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y = 8$. Une des figures données représente $S_{3}$, laquelle ? \item $S_{4}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y = 29$ de la question 2. Déterminer les coordonnées des points communs à $S_{4}$ et $\mathcal{P}$ dont l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ sont des entiers naturels vérifiant l'équation \mbox{$3x + 2 y = 29$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.} \bigskip \begin{enumerate} \item Pour tout complexe $z,\:\text{Re}\left(z^2\right) = \left(\text{Re}(z)\rule{0pt}{10pt}\right)^2$. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Pour tout nombre complexe $z$ non nul, les points $M$ d'affixe $z,~ N$ d'affixe $\overline{z}$ et $P$ d'affixe $\dfrac{z^2}{\overline{z}}$ appartiennent à un même cercle de centre O. \item Pour tout nombre complexe $z$, si $|1 + \text{i}z| = |1- \text{i}z|$, alors la partie imaginaire de $z$ est nulle. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Quels que soient les nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls, d'images respectives $M$ et $M'$ dans le plan complexe, si $z$ et $z'$ vérifient l'égalité $|z + z'| = |z - z'|$, alors les droites (O$M$) et (O$M'$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $f_{n}$, la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\] On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : \bigskip \psset{unit=5.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333) \multido{\d=-0.5000+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\d,-0.1)(\d,1)} \multido{\d=-0.08333+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](-0.5,\d)(1.5,\d)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.1)(1.5,1.01333) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$} \uput[r](0,1){1} \uput[d](-0.4,0.4){\blue $\mathcal{C}_{0}$} \uput[d](-0.4,0.6){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](-0.4,0.87){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \psplot[plotpoints=3000,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 2.71828 x neg exp add div} \end{pspicture} \begin{center} \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. \item Étude de la fonction $f_{0}$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. \item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f_{0}$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{1}$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $f_{0}(x) = f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. \item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. \item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant 2$ \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, \mbox{on a:} \[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\] \item Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ \item Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} On pose, pour tout entier naturel $n \:\: :\quad u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$. \item Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant u_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. \item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2009 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{23 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\ Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel. \begin{enumerate} \item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item $f$ est une homothétie. \item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$. \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \end{enumerate} \item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z -1 +\text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$. Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item C est un point de (F). \item (F) est la médiatrice du segment [AB]. \item (F) est la médiatrice du segment [AC]. \item (F) est le cercle de diamètre [AB]. \end{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. Cette équation admet : \begin{enumerate} \item Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. \item Une solution réelle. \item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. \item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). \medskip \begin{enumerate} \item D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+ \infty$ ? \item Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. \item Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. \item Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ? Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur l'annexe cette partie du plan. \item Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que I $ = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[H(x) = - \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $H'$ de la fonction $H$. \item En déduire une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g$. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $D$ \og le sac est défectueux \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E$ \og le sac ne présente aucun défaut \fg. \item Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ? \end{enumerate} \item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. (P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{r !{=} l} x-y+1& 0\\- y + z + 2 & 0\\- x + z + 1 & 0 \end{array}\right. $ \item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). \item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD). \end{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \medskip \emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères \Oij,~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \item Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$. On note $d(M,~\mathscr P)$ la distance d'un point $M$ au plan $\mathscr P$. Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~ z)$ qui vérifient $d(M,~\mathscr P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ? \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ? Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. \begin{enumerate} \item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ? \item Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 2} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,1.4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](5,0.035){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2009 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 23 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} \: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] On pose, pour tout nombre entier naturel $n,\: v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = - 5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$ : \[nw_{n} = (n + 1)w_{n-1} +1\quad \text{et}\quad w_{0} = 1.\] Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $w_{0}$ &$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline 1 &3 &5 &7 &9 &11 &13 &15 &17 &19\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.} \begin{enumerate} \item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\np{2009}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \medskip \textbf{PARTIE I} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE II} \medskip Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(x)\:\text{d}x$. On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes. \begin{enumerate} \item \textbf{Première méthode} \begin{enumerate} \item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. \item Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant \lambda \times f(1)$. \end{enumerate} \item \textbf{Deuxième méthode} \begin{enumerate} \item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en fonction \mbox{de $\lambda$.} \item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant u$. Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. \end{enumerate} \item \textbf{Application numérique} Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{I.} \emph{Cette question est une restitution organisée de connaissances.} \emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$. \medskip Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$. \medskip \textbf{II.} Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $A$ l'évènement \og obtenir deux jetons blancs \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $\dfrac{7}{15}$. \item On note $B$ l'évènement \og obtenir deux jetons portant des numéros impairs \fg. Calculer la probabilité de $B$. \item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$. Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près. \item Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right)$. \item Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C. \item Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie). \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,\:y)$ de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad 8x - 5y = 3$. \item Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$. Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad (\text{modulo}~ 40)$. \item Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à \np{2000}. \end{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier naturel. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv 1 (\text{modulo}~7)$. \item Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}}$ par 7 ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. } Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$. On considère le nombre $N = a \times 10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7. \begin{enumerate} \item Vérifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~7)$. \item En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{1cm} (À rendre avec la copie) \vspace{1cm} \psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[u](3,0.15){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$} \psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div 1 add ln} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{1cm} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{1cm} (À rendre avec la copie) \vspace{1cm} \end{center} \setlength{\parindent}{-1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(6,6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-5)(6,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \pscircle(0,0){1} \pscircle(0,0){2} \SpecialCoor \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](2;32) \uput[ur](2;32){A} \end{pspicture} \setlength{\parindent}{0cm} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole dévoilé juin 2009 \hypertarget{Metropoledevoilejuin}{} \label{Metropoledevoilejuin} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small éventé le 19 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(1~;~2~;~-1)$, B$(1~;~1~;~0)$, C$(9~;~-1~;~-2)$, S(1~;~1~;~1). On admet qu'une équation du plan (ABC) est $x + 2y + 2z - 3 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& \phantom{-}1 - t\\ y& \phantom{-}2 - 4t\\ z& -1 +3t\\ \end{array}\right.$ \hspace*{1cm}($t$ réel) \columnbreak \item $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& \phantom{-}1\\ y& -1-t\\ z& \phantom{-}3+t\\ \end{array}\right.$ \hspace*{1cm}($t$ réel) \columnbreak \item $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& 1\\ y& 1 - 2t\\ z& 2t\\ \end{array}\right.$ \hspace*{1cm}($t$ réel) \end{enumerate} \end{multicols} \item Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} \textbf{a.}~~$\left(\dfrac{10}{9}~;~\dfrac{11}{9}~;~\dfrac{10}{9}\right)$& \textbf{b.}~~$\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$& \textbf{c.}~~$\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$\\ \end{tabularx} \medskip \item Le triangle ABC est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} \textbf{a.}~~isocèle &\textbf{b.}~~en A& \textbf{c.}~~rectangle en B \\ \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9$ est : \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item un plan passant par S \columnbreak \item une sphère passant par S \columnbreak \item une sphère de centre S \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A, B et J les points d'affixes respectives $- \text{i},~ 1- \text{i}$ et i. On désigne par $\Delta$ la médiatrice du segment [AB] et par $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 1. À tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de $1 - \text{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}.\] Le point $M'$ est appelé image du point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points A$'$ et O$'$. \item Sur la feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice (unité graphique 4~cm). \item Montrer que l'équation $z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}$ admet deux solutions que l'on précisera. On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ et les placer sur la figure. \item Soit $M$ un point distinct du point B et $M'$ son image. \begin{enumerate} \item Exprimer la distance O$M'$ en fonction des distances A$M$ et B$M$. \item Montrer que si le point $M$ décrit la droite $\Delta$, alors le point $M'$ décrit un cercle que l'on précisera. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que si le point $M$ décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point $M'$ appartient à une droite que l'on précisera. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + x \text{e}^{-x}.