%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2007 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2007 à mars 2008}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2007} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{Liban}{Liban mai 2007} \dotfill \pageref{Liban} \\ \hyperlink{Ameriquenord}{Amérique du Nord mai 2007} \dotfill \pageref{Ameriquenord} \\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2007} \dotfill \pageref{Antilles} \\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 2007} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 2007} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole juin 2007} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2007} \dotfill \pageref{LaReunion} \\ \hyperlink{Polynesiejuin}{Polynésie juin 2007} \dotfill \pageref{Polynesiejuin} \\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2007} \dotfill \pageref{Antillessep} \\ \hyperlink{Metropolesep}{France et Réunion septembre 2007} \dotfill \pageref{Metropolesep} \\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie obligatoire septembre 2007} \dotfill \pageref{Polynesiesep} \\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2007} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2007} \dotfill \pageref{Caledonienov} \\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2008} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \end{tabularx} \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2007 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{12 avril 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z + 4 = 0$ et les points A de coordonnées (3~;~2~;~6), B de coordonnées (1~;~2~;~4), et C de coordonnées $(4~;~-2~;~5)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. \item Vérifier que ce plan est le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Écrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. \item Soit K le projeté orthogonal de O sur $\mathcal{P}$. Calculer la distance OK. \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. \end{enumerate} \item On considère, dans cette question, le système de points pondérés \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G. \item On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI). \item Déterminer la distance de G au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant : \[\left\|3\vect{M\text{O}} + \vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\] Déterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à $\mathcal{P}$ et $\Gamma$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $R$ la rotation du plan de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et d'angle de mesure $\theta$. L'image par $R$ d'un point du plan est donc définie de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $R(\Omega) = \Omega$ \item pour tout point $M$ du plan, distinct de $\Omega$, l'image $M'$ de $M$ est définie par $\Omega M' = \Omega M$ et $\left(\vect{\Omega M},~\vect{\Omega M'}\right) = \theta \quad [2\pi]$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que, pour des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$, $AB = |b-a |$ et $\left(\vect{u},~\vect{AB}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \medskip \emph{Question :} Montrer que les affixes $z$ et $z'$ d'un point quelconque $M$ du plan et de son image $M'$ par la rotation $R$, sont liées par la relation \[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\theta} (z -\omega).\] \item On considère les points I et B d'affixes respectives $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$. Soit $R$ la rotation de centre B et d'angle de mesure $ \dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $R$. \item Soit A l'image de I par $R$. Calculer l'affixe $z_{\text{A}}$ de A. \item Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$. \item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$. \end{enumerate} \item Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{\text{IO}}$. On pose A$' = T$(A). \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$. \item Quelle est la nature du quadrilatère OIAA$'$ ? \item Montrer que $- \dfrac{\pi}{12}$ est un argument de $z_{\text{A}'}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances} \medskip On suppose connus les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; \item la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ; \item une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soient A, B et C trois points non alignés du plan et $s$ et $s'$ deux similitudes du plan telles que $s(\text{A}) = s'(\text{A}), s(\text{B})= s'(\text{B})$ et $s(\text{C}) = s'(\text{C})$. Montrer que $s = s'$. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe $1 + \text{i}$, F d'affixe $2 + \text{i}$ et G d'affixe $3 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. \item Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte $S$, en déterminant l'écriture complexe de $S$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. On pose A$' = h(\text{A})$ et G$' = h(\text{G})$, et on appelle I le milieu de [EA$'$]. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que $S = \sigma \circ h$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln (x + 3)}{x+3}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$. Étudier le signe de sa fonction dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+ \infty$, et dresser le tableau de ses variations. \item On définit la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ par son terme général $u_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Justifier que, si $n \leqslant x \leqslant n + 1$, alors $f(n +1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$. \item Montrer, sans chercher à calculer $u_{n}$, que, pour tout entier naturel $n$, \[f(n+1) \leqslant u_{n} \leqslant f(n).\] \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = \left[\ln (x + 3)\right]^2.\] \begin{enumerate} \item Justifier la dérivabilité sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $F$ et déterminer, pour tout réel positif $x$, le nombre $F'(x)$. \item On pose, pour tout entier naturel $n,~I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{n} f(x)\:\text{d}x$. Calculer $I_{n}$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n-1}$. Calculer $S_{n}$. La suite $\left(S_{n}\right)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les évènements : $A$ : \og au moins une personne accepte de répondre \fg $B$ : \og moins de trois personnes acceptent de répondre \fg $C$ : \og trois personnes ou plus acceptent de répondre \fg. Calculer les probabilités des évènements $A$, $B$ et $C$. On arrondira au millième. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à tout groupe de $n$ personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par : \[\left\{\begin{array}{l} \text{Pour tout entier}~ k~ \text{tel que}~ 0 \leqslant k \leqslant n -1,~ P (X = k) = \dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !}\\ \text{et}~ P(X = n) = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !},\\ \text{formules dans lesquelles}~ a = \dfrac{n}{10}\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par : \[f(a) = 1 - \text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\] \item Calculer $f(5)$. En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ? \end{enumerate} \item On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R^{+}$ par \[f(x) = 1 - \text{e}^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right).\] ainsi que sa limite en $+ \infty$. Dresser son tableau de variations. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0,95$ admet une solution unique sur $\R^{+}$, et que cette solution est comprise entre $6,29$ et $6,3$. \item En déduire le nombre minimum de personnes à interroger. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2007 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2007 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \ln x~ \text{et}~ g(x) = (\ln x)^2.\] On note $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les courbes représentatives respectives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal. Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sont données en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $(\ln x)(1 - \ln x)$ sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $M$ est le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ est le point de $\mathcal{C}'$ de même abscisse. \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$. Étudier les variations de la fonction $h$ sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire que sur l'intervalle [1~;~e], la valeur maximale de la distance $MN$ est obtenue pour $x = \sqrt{\text{e}}$. \item Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'équation $(\ln x)^2 - \ln x = 1$. \item En déduire que, sur ]0~;~1[\: $\cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, il existe deux réels $a$ et $b$ ($a < b$) pour lesquels la distance $MN$ est égale à $1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\: \text{d}x$. \item Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x \left[(\ln x)^2 - 2 \ln x +2\right]$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$. \item On considère la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire de cette partie du plan. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ne faisant pas l'option mathématiques} \medskip \emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.