%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3.5cm, bottom=2.7cm]{geometry} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2012~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2012}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large {\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 13 avril 2012} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 31 mai 2012} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban mai 2012} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 10 juin 2012} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 19 juin 2012} \dotfill \pageref{Antillesjuin} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie 20 juin 2012} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers 14 juin 2012} \dotfill \pageref{Centres etrangers} \medskip \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole 21 juin 2012} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \medskip \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane 13 septembre 2012} \dotfill \pageref{Antillessept} \medskip \hyperlink{Metropolesept}{Métropole 13 septembre 2012} \dotfill \pageref{Metropolesept} \medskip \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud 14 novembre 2012} \dotfill \pageref{AmeriSud} \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip } \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2012 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2012}} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{18 avril 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes. \medskip \begin{enumerate} \item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item \og rand(1,~50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] \item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable~$x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|X|}\hline Variables & $a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ Initialisation & $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ Traitement & Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ &\hspace{1cm}Début du tant que\\ &\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\ &\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\ &\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ &\hspace{1cm}Fin du tant que \\ Sortie & Afficher $a$, $b$, $c$, $d$, $e$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: $L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} \:;\: L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ $L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} \:;\: L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? \item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ? \end{enumerate} \item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les $50$~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. \item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item il a été contrôlé 5 fois exactement; \item il n'a pas été contrôlé; \item il a été contrôlé au moins une fois. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.} \medskip Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$. On appelle $D$ l'évènement : \og le coureur est dopé \fg. Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; \item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(D)$. \item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : \[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\] \item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=& - 3 - 2t\\ y&=& 2t\\ z&=& 1 + 2t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse. \medskip \textbf{Proposition 1} La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 2} La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 3} L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&= &1 - \phantom{2}t'\\ y&= & - 1 - 2t'\\ z&= &t' \end{array}\right. \quad t' \in \R.\] \textbf{Proposition 4} Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[I_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad J_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par \[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\] pour différentes valeurs de $n$ : \medskip \psset{unit=9cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(1.1,1.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2) \psaxes[Dx=0.1,Dy=0.1,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(1.1,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=0.5pt]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=2.5pt]{0}{1}{2.71828 x 2 mul neg exp 1 x add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,dotsep=5pt]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div} \uput[u](0.9,0.53){\blue $f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){\blue $f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){\blue $f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){\blue $f_{3}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. \item Démontrer cette conjecture. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : \[0 \leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} \leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\] \item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$. Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$. \bigskip \textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière } \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$. Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: \[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] \medskip \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. \item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. \item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés. \end{enumerate} \item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. \item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ? \item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissance} \medskip Soit $a,\: b,\: c,\: d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$. \bigskip \textbf{Partie B \quad Inverse de 23 modulo 26} \medskip On considère l'équation \[(E) \::\quad 23x - 26y = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$. \item Résoudre alors l'équation $(E)$. \item En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $23a \equiv 1 \pmod {26}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C \quad Chiffrement de Hill} \medskip On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : \medskip \fbox{ \begin{minipage}{\textwidth} \textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \medskip On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot. \textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que : $\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ y_{2} &\equiv& 7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\quad \text{avec } 0 \leqslant y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.$ \textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1. \end{minipage}} \medskip Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow} (19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow} \underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$ \medskip \begin{enumerate} \item Coder le mot ST. \item On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: \begin{enumerate} \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système : \[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} 23x_{1} &\equiv& \phantom{1}4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système \[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} x_{1}&\equiv& 16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\ x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$ \item Décoder le mot \textbf{YJ}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \fbox{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4 } \vspace{2cm} \begin{center} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2) \pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){2} \uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$} \psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%% fin Pondichéry avril 2012 \newpage %%%%%%% Amérique du Nord mai 2012 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{31 mai 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30$\,\% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. \textbf{Partie A} \medskip On choisit au hasard un membre de cette association et on note : \begin{itemize} \item $F$ l'évènement \og le membre choisi est une femme \fg, \item $T$ l'évènement \og le membre choisi adhère à la section tennis \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$. \item On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie. \medskip \begin{enumerate} \item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$. \item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \item Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien. Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne. On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Restitution organisée des connaissances} On rappelle que $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x - \dfrac{\ln(x)}{x}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 - 1 + \ln(x).\] Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$. \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$. \item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0~;~1]$ telle que : \[f(0) = 0 \text{ et } f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0~;~1]$}.\] \emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~1]$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) = f\left(\tan(x)\right)$. \begin{enumerate} \item Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g^{\prime}(x) = 1$. \item Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, en déduire que $f(1) = \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie par $I_0 = \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\:\text{d}x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n f(x)\:\text{d}x $. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $I_0 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln (2)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \geqslant 0$. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \leqslant \dfrac{\pi}{4(n + 1)}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = z^2$. On note $\Omega$ le point d'affixe $1$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que $f(M)~=~M$. \item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $a$ sous forme exponentielle. \item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur. \item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$. \begin{enumerate} \item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et seulement si $z^2 - \text{i}z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$. \item Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$. \item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$. \begin{enumerate} \item Exprimer $\left ( \vect{\text{O}M\vphantom{'}},\:\vect{\text{O}M'}\right)$ en fonction d'un argument de $z$. \item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $S$ la transformation du plan qui, à tout $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = 5\text{i} z + 6\text{i} +4.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $S$. \item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et imaginaires respectives de $z$ et $z'$. Démontrer que : \[\begin{cases} x' & = -5y + 4 \\ y' & = \phantom{-}5x + 6 \end{cases}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que $-3 \leqslant x \leqslant 5$ et $-3 \leqslant y \leqslant 5$. On note $\mathcal{E}$ l'ensemble de ces points $M$. On rappelle que les coordonnées $(x'\,;\,y')$ du point $M'$, image du point $M$ par la transformation $S$, sont $x' = -5y + 4$ et $y' = 5x + 6$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(a\,;\,b)$ tels que $4a + 3b = 5$. \item En déduire l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que $-3x'+ 4y' = 37$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ et $M'$ son image par la transformation $S$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $x'+y' $ est un multiple de $5$. \item Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$. En déduire que si $x'^2-y'^2 $ est multiple de $2$ alors $x'-y'$ et $x'+y'$ le sont également. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que : $x'^2 - y'^2~=~20$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2012 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{mai 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2012~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats.} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: \[g(x) = 2x^3 - 1 + 2\ln x\] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. \item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième. \item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: \[f(x) = 2x - \frac{\ln x}{x^2}\] On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. \item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$. \item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère \Oij. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par: \[ I_n = 2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x. \] \item \begin{enumerate} \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties. \item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats.} \end{center} \emph{Les quatre questions sont indépendantes.} \emph{Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représentations paramétriques respectives: \[ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 4 + \phantom{2}t\\ y &= & 6 + 2t\\ z &= & 4 - \phantom{2}t \end{array}\right.,\quad t\in \R,\quad \text{et}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 8 + 5t'\\ y &= & 2 - 2t'\\ z &= & 6 + \phantom{2}t' \end{array}\right.,\quad t' \in \R. \] \textbf{Affirmation: les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.} \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points $A(12~;~7~;~-13)$ et $B(3~;~1~;~2)$ ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y - 5z = 1$. \textbf{Affirmation: le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.} \item On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$, par: \[u_n=\frac{n+1}{n+2}\quad\text{et}\quad v_n=2 + \frac{1}{n+2}\] \textbf{Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.} \item On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence : \[u_{n+1} = \frac{1}{3}u_{n+2},\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\] \textbf{Affirmation : cette suite est majorée par 3.} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Commun à tous les candidats.} \end{center} On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l'urne $U_1$, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants: \begin{description} \item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1\fg \item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2\fg \item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3\fg \item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4\fg \item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches\fg \end{description} \emph{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \emph{où une valeur arrondie à $10^{-2}$ suffit.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $J_1$ est réalisé. Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$. On admet dans la suite les résultats suivants : \[P_{J_3}(B) = \frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210}.\] \medskip \item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'évènement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités. \item On dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ? \item On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$? \item Calculer la probabilité de l'évènement $(N=3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 4\hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.} \end{center} \emph{On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct }\Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Un triangle} \begin{enumerate} \item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b = 3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 2\text{i}\sqrt{3}$. Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. \item En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$. \end{enumerate} \item \textbf{Une transformation du plan} On note $\left(z_n\right)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O = 0$, et telle que: \[z_{n+1} = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\] Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives: \[3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3}\] On remarquera que : $A_1 = 1$, $A_2 = B$ et $A_4 = C$. \item Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$. \item Établir que pour tout entier naturel $n$, on a: \[z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega),\] où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question \textbf{1. b}. \item En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A_{n+6} = A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4\hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.} \end{center} On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0=0$, et telle que : \[z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}z_n+1,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\] Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$. Placer ces points dans le plan muni du repère \Ouv. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une similitude directe $s$, dont on définira le rapport, l'angle et le centre $\Omega$, d'affixe $\omega$. \item Démontrer que le triangle $\Omega A_nA_{n+1}$ est isocèle rectangle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\Omega A_n={\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$. \item À partir de quelle valeur de $n$ les points $A_n$ sont-ils situés à l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,001$? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la longueur $A_nA_{n+1}$ et $L_n$ la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k$. $L_n$ est ainsi la longueur de la ligne polygonale $A_0A_1\ldots A_nA_{n+1}$. Déterminer la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $A_n$, $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2012 \hypertarget{Polynesie}{} \thispagestyle{empty} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2012}} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2012~\decofourright}} \end{center} \section*{Exercice 1 \hfill 5 points} Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère les points B (100~;~100) et $\text{C}\left(50~;~\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)$ et la droite (D) d'équation $y=x$. On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$ , est donnée en annexe. On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : \medskip \begin{enumerate} \item[$\bullet$~~] pour tout $x$ réel, $f(x) = x\text{e}^{ax + b}$. \item[$\bullet$~~] les points B et C appartiennent à la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le couple $(a~;~b)$ est solution du système : \[\left\{\begin{array}{l c r}100a + b &=& 0\\\phantom{1}50a + b&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.