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij{} et la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ sont tracées ci-dessous. \medskip \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,3) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1.5)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](1.5,1){$\Delta$} \uput[u](2,1.3){\blue $\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O} \psline(0,1)(5,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{5}{x 2.71828 x exp div 1 add} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique. \begin{enumerate} \item La droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. \item La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel positif. On considère l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement cette intégrale. \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-1} - \text{e}^{-t} +1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note I le point de coordonnées (1~;~0) et J le point de coordonnées (0~;~1). Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], $M_{t}$ désigne le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $t$ et $N_{t}$ le point de coordonnées $(t~;~0)$. On appelle $\mathcal{D}_{t}$, le domaine du plan délimité par la droite $\left(\text{I}M_{t}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit $\mathcal{A}(t)$ la mesure de son aire exprimée en unité d'aire. \medskip \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.125)(1.5,1.5) \uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}\uput[u](0.3,1.2222){$M_{t}$}\uput[d](0.3,0){$N_{t}$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{0.3}{x 2.71828 x exp div 1 add} \psline(0.3,1.2222)(1,0)(0,0)} \psline[linestyle=dashed](0.3,1.2222)(0.3,0) \psline(1,1.36788)(1,0) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-0.125)(1.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(0)$ et donner sa valeur exacte. \item Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(1)$ et donner sa valeur exacte. \item Calculer l'aire du triangle $M_{t}N_{t}$I. \item En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], \[\mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1\right)\text{e}^{-t}.\] \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] tel que $\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2} \times \mathcal{A}(1)$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} %\vspace{1cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} = 3$ et pour tout nombre entier \mbox{naturel $n,$} \[u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. \item Sur l'annexe à rendre avec la copie, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$ et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. À partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ? \end{enumerate} \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n$, $w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$. On suppose que $w_{0}$ est strictement supérieur à 6. Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 4 (à rendre avec la copie)} \vspace{2cm} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{1cm} \psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm,arrowsize=1pt 2} \begin{pspicture}(-6,-6)(24,15) \psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30,linewidth=1pt](0,0)(-6,-6)(24,15) \psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-6,-6)(15,15) \psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add} \rput{26.56}(10,7){\blue $y = \frac{1}{2}x + 3$} \rput{45}(7,8){$y = x$} \uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$} \multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)} \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole dévoilé juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2009 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6\,\% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98\,\% des lecteurs MP3 défectueux et 5\,\% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D$ l'évènement : \og le lecteur MP3 est défectueux \fg{} ; \item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. \item On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux. Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à \np{0,8942}. \item Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs, \item[$\bullet~$] détruit s'il est rejeté au moins deux fois, \item[$\bullet~$] commercialisé sans le logo sinon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50~\euro. Son prix de vente est de 120~\euro{} pour un lecteur avec logo et 60~\euro{} pour un lecteur sans logo. On désigne par $G$ la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$. \item Calculer à $10^{-2}$ près l'espérance mathématique de $G$. Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connus les résultats suivants : %\newpage \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, avec A $\neq$ C et A~$\neq$~B: $\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif ; \item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel : $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \end{list} Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm. Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. \end{enumerate} \item On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = - 4 + 6\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et $\Omega$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions. \item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$. \end{enumerate} \item On appelle $m,~n,~p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$], [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A]. \begin{enumerate} \item Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$. \item Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. \item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. \end{enumerate} \item Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connu le résultat suivant : Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \C - \{0\}$ et $ b \in \C$. Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A$'$ est distinct de B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2~cm. On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2,~z_{\text{C}} = 4 + 6\text{i},~z_{\text{D}} = -1 +\text{i}~~\text{et}~~z_{\text{E}} = -3 + 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$(A) = D et $f$(B) = A. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $f$. \item Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude. \item Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle DAE. \end{enumerate} \item On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercle de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD]. On note $M$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et $N$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE). \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de $M$ par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle $\Omega MN$. \item Montrer que $M\text{B} \times N\text{E} = M\text{C} \times N\text{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points : A$(1~;~-1~;~3)$, B$(0~;~3~;~1)$, C$( 6~;~-7~;~-1)$, D$(2~;~1~;~3)$ et E$(4~;~- 6~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le barycentre du système $\left\{(\text{A},~2),~(\text{B},~- 1),~(C,~1)\right\}$ est le \mbox{point E.