%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\pstEllipse}[5][]{% \psset{#1} \parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2005~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de mars à novembre 2005}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2005} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2005} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\ \hyperlink{Antilles-Guyane2}{Antilles-Guyane juin 2005} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane2} \\ \hyperlink{Asie}{ Asie juin 2005} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2005} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole juin 2005} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2005} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Liban}{Liban juin 2005} \dotfill \pageref{Liban} \\ \hyperlink{Polynesiejuin}{Polynésie juin 2005} \dotfill \pageref{Polynesiejuin} \\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillessept} \\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2005} \dotfill \pageref{Metropolesept} \\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie spécialité septembre 2005} \dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2005} \dotfill \pageref{Caledonienov} \\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2005} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage \newpage %%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2005 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{31 mars 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 31 mars 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuité de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$. \item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel $x_{0}$ de $[1~;~+ \infty[$, on note $\mathcal{A}(x_{0})$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_{0}$. On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $[1~;~+ \infty[$ est une primitive de $f$. \begin{enumerate} \item Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ? \item Soit $x_{0}$ un réel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant : \[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} \leqslant f(x_{0} + h).\] \item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant 1$ ? \item En déduire la dérivabilité en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre dérivé en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$. \item Conclure. \begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(2.5,5.2) \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828) \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668) \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574) \psplot[plotstyle=curve,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div} \uput[l](0,2.71828){e} \uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par I le point d'affixe $z_{\text{I}} =1$, par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 - 2 \text{i}$, par B le point d'affixe $-2 + 2\text{i}$ et par ($\mathcal{C}$) le cercle de diamètre [AB]. On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) et calculer son rayon. \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{3+9\text{i}}{4+2\text{i}}$. Écrire $z_{\text{D}}$ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle ($\mathcal{C}$). \item Sur le cercle ($\mathcal{C}$), on considère le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$, tel qu'une mesure en radians de $\left(\vect{\Omega\text{I}},~\vect{\Omega\text{E}}\right)$ est $\dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item Préciser le module et un argument de $z_{\text{E}} + \dfrac{1}{2}$. \item En déduire que $z_{\text{E}} = \dfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \dfrac{5\sqrt{2}}{4}\text{i}$. \end{enumerate} \item Soit $r$ l'application du plan P dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' + \dfrac{1}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(z + \dfrac{1}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de $r$ et ses éléments caractéristiques. \item Soit K le point d'affixe $z_{\text{K}} =2$. Déterminer par le calcul l'image de K par $r$. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{3 + 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5}.\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $x',~y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$. Démontrer que : \renewcommand\arraystretch{1.8} $\left\{\begin{array}{l c l} x' & = &\dfrac{3x + 4y + 1}{5}\\ y' & = &\dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\ \end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Quelle est la nature de l'application $f$ ? \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble D des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit réel. \item On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière $(x_{0}~;~y_{0})$ appartenant à $\Z^2$ de l'équation $4x - 3y = 2$. \item Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à $\Z^2$ de l'équation $4x -3y = 2$. \end{enumerate} \item On considère les points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ tels que $x = 1$ et $y \in \Z$. Le point $M' = f(M)$ a pour affixe $z'$. Déterminer les entiers $y$ tels que Re($z'$) et Im($z'$) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1~;~0~;~2), (1~;~1~;~4) et $(-1~;~1~;~1)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$. Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques. \item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ? \end{enumerate} \item Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$. Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I. Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$. \item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \dfrac{n^{10}}{2^n}$. On définit ainsi une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$. \medskip \begin{enumerate} \item Prouver, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'équivalence suivante : \[u_{n+1} \leqslant 0,95u_{n} \quad \text{ si et seulement si} \quad \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\] \item On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{10}.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation et la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$. \item Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ un unique nombre réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =1,9$. \item Déterminer l'entier naturel $n_{0}$ tel que $n_{0} - 1 \leqslant \alpha \leqslant n_{0}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 16, on a : \[\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir du rang 16. \item Que peut-on en déduire pour la suite ? \end{enumerate} \item En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 16, l'encadrement : \[0 \leqslant u_{n} \leqslant 0,95^{n -16} u_{16}.\] En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2005 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{AmeriqueNord}} \rfoot{\small 1\up{er} juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 1\up{er} juin 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.} \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0. \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives $- 2 +3\text{i},~- 3 - \text{i}$ et $2,08 + 1,98\text{i}$. Le triangle ABC est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} : isocèle et non rectangle &\textbf{b.~~} : rectangle et non isocèle\\ \textbf{c.~~} : rectangle et isocèle &\textbf{d.~~} : ni rectangle ni isocèle\end{tabularx} \item À tout nombre complexe $z \neq -2$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z' = \dfrac{z -4\text{i}}{z+2}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| =1$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} : un cercle de rayon 1 &\textbf{b.~~} : une droite\\ \textbf{c.~~} : une droite privée d'un point&\textbf{d.~~} : un cercle privé d'un point\\ \end{tabularx} \item Les notations sont les mêmes qu'à la question 2. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ est un réel est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} : un cercle &\textbf{b.~~} : une droite\\ \textbf{c.~~} : une droite privée d'un point &\textbf{d.~~} : un cercle privé d'un point\\ \end{tabularx} \item Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ &\textbf{b.~~} : $z' = \left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\ \textbf{c.~~} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$ &\textbf{d.~~} $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le graphique de l'annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]. Montrer que si $x \in [1 ~;~2]$ alors $f(x) \in [1~;~2]$. \item $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites définies sur $\N$ par : $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = f(u_{n})$. $v_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} = f(v_{n})$. \begin{enumerate} \item Le graphique donné en annexe représente la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ en laissant apparents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ? \item Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$. Pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} \leqslant v_{n}$. On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$. Pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} \leqslant u_{n+1}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n} + 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}$. En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n} - u_{n} \geqslant 0$ et $v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{4}\left(v_{n} - u_{n}\right)$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$. \item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent vers un même réel $\alpha$. Déterminer la valeur exacte de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[ f(x) = (x - 1)\left(2 - \text{e}^{-x}\right).\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x -2$ est asymptote à $\mathcal{C}$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = x\text{e}^{-x} +2\left(1 - \text{e}^{-x}\right)$. \item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) > 0$. \item Préciser la valeur de $f'(0)$, puis établir le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le point A de $\mathcal{C}$ où la tangente à $\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$. \item Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(3.1,4.1) \psaxes{->}(0,0)(-1,-1)(3,4) \psaxes(0,0)(-1,-1)(3,4) \uput[dl](0,0){O} \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(3,4) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3}{2 2.71828 x neg exp sub x 1 sub mul} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3. On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes). Un joueur fait une partie en deux étapes : Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu. Deuxième étape : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. \item[$\bullet~$] si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. \item[$\bullet~$] si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s). On définit les évènements suivants : $D_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg{}\hspace{1cm} $D_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg $D_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg{} \hspace{1cm} $G$ : \og la partie est gagnée \fg. \smallskip $A$ et $B$ étant deux évènements tels que $p(A) \neq 0$, on note $p_{A}(B)$ la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités $p_{D_{1}}(\text{G}),~ p_{D_{2}}(G)$, et $p_{D_{3}}(G)$ \item Montrer alors que $p(G) = \dfrac{23}{180}$. \end{enumerate} \item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé. \item Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction. Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB = 2, AC = $1 + \sqrt{5}$ et $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textsl{Démonstration de cours} : démontrer qu'il existe une seule similitude directe $S$ transformant B en A et A en C. \item Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de $S$. \end{enumerate} \item On appelle $\Omega$ le centre de $S$. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point $\Omega$. \item On note D l'image du point C par la similitude $S$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D. \item Montrer que CD $= 3+ \sqrt{5}$. \end{enumerate} \item Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD). \begin{enumerate} \item Expliquer la construction de l'image F du point E par $S$ et placer F sur la figure. \item Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textsl{Cette page sera remise avec la copie à la fin de l'épreuve}} \vspace{1cm} \textbf{Annexe : exercice 2} \vspace{1cm} \psset{unit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,2) \psgrid[subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,2) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(2,2) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(2,2) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x mul 1 add x 1 add div} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{Annexe : exercice de spécialité} \vspace{1cm} \begin{pspicture}(7,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-1,-1)(7,5) \pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(2,0)(0,3.236) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](0,3.236){C} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles -- Guyane juin 2005 \hypertarget{Antilles-Guyane2}{} \label{Antilles-Guyane2} \lfoot{\small{Antilles -- Guyane}} \rfoot{\small{juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles -- Guyane juin 2005~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$. Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$. Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de O associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z' = \dfrac{-1}{\overline{z}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ ; on appelle $E'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de $E'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. \item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $K'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de $K'$. \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$. $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$. En déduire que : $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|$. \item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du \textbf{a.}. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$. \item Démontrer alors que $(\np{2005})^{\np{2005}}\equiv 7\:\:(9)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n~ :$~ $ (10)^n\equiv 1~(9)$. \item On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : $N \equiv S\:\:(9)$. \item En déduire que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si $S$ est divisible par $9$. \end{enumerate} \item On suppose que $A = (\np{2005})^{\np{2005}}$ ; on désigne par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $B$ la somme des chiffres de $A$ ; \item $C$ la somme des chiffres de $B$ ; \item $D$ la somme des chiffres de $C$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Démontrer la relation suivante : $A\equiv D\:\:(9)$. \item Sachant que $2005 < \np{10000}$, démontrer que $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus \np{8020}~chiffres. En déduire que $B\leqslant \np{72180}$. \item Démontrer que $C\leqslant 45$. \item En étudiant la liste des entiers inférieurs à $45$, déterminer un majorant de $D$ plus petit que $15$. \item Démontrer que $D = 7$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de [0~;~1] : \[\dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{x + n} \leqslant \dfrac{1}{n}.\] \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x + n}\,\text{d}x$. \item Déduire en utilisant \textbf{1.}, que : \[\text{pour}~n \in \N^* \quad \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} \leqslant \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)\quad (1)\] \[\text{puis que}\quad \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right) \leqslant \dfrac{1}{n}.\] \end{enumerate} \item On appelle $U$ la suite définie pour $n \in \N^*$ par : \[U(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n).\] Démontrer que $U$ est décroissante (on pourra utiliser \textbf{2. b.}) \item On désigne par $V$ la suite de terme général : \[V(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n + 1) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n + 1).\] Démontrer que $V$ est croissante. \item Démontrer que $U$ et $V$ convergent vers une limite commune notée $\gamma$. Déterminer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près par la méthode de votre choix. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.} Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose $150$~romans policiers et $50$~biographies. 40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200~ouvrages. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad 0,4& \textbf{b.}\quad 0,75 & \textbf{c.}\quad $\dfrac{1}{150}$\\ \end{tabularx} \item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad 0,3 & \textbf{b.}\quad 0,8 & \textbf{c.}\quad 0,4\\ \end{tabularx} \item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad 1,15 & \textbf{b.}\quad 0,4 & \textbf{c.}\quad 0,3\\ \end{tabularx} \item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad 0,9 & \textbf{b.}\quad 0,7& \textbf{c.}\quad 0,475\\ \end{tabularx} \item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{4}{150}$ & \textbf{b.}\quad $\dfrac{12}{19}$& \textbf{c.}\quad 0,3\\ \end{tabularx} \item Le lecteur est venu $20$~fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $1 - (0,25)^{20}$ & \textbf{b.}\quad $20\times 0,75$ & \textbf{c.}\quad $0,75\times(0,25)^{20}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A.} Soit [KL] un segment de l'espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL). Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L. \bigskip \textbf{B.} Ici l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk~; on considère les points \[\text{A}(4~;~0~;~-3),~~  \text{B}(2~;~2~;~2),~~ \text{C}(3~;~-3~;~-1),~~ \text{D}(0~;~0~;~-3).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation $4x - 4y - 10z -13 = 0$. On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont respectivement pour équations $2x - 10y- 6z -7 = 0$ et $3x - 3y + 2z - 5 = 0$. \item Démontrer, en résolvant un système d'équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les coordonnées. \item En utilisant la \textbf{partie A} montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E. Quel est le rayon de cette sphère ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles -- Guyane juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2005 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2005~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équations paramétriques : $\left\{\begin{array}{l c r} x &= &1+2t\\ y &= &2- t\\ z &= &-3-t \\ \end{array}\right.$ et $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x+2y - 3z - 1 = 0$. \emph{Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'affirmation choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$. \vspace{0,4cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro & & & \\ de la& Affirmation A& Affirmation B& Affirmation C\\ ligne& & & \\ \hline \textbf{1.}&Le point M de coordonnées $(-1~;~ 3~;~2)$ appartient à $\mathcal{D}$& Le point N de coordonnées $(2~;~-1~;~-1)$ appartient à $\mathcal{D}$& Le point R de coordonnées $(3~;~1~;~- 4)$ appartient à $\mathcal{D}$\\\hline \textbf{2.}&Le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~2~;~-3)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$& Le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $(-2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$& Le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(3~;~1~;~-4)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$\\ \hline \textbf{3.} & $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$& $\mathcal{D}$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$&$\mathcal{D}$ est sécante à $\mathcal{P}$\\\hline \textbf{4.} &Le point G de coordonnées $(1~;~3~;~-2)$ appartient à $\mathcal{P}$& Le point G de coordonnées (1~;~3~;~2) appartient à $\mathcal{P}$& Le point G de coordonnées $(1~;~3~;~- 1)$ appartient à $\mathcal{P}$\\\hline \textbf{5.} &Le plan Q$_{1}$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$& Le plan Q$_{2}$ d'équation cartésienne $4x - 5y -2z + 3 = 0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$& Le plan Q$_{3}$ d'équation cartésienne $-3x + 2y - z - 1 = 0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$\\ \hline \textbf{6.}&La distance du point T de coordonnées $(-1~;~-3~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est : $\sqrt{14}$& La distance du point T de coordonnées $(- 1~;~- 3~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est : 14& La distance du point T de coordonnées $(-1~;~-3~;~2)$ est : $2\sqrt{3}$\\ \hline \end{tabularx}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une association organise une loterie pour laquelle une participation $m$ exprimée en euros est demandée. Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2~boules vertes et 3~boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation $m$. Si le joueur obtient 2~boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] sur $\dfrac{1}{8}$ de la roue le gain est de 100~\euro, \item[$\bullet~$] sur $\dfrac{1}{4}$ de la roue le gain est de 20~\euro, \item[$\bullet~$] sur le reste le joueur est remboursé de sa participation $m$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle $V$ l'évènement \og le joueur a obtenu 2 boules vertes \fg. On appelle $J$ l'évènement \og le joueur a obtenu 2 boules jaunes \fg. On appelle $R$ l'évènement \og le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Quelques calculs. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $P(V)$ et $P$(J) des évènements respectifs $V$ et $J$. \item On note $P_{V}(R)$ la probabilité pour le joueur d'être remboursé sachant qu'il a obtenu deux boules vertes. Déterminer $P_{V}(R)$ puis $P(R \cap V)$. \item Calculer $P(R)$. \item Calculer la probabilité de gagner les 100~\euro, puis la probabilité de gagner les 20~\euro~ de la roue. \end{enumerate} \item On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c'est- à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale $m$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et vérifier que $p(X= - m)$ est 0,6. \item Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est E$(X) = \dfrac{140 - 51m}{80}$. \item L'organisateur veut fixer la participation $m$ à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à $m$ pour que l'organisateur puisse espérer ne pas perdre d'argent ? \end{enumerate} \item Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu'il perde au moins une fois sa mise. \item On voudrait qu'un joueur ait plus d'une chance sur deux d'être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l'urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle $n$ le nombre de boules jaunes, on suppose $n \geqslant 1$. Calculer la valeur minimale de $n$ pour que la condition précédente soit vérifiée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 1~cm). On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante : \[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = 0.\] \textbf{I.} Résolution de l'équation (E). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $- \text{i}$ est solution de (E). \item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que : \[z^3 + (- 8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = (z+\text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\] \item Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes. \end{enumerate} \textbf{II.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 +\text{i},\:4 - \text{i},\: - \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice. \item Le point $\Omega$ est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de S. \item Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer $\mathcal{C}$. \item À tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{\text{i}z+10 - 2\text{i}}{z - 2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A',~B',~C'$ associés respectivement aux points A, B et C. \item Vérifier que $A',\:B',\:C'$ appartiennent à un cercle $\mathcal{C}'$ de centre P, d'affixe i. Déterminer son rayon et tracer $\mathcal{C}'$. \item Pour tout nombre complexe $z \neq 2$, exprimer $|z' - \text{i}|$ en fonction de $z$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$. Démontrer que $\left|z' - \text{i}\right| = 2\sqrt{5}$. \item En déduire à quel ensemble appartiennent les points $M'$ associés aux points $M$ du cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble $S_{1}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{1}$ donné en l'ensemble $S_{2}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{2}$ donné. Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct $\mathcal{R} = $ \Ouv, unité graphique 2 cm. On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d'affixes respectives \[- \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 - \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 + \dfrac{\text{i}}{2},\quad \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 - \text{i},\quad 3 - \text{i},\quad 3 + \text{i},\quad 1 + \text{i}.\] $\mathcal{C}_{1}$ est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O$_{1}$,~$\mathcal{C}_{2}$ est le carré de sommet E, F G, H de centre O$_{2}$. $S_{1}$ est donc l'ensemble \{A, B, C, D\} et $S_{2}$ l'ensemble \{E, F, G, H\}. \medskip \begin{enumerate} \item Placer tous les points dans le repère $\mathcal{R}$, construire les carrés $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $- 1$ et de rapport 2. Donner l'écriture complexe de $h$ et prouver que $h$ transforme $S_{1}$ en $S_{2}$. \item Soit $s$ une similitude directe qui transforme $S_{1}$ en $S_{2}$ et soit $g$ la transformation ~$g = h^{-1} \circ s$. \begin{enumerate} \item Quel est le rapport de la similitude $s$ ? \item Prouver que $g$ est une isométrie qui laisse $S_{1}$ globalement invariant. \item Démontrer que $g(\text{O}_{1}) = \text{O}_{1}$. \item En déduire que $g$ est l'une des transformations suivantes : l'identité, la rotation $r_{1}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la rotation $r_{2}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\pi$, la rotation $r_{3}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item En déduire les quatre similitudes directes qui transforment $S_{1}$ en $S_{2}$. \end{enumerate} \item Étude des centres de ces similitudes. \begin{enumerate} \item Déterminer les écritures complexes de $h \circ r_{1},~ h \circ r_{2},~h \circ r_{3}$. \item En déduire les centres $\Omega_{1},~\Omega_{2},~\Omega_{3}$ de ces similitudes et les placer sur le dessin. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers~$\text{e}^2$. On définit, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, l'intégrale \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^2 \dfrac{1}{n!}(2 - x)^n\text{e}^x\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer I$_{1}$. \item Établir que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,~0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{2^n}{n!}\left(\text{e}^2 - 1\right).$ \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1,~I_{n+1} = I_{n} - \dfrac{2^{n+1}}{(n + 1)!}$. \item Démontrer par récurrence que $\text{e}^2 = 1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!} + I_{n}$. \item On pose, pour tout entier naturel $n\geqslant 1,~ u_{n} = \dfrac{2^n}{n!}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ et prouver que pour tout entier naturel $n \geqslant 3,~u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_{n}$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 3,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{3}\left(\dfrac{ 1}{2}\right)^{n-3}.$ \end{enumerate} \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis celle de la suite $\left(I_{n}\right)$. \item Justifier enfin que : \[\text{e}^2 = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!}\right).\] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2005 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est $0,4$ et que s'il décroche, la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire est $0,3$. On pourra construire un arbre pondéré. \medskip \begin{enumerate} \item On note : $\bullet~~$$D_{1}$ l'évènement : \og la personne décroche au premier appel \fg{} ; $\bullet~~$$R_{1}$ l'évènement \og la personne répond au questionnaire lors du premier appel \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $R_{1}$. \item Lorsqu'une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est $0,3$ et la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire sachant qu'il décroche est $0,2$. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D_{2}$ l'évènement : \og la personne décroche au second appel \fg. \item[$\bullet~$] $R_{2}$ l'évènement : \og la personne répond au questionnaire lors du second appel\:\fg. \item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og la personne répond au questionnaire \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,236$. \item Sachant qu'une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième) \item Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20\,\% des personnes répondent au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique 8~cm. On appelle A le point d'affixe $-1$ et B le point d'affixe $1$. On appelle $\mathcal{E}$ l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B. À tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{E}$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$. \begin{enumerate} \item Prouver que les points $M,~ N$ et $P$ sont deux à deux distincts. \item On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ appartenant à $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$. \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que $MNP$ est rectangle en $P$ si et seulement si $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$. \item Démontrer que $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$ équivaut à $\left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left( \overline{z + \dfrac{1}{2}}\right)= \dfrac{1}{4}$. \item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}$ cherché. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de $\mathcal{E}$ et $z$ son affixe, On désigne par $r$ le module de $z$ et $\alpha$ l'argument de $z,~\alpha \in ]- \pi~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que l'affixe de $P$ soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points). \item Représenter les ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{F}$ dans le repère \Ouv. \item Déterminer les affixes des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$, l'affixe de $P$ étant un réel strictement positif. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $N$ un entier naturel, impair non premier. On suppose que $N = a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité. \item Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$. \item Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que \np{250507} n'est pas premier. On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a~;~ b)$ vérifiant la relation \[(\text{E})~ :\quad a^2 - \np{250507} = b^2.\] \begin{enumerate} \item Soit $X$ un entier naturel. \begin{enumerate} \item Donner dans un tableau, les restes possibles de $X$ modulo 9 ; puis ceux de $X^2$ modulo 9. \item Sachant que $a^2 - \np{250507} = b^2$, déterminer les restes possibles modulo 9 de $a^2 - \np{250507}$ ; en déduire les restes possibles module 9 de $a^2$. \item Montrer que les restes possibles modulo 9 de $a$ sont 1 et 8. \end{enumerate} \item Justifier que si le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E), alors $a \geqslant 501$. Montrer qu'il n'existe pas de solution du type $(501~;~b)$. \item On suppose que le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E). \begin{enumerate} \item Démontrer que $a$ est congru à $503$ ou à $505$ modulo 9. \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505 + 9k~;~b)$ soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Déduire des parties précédentes une écriture de \np{250507} en un produit deux facteurs. \item Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ? \item Cette écriture est-elle unique ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = $a$. On appelle A$_{1}$ le centre de gravité du triangle BCD. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\left(\text{A}\text{A}_{1}\right)$ est orthogonale au plan (BCD). $\left(\text{On pourra par exemple calculer}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot\: \vect{\text{CD}}~ \text{et}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot\: \vect{\text{BC}}\right)$. \item En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$. \item On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC]. \begin{enumerate} \item Montrer que G appartient au segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$ et déterminer la longueur AG. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 2 \left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\] \end{enumerate} \item Soit H le symétrique de A par rapport à G. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$. \item Démontrer l'égalité $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{DC}} \cdot \vect{\text{BA}}$. \item En déduire que HC = HD. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base associée $b$ est} \[V = \dfrac{1}{3}bh.\] \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{I. Première partie} \medskip On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln(1 + x) - x\quad \text{et} \quad g(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item En déduire que pour tout $x \geqslant 0,~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x$. \end{enumerate} \textbf{II. Deuxième partie} \medskip On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par : \[u_{1} = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : \[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) + \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots + \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\] \item On pose $S_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} = \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$ À l'aide de la première partie, montrer que : \[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\] \item Calculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_{n}$. \item Étude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante. \item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite. \item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles que $v_{n} \leqslant w_{n}$ pour tout $n$ entier naturel, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}$. Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2005 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2005 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.} \medskip \textbf{Partie A : question de cours} \medskip On suppose connus les résultats suivants : \begin{description} \item[ ] (1) deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ; \item[ ] (2) si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est décroissante, alors pour tout $n$ appartenant à $\N$, on a $u_{n} \leqslant v_{n}$ ; \item[ ] (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. \end{description} Démontrer alors la proposition suivante : \begin{center} \og Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite \fg.\end{center} \textbf{Partie B} \medskip On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\N$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{- 2}{u_{n}}$. Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \begin{enumerate} \item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente. \item Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$. \item Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante. \item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers zéro. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \begin{center} \begin{pspicture}(9,8) \pspolygon(2,2)(2.7,3.6)(1.1,4.3)(0.4,2.7) \pspolygon(6.6,2)(2.7,3.6)(4.4,7.5)(8.2,6) \pscircle(4.3,2){2.3} \uput[dl](2,2){O} \uput[dr](6.6,2){A} \uput[ul](1.1,4.3){$K$} \uput[dl](0.4,2.7){$L$} \uput[u](2.6,3.6){$M$} \uput[ur](4.4,7.5){$N$} \uput[ur](8.2,6){$P$} \end{pspicture}\end{center} \vspace{0,4cm} Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [OA], un point $M$ variable appartenant au cercle $\mathcal{C}$, et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct $M$A$PN$ et $MKL$O. La figure est représentée ci-dessus. \smallskip \textsl{Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point $N$ appartient à un cercle à déterminer.} \smallskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement $0$ et $1$. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On note $k$, $l$, $m$, $n$ et $p$ les affixes respectives des points $K$, $L$, $M$, $N$ et $P$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, quel que soit le point $M$ choisi sur le cercle $\mathcal{C}$, on a $\left|m - \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$. \item Établir les relations suivantes : $l = \text{i}m$ et $p = - \text{i}m + 1 +\text{i}$. On admettra que l'on a également $n = (1 - \text{i})m + \text{i}$ et $k = (1 + \text{i})m$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le milieu $\Omega$ du segment [PL] est un point indépendant de la position du point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. \item Démontrer que le point $\Omega$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et préciser sa position sur ce cercle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance $KN$ et démontrer que cette distance est constante. \item Quelle est la nature du triangle $\Omega NK$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que le point $N$ appartient à un cercle fixe, indépendant du point $M$, dont on déterminera le centre et le rayon. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textsl{Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie.} On munit le plan d'un repère orthonormal direct \Ouv. Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les points R, S, T et U). \medskip \textbf{Partie A} \medskip On désigne par $m,~n,~p$ et $q$, les affixes respectives des points M, N, P et Q. \begin{enumerate} \item Soit $f$ la similitude directe de centre M qui transforme N en R. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $f$. \item On désigne par $r$ l'affixe du point R. Démontrer que $r = \dfrac{1 + \text{i}}{2}m + \dfrac{1 - \text{i}}{2}n$, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$(on pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude $f$). On admettra que l'on a également les résultats $s =\dfrac{1 + \text{i}}{2}n + \dfrac{1 - \text{i}}{2}p,~ t = \dfrac{1 + \text{i}}{2}p +\dfrac{1 - \text{i}}{2}q$ et $u = \dfrac{1 + \text{i}}{2}q + \dfrac{1 - \text{i}}{2}m$, où $s,~ t $ et $u$ désignent les affixes respectives des points S, T et U. \end{enumerate} \item Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre. \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité $u - s = \text{i}(t - r)$. \item Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d'une part, et pour les droites (RT) et (SU), d'autre part ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textsl{Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.} \begin{enumerate} \item Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la \textbf{partie A}, qu'il existe une unique rotation $g$ qui transforme R en S et T en U. \item Décrire comment construire géométriquement le point $\Omega$, centre de la rotation $g$. Réaliser cette construction sur la figure de l'annexe. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{ Pour les questions} 1 \textsl{ et} 2, \textsl{ on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à} $10^{-3}$ \textsl{ près}. \medskip Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. \medskip \begin{enumerate} \item Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les évènements suivants : $C1$ : \og L'enfant choisit la boîte cubique \fg, $C2$ : \og L'enfant choisit la boîte cylindrique \fg, $R$ : \og L'enfant prend une bille rouge \fg, $V$ : \og L'enfant prend une bille verte \fg. \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. \item Calculer la probabilité de l'évènement $R$. \item Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ? \end{enumerate} \item L'enfant reproduit $n$ fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. \begin{enumerate} \item Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses $n$ choix. \item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n} \geqslant 0,99.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.\] \begin{enumerate} \item[a.] Démontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$. \item[b.] Étudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item[c.] Étudier les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable réelle $t$ désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, de l'équation différentielle \[(\text{E}_{1}) \qquad y' = \dfrac{y}{4}.\] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E$_{1}$). \item Déterminer l'expression de $g(t)$ lorsque, à la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire $g(0) =1$. \item Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ? \end{enumerate} \item En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction $u$, ainsi définie, satisfait aux conditions : \[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l} u'(t) &=& \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12}~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\ u(0)& =&1.\\ \end{array}\right.\] où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$. \begin{enumerate} \item On suppose que, pour tout réel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On considère, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, la fonction $h$ définie par $h = \dfrac{1}{u}$. Démontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions \[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l} h'(t) &=&- \dfrac{1}{4}h(t) + \dfrac{1}{12}~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\ h(0)& =&1.\\ \end{array}\right.\] où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. \item Donner les solutions de l'équation différentielle $y' = - \dfrac{1}{4}y + \dfrac{1}{12}$ et en déduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$. \item Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \end{center} \vspace{1,5cm} \textbf{Figure de l'exercice 2 de spécialité} \vspace{1,5cm} \begin{pspicture}(12,12) \pspolygon(11.4,6.7)(4.6,10.5)(2.5,8.5)(3.3,2.7)%MNPQ \pspolygon(10,12)(4.6,10.5)(2.5,10.5)(2.5,8.5)(0,5.2)(3.3,2.7)(9.3,0.6)(11.4,6.7)%RNSPTQUM \uput[dr](11.4,6.7){M} \uput[u](4.6,10.5){N} \uput[l](2.5,8.5){P} \uput[d](3.3,2.7){Q} \uput[ur](10,12){R} \uput[ul](2.5,10.5){S} \uput[dl](0,5.2){T} \uput[dr](9.3,0.6){U} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2005 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.} \emph{Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Chaque réponse exacte rapporte $0,5$ point, chaque réponse fausse enlève $0,25$ point. Donner trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune, ne rapporte aucun point.} \emph{Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à zéro.} \medskip \begin{enumerate} \item Les suites suivantes sont convergentes : \[\text{\textbf{a.}}~\left(\dfrac{2^n}{n^{2005}}\right)_{n >0}\quad \text{\textbf{b.}}~ \left(\dfrac{2n + (-1)^n\sqrt{n}}{n + 1}\right)_{n \in \N}\quad \text{\textbf{c.}}~ \left(n\sin\dfrac{1}{n}\right)_{n>0}\quad \text{\textbf{d.}}~ \left(\dfrac{\sqrt{n}}{\ln n}\right)_{n>1}\] \item On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~ \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ ayant, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes : $u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n},~\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_{n}) = - 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (w_{n}) = 1$. Alors : \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(v_{n}\right) = 0$. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée. \item Pour tout $n$ de $\N$, on a : $-1 \leqslant v_{n} \leqslant 1$. \item On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non. \end{enumerate} \item Une suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l c l} u_{0} & =& 1,5\\ u_{n+1}&=& 2u_{n} - 1~ \text{pour tout entier naturel}~ n. \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = x $ et $y = 2x - 1$. \item La suite $\left(v_{n}\right)$, définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} - 1$, est géométrique. \item La suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée. \item La suite $\left(w_{n}\right)$, définie sur $\N$ par $w_{n} =\ln \left(u_{n} - 1\right)$, est arithmétique. \end{enumerate} \item Deux suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont définies pour $n > 0$ par les relations : \[x_{n} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}~\text{et}~y_{n} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\] \begin{enumerate} \item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont toutes les deux croissantes. \item $x_{3} = \dfrac{19}{20}$ et $y_{3} = \dfrac{37}{60}$. \item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ ne sont pas majorées. \item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont adjacentes. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère trois urnes U$_{1}$,~U$_{2}$, et U$_{3}$. L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges. Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$. Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par $N_{i}$, (respectivement $R_{i}$) l'évènement \og on tire une boule noire de l'urne U$_{i}$ \fg{} (respectivement \og on tire une boule rouge de l'urne U$_{i}$ \fg). \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$N_1$}} {\pstree{\TR{$N_2$}} {\TR{$N_3$} \TR{$R_3$} } \pstree{\TR{$R_2$}} {\TR{$N_3$} \TR{$R_3$} } } \pstree{\TR{$R_1$}} {\pstree{\TR{$N_2$}} {\TR{$N_3$} \TR{$R_3$} } \pstree{\TR{$R_2$}} {\TR{$N_3$} \TR{$R_3$} } } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements $N_{1} \cap N_{2}\cap N_{3}$, et $N_{1} \cap R_{2}~\cap N_{3}$. \item En déduire la probabilité de l'évènement $N_{1} \cap N_{3}$. \item Calculer de façon analogue la probabilité de l'évènement $R_{1} \cap N_{3}$. \end{enumerate} \item Déduire de la question précédente la probabilité de l'évènement $N_{3}$. \item Les évènements $N_{1}$ et $N_{3}$ sont-ils indépendants ? \item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : \og Étant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls, si PGCD$(a~;~ b) = 1$ alors PGCD$(a^2~;~b^2) = 1$ \fg. Une suite $\left(\text{S}_{n}\right)$ est définie pour $n > 0$ par S$_{n} = \displaystyle\sum_{p=1}^n p^3$. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul $n$, le plus grand commun diviseur de S$_{n}$ et S$_{n+1}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $n > 0$, on a : S$_{n} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$. \item Étude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k$. \begin{enumerate} \item Démontrer que PGCD(S$_{2k}$~;~S$_{2k+1}) = (2k+1)^2$PGCD$\left(k^2~;~(k+1)^2\right)$. \item Calculer PGCD $(k~;~ k + 1)$. \item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k}~;~\text{S}_{2k+1}\right)$. \end{enumerate} \item Étude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k+ 1.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k +3$ sont premiers entre eux. \item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k+1}~;~ \text{S}_{2k+2}\right)$. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on déterminera, pour laquelle S$_{n}$ et S$_{n+1}$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant la condition : \[(\text{C})\quad \left\{\begin{array}{l c l} f(- x)f'(x)& =& 1~\text{ pour tout nombre réel}~x,\\ f(0) &=& - 4\\\end{array}\right.\] (où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$) et de trouver cette fonction. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)= f(- x)f(x)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$. \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $g$. \item En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer sa valeur. \item On considère l'équation différentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette équation et qu'elle vérifie $f(0) = - 4$. \end{enumerate} \item \textbf{Question de cours} \begin{enumerate} \item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'équation différentielle (E). Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la forme $x \longmapsto K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, où $K$ est un nombre réel quelconque \item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur $-4$ en 0. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\R$ satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On appelle hauteur d'un tétraèdre toute droite contenant l'un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} on donne les points A$(3~;~2~;~- 1)$, B$(-6~;~1~;~1)$, C$(4~;~-3~;~3)$ et D$(- 1~;~-5~;~ - 1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est : $- 2x - 3y+ 4z -13 = 0$. \item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BH}} \cdot \vect{\text{CD}}$. \item Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? \end{enumerate} \item On définit les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0), K(0~;~0~;~1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{L'exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par \[f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^x - 1.\] On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat, \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont une tangente commune au point O(0~;~0). Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à cette tangente. \item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$. \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a \ln (x + 1)\,\text{d}x$. \begin{enumerate} \item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que \[I(a) = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\] \item En déduire la valeur de $I(a)$. \item Retrouver la valeur de $I(a)$ en effectuant une intégration par parties. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{2cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \end{center} \textbf{Courbes de l'exercice 5} \vspace{2cm} \psset{unit=3cm}\begin{pspicture}(4,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none](0,0)(0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{4}{x 1 add ln} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{1.6095}{2.71828 x exp 1 sub} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2005 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \rfoot{\small 6 juin 2005} \lfoot{\small{Liban}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Liban juin 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention \og vrai \fg{} ou \og faux \fg.} \emph{Une réponse correcte rapporte $0,5$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.} \emph{Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.