\\ Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la droite ($d$) dont un système d'équations paramétriques est : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 - \dfrac{t}{2}\\ y &=& 1\\ z &=&5 - \dfrac{3t}{2}\\ \end{array}\right. ~~(t \in \R)$ On note A le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$, B le point de coordonnées $(4~;~-2~;~2)$ et C le point de ($d$) d'abscisse $1$. \begin{enumerate} \item Proposition 1 \og La droite ($d$) est parallèle à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ \fg. \item Proposition 2 \og Le plan $P$ d'équation $x+ 3z - 5=0$ est le plan passant par A et orthogonal à ($d$) \fg. \item Proposition 3 \og La mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radians \fg. \item Soit G le barycentre des points pondérés (A ; $-1$), (B ; 1) et (C ; 1). Proposition 4 \og Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu \fg. \item Proposition 5 \og La sphère de centre C et passant par B coupe le plan $P$ d'équation $x + 3z - 5 = 0$ \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'option mathématiques} \medskip \emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ définie par : $z'= 2\text{i}z+1$. \textbf{Proposition 1 :} \og Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe $\dfrac{1}{5}+ \dfrac{2}{5}\text{i}$, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de rapport 2 \fg. \item Dans l'espace muni du repère orthonormal \Oijk, on note $S$ la surface d'équation $z = x^2+2x +y^2 + 1$. \textbf{Proposition 2 :} \og La section de $S$ avec le plan d'équation $z = 5$ est un cercle de centre A de coordonnées $(-1~;~0~;~5)$ et de rayon $5$ \fg. \item \textbf{Proposition 3 :} \og $5^{750} - 1$ est un multiple de 7 \fg. \item \textbf{Proposition 4 :} \og Si un entier naturel $n$ est congru à $1$ modulo $7$ alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7 \fg. \item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. \textbf{Proposition 5 :} \og S'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 2$ alors le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 2 \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : \medskip Étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$. \medskip Étape $n~ (n \geqslant 2$) : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$. \item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $A$ l'évènement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $p_{2}$. \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8 p_{n} + 0,05$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Calculer $p_{3}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ entier naturel non nul, $p_{n} > 0,25$. \item Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$. \item Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. En déduire la valeur de~$\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{z}{|z|}\left(2 - |z|\right).\] Le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l'on complétera au fur et à mesure des questions. Pour $z$ complexe non nul, on note $z = r \text{e}^{\text{i}\alpha},~ r$ étant le module de $z$ et $\alpha$ un argument de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $z'= (2 - r) \text{e}^{\text{i}\alpha}$. \item Déterminer l'affixe $a'$ du point A$'$, image par $f$ du point A d'affixe $a = 3$. \item Soit B le point d'affixe $b = -\sqrt{3}+ \text{i}$. \begin{enumerate} \item Écrire $b$ sous forme exponentielle. \item Déterminer l'affixe $b'$ du point B$'$, image du point B par $f$. \end{enumerate} \item Placer A, B, A$'$ et B$'$ sur la figure. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan privé du point O dont l'image par $f$ est O. \item Représenter $E$ sur la figure. \end{enumerate} \item Montrer que le cercle $\mathcal{C}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de O tels que $f(M)=M$. \item Pour cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, n' appartenant pas au cercle $\mathcal{C}_{1}$. On appelle I le milieu du segment $[MM']$ où $M'$ est l'image de $M$ par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que I appartient à $\mathcal{C}_{1}$. \item Montrer que I appartient à la demi-droite [O$M$). \item Sur la figure donnée en annexe est placé un point nommé $M_{1}$. Construire le point $M_{1}'$, image par $f$ du point $M_{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe} \begin{center} \textbf{ Annexe à rendre avec la copie} \vspace {0,5cm} \end{center} \begin{large}\textbf{\textsc{Exercice 1}}\end{large} \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture*}(-0.5,-2.1)(5.1,3.1)%généré par pstplus \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=.3pt, subgriddiv=1](0,0)(-0.2,-2.1)(5.1,3.1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-2.1)(5.1,3.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(1,1) \def\F{x ln} \psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.1}{5}{\F} \def\G{x ln 2 exp} \psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.1}{5}{\G} \uput[dl](0,0){0} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center} \vspace {0,5cm} \begin{large}\textbf{\textsc{Exercice 4}}\end{large} \bigskip \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.3,2.3) \SpecialCoor \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vect{u}$} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vect{v}$} \uput[-135](O){O} \pscircle[linewidth=0.2pt](0,0){1} \uput[-180](-0.8,-0.6){$\mathcal{C}_1$} \dotnode (0.6,1.5) {M1} \uput[60](M1){$M_1$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2007 \hypertarget{Ameriquenord}{} \label{Ameriquenord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{mai 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Soit (P) le plan dont une équation est : $2x + y - 3z + 1 = 0$. Soit A le point de coordonnées (1~;~11~;~7). \textbf{Proposition 1 :} \og Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0~;~2~;~1) \fg. \item On considère l'équation différentielle (E) : $y' = 2 - 2 y$. On appelle $u$ la solution de (E) sur $\mathbb{R}$ vérifiant $u(0) =0$. \textbf{Proposition 2 :} \og On a $u\left(\dfrac{\ln 2}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$\fg. \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\sqrt{7u_{n}}$. \textbf{Proposition 3 :} \og Pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_{n}\leqslant 7$\fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \mathrm{i}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On appelle C l'image de B par $r$. \begin{enumerate} \item Déterminer une écriture complexe de $r$. \item Montrer que l'affixe de C est $z_{\text{C}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$. \item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, $- 1$ et 2. \begin{enumerate} \item Montrer que l'affixe de D est $z_{\text{D}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$. Placer le point D. \item Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l'image de D par $h$. \begin{enumerate} \item Déterminer une écriture complexe de $h$. \item Montrer que l'affixe de E est $z_{\text{E}}=\sqrt{3}$. Placer le point E. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le rapport $\dfrac{z_{\text{D}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{E}}-z_{\text{C}}}$. On écrira le résultat sous forme exponentielle. \item En déduire la nature du triangle CDE. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv (unité graphique : 1~cm). On fera une figure que l'on complétera tout au long de cet exercice. \medskip Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \text{i}$ et $c = 1 + 4 \text{i}$. Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = (2 - 2\text{i})z + 1.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$'$ image du point B par $f$. \item Montrer que les droites (CB$'$) et (CA) sont orthogonales. \end{enumerate} \item Soit $M$ le point d'affixe $z = x + \text{i}y$ , où on suppose que $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Soit $M'$ l' image de $M$ par $f$. Montrer que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ sont orthogonaux si et seulement si $x + 3y = 2$. \item On considère l'équation (E) : $x + 3y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(- 4~;~2)$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$ et tels que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante : \medskip \begin{enumerate} \item[$\bullet$] s'il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ; \item[$\bullet$] s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1. \end{enumerate} On appelle : $E_{1}$ l'évènement \og le joueur perd la première partie\fg ; $E_{2}$ l'évènement \og le joueur perd la deuxième partie\fg ; $E_{3}$ l'évènement \og le joueur perd la troisième partie \fg. \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à $0,031$ et que celle de l'évènement $(X = 3)$ est égale à $0,002$. \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $E_{n}$ l'évènement : \og le joueur perd la $n$-ième partie \fg, $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire, et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, les probabilités des évènements $E_{n}\cap E_{n+1}$ et $\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$. \item En déduire que $p_{n+1} = 0,05p_{n} + 0,05$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances.} L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$. On supposera connus les résultats suivants : \begin{enumerate} \item[$\bullet$] la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa fonction dérivée ; \item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ; \item[$\bullet$] pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$. \item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ définies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ où $A$ est un réel positif. Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$, $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$ \end{enumerate} \item On appelle $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire une conséquence graphique pour $\mathcal{C}$. \item Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)= \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$. \item Montrer que $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$. \item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Justifier l'existence d'un unique réel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 10$^{-2}$ près par excès. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x =n$. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant 0,5$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 4} \vspace{2cm} \psset{xunit=1.2,yunit=3.5} \begin{pspicture}(-1,-1)(9,1.5) \uput[r](-0.2,1.5){\textbf{Cette page ne sera pas à remettre avec la copie}} \multido{\r=0.0+0.25}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,1.3)} \multido{\r=0.0+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\r)(8.2,\r)} \uput[dl](0,0){0} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.25,1.3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{8}{2.71828 x 2 div neg exp x mul 4 div} \uput[u](6,0.07){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](8.2,0){$x$}\uput[l](0,1.25){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2007 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2007~\decofourright }}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Question de cours} \smallskip Prérequis: positivité et linéarité de l'intégrale. Soient $a$ et $b$ deux réels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tels que $a\leqslant b$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x\geqslant\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)\:\text{d}t$. \item Démontrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a : \[2 - t\leqslant \dfrac1t.\] \item Déduire de ce qui précède que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 1, on a : \[-\frac12x^2 + 2x- \frac32 \leqslant \ln x.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \smallskip Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[h(x)= - \dfrac12x^2 + 2x - \dfrac32.\] Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a tracé également la droite $(d)$ d'équation $x = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\:\text{d}x=0$. \item Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. \end{enumerate} \item On note $(D)$ le domaine du plan délimité par la droite $(d)$ et les courbes représentatives des fonction $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1~;~4]$. En utilisant un intégration par parties, calculer l'aire de $(D)$ en unités d'aire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$. Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right).\] \smallskip \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels. \begin{enumerate} \item Démontrer les égalités suivantes : $x'=\dfrac{1}{2}(x + y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x + y)$. En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M = M'$. \item Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux. \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $\text{O}M_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme. \begin{enumerate} \item Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\text{i}$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$. \item Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$. \item $OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier. \item Vérifier que $z'-z=\dfrac12 \text{i}z_{3}$. En déduire que $MM'=\dfrac12\text{O}M_{3}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $MM'=\dfrac12\text{O}M$. Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'\text{O}M}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm). On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+\text{i}$. On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3. On pose $s=h\circ S_{1}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Placer le point $A$ et compléter la figure au fur et à mesure. \item Quelle est la nature de la transformation $s$~? Justifier. \item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $s$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{B}$ du point $B$ image de $A$ par $s$. \item Montrer que $z_{B}=-3\text{i}z_{A}$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}A},\vect{\text{O}B}\right)$. \end{enumerate} \item Soient $M$ le milieu de $[AB]$ et $P$ l'image de $M$ par $s$. Montrer que la droite $(\text{O}P)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $C = s(B)$. Montrer que $P$ est le milieu de $[BC]$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $s \circ s$ et en déduire sa nature. \item Montrer que l'image de la droite $(\text{O}P)$ par $s$ est la droite $(OM)$. \item Que représente le point $M$ pour le triangle O$BP$~? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On considère les points $A(3~;~0~;~6)$ et $I(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$. On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2z + 12 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires. \item Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est la droite $(D)$. \item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. \item Démontrer qu'une équation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est \[x + 4y + 2z - 12 = 0.\] \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(OA)$. Démontrer que la droite $(\text{O}A)$ et le plan $(T)$ sont sécants en un point $H$ dont on déterminera les coordonnées. \item Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=5mm,yunit=5mm} \begin{pspicture}(-13,-3)(9,10) \pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C} \pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B} \pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I} \pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I) \pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A} \psline(N)(C) \psline[linestyle= dotted](C)(D) \psline(D)(B) \psline[linestyle= dotted](B)(G) \psline(G)(R) \psline(O)(J) \psline[linestyle= dotted](J)(I) \psline(I)(Q) \psline(S)(T) \psline(O)(P) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z) \psline(C)(A) \psline[linestyle=dotted](A)(K) \psline(K)(B) \uput[-45](E){$(Q)$} \uput[-45](H){$(P)$} \uput[45](T){$(D)$} \uput[45](P){\tiny$x$} \uput[-45](R){\tiny$y$} \uput[-45](Q){\tiny$z$} \uput[180](X){\tiny$\vect{i}$} \uput[135](Y){\tiny$\vect{j}$} \uput[-135](Z){\tiny$\vect{z}$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte aux questions $1$ et $2$ rapporte $0,5$ point et à la question $3$ rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \medskip On s'intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d'une boite de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L'usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80\,\% des pièces de type P1 et 40\,\% de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20\,\% des pièces de type P1 et 60\,\% de pièces de type P2. \medskip \begin{enumerate} \item Un employé de l'usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard. \begin{enumerate} \item La probabilité que ce soit une pièce P1 est \[\np{0,8}\qquad\qquad\np{0,5}\qquad\qquad\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,6}\] \item La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu'elle vienne de S1 est \[\np{0,1}\qquad\qquad\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,3}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,5}\] \item La probabilité qu'elle vienne de S1 est $$\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,5}\qquad\qquad\np{0,6}\qquad\qquad\np{0,8}$$ \end{enumerate} \item Il y a $200$ pièces au total. Cette fois l'employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. \begin{enumerate} \item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est : \[\np{0,1588}\qquad\qquad \np{0,2487}\qquad\qquad \np{0,1683}\qquad\qquad \np{0,0095}\] \item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est: \[\np{0,5000}\qquad\qquad \np{0,2513}\qquad\qquad \np{0,5025}\] \item La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est: \[\frac{357}{995}\qquad\qquad \dfrac{103}{199}\qquad\qquad \dfrac{158}{995}\] \end{enumerate} \item La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre $\lambda$ est donné dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $\lambda$ & P1 & P2 \\ \hline S1 & \np{0,2} & \np{0,25}\\ \hline S2 & \np{0,1} & \np{0,125}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On rappelle que si $X$, durée de vie d'une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^t\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x$. Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est : \[ \np{0,3679}\qquad\qquad \np{0,6321}\] \end{enumerate} \begin{figure}[hb] \caption{Annexe (à rendre avec la copie)} \newrgbcolor{zzttqq}{0.2 0.2 0} \vspace{2cm} \small{ \psset{xunit=2.5cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.4,-1.75)(4.56,2.1) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,gridwidth=1.25pt,subgridwidth=0.6pt,griddots=10,subgridcolor=orange](0,-2)(4,2) \psaxes[Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,-1.75)(4,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.0}{4.0}{ln(x)} \psplot[linecolor=darkgray,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.0}{4.0}{-x^2/2+2*x-3/2} \psline(4,-1.75)(4,1.93) \uput[d](4.15,-0.02){$x$} \rput[tl](-0.19,1.87){$y$} \rput[bl](0.48,-0.19){$\vect{i}$} \rput[bl](0.04,0.56){$\vect{j}$} \end{pspicture*}} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2007 \hypertarget{Asie}{}% \label{Asie} \lhead{\small BaccalaurŽéat S} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small juin 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2007~\decofourright }}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Si $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = \sin^2 x$, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) = \sin 2x$. \item Soit $f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$, dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si $f(-1) = -f(1)$, alors : $\displaystyle\int_{-1}^{1} tf'(t)\:\text{d}t = - \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\:\text{d}t$. \item Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle [0~;~3]. Si $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(t)\:\text{d}t$, alors pour tout nombre réel $x$ appartenant à [0~;~3] : $f (x) \leqslant g(x)$. \item Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 2$ et si $f$ n'est pas une fonction constante, alors la représentation de $f$ dans un repère du plan, n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 4~cm. Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=&0\\ z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i}\\ \end{array}\right.