} \item En déduire l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{21}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et D définissent un plan. \item Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). \item Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD). \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation} Montrer que le plan (ABD) et l'ensemble $\Gamma$, déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $(\mathcal{C})$, donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$. La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A$\left(1~;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$· \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant \dfrac{1}{4\text{e}}$· \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$. Établir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires. \item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{2}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. \item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \vspace{1cm} Cette page ne sera pas à rendre avec la copie \vspace{1cm} \psset{xunit=3cm,yunit=15cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184) \uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.6,0.1){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2009 \hypertarget{Antilles-Guyanesep}{} \label{Antilles-Guyanesep} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2009~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{VRAI OU FAUX} Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$. \medskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. \item Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \begin{enumerate} \item Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors $P( A \cap B) = P_{B}(A)$. \item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], alors $P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6$. \item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$, alors $P(X \geqslant 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(1~;~-1~;~4)$, B$(7~;~-1~;~-2)$ et C$(1~;~5~;~-2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. \item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& -2t\\ y& -2t-2\\ z& -2t-3 \end{array}\right. \text{où} \quad t \in \R.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). \item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~1~;~0). \item Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A. \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{center}\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie} \end{center} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation \mbox{$z = xy + 2x$.} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$. En \textbf{annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ où A est le point de coordonnées (2~;~0~;~0). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$. \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille \textbf{annexe}. \item Dans le repère \Oijk{} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \emph{On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :} \begin{quote} \og \emph{Soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}\fg \end{quote} \medskip L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier. On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$. \item En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$. \end{enumerate} \item On pose $y = kx$ avec $k \in \Z$. \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$. \item En déduire les valeurs possibles de $k$. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~ z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\] \item Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC. \item Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$. Placer le point E. \item Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D. \item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. Montrer que B, I et J sont alignés. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~;~1] par : \[f(x) = 1 + x\ln x.\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1]. $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. $T$ est la droite d'équation $y = x$. La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $T$ sont représentées sur le schéma ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=6cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.2,1.2) \psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,0)(1.2,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,1)(1.1,1) \psline(1,0)(1,1.1) \psline[linecolor=red,linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.005}{1}{x x ln mul 1 add} \uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.1,0.8){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0.6,0.6){\red $T$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f( x) = 1$. \item En utilisant le signe de $x \ln x$ sur ]0~;~1], montrer que, pour tout nombre réel $x \in ]0~;~1]$ , on a $f(x) \leqslant 1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x \in ]0~;~1]$. \item Vérifier que la droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. \end{enumerate} \item On note $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x \in ]0~;1]$ par \[g(x) = 1 + x \ln x - x.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle ]0~;~1] et dresser le tableau de variation de $g$. On ne cherchera pas la limite de $g$ en $0$. \item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$. \end{enumerate} \item Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0 < \alpha < 1$. On pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^1 \left[1 - f(x)\right]\:\text{d}x.$ \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$. \item Interpréter graphiquement le résultat précédent. \item À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{Exercice 2} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace*{1cm} \psset{unit=0.875cm} \begin{pspicture}(-7,-5)(8,15) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-7,-5)(8,15) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-7,-5)(8.2,15.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](8,0){$y$}\uput[r](0,15.2){$z$}\uput[dl](0,0){A} \uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole \& La Réunion septembre 2009 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole \& La Réunion 10 septembre 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 4\right).