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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\small septembre 2008 à juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité 2010~\decofourright \\
\vspace{1cm} L'intégrale de juin 
 à  novembre 2010}}
 
\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
 {\Large    
 \hyperlink{Ameriquenord}{Amérique du Nord juin 2010} \dotfill 3  \medskip

 \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2010} \dotfill 6  \medskip

 \hyperlink{Asie}{Asie juin 2010} \dotfill 11  \medskip
   
 \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin  2010} \dotfill 18  \medskip
 
\hyperlink{Liban}{Liban juin 2010} \dotfill 23  \medskip
 
\hyperlink{Metropole}{Métropole--La Réunion juin 2010} \dotfill 27 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2010} \dotfill 32\medskip

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole--La Réunion septembre 2010} \dotfill 37 \medskip

 \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie  novembre 2010} \dotfill 41  \medskip}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord 2010 
\hypertarget{Ameriquenord}{}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 3 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL spécialité Amérique du Nord~\decofourright\\
3 juin 2010} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Une chocolaterie fabrique chaque jour des bonbons au chocolat dont certains contiennent aussi des amandes. Sa production journalière se répartit ainsi :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 50\,\% des bonbons sont au chocolat noir,
\item[$\bullet~$] 40\,\% des bonbons sont au chocolat au lait,
\item[$\bullet~$] 10\,\% des bonbons sont au chocolat blanc,
\item[$\bullet~$] 25\,\% des bonbons au chocolat noir contiennent des amandes,
\item[$\bullet~$] 50\,\% des bonbons au chocolat au lait contiennent des amandes, 
\item[$\bullet~$] 5\,\% des bonbons au chocolat blanc contiennent des amandes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Charlie prend au hasard un bonbon dans la production journalière.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] N : \og le bonbon choisi est au chocolat noir \fg,
\item[] L : \og le bonbon choisi est au chocolat au lait \fg, 
\item[] B : \og le bonbon choisi est au chocolat blanc \fg, 
\item[] A : \og le bonbon contient des amandes \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
  
\textbf{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale en arrondissant éventuellement au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilités. Dans ce cas. il conviendra de le représenter sur la copie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités P(N) et P$_{N}$(A).Calculer $\text{P}_{\text{N}}\left(\overline{\text{A}}\right)$ et P(N~$\cap$~A). 
\item Charlie est allergique aux amandes et n'aime que le chocolat noir.
 
 Quelle est la probabilité que le bonbon choisi lui convienne ? 
\item Démontrer que P(A) = $0,33$. 
\item Le bonbon choisi par Charlie ne contient pas d'amandes.
 
Quelle est la probabilité qu'il soit au chocolat noir ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

ABCDEFGH est un tronc de pyramide obtenu à partir d'un cube IJKDEFGH, les points A, B et C étant les symétriques respectifs du point D par rapport aux points I, J et K.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Représentation en perspective parallèle}

\medskip
 
Sur la figure 1 donnée en annexe, on a représenté en perspective parallèle les sommets du cube  IJKDEFGH.
 
Construire sur la figure 1, les points A, B et C et tracer les arêtes du tronc de pyramide ABCDEFGH.

\medskip
 
\textbf{Partie B - Représentation en perspective centrale}

\medskip
 
La figure 2 donnée en annexe amorce une représentation en perspective centrale de ce tronc de pyramide, sa face ABCD étant posée sur le sol. Les points A, B, C, D, E, F, G, H, I, J sont représentés par les points $a,{} b,{} c,{} d,{} e,{}f,{} g,{} h,{} i,{}j$.
 
\textbf{On laissera apparents tous les traits de construction.}
 
\begin{enumerate}
\item Construire le point de fuite principal $\omega$ et le point $d$. 
\item Construire les points $i$ et $j$. 
\item Justifier que le quadrilatère $ijfe$ est un carré. 
\item En déduire une construction des points $e$ et $f$ puis terminer la construction du tronc de pyramide. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip
 
Une denrée alimentaire est placée dans un congélateur maintenu à la température de $-30$~degrés Celsius. Lorsque cette denrée reste placée dans le congélateur pendant une durée $t$, exprimée en heures. la température à c{\oe}ur $C(t)$ de cette denrée, exprimée en degrés Celsius, est donnée par : 

\[C(t) = a\text{e}^{-kt} - 30\] 

où $a$ et $k$ sont des constantes réelles.
 
\textbf{Partie A - Détermination de a et k}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ sachant que $C(0) = 5$. 
\item Calculer la valeur exacte de $k$ sachant qu'au bout d'une heure, la température à c{\oe}ur est égale à $- 23$~degrés Celsius.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par : 

\[f(x) = 35\text{e}^{-1,6x} - 30\]
 
\begin{enumerate}
\item  La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ sur l'intervalle $[0~;~3]$. 
		\item Préciser le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~3]$. 
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis au dixième). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,25	&0,5&0,75	&1 	&1,5&2 	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&	&		&	&		&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal en prenant 4~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 0,5~cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 
\item En utilisant le graphique, déterminer graphiquement le temps nécessaire pour que la température atteigne $- 25$~degrés Celsius. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Retrouver le résultat de la question \textbf{4.} par le calcul.
\end{enumerate}
  
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\begin{flushleft}
\textbf{Figure 1}
\end{flushleft} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(4,0)(6.4,2.4)%IJFE
\psline(6.4,0)(7.2,1.5)(7.2,3.9)(6.4,2.4)(7.2,3.9)(4.8,3.9)(4,2.4)%IKGFGHE
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4.8,1.5)(4.8,3.9)%IDH
\psline[linestyle=dashed](4.8,1.5)(7.2,1.5)%DK
\uput[dl](4,0){I} \uput[dr](6.4,0){J} \uput[r](7.2,1.5){K} \uput[l](4.8,1.5){D} 
\uput[l](4,2.4){E} \uput[r](6.4,2.4){F} \uput[ur](7.2,3.9){G} \uput[ul](4.8,3.9){H} 
\end{pspicture}

\vspace{4cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Figure 2}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(12,7.5)
\psline(0,6.9)(12,6.9)
\psline(2,0)(6.8,0)(7.2,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,0)(6.8,0)(7.2,3)
\uput[d](2,0){$a$} \uput[d](6.8,0){$b$} \uput[r](7.2,3){$c$} \uput[u](11,6.9){Ligne d'horizon} 

\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2010
\hypertarget{Antilles}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Antilles--Guyane~\decofourright\\16 juin 2010}} 
    
\vspace{0,25cm}

  L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 6 points}

\medskip

Une urne A contient $100$ boules indiscernables au toucher : $90$ rouges et $10$ noires.

Une urne B contient également $100$ boules indiscernables au toucher: $30$ rouges et $70$ noires.

\smallskip

On réalise l'expérience suivante:

On lance un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le numéro affiché par le dé est 1, on tire une boule dans l'urne A et on note sa couleur.
\item Sinon, on tire une boule dans l'urne B et on note sa couleur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og tirer une boule dans l'urne A\fg{};
\item $B$ l'évènement \og tirer une boule dans l'urne B\fg{};
\item $R$ l'évènement \og tirer une boule rouge \fg{};
\item $N$ l'évènement \og tirer une boule noire\fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

\medskip

% original: "ci-contre"
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=*4cm]
{\Tp}
{
\pstree{\TR{$A$}^{$\cdots$}}{\Tr{$R$}^{$\cdots$} \Tr{$N$}_{$\cdots$}} 
\pstree{\TR{$B$}_{$\cdots$}}{\Tr{$R$}^{$\cdots$} \Tr{$N$}_{$\cdots$}} 
}

\end{center}

\medskip

\item Décrire l'évènement $A\cap R$ et calculer sa probabilité.
\item Montrer que $p(R)=\np{0,40}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la boule obtenue après tirage est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'urne A.
		\item Les évènements $A$ et $R$ sont-ils indépendants~?
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On désire maintenant modifier la composition de l'urne B pour que, lorsqu'on réalise l'expérience décrite ci-dessus, on ait autant de chances d'obtenir une boule rouge qu'une boule noire.