\] On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$. \begin{enumerate} \item Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~;~z_{3} = \left(\lambda^2 +\lambda + 1\right)\text{i}$. \item Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \dfrac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$. \end{enumerate} \item Étude du cas $\lambda = \text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z_{4} = 0$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_{n}$. \item Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle. \item Représenter les points $M_{0}~,M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \item Caractérisation de certaines suites $\left(z_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^k=1$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_{n+k}= z_{n}$. \item Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel $k$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on ait l'égalité $z_{n+k}= z_{n}$ alors : $\lambda^k = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes. \medskip \textbf{I À l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier}\\ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O. \item Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. On note $\Omega$ son centre. \item Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point $\Omega$ par rapport aux sommets du triangle ABO. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$, puis A$'$ et B$'$ les points d'affixes respectives $8 + 4\text{i}$ et $2 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A$'$ et B$'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$. \item Vérifier que $s\left(\text{B}'\right) = \text{A}'$. \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II À l'aide des propriétés géométriques des similitudes} \medskip OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On note encore $s$ la similitude directe telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$. \item Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].) En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB). On note A$'$ et B$'$ les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images des droites $\left(\text{BB}'\right)$ et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$. \item Déterminer le point $s\left(\text{B}'\right)$. \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 92\,\% des jouets sont sans défaut de finition ; \item[$\bullet~$] parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95\,\% réussissent le test de solidité; \item[$\bullet~$] 2\,\% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement : \og \emph{le jouet est sans défaut de finition} \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og \emph{le jouet réussit le test de solidité} \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. \item Démontrer que $p_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = \dfrac{1}{4}$. \item Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. \end{enumerate} \item Calcul de probabilités. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(S) = 0,934$. \item Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième,) \end{enumerate} \item Étude d'une variable aléatoire $B$. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 \euro, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5~\euro. On désigne par $B$ la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $B$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$. \end{enumerate} \item Étude d'une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu'au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par $a$ un réel strictement positif et différent de 1. On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, les solutions de l'équation \[E_{a} : \quad x^a = a^x.\] \textbf{I Étude de quelques cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'équation $E_{2}$. \item Vérifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'équation $E_{a}$. \item On se propose de démontrer que e est la seule solution de l'équation $E_{\text{e}}$. On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$. \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours :} On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \item Déterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$. \item Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'équation $E_{\text{e}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II Résolution de l'équation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'équation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'équation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interprétation graphique de ces deux limites. \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. (Unité : 2~cm). \end{enumerate} \item Justifier à l'aide des résultats précédents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[~] $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ; \item[~] $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant à l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant à l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2007 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small juin 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2007~\decofourright }}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Si $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = \sin^2 x$, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) = \sin 2x$. \item Soit $f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$, dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si $f(-1) = -f(1)$, alors : $\displaystyle\int_{-1}^{1} tf'(t)\:\text{d}t = - \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\:\text{d}t$. \item Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle [0~;~3]. Si $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(t)\:\text{d}t$, alors pour tout nombre réel $x$ appartenant à [0~;~3] : $f (x) \leqslant g(x)$. \item Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 2$ et si $f$ n'est pas une fonction constante, alors la représentation de $f$ dans un repère du plan, n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 4~cm. Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=&0\\ z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i}\\ \end{array}\right.\] On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$. \begin{enumerate} \item Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~;~z_{3} = \left(\lambda^2 +\lambda + 1\right)\text{i}$. \item Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \dfrac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$. \end{enumerate} \item Étude du cas $\lambda = \text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z_{4} = 0$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_{n}$. \item Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle. \item Représenter les points $M_{0}~,M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \item Caractérisation de certaines suites $\left(z_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^k=1$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_{n+k}= z_{n}$. \item Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel $k$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on ait l'égalité $z_{n+k}= z_{n}$ alors : $\lambda^k = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes. \medskip \textbf{I À l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier}\\ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O. \item Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. On note $\Omega$ son centre. \item Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point $\Omega$ par rapport aux sommets du triangle ABO. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$, puis A$'$ et B$'$ les points d'affixes respectives $8 + 4\text{i}$ et $2 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A$'$ et B$'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$. \item Vérifier que $s\left(\text{B}'\right) = \text{A}'$. \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II À l'aide des propriétés géométriques des similitudes} \medskip OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On note encore $s$ la similitude directe telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$. \item Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].) En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB). On note A$'$ et B$'$ les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images des droites $\left(\text{BB}'\right)$ et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$. \item Déterminer le point $s\left(\text{B}'\right)$. \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 92\,\% des jouets sont sans défaut de finition ; \item[$\bullet~$] parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95\,\% réussissent le test de solidité; \item[$\bullet~$] 2\,\% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement : \og \emph{le jouet est sans défaut de finition} \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og \emph{le jouet réussit le test de solidité} \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. \item Démontrer que $p_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = \dfrac{1}{4}$. \item Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. \end{enumerate} \item Calcul de probabilités. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(S) = 0,934$. \item Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième,) \end{enumerate} \item Étude d'une variable aléatoire $B$. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 \euro, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5~\euro. On désigne par $B$ la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $B$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$. \end{enumerate} \item Étude d'une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu'au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par $a$ un réel strictement positif et différent de 1. On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, les solutions de l'équation \[E_{a} : \quad x^a = a^x.