\] \item En déduire que, pour tout $x$ réel, $f (x) = x\text{e}^{0,01x-1}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x)=\dfrac{100}{\text{e}}\times 0,01x\text{e}^{0,01x}$ \item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. \end{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$. On donnera le tableau de variations complet. \item Étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite (D). \item \begin{enumerate} \item Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle\int_0^{100}f(t)\text{ d}t$. \item On désigne par $A$ l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 100$ , la droite (D) et la courbe $\Gamma$. Calculer $A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 2\hfill 5 points} Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\text{i}$, $b = -3 - 6\text{i}$ et $c = 1$. \smallskip La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \item En déduire l'affixe du point A$'$ image de A par $r$. \item Vérifier que l'affixe $s$ du point S milieu de [AA'] est $s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}$. \item Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. \end{enumerate} \item On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB']. On admet que les affixes respectives de Q et de P sont $q =\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\text{i}$ et $p = 2 - 5 \text{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{s - q}{p - a}= - \text{i}$. \item En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes. \end{enumerate} \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant : Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\ \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{11cm} \textbf{Entrée} Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\ \textbf{Traitement}\\ Affecter à $U$ la valeur 0\\ Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\ \hspace{0.8cm}| Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\ Fin pour\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $U$ \end{minipage}} \end{center} \medskip Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ? \bigskip \textbf{{Partie B}} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n~\geqslant~n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$. \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ? On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$. \item Justifier que $n_0\leqslant 3p$. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$. \item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \emph{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On désigne par $x$ un réel appartenant à l'intervalle [0~;~80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40\,\% ont leurs faces marquées d'un cercle, 20\,\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile. Parmi les cubes rouges, 20\,\% ont leurs faces marquées d'un cercle, $x$\,\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile. \bigskip \textbf{{Partie A : expérience 1}} \medskip On tire au hasard un cube de l'urne. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d'un losange est égale à $0,12 + 0,004x$. \item Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d'un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d'une étoile. \item Déterminer $x$ pour que les évènements \og{} tirer un cube bleu\fg{} et \og{} tirer un cube marqué d'un losange \fg{} soient indépendants. \item On suppose dans cette question que $x = 50$. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu'il est marqué d'un losange. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B : expérience 2}} \medskip On tire au hasard simultanément 3 cubes de l'urne. Les résultats seront arrondis au millième. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ? \item Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? \item Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d'un cercle ? \end{enumerate} \subsection*{{Exercice 4 \hfill 5 points}} \emph{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{{Partie A}} \medskip On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation. \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B}} \medskip Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$, alors $a^{ p-1}$ est congru à 1 modulo $p$ que l'on note $a^{ p-1}\equiv 1~[p]$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un entier naturel. Démontrer que si $x\equiv a~[7]$ et $x\equiv a~[19]$, alors $x\equiv a~[133]$. \item \begin{enumerate} \item On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7. Démontrer que $a^6\equiv 1~[7]$ puis que $a^{108}\equiv 1~[7]$. En déduire que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$. \item On suppose que a est un multiple de 7. Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$. \item On admet que pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[19]$. Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[133]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie C}} \medskip On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1\leqslant a\leqslant 26$. Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r~[133]$ avec $0\leqslant r< 133$. La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1~[133]$ avec $0\leqslant r_1 < 133$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $r_1\equiv a \:[133]$. \item Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : $128 \qquad 59$. Décoder ce message. \end{enumerate} \newpage %\begin{center} %\textbf{\textcolor{blue}{Annexe de l'exercice 1}} %\end{center} % %\begin{center} %\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.05cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} %\begin{pspicture*}(-150,-20)(140,180) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-140,-20)(140,180) %\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-140.0}{140.0}{x*EXP(0.01*x-1)} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](100,100) %\uput[d](100,100){\blue{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](50,30.33) %\uput[d](50,30.33){\blue{$C$}} %\multido{\n=-20+20}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-140,\n)(140,\n)} %\multido{\n=-140+20}{16}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-20)(\n,180)} %\uput[d](120,145){$\Gamma$} %\end{pspicture*} %\end{center} % %\bigskip %\begin{center} %\textbf{\textcolor{blue}{Annexe de l'exercice 2}} %\end{center} % %\medskip %\begin{center} %\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} %\begin{pspicture*}(-12,-8)(8,6) %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-7)(8,6) %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-12,-7)(8,6)%grille % %\psline(-2,2)(-3,-6) %\psline(1,0)(-3,-6) %\psline(1,0)(-2,2) %\psline[linestyle=dashed](-2,2)(-11,-5) %\psline[linestyle=dashed](1,0)(0,5) %\psline[linestyle=dashed](-3,-6)(7,-4) %\psline[linestyle=dashed](-11,-5)(-3,-6) %%\psline[linestyle=dashed](7,-4)(1,0) %\psline(0.5,2.5)(1,0) %\psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(0,5) %\psline[linestyle=dashed](-2,2)(0,5) %\psline(-2,2)(2,-5) %\psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(-6.5,-1.5) %\psline(0.5,2.5)(-3,-6) %\psline(-6.5,-1.5)(1,0) %\psline[linestyle=dashed](1,0)(7,-4) %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,2) %\rput[bl](-1.92,2.12){\blue{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-6) %\rput[bl](-2.92,-5.88){\blue{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0) %\rput[bl](1.08,0.12){\blue{$C$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-11,-5) %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-6.5,-1.5) %\rput[bl](-6.42,-1.38){\darkgray{$S$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,5) %\rput[bl](0.08,5.12){\darkgray{$C'$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,2.5) %\rput[bl](0.58,2.62){\darkgray{$Q$}} %\rput[bl](0.8,2.58){$e$} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7,-4) %\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2,-5) %\rput[bl](2.08,-4.88){\darkgray{$P$}} %\end{pspicture*} %\end{center} \label{fin} \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 1} \bigskip \psset{xunit=0.04cm,yunit=0.04cm,algebraic=true,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-150,-25)(145,185) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridcolor=gray,unit=1cm](0,0)(-7,-1)(7,9) \multido{\n=-140+20}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-20)(\n,180)} \multido{\n=-20+20}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-140,\n)(140,\n)} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-140,-20)(140,180) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,0)(140,180) \psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-140.0}{131.5}{x*EXP(0.01*x-1)} \psdots(50,30.33)(100,100) \uput[r](100,100){B} \uput[-45](50,30.33){C} \uput[r](120,145){\blue $\Gamma$} \end{pspicture*} \end{center} %----------------------------------------------------------------------- \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 2} \end{center} \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-12,-8)(8,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-11.9,-7)(8,5.9) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,0)(8,5.9) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,gridcolor=gray](-12,-7)(8,6)%grille \psline(-2,2)(-3,-6) \psline(1,0)(-3,-6) \psline(1,0)(-2,2) \psline[linestyle=dashed](-2,2)(-11,-5) \psline[linestyle=dashed](1,0)(0,5) \psline[linestyle=dashed](-3,-6)(7,-4) \psline[linestyle=dashed](-11,-5)(-3,-6) %\psline[linestyle=dashed](7,-4)(1,0) \psline(0.5,2.5)(1,0) \psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(0,5) \psline[linestyle=dashed](-2,2)(0,5) \psline(-2,2)(2,-5) \psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(-6.5,-1.5) \psline(0.5,2.5)(-3,-6) \psline(-6.5,-1.5)(1,0) \psline[linestyle=dashed](1,0)(7,-4) \psdots[](-2,2) \uput[135](-2,2){A} \psdots(-3,-6) \uput[-90](-3,-6){B} \psdots(1,0) \uput[45](1,0){C} \psdots(-11,-5)(-6.5,-1.5)\uput[-90](-11,-5){A$'$} \uput[-45](-6.5,-1.5){S} \psdots(0,5)(0.5,2.5)(7,-4)(2,-5) \uput[0](0,5){C$'$}\uput[0](0.5,2.52){Q} \uput[-45](7,-4){B$'$} \uput[-50](2,-5){P} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 \hypertarget{Antillesjuin}{} \label{Antillesjuin} \lfoot{Antilles-Guyane} \rfoot{19 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties B et C sont indépendantes.