Proposer une composition de l'urne B qui convient. Expliquer la démarche de recherche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
u_{n+1}&=&\np{0,9}u_n+90\\
u_0&=&\np{1000}.
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: 
\[
v_n = u_n - 900.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$ et $v_1$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = \np{0,9}v_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$~? Écrire $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En déduire que pour tout nombre entier $n$, $u_n = 100\times(\np{0,9})^n+ 900$.
\item Quelle est la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini~?
\item À partir de quel nombre entier $n$ a-t-on $u_n\leqslant 901$~?
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=[1~;~7]$ par $

\[f(x)=\dfrac{x^2}{2}-6x+4+8\ln(x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs donné dans \textbf{l'annexe 1}. On donnera des valeurs approchées à $10^{-1}$ près.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, pour $x$ dans l'intervalle $I$.
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$, $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère fourni dans l'annexe 1, construire la courbe $\mathcal{C}_f$ et ses deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur l'intervalle $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\medskip

La \emph{figure 1} représente le dessin en perspective cavalière d'un banc, dont l'assise rectangulaire $ABCD$ est composée de deux carrés de même taille: $AIJD$ et $BCJI$. Le point $K$ désigne le centre du rectangle $ABCD$. Les quatre pieds $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$ du banc ont tous la même longueur.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(12,9)
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,6)(8,6)(11,8)(4,8)
\psline(1,6)(1,1)
\psline(8,6)(8,1)
\psline(11,8)(11,3)
\psline[linestyle=dashed](4,8)(4,6)
\psline(4,6)(4,3)
\psline(1,6)(8,6)
\psline(8,6)(11,8)
\psline(11,8)(4,8)
\psline(4,8)(1,6)
\psline(4.5,6)(7.5,8)
\psdots[dotstyle=*](1,6)(1,1)(8,6)(8,1)(11,8)(11,3)(4,8)(4,3)(4.5,6)(7.5,8)(6,7)
\uput[135](1,6){$A$}
\uput[-135](1,1){$E$}
\uput[-45](8,6){$B$}
\uput[-45](8,1){$F$}
\uput[45](11,8){$C$}
\uput[-45](11,3){$G$}
\uput[135](4,8){$D$}
\uput[-135](4,3){$H$}
\uput[-90](4.5,6){$I$}
\uput[90](7.5,8){$J$}
\uput[135](6,7){$K$}
\end{pspicture*}

\emph{Figure 1}
\end{center}

\emph{Dans toutes les constructions, laisser apparents les traits de construction. Repasser en gras la figure du banc.}

\smallskip

Les images de $A$, $B$, $C$, \ldots dans les représentations en perspective centrale sont notées avec des lettres minuscules : $a$, $b$, $c$, \ldots

$\mathcal{H}$ désigne la ligne d'horizon.

\smallskip

Les points $I$, $B$ et $F$ sont situés dans un plan frontal.

La \emph{figure 2} de \textbf{l'annexe 2} représente le début du dessin de ce même banc dans une perspective centrale. Le point $d_1$ est l'un des points de distance de la perspective.
\begin{enumerate}
\item Construire le point de fuite principal. On le notera $w$.
\item Construire $d_2$, le deuxième point de distance et justifier la construction par une propriété des points de distance.
\item Construire l'image $abcd$ de l'assise $ABCD$ du banc.
\item Construire l'image $k$ du point $K$ puis terminer la construction de la représentation du banc.
\end{enumerate} 

\pagebreak

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline
$f(x)$ (à $10^{-1}$ près) & & &$-\np{0,7}$& & $-\np{0,6}$& \np{0,3} &\\
\hline
\end{tabularx}

\vspace{0.75cm}

\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture*}(-10,-50)(70,40)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-50)(70,40)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,
% échelle originale: 2 cm
algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(7,4)
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}
\vfill
\emph{Figure 2}
\vfill
\vfill
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(12,7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt](-1,6)(12,6)%horizon
\psline[linewidth=1.5pt](1,2)(6,2)(6,-3)
\psline[linewidth=1.5pt](6,2)(7.5,4)
\uput[-135](1,2){$i$}
\uput[-45](6,2){$b$}
\uput[45](7.5,4){$c$}
\uput[-45](6,-3){$f$}
\uput[90](11,6){$d_1$}
\uput[-90](-1,6){$\mathcal{H}$}
\psdots[dotstyle=*](1,2)(7.5,4)(6,2)(6,-3)(11,6)
\end{pspicture}
\vfill
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Antilles-Guyane juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin  2010 
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Enseignement de spécialité~\decofourright\\Asie Juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice} 1  \hfill 5 points}

\medskip

Il s'agit de remplir la grille suivante dont chaque case blanche doit contenir exactement un chiffre (entre $0$ et $9$).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour y parvenir, il faut déterminer les quatre nombres entiers correspondants aux définitions ci-dessous. \textbf{Chaque réponse devra être justifiée}.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gristab}}c|*{4}{c|}}\hline
\rowcolor{gristab}&\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}\\\hline
\textbf{1}&&&&\\\hline
\textbf{2}&&&&\\\hline
\textbf{3}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&\\\hline
\textbf{4}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Ligne 1} : Somme des 50 premiers termes de la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_1=4,37$ et de raison $r=0,74$.

\textbf{Ligne 2} : Nombre compris entre 5700 et 7800 et congru à 0 modulo 1134.

\textbf{Ligne 3} : Nombre affiché en sortie de l'algorithme ci-dessous si on le fait fonctionner pour $n=3$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|lcll|}
\hline
Entrée&&\multicolumn{2}{l|}{$a$, $b$, $i$ et $n$ sont des entiers}\\
Initialisation&&\multicolumn{2}{l|}{\quad}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $i$ la valeur $0$}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $a$ la valeur $0$}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $b$ la valeur $0$}\\
Traitement&&\multicolumn{2}{l|}{\quad}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Tant que $i<n$ :}\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $i$ la valeur $i+1$ ;\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $a$ la valeur $46+a$.\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $b$ la valeur $a+b$.\\
Sortie&&\multicolumn{2}{l|}{Afficher $b$.}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Ligne 4} : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}-3(0,5)^n+500$

\item \textbf{Élément de vérification}

On considère la fonction $f$ définie sur$\R$ par $f(x)=\text{e}^{2070x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item Calculer $f'(0)$.\\
\emph{Le nombre de la colonne C est le nombre} $f'(0)$.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 2  \hfill 5 points}

Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,3]$ par $f(x)=-x^2+a+b\ln{x}$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A(1\,;\,1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que pour le nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,3]$, on a : $f(x)=-x^2+2+2\ln{(x)}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de \(\lim_{x\to 0}\ln{(x)}$ et en déduire \(\lim_{x\to 0}f(x)$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,3]$, puis vérifier que $f'(x)= \dfrac{2(1 - x)(1 + x)}{x}$.
		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur l'\textbf{annexe 1} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
\item Le point $B(\sqrt{2}\,;\,\ln{(2)})$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}$ ? Justifier.
		\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $]0\,;\,3]$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 0,01 de la plus grande de ces solutions.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip

Un compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention parmi ses dossiers d'accidents de la circulation.

92\,\% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle et 23\,\% des frais de dommages corporels.

De plus, parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12\,\% entraînent aussi des frais de dommages corporels.

On choisit au hasard un dossier. Tous les dossiers ont la même probabilité d'être tirés.

On note :

$M$ l'événement  : \og{} le dossier choisi entraîne des frais de réparation matérielle\fg.

$C$ l'événement  : \og{} le dossier choisi entraîne des frais de dommages corporels\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les notations $M$ et $C$, exprimer les trois pourcentages de l'énoncé en termes de probabilité ; les résultats seront donnés sous forme décimale.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'événement $M\cap C$ est égale à $0,1104$.
		\item Interpréter l'événement $M\cap \overline{C}$ puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité que le dossier choisi entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il a entraîné des frais de dommages corporels.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

L'assureur sait que 45\,\% des accidents sont dus à des excès de vitesse et que parmi ces dossiers avec excès de vitesse, 30\,\% ont entraîné des dommages corporels.

On choisit au hasard un dossier. Sachant que l'accident correspondant entraîne des frais de dommages corporels, quelle est la probabilité que cet accident soit dû à un excès de vitesse ?

Donner le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 4  \hfill 5 points}

\medskip

En Allemagne,  au mois de novembre, la population célèbre traditionnellement la fête de la Saint-Martin. Cela se traduit par des cortèges nocturnes dans les rues accompagnés de chants. Pour cette occasion, chaque écolier fabrique une lanterne. La fête de la Saint-Martin est ainsi également appelée \og{} Fête des Lanternes\fg{}.

 Dans cet exercice, on va s'intéresser à la représentation des lanternes de deux écoliers : Marie et Daniel. Les dessins à compléter en annexe sont \textbf{à rendre avec la copie}.