} \medskip \begin{enumerate} \item \og Si $a$ est un nombre réel quelconque et $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $[a~;~+ \infty[$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \fg \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[,~ g$ ne s'annulant pas : \og Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ et si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = - 1$ \fg. \item \og Si $f$ est une fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ telle que $ 0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}$ sur $[0~;~+ \infty[$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ \fg. \item On considère un repère \Oij{} du plan. \og Si $f$ est une fonction définie sur $\R^*$ alors la droite d'équation $x = 0$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} \fg. \item \og La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right)\text{e}^x$ est une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' - y = (2x + 3)\text{e}^x$ \fg. \item Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et $- 2$. \og Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,$- 2$ et $1$ alors G est le milieu du segment [CI] \fg. \item Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients $3,~-2$ et $1$. \og L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|3\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\| = 1$ est le cercle de centre G et de rayon 1 \fg. \item Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par $M$ un point quelconque du plan. \og Le produit scalaire $\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}}$ est nul si et seulement si $M$ = A ou $M$ = B \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip Un fabricant d'écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif (c'est-à-dire si l'écran fonctionne correctement), l'écran est acheminé chez le client. Sinon l'écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l'écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour $70\,\%$ des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement $65\,\%$ d'entre eux passent le second test avec succès. On note $T_{1}$ l'évènement : \og le premier test est positif \fg. On note $C$ l'évènement : \og l'écran est acheminé chez le client \fg. \begin{enumerate} \item On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements $T_{1}$, et $C$. \item La fabrication d'un écran revient à \np{1000}~\euro{} au fabricant si l'écran n'est testé qu'une fois. Cela lui coûte 50~\euro{} de plus si l'écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé $a$ euros ($a$ étant un réel positif) au client. On introduit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque écran fabriqué, associe le \og gain \fg (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $a$. \item Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $a$. \item À partir de quelle valeur de $a$, l'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$. En déduire la valeur de $u_{1}$. \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout $n$ non nul, \[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices : \begin{center} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline Valeur & Valeur de $u_{n}$ affichée par & Valeur de $u_{n}$ affichée par\\ de $n$ & la première calculatrice & le deuxième calculatrice\\ \hline 1&\np{7,1828182845}E$-$01&\np{7,1828182846}E$-$01 \\ \hline 2&\np{4,3656365691}E$-$01 &\np{4,3656365692}E$-$01\\ \hline 3&\np{3,0969097075}E$-$01 &\np{3,0969097076}E$-$01\\ \hline 4&\np{2,3876388301}E$-$01 &\np{2,3876388304}E$-$01\\ \hline 5&\np{1,9381941508}E$-$01 &\np{1,9381941520}E$-$01\\ \hline 6&\np{1,6291649051}E$-$01 &\np{1,6291649120}E$-$01\\ \hline 7&\np{1,40415433581}E$-$01 &\np{1,4041543840}E$-$01\\ \hline 8&\np{1,2332346869}E$-$01 &\np{1,2332350720}E$-$01\\ \hline 9&\np{1,0991121828}E$-$01 &\np{1,0991156480}E$-$01\\ \hline 10&\np{9,9112182825}E$-$02 &\np{9,9115648000}E$-$01\\ \hline 11&\np{9,0234011080}E$-$02 &\np{9,0272128000}E$-$02\\ \hline 12&\np{8,2808132963}E$-$02 &\np{8,3265536000}E$-$02\\ \hline 13&\np{7,6505728522}E$-$02 &\np{8,2451968000}E$-$02\\ \hline 14&\np{7,1080199309}E$-$02 &\np{1,5432755200}E$-$01\\ \hline 15&\np{6,6202989636}E$-$02 &\np{1,31491328006}E+00\\ \hline 16&\np{5,9247834186}E$-$02 &\np{2,0038612480}E+01\\ \hline 17&\np{7,2131811612}E$-$03 &\np{3,3965641216}E+02\\ \hline 18&$-$\np{8,7016273909}E$-$01 &\np{6,1128154189}E+03\\ \hline 19&$-$\np{1,7533092042}E$+$01 &\np{1,1614249296}E+05\\ \hline 20&$-$\np{3,5166184085}E$+$02 &\np{2,3228488592}E+06\\ \hline 21&$-$\np{7,3858986580}E$+$03 &\np{4,8779825043}E+07\\ \hline 22&$-$\np{1,6249077047}E$+$05 &\np{1,0731561499}E+09\\ \hline 23&$-$\np{3,7372887209}E$+$06 &\np{2,4682591448}E+10\\ \hline 24&$-$\np{8,9694930302}E$+$07 &\np{5,923821947}E+11\\ \hline 25&$-$\np{2,242372585}E$+$09 &\np{1,4809554869}E+13\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ? \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir de la définition : \[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel non nul $n$ \[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\] \item En déduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie D} \medskip Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite $\left(u_{n}\right)$. \[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\] Étant donné un réel $a$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : \[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\] \begin{enumerate} \item En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n !)(a + 2 - \text{e})$ où $n !$ désigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls. \item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ à l'infini suivant les valeurs de $a$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n ! = + \infty$.) \item En déduire une raison susceptible d'expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Unité graphique : 0,5~cm. On note j le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Soit $A'$ l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $B'$ l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $C'$ l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C, $A',~B'$ et$C'$ dans le repère donné. \item On appelle $a', b'$ et $c'$ les affixes respectives des points $A', B'$ et $C'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$. On vérifiera que $a'$ est un nombre réel. \item Montrer que $b' = 16\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. En déduire que O est un point de la droite B$B'$. \item On admet que $c' = 7 + 7\text{i}\sqrt{3}$. Montrer que les droites (A$A'$), (B$B'$) et (C$C'$) sont concourantes en O. \end{enumerate} \item On se propose désormais de montrer que la distance $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \begin{enumerate} \item Calculer la distance OA + OB + OC. \item Montrer que $\text{j}^3 = 1$ et que$1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item On considère un point $M$ quelconque d'affixe $z$ du plan complexe. On rappelle que $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Déduire des questions précédentes les égalités suivantes : \[ \left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = 22. \] \item On admet que, quels que soient les nombres complexes $z,~z'$ et $z''$ : \[\left|z + z' + z''\right| \leqslant |z| + \left|z'\right| + \left|z''\right|. \] Montrer que $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : \[109x - 226y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation (E) ? \item Montrer que l'ensemble de solutions de (E) est l'ensemble des couples de la forme $(141 + 226k,~ 68 + 109k)$, où $k$ appartient à $\Z$. En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que $109d = 1 + 226e$. (On précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$.) \end{enumerate} \item Démontrer que 227 est un nombre premier. \item On note A l'ensemble des 227 entiers naturels $a$ tels que $a \leqslant 226$. On considère les deux fonctions $f$ et $g$ de A dans A définies de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item à tout entier de A, $f$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{109}$ par 227. \item à tout entier de A, $g$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{141}$ par 227. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Vérifier que $g[f(0)] = 0$. \textsl{On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :} \textbf{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$ alors $a^{p - 1} \equiv 1 \quad \text{modulo}~ p$.} \item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A, $a^{226} \equiv 1\quad [\text{modulo}~ 227]$. \item En utilisant \textbf{1. b.}, en déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A. $g[f(a)] = a$. Que peut-on dire de $f[(g(a)] = a$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2005 \hypertarget{Polynesiejuin}{} \label{Polynesiejuin} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small 9 juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ Baccalauréat S Polynésie 9 juin 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par $a$ et $b$. 2\,\% des montres fabriquées présentent le défaut $a$ et 10\,\% le défaut $b$. Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants : $A$ : \og la montre tirée présente le défaut $a$ \fg{} ; $B$ : \og la montre tirée présente le défaut $b$ \fg{} ; $C$ : \og la montre tirée ne présente aucun des deux défauts \fg{} ; $D$ : \og la montre tirée présente un et un seul des deux défauts \fg. On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,882$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $D$. \item Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l'on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts $a$ et $b$. On définit l'évènement $E$ : \og quatre montres au moins n'ont aucun défaut \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $E$. On en donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textsl{Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.} \textbf{\textsl Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \textsl{Une réponse exacte rapporte} 1 \textsl{point ; une réponse inexacte enlève} 0,5 \textsl{point ; l'absence de réponse est comptée} 0 \textsl{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(3~;~1~;~3) et B$(- 6~;~2~;~1)$. Le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne $x + 2y + 2z = 5$. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|4\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}}\right\| = 2$ est : \textbf{a.}~un plan de l'espace\quad \textbf{b.}~ une sphère \quad \textbf{c.}~l'ensemble vide. \item Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ sont : \textbf{a.}~$\left(\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) \quad$ \textbf{b.}~$\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right) \quad$ \textbf{c.}~$\left(\dfrac{7}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{5}{3}\right).$ \item La sphère de centre B et de rayon 1 : \begin{enumerate} \item coupe le plan $\mathcal{P}$ suivant un cercle ; \item est tangente au plan $\mathcal{P}$ ; \item ne coupe pas le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~2~;~-1)$ et la droite $\mathcal{D}'$ d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + 2t\\ y&=&3+t\\ z&=&t\\ \end{array}\right. (t~\in~\R)$. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont : \textbf{a.}~ coplanaires et parallèles \quad \textbf{b.}~ coplanaires et sécantes \quad \textbf{c.}~ non coplanaires. \item L'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants des points A et B est : \begin{enumerate} \item la droite d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&-\dfrac{3}{2} - t\\ y&=&\dfrac{3}{2}- 7t\\ z &= &2 + t\\ \end{array}\right. (t \in \R)$. \item le plan d'équation cartésienne $9x-y+ 2z+ 11 =0$. \item le plan d'équation cartésienne $x + 7y - z - 7 = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}& =& 14\\ u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ? \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~u_{n+2}\equiv u_{n}\quad (\text{modulo}~4)$. En déduire que pour tout entier naturel $k,~ u_{2k}\equiv 2 \quad (\text{modulo}~4)$ et $u_{2k+1}\equiv 0 \quad (\text{modulo}~4)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ 2u_{n} = 5^{n+2} + 3$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ 2 u_{n} \equiv 28\quad (\text{modulo}~100)$. \end{enumerate} \item Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n$. \item Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est constant. Préciser sa valeur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points} \medskip \textsl{La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[\blue f(x) = x+ \ln x.\] On nomme $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. On a donc : pour tout entier naturel $n,~\alpha_{n} + \ln \alpha_{n} = n$. \item Sur la page annexe, on a tracé $\Gamma$ dans le repère \Oij. Placer les nombres $\alpha_{0},~ \alpha_{1},~ \alpha_{2},~ \alpha_{3},~ \alpha_{4}$ et $\alpha_{5}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. \item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$. \item Démontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est strictement croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1. \item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = \ln x - x + 1.\] En déduire la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à $\Delta$. \item Tracer $\Delta$ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,~$\dfrac{n + 1}{2} \leqslant \alpha_{n}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère une fonction $g$ continue, strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$ et telle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. On admet que l'on peut, comme on l'a fait dans la \textbf{partie A}, définir sur $\N$ une suite $\left(\beta_{n}\right)$ de réels tels que $g\left(\beta_{n}\right) = n$, et que cette suite est strictement croissante. \medskip \begin{enumerate} \item Démonstration de cours : \textsl{Prérequis : définition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. \og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$} \fg. Démontrer le théorème suivant : \textsl{ une suite croissante non majorée tend vers} $+\infty$. \item Montrer que la suite $\left(\beta_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que, pour tous nombres complexes $a$ et $b$, $a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$. Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^3 = 8$. \item On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$ définies par : \[a =2,\quad b = - 1+ \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad c = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\] On appelle $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r'$ la rotation de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. On pose B$'$ = $r'$(B) et C$'$= $r$(C) et on note $b'$ et $c'$ les affixes respectives de B$'$ et C$'$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. \textsl{Dans la suite de l'exercice, on complètera cette figure.