} \medskip On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. \medskip \textbf{Partie A : étude de la fonction} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur~$\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière} \medskip Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. \item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité \[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\] \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation \[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\] \item Donner alors une équation de la tangente recherchée. \end{enumerate} \textbf{Partie C : calcul d'aire} \medskip Le graphique donné en \textbf{Annexe 1} représente la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Construire sur ce graphique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$. On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\Delta$. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$, la droite d'équation $(x = 1)$ et l'axe des ordonnées. \item On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que I $ = \dfrac{1}{\text{e}}$. \item En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. \medskip On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives \[a = - 1 + 2\text{i} \quad ; \quad b = - 2 - \text{i}\quad ; \quad c = - 3 + \text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C sur le graphique. \item Calculer $\dfrac{b}{a}$, en déduire la nature du triangle OAB. \item On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}}\] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $c'$ du point C$'$, image de C par $f$ et placer le point C$'$ sur la figure. \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, tels que $|z'| = 1$. \item Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points O et C. Tracer $\mathcal{E}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.} On appelle J l'image du point A par la rotation $r$ de centre O et d'angle~$-\dfrac{\pi}{2}$. On appelle K l'image du point C par la rotation $r'$ de centre O et d'angle~$\dfrac{\pi}{2}$. On note L le milieu de [JK]. Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n} \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \item Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\] \end{enumerate} \item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \ln x - x \ln 2.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? \item Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? \item Une variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$. Calculer la probabilité que $Y$ soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. \item Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle $A$ l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et $F$ l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg. On suppose que les évènements $A$ et $F$ sont indépendants. On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut $F$ ? \item On considère l'algorithme : \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.8\textwidth}$A$ et $C$ sont des entiers naturels,\\ $C$ prend la valeur $0$. Répéter 9 fois\\ \phantom{aaaaa}$A$ prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\ \phantom{aaaaaaaaaaa} Si $A > 5$ alors $C$ prend la valeur de $C + 1$\\ \phantom{aaaaaaaaaaa} Fin Si\\ Fin répéter\\ Afficher $C$. \end{minipage}} \end{center} \medskip Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur $C$ affichée. Quelle loi suit la variable $X$ ? Préciser ses paramètres. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation \[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\] \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$ vérifiant l'équation (E). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[2^{3n} \equiv 1\quad \pmod 7.\] \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7. \end{enumerate} \item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\] \item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{A}{N}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{A}{N}$. \medskip \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.75\textwidth} $A$ et $N$ sont des entiers naturels\\ Saisir $A$\\ $N$ prend la valeur 1\\ Tant que $N \leqslant \sqrt{A}$\\ \phantom{aaaaaa} Si $\dfrac{A}{N} - \text{Ent}\left (\dfrac{A}{N}\right) = 0$ alors Afficher $N$ et $\dfrac{A}{N}$\\ \phantom{aaaaaa}Fin si\\ $N$ prend la valeur $N + 1$\\ Fin Tant que. \end{minipage}} \end{center} \medskip Quels résultats affiche cet algorithme pour $A = 12$ ? Que donne cet algorithme dans le cas général ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \textbf{Exercice 1} \textbf{À rendre avec la copie} \medskip Courbe {\blue $\mathcal{C}$} représentative de $f$ \vspace{1cm} \psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-0.5)(2,4.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(2,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp x mul 1 add} \uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.35,3){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie juin 2012 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{20 juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 20 juin 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les cinq questions sont indépendantes. \emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne : \[\mathcal{D} \left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - 2t\\ y&=&t\\ z &=&- 5- 4t \end{array}\right. (t \in \R)\quad \text{et}\quad \mathcal{P} : \quad 3x + 2y -z -5 = 0.\] \medskip \textbf{Affirmation 1} : la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A(1~;~9~;~0) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $4x - y - z + 3 = 0$. \textbf{Affirmation 2} : la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. \textbf{Affirmation 3} : la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses. \item Pour tout réel $x$, on pose $F(x) = \displaystyle\int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 4} : $F(x)$ est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel $x$ supérieur à 1. \item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} t^2 \ln t\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 5} : la valeur exacte de l'intégrale $I$ est : $\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$. On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique. \item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère. \end{enumerate} \item On considère le vecteur unitaire $\vect{w}$, tel que $\left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. \item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$. En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Détermination d'une similitude directe} \medskip On considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1~cm comme unité graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B. \item Préciser les éléments caractéristiques de la similitude $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une transformation} \medskip Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$, où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque du plan. On désigne par $M'$ l'image du point $M$ par la transformation $g$. On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$, et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$. \item On pose C = $g$(A) et D = $g$(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure. \item Quelle est la nature du triangle OAC ? \item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OD}}$ sont colinéaires. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; \item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; \item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans la partie A, on pose $k = 7$. Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que $p = 0,42$. \item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième. \item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$. \item Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate} \item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$. On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{8cm}|}\hline &Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ \textbf{Entrée}& Saisir un réel strictement positif non nul $b\: (b > a)$\\ &Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline &Affecter à $u$ la valeur $a$\\ \textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ &Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline &TANT QUE $n < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ \textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $u$, afficher $v$\\ \hline \end{tabularx} \medskip Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4,\: b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline 0 &4 &9&&\\ \hline 1&&&&\\ \hline 2&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : $u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant v_{n}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers 2012 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small 13 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2012\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{EXERCICE 1 \hfill 4 points} On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1]. \begin{center} \psset{unit=1.5cm,linewidth=1.25pt} \begin{pspicture}(6,5.5) \psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF \psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} \end{pspicture} \end{center} \emph{Les parties \rm A et \rm B sont indépendantes.} \bigskip \textbf{{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). \item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique \begin{center} $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\frac{3}{4}+t'\left(a-\frac{3}{4}\right)\\ y&=&\phantom{1 -} t'\\ z&=&1 - t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$ \end{center} \item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B}} \medskip Dans la suite de l'exercice, on pose $a = \frac{1}{4}$.