On laissera apparents les traits de construction.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La \emph{figure 1} représente la lanterne de Marie en perspective cavalière. Cette lanterne a la forme d'un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ ouvert sur le dessus avec un fond $DCGH$ rigide et transparent : ses 4 faces latérales sont également transparentes et ses arêtes sont des tiges de bois rectilignes. Au centre de la face $DCGH$ est fixée une bougie dont la longueur est égale à la moitié de l'arête $[AD]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,6) 
\pstGeonode[PosAngle=-45](2.7,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=0](4.5,0.9){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){D}
\pstTranslation[PosAngle=45]{C}{D}{G}[H]
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4.4){A}
\pstTranslation[PosAngle=90]{D}{C}{A}[B]
\pstTranslation[PosAngle=45]{D}{A}{G}[F]
\pstTranslation[PosAngle=45]{D}{A}{H}[E]
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{H}{C}{o}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{B}{C}{h}
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{h}{o}[O]
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{D}
\pstLineAB{C}{D}
\pstLineAB{A}{E}
\pstLineAB{E}{F}
\pstLineAB{B}{F}
\pstLineAB{G}{F}
\pstLineAB{G}{C}
\pstLineAB[linewidth=1.5pt]{o}{O}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D}{H}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{G}{H}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{E}{H}
\rput(1.6,-0.8){\emph{figure 1}}
\end{pspicture}\end{center}

On veut construire sur le \textbf{dessin n°1 de l'annexe 2} la représentation en perspective centrale de cette lanterne, la face $ABCD$ étant frontale. Les images de points $A$, $B$, $C$, $\cdots$ sont désignées par les lettres minuscules $a$, $b$, $c$, $\cdots$

On a tracé la ligne d'horizon $\mathcal{H}$, le point de fuite principal $\omega$ et un point de distance $d_1$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Construire le deuxième point de distance $d_2$.
		\item Compléter la représentation du pavé droit $ABCDEFGH$.
		\item Terminer cette représentation en y construisant l'image de la bougie dans cette perspective centrale.
	\end{enumerate}
\item Daniel a fabriqué une lanterne de forme cubique $A'B'C'D'E'F'G'H'$. De plus il a choisi de décorer uniquement les deux faces $A'B'C'D'$ et $B'F'G'C'$ en dessinant des carrés identiques dont chaque sommet est le milieu d'une arête et il n'a pas mis de bougie au fond de sa lanterne.\\
La \textbf{figure 2 de l'annexe 2} est une représentation en perspective cavalière de la lanterne de Daniel.\\

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,7) 
\pstGeonode[PosAngle=-45](4.5,0){C'}
\pstGeonode[PosAngle=0](6.4,1.7){G'}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){D'}
\pstTranslation[PosAngle=45]{C'}{D'}{G'}[H']
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4.5){A'}
\pstTranslation[PosAngle=90]{D'}{C'}{A'}[B']
\pstTranslation[PosAngle=45]{D'}{A'}{G'}[F']
\pstTranslation[PosAngle=45]{D'}{A'}{H'}[E']
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{D'}{A'}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{D'}{C'}{K}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C'}{G'}{K'}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C'}{B'}{J}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{B'}{A'}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=85]{B'}{F'}{F}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{G'}{F'}{L'}
\pstLineAB{A'}{B'}
\pstLineAB{C'}{B'}
\pstLineAB{A'}{D'}
\pstLineAB{C'}{D'}
\pstLineAB{A'}{E'}
\pstLineAB{E'}{F'}
\pstLineAB{B'}{F'}
\pstLineAB{G'}{F'}
\pstLineAB{G'}{C'}
\pstLineAB{J}{I}
\pstLineAB{L}{I}
\pstLineAB{J}{K}
\pstLineAB{L}{K}
\pstLineAB{J}{K'}
\pstLineAB{J}{F}
\pstLineAB{F}{L'}
\pstLineAB{K'}{L'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D'}{H'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{G'}{H'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{E'}{H'}
\rput(2.5,-1.2){\emph{figure 2}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le \textbf{dessin \no 2 de l'annexe 2} est la représentation de la lanterne de Daniel en perspective centrale, l'arête $[B'C']$ étant dans le plan frontal. On a tracé la ligne d'horizon $\mathcal{H}$.

Compléter le \textbf{dessin \no 2 de l'annexe 2} par une représentation des décorations de Daniel.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\psset{xunit=4.1cm,yunit=1.78cm,algebraic=true}
    
\begin{pspicture}(-.5,-6.5)(3.4,1.8) 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0185}{3}{-x^2+2+2*ln(x)}
\psaxes[linewidth=1.1pt]{->}(0,0)(0,-6)(3.2,1.5)
\multido{\n=0.2+0.2}{16}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.6pt](\n,-6)(\n,1.5)}
\multido{\n=-6.0+0.2}{38}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.6pt](0,\n)(3.2,\n)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.6pt](0,-4.8)(3,-4.8)(3,0)
\rput(2.7,-2.7){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large{ANNEXE 2 (à compléter et à rendre avec la copie)}}\\
\end{center}

\textbf{Exercice 4}\\

\textbf{dessin 1}\\

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(0,1.5)(18,-9)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(17.1,0)
\psline{|-|}(3.5,0)(8.5,0)
\uput[u](3.5,.2){$d_1$}
\uput[u](8.5,.2){$\omega$}
\uput[u](1,.2){$\mathcal{H}$}
\psline(5.1,-2.5)(7.5,-2.5)(7.5,-7.1)(5.1,-7.1)(5.1,-2.5)
\uput[u](5.1,-2.5){$a$} 
\uput[ur](7.5,-2.5){$b$} 
\uput[ur](7.5,-7.1){$c$} 
\uput[ur](5.1,-7.1){$d$} 
\end{pspicture}

\textbf{dessin 2}\\

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(0,1.5)(14,-9)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(12.3,0)
\uput[u](1,.2){$\mathcal{H}$}
\psline(4,-1.85)(5.38,-3.42)(5.38,-6.7)(4,-3.6)(4,-1.85)
\psline(4,-1.85)(7.6,-.78)(7.6,-1.53)(4,-3.6)
\psline(7.6,-.78)(8.91,-1)(8.91,-1.93)(7.6,-1.53)
\psline(5.38,-3.42)(8.91,-1)
\psline(8.91,-1.93)(5.38,-6.7)
\uput[u](4,-1.85){$a'$} 
\uput[dr](5.38,-3.42){$b'$} 
\uput[dl](5.38,-6.7){$c'$} 
\uput[dl](4,-3.6){$d'$} 
\uput[u](7.6,-0.78){$e'$} 
\uput[ur](8.9,-1){$f'$} 
\uput[ur](8.9,-1.93){$g'$} 
\uput[ur](7.6,-1.53){$h'$} 
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Asie juin  2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2010 
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~TL spécialité Centres étrangers juin 2010~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~3]$ par

\[f(x) = x + 4\ln (3x + 1) + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~3]. 
 	 
Montrer que, pour tout nombre $x$ appartenant à [0~;~3], $f'(x) = \dfrac{3x+ 13}{3x + 1}$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~3] et dresser son tableau de variation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère un enfant dont le poids à la naissance est 3~kg.
 
Pendant les trois premières années de la vie de l'enfant, on estime que son poids (en kg) est donné en fonction de son âge $x$ (en année) par $f(x) = x + 4\ln (3x + 1) + 3$.
 
\emph{La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée dans l'Annexe 1 à rendre avec la copie.}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le poids de cet enfant à l'âge de 6~mois. On donnera une valeur arrondie au dixième. 
\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'âge correspondant à un poids de $12$~kg. On laissera apparents les traits de construction utiles à la lecture.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ 10^n \equiv  1 \quad  (\text{modulo}~ 9)$. 
		\item  On considère quatre nombres entiers naturels $a,~b,~c$ et $d$ compris entre $0$ et $9,~ a$ différent 
de $0$. On pose $N = \np{1000}a + 100 b + 10c + d$.

Montrer que $N \equiv  a + b + c + d \quad  (\text{modulo}~ 9)$.

\medskip
 
\emph{Dans la suite, on admettra que le résultat que l'on vient de montrer pour un nombre à quatre chiffres est valable pour tout nombre entier naturel, quel que soit son nombre de chiffres. Autrement dit, tout nombre entier naturel $N$ est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres.}
	\end{enumerate} 
\item En utilisant le résultat précédent, déterminer les restes dans les divisions par 9 des nombres \np{321765} et \np{415283}. 
\item En déduire le reste dans la division par 9 du produit $\np{321765} \times  \np{415283}$. 
\item Jules a posé la multiplication $\np{321765} \times  \np{415283}$ et a obtenu \np{133623534485}.
 