\] \textbf{I Étude de quelques cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'équation $E_{2}$. \item Vérifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'équation $E_{a}$. \item On se propose de démontrer que e est la seule solution de l'équation $E_{\text{e}}$. On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$. \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours :} On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \item Déterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$. \item Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'équation $E_{\text{e}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II Résolution de l'équation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'équation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'équation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interprétation graphique de ces deux limites. \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. (Unité : 2~cm). \end{enumerate} \item Justifier à l'aide des résultats précédents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[~] $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ; \item[~] $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant à l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant à l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole 15 juin 2007 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 15 juin 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 15 juin 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk. Soient (P) et (P$'$) les plans d'équations respectives $x + 2y - z + 1 = 0$ et $- x + y + z = 0$. Soit A le point de coordonnées (0~;~1~;~1). \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans (P) et (P$'$) sont perpendiculaires. \item Soit ($d$) la droite dont une représentation paramétrique est : \[\renewcommand\arraystretch{1.4}\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- \frac{1}{3} + t\\ y&=&- \frac{1}{3}\phantom{+\: t}\\ z&=& t\\ \end{array}\right. ~~\text{où}~ t~ \text{est un nombre réel.}\] Démontrer que les plans (P) et (P$'$) se coupent selon la droite ($d$). \item Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P$'$). \item En déduire la distance du point A à la droite ($d$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \medskip Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$. \item Soient les deux intégrales définies par \[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \sin x\:\text{d}x~~\text{ et J} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos x\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que I = $- \text{J}$ et que $\text{I}= \text{J} + \text{e}^{\pi} + 1$. \item En déduire les valeurs exactes de I et de J. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation : \[ (\text{E}) \quad z^3-(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z -13\text{i} = 0\] où $z$ est un nombre complexe. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : \[z^3 -(4 + \text{i}) z^2 +(13 + 4\text{i}) z - 13\text{i} = (z - \text{i}) \left(az^2 + bz + c\right).\] \item En déduire les solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, $2 +3\text{i}$ et $2 - 3\text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Déterminer l'affixe du point A$'$, image du point A par la rotation $r$. \item Démontrer que les points A$'$, B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A$'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{La figure est proposée en annexe $1$. Elle sera complétée tout au long de l'exercice.} \medskip Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C, d'affixes respectives $-5+6\text{i},~- 7 -2\text{i}$ et $3 - 2\text{i}$. On admet que le point F, d'affixe $-2 +\text{i}$ est le centre du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle ABC. \medskip \begin{enumerate} \item Soit H le point d'affixe $-5$. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. \item \begin{enumerate} \item Étant donné des nombres complexes $z$ et $z'$, on note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'$. Soient $a$ et $b$ des nombres complexes. Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z'= a\overline{z}+b$ qui, au point $M$, associe le point $M'$. Déterminer $a$ et $b$ pour que les points A et C soient invariants par $s$. Quelle est alors la nature de $s$ ? \item En déduire l'affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC). \item Vérifier que le point E est un point du cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \item Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l'affixe du point G, image du point I par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{2}{3}$. Démontrer que les points H, G et F sont alignés. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.\\ Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à $10 ^{-3}$ près.} \medskip \begin{enumerate} \item Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} \quad 0,4& \textbf{b.} \quad 0,04& \textbf{c.} \quad \np{0,1024} & \textbf{d.}\quad \np{0,2048} \end{tabularx} \medskip \item Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} \quad 0,043&\textbf{b.} \quad 0,275&\textbf{c.} \quad 0,217 &\textbf{d.} \quad 0,033 \end{tabularx}\medskip \item Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} \quad 0,100& \textbf{b.} \quad 0,091&\textbf{c.} \quad 0,111 &\textbf{d.} \quad 0,25 \end{tabularx}\medskip \item Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30~centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{5}{9}$ &\textbf{b.} \quad $\dfrac{9}{14}$&\textbf{c.} \quad $\dfrac{4}{7}$&\textbf{d.} \quad $\dfrac{1}{3}$ \end{tabularx}\medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\] La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée sur le document annexe 2 que l'on complétera et que l'on rendra avec la copie. \medskip \textbf{Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. \item Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$. Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$. Calculer $N(0)$. En déduire les variations de $f$. \item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $x \in [0~;~4]$, alors $f(x) \in [0~;~4]$. \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l cl} u_{0}& =&4 \quad\text{ et}\\ u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~  \text{de}~ \N.\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. \item Démontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a : $u_{n} \in [0~ ;~ 4]$. \item Étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On désigne par $\ell$ sa limite. \item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \emph{À compléter et à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 5} \medskip \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](-1,-1)(6,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$} \uput[dr](5.4,5){\blue$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$} \psline(-1,-1)(5.5,5.5) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \bigskip \emph{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \emph{À compléter et à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-9,-5)(9,9) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-9,-5)(9,7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](9,0){$x$} \uput[l](0,7){$y$} \uput[ul](-5,6){A} \uput[dl](-7,-2){B} \psdots(-5,6)(-7,-2) \pscircle(-2,1){5.83} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-5){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-4){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-3){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-2){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-1){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-0){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,1){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,2){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,3){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,4){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,5){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,6){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,7){$\cdot$}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 15 juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2007 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs tels que $a }(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.37}{9}{x ln} \psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,0.8755)(0,0.8755) \psline[linestyle=dotted](6.6,0)(6.6,1.887)(0,1.887) \uput[u](8.5,0){$x$}\uput[r](8,2.5){\blue $y = \ln x$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](2.4,0.8755){A} \uput[d](2.4,0){$a$} \uput[ul](6.6,1.887){B} \uput[d](6.6,0){$b$} \uput[l](0,0.8755){Q} \uput[l](0,1.887){R} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE 2} \medskip (\emph{À rendre avec la copie)} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{2cm} \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[subgriddiv=1,griddots=1,gridlabels=0pt,gridwidth=1.75pt] \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[l](0,2){C}\uput[d](-3.464,0){A}\uput[dl](0,0){O} \psdots(0,2)(-3.464,0) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2007 \hypertarget{Polynesiejuin}{} \label{Polynesiejuin} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2007~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ; \item[$\bullet$] si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On note $B$ l'évènement \og le jeton tiré est blanc \fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne le jeu \fg. L'évènement contraire d'un évènement $E$ sera noté $\overline{E}$. La probabilité d'un évènement $E$ sera notée $p(E)$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $p(G) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu ? \item Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à $10^{-3}$, près. \item Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à $0,99$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d'argent : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] chaque joueur paie 1 \euro{} par partie; \item[$\bullet$] si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 \euro ; \item[$\bullet$] si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$ et son espérance E($X$). \item On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si E($X) < 0$. Le jeu est-il favorable à l'organisateur ? \end{enumerate} \item L'organisateur décide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs ($n$ entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le jeu est-il défavorable à l'organisateur ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. Les questions suivantes sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation : \[\overline{z} - 3\text{i}z - 3+ 6\text{i} = 0,\:\overline{z}\:\text{ étant le conjugué de } z.\] \item On considère le point A d'affixe $4 - 2\text{i}$. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct. \item Soit D le point d'affixe 2i. \begin{enumerate} \item Représenter l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ différente de 2i tels que : \[\text{arg}(z - 2\text{i}) = \dfrac{\pi}{4} + k \times 2\pi (k \in \Z).