\] \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$. Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$ . \item Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \smallskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1} = f(u_{n})$. \smallskip La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). \medskip \begin{enumerate} \item À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. \item Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n}\leqslant \alpha$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \item Déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$. Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x = 1- t\\y = \phantom{1 - }t\\z = 2 - t\end{array}\right.$, où $t$ désigne un nombre réel. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$. \item Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$. \end{enumerate} \item Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$. \item On appelle A$'$ et B$'$ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I. Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange. \item Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. \item Calculer le volume de la pyramide SABA$'$B$'$. \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$. On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$. \item Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\vect{NP} = -\vect{\imath}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$. On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal \Oij. Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses. Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B. %Courbe \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.25)(3,2.4) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2](0,0)(-1,-0.25)(3,2.3) \uput[dl](0,0){$O$} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))} \psplot{-1}{3}{0.49-0.23*x} \psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0) \rput[bl](-0.96,1.93){$\mathcal{C}_{g}$} \psdots(1.18,0.23) \uput[u](1.18,0.23){$M$} \psdots(1.18,0) \uput[d](1.18,0){$N$} \psdots(2.13,0) \uput[d](2.13,0){$P$} \uput[d](2.9,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0\right)$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\vect{NP} =\vect{i}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un réparateur de vélos a acheté 30\,\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40\,\% à un deuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit 80\,\% de pneus sans défaut, le deuxième 95\,\% et le troisième 85\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock. \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à $0,875$. \item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$. \end{enumerate} \item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus. Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \displaystyle\int_{0}^k\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$ \begin{enumerate} \item Montrer que $P(500\leqslant X \leqslant 1000) =\text{e}^{- 500\lambda}-\text{e}^{-\np{1000}\lambda}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. \medskip La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \np{1000} kilomètres sans \mbox{crevaison} étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de \np{2009} par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ par 11. \end{enumerate} \item On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$. On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$. \item Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$. En déduire le PGCD de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ et $2^{\np{2010}} + \np{2009}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1} (à rendre avec la copie) \end{center} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1,-1)(3.2,3.2) \psline[linewidth=0.8pt](-1,0)(3,0)%axe horizontal \psline[linewidth=0.8pt](0,-1)(0,3)%axe vertical %repère \uput[dr](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0}{3.0}{ln(x^2+4)} \psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{x} \uput[d](1,0){$u_{0}$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.61) \uput[d](2.8,2.46){\blue $\mathcal{C}$} \uput[ul](2.5,2.5){$\Delta$} \psline[linestyle=dashed](1,1.61)(1.61,1.61) \psline[linestyle=dashed](1.61,1.61)(1.61,0) \uput[d](1.61,0){$u_{1}$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole \& La Réunion septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2009 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2009~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube OABCDEFG d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie. Soient les points P et Q tels que $\vect{\text{OP}} = 2 \vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OQ}} = 4\vect{\text{OC}}$. On appelle R le barycentre des points pondérés (B,~$-1$) et (F\,,~ 2). L'espace est muni du repère orthonormal $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point R a pour coordonnées (1~;~1~;~2). \item Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés. \item Quelle est la nature du triangle PQR ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation du plan (PQR) est $4x + 2y + z - 8 = 0$. \item Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (PQR). \end{enumerate} \item On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR). \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (DH). \item Déterminer les coordonnées du point H. \item Démontrer que le point H appartient à la droite (PR). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4,4) \pspolygon(0.3,0.7)(0.3,2.9)(2.6,2.6)(2.6,0.4)%AEFB \psline(0.3,2.9)(1.1,3.9)(3.4,3.6)(2.6,2.6)%EDGF \psline(3.4,3.6)(3.4,1.4)(2.6,0.4)%GCB \psline[linestyle=dashed](0.3,0.7)(1.1,1.7)(1.1,3.9)%AOD \psline[linestyle=dashed](1.1,1.7)(3.4,1.4)%OC \uput[dl](0.3,0.7){A} \uput[d](2.6,0.4){B} \uput[dr](3.4,1.4){C} \uput[u](1.1,3.9){D} \uput[ul](0.3,2.9){E} \uput[u](2.6,2.6){F} \uput[ur](3.4,3.6){G} \uput[dr](1.1,1.7){O} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.\\ Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE}.} \medskip \emph{Pour chaque question, il est compté $1$~point si les deux réponses sont exactes, $0,5$~point pour une réponse exacte et une absence de réponse et $0$~point sinon.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question A}}&Proposition 1 &Proposition 2\\ Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements : $A$ : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; $B$ : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.& La probabilité de $A$ est égale à $\dfrac{3}{7}$.