Peut-on affirmer, sans effectuer l'opération, que le résultat n'est pas correct ? Justifier la réponse donnée. 
\end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Le dessin donné dans la figure 1 de l'annexe 2 montre une partie du mur qui divisait Berlin. Le mur est vertical et de hauteur constante, il est bordé d'une allée horizontale et rectangulaire. La photo montre également l'ombre du mur, portée par le soleil sur le sol de l'allée. La ligne d'horizon est parallèle au bord inférieur du dessin.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner sur la figure 1 de l'annexe 2 les lignes de fuite du haut et du bas du mur puis la ligne d'horizon. Pour une meilleure lisibilité des tracés, on prolongera les lignes en dehors du cadre de la photo. 
\item La figure 2 de l'annexe 2 est le début d'un dessin en perspective centrale de ce site. Le quadrilatère \texttt{abcd} est l'image du mur, le segment [\texttt{be}] est l'image de l'entrée de l'allée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les deux droites (\texttt{ab}) et (\texttt{cd}) ont le même point de fuite $\omega$. Placer ce point sur le dessin. 
		\item Compléter le quadrilatère \texttt{abef} image de l'allée. 
		\item À l'entrée de l'allée est posé un bac à fleur parallélépipédique EGHIJKLM.
		 
La base EGHI repose sur le sol et la face EGKJ est frontale. 
Les images \texttt{e,~g,~h} et \texttt{k} des points E, G, H et K sont placées sur la figure 2. Compléter sur le dessin l'image \texttt{eghijklm} de ce bac.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip 

\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{tabular}{|l c l}
Entrée			&:& Saisir deux nombres entiers naturels non nuls $m$ et $n$.\\
				&& Créer une liste vide L. \\
Initialisation	&:&Affecter à $i$ la valeur $1$. \\
Traitement		&:&Tant que $i \leqslant n + 1$\\ 
				&&\begin{tabular}{l|l}
\hspace{0,5cm}	&Affecter à $r$ le reste de la division de $m$ par $n$.\\
\hspace{0,5cm}	&Affecter à $m$ la valeur de $10r$.\\ 
\hspace{0,5cm}	&Ajouter le quotient de la division de $m$ par $n$ à la fin de la liste L.\\
\hspace{0,5cm}	& Affecter à $i$ la valeur $i + 1$.
\end{tabular}\\ 
Sortie&:		& Afficher la liste L.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Appliquer cet algorithme à $m = 13$ et $n = 7$.
 
On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
&$r$&$m$&Liste L&$i$\\ \hline
Initialisation&&13&&1\\ \hline
Fin étape 1 &&&&\\ \hline
Fin étape 2 &&&&\\ \hline
\ldots\ldots &&&&\\ \hline
\ldots\ldots &&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Écrire le début du développement décimal de $\dfrac{13}{7}$, obtenu à la calculatrice.
 
Que représente la liste L pour le nombre $\dfrac{13}{7}$ ? 
\item Le nombre $\dfrac{13}{7}$ est-il un nombre décimal ? Justifier la réponse donnée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre B dont l'écriture décimale illimitée est \np{0,375375375}... où $375$ est répété indéfiniment. Le nombre B est-il rationnel ? Justifier la réponse donnée. 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = 0,375$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = 10^{-3}u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item On considère, pour tout nombre entier naturel $n$, la somme $S_{n}$ des $n$ premiers  termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. On a donc $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ..\ldots + u_{n}$·
		 
Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item En déduire l'écriture du nombre B sous la forme d'une fraction irréductible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On considère le nombre C dont l'écriture décimale illimitée est \np{2,585858}... où $58$ est répété indéfiniment. Écrire le nombre C sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers. 

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{4cm}

\psset{xunit=3.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.166667,-1)(3.5,17)
\multido{\n=-0.1666667+0.1666667}{22}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,17)}
\multido{\n=-1.0+0.2}{91}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.1666667,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-1)(3.5,17)
\uput[u](3.25,0){Âge en année}
\uput[r](0,16.5){Poids en kg}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3}{3 x mul 1 add ln 4 mul 3 add x add}
\end{pspicture} 

\newpage

\textbf{Annexe 2 (à compléter et à rendre avec la copie)}


\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(8.5,8.3)
\psframe(8.5,8.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.5,0)(8.5,8.3)(0.5,3.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](8.5,0)(0.5,3.6)(3.1,0)
\rput(6,4){Mur} \rput(4,1){Ombre}\rput(4.25,-0.5){figure 1 }
\end{pspicture}

\vspace{4cm}

figure 2
 
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(12,9)
\pspolygon(0.2,0)(12,0)(12,8.3)(5.1,4)(5.1,3.2)(12,0)
\psline(3.5,0.95)(3.5,0)(3.8,1.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.2,0)(12,0)(12,8.3)(5.1,4)(3.5,0.95)(3.5,0)(3.8,1.3)(5.1,3.2)
\uput[d](0.2,0){\texttt{e}} \uput[d](3.5,0){\textt{g}} \uput[l](3.5,0.95){\texttt{k}} \uput[r](3.8,1.3){\texttt{h}} 
\uput[d](12,0){\texttt{b}} \uput[u](12,8.3){\texttt{c}} \uput[u](5.1,4){\texttt{d}} \uput[d](5.1,3.2){\texttt{a}} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Centres étrangers juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Liban  juin 2010 
\hypertarget{Liban}{}

\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{3 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Liban 3 juin 2010~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, pour chacune des questions, \textbf{une et une seule} des réponses proposées est exacte.
 
Aucune justification n'est attendue, il est seulement demandé de répondre en donnant le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse correcte.
 
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}p{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Questions& A &B &C \\ \hline
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{1.} Le nombre de solutions réelles de 
l'équation $\left(\text{e}^x + 1\right)\left(\text{e}^x - 2\right) = 0$ est :\\
\end{tabular}& 0 &1 &2\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{2.} L'ensemble des solutions dans $\R$ de 
l'inéquation $\left(\text{e}^x - 1\right)(1- x) \geqslant 0$ est l'intervalle : \\
\end{tabular}&[0~;~1]& $]-\infty~;~1]$& $[1~;~+\infty[$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{3.} La fonction dérivée de la fonction $f$ 
définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$ est telle que: \\
\end{tabular}&$f'(x) = 2x + \text{e}^x$ &\small $f'(x) = (x + 1)^2 \text{e}^x$ &$f'(x) = 2x\text{e}^x$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{4.} Pour tous les réels strictement positifs $a$ et $b$, le réel $\text{e}^{\ln (a) + \ln (b)}$ est égal à : \\
\end{tabular}&$ab$ &$a + b$ &$\dfrac{a}{b}$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{5.} La suite définie sur $\N$ par $u_{n} = 2^n + 2^{n+1}$ est :\\
\end{tabular}&Une suite arithmétique&Une suite géométrique&\footnotesize Une suite ni arithmétique, ni géométrique\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une étude statistique sur les performances d'un joueur professionnel de basket, il a été établi que lorsqu'il joue à domicile (sur le terrain de son équipe), il marque le panier sur 68\,\% de ses tirs mais que lorsqu'il joue à l'extérieur (sur le terrain de l'équipe adverse), il ne marque le panier que sur 42\,\% de ses tirs.

De plus, lors d'une saison, il joue 60\,\% de ses matchs à domicile.
 
\begin{enumerate}
\item Ce joueur dispute un match à domicile. Il effectue successivement deux tirs. On admet que les résultats de ces deux tirs sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité $p_{1}$ que le joueur marque deux paniers ? 
		\item  Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le joueur marque au moins un panier ?
	\end{enumerate} 
\item On regarde un match à la télévision auquel participe ce joueur mais sans savoir s'il joue à domicile ou à l'extérieur. Il effectue un tir.
 
On note $D$ l'évènement \og Le joueur dispute son match à domicile \fg{} et $M$ l'évènement \og Le joueur marque le panier \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité $p(D)$ de l'évènement $D$ et la probabilité $p_{D}(M)$ de $M$  sachant $D$. 
		\item Calculer la probabilité $p(M \cap D)$ de l'évènement $M \cap D$. 
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement M est $p(M) = 0,576$. 
		\item Le joueur marque le panier. Quelle est la probabilité qu'il joue à domicile ? On arrondira au millième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Alain et Alice ont l'habitude d'échanger entre eux des messages secrets. Afin que ces messages ne puissent être déchiffrés, ils décident de les coder.
 
Leurs messages ne sont écrits qu'en lettres majuscules, sans espace entre les mots.
 
À chaque lettre de l'alphabet, on fait correspondre un rang selon le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{Lettre} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
\textbf{Rang}& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline 
\textbf{Lettre} &N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 
\textbf{Rang} &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
La lettre de rang $x$ est codée par la lettre de rang $r$, où $r$ est le reste de la division euclidienne de $3x + 20$ par 26.
 
