\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{rotating} \usepackage{diagbox} \usepackage{graphicx} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès & Claire Lacaze \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small L'année 2011} \lhead{A. P{}. M. E. P{}.} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat L mathématiques-informatique~\decofourright\\[7pt] L'intégrale de mai à novembre 2011}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Amerique du Nord}{Amérique du Nord mai 2011} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Liban}{Liban mai 2011} \dotfill 7 \medskip %\hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers juin 2011} \dotfill 14 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2011} \dotfill 11 \medskip \hyperlink{La Reunion}{La Réunion juin 2011} \dotfill 16 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2011} \dotfill 20 \medskip \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2011} \dotfill 23 \medskip \hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 2011} \dotfill 27 \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011} \dotfill 30 \medskip } \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2009 \hypertarget{Amerique du Nord}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{3 juin 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat Mathématiques--informatique~\decofourright\\[7pt]Amérique du Nord 3 juin 2011}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points} \medskip Thomas Malthus (1766-1834) est un économiste britannique connu pour ses travaux concernant les rapports entre population et production de denrées alimentaires. L'objectif de cet exercice est d'étudier le modèle établi par cet économiste dans son ouvrage \emph{Essai sur le principe des populations} publié en 1798. \bigskip \textbf{PARTIE 1 : Étude de l'évolution d'une population} \medskip Un pays possède, en 1800, une population de 20 millions d'habitants (soit \np{20000}~milliers). Pour tout entier positif $n$, on note $u_{n}$ la population, en milliers, de ce pays en l'année $1800 + n$. On a donc $u_{0} = \np{20000}$. Au regard des années précédentes, Malthus émet l'hypothèse qu'à partir de l'année 1800 la population de ce pays va augmenter de 1\,\% par an. \begin{enumerate} \item Justifier que $u_{1} = \np{20200}$. Que représente cette valeur ? \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la population obtenue en 1900 selon ce modèle. Arrondir ce résultat au million d'habitants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2 : Étude de l'évolution de la production de denrées alimentaires} \medskip Malthus constate qu'en 1800 ce pays peut nourrir une population de 25 millions d'habitants. Pour tout entier positif $n$, on note $v_{n}$ le nombre de personnes en milliers que peut nourrir ce pays en l'année $1800 + n$. On a donc $v_{0} = \np{25000}$. Il fait l'hypothèse que grâce au progrès technique, chaque année le pays peut nourrir \np{10000} personnes supplémentaires. \begin{enumerate} \item Justifier que $v_{1} = \np{25010}$. Que représente ce résultat ? \item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Combien de personnes peuvent-être nourries en 1900 selon ce modèle ? Que remarque-t-on ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 3 : Étude conjointe des deux suites} \medskip Dans la feuille de calcul donnée en \textbf{annexe 1}, les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sont arrondis au dixième. \begin{enumerate} \item Quelle formule peut-on inscrire dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les autres termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item Quelle formule peut-on inscrire dans la cellule D3 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les autres termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item Compléter les cellules de C24 à C28 et les cellules D24 à D28 par leurs valeurs. \item Selon les modèles de Malthus, à partir de quelle année ce pays ne serait plus en capacité de nourrir l'ensemble de sa population ? \item Appliquée à l'Angleterre, la modélisation de Malthus ci-dessus s'est révélée inexacte. Pour quelles raisons, selon vous, la famine attendue ne s'est-elle heureusement pas produite ? \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} \medskip Dans un lycée, on a demandé à chacun des 700~élèves de premières et terminales le nombre de livres lus dans l'année. Les résultats sont donnés sous forme d'un histogramme en \textbf{annexe 2}. Dans un second temps, on a demandé aux élèves le nombre de films vus au cinéma dans l'année. Les résultats sont consignés en annexe 3. \bigskip \textbf{PARTIE 1 : Étude du nombre de livres lus dans l'année} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les \og plus gros lecteurs \fg{} (ceux qui ont lu 10 livres ou plus), quel est le pourcentage d'élèves de série littéraire ? Arrondir à 1 \,\%. \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'élèves de série L interrogés? \item Parmi les élèves de série L, quel est le pourcentage des élèves qui ont lu au plus 4 livres ? \end{enumerate} \item Dans l'ensemble des élèves interrogés, quel est le pourcentage d'élèves de série L qui sont \og petits lecteurs\fg (ceux lisant entre 0 et 4 livres) ? Arrondir à 1\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2 : Étude du nombre de films vus au cinéma dans l'année} \medskip La moyenne de cette série est $\mu \approx 8,6$, l'écart-type est $\sigma \approx 3,5$ (arrondis au dixième). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle $[\mu -2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$. \item Vérifier que environ 95\,\% des valeurs appartiennent à l'intervalle \mbox{$[\mu -2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$}. \end{enumerate} \item Donner la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 3 : Comparaison du nombre de films vus dans l'année par les élèves de deux classes} \medskip On considère deux classes de première L de cet établissement dont l'une est composée d'élèves ayant choisi l'option \og cinéma \fg. Ces classes, appelées A et B, ont le même effectif : 32 élèves. On a représenté en annexe 4 les diagrammes en boîte du nombre de films vus au cinéma dans l'année pour chacune de ces classes, en plaçant aux extrémités le maximum et le minimum. Chaque assertion suivante est-elles vraie ou fausse ? Expliquer votre réponse. \begin{enumerate} \item Dans la classe A environ la moitié des élèves a vu moins de 9 films au cinéma. \item Dans la classe B environ huit élèves ont vu 10 films ou plus au cinéma. \item Au moins la moitié des élèves de la classe A a vu plus de films au cinéma que les trois-quarts des élèves de la classe B. \item Environ le quart des élèves de la classe B a vu moins de films au cinéma que chaque élève de la classe A. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie} \vspace{2,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D\\ \hline 1&Année&Indice $n$&Suite $u$&Suite $v$\\ \hline 2&1800&0 &\np{20000,0}&\np{25000}\\ \hline 3&1801&1 &\np{20200,0}&\np{25010}\\ \hline 4&1802&2 &\np{20402,0}&\np{25020}\\ \hline 5&1803&3 &\np{20606,0}&\np{25030}\\ \hline 6&1804&4 &\np{20812,1}&\np{25040}\\ \hline 7&1805&5 &\np{21020,2}&\np{25050}\\ \hline 8&1806&6 &\np{21230,4}&\np{25060}\\ \hline 9&1807&7 &\np{21442,7}&\np{25070}\\ \hline 10&1808&8 &\np{21657,1}&\np{25080}\\ \hline 11&1809&9 &\np{21873,7}&\np{25090}\\ \hline 12&1810&10 &\np{22092,4}&\np{25100}\\ \hline 13&1811&11 &\np{22313,4}&\np{25110}\\ \hline 14&1812&12 &\np{22536,5}&\np{25120}\\ \hline 15&1813&13 &\np{22761,9}&\np{25130}\\ \hline 16&1814&14 &\np{22989,5}&\np{25140}\\ \hline 17&1815&15 &\np{23219,4}&\np{25150}\\ \hline 18&1816&16 &\np{23451,6}&\np{25160}\\ \hline 19&1817&17 &\np{23686,1}&\np{25170}\\ \hline 20&1818&18 &\np{23922,9}&\np{25180}\\ \hline 21&1819&19 &\np{24162,2}&\np{25190}\\ \hline 22&1820&20 &\np{24403,8}&\np{25200}\\ \hline 23&1821&21 &\np{24647,8}&\np{25210}\\ \hline 24&1822&22 & &\\ \hline 25&1823&23 & &\\ \hline 26&1824&24 & &\\ \hline 27&1825&25 & &\\ \hline 28&1826&26 & &\\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{Ces ANNEXES ne sont PAS à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 