} \item Montrer que $b '= 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}$. \item Montrer que $b'$ et $c'$ sont des nombres conjugués. \end{enumerate} \item On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB$'$], [B$'$C$'$] et [C$'$C]. On note $m,~ n,~ p$ et $q$ leurs affixes. \begin{enumerate} \item Montrer que l'affixe $n$ du point N est égale à $\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$. En déduire que les points O, N et C sont alignés. \item Montrer que $n + 1 = \text{i} (q + 1)$. Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ? \item Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Page annexe} \vspace{1cm} \textsl{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-3)(11,14) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(11,14) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.048}{11}{x ln x add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2005 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2005~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par $u_{0} = 1$ et $\forall n \in \N,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + n - 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n \geqslant 3,~ u_{n} \geqslant 0$. \item En déduire que pour tout $n \geqslant 4,~ u_{n} \geqslant n - 2$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = 4u_{n} - 8n + 24$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme. \item Démontrer que $\forall n \in \N,~u_{n} = 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 2n -6$. \item Vérifier que $\forall n \in \N,~ u_{n} = x_{n} + y_{n}$ où $\left(x_{n}\right)$ est une suite géométrique et $\left(y_{n}\right)$ une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison. \item En déduire l'expression de $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{ 2\ln x}{x^2 + x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 1,~\dfrac{\ln x}{x^2} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer I $= \displaystyle\int_{2} ^4 \dfrac{\ln x}{x}\, \text{d}x$ et J $ = \displaystyle\int_{2} ^4 \dfrac{\ln x}{x^2}\, \text{d}x$ (on pourra utiliser une intégration par parties pour cette dernière). \item En déduire un encadrement de K $ = \displaystyle\int_{2} ^4 f (x) \, \text{d}x$. \end{enumerate} \item La figure ci-dessous représente la courbe représentative de $f$ (unités graphiques: en abscisse 1~cm pour 1 unité, en ordonnées 4~cm pour 1 unité). On considère l'ensemble des points $M(x~ ;~ y)$ tels que : \[\left\{\begin{array}{l l c l l} 2 &\leqslant &x&\leqslant& 4\\ 0& \leqslant & y & \leqslant& f(x)\\ \end{array}\right. \quad \text{et on note}~ \mathcal{A}~\text{son aire.}\] \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=4.2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-2,-0.6)(5,0.9) \multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-0.6)(\n,0.8)} \multido{\n=-0.6+0.1}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](-2,\n)(5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-0.6)(5,0.8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-0.61)(5,0.81) \uput[u](5,0){$x$} \uput[r](0,0.8){$y$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.7}{5}{x ln 2 mul x 2 exp x add div} \end{pspicture} \end{center} À l'aide de l'encadrement trouvé au 2 b, donner un encadrement de $\mathcal{A}$ en cm$^2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip Soit $\mathcal{P}$ le plan complexe rapporté au repère \Ouv{} (unité graphique : 4 cm). Soit A le point d'affixe $1$. On note $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{1}{z - 1}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit B le point d'affixe $b = 4 + \text{i}\sqrt{3}$. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l'affixe $b'$ de B$'$. \item Déterminer les affixes des points ayant pour image par $f$ leur symétrique par rapport à O. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\left|z'\right|$ et arg $\left(z'\right)$ en fonction de $|z - 1|$ et arg $(z - 1)$. \item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $r$. On suppose que $M$ est un point de $\mathcal{C}$. Déterminer $\left| z' \right|$. En déduire que $M'$ appartient à un cercle $\mathcal{C}'$ dont on précisera le centre et le rayon. \item Placer un point $M$ quelconque sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}$ et construire son image $M'$. (On laissera les traits de construction,) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip On modélise le temps d'attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité pour un client d'attendre moins de $t$ min est définie par : \[p(X\leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x.\] Le temps moyen d'attente est donné par : \[\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \displaystyle\int_{0}^t \lambda x\text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^t \lambda x\text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$ en fonction de $t$. \item En déduire que le temps moyen est $\dfrac{1}{\lambda}$. \end{enumerate} \item Le temps moyen d'attente étant de 5~ min, quelle est la probabilité d'attendre plus de 10~min ? plus de 5~min ? \item Quelle est la probabilité d'attendre encore au moins 5~min, sachant qu'on a déjà attendu 10~min ? Comment expliquez-vous ce résultat ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points} \medskip \emph{Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.\\ Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré $0,5$ point par réponse fausse.\\ La note finale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.} \medskip Soit \Oijk{} un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate} \item La droite passant par A$(1~;~2~;~-4)$ et B$(-3~;~4~;~1)$ et la droite représentée par $\left\{\begin{array}{l c r} x & = & - 11 - 4t\\ y & = & 8 + 2t\\ z & = & 11 + 5t\\ \end{array}\right. \quad t \in \R ~~\text{sont :}$ \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} $\square$ sécantes &$\square$ strictement parallèles &$\square$ confondues &$\square$\: non coplanaires \end{tabularx} \item Soient le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ représentée par $\left\{\begin{array}{l c r} x&= & t \\ y& =& t\\ z&=&8 + t\\ \end{array}\right. \quad t \in \R$ \begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}} $\square~~\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont sécants.& $\square$ ~~ $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont strictement parallèles.\\ $\square$ ~~$\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$.& $\square$ ~~Aucune de ces possibilités n'est vraie. \end{tabularx} \item La distance du point A$(1~;~2~;~-4)$ au plan d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} $\square \quad \dfrac{8\sqrt{14}}{7}$&$\square \quad 16$ & $\square \quad 8\sqrt{14}$&$\square \quad \dfrac{8}{7}$ \end{tabularx} \item Soient le point B$(-3~;~4~;~1)$ et la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 16$ ; \begin{tabularx}{\linewidth}{*2{X}} $\square$\quad B est à l'intérieur de $\mathcal{S}$ &$\square$ \quad B est à l'extérieur de $\mathcal{S}$\\ $\square$\quad B est sur $\mathcal{S}$&$\square$\quad On ne sait pas. \end{tabularx} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2005 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (20x + 10)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 1~cm). \begin{enumerate} \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \item Établir que l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. \item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On note $y(t)$ la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant $t,~t$ étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant $t = 0$, est $y(0) = 10$. On admet que la fonction qui, à tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ associe $y(t)$, est solution de l'équation différentielle (E) : \[y' + \dfrac{1}{2}y = 20\text{e}^{-\frac{1}{2}t}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} est solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item On se propose de démontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'équation différentielle (E), définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, qui prend la valeur $10$ à l'instant $0$. \begin{enumerate} \item On note $g$ une solution quelconque de l'équation différentielle (E), définie sur $[0~;~+ \infty[$ vérifiant $g(0) = 10$. Démontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, de l'équation différentielle : (E$'$) $y'+ \dfrac{1}{2}y = 0$. \item Résoudre l'équation différentielle (E$'$). \item Conclure. \end{enumerate} \item Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redes\-cent-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute. \item La valeur $\theta$ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3]. Calculer la valeur exacte de $\theta$, puis donner la valeur approchée décimale de $\theta$ arrondie au degré. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. On a alors : \[\begin{array}{l l} \textbf{A}~ :~z^{14} = - 128\sqrt{3} - 128\text{i}.& \textbf{C}~:~z^{14} = - 64 + 64\text{i}\sqrt{3}.\\ \textbf{B}~ :~ z^{14} = 64 - 64\text{i}.& \textbf{D}~:~z^{14} = - 128 + 128\text{i}\sqrt{3}\\ \end{array}\] \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe $4\text{i}$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 3| = |3 - 4\text{i}|$. \textbf{A} : (E) est la médiatrice du segment [ST] ; \textbf{B} : (E) est la droite (ST) ; \textbf{C} : (E) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3 -4\text{i}$, et de rayon 3 ; \textbf{D} : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5. \item On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à : \[\textbf{A}~:~\sqrt{3} \qquad \textbf{B}~:~- 3 \qquad \textbf{C}~:~-\sqrt{3} \qquad \textbf{D}~;~\dfrac{3}{2}.\] \item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}$ ; soit $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \textbf{A} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = - 1$. \textbf{B} : $\Gamma$ n'admet pas d'asymptote. \textbf{C} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = x$. \textbf{D} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = 1$. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t^2} \:\text{d}t$. La fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$ sur $\R$, est définie par : \[\begin{array}{l l} \textbf{A}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x - 2t\text{e}^{-t^2} \:\text{d}t. & \textbf{C}~ :~f''(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}.\\ \textbf{B}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x -2x\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x.&\textbf{D}~:~f''(x) = \text{e}^{-x^2}.\\ \end{array}\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \emph{Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. Chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : \[x^2 - x + 4 \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6).\] \textbf{A} : toutes les solutions sont des entiers pairs. \textbf{B} : il n'y a aucune solution. \textbf{C} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$. \textbf{D} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$ ou $x \equiv 5 \quad (\text{modulo}~ 6)$. \item On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \textbf{A} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme: $(x~;~y) = (34k - 7~;~ 5 - 24k),~ k \in \Z$. \textbf{B} : L'équation (E) n'a aucune solution. \textbf{C} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) = (17k - 7~;~ 5 - 12k),$ $k \in \Z$. \textbf{D} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) = (- 7k~;~ 5k),~ k \in \Z$. \item On considère les deux nombres $n = \np{1789}$ et $p = \np{1789}^{\np{2005}}$. On a alors : \textbf{A} : $ n \equiv 4\quad (\text{modulo}~ 17)$ et $p \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 17)$. \textbf{B} : $p$ est un nombre premier. \textbf{C} : $p \equiv 4\quad (\text{modulo}~17)$. \textbf{D} : $ p \equiv 1\quad (\text{modulo}~17)$. \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. Le triangle $M$AB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point $M$ d'affixe $z$ est tel que : \medskip \begin{tabular}{l l} \textbf{A} : $z = \dfrac{b - \text{i}a}{1 - \text{i}}$.&\hspace{1,5cm} \textbf{C} : $a - z =\text{i}(b - z)$.\\ \textbf{B} : $ z - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(b - a)$.&\hspace{1,5cm} \textbf{D} : $b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)$.\\ \end{tabular} \medskip \item On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre 1. \textbf{A} : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation. \textbf{B} : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB]. \textbf{C} : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude. \textbf{D} : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B$(1~;~-2~;~1)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-2~;~1~;~5)$ et le plan $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne $x + 2y - 7 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires. \item Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C$(-1~;~4~;~-1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$. \item Soit le point A$(5~;~- 2~;~-1)$. Calculer la distance du point A au plan $\mathcal{P}$, puis la distance du point A au plan $\mathcal{R}$. \item Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(1 + 2t~;~3 - t~;~t)$. Déterminer en fonction de $t$ la longueur A$M_{t}$. On note $\varphi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\R$ dans $\R$. \item Étudier le sens de variations de la fonction $\varphi$ sur $\R$ ; préciser son minimum. \item Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré. Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la couleur de la face cachée. On considère les évènements suivants : E est l'évènement \og à l'issue d'une partie, les deux faces notées sont vertes \fg, F est l'évènement \og à l'issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F. \item On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux fois l'évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à $10^{-3}$ près). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance, ce dé 160~fois en notant le nombre $n_{i}$ de fois où chaque face est cachée ; on obtient les résultats suivants : \[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline face $i$ &1 & 2 & 3 & 4\\ \hline effectif $n_{i}$ &30 & 48 &46 & 32\\ \hline \end{tabularx}\] On note $f_{i}$ la fréquence relative à la face $n_{i}$ et $d_{\text{obs}}^2$ le réel $\displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(f_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$. On simule ensuite \np{1000} fois l'expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l'ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour chaque simulation, on calcule $d^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(F_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$, où $F_{i}$ est la fréquence d'apparition du nombre $i$. Le $9\up{e}$ décile de la série statistique des \np{1000} valeurs de $d^2$ est égal à \np{0,0098}. Au vu de l'expérience réalisée et au risque de 10\,\%, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ? %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2005 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2005~\decofourright}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l'instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est : soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$ ; soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$. \item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n+1)$, elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable \item[$\bullet~$] si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $A_{n}$ (respectivement $B_{n},~C_{n}$) l'évènement \og à l'instant $n$ la puce est en A \fg{} (respectivement en B, en C). On note $a_{n}$ (respectivement $b_{n},~c_{n}$) la probabilité de l'évènement $A_{n}$, (respectivement $B_{n},~C_{n}$). On a donc : $a_{0} = 1,~b_{0} = c_{0} = 0$. \emph{Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $a_{k},~  b_{k}$ et $c_{k}$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leqslant k \leqslant 3$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~$ $a_{n} + b_{n} +c_{n} = 1$ et \renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l l l} a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}b_{n}\\ b_{n+1} &=&\dfrac{1}{3}a_{n}\\ \end{array}\right.$\renewcommand\arraystretch{1} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n+2} = \dfrac{1}{6}a_{n}$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $p,\\ ~\left\{\begin{array}{l c l} a_{2p}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^p&\text{et}&~a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0& \text{et}&b_{2p+1} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^p\\ \end{array}\right.$. \end{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_{n} =0$. On admet que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} b_{n} = 0$. Quelle est la limite de $c_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique : 1~cm). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le repère \Ouv, on considère la courbe $\mathcal{H}$ d'équation $y^2 - x^2 = 16$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ où $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ et où $\mathcal{C}'$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une transformation simple que l'on précisera. \item Étudier la fonction $f$ (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation). \begin{enumerate} \item Montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathcal{C}$. \item Tracer $\mathcal{H}$ dans le repère \Ouv. On nomme A et B les points de la courbe d'abscisses respectives $-3$ et $3$. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ vérifiant : \[-3 \leqslant x \leqslant 3~\text{ et}~ \sqrt{x^2 + 16} \leqslant y \leqslant 5.\] Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ et exprimer l'aire de $\mathcal{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $ - \dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $r$. \item On désigne par $x'$ et $y'$ les coordonnées du point $M'$, image du point $M(x~;~ y)$ du plan. Vérifier que $\left\{\begin{array}{l c l} x' &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} (x + y)\\ y'&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}(- x + y)\\ \end{array}\right.$ Déterminer les coordonnées des points A$'$ et B$'$, images respectives de A et B par la rotation $r$. Placer les points A$'$ et B$'$ dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{H}'$ l'hyperbole d'équation $xy = 8$. \begin{enumerate} \item Tracer $\mathcal{H}'$ dans le repère \Ouv. \item Montrer que $\mathcal{H}'$ est l'image de $\mathcal{H}$ par la rotation $r$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}'$ l'image de $\mathcal{D}$ par la rotation $r$. On admet que $\mathcal{D}'$ est l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan vérifiant $\sqrt{2} \leqslant x \leqslant 4\sqrt{2}$ et $ \dfrac{8}{x} \leqslant y \leqslant5\sqrt{2} - x$. \begin{enumerate} \item Hachurer $\mathcal{D}'$. \item Calculer l'aire de $\mathcal{D}'$,exprimée en cm$^2$. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'aire de $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points} \medskip \emph{Pour chacune des $3$ questions, une seule des trois propositions est exacte.} \emph{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.} \emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \medskip Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Le point $M$ est situé sur le cercle de centre A$(-2~;~ 5)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Son affixe $z$ vérifie : \begin{enumerate} \item $|z - 2 + 5\text{i}|^2 = 3$ ; \item $|z + 2 - 5\text{i}|^2 = 3$ ; \item $|z - 2 + 5\text{i}| = 3$. \end{enumerate} \item On considère trois points A, B et C d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point $M$ est un point dont l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes $\dfrac{z - b}{c - a}$ et $\dfrac{z - c}{b - a}$ sont imaginaires purs. \begin{enumerate} \item $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; \item $M$ appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ; \item $M$ est l'orthocentre du triangle ABC. \end{enumerate} \item Soit A et B les points d'affixes respectives $1$ + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle $G$ l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe. \begin{enumerate} \item $\left|z_{G} - 3 - 2,5\text{i}\right|= \dfrac{5}{6}$ ; \item $z_{G}- (1 + \text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$ ; \item $z_{G} - (3 + 2,5\text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \medskip L'annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos (4x)\] et $\Gamma$ sa courbe représentative tracée dans le repère \Oij~ de l'annexe. On considère également la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{-x}$ et on nomme $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[,$ \[ - \text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{-x}.\] \item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$. \item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ sur $\N$ par $u_{n} = f\left(n\dfrac{\pi}{2}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison. \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et étudier sa convergence. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \[f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right].\] \item En déduire que les courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs. \end{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès du coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$. Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \psset{unit=5cm}\begin{pspicture}(0,-1.2)(4,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes(0,0)(0,-1.2)(4,1.2) \uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x mul 180 3.14159 div mul cos 2.71828 x exp div} \rput(2.5,1){\textbf{Annexe : exercice 4}} \end{pspicture} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2005 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{16 novembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2005~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : \textbf{4 cm} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives : \[ z_{\text{I}} = 1\ ,\ z_{\text{J}}= \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{H}} = 1 + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{A}}=2\ ,\ z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{C}} = 2\mathrm{i} \ \mathrm{ et } \ z_{\text{D}} = -1 \] \item Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F. Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}}= -1 + \dfrac{1}{2} \mathrm{i}$. \medskip \item Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip On considère la transformation $f$ du plan, d'écriture complexe : \[z' =- \mathrm{i} \, \overline{z} + 2 \mathrm{i}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les images des points O, A, B par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude. Est-ce une isométrie ? \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item La transformation $f$ est-elle une symétrie axiale ? \end{enumerate}\item Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$. Donner l'écriture complexe de $t$ et celle de sa réciproque $t^{-1}$. \item On pose $s=f \circ t^{-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est: $z'= - \mathrm{i} \, \overline{z} + 1 + \mathrm{i}$. \item Montrer que I et J sont invariants par $s$. En déduire la nature de $s$. \item En déduire que $f$ est la composée d'une translation et d'une symétrie axiale à préciser. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : \textbf{3 cm} À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ par l'application $f$ qui admet pour écriture complexe : \[z'= \dfrac{(3+4\mathrm{i})z+5 \overline{z}}{6}.\] \begin{enumerate} \item On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + 2\mathrm{i} , z_{\text{B}} = 1$ et $z_C=3\mathrm{i}$. Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$ images respectives de A, B, C par $f$. Placer les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$. \item On pose $z = x+\mathrm{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la droite $(D)$ d'équation $y= \dfrac{1}{2}x$. Tracer $(D)$. Quelle remarque peut-on faire ? \item Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par $f$. Montrer que $M'$ appartient à la droite $(D)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ : \[\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}} = \dfrac{z+\overline{z}}{6} + \mathrm{i}\dfrac{z-\overline{z}}{3}.\] En déduire que le nombre $\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}}$ est réel. \item En déduire que, si $M' \neq M$, les droites (OA) et $(MM')$ sont parallèles. \end{enumerate} \item Un point quelconque $N$ étant donné, comment construire son image $N'$ ? (on étudiera deux cas suivant que $N$ appartient ou non à $(D)$). Effectuer la construction sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1\\ u_n=u_{n-1}+\dfrac{1}{n}\ \text{pour}~ n \geqslant 2 \end{array} \right.$ et $v_n = u_n - \ln n\ $ pour $\ n \geqslant 1$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_2, u_3$ et $u_4$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle u_n= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul : $\displaystyle \dfrac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$ \item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, on a les inégalités suivantes : \[ u_n-1 \leqslant \ln n \leqslant u_n- \dfrac{1}{n} \ \ \text{ et } \ \ 0 \leqslant v_n \leqslant 1\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{1}{n + 1} - \displaystyle\int_{n}^{n+1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x.\] \item En déduire le sens de variations de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge. On note $\gamma$ la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ (on ne cherchera pas à calculer $\gamma$). Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice comporte \textbf{deux parties indépendantes.}} \emph{La partie} \textbf{I} \emph{est la démonstration d'un résultat de cours. La partie} \textbf{II} \emph{est un Q.C.M.} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \textbf{Question de cours} Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Démontrer que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. \medskip \textbf{Partie II} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie \textbf{II} est ramenée à zéro.} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. On extrait simultanément trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\boxed{\textbf{A}} \quad \dfrac{75}{512}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad \dfrac{13}{56}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad \dfrac{15}{64}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad \dfrac{15}{28}$\\ \end{tabularx} \item Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population. Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est $0,25$. Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\boxed{\textbf{A}} \quad \dfrac{1}{120}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad \dfrac{3}{40}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad \dfrac{1}{12}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad \dfrac{4}{40}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne 10 \euro{} si le dé marque 1. Il gagne 1 \euro{} si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de $X$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\boxed{\textbf{A}} \quad 2$&$\boxed{\textbf{B}}\quad 13$&$\boxed{\textbf{C}}\quad 16$&$\boxed{\textbf{D}}\quad 17$\\ \end{tabularx} \medskip \item La durée d'attente $T$, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{6}$. On a donc pour tout réel $t >0$ : $\displaystyle P(T < t) = \int_0^t \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x$ $(\text{ avec } \lambda = \dfrac{1}{6})$ où $t$ désigne le temps exprimé en minutes. Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à $10^{-4}$ près) que son temps total soit inférieur à $5$ minutes ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $\boxed{\textbf{A}} \quad \np{0,2819}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad \np{0,3935}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad \np{0,5654}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad \np{0,6065}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un lapin désire traverser une route de $4$ mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de $60$~km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à $7$ mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à \dots~ $30$~km/h ! \medskip L'avant du camion est représenté par le segment [CC$'$] sur le schéma ci-dessous. Le lapin part du point A en direction de D. Cette direction est repérée par l'angle $\theta =\widehat{\text{BAD}}$ avec $0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi}{2}$ (en radians). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10.5,1.6) \psline(0,0)(10.5,0) \psline(0,1.6)(10.5,1.6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.4,0)(3.9,1.6) \psline(6.8,0)(6.8,1.6)(8.3,0) \psline{->}(3.9,0.8)(4.4,0.8) \psline{<->}(3.9,0.2)(6.8,0.2) \psline{->}(6.8,1.6)(7.5,0.85) \psline{<->}(1.1,0)(1.1,1.6) \uput[l](1.1,0.8){4 m} \uput[u](3.9,1.6){C$'$} \uput[u](6.8,1.6){A} \uput[d](3.9,0){C} \uput[d](6.8,0){B} \uput[d](8.3,0){D} \uput[d](7.1,1){$\theta$} \uput[u](5.35,0.2){7 m}\rput(2.6,0.8){Camion} \psarc(6.8,1.6){0.6cm}{-90}{-44.8} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer les distances AD et CD en fonction de $\theta$ et les temps $t_1$ et $t_2$ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD. \item On pose $f(\theta) = \dfrac{7}{2} + 2 \tan \theta - \dfrac{4}{ \cos \theta}$. Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f(\theta) > 0$. \item Conclure. \end{enumerate} \emph{Rappel}: La fonction $x \mapsto \tan x$ est dérivable sur $\left[ 0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et a pour dérivée la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{\cos^2 x}$. %%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2005 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \bigskip {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2005~\decofourright}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-1}$ près. \item Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près. \item Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose que la durée de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{1} = 5 \times 10^{-4}$ et que la durée de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à \np{1000} heures : \begin{enumerate} \item si ce composant est défectueux ; \item si ce composant n'est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après $t$ heures de fonctionnement est : \[P(T \geqslant t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\] (on rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02). \item Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner \np{1000} heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \textbf{Formulaire} Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre $\lambda$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ : Pour $0 \leqslant a \leqslant b,~ P\left([a~;~b]\right)= \displaystyle\int_{a}^b \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$. Pour $c \geqslant 0,~ P\left([c~ ;~+ \infty[\right) = 1 - \displaystyle\int_{0}^c \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~c$ et $d$ telles que : \[a = \text{i},\qquad b = 1 + 2\text{i},\qquad c = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},\quad \text{et} \quad d = 3+2\text{i}.\] On considère la similitude directe $s$ qui transforme A en B et C en D. Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par $s$. \begin{enumerate} \item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l c l} U_{0}& =&0\\ U_{n+1}& =& 2U_{n} +1\quad \text{pour tout}~ n \in \N\\ \end{array}\right.$ \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ U_{n+1}$ et $U_{n}$ sont premiers entre eux. \item Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude $s$, les termes de la suite $\left(U_{n}\right)$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $U_{n} = 2^n - 1$. \item Montrer que, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ non nuls tels que $n \geqslant p$, \[U_{n} = U_{p} \left(U_{n-p} +1\right) + U_{n-p}.\] La notation pgcd$(a~;~b)$ est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels $a$ et $b$ . Montrer pour $n \geqslant p$ l'égalité \[\text{pgcd}\left(U_{n}~,U_{p}\right) = \text{pgcd}\left(U_{p},~U_{n-p}\right).\] \item Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, montrer que : \[\text{pgcd}\left(U_{n},~U_{p}\right) = U_{\text{pgcd}(n~;~p)}.\] Déterminer le nombre : pgcd$\left(U_{2005},~U_{15}\right).$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'= \dfrac{4}{\overline{z}}$, où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Déterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1. \item Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. Démontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un antécédent unique par $f$, dont on précisera l'affixe. \item \begin{enumerate} \item Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}M'}\right)$. Interpréter géométriquement ce résultat. \item Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ désigne un réel strictement positif, en déduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$. \item Choisir un point $P$ du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que O$P$ = 3, et construire géométriquement son image $P'$ par $f$. \end{enumerate} \item On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre Jet de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$, distinct de O, appartient à la droite $D$ d'équation $x = 2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice, une réponse par \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg, sans justification, est demandée au candidat en regard d'une liste d'affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne $0,4$ point. Toute réponse erronée enlève $0,1$ point. L'absence de réponse n'est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.} \vspace{0,5cm} \parbox{0.5\textwidth}{On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. \emph{Le candidat est appelé à juger chacune des} 10 \emph{affirmations suivantes.}} \hfill \parbox{0.44\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,5) \pspolygon(0.4,1.05)(2.7,0.4)(4.4,2.2)(2,2.8)%ABCD \pspolygon(0,3.2)(2.4,2.6)(4,4.4)(1.7,5)%EFGH \pspolygon(0,3.2)(1.55,0.725)(4.2,3.3)%EIJ \psline(0.4,1.05)(0,3.2) \psline(2.7,0.4)(2.4,2.6) \psline(4.4,2.2)(4,4.4) \psline(2,2.8)(1.7,5) \uput[dl](0.4,1.05){A} \uput[dr](2.7,0.4){B} \uput[dr](4.4,2.2){C} \uput[ul](2,2.8){D} \uput[ul](0,3.2){E} \uput[dr](2.4,2.6){F} \uput[ur](4,4.4){G} \uput[ul](1.7,5){H} \uput[dl](1.55,0.725){I} \uput[r](4.2,3.3){J} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.} \begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|c|}\hline &Affirmation& VRAI ou FAUX\\\hline\hline \textbf{1.}&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline \textbf{2.}&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \vect{\text{AI}}\cdot \vect{\text{AB}}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \textbf{3.}&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IC}}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline \textbf{4.}&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \text{AB} \times \text{IC} \times \cos \dfrac{\pi}{3}$\hspace{4,3cm} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} On utilise à présent le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|c|}\hline &Affirmation& VRAI ou FAUX\\\hline\hline \textbf{5.}& Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est : & \\ &$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t+1\\ y& =& 2t\\ z&=&t\\ \end{array}\right.$,~le paramètre $t$ décrivant $\R$.& \\ \hline \textbf{6.}& Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est : &\\ &$\left\{\begin{array}{l c l} x & = & \dfrac{1}{2}t + 1\\ y &=& t + 1\\ z &=&\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \end{array}\right.$,~le paramètre $t$ décrivant $\R$ & \\ \hline \textbf{7.}&$6x - 7y + 8z - 3 = 0$ est une équation cartésienne& \\ & de la droite (IJ). &\\\hline \textbf{8.}&L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite &\\ &passant par l et par le milieu de l'arête [DC].& \\ \hline \textbf{9.}&Le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{l}-4\\ 1\\2\\ \end{array}\right)$ est un vecteur &\\ &normal au plan (FIJ). &\\ \hline \textbf{10.}& Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à $\dfrac{1}{6}$.& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par \[ f(x) = \text{e}^{- x^2} \quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{-x^2}.\] On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij, dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item Identifier $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la figure fournie. (Justifier la réponse apportée). \item Étudier la parité des fonctions $f$ et $g$. \item Étudier le sens de variation de $f$ et de $g$. Étudier les limites éventuelles de $f$ et de $g$ en $+\infty$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $G$ définie sur $\R$ par \[G(x) = \displaystyle\int_{0}^x t^2\text{e}^{- t^2}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Que représente $G$ pour la fonction $g$ ? \item Donner, pour $x > 0$, une interprétation de $G(x)$ en termes d'aires. \item Étudier le sens de variations de $G$ sur $\R$. \emph{On définit la fonction} $F$ \emph{sur} R \emph{par : pour tout réel} $x,~ F(x) = \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$ \item Démontrer, que, pour tout réel $x,~ G(x) = \dfrac{1}{2}\left[F(x) - x\text{e}^{-x^2}\right]$ ; (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de $G$ et de $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\left[F(x) - x\text{e}^{-x^2}\right]$. \emph{On admet que la fonction $F$ admet une limite finie} $\ell$ \emph{en} $+\infty$, \emph{et que cette limite} $\ell$ \emph{est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine} $\mathcal{A}$ \emph{limité par la courbe} $\mathcal{C}_{f}$ \emph{et les demi-droites} $\left[\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ \emph{et} $\left[\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $G$ admet une limite en $+\infty$ que l'on précisera. \item Interpréter en termes d'aires le réel N $= \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 - t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$ \item En admettant que la limite de $G$ en $+\infty$ représente l'aire $\mathcal{P}$ en unités d'aire du domaine $\mathcal{D}$ limité par la demi-droite $\left[\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$ justifier graphiquement que : \[ \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 - t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t \geqslant \dfrac{\ell}{2}.\] (on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie) \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Document à rendre avec la copie - Annexe} \vspace{1cm} \end{center} \textbf{Exercice 3} \vspace{0,5cm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline Affirmation n\up{o}& VRAI ou FAUX\\ \hline 1& \\ \hline 2& \\ \hline 3& \\ \hline 4& \\ \hline 5& \\ \hline 6& \\ \hline 7& \\ \hline 8& \\ \hline 9& \\ \hline 10& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{xunit=1.7cm,yunit=7cm}\begin{pspicture}(-3.5,-0.25)(3.5,1.25) \multido{\n=-3.5+0.5}{15}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-0.25)(\n,1.25)} \multido{\n=-0.25+0.25}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-3.5,\n)(3.5,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-0.25)(3.5,1.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp x dup mul mul} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2005 \end{document}