Par exemple, la lettre $T$ a pour rang 19. Le reste de la division euclidienne de $3 \times 19 + 20 = 77$ par $26$ est $25$, qui est le rang de la lettre $Z$. Ainsi $T$ est codée par $Z$.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la lettre M est codée par la lettre E. 
\item Coder le message suivant: \og MATHS \fg. 
\item On veut déterminer la lettre codée par B. On appelle $x$ son rang.
 
Montrer que $3x \equiv  7\quad [\text{mod}~ 26]$ et conclure. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Recopier le tableau ci-dessous et le compléter pour décoder le message \og JUASBG \fg{} en expliquant la démarche : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Lettre}		& F &	&	&I 	&	&\\ \hline
\textbf{Rang}				& 5	&	&	& 8 &	&\\ \hline
\textbf{Rang lettre codée}	& 9 &20 &0 	&18 &1 &6\\ \hline 
\textbf{Lettre codée}		& J &U 	&A 	&S 	&B &G\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
La figure ci-dessous est la représentation en perspective parallèle d'un élément de cuisine ayant la forme d'un pavé $ABCDEFGH$. Le rectangle $EJJF$ qui représente un tiroir est tel que  $EI = \dfrac{1}{4} EB$. Le point $O$, centre du rectangle $EIJF$ représente la poignée du tiroir.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.25)
\psframe(6.2,2.8)
\psline(6.2,0)(7.4,1)(7.4,3.8)(1.2,3.8)(0,2.8)
\psline(6.2,2.8)(7.4,3.8)
\psline(0,2)(6.2,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.8)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(7.4,1)
\psdots(3.1,2.4) 
\uput[l](1.2,1){$A$} \uput[dl](0,0){$B$} \uput[dr](6.2,0){$C$} 
\uput[r](7.4,1){$D$} \uput[l](0,2.8){$E$} \uput[ul](6.2,2.8){$F$} 
\uput[ur](7.4,3.8){$G$} \uput[ul](1.2,3.8){$H$} \uput[l](0,2){$I$} 
\uput[r](6.2,2){$J$} \uput[r](3.1,2.4){$O$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{On complètera les figures données en annexe et on laissera apparents tous les traits de construction.}

\begin{enumerate}
\item La figure 1 donnée en annexe amorce une représentation en perspective centrale du meuble. La face $ABCD$ est horizontale et l'arête $[BE]$ est dans un plan frontal.
 
Les points $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, O$ sont respectivement représentés par les points $a,~b,~e,~d,~e,~j,~ g,~ h,~i,~j,~o$. La droite $\Delta$ est la ligne d'horizon. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points de fuite $f_{1}$ et $f_{2}$ des droites $(ab)$ et $(bc)$. 
		\item Construire les points $d,\:e,\:f,\:g,\:h$. 
		\item Placer les points $i,\:j,\:o$.
	\end{enumerate} 
\item La face EFGH de ce meuble est un plan de travail que l'on souhaite carreler avec des carreaux carrés de deux couleurs comme indiqué ci-dessous. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(4.5,0)(4.5,3) \psline(0,1.5)(6,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,1.5)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,1.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){$E$} \uput[dr](6,0){$F$} \uput[ur](6,3){$G$} \uput[ul](0,3){$H$} 
\end{pspicture}
\end{center}  

\medskip

Sur la figure 2 de l'annexe, on a commencé la représentation en perspective centrale de ce plan de travail en supposant que $[EF]$ est dans un plan frontal. La droite $\Delta$ est la ligne d'horizon.
 
Représenter le carrelage et griser les carreaux foncés. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie }

\bigskip

\begin{flushleft}
Figure 1 \end{flushleft} 

\begin{pspicture}(12,8)
\psline(0,8)(12,8)
\psline(6,1)(8.5,3.85)
\psline(6,1)(6,3.7)
\psline(6,1)(4.1,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4.1,3)(8.5,3.85)(6,3.7)
\uput[l](4.1,3){$a$}\uput[d](6,1){$b$}\uput[r](8.5,3.85){$c$}\uput[l](6,3.7){$e$}\uput[d](0.2,8){$\Delta$}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
Figure 2 \end{flushleft} 

\begin{pspicture}(12,9)
\psline(1.7,1)(8,1)(9.8,3.35)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.7,1)(8,1)(9.8,3.35)
\psline(0,8.4)(12,8.4)
\uput[d](0.2,9){$\Delta$}
\uput[d](1.7,1){$e$}\uput[dr](8,1){$f$}\uput[r](9.8,3.35){$g$}
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Liban  juin 2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2010 
\hypertarget{Metropole}{}

\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{23 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\23 juin 2010}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip
 
Un immeuble a la forme du solide ABCDEFGHIJKL dont une représentation en perspective parallèle est donnée ci-dessous. 

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}} 
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Une esplanade, qui a la forme du carré CDEM, jouxte cet immeuble.

\medskip
 
À un coin de cette esplanade se trouve un mât vertical représenté par [MN]. 

\medskip

ABMF est un carré de centre D.

\medskip
 
Les points E et C sont les milieux respectifs des segments [MF] et [MB].}

\medskip 

\textbf{Trois dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie, en laissant apparents les traits de construction.}

 
\begin{enumerate}
\item On place un projecteur, qui est donc une source de lumière ponctuelle, au point H. 
Le dessin donné en \textbf{annexe 1} est une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur ce dessin représenter l'ombre du mât sur le sol. 
		\item On note P le milieu du mât. Construire l'ombre \texttt{p} du point P.
	\end{enumerate} 
\item À une certaine heure, les rayons du soleil sont parallèles à la droite (GC). Le dessin donné en \textbf{annexe 2} est encore une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur ce dessin représenter l'ombre au soleil du mât sur le sol à cette heure.
		\item L'ombre au soleil du milieu du mât est-elle le milieu de l'ombre du mât ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item En \textbf{annexe 3} on a amorcé une représentation en perspective centrale de cet immeuble.
 
On suppose que la face BCHG est située dans un plan frontal.
 
Les points \texttt{b,~g,~k,~f} et \texttt{m} sont les images des points B, G, K, F et M dans cette perspective. La droite ($\delta$) est la ligne d'horizon. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les images \texttt{c,~d} et \texttt{e} des points C, D et E (l'ordre de construction n'est pas imposé). 
		\item Compléter la représentation en perspective centrale de l'immeuble. \emph{On ne représentera ni le mât ni les arêtes cachées.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la suite U de terme général U$_{n}$ définie par U$_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par : 

\[\text{U}_{n+1} =  \text{U}_{n} + 2 (n + 1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que U$_{1} = 2$ et que U$_{2} = 6$. Calculer U$_{3}$· 
\item Chacune des trois propositions suivantes est-elle vraie ou fausse ? 

Justifier les réponses.

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1 : \og La suite U est arithmétique. \fg 
\item[] Proposition 2 : \og Il existe au moins une valeur de $n$ pour laquelle

 U$_{n} = n^2 + 1$. \fg 
\item[] Proposition 3 : \og Pour toutes les valeurs de $n$, on a U$_{n} = n^2 + 1$. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{p{1.5cm}l l} 
&Entrée :&N un entier naturel non nul\\ 
&Initialisation : &P = 0 \\
&Traitement : &Pour K allant de 0 à N :\\
&&\begin{tabular}{p{0.5cm}|l} 
&Affecter à P la valeur P + K\\
& Afficher P\\
\end{tabular} \\
&Fin de l'algorithme&\\
\end{tabular} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme avec N = 3. 
		
Obtient-on à l'affichage les valeurs des quatre premiers termes de la suite U ? 
		\item Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l'affichage les valeurs des N premiers termes de la suite U.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k,~\left(k^2 + k\right) + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + k + 1.$ 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ \text{U}_{n} = n^2 + n$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 

\[f(x) = 2 + 3\ln x.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~15]. 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 1. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = 8$. 
\item Parmi les trois représentations graphiques données ci-dessous, une seule représente la fonction $f$.
 