\\ Le point L a donc pour coordonnées $\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. \item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). \smallskip \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(6,5.5) %\psgrid \psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF \psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} \psdots(1.533,0.3)(0.65,4.3)(4.475,5.2)(5.05,1.2)(5.4,3.2)(0.3,2.55) \psline[linestyle=dashed](1.533,0.3)(5.05,1.2) \uput[d](1.533,0.3){I} \uput[ul](0.65,4.28){K} \uput[u](4.475,5.2){J} \uput[l](0.3,2.55){M} \uput[r](5.4,3.2){N} \uput[dr](5.05,1.2){L} \psline(0.65,4.28)(4.475,5.2)%KJ \psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48) \psline(0.3,2.55)(1.533,0.3)%IM \psline(5.05,1.2)(5.4,3.2)%LN \psline[linestyle=dashed](5.4,3.2)(4.475,5.2)%NJ \end{pspicture} \end{center} \emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.} \begin{enumerate} \item Prouver que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK). \item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11~=~0$. \item En déduire les coordonnées des points M et N. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 2 \hfill 5 points}} \medskip On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$. Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$. \item En déduire la valeur de $I_1$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\] \item Calculer $I_3$ et $I_5$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|*2{l|}} \hline \multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\ &Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\ \hline \multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\ &\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\ &\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\ \hline \textbf{Sortie}&Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$. \item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Déterminer la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \subsection*{EXERCICE 3 \hfill 6 points} \medskip On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$. \medskip \textbf{{Partie A : Conjecture graphique}} \medskip Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=3\left(x^2+x^3\right)\] telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs. \bigskip \textbf{{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$. \item En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$. \item Vérifier que 0 n'est pas solution de (E). \end{enumerate} \item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[ \:\cup \:]0~;~+\infty[$ par : \[h(x)=\ln 3 + \ln \left(x^2\right)+\ln(1 + x)-x.\] Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : \[h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.\] \item Déterminer les variations de la fonction $h$. \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution. \item Conclure quant à la conjecture de la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 4 \hfill 5 points}} \emph{\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} \psset{nodesepA=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,nodesepB=3pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{$0,2$}} {\TR{$B$}\taput{$0,68$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{$$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$$}} {\TR{$B$}\taput{$$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$} } } \end{center} \medskip \textbf{Affirmation} : la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $0,32$. \item On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l'urne. \textbf{Affirmation } : il existe une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère la transformation $t$ d'écriture complexe \[z' = - \text{i}z + 5 + \text{i}.\] \textbf{Affirmation } : la transformation $t$ est la rotation de centre A d'affixe $3 - 2\text{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : \[z^2-z\overline{z}-1=0.\] \textbf{Affirmation } : l'équation (E) admet au moins une solution. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a=-1$, $b = \text{i}$ et $c=\sqrt{3}+\text{i}(1 - \sqrt{3})$. \medskip \textbf{Affirmation } : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60\degres. \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 4 \hfill 5 points}} \emph{\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $3x - 2y = 1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \textbf{Affirmation } : les solutions de l'équation (E) sont les couples $(9+2k~;~13+3k)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a=3n+1\text{ et } b = 2n + 3.\] \textbf{Affirmation } : le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 7 si et seulement si $n$ est congru à 2 modulo 7. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a = 2n^2 + 7n + 21\text{ et } b = 2n + 2.\] \textbf{Affirmation } : pour tout entier naturel $n$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n+2$ et $n + 17$. \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère le point A d'affixe $3 + 4\text{i}$. On note $s$ la similitude directe $s$ de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. \textbf{Affirmation } : la similitude directe réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe : \[z'=\dfrac{1-\text{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\text{i}}{2}.\] \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2\text{i}$, $b = 4 - \text{i}$, $c = 1 - 2\sqrt{3} + \text{i}(3 + \sqrt{3})$ et $d = 4 + \sqrt{3} + 4\text{i}\sqrt{3}$. \textbf{Affirmation } : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$. \end{enumerate} \label{fin} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole juin 2012 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 21 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 21 juin 2012 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. On dispose des informations suivantes: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $f(0) = - 1$. \item[$\bullet~$] la dérivée $f'$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci-dessous. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul} \uput[d](-2.7,-1.2){\blue$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$. \item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1 ~;~ 2]$. \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$. \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\,\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\,\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\,\% des candidats rencontrés. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{3mm} \begin{itemize} \item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, \item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, \item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$D$~}\taput{\ldots}} { \pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}} {\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots} } \end{center} \medskip \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. \item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$. \end{enumerate} \item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ & $u$ est un réel.\\ Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\ Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\ &\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\ Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. \item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. \item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline $u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline \end{tabularx} \medskip À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\] où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier strictement positif. Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$. En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$. Démontrer l'inégalité $\ln (k + 1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$ \quad (1). \item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[\ln (n + 1) \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\] \item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique. \item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}), \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. \item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$. \item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff |z - 1| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\] et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$. Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$. \item Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$. \medskip Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$. \medskip Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C. \item Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. \item Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2012 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane 13 septembre 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \Oijk{} est un repère orthonormal de l'espace. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{2}t\\ y&=&- t\\ z&=& 2t \end{array}\right.\quad \text{où} \:\: t \in \R.\] Soit $\mathcal{P}$ le plan défini par l'équation $x + y + 2z - 1 = 0$. Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre B$(1~;~- 1~;~0)$ et de rayon $1$. \emph{Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix.\\ Il est attribué pour chaque question $0,5$ point si la réponse est exacte et $0,5$ point si la justification est correcte.