\] \item Représenter l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z = 2\text{i} + 2 \text{e}^{\text{i}\theta},~\theta$ appartenant à $\R$. \end{enumerate} \item À tout point $M$ d'affixe $z \neq - 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{z - 1}{\overline{z} + 2}$. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de $-2$ tels que $\left|z'\right| = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. on considère les points A (1~;~3~;~2), B$(4~;~6~;~-4)$ et le cône ($\Gamma$) d'axe $\left(\text{O},~\vect{k}\right)$, de sommet O et contenant le point A. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'une équation de ($\Gamma$) est $x^2 + y^2 = \dfrac{5}{2}z^2$. \item Soit (P) le plan parallèle au plan $(x\text{O}y)$ et contenant le point B. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de (P). \item Préciser la nature de l'intersection (C$_{1}$) de (P) et de ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit (Q) le plan d'équation $y = $3. On note (C$_{2}$) l'intersection de ($\Gamma$) et de (Q). Sans justification, reconnaître la nature de (C$_{2}$) parmi les propositions suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] deux droites parallèles ; \item[$\bullet~$] deux droites sécantes ; \item[$\bullet~$] une parabole ; \item[$\bullet~$] une hyperbole ; \item[$\bullet~$] un cercle. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soient $x,~y$ et $z$ trois entiers relatifs et $M$ le point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$. Les ensembles (C$_{1}$) et (C$_{2}$) sont les sections définies dans la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E): $x^2 + y^2 = 40$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des points de (C$_{1}$) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si le point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ où $x,~y$ et $z$ désignent des entiers relatifs est un point de ($\Gamma$) alors $z$ est divisible par 2 et $x^2+ y^2$ est divisible par $10$. \item Montrer que si $M$ est un point de (C$_{2}$), intersection de ($\Gamma$) et de (Q), alors $x^2 \equiv 1~ \text{modulo}~10$. \item Résoudre, dans l'ensemble des entiers relatifs, l'équation $x^2 \equiv 1~\text{modulo}~10$. \item Déterminer un point de (C$_{2}$), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A$\left(\dfrac{2}{3}~;~-3~;~2\right)$ et B$\left(-\dfrac{4}{3}~;~0~;~-4\right)$. On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sphère de diamètre [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item Soit E le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; 1). \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de E. \item Montrer que l'ensemble (P) des points $M$ de l'espace tels que \\$\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}\right\| = 3\left\|\vect{M\text{O}}\right\|$ est le plan médiateur du segment [OE]. \item Montrer qu'une équation du plan (P) est $y = -1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le rayon de la sphère (S) et la distance du centre I de la sphère au plan (P). En déduire que l'intersection (C) du plan (P) et de la sphère (S) n'est pas vide. \item Montrer qu'une équation de (C) dans le plan (P) est $\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 + (z + 1)^2 =12$. En déduire que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Soit D le point de coordonnées $\left(- \dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{1}{2}~;~4\sqrt{3} - 1 \right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (ID). \item En déduire que la droite (ID) est sécante au cercle (C) en un point noté F dont on donnera les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + x \ln x.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. On note M et N les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses. La figure est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est positive sur [1~;~2]. \item Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est $2\ln 2$. \item Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$. Montrer que, sur l'intervalle [1~;~2], le point E est l'unique point de $\mathcal{C}_{f}$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ est parallèle à (MN). \item On appelle T la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point E.\\ Montrer qu'une équation de T est : $y = (2\ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} + 1$. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~2] par : $g(x) = f(x) - \left[(2 \ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} + 1\right]$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de [1~;~2] : $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{4}\right)$. \item Étudier les variations de $g$ sur [1~;~2] et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et de la tangente T sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Soient M$'$ et N$'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite T. On admet que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1 ; 2] et que les points M$'$ et N$'$ ont des ordonnées strictement positives. \begin{enumerate} \item Calculer les aires des trapèzes MNQP et M$'$N$'$QP. \item En déduire, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude $10^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^2 x \ln x \:\text{d}x$. \item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \par \par \textbf{Cette page ne sera pas à remettre avec la copie} \par \bigskip \psset{xunit=5cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.3,2.6) \psline(0.2,-0.2)(2.2,2.575) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=10,griddots=10,subgridcolor=orange](0,0)(2.3,2.6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.3,2.6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](2.25,0){$x$} \uput[l](0,2.55){$y$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.125}{x ln x mul 1 add} \psline(1,1)(2,2.4)\uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.33,0.6){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](0.35,0.04){T} \uput[ul](1,1){M} \uput[dr](1,0.9){M$'$} \uput[ul](1,0){P} \uput[dr](1.47,1.55){E} \uput[ul](2,2.4){N} \uput[dr](2,2.3){N$'$} \uput[ur](2,0){Q} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.471,1.5677) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,2.4) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2007 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt] septembre 2007}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge. On sait de plus qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne. On tire au hasard simultanément $2$~boules dans l'urne et on note leur couleur. Soit l'évènement $G$ : \og obtenir deux boules de même couleur \fg. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose que l'urne contient $3$~boules noires et $7$~boules banches. Calculer la probabilité de l'évènement $G$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note $n,~b$ et $r$ le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne. \begin{enumerate} \item On note $g(n,~b,~r)$ la probabilité en fonction de $n$,\: $b$ et $r$ de l'évènement $G$. Démontrer que $g(n,~b,~r) = \dfrac{1}{210}[n(n - 1) + b(b - 1) + r(r - 1)]$. \item Le but de cette question est de déterminer $n,~b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale. L'espace est muni d'un repère \Oijk{} orthonormal. Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15~;~0~;~0), (0~;~15~;~0) et (0~;~0~;~15) et soit $M$ le point de coordonnées $(n,~b,~r)$. On pourra se rapporter à la figure ci-dessous. \begin{enumerate} \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR) est $x + y + z - 15= 0$. \item En déduire que le point $M$ est un point du plan (NBR). \item Démontrer que $g(n,~b,~r) = \dfrac{1}{210}\left(\text{O}M^2 - 15\right).$ \item Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H. \item En déduire tes valeurs de $n,~ b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale. Justifier que cette probabilité minimale est égale à $\dfrac{2}{7}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,7) %\psgrid \psframe(7,7) \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(0,0)\rput(0.3,0.1){$x$} \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(7,1.6)\rput(6.9,1.8){$y$} \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(1.7,7)\rput(1.9,6.8){$z$} \pspolygon(0.4,0.4)(6.5,1.6)(1.7,6.3) \uput[ul](0.4,0.4){N} \uput[ul](1.7,6.3){R} \uput[dr](6.5,1.6){B} \uput[dr](1.7,1.6){O}\uput[dl](1.9,1.6){\footnotesize $\vect{\imath}$} \uput[ur](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \uput[ul](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{k}$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(1.5,1.4) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(2,1.6) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(1.7,1.9) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie C} \medskip On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'évènement $G$ soit $\dfrac{2}{7}.$ Un joueur mise $x$ euros, avec $x$ entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l'urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit $k$ fois le montant de sa mise, avec $k$ nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance E($X$) de la variable $X$ en fonction de $x$ et de $k$. \item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle le jeu est équitable. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre complexe $\alpha$ tel que $\left\{\begin{array}{l c r} \alpha(1 + \text{i})&=&1 + 3\text{i}\\ \text{i}\alpha^2&=&- 4 + 3\text{i}\\ \end{array}\right.$ \item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - (1 + 3\text{i})z + (- 4 + 3\text{i})$. Montrer que $f(z)$ s'écrit sous la forme $(z - \alpha)(z - \text{i}\alpha)$. En déduire les solutions sous forme algébrique de l'équation $f(z) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv, unité graphique : 5~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = 2 + \text{i}$ et $b = - 1 + 2\text{i}$. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que $b = \text{i}\alpha$, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$ \item On considère le point C d'affixe $c = - 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$. Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$ On pourra conjecturer l'affixe de D à l'aide de la figure pour traiter la question suivante. \item Soit M le milieu de [CB]. On appelle $z_{\vect{\text{OM}}}$ et $z_{\vect{\text{DA}}}$ les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{OM}}$ et $\vect{\text{DA}}$. Prouver que : $\dfrac{z_{\vect{\text{OM}}}}{z_{\vect{\text{DA}}}} = \dfrac{1}{2}\text{i}$. \item Donner une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{OM}}\right).$ \item Prouver que $\text{OM} = \dfrac{1}{2}\text{DA}$. \item On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c'est un carré. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip ABC est un triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC }} \right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \Z.$ Soit $t$ un nombre réel fixe et soient les points $M,~ N$ et $P$, deux à deux distincts, définis par \[\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AB}},~\vect{\text{B}N} = t\vect{\text{BC}}~ \text{et}~\vect{\text{C}P} = t\vect{\text{CA}}.\] Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique similitude directe $\sigma$ qui transforme les points A, B et C en respectivement $M,~N$ et $P$, et d'en préciser les éléments caractéristiques. On munit le plan d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. On note $a,~ b,~c,~m,~n$ et $p$, les affixes respectives des points A, B, C, $M,~N$ et $P$. \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. \begin{enumerate} \item Exprimer $m,\: n$ et $p$ en fonction de $a,\:b,\:c$ et $t$. \item En déduire que les deux triangles ABC et $MNP$ ont même centre de gravité. Ou notera G ce centre de gravité. \item On suppose que $\sigma$ existe. Déterminer l'image de G par $\sigma$. \end{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre G et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$ \begin{enumerate} \item Vérifier que $M$ est le barycentre du système de points $\{\text{A}(1 -t)~;~\text{B}(t)\}$, et en déduire que $r(M) = N$. On admet de même que $r(N) = P$ et $r(P) = M$. \item Soit $\sigma_{1}$, la similitude directe de centre G de rapport $\dfrac{\text{G}M}{\text{GA}}$ et d'angle $\left(\vect{\text{GA}},~\vect{\text{G}M}\right)$. Montrer qu'elle transforme les points A, B et C en respectivement $M,~ N$ et $P$. \item Conclure sur l' existence et l'unicité de $\sigma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Question de cours} \medskip Soit I un intervalle de $\R$. Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~1]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. On suppose que $f'$ est continue sur l'intervalle [0~;~1]. \medskip \begin{enumerate} \item Utiliser la question de cours pour montrer que : \[\int_{0}^1 f(x)\,\text{d}x = f(1) - \int_{0}^1 xf'(x)\,\text{d}x.\] \item En déduire que $\displaystyle\int_{0}^1 [f(x) - f(1)]\,\text{d}x = - \displaystyle\int_{0}^1 xf'(x)\,\text{d}x.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par $\ln$ la fonction logarithme népérien. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 2 ~;~ 2[$ par \[f(x) = \ln \left(\dfrac{2 + x}{2 - x} \right).\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $]- 2 ~;~ 2[$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2$~cm. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 2~;~2[$ on a $f'(x) = \dfrac{4}{4 - x^2}$. \item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]- 2 ~;~2[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ est tracée sur la feuille annexe. Hachurer sur cette feuille la partie $\mathcal{P}$ du plan constituée des points $M(x~;~y)$ tels que \[0 \leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et}\quad f(x) \leqslant y \leqslant \ln 3.\] En utilisant la partie A, calculer en cm$^2$ l'aire de $\mathcal{P}$. \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(3,4.5) \psframe(-2.2,-2.2)(3,4.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.2,-2.2)(3,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.6}{1.9562}{2 x add 2 x sub div ln} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $v = \left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ une suite. On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = \text{e}^{-v_{n}} +1$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte.} \emph{Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie.} \emph{Une bonne réponse donne $0,75$ point, une mauvaise réponse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse est comptée $0$ point.} \emph{Tout total négatif est ramené à zéro.} \begin{enumerate} \item $a$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. Si $v_{0} = \ln a$ alors : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}$\quad u_{0} = \dfrac{1}{a} + 1$&\textbf{b.}$\quad u_{0} = \dfrac{1}{1 + a}$& \textbf{c.}$\quad u_{0} = - a + 1$& \textbf{d.}$\quad u_{0} = \text{e}^{-a} + 1$\\ \end{tabularx} \item Si $v$ est strictement croissante, alors : \begin{enumerate} \item $u$ est strictement décroissante et majorée par $2$ \item $u$ est strictement croissante et minorée par $1$ \item $u$ est strictement croissante et majorée par $2$ \item $u$ est strictement décroissante et minorée par $1$ \end{enumerate} \item Si $v$ diverge vers $+ \infty$, alors : \begin{enumerate} \item $u$ converge vers $2$ \item $u$ diverge vers $+ \infty$ \item $u$ converge vers $1$ \item $u$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell > 1$ \end{enumerate} \item Si $v$ est majorée par $2$, alors : \begin{enumerate} \item $u$ est majorée par $1 + \text{e}^{-2}$ \item $u$ est minorée par $1 + \text{e}^{-2}$ \item $u$ est majorée par $1 + \text{e}^{2}$ \item $u$ est minorée par $1 + \text{e}^{2}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} (1 point) Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a $\ln \left(u_{n}\right) + v_{n} > 0$. %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion septembre 2007 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole \& La Réunion~\decofourright\\[7pt]septembre 2007}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier. Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item P : Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) =x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée sur $\R$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$. \item Q : Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f= u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée par $f'= nu^{n-1}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On désigne par $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ 1[$ par $g(0) = 0$ et $g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ où $g'$ désigne la dérivée de la fonction $g$ sur $] -1~;~ 1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$. On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $]- \pi~;~ 0[$ par $h(x) = g(\cos x)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de $] -\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$, où $h'$ désigne la dérivée de $h$. \item Calculer $h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item La suite $u$ est définie par : $u_{0} = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n}+ \dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel~$n$. \begin{enumerate} \item On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan \textbf{en annexe}, la droite d'équation $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{23}{27}$ et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite $u$. \item Démontrer que si la suite $u$ est convergente alors sa limite est $\ell = \dfrac{23}{18}$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n} \geqslant \dfrac{23}{18}$. \item Étudier la monotonie de la suite $u$ et donner sa limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : \[\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{10^k} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right) ~ \text{\small c’est-à-dire que} ~ \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)\] \item La suite $v$ est définie par $v_{n}= 1,277\:7 \dots 7$ avec $n$ décimales consécutives égales à $7$. Ainsi $v_{0} = 1,2,\:\: v_{1} = 1,27$ et $v_{2} = 1,277$. En utilisant le \textbf{a} démontrer que la limite de la suite $v$ est un nombre rationnel $r$ (c'est-à-dire le quotient de deux entiers). \end{enumerate} \item La suite $u$ définie au \textbf{1} et la suite $v $ sont-elles adjacentes ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit les nombres complexes : \[z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~ z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\] \begin{enumerate} \item Écrire $Z$ sous forme algébrique. \item Donner les modules et arguments de $z_{1},~  z_{2}$ et $Z$. \item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$. \item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2~cm comme unité graphique. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $Z$. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). \item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{\np{2007}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'ensemble A$_{7} = \{1~;~ 2~;~ 3 ~;~ 4~;~ 5 ~;~ 6\}$ \begin{enumerate} \item Pour tout élément $a$ de A$_{7}$ écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l'unique élément $y$ de A$_{7}$ tel que $ay \equiv 1 \quad (\text{modulo}~ 7)$. \item Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv 5 \quad(\text{modulo}~ 7)$ équivaut à $x \equiv 4\quad (\text{modulo}~ 7)$. \item Si $a$ est un élément de A$_{7}$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 7)$ sont les multiples de $7$. \end{enumerate} \item Dans toute cette question, $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A$_{p}= \{1~;~2~;~\ldots ~;~p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à $p$. Soit $a$ un élément de A$_{p}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $a^{p - 2}$ est une solution de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$. \item On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p - 2}$ par $p$. Démontrer que $r$ est l'unique solution $x$ dans A$_{p}$, de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$. \item Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv 0 \quad(\text{modulo}~ p)$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ où $y$ est un multiple de $p$. \item \emph{Application }: $p = 31$. Résoudre dans A$_{31}$ les équations : $2x \equiv 1 (\text{modulo}~ 31)$ et $3x \equiv 1 \quad(\text{modulo}~ 31)$. À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\Z$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv 0 \quad(\text{modulo}~ 31)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ : $\begin{array}{l c l} (\text{E})& :& y'+ (1 + \tan x) y = \cos x\\ (\text{E}_{0})& :& y' + y = 1.