Préciser quelle est cette représentation et justifier l'élimination de chacune des deux autres.
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 1}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{x ln 3 mul 2 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 2}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
%\pscurve[linewidth=1.25pt](1,10)(3,6.7)(4,5.7)(6,4.55)(8,3.75)(10,3.1)(12,2.5)(15,1.85)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{10 0.25 x mul 0.75 add  div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 3}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=4000]{1}{15}{2.71828 x 1 sub  6.6 div exp 2 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le reste de la division euclidienne de $10^6$ par $13$. 
		\item Montrer que $10^9 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$ et que $10^{12} \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit l'entier N = \np{5292729824628}. 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant qu'une autre écriture de N est :
		 
\[\text{N} = 5 \times 10^{12} + 292 \times 10^9 + 729 \times 10^6 + 824 \times 10^3 + 628\] 

démontrer que N est congru à $246$ modulo 13. 
		\item N est-il divisible par $13$ ?		 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Démontrer que le nombre $10^{2010} + 12$ est divisible par $13$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{Annexe 1 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Annexe 2 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}\textbf{Annexe 3 -- Exercice 1} \end{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15.5,15)
\psline(0,14.4)(15.5,14.4)
\psline(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3)
\uput[u](0.3,14.4){$\delta$}
\uput[l](3.8,11.5){\texttt{g}}\uput[dl](3.8,0){\texttt{b}}
\uput[dr](9.4,0){\texttt{m}} \uput[dr](10.8,4.25){\texttt{f}} 
\uput[r](10.8,12.3){\texttt{k}}
\psdots(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3) 
\end{pspicture}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole juin 2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2010 
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}{\Large\textbf{Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité\\Polynésie juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip
 
On a représenté ci-dessous en perspective parallèle deux pyramides régulières à base carrée SABCF et RFCDE, de même hauteur SP et RQ, où P est le centre du carré ABCF et Q le centre du carré CDEF.
 
Le plan horizontal contient les six points A, B, C, D, E et F.

Les points A et B sont dans un plan frontal.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,7)
\pspolygon(0,0)(4.1,0)(3.15,4.8)%ABS
\psline(4.1,0)(6.1,1.5)(3.15,4.8)%BCS
\pspolygon(6.1,1.5)(8,3)(5.05,6.3)%CDR
\psline(5.05,6.3)(3.7,4.2)%RF
\psline[linestyle=dashed](3.7,4.2)(2,1.55)%RF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1.55)(6.1,1.5)%AFC
\psline[linestyle=dashed](8,3)(3.9,3)(5.05,6.3)%DER
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.1,1.5)(3.9,3)%ACE
\psline[linestyle=dashed](4.1,0)(2,1.55)(8,3)%BFD
\psline[linestyle=dashed](2,1.55)(3.9,3)%FE
\uput[d](0,0){A} \uput[d](4.1,0){B} \uput[dr](6.1,1.5){C} 
\uput[dr](8,3){D} \uput[ul](3.9,3){E} \uput[ul](2,1.55){F} 
\uput[d](3.05,0.8){P} \uput[d](4.95,2.3){Q} \uput[u](5.05,6.3){R} 
\uput[u](3.15,4.8){S} 
\end{pspicture}
\end{center} 

On veut reproduire cette figure en perspective centrale sur la feuille de l'annexe 1, à rendre avec la copie.
 
\textbf{On laissera apparents tous les traits de construction} 

\medskip

Dans la perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi \texttt{a} est l'image de A, \texttt{b} est l'image de B, etc.
 
Sur la feuille de l'annexe 1, on a tracé la ligne d' horizon, notée (h), les segments [\texttt{ab}] et [\texttt{bc}] ainsi que le point \texttt{s}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite \texttt{m} de la droite (BC) et le point de fuite \texttt{n} de la droite (AC). 
\item Construire  l'image \texttt{f} du point F. Donner deux propriétés de la perspective centrale qui justifient la construction du point \texttt{f}. 
\item Construire les points \texttt{d} et \texttt{e}~ images respectives des points D et E. 
\item Quel est le point de fuite de la droite (SR) ? On ne demande pas de justification. 
\item Terminer la construction des deux pyramides. 
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur l'intervalle [0~;~2] par : 

\[u(x) = 10\text{e}^{- 2x}\quad \text{et} \quad v(x) = 0,1\text{e}^{2x}.\]

On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = u(x) + v (x)$.
 
Soient $\mathcal{C}_{u},~\mathcal{C}_{v}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les courbes représentant respectivement les fonctions $u,~v$ et $f$ dans un 
repère orthogonal (O$x$,~O$y$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de [0~;~2],~$f'(x) = 2(v(x) - u(x))$. 
		\item En déduire que les inéquations $f'(x) > 0$ et $v(x) > u(x)$ ont même ensemble de solutions.
		
Les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ sont tracées sur la feuille de l'annexe 2. On note $\alpha$ l'abscisse du point d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on résout graphiquement l'inéquation $v(x) > u(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Ajouter sur le graphique le nom des courbes. 
		\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du nombre $\alpha$. 
		\item Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $v(x) > u(x)$.
	\end{enumerate} 
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$. 
\item Compléter le graphique de l'annexe 2 en traçant  la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
 \end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation} 

\medskip

Trois amis Alain, Bernard et Corinne vont dîner à l'\og Auberge de Bernoulli \fg. L'aubergiste propose de tirer au sort la personne qui payera le dîner. Il leur présente un sachet opaque qui contient quatre boules, dont trois blanches et une noire. Le premier des trois amis qui tire la boule noire paie tous les repas. Si aucun des trois ne tire la boule noire, l'aubergiste offre le dîner. 
Les trois amis veulent comparer deux méthodes différentes de tirer les boules. 

\medskip

Dans cet exercice, on notera : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og Alain tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement \og  Bernard tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement \og Corinne tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $\overline{A},~\overline{B}$ et $\overline{C}$ les évènements contraires des précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Première méthode}
 
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre, dans l'ordre alphabétique de leur prénom,  \textbf{une boule puis la remettre dans le sachet}. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$, notée $p(A)$, et la probabilité conditionnelle  de l'évènement $B$ sachant que $\overline{A}$ est réalisé, notée $p_{\overline{A}}(B)$. 
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :
		
\begin{center}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\TR{$A$}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
  		{	\TR{$B$}
           \pstree{\TR{$\overline{B}$}}
           		{
           \TR{$C$}  \TR{$\overline{C}$}
                 } 
  		}
}
\end{center} 

		\item Calculer $p(B)$ et $p(C)$. 
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og l'aubergiste offre le dîner \fg{} ? 
	\end{enumerate} 
\item  \textbf{Deuxième méthode}

\medskip
 
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre,  dans l'ordre alphabétique de leur prénom, \textbf{une boule sans la remettre dans le sachet}. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $A,~B$ et $C$.
		 
Calculer la probabilité de l'évènement \og  l'aubergiste offre le diner \fg.
	\end{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi Corinne préfère la première méthode.
 
Quelle est la méthode la plus favorable à l'aubergiste ? 
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{l c l} 
\emph{Initialisation} &:& Affecter à N la valeur $0$.\\ 
&&Affecter à U la valeur $10$.\\ 
Traitement& :& Tant que $U \leqslant 100$\\ 
&& \begin{tabular}{|l l}
\hspace{0.4cm}&Affecter à N la valeur N + 1.\\
\hspace{0.4cm}&Affecter à U la valeur 2U - 5.\\
\end{tabular}\\ 
Sortie&:& Afficher N.\\
\end{tabular}
\end{center}
 
Faire fonctionner cet algorithme en complétant certaines des cases du tableau de l'annexe 2.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = 2u_{n} - 5$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On veut démontrer, pour tout nombre entier naturel $n$, l'égalité $\left(E_{n}\right)$ : 

\[u_{n} = 5 \times 2^n + 5\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un nombre entier naturel. Montrer que si l'égalité $\left(E_{k}\right)$ est vraie, alors l'égalité $\left(E_{k+1}\right)$ est vraie. 
		\item Que reste-t-il à vérifier pour démontrer que,  pour tout nombre entier naturel $n,~u_{n} = 5 \times 2^n + 5$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On cherche la plus petite valeur $n_{0}$ de $n$ telle que $u_{n} > \np{1000}$. 