} \medskip \begin{enumerate} \item La droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont : \begin{enumerate} \item parallèles; \item perpendiculaires; \item non parallèles et non perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}$ et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. $\mathcal{P}'$ admet pour équation cartésienne : \begin{enumerate} \item $- 2y + z + 2 = 0$ ; \item $2x - z = 0$ ; \item $x - y - z = 0$. \end{enumerate} \item La droite $\Delta$, intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan d'équation $2x - z = 0$, admet pour représentation paramétrique: \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-3}t\\ y &=& -3t + 1\\ z &=& \phantom{-}2t \end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$ ; \item $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{2}t\\ y&=&\phantom{2}- t\\ z&=&\phantom{-}2t \end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$ ; \item $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-5}t\\ y &=& - 5t + 1\\ z &=& \phantom{-}2t \end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$. \end{enumerate} \item L'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ est : \begin{enumerate} \item un point ; \item l'ensemble vide ; \item un cercle. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;\quad z_{\text{C}} = - 1 - 3\text{i}.\] On note D l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. On note E l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2~cm, placer les points A et B et C. \item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire les points D et E. Calculer leurs affixes $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$. \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OE}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux et que OE = AD. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure. \medskip Soient A, B, C, D et E les points d'affixes respectives non nulles $z_{\text{A}}$,\: $z_{\text{B}}$,\: $z_{\text{C}}$,\:$z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$ tels que le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ; le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OC}}~;~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ; Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme. \begin{enumerate} \item Justifier les égalités suivantes : \[z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}\quad;\quad z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}\quad ;\quad z_{\text{E}} = \text{i}z_{\text{A}} + z_{\text{C}}\] \item Montrer que \[\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} = \text{i}.\] \item Interpréter géométriquement $\left|\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right|$ et arg\:$\left(\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right)$ puis conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 1~cm. \medskip \textbf{Partie A : tracé d'une figure} \medskip Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 2 - 4\text{i} \:;\: z_{\text{B}} = - 6\text{i}$ ; $z_{\text{C}} = 3 - 3\text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec $\left(\vect{\text{DA}}~;~\vect{\text{DB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \item Construire le point E tel que le triangle OEA est isocèle rectangle en E avec $\left(\vect{\text{EA}}~;~ \vect{\text{EO}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \item Vérifier que l'affixe du point D est $z_{\text{D}} = - 4\text{i}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Le but de l'exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.} \bigskip \textbf{Partie B : première méthode} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la similitude directe de centre A qui transforme B en D. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $g$. \item En déduire que l'écriture complexe de $g$ est \[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z - 3 - \text{i}.\] \item Justifier que le point E est l'image du point O par la similitude $g$. \item En déduire l'affixe du point E. \end{enumerate} \item Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}}$ et conclure pour le problème posé. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : deuxième méthode} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Quelle est l'image du point O par cette rotation ? Justifier la réponse. En déduire la nature du triangle OBC. \item Soit $f$ la similitude directe de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$. Soit $h$ la similitude directe de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item Donner l'angle et le rapport de la similitude $h \circ f$. \item Quelle est l'image de la droite (BC) par $h \circ f$ ? Justifier. \item Conclure pour le problème posé. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les rues d'une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les p‚tés de maisons sont des carrés superposables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires. On identifie le plan de la ville au quadrillage d'un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui correspondent aux carrefours : \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(11,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](10,10) \uput[u](5,10){Nord} \uput[r](10,5){Est} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(1,0)(1,1)(4,1) \uput[ur](4,1){A} \end{pspicture} \end{center} \medskip Le point O a pour coordonnées (0~;~0), le point A a pour coordonnées (4~;~1). On s'intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre point $M$ de coordonnées $(p~;~q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$. \medskip \textbf{À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l'est (E).} \medskip Dans tout l'exercice, on décrit un chemin à l'aide d'un mot composé successivement des lettres N ou E qui indiquent dans l'ordre la direction à suivre à chaque intersection. On appelle \emph{longueur} d'un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire. Par exemple : Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (marqué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5. \medskip Les deux parties peuvent être traitées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A - Dénombrement} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A. \item Soit $M$ un point de coordonnées $(p~;q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$. Exprimer, en fonction de $p$ et $q$, la longueur des chemins qui permettent d'arriver en $M$. \item Montrer qu'il y a $\binom{p + q}{p}$ chemins différents qui permettent d'arriver en $M$. \item Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7~;~5). \item Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude d'une variable aléatoire} \medskip Tous les chemins considérés dans la suite de l'exercice vérifient les deux propriétés suivantes : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item ils sont de longueur 5 ; \item un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu'il aille vers le Nord est de $\frac{2}{3}$ (et donc de $\frac{1}{3}$ vers l'Est), indépendamment de son choix précédent. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord. \medskip \begin{enumerate} \item Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur lesquels peut aboutir un chemin. \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\] Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. \item En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}& =& 5\\ u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\:\text{ pour tout entier naturel}\: n \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$. \item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \item Déterminer sa limite $\ell$. \end{enumerate} \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\ Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\ Tant que $X > 2,72$ \\ \hspace{0,5cm}Faire\\ \hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ \hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ Fin de Tant que\\ Afficher $Y$\\ \hline \end{tabular} \end{center} À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline $n$ &0& 1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} &\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE} \textbf{Exercice 4} \bigskip \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,5cm} \textbf{\large À rendre avec la copie} \bigskip \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(8,11) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-0.99)(8,11) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt]{-0.1}{8}{x} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div} \uput[dr](0,0){O}\uput[u](8,0){$x$}\uput[r](0,11){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2012 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 13 septembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous où $a$ et $b$ désignent deux réels. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) \psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](3.5,2){$a$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$}\uput[u](1.5,0){$- \infty$} \rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](3.5,2){$b$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$} \psline{->}(1.5,0.5)(3,1.5)\psline{->}(4,1.5)(5.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$. \item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on a tracé deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et {\blue $\mathcal{C}_{2}$}. Elles coupent l'axe des ordonnées aux points A et B d'ordonnées $- 2$ et $\dfrac{1}{2}$ respectivement. L'une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(6,2.1) \psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-3.5,-3.5)(6,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](0,-2){A}\uput[ur](0,0.5){B}\uput[dl](0,0){$O$} \uput[u](-2.