& La probabilité de $B$ est égale à $\dfrac{1}{7}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question B}}&Proposition 3 &Proposition 4\\ Soient $A$, $B$ et $C$ trois évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$. On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ et $B$ sont indépendants ; \item[$\bullet~$] $P({A}) = \dfrac{2}{5}$ ; $P({A} \cup {B}) = \dfrac{3}{4\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ ; \item[$\bullet~$] $P({C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P({A} \cap {C}) = \dfrac{1}{10}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} &$P({B}) = \dfrac{7}{12}$& $P\left(\overline{{A} \cup {C}}\right) = \dfrac{2}{5}$. $\overline{{A} \cup {C}}$ désigne l'évènement contraire de ${A} \cup {C}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question C}}&Proposition 5 &Proposition 6\\ Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.& Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2\rule{0pt}{8pt}}{3\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$.&Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question D}}&Proposition 7 &Proposition 8\\ La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$. On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ est donnée par : $P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$ (avec $\lambda = 0,07$).& La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.& Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm. On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1. \medskip \emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.} \medskip On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A$'$ et B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$ et $b'$. \item Placer les points A, A$'$, B et B$'$. \item Démontrer que $\dfrac{- b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. \item En déduire la nature du triangle OBB$'$. \end{enumerate} \item On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ \[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] \item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). \item Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. \item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C] où C a pour affixe $- \text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f_{n}(x) = - nx - x \ln x.\] On note $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$, dans un repère orthonormal \Oij. Les courbes $\left(\mathcal{C}_{0}\right),~ \left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0},~ f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. \medskip \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_{0}$\unboldmath{} définie sur \boldmath $]0~;~+ \infty[$\unboldmath{} par \boldmath $f_{0}(x) = -x\ln x$}\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction{} $\boldsymbol{f_{n}}$, $\boldsymbol{n}$ entier naturel} \medskip Soit $n$ un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $x \in ]0~;~ + \infty[,\: f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \item Prouver que le point $A_{n}$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \item Placer sur la figure en annexe les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$, dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$. \item Démontrer que la tangente à $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$. \item Placer sur la figure en annexe les points $B_{0},~B_{1},~B_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Calculs d'aires} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère le domaine du plan $D_{n}$ délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ et les droites d'équation $x = \text{e}^{-n-1}$ et $x = \text{e}^{-n}$. On note $I_{n}$ l'aire en unités d'aires du domaine $D_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domaines $D_{0},\: D_{1},\:D_{2}$. \item \begin{enumerate} \item À l 'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 x \ln x\:\text{d}x$. \item En déduire que $I_{0} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4\text{e}^2}$. \item On admet que le domaine $D_{n+1}$ est l'image du domaine $D_{n}$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\text{e}}$. Exprimer $I_{1}$ et $I_{2}$ en fonction de $I_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1,5cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise à la fin de l'épreuve} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=6cm} \begin{pspicture}[comma=true](-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.6)(1.75,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{1.493}{x ln x mul neg}\uput[r](1.34,-0.4){\blue $\left(\mathcal{C}_{0} \right)$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.001}{0.785}{x ln 1 add x mul neg}\uput[r](0.67,-0.4){$\left(\mathcal{C}_{1} \right)$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.001}{0.476}{x ln 2 add x mul neg}\uput[r](0.39,-0.4){\red $\left(\mathcal{C}_{2} \right)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2009 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small Novembre 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2009 ~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prend 1~cm comme unité. \bigskip \textbf{Partie A --- Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~: \[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC). Déterminer une équation du plan (ABC). \item Calculer la distance du point D au plan (ABC). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC). \item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$. \item Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles. \item Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points tels que $M'=M$). \end{enumerate} \vspace{0.3cm} On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1. b} et \textbf{1. c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel. \item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel. \item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}. Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}. \item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère un carré direct ABCD $\left.(\text{c'est à dire un carré ABCD tel que } \left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}\right) =\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\right)$ de centre I. \medskip Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. $\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK]. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$. \item Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$. \item Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10~unités et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AD}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les affixes des points A, B, C et D. \item Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe \[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\] \item Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$. \item Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E. \item Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point $\Omega$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'intégrale~: \[I = \int_0^1\left(\dfrac{\text{e}^{-x}}{2-x}\right)\:\text{d}x\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f~:x\longmapsto f(x)=\dfrac{\text{e}^{- x}}{2 - x}$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$, on a $\dfrac{1}{\text{e}}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item Soit $J$ et $K$ les intégrales définies par $J = \displaystyle\int_0^1(2+x)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et $K = \displaystyle\int_0^1 x^2f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Au moyen d'une intégration par parties, prouver que $J = 3 -\dfrac{4}{\text{e}}$. \item Utiliser un encadrement de $f(x)$ obtenu précédemment pour démontrer que $\dfrac{1}{3\text{e}}\leqslant K\leqslant \dfrac{1}{6}$. \item Démontrer que $J+K=4I$. \item Déduire de tout ce qui précède un encadrement de $I$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un questionnaire comportant cinq questions. \medskip Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte. \medskip Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. \medskip Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$ aux première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien y-a-t'il de mots-réponses possibles à ce questionnaire~? \item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des évènements suivants~: $E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg. $F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg. $G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg\ (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome). \end{enumerate} \item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ et déterminer le tableau de variations de $f$. \item En déduire le signe de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Pour tout nombre réel $a$, on considère l'intégrale : $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner selon les valeurs de $a$ le signe de $I(a)$. \item À l'aide d'une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel $a$ : \[I(a) = 2 - 2\text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\] \item En déduire pour tout nombre réel $a$ : \[\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = \text{e}^{a} - \left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\] \end{enumerate} \item Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x$ et $h(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{P}$ celle de $h$. \begin{enumerate} \item Montrer que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ont la même tangente au point \mbox{d'abscisse $0$.} \item Déduire des questions précédentes la position relative des courbes $\mathcal{C}$ \mbox{et $\mathcal{P}$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg \item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : \[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. \item Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. \item Recopier et compléter l'arbre suivant : \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesep=1.75pt]{\Tdot} { \pstree{\TR{$T_{n}$}\taput{$u_{n}$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$} \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$} } \pstree{\TR{$P_{n}$}\tbput{$\ldots$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$} \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$} } } \bigskip \end{center} \item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. \item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : \[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en \textbf{1. e.} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Les questions 1 et 2 sont indépendantes. \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation notée $(E)$ : \[3x + 7 y = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] \begin{enumerate} \item Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$. En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions \mbox{de $(E)$.} \end{enumerate} \item On considère l'équation notée $(G)$ \[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$. Démontrer que si $(x~;~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline% Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&&&&&&& \\ \hline% \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \item Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~ ;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$. On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$. En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). \item En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. \item Placer le point R sur la figure. \end{enumerate} \item Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par F. Justifier que la sphère $\mathcal{S}$ et le plan (IJK) sont sécants. Déterminer le rayon de leur intersection. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice. \item Déterminer la nature du triangle OAB. \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$. \begin{enumerate} \item Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat. \item En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$. \end{enumerate} \item Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O. Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe. \begin{enumerate} \item Justifier que le cercle $\Gamma '$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. \item Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB]. \item Déterminer la nature du quadrilatère OACB. \item En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est : \[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\] \end{enumerate} \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure. \item Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2. On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$. Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$. \end{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{0,5cm} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(12,12) \psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH \psline(7,2.4)(7,6.3)%CG \uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} \uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} \uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H} \psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB \psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD \psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE \psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$x$}%Bx \psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy \psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \end{document}