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment modifier l'algorithme de la partie A pour obtenir cette valeur $n_{0}$. 
\item Déterminer cette valeur $n_{0}$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie :}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(24,14)
\psline(0,13)(24,13)
\psline(2,5.1)(7.3,5.1)(8.55,7.75)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2,5.1)(7.3,5.1)(8.55,7.75)(5.9,11)
\uput[u](0.5,13){\texttt{h}} \uput[u](5.9,11){\texttt{s}} \uput[d](2,5.1){\texttt{a}} \uput[d](7.3,5.1){\texttt{b}} \uput[r](8.55,7.75){\texttt{c}} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{landscape}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=5cm,yunit=1cm}

\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.2,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,11)
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[l](0,11){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-0.2+0.2}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,11)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(2.2,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{2}{10 2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{2}{0.1 2.71828 x 2 mul exp mul}
\end{pspicture}

\vspace{1cm} 

\textbf{Exercice 4 }

\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-1}
initialisation&\multicolumn{11}{c}{~}\\ \cline{1-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&N&&\multicolumn{9}{c}{~}\\ \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&U&&\multicolumn{9}{c}{~}\\ \hline
traitement&&\small étape 1&\small étape 2&\small étape 3& \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&N&&&&&&&&&&\\ \cline{2-12}
\multicolumn{1}{c|}{~}&U&&&&&&&&&&\\ \hline
sortie&&\multicolumn{10}{|c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Polynésie juin 2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2010 
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 17 septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\17 septembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un groupe de chercheurs étudie l'élimination d'un médicament dans le sang. Pour cela, on a injecté ce médicament par intraveineuse à un patient volontaire. On a fait une première mesure à un instant que l'on appelle instant initial. À partir de cet instant initial on a mesuré pendant 24 heures la concentration en gramme par litre $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$ de médicament restant dans le sang du patient. Pour les 12~premières heures, on a ainsi obtenu la courbe suivante :

\bigskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(16,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.1)(16,1.25)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{12}{0.5 x mul 1.2 add 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[d](14,0.02){$t$ le temps en heure}
\rput(4.5,1.25){La concentration en gramme par litre $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On répondra aux questions du 1. par simple lecture graphique. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$, la concentration du produit dans le sang du patient à l'instant initial? 
		\item Que devient cette concentration au bout de 2 heures? 
		\item Pour que la personne ait le droit de conduire, il faut que la concentration de médicament dans le sang soit inférieure à $0,4~\left(\text{g.L}^{-1}\right)$. À partir de combien de temps après l'instant initial la personne peut-elle alors prendre le volant?
	\end{enumerate} 
\item On admet que l'on peut modéliser cette situation par la fonction $f$. Si $t$ mesure le temps en heure, la concentration $f(t)$ à l'instant $t$ est donnée par la formule : 

\[f(t) = (0,5t + 1,2)\text{e}^{-0,4t},~ \text{pour tout}~ t~ \text{élément de}~ [0~;~24].\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce modèle, retrouver les résultats des deux questions 1. a. et 1. b. 
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$.
		 
Vérifier que, pour tout $t$ de [0~;~24], $f'(t) = (- 0,2 t + 0,02)\text{e}^{-0,4t}$. 
		\item La fonction $f$ est-elle décroissante sur [0~;~24] ? Justifier. 
		\item En utilisant ce modèle et à l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d'heures après l'instant initial, la concentration devient inférieure à $0,06~\left(\text{g.L}^{-1}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On s'est aperçu que 35\,\% des personnes qui entraient dans un magasin de chaussures étaient des hommes. D'autre part, parmi les personnes qui entrent dans ce magasin, 40\,\% des femmes et 55\,\% des hommes ont fait au moins un achat.

\medskip
 
On interroge au hasard une personne à la sortie du magasin.

\medskip
 
On note $A$ l'évènement : \og la personne interrogée a fait au moins un achat \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
 
On note $F$ l'évènement : \og la personne interrogée est une femme \fg{} et $\overline{F}$ évènement contraire de $F$.
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilité donné ci-dessous.

\medskip
\psset{nodesep=1.75pt}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}}
	  { 
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$}}
	  {
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}  
	  }
	
}
\end{center}
 
\medskip

\item Déterminer la valeur de $p(A)$.
 \item Sachant qu'elle n'a fait aucun achat, quelle est la probabilité que la personne interrogée soit un homme ? 

\emph{On arrondira au centième.} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On considère la suite $v$ de terme général $v_{n}$ définie par :
 
\[v_{0} = \np{1000}~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~  v_{n+ 1} = v_{n} \times 1,005 + 30.\]
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l c l|}\hline 
Entrées&:&Deux nombres entiers S et N\\ 
Traitement& :&\multicolumn{1}{|l|}{Pour K allant de 1 à N}\\
&& \multicolumn{1}{|l|}{Donner à S la valeur S $\times 1,005$}\\ 
Afficher&:&	 S\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{1}$ et donner une valeur arrondie au millième de $v_{4}$. 
\item Faire fonctionner cet algorithme pour S = \np{1000} et N = 4. Dans l'affichage final arrondir le résultat au millième. 
\item Transformer l'algorithme proposé afin qu'il affiche en sortie finale $v_{4}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On place \np{1000}~\euro{} sur un livret qui rapporte 0,5\,\% par mois à intérêts composés. Chaque fin de mois, on y verse la somme de 30~\euro. Ce livret est bloqué pour 5~ans ce qui signifie que, sur cette période, il est donc impossible de retirer de l'argent.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'à la fin du premier mois, la somme présente sur le livret est égale à \np{1035}~\euro. 
\item Donner un algorithme qui permet d'afficher en sortie finale la somme présente sur ce livret au bout d'une année.
 
\emph{On ne demande pas de calculer cette somme.} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Deux dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie.\\
On laissera apparents les traits de construction. Aucune autre justification n'est demandée.}
 
\medskip
  
Des piquets de même hauteur et régulièrement espacés sont plantés sur l'un des bords d'une route rectiligne. Dans le dessin ci-dessous, on a représenté ces piquets en perspective parallèle par les segments [A$_{1}$B$_{1}$], [A$_{2}$B$_{2}$], [A$_{3}$B$_{3}$] et [A$_{4}$B$_{4}$].

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,6)
\psline(0.7,0.4)(7.2,3.6)
\psline(4.9,0)(10.4,2.8)
\psline(2.3,1.2)(2.3,2.5)\uput[ul](2.3,1.2){A$_{1}$}\uput[ul](2.3,2.5){B$_{1}$}
\psline(3.6,1.8)(3.6,3.2)\uput[ul](3.6,1.8){A$_{2}$}\uput[ul](3.6,3.2){B$_{2}$}
\psline(4.9,2.5)(4.9,3.9)\uput[ul](4.9,2.5){A$_{3}$}\uput[ul](4.9,3.9){B$_{3}$}
\psline(6.2,3.1)(6.2,4.6)\uput[ul](6.2,3.1){A$_{4}$}\uput[ul](6.2,4.6){B$_{4}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip 

Un lampadaire représenté par le segment [LS] est disposé sur l'autre bord de la route conformément au dessin en perspective parallèle donné en \textbf{annexe 1}.

\medskip
 
Tracer en \textbf{annexe 1} l'ombre sur le sol de chacun des quatre piquets du lampadaire. La source lumineuse est située au point S. On repassera les ombres des piquets en couleur.

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
  
On dessine la même route en perspective centrale sur le dessin donné en \textbf{annexe 2}, les plans frontaux étant perpendiculaires à la route. On a représenté le premier et le troisième piquet par les segments $\left[\texttt{a}_{1}\texttt{b}_{1}\right]$ et $\left[\texttt{a}_{3}\texttt{b}_{3}\right]$. Les points $\texttt{a}_{1},~\texttt{b}_{1},~\texttt{a}_{3}$ et $\texttt{b}_{3}$ sont les images respectives par la perspective centrale des points A$_{1}$,~ B$_{1}$, A$_{3}$ et B$_{3}$.
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite principal F. 
\item Tracer la ligne d'horizon ($\delta$). 
\item Dessiner en \textbf{annexe 2} les images des deuxième et quatrième piquets. 
\end{enumerate}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 (à compléter et à rendre avec la copie)\\
Exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(14,8)
\psline(0.3,0.5)(9,4.8)
\psline(5.8,0)(13.3,3.7)
\psline(2.3,1.5)(2.3,3.4)\uput[ul](2.3,1.5){A$_{1}$}\uput[ul](2.3,3.4){B$_{1}$}
\psline(4.1,2.4)(4.1,4.3)\uput[ul](4.1,2.4){A$_{2}$}\uput[ul](4.1,4.3){B$_{2}$}
\psline(5.9,3.3)(5.9,5.2)\uput[ul](5.9,3.3){A$_{3}$}\uput[ul](5.9,5.2){B$_{3}$}
\psline(7.8,4.2)(7.8,6.1)\uput[ul](7.8,4.2){A$_{4}$}\uput[ul](7.8,6.1){B$_{4}$}
\psline(10.5,2.3)(10.5,7.05)\uput[ul](10.5,2.3){L}\uput[ul](10.5,7.05){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{landscape}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 (à compléter et à rendre avec la copie)\\
Exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(21,10)
\psline(2,1.7)(7.3,6.3)
\psline(7.2,0)(8.6,5.9)
\psline(3.3,2.85)(3.3,6.2)\uput[ul](3.3,2.85){$\texttt{a}_{1}$}\uput[ul](3.3,6.2){$\texttt{b}_{1}$}
\psline(6,5.25)(6,7)\uput[ul](6,5.25){$\texttt{a}_{3}$}\uput[ul](6,7){$\texttt{b}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole septembre 2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie novembre 2010 
\hypertarget{Caledonie}{}

\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\large\decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
Épreuve de spécialité - novembre 2010\\
Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip
 
Un Centre Culturel propose, pour l'année, différentes sortes de spectacles :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 24 spectacles de théâtre,
\item[$\bullet~~$] 12 spectacles de musique, 
\item[$\bullet~~$] 4 spectacles de danse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Afin de recevoir davantage de public pour certaines manifestations, 25\,\% des spectacles de théâtre, 50\,\% des spectacles de musique et un seul spectacle de danse ont lieu sous chapiteau. Les autres spectacles ont lieu dans le Centre Culturel.
 