2} \end{flushleft} \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.08cm} \begin{pspicture}(12,130) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(12,130) \multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.5,0)(1.5,50) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.5,0)(5.5,100) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](8.5,0)(9.5,100) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.5,0)(2.5,50) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.5,0)(6.5,100) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](9.5,0)(10.5,50) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,0)(3.5,120) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.5,0)(7.5,50) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.5,0)(11.5,80) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](12.5,0)(13,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](12.5,7)(13,12) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](12.5,14)(13,19) \uput[r](13,2.5){série L} \uput[r](13,9.5){série ES} \uput[r](13,16.5){série S} \uput[d](2,0){0 à 4 livres} \uput[d](6,0){5 à 9 livres} \uput[d](10,0){10 à 14 livres} \end{pspicture} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 3} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{19}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}} \hline Nombre de films &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6& 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18\\ \hline Nombres d'élèves &5 &10 &15 &30 &30 &30 &60 &67 &90 &85 &70 &60 &60 &40 &20 &10 &5 &8 &5\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 4} \end{flushleft} \psset{xunit=0.7cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(1,-2)(17,2) \psline[arrowsize=2pt 3]{->}(1,0)(17,0) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(17,0) \psline(3,1)(9,1)\psline(14,1)(17,1)\psframe(9,0.75)(14,1.25)\psline(11,0.75)(11,1.25)\rput(1.5,1.75){Classe A} \psline(1,-1)(5,-1)\psline(10,-1)(17,-1)\psframe(5,-1.25)(10,-0.75)\psline(8,-1.25)(8,-0.75)\rput(1.5,-1.75){Classe B} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Liban juin 2011 \hypertarget{Liban}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique } \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{27 mai 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques-informatique Liban 27 mai 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} Les tulipes \hfill 9 points} \medskip Un jardinier a deux lots de bulbes de tulipes A et B de provenance différentes. Il a pesé un à un tous les bulbes. \medskip \begin{enumerate} \item Sur la feuille \textbf{annexe 1} est tracé le diagramme en boîte qui résume les résultats des masses en grammes des bulbes du lot A. \begin{enumerate} \item À partir de ce diagramme, donner les valeurs des 1\up{er} et 3\up{e} quartiles, de la médiane et des extremums. \item Estimer le pourcentage de bulbes dont la masse est supérieure ou égale à 40~g. \item Donner l'intervalle interquartile et donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \item Pour le lot B, voici le tableau des effectifs : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline masse &20&25&30&35&40&45&50&55&60\\ \hline nombre de bulbes&10&14&22&25&18&12&8&6&5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la masse moyenne au gramme près des bulbes du lot B. \item Déterminer la médiane, les premier et troisième quartiles. \item Sur l'\textbf{annexe 1} disposer le diagramme en boîte du lot B. \item Lequel des deux lots semble le mieux calibré ? Justifier votre réponse. \item Quel est le pourcentage de bulbes dont la masse est strictement comprise entre 25 et 55~g ? (résultat arrondi à 1\,\% près) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} La collecte du verre \hfill 11 points} \medskip Deux villes X et Y organisent à partir du 1\up{er} janvier 2000, la récupération du verre usagé. Pour $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ la quantité de verre récupéré, en tonnes, au cours de l'année $(2000 + n)$ par la ville X et $v_{n}$ la quantité de verre récupéré, en tonnes, au cours de l'année $(2000 + n)$ par la ville Y. Le tableau en \textbf{annexe 2} obtenu à l'aide d'une feuille automatisée de calculs donne certains résultats sur ces deux suites. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas géométrique. \item Expliquer pourquoi la suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique et préciser sa raison. \item Calculer $u_{15}$ ; que représente ce nombre ? \item On souhaite faire figurer dans les cellules E2 à E11 les quantités de verre collecté depuis l'année 2000 par la ville X. Pour cela, déterminer : \begin{enumerate} \item la formule à inscrire dans la cellule E4 ; \item l'opération à réaliser une fois cette formule inscrite. \end{enumerate} \end{enumerate} \item Chaque année la quantité de verre récupéré par la ville Y augmente de 10\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$. \item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser la raison. \item On se propose d'obtenir les valeurs de $v_{1}$ à $v_{9}$ à l'aide d'une seule formule écrite dans la cellule D3, puis recopiée vers le bas. Déterminer cette formule. \end{enumerate} \item Sur le graphique de la feuille \textbf{annexe 2} sont représentés les premiers termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ; sur le m\^eme graphique, placer les premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire par lecture graphique à partir de quelle année la collecte dans la ville Y dépassera-t-elle celle de la ville X ? \item \begin{enumerate} \item À partir de quelle année la collecte de la ville X dépassera-t-elle les \mbox{700 tonnes} ? \item À l'aide de la calculatrice déterminer l'année à partir de laquelle la collecte de la ville Y dépassera les 700~tonnes ? \end{enumerate} \item Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse. (Justifier vos réponses) \begin{enumerate} \item Première affirmation : \og De 2000 à 2002 la quantité de verre récupéré par la ville Y a augmenté de 20\,\%. \fg \item Deuxième affirmation : \og Entre 2000 et 2009, la quantité de verre récupéré par la ville X a augmenté de 60\,\%. \fg \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)} \vspace{2.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1 :} À compléter, en suivant les consignes de la question 2. c. \end{flushleft} \vspace{2.5cm} \textbf{Diagramme en boîte} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.114cm,yunit=0.57cm} \begin{pspicture}(5,0)(110,12) \multido{\n=5+5}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=orange](5,\n)(110,\n)} \psline[linewidth=1.5pt](10,2)(10,4)\psline[linewidth=1.5pt](100,2)(100,4) \psline[linewidth=1.5pt](10,3)(40,3)\psline[linewidth=1.5pt](70,3)(100,3) \psframe[linewidth=1.5pt](40,2)(70,4)\psline[linewidth=1.5pt](55,2)(55,4)\rput(55,4.5){Lot A} \multido{\n=5+5}{22}{\uput[d](\n,1){\n}} \rput(22.5,-1){Masses en grammes des bulbes} \end{pspicture} \newpage \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)} \vspace{2.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \bigskip Feuille automatisée de calcul : \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année &$n$&$u_{n}$&$v_{n}$ &\\ \hline 2&2000 &0 &300 &250 &300\\ \hline 3&2001 &1 &320 & &620\\ \hline 4&2002 &2 &340 & &\\ \hline 5&2003 &3 &360 & &\\ \hline 6&2004 &4 &380 & &\\ \hline 7&2005 &5 &400 & &\\ \hline 8&2006 &6 &420 & &\\ \hline 9&2007 &7 &440 & &\\ \hline 10&2008 &8 &460 & &\\ \hline 11&2009 &9 &480 & &\\ \hline 12& & & & &\\ \hline \end{tabularx} \vspace{2.cm} \begin{flushleft} Représentation graphique des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$. À compléter, en suivant les consignes de la question 3. \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.007cm} \begin{pspicture}(17,1200) \uput[u](17,0){$x$}\uput[r](0,1200){$y$} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(17,1200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100](0,0)(17,1200) %\psdots[dotstyle=square*](0,250)(1,275)(2,302.5)(3,332.75)(4,366.03)(5,402.63)(6,442.89)(7,487.18)(8,535.9)(9,589.49)(10,648.44)(11,713.28)(12,784.61)(13,863.07)(14,949.37)(15,1044.3)(16,1148.7) \rput(12,700){Ville Y} \psplot[plotstyle=dots,plotpoints=17]{0}{16}{1.1 x exp 250 mul} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole juin 2011 \hypertarget{Metropole}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat Première L} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 17 juin 2011} \thispagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique~\decofourright\\[7pt]Métropole 17 juin 2011}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 8 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de naissances (en milliers) par an en France métropolitaine entre 1901 et 1920. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1901 &1902 &1903 &1904 &1905 &1906 &1907 & 1908& 1909 &1910\\ \hline Nombre de naissances en milliers&917,1 &904,4 &884,5& 877,1 &865,6 &864,7 &829,6 &849,0 &824,7 &828,1\\ \hline Année &1911 &1912 & 1913 &1914 &1915 &1916 &1917 &1918 &1919 &1920\\ \hline Nombre de naissances en milliers&793,5 &801,6&795,9&757,9& 483,0&384,7&412,7& 472,8&507,0&838,1\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le nombre moyen de naissances par an en France métropolitaine entre 1901 et 1920. Arrondir la réponse à la centaine. \item Donner la médiane, les premier et troisième quartiles de cette série statistique. \item Construire dans le repère donné en annexe A le diagramme en boîte de cette série statistique. Les \og moustaches \fg{} du diagramme représenteront les valeurs extrêmes de la série. \end{enumerate} \item Sur l'annexe, le diagramme en boîte de la série statistique du nombre annuel de naissances en milliers) entre 1981 et 2000 est déjà représenté. Les \og moustaches \fg{} du diagramme représentent les valeurs extrêmes de la série. \begin{enumerate} \item Lire et donner la la médiane, les premier et troisième quartiles de la série statistique du nombre annuel de naissances (en milliers) entre 1981 et 2000. \item Déterminer l'étendue de cette série. \end{enumerate} \item Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse. \begin{enumerate} \item Entre 1981 et 2000, le nombre annuel de naissances est supérieur à \np{760000} pendant plus de 16 ans. \item L'étendue du nombre annuel de naissances est plus de 5 fois plus élevée entre 1901 et 1920 qu'entre 1981 et 2000. \end{enumerate} \item Quel contexte historique pourrait justifier la différence d'étendue entre les deux séries ? \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 12 points} \medskip Alexandre envisage d'entreprendre l'ascension d'un sommet au Népal. Il a choisi l'\og Island Peak \fg, (aussi nommé \og Imja Tse \fg{} en népalais) sur les recommandations de son club d'alpinisme. Le budget nécessaire pour cette ascension est de \np{5000} \euro. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Au 1\up{er} janvier 1991, les parents d'Alexandre avaient placé \np{2000}~\euro{} (soit \np{13119,14} francs à l'époque) sur un compte épargne à son nom, à intérêts composés, rémunéré à 4,7\,\% par an. \begin{enumerate} \item Calculer le montant en euro, de l'épargne disponible au 1\up{er} janvier 1992. \item Alexandre utilise un tableur pour faire apparaître en colonne C (voir copie de la feuille de calcul en annexe A) le montant de l'épargne disponible, en euro, au 1\up{er} janvier de chaque année, entre 1991 et 2011. Parmi les formules suivantes choisir celle(s) qui, inscrite(s) dans la cellule C3, permet(tent) de compléter la colonne C par recopie vers le bas. \smallskip \fbox{=C2+4,7}\qquad\fbox{=C2*\$D\$2}\qquad\fbox{=C2*D2}\qquad\fbox{=2000*\$D2}\qquad\fbox{=C2*1,047} \item Pour $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ le montant de l'épargne disponible au 1\up{er} janvier de l'année $1991 + n$. On a $u_{0}= \np{2000}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier la réponse. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Alexandre disposera-t-il de la somme nécessaire pour entreprendre son ascension au cours de l'année 2011 ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En annexe B, se trouve la carte de la région montagneuse autour du sommet \og Island Peak \fg. Le sommet est matérialisé par le point S et est situé à \np{6189}~mètres d'altitude. \begin{enumerate} \item Hachurer, sur la carte de l'annexe, la zone montagneuse située à une altitude comprise entre \np{5200}~mètres et \np{5400}~mètres. \item Lors de sa dernière étape. Alexandre envisage de partir du point A situé à \np{5220}~mètre d'altitude pour arriver au sommet S suivant le trajet indiqué sur la carte. \begin{enumerate} \item À partir de la lecture de la carte, calculer l'élévation moyenne en mètres par kilomètre parcouru, lors de sa dernière étape. Arrondir le résultat à l'unité. \item Dans le repère donné en annexe C, le point A a pour coordonnées (0~;~\np{5220}). Tracer dans ce repère un profil du parcours d'Alexandre. (Dans cette question le candidat est invité à laisser toute trace de recherche même non aboutie.) \end{enumerate} \item La pression en oxygène à \np{5220}~mètres d'altitude est de 78,8~mmHg (millimètres de mercure). Cette pression diminue en moyenne de $0,01$~mmHg lorsque l'altitude augmente d'un mètre. Pour $n$ entier naturel, on note $v_{n}$ la pression en oxygène, en mmHg, à l'altitude $\np{5220} + n$~mètres. \begin{enumerate} \item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Quelle est la pression en oxygène au sommet de l'\og Island Peak \fg{} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe A (à rendre avec la copie)\\ Annexe de l'exercice 1} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(0,-0.5)(12,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-0.5)(12,3) %\psframe(5.6,1)(10.4,1.8)\psline(0.7,1.3)(0.7,1.5)\psline(0.7,1.4)(5.6,1.4) %\psline(9.5,1)(9.5,1.8)\psline(10.4,1.4)(11.4,1.4)\psline(11.4,1.3)(11.4,1.5) \multido{\n=1+2,\na=400+100}{6}{\uput[d](\n,0){\na}} \end{pspicture*} Nombre annuel de naissances en milliers entre 1901 et 1920 \vspace{1.5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(0,-0.5)(12,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-0.5)(12,3) \psframe(7.8,1)(8.4,1.8)\psline(7.4,1.3)(7.4,1.5)\psline(7.4,1.4)(7.8,1.4) \psline(8.3,1)(8.3,1.8)\psline(8.4,1.4)(9.1,1.4)\psline(9.1,1.3)(9.1,1.5) \multido{\n=1+2,\na=400+100}{6}{\uput[d](\n,0){\na}} \end{pspicture*} Nombre annuel de naissances en milliers entre 1981 et 2010 \vspace{1cm} \textbf{Annexe de l'exercice 2, partie A} \medskip \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D\\ \hline 1 &Année &Indice $n$&$u_{n}$&\\ \hline 2 &1991 &0 &\np{2000} &1,047\\ \hline 3 &1992 &1 &\np{2094} &\\ \hline 4 &1993 &2 & &\\ \hline 5 &1994 &3 & &\\ \hline 6 &1995 &4 & &\\ \hline 7 &1996 &5 & &\\ \hline 8 &1997 &6 & &\\ \hline 9 &1998 &7 & &\\ \hline 10 &1999 &8 & &\\ \hline 11 &2000 &9 & &\\ \hline 12 &2001 &10 & &\\ \hline 13 &2002 &11 & &\\ \hline 14 &2003 &12 & &\\ \hline 15 &2004 &13 & &\\ \hline 16 &2005 &14 & &\\ \hline 17 &2006 &15 & &\\ \hline 18 &2007 &16 & &\\ \hline 19 &2008 &17 & &\\ \hline 20 &2009 &18 & &\\ \hline 21 &2010 &19 & &\\ \hline 22 &2011 &20 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe B (à rendre avec la copie)\\ Annexe de l'exercice 2, partie B} \vspace{2,5cm} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(20,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridcolor=orange] \psline[linewidth=1.5pt]{|-|}(1,1)(6,1) \uput[u](3.5,1){1 km} \psframe(20,18) \psline[linewidth=2pt,linecolor=olive](0,6)(0.5,6.08) \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](1.9,5.9)(2,6)(1.6,7)(2,7.6)(2.2,7.65)(2.4,8)(2.7,8.3)(3,8.1)(3.3,8)(3.65,7)(4,6.2)(5,5.3)(6,4)(6.8,3)(7.4,2.65)(8,2.75)(8.25,2.8)(8.6,2.5)(8.5,2)(9,1.25)(9.4,0.35)(9.75,0)%5 200 Ouest \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](13.5,0)(13.7,1)(14,1.1)(15,1.9)(15.6,3)(16,4)(17,5) (17.2,6)(17.4,7)(17,8)(16.5,9)(16,10)(15.5,10.6)(15,11)(14,12)(13.2,13)(13,13.3)(12.6,14)(12.5,15)(12.35,15.8)(13,15.7)(13.6,15.6)(13.75,16)%5 200 Est \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](15.2,16.5)(16,16.1)(17,14.7)(18,13.9)(19,13)(20,12.5)%5 200 Est \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](0,11)(0.45,11.15)(0.9,11.3)%5 400m \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](2.3,11)(3,10.8)(4,9.25)(4.5,8.7)(5,7.1)(6,6.1)(6.5,5.5)(7,4)(7.5,3.85)(8,4)(8.5,4.15)(9,4)(10,2.7)(10.3,1)(11,0.45)(11.5,0.2)(12,0.8)(11.6,2)(12,2.6)(13,2.95)(13.6,3)(14,3.75)(14.2,4)(14.1,4.85)(14.3,5)(15,5.25)(15.6,5.25)(15.9,5.8)(15.25,7)(15,8.15)(13.8,9)(13.15,10)(12,11.25)(11.3,12)(11,13)(10.8,14)(10,14.1)(9,14.3)(8.5,14.6)(8,14)(7,13.8)(6,14.75)(5,14.5)(4,15.5)(4.6,16)(5,16.7)(5.5,17.2)(6,18)%5 400m \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](0,12.6)(0.4,12.7)(0.8,12.6) \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](2,12.2)(3,12.3)(4,11.5)(5,10)(6,9)(7,6.3)(7.7,5.15)(8,5)(9,4.7)(10,4)(10.5,3)(11,3.1)(12,4)(12.8,4.75)(12.8,5.2)(13.3,6)(13.25,7)(13,8)(12,9.6)(11,11)(10,11.85)(9.8,12.3)(9.95,13.2)(9.8,13.4)(8,13.1)(7,12.6)(6,12.65)(5,13)(4,13.5)(3,14.3)(2.8,15.5)(3,16.3)(3.2,17)(4,18)%5 600 