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_{2}$}\uput[u](-2.5,-2.3){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.25}{1 2.71828 x 0.5 mul exp 0.5 mul sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{5.225}{x dup mul 2 div 2 x mul add 2.71828 x 0.5 mul exp 2 mul sub} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction $f'$. Justifier la réponse. \item À l'aide des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et {\blue $\mathcal{C}_{2}$}, prouver que $1 < a < 2$ et $b > 0$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on admet que la fonction $f$ est telle que, pour tout réel $x$, \[f(x) - 2f^{\prime}(x) = x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer une fonction affine $g$ telle que pour tout réel $x,$ $g(x) - 2g'(x) = x$. \item Démontrer que la fonction $f - g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = \dfrac{1}{2}y$. \item Résoudre cette équation différentielle et en déduire l'existence d'un réel $k$ tel que pour tout réel $x,\: f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} + x + 2$. \item En utilisant les coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer les fonctions $f$ et $F$ ainsi que les réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher. \medskip On prélève au hasard une boule de l'urne. Si elle est rouge, on la remet dans l'urne et on prélève au hasard une seconde boule. Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l'urne sans remettre la boule tirée. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ? \item Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire. Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. Une urne contient quatre boules rouges et $n$ boules noires indiscernables au toucher. On prélève successivement et au hasard quatre boules de l'urne en remettant dans l'urne la boule tirée après chaque tirage. La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres $4$ et $p$. \begin{enumerate} \item Donner l'expression de $p$ en fonction de $n$. \item Démontrer que la probabilité $q_{n}$ que l'une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle que $q_{n} = 1 - \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4$. \item Quel est le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité $q_{n}$ est supérieure ou égale à \np{0,9999} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par \[u_{0} = 3\quad \text{et pour tout entier naturel}\: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) \quad (\star)\] On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} > 0$. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{7}{x}\right).\] Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum. En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \geqslant \sqrt{7}$. \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel quelconque. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$. \item Pourquoi peut-on en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente ? \item On déduit de la relation $(\star)$ que la limite $\ell$ de cette suite est telle que $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)$. Déterminer $\ell$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$. \item On définit la suite $\left(d_{n}\right)$ par : \[d_{0} = 1 \quad \text{et pour tout entier naturel}\: n,\:d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d^2_{n}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}.\] \item Voici un algorithme : \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :&$n$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$d$ est un réel.\\ Entrée :& Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ Initialisations :& Affecter à $d$ la valeur 1.\\ &Affecter à $n$ la valeur $0$\\ Traitement :& Tant que $d > 10^{- p}$.\\ &\begin{tabular}{l|l} ~~& Affecter à $d$ la valeur $0,5d^2$\\ ~~& Affecter à $n$ la valeur $n + 1$.\\ \end{tabular}\\ Sortie :& Afficher $n$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} En entrant la valeur 9, l'algorithme affiche le nombre 5. Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_{5}$ ? Justifier que $u_{5}$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1 + 2\text{i}| = |z + 3 - 4\text{i}|$ est une droite passant par le point $H$ d'affixe $5 + 5\text{i}$. \item On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2 - \text{i},\: 1 + \text{i}$ et $3 - 2\text{i}$. L'image du point $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $- 2$ est le point $C$. \item Soit $f$ la transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1- \text{i})z.\] L'image d'une droite $d$ du plan par la transformation $f$ est une droite qui est perpendiculaire à la droite $d$. \medskip \emph{Pour les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé} \Oijk. \medskip \item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y - 7 = 0$ et $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2 - t\\ y &=& 1 + 3t\\ z &=&t\\ \end{array}\right., \quad t \in \R.\] La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. \item Soient $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + 3y - 4z + 1 = 0$ et $A$ le point de coordonnées $(1~;~4~;~- 1)$. La sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et de rayon $4$ est sécante au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $(E)\quad 5x + 6y = 3$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Les seuls couples qui sont solutions de l'équation $(E)$ sont les couples $(18k + 3,~-15k - 2)$ où $k$ est un entier relatif. \item Le reste de la division euclidienne de $3^{\np{2012}}$ par $7$ est égal à $6$. \medskip \emph{Pour les questions suivantes, le plan est muni d'un repère orthonormé direct}\: \Ouv. On note A le point d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Le point C est le milieu du segment [AB]. \medskip \item Le point C est l'image du point O par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \item Soit $f$ la similitude directe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (- 1 + \text{i})z$. La transformation composée $f \circ f$ transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB). \item La transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (1- \text{i})z + 3 - \text{i}$, est la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2012 \hypertarget{AmeriSud}{} \label{AmeriSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 13 novembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 13 novembre 2012 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissance} L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. On suppose connus les résultats suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa fonction dérivée \item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$ \item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$ \item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif. Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. \begin{enumerate} \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$. On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle \[(E) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation différentielle \[\left(E'\right) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = 0\] \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t) = at\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ soit solution de l'équation $(E)$. \item Montrer qu'une fonction $v$ est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, la fonction $h = v - u$ est solution de l'équation $\left(E'\right)$. \item Résoudre l'équation $\left(E'\right)$. \item En déduire les solutions de l'équation $(E)$. \end{enumerate} \item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle. Montrer que la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie cette condition initiale est la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}. \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{l l} Entrée & Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\ Traitement & Tant que $f(n) > 0,1$\\ &\hspace{0.5cm}incrémenter la variable $n$ de 1.\\ &Fin Tant que\\ Sortie &Afficher la valeur de $n$. \end{tabular} \end{center} où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \begin{enumerate} \item À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie. \item Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue à la sortie de l'algorithme ? \item L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = \text{i},\quad z_{\text{B}} = 2\text{i}, \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 1.\] On considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}}.\] On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par la transformation $f$. \item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B$'$ et C$'$, images respectives des points B et C par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie l'égalité $z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$. \item En déduire que si le point $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors son image $M'$ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. \item Exprimer une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction d'une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item On considère le point D d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. Vérifier que D appartient au cercle $\Gamma$. Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D$'$ par $f$. \end{enumerate} \item On note $G$ l'isobarycentre des points O, B et C. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $G$. \item On admet que l'image $G'$ du point $G$ a pour affixe $z_{G'} = - 3 - \text{i}$. Le point $G'$ est-il l'isobarycentre des points O, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB $= L$ et AD = $1$ $(L > 1)$. Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré. On suppose qu'il existe une similitude directe $f$ de rapport $k$ telle que : \[f(\text{A}) = \text{B},\quad f(\text{B}) = \text{C},\quad f(\text{C}) = \text{E}.\] \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant des rapports de longueurs, montrer que $L = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $f$. On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $f$. \item Déterminer l'image par la composée $f \circ f$ des points $\Omega$, A et B. \item Quelle est la nature de la transformation $f \circ f$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item En déduire que $\Omega$ est le point d'intersection des droites (AC) et (BE). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de la droite (CD) par la similitude $f$. \item En déduire une construction du point E$'$, image du point E par la similitude $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AD}}\right)$. On appelle $z$ l'affixe du point $M$, et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $z' = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}z + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$. \item Déterminer l'image du point D par $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire. Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées \begin{itemize} \item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; \item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) \item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item On s'intéresse maintenant au cas général. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par $u_{n} = 9x_{n} - 7$. \emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$ et soit S le point de coordonnées $(1~;~3~;~5)$. \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.} \medskip \begin{enumerate} \item Les points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois axes du repère sont les sommets d'un triangle isocèle. \item La droite $\delta_{1}$ de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + \phantom{4}t\\ y&=&5 - 4t\\ z&=&2 - 2t \end{array}\right.\:,t \in \R\] est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \item La droite $\delta_{2}$ de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{7 +}-t\\ y&=&7 + 4t\\ z&=&7 + 2t \end{array}\right.,\:t \in \R\] est la droite parallèle à la droite $\delta_{1}$ passant par le point S. \item Le projeté orthogonal du point S sur le plan $\mathcal{P}$ a pour coordonnées \[\left(- \dfrac{6}{7}~;~\dfrac{55}{14}~;~\dfrac{31}{14}\right).\] \item Le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère de centre S et de rayon 3. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2012 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{16 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5\ln (x + 3) - x.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$. \item Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a \[f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).\] \item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution. \item Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0} &=& 4\\ u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n geqslant 0 \end{array}\right.\] On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = 5 \ln (x + 3).\] En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. \item Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leqslant u_{n} \leqslant \alpha$. \item Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B. \item En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $u$ prend la valeur 4\\ Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\ \hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\ Fin du Tant que\\ Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Justifier que cet algorithme se termine. \item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \emph{Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions.} \medskip On dispose d'une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l'urne U, en remettant à chaque fois la boule dans l'urne. On appelle $X$ le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité d'avoir obtenu exactement une fois une boule rouge. \item Déterminer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On procède maintenant à une nouvelle expérience : $\bullet~~$ on tire une boule de l'urne U. Si elle est rouge on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule à nouveau ; $\bullet~~$ si cette deuxième boule est rouge, on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule pour la troisième fois. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités. \item On appelle $Y$ le nombre de boules rouges obtenues lors d'une expérience. La variable aléatoire $Y$ prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon. Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et son espérance mathématique. \item On appelle $N$ le nombre de tirages effectués lors d'une expérience. Déterminer la loi de probabilité de $N$ et son espérance mathématique. \item On appelle \emph{proportion moyenne de boules rouges} le rapport de l'espérance du nombre de boules rouges obtenues sur l'espérance du nombre de tirages. Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l'expérience est la même que la proportion de boules rouges dans l'urne. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : restitution organisée de connaissances} \medskip On suppose connu le résultat suivant : \hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|p{11cm}} Soit $a$ un réel.\\ Soit $\left(E_{0}\right)$ l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ : \\ \multicolumn{1}{|c}{$y^{\prime} = ay \quad \left(E_{0}\right)$}\\ Les solutions de $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions de la forme $x \longmapsto C \text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.\\ \end{tabular} \medskip On considère $a$ et $b$ deux réels, avec $a$ non nul. Démontrer que les solutions de l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ : \[y^{\prime} = ay + b \quad (E)\] sont les fonctions de la forme $x \longmapsto C\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} + 3y = 6$ alors la courbe représentant $f$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$. \item \textbf{Affirmation 2 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} = y$ alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta,$ $f(\alpha + \beta) = f(\alpha) \times f(\beta)$. \parbox{0.48\linewidth}{\item La courbe d'une fonction solution de l'équation différentielle ${y^{\prime} = -2y}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $\frac{3}{2}$ (\emph{voir figure ci-contre}). \textbf{Affirmation 3 :} l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln (3)$, est $\dfrac{2}{3}$} \hfill \parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}\def\pshlabel #1{\footnotesize $#1$}\def\psvlabel #1{\footnotesize $#1$}\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(2.3,2.3) \psaxes[linewidth=1pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.3,2.3) \psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{2.3}{1.5 2.71828 2 x mul exp div} \uput[d](1.0986,0.06){\footnotesize$\ln 3$}\psline(1.0986,0)(1.0986,0.167)\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture}} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$. La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation \[(E) :\quad z^2 - 2z + 2 = 0,\] où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$. \item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. \item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a \[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\] \item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a : \[\begin{array}{@{\bullet~~} l} \text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ M' \neq \text{A} ;\\ \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif} \end{array}\] \item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P. \item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$. \item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère deux carrés directs ABCD et DCEF de côté 1. Le point I est milieu de [BC] et le point J est milieu de [EFJ (voir figure ci-dessous). \medskip \begin{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre D qui transforme A en C. Justifier que $r(\text{I}) = \text{J}$. \item Justifier que $r$ est l'unique similitude directe qui transforme A en C et I en J. \item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme A en I et C en J. On se place dans le repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner les affixes des points A, C, I et J. \item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est \[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\right) z + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] \item Montrer que le point D est le centre de $s$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,6.3) \psframe(3,6)\psline(0,3)(3,3) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3,3){C} \uput[l](0,3){D} \uput[ur](3,6){E} \uput[ul](0,6){F} \uput[r](3,1.5){I} \uput[u](1.5,6){J} \psdots(3,1.5)(1.5,6) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \Ouv{} on considère trois points $M, N, P$ distincts entre eux et distincts du point O. On appelle $m, n, p$ leurs affixes respectives. On définit la similitude directe $s_{1}$ qui transforme O en $M$ et $N$ en $P$ et la similitude directe $s_{2}$ qui transforme O en $N$ et $M$ en $P$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de $s_{1}$ est \[z' = \frac{p - m}{n}z + m.\] On admet que l'écriture complexe de $s_{2}$ est $z' = \frac{p - n}{m}z + n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que si O$MPN$ est un parallélogramme alors $s_{1}$ et $s_{2}$ sont des translations. \item On suppose que O$MPN$ n'est pas un parallélogramme. Justifier que $s_{1}$ et $s_{2}$ ont chacune un centre, et montrer que ces deux points sont confondus. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \textbf{(Exercice 1)} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,5cm} \emph{À rendre avec la copie} \vspace{1,5cm} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(23,17) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(23,17) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(23,17) \psplot{0}{17}{x} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul} \uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2012 \end{document}