Une personne choisit au hasard un spectacle parmi les 40 spectacles programmés.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] On note T l'événement \og Le spectacle choisi est un spectacle de théâtre \fg.
\item[] On note M l'événement \og Le spectacle choisi est un spectacle de musique \fg. 
\item[] On note D l'événement \og Le spectacle choisi est un spectacle de danse \fg. 
\item[] On note P l'événement \og Le spectacle choisi a lieu sous chapiteau \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Compléter l'arbre de probabilité illustrant cette situation sur la feuille annexe 1 à remettre avec la copie.

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, une seule des réponses \textbf{A, B} ou \textbf{C} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse n'enlève aucun point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.}

 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que la personne choisisse un spectacle de musique est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{A~:~~}X@{B~:~~}X@{C~:~~}X} 
$\dfrac{1}{3}$&0,3&$\dfrac{1}{40}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La personne ayant choisi un spectacle de théâtre, la probabilité de ne pas être sous chapiteau est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{A~:~~}X@{B~:~~}X@{C~:~~}X}  
0,75& 	$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{18}{40}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La probabilité que la personne choisisse un spectacle de musique sous chapiteau est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{A~:~~}X@{B~:~~}X@{C~:~~}X}  
0,5&$\dfrac{3}{20}$& 0,12\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité d'avoir choisi un spectacle sous chapiteau est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{A~:~~}X@{B~:~~}X@{C~:~~}X} 
$\dfrac{76}{100}$&0,33&$\dfrac{13}{40}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Le spectacle ayant lieu sous chapiteau, la probabilité d'avoir choisi un spectacle de musique est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{A~:~~}X@{B~:~~}X@{C~:~~}X}  
$\dfrac{6}{13}$& 0,5&$\dfrac{13}{40}$\\
\end{tabularx}

\medskip
  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Pierre affirme: \og Pour tout entier naturel $n$, les nombres $n^2 -1$ et $n^3 - n$ sont multiples de 3 \fg.

Jules dit \og quel que soit l'entier naturel $n,~2n^2 + n + 1$ n'est pas divisible par 3 \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pierre et Jules réalisent le tableau suivant que \textbf{vous recopierez et complèterez sur votre copie :}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$ 	&$n^2$	& $n^3$	& $n^2 - 1$	&$n^3 - n$	& $2n^2 + n + 1$\\ \hline 
1		&		&		&			&			&\\ \hline 
4		&		&		&			&			&\\ \hline 
5		&		&		&			&			&\\ \hline 
10		&		&		&			&			&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item La seule lecture du tableau précédent permet-elle de dire:
 
	\begin{enumerate}
		\item que l'affirmation de Pierre est exacte ? 
		\item que l'affirmation de Jules est exacte ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau suivant et le compléter en utilisant les propriétés des congruences. Les résultats donnés seront \textbf{des entiers naturels inférieurs ou égaux à 2}.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X||}}\hline
Si $n \equiv  0  \mod 3$& Si $n \equiv 1 \mod 3$ &Si $n \equiv 2 \mod 3$\\ \hline 
$n^2 \equiv ...\mod 3$ &$n^2 \equiv ...\mod 3$ &$n^2 \equiv ... \mod 3$\\ \hline  
$n^2 - 1 \equiv ...\mod 3$ &$n^2 - 1 \equiv ...\mod 3$ &$n^2 - 1 \equiv ... \mod 3$\\ \hline  
$n^3 \equiv ... \mod 3$ &$n^3 \equiv ...\mod 3$ &$n^3 \equiv \mod 3$\\ \hline  
$n^3 - n \equiv ...\mod 3$ &$n^3 - n \equiv ...\mod 3$ &$n^3 - n \equiv ... \mod 3$\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
		\item  Que peut-on en conclure pour l'affirmation de Pierre?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
En utilisant une méthode similaire à celle développée dans la question 3., démontrer que la propriété énoncée par Jules est exacte. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

On considère la fonction exponentielle définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$, notée $f$ et définie par $f(x) = \text{e}^x$. La représentation graphique $\mathcal{C}$ de cette fonction dans un repère est donnée sur la feuille \textbf{annexe 2}.

\medskip
 
\textbf{Les points à placer et les tracés demandés seront effectués sur l'annexe 2 à remettre avec la copie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer sur la courbe $\mathcal{C}$ le point A$_{0}$ d'abscisse 1. Quelles sont ses coordonnées (donner les valeurs exactes) ? 
\item  On a placé sur l'axe des abscisses les points B$_{0}$, B$_{0}$, B$_{0}$2, B$_{0}$ d'abscisses respectives $0,~ - 1,~ - 2,~- 3$. En appliquant l'algorithme suivant, compléter le dessin :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] \emph{Initialisation} : affecter à $i$ la valeur $0$.

 A$_{0}$ est le point défini dans la question 1. 
\item[] \emph{Traitement} : tant que $i \leqslant  3$ tracer le segment $\left[\text{A}_{i}\text{B}_{i}\right]$,

Affecter à $i$ la valeur $i + 1$.
 
Placer le point A$_{i}(1 - i~;~f(1- i))$\fg.
 
(\emph{Aide} : on trouvera comme point A$_{1}$ le point de coordonnées (0~;~1) \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item  Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$_{0}$. Démontrer que cette tangente est la droite (A$_{0}$B$_{0}$). 
\item  Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$_{1}$. Démontrer que cette tangente est la droite (A$_{1}$B$_{1}$).

\medskip
 
On admettra que cette propriété démontrée dans les questions 3. et 4. pour les droites (A$_{0}$B$_{0}$) et (A$_{1}$B$_{1}$) est encore vraie pour toute droite (A$_{n}$B$_{n}$), c'est-à-dire que la droite (A$_{n}$B$_{n}$) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$_{n}$, où A$_{n}$ est le point obtenu par application de l'algorithme précédent et B$_{n}$ est le point de l'axe des abscisses d'abscisse $- n,~n$ étant un entier naturel quelconque, 
\item Tracer avec précision la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $- 3$. Justifier la construction. 
\item Dans cette question on donnera la \textbf{valeur exacte} des résultats, 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point I(1~;~0). 
		\item On note $a_{0}$ l'aire du triangle A$_{0}$B$_{0}$I. Calculer $a_{0}$. 
		\item On note $a_{1}$ et $a_{2}$ les aires respectives des triangles A$_{1}$B$_{1}$B$_{0}$ et A$_{2}$B$_{2}$B$_{1}$. Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.
	\end{enumerate}
	 
(Aide : L'aire d'un triangle rectangle est égale à $\dfrac{b \times c}{2}$, $b$ et $c$ désignant les longueurs des côtés de  l'angle droit.) 
\item  Pour tout entier $n \geqslant 1$, on désigne par $a_{n}$ l'aire du triangle A$_{n}$B$_{n}$B$_{n-1}$. On admet que $\left(a_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier cette affirmation pour $a_{0},~a_{1}$ et $a_{2}$ ; montrer que $q = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		\item Déterminer l'expression du terme général $a_{n}$ de cette suite. Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1}

(à remettre avec la copie)
 
\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1}

\textbf{1} \end{flushleft} 

\vspace{0.5cm}
\psset{treesep=1cm,levelsep=3cm,nodesep=1.75pt}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{T}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{P}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{\mathrm{P}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{M}\taput{\ldots}}
	  {
		  \TR{P}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{\mathrm{P}}$}\tbput{\ldots} 
	  }
	\pstree{\TR{D}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{P}\taput{\ldots}
		   \TR{$\overline{\mathrm{P}}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}

\newpage 

\textbf{\large Annexe 2}

(à remettre avec la copie)
 
\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}\end{flushleft}


\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.3cm,yunit=2.6cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.25)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,0)(3,3)
\uput[d](3,0){$x$}
\uput[l](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](0,0){B$_{0}$} \uput[ur](-1,0){B$_{1}$} 
\uput[ur](-2,0){B$_{2}$} \uput[ur](-3,0){B$_{3}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{1.1}{2.71828 x exp}
\multido{\n=-6.00+0.25}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.000+0.125}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](-6,\n)(3,\n)}
 \end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Nouvelle-Calédonie novembre 2010
\end{document}