m \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](16.85,18)(17.15,16.25)(18,16.05)%5 400 m haut droit \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](19.5,15.8)(19.75,15.7)(20,15.5)%5 400 m haut droit \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](5.2,11.6)(5.5,11)(6,10.8)(6.3,10)(7,9.3)(7.35,9)(7.5,8.6) \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](7.85,7)(8,6.3)(8.8,6)(9,5.7)(10,4.6)(10.3,4.3)(11.4,5)(11.6,5.6)(12,6.85)(11.5,7.6)(11.65,8)(11,9.05)(10.3,9.75)(10.2,10.9)(9,11.8)(8,12)(7,11.9)(6.2,11.65)(5.2,11.6)%5800 centre \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](7.1,10.8)(7.7,10)(8,9.8)(8.4,9)(8.7,8.3) \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](9.2,6.8)(9.6,6)(10,5.3)(10.2,5.25)(10.4,5.5)(10.3,6)(10,6.4)(9.8,7.25)(10,8)(10.1,8.25)(9.8,9)(9.6,10)(9.4,10.65)(8.8,10.85)(8.15,10.45)(7.3,10.85)(7.1,10.8)%6000 m centre \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](0,13.6)(0.4,13.63)(0.8,13.65) \pscurve[linewidth=2pt,linecolor=olive](2,13.35)(3,13.15)(2,14.2)(1.7,14.75)(1.8,15.45)(1.6,16)(2,16.9)(2.5,17.7)(3,18)%5 800 m \rput{-8}(1.2,5.8){\np{5200}~m}\rput{-10}(1.6,11.3){\np{5400}~m}\rput{-15}(1.5,12.6){\np{5600}~m}\rput{-15}(1.5,13.5){\np{5800}~m}\rput{-72}(9,7.6){\np{6000}~m}\rput{-83}(7.8,7.8){\np{5800}~m}\rput{20}(14.5,16.5){\np{5200}~m}\rput(18.8,16){\np{5400}~m} %\rput{-30}(5.8,10.8){\np{5800}~m} \uput[u](9.1,9){\np{6189}~m} \psdots(1,9)(9,9) \psline[linewidth=1.3pt](1,9)(9,9)\uput[d](1,9){A}\uput[d](9,9){S} \psline[linewidth=5pt]{->}(19,11.5)(16.6,12.5)\uput[ul](16.6,12.5){\Large N} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe C (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \textbf{Annexe de l'exercice 2, partie B suite} \vspace{1cm} \psset{xunit=3.5cm,yunit=0.015cm} \begin{pspicture}(-0.2,-50)(3.2,1050) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=5200,Dy=200]{->}(0,0)(-0.2,-50)(3.2,1050) \uput[d](2.8,-25){kilomètres parcourus} \uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,1045){$y$} \uput[u](0,1070){Altitude en mètres}\uput[dr](0,0){0} \uput[ul](-0.06,0){$\np{5200}$} \multido{\n=0.0+0.2}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)} \multido{\n=0+50}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(3,\n)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2011 \hypertarget{La Reunion}{} \lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général La Réunion \decofourright}}\\[7pt] {\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2011}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice} 1 \hfill 8 points} \medskip Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes. \medskip L'Office National de la Chasse (ONC) établit régulièrement des statistiques sur la faune pour permettre un suivi des populations de gibier et proposer des prélèvements raisonnables. Ci-dessous on donne la série ordonnée des poids (exprimés en kilogrammes), des $52$ chamois femelles faisant partie d'un groupe de 112~chamois d'une zone de montagne. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 8,5 &9 &9,1 &9,5 &10 &10 &10 &11 &12 &12 &12 &12,3 &12,8\\ \hline 12,8 &13,1 &14 &14 &14,7 &15 &15 &15 &16 &16 &16,5 &16,5 &16,5\\ \hline 16,9 &17 &17,5 &18 &18,2 &18,5 &18,5 &19 &19,6 &20 &20 &20 &20\\ \hline 20 &20,5 &21 &21 &21 &21,6 &22 &22,5 &23 &24,5 &24,5 &30 &31\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la proportion de chamois femelles dans le groupe, en pourcentage arrondi au dixième. \item Pour la série des chamois femelles ci-dessus, on donne, arrondis au dixième, l'écart type $\sigma= 5,1$ et la moyenne $m = 16,9$. Peut-on affirmer qu'au moins 68\,\% des chamois femelles ont un poids compris dans l' intervalle $[m - \sigma~;~m + \sigma]$ ? \item Déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de cette série. \item Sur l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, a été dessiné le diagramme en boîte de la série des poids des 60 chamois mâles du même groupe. Construire, au-dessous, le diagramme en boîte de la série des poids des chamois femelles. \item L'ONC autorisera le prélèvement des chamois dont le poids est strictement supérieur à $28$~kg si le nombre total de chamois prélevés est inférieur à $20$. Cette autorisation sera-t-elle donnée ? Justifier la réponse. \item Déterminer la bonne réponse à l'affirmation suivante et rédiger les calculs nécessaires à la justification. \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Le poids moyen des $112$~chamois étant égal à environ $19,2$ kg, le poids moyen des chamois mâles est égal à environ ...& $18,05$ kg &$21,2$ kg &$21,5$ kg\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 12 points} \medskip On s'intéresse au profil du fond de l'océan entre deux îles. Pour cela, on fixe une corde de $200$~m entre les deux îles (voir schéma ci-dessous). On admet que cette corde est un segment de droite d'extrémités A et B. Une bouée est placée au milieu C de la corde. \medskip \psset{unit=0.8cm} \begin{center} \begin{pspicture}(13,4) \pscurve(0.2,0.3)(0.5,0)(1,0.15)(2,0.7)(3,1.2)(3.4,1.8)(3.1,3)(2.9,3.1)(2,2.4)(1,1.45)(0.2,0.3) \pscurve(9.8,3.3)(10,2)(10,1.8)(11,1.6)(12,0.4)(12.7,1.7)(12.5,2.5)(12,3)(11,3.5)(10,3.4)(9.8,3.3) \psline[linewidth=1pt](3.4,1.8)(10,1.8) \uput[ur](3.4,1.8){A}\uput[ul](10,1.8){B} \psdots(6.7,1.8) \uput[u](6.7,1.8){C} \end{pspicture} \end{center} La profondeur en C est égale à 100 m. Deux bateaux, partant de C, se dirigent, l'un vers A et l'autre vers B, en effectuant des mesures de la profondeur de l'eau tous les 10 m. Toutes les profondeurs sont arrondies au décimètre près. \smallskip \begin{enumerate} \item Étude des relevés du bateau allant de C vers B. Les relevés montrent que la profondeur entre C et B varie en diminuant, à chaque relevé, de $10$ mètres. On note $u_{0}$ la profondeur en C, puis $u_{1}$ la profondeur au premier relevé $10$~m plus loin vers B, et $u_{n}$ la profondeur au $n$-ième relevé, pour $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Donner son premier terme et sa raison. \item Le bateau s'arrête à $10$~m de B. Quel est l'indice correspondant au dernier relevé ? Quelle est alors la profondeur ? \end{enumerate} \item Étude des relevés du bateau allant de C vers A Les relevés montrent que la profondeur entre C et A varie en diminuant, à chaque relevé, de 45\,\%. Le bateau s'arrête à $10$~m de A. On note maintenant $v_{0}$ la profondeur en C, puis $v_{1}$ la profondeur au premier relevé $10$~m plus loin vers A, $v_{n}$ la profondeur au $n$-ième relevé, pour $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item Quelle est la profondeur mesurée au premier relevé ? Écrire le calcul effectué. \item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Donner son premier terme et sa raison. \end{enumerate} \item Création d'une feuille de calcul sur tableur. Pour calculer automatiquement les profondeurs on crée la feuille de calcul reproduite ci-dessous: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline &A & B &C &D &E &F\\ \hline 1 & \multicolumn{2}{|c|}{Relevés de C vers B}& & \multicolumn{2}{|c|}{Relevés de C vers A}&\\ \hline 2 &\footnotesize Distance à C&\footnotesize Profondeur&&\footnotesize Distance à C &\footnotesize Profondeur&\\ \hline 3 &\footnotesize (en mètres)&\footnotesize en mètres&&\footnotesize (en mètres)&\footnotesize en mètres&\\ \hline 4 &0&100&&0&100&\\ \hline 5 &10&&&10&&\\ \hline 6 &20&&&20&&\\ \hline 7 &&&&&&\\ \hline 8 &&&&&&\\ \hline 9 &&&&&&\\ \hline 10 &&&&&&\\ \hline 11 &&&&&&\\ \hline 12 &&&&&&\\ \hline 13 &&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule peut-on placer dans la cellule B5 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item Écrire sur votre copie quelle formule, parmi les suivantes, on peut placer dans la cellule E5 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(v_{n}\right)$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $=\text{E}4*0,45$&$ =\text{E}\$4*0,55$&$ =\text{E}\$4*0,45$& =\text{E}4*0,55\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item Graphique de la profondeur entre les deux îles \begin{enumerate} \item Que représentent les points placés sur le graphique de l'annexe 2, page 6, à rendre avec la copie ? \item Calculer les profondeurs obtenues en allant de C vers A. On arrondira les résultats au dixième. \item Compléter le graphique, puis tracer le profil du fond de l'océan entre les deux îles. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 \qquad (À RENDRE AVEC LA COPIE)} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1, question 4} \end{flushleft} \begin{table}[h] \psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(5,-10)(42,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5] \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=5](5,0)(42,0)\psline[linewidth=1.5pt]{->}(41,0)(42,0) \psline(7,4)(13,4) \psline(28,4)(38,4) \psframe(13,3)(28,5) \psline(23,5)(23,3) \end{pspicture} \end{table} \vspace{2cm} \textbf{ANNEXE 2 \qquad (À RENDRE AVEC LA COPIE)} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2, question 4} \end{flushleft} \begin{table}[h] \psset{unit=0.075cm} \begin{pspicture}(-110,-110)(110,10) \multido{\n=-100+10}{21}{\psline[linestyle=dotted](\n,-110)(\n,10)} \multido{\n=-100+10}{12}{\psline[linestyle=dotted](-110,\n)(110,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=20](0,0)(110,10)(-110,-110) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(110,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-110) \psdots(0,-100)(10,-90)(20,-80)(30,-70)(40,-60)(50,-50)(60,-40)(70,-30)(80,-20)(90,-10)(100,0) \uput[ul](0,0){C}\uput[dr](100,0){B}\uput[dl](-100,0){A} \end{pspicture} \end{table} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%% fin La Reunion juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2011 \hypertarget{Polynesie}{} \lhead{\small BaccalauréŽat 1L mathématiques--informatique} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{7 juin 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat Mathématiques--informatique~\decofourright\\[7pt]Polynésie 7 juin 2011}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip Un journaliste veut écrire un article sur le niveau d'étude des personnes de 15 ans et plus, en France métropolitaine en 2007. Pour cela il récupère des données sur le site de l'INSEE reproduites en partie sur l'annexe~1 à l'aide d'un tableur. Il en a déduit les tableaux de pourcentages arrondis à 0,01\,\% près, reproduits dans les annexes 2 et 3. \medskip \textbf{PARTIE A \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage de personnes ayant le BEPC seul, parmi celles qui sont dans la tranche d'âge des \og 20 à 24 ans \fg{} ? \item Déterminer le pourcentage que représente des personnes de cinquante ans ou plus parmi celles qui ont un diplôme supérieur. \item Calculer le nombre de personnes âgées de 15 à 19 ans qui n'ont aucun diplôme ou un certificat d'étude primaire. \item Calculer le pourcentage des personnes de 25 à 49 ans qui ont un diplôme supérieur (arrondir à 0,01\,\%). \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Pour compléter la plage (B19 : B26) de l'annexe 2, le journaliste a inscrit une formule en B19 qu'il a recopiée jusqu'en B26 ; quelle formule a-t-il pu inscrire en B19 ? \item La formule contenue en D22 indique \fbox{~~ = D8 / D\$12} ; quel est le pourcentage qui va être lu en D22 ? Interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase. \item Lire et interpréter par une phrase ce que représente le pourcentage qui se trouve à l'intersection de la colonne \og 25 à 49 ans \fg{} et de la ligne \og Bac +2 \fg{} dans le tableau de l'annexe 3. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \vspace*{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \medskip Le 1\up{er} janvier 2006, la population d'un pays s'élevait à 30~millions d'habitants. Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants de ce pays sur 3 ans. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &1\up{er} janvier 2006&1\up{er} janvier 2007 &1\up{er} janvier 2008&1\up{er} janvier 2009\\ \hline \small Nombre d'habitants (en millions) &30,00 &31,80 &33,72 &35,75\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{PARTIE A \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item Effectuer une représentation graphique de ces données. On notera en abscisse les années et en ordonnées le nombre d'habitants. L'origine du repère sera prise au 1\up{er} janvier 2006 pour les abscisses, et 30~millions d'habitants pour les ordonnées; échelle : 2~cm pour une année, et 2~cm pour un million d' habitants. \item Quelle est l'augmentation du nombre d'habitants: \begin{enumerate} \item entre 2006 et 2007 ? \item entre 2007 et 2008 ? \item entre 2008 et 2009 ? \end{enumerate} \item Quel est le coefficient multiplicateur rendant compte de l'augmentation de la population : \begin{enumerate} \item entre 2006 et 2007 ? \item entre 2007 et 2008 ? \item entre 2008 et 2009 ? \item Expliquer pourquoi ces données laissent supposer que la croissance de la population est exponentielle. \item Calculer le pourcentage d'évolution de la population entre le 1\up{er} janvier 2006 et le 1\up{er} janvier 2009. \end{enumerate} \textbf{PARTIE B \hfill 5 points} \medskip On estime que l'augmentation de la population pour les dix années à venir sera de 6 \,\% par an. On note $P_{0}$ le nombre d'habitants en millions au 1\up{er} janvier 2009 ; on a donc $P_{0} = 35,75$. On note $P_{n}$ le nombre d'habitants en millions au 1\up{er} janvier $2009 + n$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs de $P_{1}$ et $P_{2}$ (arrondies au centième). \item Quelle est la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$ ? On justifiera la réponse. \item Donner une estimation du nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2014, prévue par ce modèle. \item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Selon ce modèle, à partir de quelle année peut-on estimer que la population dépassera 58~millions d'habitants ? \end{enumerate} \newpage \setlength\linewidth{15cm} \begin{center} \textbf{ANNEXES} \bigskip \footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.4cm}|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 1 : Effectifs par niveau de formation et tranche d'âge}\\ \hline 3&&&&&&&\\ \hline 4& 2007& 15 à 19 ans& 20 à 24 ans& 25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus&Ensem\-ble\\ \hline 5&Aucun diplôme ou certificat d'étude primaire&& \np{355586} &\np{3615506} &\np{4103709} &\np{6707939} &\np{14912123}\\ \hline 6 &BEPC seul &\np{64691} &\np{254567} &\np{1537131} &\np{1099841} &\np{768402} &\np{3724632}\\ \hline 7 &CAP, BEP ou équivalent& \np{97037} &\np{569746} &\np{5520683} &\np{3098478} &\np{1 256441} &\np{10542385}\\ \hline 8&Bac, brevet prof. ou équivalent &\np{24259} &\np{573787} &\np{3896952} &\np{1454629} &\np{861856}&\\ \hline 9 &Baccalauréat + 2 ans& 0 &\np{290934} &\np{3225811} &\np{934274} &\np{269979} &\np{4720998}\\ \hline 10 &Diplôme supérieur& 0 &\np{153549} &\np{3572206} &\np{1135320} &\np{519190} &\np{5380265}\\ \hline 11&En cours d'études initiales& \np{3727843} &\np{1842582} &\np{281447} &0 &0 &\np{5851872} \\ \hline 12&Total &\np{4043213} &\np{4040751} &\np{21649736} &\np{11826251} &\np{10383807} &\np{51943758}\\ \hline 13&\multicolumn{7}{|c}{}\\ \hline 15&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 2 : Pourcentages par tranches d'âge}\\ \hline 17&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 18&2007 &15 à 19 ans &20 à 24 ans &25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus&Ensemble\\ \hline 19&Aucun diplôme ou certificat d'étude primaire&3,20\,\% &8,80\,\% &16,70\,\% &34,70\,\% &64,60\,\% &28,71\,\%\\ \hline 20& BEPC seul &1,60\,\% &6,30\,\% &7,10\,\% &9,30\,\% &7,40\,\% &7,17\,\% \\ \hline 21&CAP, BEP ou équivalent &2,40\,\% &14,10\,\% &25,50\,\% &26,20\,\% &12,10\,\% &20,30\,\% \\ \hline 22&Bac, brevet prof. ou équivalent&0,60\,\% &14,20\,\% & &12,30\,\% &8,30\,\% &13,11 \,\%\\ \hline 23 &Baccalauréat + 2 ans &0,00\,\% &7,20\,\% &14,90\,\% &7,90\,\% &2,60\,\% &9,09\,\%\\ \hline 24&Diplôme supérieur &0,00\,\% &3,80\,\% &&9,60\,\% &5,00\,\% &10,36\,\%\\ \hline 25&En cours d'études initiales &92,20\,\% &45,60\,\% &1,30\,\% &0,00\,\% &0,00\,\% &11,27\,\% \\ \hline 26&Total &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% &100,00\,\% \\ \hline 27&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 28&\multicolumn{7}{|l|}{Annexe 3 : Pourcentages par niveau de formation}\\ \hline 30&\multicolumn{7}{|l|}{}\\ \hline 31&2007 &15 à 19 ans &20 à 24 ans &25 à 49 ans &50 à 64 ans &65 ans ou plus &Ensemble\\ \hline 32&Aucun diplôme ou certificat d'étude primaire&0,87\,\% &2,38\,\% &24,25\,\% &27,52\,\% &44,98\,\% &100,00\,\%\\ \hline 33&BEPC seul &1,74\,\% &6,83\,\% &41,27\,\% &29,53\,\% &20,63\,\% &100,00\,\%\\ \hline 34&CAP, BEP ou équivalent &0,92\,\% &5,40\,\% &52,37\,\% &29,39\,\% &11,92\,\% &100,00\,\%\\ \hline 35&Bac, brevet prof. ou équivalent&0,36\,\% &8,42\,\% &57,21\,\% &21,36\,\% &12,65\,\% &100,00\,\%\\ \hline 36& Baccalauréat + 2 ans &0,00\,\% &6,16\,\% &68,33\,\% &19,79\,\% &5,72\,\% &100,00\,\% \\ \hline 37&Diplôme supérieur &0,00\,\% &2,85\,\% &66,39\,\% &21,10\,\% &9,65\,\% &100,00\,\%\\ \hline 38&En cours d'études initiales &63,70\,\% &31,49\,\% &4,81\,\% &0,00\,\% &0,00\,\% &100,00\,\% \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2011 \hypertarget{Metropolesept}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat Première L} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 2011} \thispagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique~\decofourright\\[7pt]Métropole septembre 2011}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points} \bigskip \textbf{PARTIE 1 : Évolution du prix de l'immobilier à Paris de 1998 à 2008} \medskip Le tableau suivant indique le prix moyen, au mètre carré, d'un appartement de deux pièces à Paris. Ces données, relevées de décembre 1998 à décembre 2008, sont incomplètes. Il s'agit d'estimer le prix au mètre carré en décembre 2001 et en décembre 2005. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.3cm}|*{11}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Année} &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline \textbf{Prix au mètre carré (en \euro)} &\np{2300} &\np{2475} &\np{2850} &&\np{3350} &\np{3825} &\np{4325} &&\np{5500} &\np{6000} &\np{6575}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Sur l'annexe 1 sont représentées, par sept points, certaines données du tableau ci-dessus. Compléter le nuage de points pour les années 2006 et 2007. \item On suppose que l'évolution des prix est linéaire entre deux dates pour lesquelles le prix au mètre cané est connu. En déduire une courbe représentant le prix au mètre carré en fonction du temps sur l'intervalle [1998~;~2008]. \item Par interpolation linéaire, calculer une estimation du prix au mètre calTé en décembre 2001 et en décembre 2005. Retrouver graphiquement ces résultats. Laisser apparents les traits de construction. \item \begin{enumerate} \item Calculer l'augmentation absolue, en euros, du prix au mètre carré entre 1999 et 2000. \item Calculer le pourcentage d'augmentation du prix au mètre carré entre 1999 et 2000. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2 : Modélisation de l'évolution} \medskip On souhaite prévoir l'évolution des prix pour les années suivantes. Pour un entier positif $n$, on note $u_{n}$ le prix du mètre cané en euros à Paris en décembre de l'année $1998+n$. Le tableau ci-dessus donne les valeurs de $u_{n}$ pour les années 1998 à 2008. Ainsi $u_{0} = \np{2300}, u_{1} = \np{2475}$ et $u_{2} = \np{2850}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier votre réponse. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle géométrique ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_{0} = \np{2300}$ et de raison $q = 1,11$. \begin{enumerate} \item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Justifier que : $v_{3} = \np{3146}$. Calculer les valeurs, arrondies à l'unité, des termes $v_{6}$ et $v_{10}$. \end{enumerate} \item On choisit de modéliser l'évolution annuelle du prix du mètre carré en euros à Paris, à partir de décembre 1998, par la suite $\left(v_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item À quel pourcentage d'augmentation annuelle des prix cette modélisation correspond-elle ? \item Comparer les valeurs $v_{6}$ et $v_{10}$ calculées précédemment aux données figurant dans le tableau de la partie 1. Que pensez-vous du modèle choisi ? \item En déduire une estimation du prix du mètre carré en euros à Paris en décembre 2013. \item Ce modèle vous semble-t-il réaliste pour les années 2009 et 2010 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points} \bigskip On a étudié le nombre d'années de retard des élèves en classe de troisième en France au cours de l'année 2007. Dans cette étude, le mot \og retard \fg{} sera pris au sens relatif : avoir un nombre d'années de retard égal à $- 1$ signifie avoir une année d'avance. Une partie des résultats est présentée dans le tableau donné en annexe 2, on y trouve également une aide à la lecture du tableau. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau donné en annexe 2. Calculer le nombre moyen d'années de retard des filles de troisième (arrondir au centième). \item On admet que le nombre moyen d'années de retard des garçons est de 0,43. Comparer les deux moyennes. \end{enumerate} \item Dans cette question, les pourcentages attendus sont arrondis à 1\,\%. \begin{enumerate} \item Sur l'ensemble des élèves de troisième, quel est le pourcentage de garçons qUI avaient exactement une année de retard en 2007 ? \item Parmi les élèves ayant deux années de retard en 2007, quel était le pourcentage de filles? \item Parmi les filles, quel était le pourcentage d'élèves ayant deux années de retard en 2007 ? \end{enumerate} \item Vous trouverez en annexe 3 un tableau extrait d'une feuille de calcul. Il complète les données de l'annexe 2 en calculant des pourcentages par ligne. La plage de valeurs B8-F10 est au format pourcentage arrondi à 0,1 %. \begin{enumerate} \item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule B 8 ? \item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule DIO ? \end{enumerate} \item On désire placer une formule dans la cellule B8 pour obtenir automatiquement, par recopie vers le bas et vers la droite, tous les pourcentages inscrits dans la feuille de calcul de l'annexe 3. Pour obtenir ce résultat on propose les quatre formules suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \fbox{$= \text{B}3/\text{F}3$} & \fbox{$= \text{B}3/\$\text{F}\$3$} & \fbox{$= \text{B}3/\$\text{F}3$} & \fbox{$=\text{B}3/\text{F}\$3$}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Que devient chacune de ces formules lorsqu'elle est ainsi recopiée dans la cellule C9 ? \item Parmi les quatre propositions ci-dessus, quelle est la seule formule qui répond à la question? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.0026667cm} \begin{pspicture}(-0.75,-50)(11.666,5250) \multido{\n=0.0000+0.3333}{36}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,5250)} \multido{\n=0+125}{43}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(11.333,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1997,Dx=1,Oy=2000,Dy=250]{->}(0,0)(11.666,5250) \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](1,300)(2,475)(3,850)(5,1350)(6,1825)(7,2325)(11,4575) \uput[u](11,0){Temps}\uput[r](0,5125){Prix au mètre carré} \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXES à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{1cm} \emph{Aide à la lecture du tableau :\\ Par exemple, $\np{139003}$ garçons de troisième avaient une année de retard en $2007$.\\ La colonne $- 1$ correspond aux élèves de troisième qui avaient une année d'avance en 2007.} \end{flushleft} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'années de retard& $- 1$& 0& $1$& $2$&Total\\ \hline &&&&&\\ \hline Filles&\np{12386}&\np{250340}&&\np{17229}&\np{389005}\\ \hline Garçons&\np{12088}&&\np{139003}&\np{20851}&\\ \hline Total&&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}&\np{784974}\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 3} \end{flushleft} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & A& B &C&D&E&F\\ \hline 1& Nombre d'années de retard&$- 1$&0&1&2&Total\\ \hline 2&&&&&&\\ \hline 3&Filles&\np{12386}&\np{250340}&&\np{17229}&\np{389005}\\ \hline 4&Garçons&\np{12088}&&\np{139003}&\np{20851}&\\ \hline 5&Total&&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}&\np{784974}\\ \hline 6&&&&&&\\ \hline 7&\multicolumn{6}{l|}{Pourcentages (valeurs approchées)}\\ \hline 8&Filles&3,2\,\%&64,4\,\%&28,0\,\%&4,4\,\%&100,0\,\%\\ \hline 9&Garçons&3,0\,\%&56,6\,\%&35,1\,\%&5,3\,\%&100,0\,\%\\ \hline 10&Total&3,1\,\%&60,4\,\%&31,6\,\%&4,9\,\%&100,0\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2011 \hypertarget{AmduSud}{} \lhead{\small BaccalauréŽat 1\up{re} L mathŽématiques--informatique} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2011}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat Mathématiques--informatique~\decofourright\\[7pt]Amérique du Sud novembre 2011}} \vspace{0,25cm} \textbf{Les deux pages support de l'exercice 1 et celle de l'annexe sont à rendre avec la copie} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points} \medskip \textbf{PARTIE 1 : Évolution du prix de l'immobilier à Paris de 1998 à 2008} \medskip Le tableau suivant indique le prix moyen, au mètre carré, d'un appartement de deux pièces à Paris. Ces données, relevées de décembre 1998 à décembre 2008, sont incomplètes. Il s'agit d'estimer le prix au mètre carré en décembre 2001 et en décembre 2005. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Année&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008\\ \hline% Prix au mètre carré (en \euro)&\np{2300}&\np{2475}&\np{2850}&&\np{3350}&\np{3825}&\np{4325}&&\np{5500}&\np{6000}&\np{6575}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Sur l'annexe 1 sont représentées, par sept points, certaines données du tableau ci-dessus, compléter le nuage de points pour les années 2006 et 2007. \item On suppose que l'évolution des prix est linéaire entre deux dates pour lesquelles le prix au mètre carré est connu. En déduire une courbe représentant le prix au mètre carré en fonction du temps sur l'intervalle [1998~;~2008]. \item Par interpolation linéaire, calculer une estimation du prix au mètre carré en décembre 2001 et en décembre 2005, Retrouver graphiquement ces résultats. Laisser apparents les traits de construction. \item \begin{enumerate} \item Calculer l'augmentation absolue, en euros, du prix au mètre carré entre 1999 et 2000, \item Calculer le pourcentage d'augmentation du prix au mètre carré entre 1999 et 2000. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2 : Modélisation de l'évolution} \medskip On souhaite prévoir l'évolution des prix pour les années suivantes. Pour un entier positif $n$, on note $u_{n}$ le prix du mètre carré en euros à Paris en décembre de l'année $1998 + n$. Le tableau ci-dessus donne les valeurs de $u_{n}$ pour les années 1998 à 2008. Ainsi $u_{0} = \np{2300},\: u_{1} = \np{2475}$ et $u_{2} = \np{2850}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier votre réponse. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle géométrique? Justifier votre réponse, \end{enumerate} \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_{0} = \np{2300}$ et de raison $q = 1,11$. \begin{enumerate} \item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Justifier que : $v_{3} \approx \np{3146}$. Calculer les valeurs, arrondies à l'unité des termes $v_{6}$ et $v_{10}$. \end{enumerate} \item On choisit de modéliser l'évolution annuelle du prix du mètre cané en euros à Paris à partir de décembre 1998, par la suite $\left(v_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item À quel pourcentage d'augmentation annuelle des prix celle modélisation correspond-elle ? \item Comparer les valeurs $v_{6}$ et $v_{10}$ calculées précédemment aux données figurant dans le tableau de la partie 1. Que pensez-vous du modèle choisi ? \item En déduire une estimation du prix du mètre carré en euros à Paris en décembre 2013. \item Ce modèle vous semble-t-il réaliste pour les années 2009 et 2010 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points} \medskip On a étudié le nombre d'années de retard des élèves en classe de troisième en France au cours de l'année 2007. Dans cette étude, le mot \og retard \fg{} sera pris au sens relatif : avoir un nombre d'années de retard égal à $- 1$ signifie avoir une année d'avance. Une partie des résultats est présentée dans le tableau donné en \textbf{annexe 2}, on y trouve également une aide à la lecture du tableau. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 2}. \item Calculer le nombre moyen d'années de retard des filles de troisième (arrondir au centième). \item On admet que le nombre moyen d'années de retard des garçons est de $0,43$. Comparer les deux moyennes. \end{enumerate} \item Dans cette question, les pourcentages attendus sont arrondis à 1\,\%. \begin{enumerate} \item Sur l'ensemble des élèves de troisième, quel est le pourcentage de garçons qui avaient exactement une année de retard en 2007 ? \item Parmi les élèves ayant deux années de retard en 2007, quel était le pourcentage de filles ? \item Parmi les filles, quel était le pourcentage d'élèves ayant deux années de retard en 2007 ? \end{enumerate} \item Vous trouverez en \textbf{annexe 3} un tableau extrait d'une feuille de calcul. Il complète les données de l'annexe 2 en calculant des pourcentages par ligne. La plage de valeurs B8-F10 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. \begin{enumerate} \item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule B8 ? \item Que signifie la valeur inscrite dans la cellule D10 ? \end{enumerate} \item On désire placer une formule dans la cellule B8 pour obtenir automatiquement, par recopie vers le bas et vers la droite, tous les pourcentages inscrits dans la feuille de calcul de l'\textbf{annexe 3}. Pour obtenir ce résultat on propose les quatre formules suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \fbox{= B3/F3}& \fbox{=B3/\$F\$3}& \fbox{=B3/\$F3}& \fbox{=B3/F\$3}\\ \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Que devient chacune de ces formules lorsqu'elle est ainsi recopiée dans la cellule C9 ? \item Parmi les quatre propositions ci-dessus, quelle est la seule formule qui répond à la question? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXES à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \emph{Aide à la lecture du tableau :\\ Par exemple, $\np{139003}$ garçons de troisième avaient une année de retard en $2007$.\\ La colonne $- 1$ correspond aux élèves de troisième qui avaient une année d'avance en 2007.} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'années de retard &$- 1$ & 0 &1 &2 &Total \\ \hline Filles &\np{12386} &\np{250340}& &\np{17229} &\np{389005}\\ \hline Garçons &\np{12088} & &\np{139003}&\np{20851} &\\ \hline Total & &\np{474367}&\np{248053}&\np{38080} &\np{784974}\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 3} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Nombre d'années de retard&$- 1$&0 &1 &2 & Total\\ \hline 2 & & & & & &\\ \hline 3 &Filles &\np{12386} &\np{250340}& &\np{17229} &\np{389005}\\ \hline 4 &Garçons&\np{12088} & &\np{139003}&\np{20851} &\\ \hline 5 &Total & &\np{474367}&\np{248053}&\np{38080} &\np{784974}\\ \hline 6 & & &&&&\\ \hline 7 &\multicolumn{6}{|l|}{Pourcentages (valeurs approchées)}\\ \hline 8 &Filles &3,2\,\% &64,4\,\% &28,0\,\% &5,4\,\% &100,0\,\%\\ \hline 9 &Garçons&3,0\,\% &56,6\,\% &35,1\,\% &5,3\,\% &100,0\,\%\\ \hline 10 &Total &3,1\,\% &60,4\,\% &31,6\,\% &4,9\,\% &100,0\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2011 \hypertarget{Caledonienov}{} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques-informatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright \\[7pt]novembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points} \medskip En janvier 2003, la chute d'une météorite près de Petiteville a provoqué dans la campagne environnante une pollution des sols par une substance toxique : la kryptonite. La présence de cette substance dans les sols se mesure en mg/m$^2$ (milligramme par mètre carré). \medskip Immédiatement après l'accident, une carte de pollution a été dressée. On l'a reproduite en \textbf{annexe 1}. \medskip \begin{enumerate} \item La législation interdit la culture des sols si le taux de kryptonite est supérieur à 20 mg/m$^2$. Hachurer sur l'\textbf{annexe 1} la zone où la culture était interdite en janvier 2003. \item Trois sites, A, B et C, ont fait l'objet d'un suivi régulier depuis 2003. Le graphique ci-dessous représente le relevé de pollution de ces trois sites en janvier de chaque année depuis 2003. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(9.5,60) \psaxes[Dy=10](0,0)(9,0)(0,60) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,60)} \multido{\n=0+10}{7}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(9,\n)} \psdots(6.8,54) \psdots[dotstyle=square*](6.8,51)\psdots[dotstyle=triangle*](6.8,48)- \uput[r](7,54){Site C} \uput[r](7,51){Site B} \uput[r](7,48){Site A} \psdots(0,54)(1,48.5)(2,43)(3,40)(4,35.5)(5,33.5)(6,30)(7,27)(8,25.5) \psdots[dotstyle=square*](0,32)(1,28.5)(2,27)(3,25)(4,22.5)(5,20.5)(6,18)(7,17)(8,15.5) \psdots[dotstyle=triangle*](0,18)(1,16.5)(2,15)(3,14)(4,12.5)(5,11)(6,10)(7,9.5)(8,8.5) \psline(0,54)(1,48.5)(2,43)(3,40)(4,35.5)(5,33.5)(6,30)(7,27)(8,25.5) \psline(0,32)(1,28.5)(2,27)(3,25)(4,22.5)(5,20.5)(6,18)(7,17)(8,15.5) \psline(0,18)(1,16.5)(2,15)(3,14)(4,12.5)(5,11)(6,10)(7,9.5)(8,8.5) \uput[d](4.5,-4.75){Années écoulées depuis janvier 2003} \rput{90}(-1,30){Taux de pollution $\left(\text{en mg par m}^2\right)$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Préciser à quel point (points numérotés de 1 à 3) de la carte correspond chacun des sites. \item En janvier de quelle année le site B a-t-il été rouvert à la culture? \item En janvier de quelle année la pollution du site C est-elle descendue en dessous de la pollution initiale du site B ? \item La décroissance de la pollution sur le site C est-elle linéaire? \end{enumerate} 3. Les données du site A ont été rassemblées dans la colonne C de la feuille de calcul ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1&&& \multicolumn{2}{|c|}{Site A}&\multicolumn{2}{|c|}{Site C}\\ \hline 2& \footnotesize Année &\footnotesize Années &\footnotesize Pollution &\scriptsize Taux d'évolution &\footnotesize Pollution &\scriptsize Taux d'évolution\\ \hline 3 &\footnotesize (janvier) &\footnotesize écoulées &\footnotesize (en mg/m2) &\footnotesize (pourcen\-tage) &\footnotesize (en mg/m2) &$- 9$\,\%\\ \hline 4 &2003 &0 &18,1 &&54,0&\\ \hline 5 &2004 &1 &16,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 6 &2005 &2 &15,0 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 7 &2006 &3 &13,7 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 8 &2007 &4 &12,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 9 &2008 &5 &11,4 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 10 &2009 &6 &10,4 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 11& 2010 &7 &9,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 12 &2011 &8 &8,6 &$- 9$\,\%&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip (Les colonnes D et F sont au format pourcentage arrondi à l'unité) \begin{enumerate} \item Quelle formule a-t-on pu saisir en D5 et copier vers le bas jusqu'en D12 pour calculer les taux d'évolution annuels de la pollution sur le site A ? \item La décroissance de la pollution sur le site A est-elle linéaire ? Justifier. \end{enumerate} \item La pollution sur le site C était de 54 mg/m$^2$ en janvier 2003. On modélise la pollution sur ce site en supposant que le taux de pollution a diminué chaque année de 9\,\%. On note $C_{n}$ la pollution en mg/m$^2$ que prévoit le modèle au bout de $n$ années écoulées. On a ainsi $C_{0} = 54$. \begin{enumerate} \item Calculer $C_{1}$ (arrondir au dixième). \item Quelle est la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ ? \item Parmi les formules suivantes, quelle est celle que l'on peut placer en E5 et recopier vers le bas jusqu'en E12 pour calculer les valeurs de la suite $\left(C_{n}\right)$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} \fbox{$=\text{E}4*(1+\text{F}3)$}& \fbox{$=\text{E}4*(1+\$\text{F}3$}& \fbox{$=\text{E}4*(1+\text{F}\$3)$}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \item On admet que $C_{n} = 54 \times 0,91^n$ pour tout entier $n$. Quel taux de pollution donne le modèle pour le site C en janvier 2011 ? Quel taux de pollution donne le graphique pour le site C en janvier 2011 (à une unité près) ? Les deux valeurs vous semblent-elles proches? \item En utilisant votre calculatrice, déterminez en quelle année le site C sera ouvert à la culture. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} \medskip Un référendum local est organisé à Petiteville pour choisir entre un projet X et un projet Y. Il y a \np{7500}~électeurs inscrits sur les listes électorales de Petiteville. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Parmi les inscrits, on distingue les votants et les abstentionnistes. Le taux de participation est le pourcentage des votants parmi les inscrits. Parmi les votes, on distingue les suffrages exprimés et les votes blancs ou nuls. D'après le compte-rendu du journal local : \og Le taux de participation a été de 56\,\%. Le projet X a été choisi avec \np{3000}~voix, c'est-à-dire exactement 75\,\% des suffrages exprimés \fg. Répondre aux questions suivantes en s'aidant de l'annexe 2 que l'on complètera au fur et à mesure et \textbf{que l'on rendra avec la copie}. \medskip \begin{enumerate} \item Quel a été le nombre de votants ? En déduire le nombre d'abstentions. \item Déterminer le nombre de suffrages exprimés. \item Compléter le reste de l'arbre de l'\textbf{annexe 2}. \item Quel pourcentage des inscrits représentent les personnes ayant voté pour le projet X ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Lors d'une enquête \og à la sortie des urnes \fg{} on a demandé leur âge à 50 personnes ayant voté pour le projet X, et 50 personnes ayant voté pour le projet Y. Groupe A : les 50 personnes interrogées ayant voté pour le projet X, Groupe B : les 50 personnes interrogées ayant voté pour le projet Y. Les âges des 50 personnes du groupe B sont donnés dans l'ordre croissant ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{25}{>{\tiny}X|}}\hline 25&28&31&32&33&33&37&41&41&42&43&45&45&45&46&46&46&48&49&51&51&54&54&54&55\\ \hline 55&55&57&58&59&59&63&65&67&68&70&70&70&73&75&75&77&78&79&81&83&83&86&88&95\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les diagrammes en boîtes correspondant à l'âge des personnes du groupe A et à l'âge de tous les inscrits ont été tracés sur l'\textbf{annexe 3}. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le minimum, le maximum, la médiane, le premier et le dernier quartile de la série des âges des personnes du groupe B. Tracer le diagramme en boîtes correspondant sur l'annexe 3. \item Justifier qu'au moins \np{5625}~personnes inscrites sur la liste électorale de Petiteville ont moins de $65$~ans. \item Justifier l'affirmation : \og Plus de la moitié des personnes du groupe B et moins de 25\,\% des personnes du groupe A ont un âge supérieur ou égal à 55 ans \fg. \item Donner l'âge maximum des 50 personnes du groupe A. Peut-on affirmer que les \np{3000} personnes ayant voté pour le projet X ont moins de 75 ans ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1 - Exercice 1 (à rendre avec la copie)} \bigskip Carte de pollution de janvier 2003 \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(13,9) %\psgrid \psframe(13,9) \pscurve(0.1,2)(1,2.9)(2,3.3)(3,3.75)(4,4.6)(3,5.7)(2,6.5)(1.3,7.7)(2,8.3)(3,8.55)(4,8.65)(5,8.7)(6,8.6)(7,8.55)(8,8,8.4)(9,7.8)(10,7)(11,6)(12,5)(12.8,4)(12.9,3.5)(12.5,2)(12,1.35)(11,0.9)(10,0.85)(9,1.1)(8,1.6)(7,1.9)(6,1.85)(5,1.6)(4,1.3)(3,1)(2,0.6)(1,0.4)(0.4,0.4)(0.2,1)(0.1,2) \pscurve(3.4,3)(4,3.65)(5,3.8)(5.9,4.4)(5.2,5.8)(6,6.55)(7,6.5)(8,6.3)(9,5.9)(10,5.1)(11,4.2)(11.7,2.8)(11,1.9)(10,1.7)(9,1.8)(8,2.4)(7,2.7)(6,2.8)(5,2.75)(4,2.6)(3.6,2.8)(3.4,3) \pscurve(5.1,3.3)(5.5,3.75)(6,3.8)(6.4,4.2)(6,5.4)(7,5.8)(8,5.5)(9,4.7)(10,4)(11,3.2)(11.1,2.8)(11,2.5)(10,2.2)(9,2.5)(8,3)(7,3.25)(6,3.18)(5.5,3.2)(5.1,3.3) \pscurve(6.6,5)(7,5.4)(8,5)(9,4.2)(10,3.7)(10.85,2.7)(10.6,2.5)(10,2.7)(9,3)(8,3.25)(7,3.7)(6.8,4)(6.6,5) \pscurve(7,4.6)(7.2,4.8)(8,4.45)(8.7,4)(9,3.8)(9.8,3.1)(9.4,3)(9,3.2)(8,3.5)(7.4,4)(7,4.6) \psdots(5.6,4.3)(7.5,4.3)(5.7,3.3) \rput(3.2,8.5){10} \rput(6.1,6.5){20} \rput(6.8,5.8){30} \rput(7,5.3){40} \rput(7.2,4.8){50} \end{pspicture} Les lignes de niveaux sont graduées en mg/m$^2$. L'astérisque * marque le lieu de la chute. \vspace{1cm} \textbf{Annexe 2 - Exercice 2 (partie A) (à rendre avec la copie)} \bigskip \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(17.5,6.5) \psframe(0,3.4)(3.4,4.6)\rput(1.7,4.25){Inscrits}\rput(1.7,3.65){\np{7500}} \psframe(4.6,5.1)(8,6.3)\rput(6.3,5.95){Abstentions} \psframe(9.3,3.5)(12.9,4.7)\rput(11,4.25){Blancs ou nuls} \psframe(4.6,1.7)(8.2,2.9)\rput(6.3,2.3){Votants} \psframe(14,1.7)(17.6,2.9)\rput(15.7,2.55){Projet X}\rput(15.7,1.95){\np{3000}} \psframe(9.3,0)(12.7,1.2)\rput(11,0.6){Projet Y} \psframe(9.3,1.7)(13.1,2.9)\rput(11.2,2.3){\small Suffrages exprimés} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{Annexe 3 - Exercice 2 (partie B) (à rendre avec la copie)} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(13.8,3.8) \psline(0,0)(13.8,0) \multido{\n=2.0+1.5,\na=20+10}{8}{\uput[d](\n,0){\na}} \psline(1.8,2.5)(3.7,2.5)\psline(1.8,2.2)(1.8,2.8) \psline(6.6,2.5)(9.7,2.5)\psline(9.7,2.2)(9.7,2.8) \psframe(3.7,2.2)(6.6,2.8)\psline(5.4,2.2)(5.4,2.8) \psline(1.8,3.4)(4.1,3.4)\psline(1.8,3.1)(1.8,3.7) \psline(8.2,3.4)(12.4,3.4)\psline(12.4,3.1)(12.4,3.7) \psframe(4.1,3.1)(8.2,3.7)\psline(6.1,3.1)(6.1,3.7) \rput(0,3.3){\scriptsize Ensemble} \rput(0,3.){\scriptsize des inscrits} \rput(0,2.4){Groupe A} \rput(0,1.4){Groupe B} \rput(6,-0.8){ \scriptsize Âges en années} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011 \end{document}