\\ \end{array}$ \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E$_{0}$). \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et telles que $f(x) = g(x) \cos x$. Démontrer que la fonction $f$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $g$ est solution de (E$_{0}$). \item Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 0$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \medskip (À compléter et à rendre avec la copie) \vspace{1cm} \end{center} \textbf{Exercice 2} \medskip \psset{unit=3.2cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(3,2.5) \multido{\d=0.0+0.1}{31}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\d,0)(\d,2.5)} \multido{\d=0.0+0.1}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\d)(3,\d)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(3,2.5) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](2,0){A}\psdots(2,0) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3}{x 3 div 23 27 div add} \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \medskip (À compléter et à rendre avec la copie) \vspace{1cm} \end{center} \textbf{Exercice 3 (spécialité)} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $a$ &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $y$ & & & & & &6\\ \hline \end{tabularx} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion septembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2007 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par (E) l'ensemble des fonctions $f$ continues sur l'intervalle [0~;~1] et vérifiant les conditions (P$_{1}$), (P$_{2}$) et (P$_{3}$) suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] (P$_{1}$) : $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~1]. \item[$\bullet~$] (P$_{2}$) : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. \item[$\bullet~$] (P$_{3}$) : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~$ f(x) \leqslant x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, on note ($\mathcal{C}_{f}$) la courbe représentative d'une fonction $f$ de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation $y = x$. À toute fonction $f$ de (E), on associe le nombre réel $I_{f}= \displaystyle\int_{0}^1 [x - f(x)]\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.6cm} \parbox[l]{0.333\textwidth}{ \begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psplot{0}{1}{x dup mul} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 1} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psline(0,0)(0.5,0.75)(1,1) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 2} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \parbox[r]{0.333\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscurve(0,0)(0.2,0.04)(0.4,0.2)(0.5,0.5)(0.6,0.8)(0.8,0.96)(1,1) \psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) \psframe(-0.4,-0.6)(1.6,1.6) \uput[d](0.4,-0.6){Courbe \no 3} \uput[dr](0,0){\scriptsize O} \end{pspicture}} \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que, pour toute fonction $f$ de (E), $I_{f} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $h(x) = 2^x - 1$. (On rappelle que, pour tout $x$ réel, $2^x = \text{e}^{x\ln 2}$). \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (P$_{1}$) et (P$_{2}$). \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\varphi(x) = 2^x - x - 1$. Montrer que, pour tout $x$ de [0~;~1],~ $\varphi(x) \leqslant 0$. (On pourra étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur [0~;~1]). En déduire que la fonction $h$ appartient à l'ensemble (E). \item Montrer que le réel $I_{h}$ associé à la fonction $h$ est égal à $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{\ln 2}$. \end{enumerate} \item Soit $P$ une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $P(x) = ax^2 + bx+ c$ où $a,~ b$ et $c$ sont trois nombres réels tels que $0 < a < 1$. On se propose de déterminer les valeurs des réels $a,~ b$ et $c$ pour que la fonction $P$ appartienne à l'ensemble (E) et que $I_{p} = I_{h}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $P$ vérifie la propriété (P$_{2}$) si et seulement si, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1],~ $P(x) = ax^2 + (1 - a)x$. Montrer que toute fonction $P$ définie sur [0~;~1] par $P(x)=ax^2 +(1 - a)x$ avec $0 < a < 1$ appartient à (E). \item Exprimer en fonction de $a$ le réel $I_{P}$ associé à la fonction $P$. \item Montrer qu'il existe une valeur du réel $a$ pour laquelle $I_{P} = I_{h}$. Quelle est cette valeur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3. \begin{center} \psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4) \psline(0,0.3)(2.3,0)(3.2,1)(3.2,3.3)(0.9,3.7)(0,2.6)(0,0.3)%ABCGHEA \psline(2.3,0)(2.3,2.2)(0,2.6)%BFE \psline(2.3,2.2)(3.2,3.3)%FG \psline[linestyle=dotted](0,0.3)(0.9,1.4)(3.2,1)%ADC \psline[linestyle=dotted](0.9,1.4)(0.9,3.7)%DH \uput[dl](0,0.3){A} \uput[dr](2.3,0){B} \uput[dr](3.2,1){C} \uput[dr](0.9,1.4){D} \uput[ul](0,2.6){E} \uput[ul](2.3,2.2){F} \uput[ur](3.2,3.3){G} \uput[ul](0.9,3.7){H} \end{pspicture} \end{center} \medskip On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ tel que $\vect{\imath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}},~\vect{\jmath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DC}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DH}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points A, C et E. \item Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système $\{(\text{C}~;~2),~(\text{E}~;~1)\}$. \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$. \end{enumerate} \item Soit $(a,~ b)$ un couple de réels. On note $M$ le point de la droite (AE) tel que $\vect{\text{A}M} = a\vect{\text{AE}}$ et $N$ le point de la droite (DL) tel que $\vect{\text{D}N} = b\vect{\text{DL}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{MN}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$ si et seulement si le couple $(a,~ b)$ vérifie le système $\left\{\begin{array}{l c l} - a + 2b& =&1\\ 3a - \phantom{2}b& =& 0\\ \end{array}\right.$ \item En déduire qu'il existe un seul point M$_{0}$ de (AE) et un seul point N$_{0}$ de (DL) tels que la droite (M$_{0}$N$_{0}$) est orthogonale aux droites (AE) et (DL). \item Déterminer les coordonnées des points M$_{0}$ et N$_{0}$ puis calculer la distance M$_{0}$N$_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plan\-tes : 40\,\% sont de type A, 41\,\% de type B et 19\,\% de type C. On admet qu'au début de chaque année : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$. La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] $A_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg, \item[$\bullet$] $B_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg, \item[$\bullet$] $C_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}$,\: $B_{n}$ et $C_{n}$. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} = 0,40, ~q_{0} = 0,41$ et $r_{0} = 0,19$. \medskip \parbox{0.55\textwidth}{ \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\left\{\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\N$ par $S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$. \item Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$. \item En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4) \rput(1.75,5.){début de} \rput(1.75,4.5){l'année \no 0} \rput(3.75,5.){début de} \rput(3.75,4.5){l'année \no 1} \psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7) \psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6) \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{A}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{B}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{C}\taput{?}} {\TR{C}\taput{?} } } \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$. Soit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] les points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ; \item[$\bullet$] les points I, milieu du segment [A$'$ B] et J, milieu du segment [A B$'$] ; \item[$\bullet$] le point M milieu du segment [AA$'$] ; \item[$\bullet$] le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H$'$ image du point H par la similitude $\sigma$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A. Étude d'un exemple} \medskip Dans cette partie, le point A a pour affixe $-6 + 4\text{i}$, le point B a pour affixe $2+4\text{i}$, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe $4$i. La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$ et H$'$. \item Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude du cas général} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que H$'$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A$'$ B$'$). \item Montrer que $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$. On admet que $\vect{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{A}'\text{B}'}$. \item En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) = \left(\vect{\text{OH}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \end{enumerate} \item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l'image du point J par la similitude $s$. \begin{enumerate} \item Montrer que OK= OH$'$, puis que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) =\left(\vect{\text{OK}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \item En déduire que le point H$'$ est l'image du point J par la similitude $s$. \end{enumerate} \item Montrer que $\left(\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{HH}'}\right) = \left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \begin{flushleft} Cette page ne sera pas remise avec la copie \textbf{Partie A} \end{flushleft} \psset{unit=8.5mm} \begin{pspicture}(12,10) %\psaxes(7.5,5)(0,-5)(14,5) \multido{\d=-0.20+1.1}{11}{\psline(\d,5)(\d,5.2)} \multido{\d=-0.20+1.05}{9}{\psline(7.5,\d)(7.7,\d)} \psline(-0.2,5)(12,5) \psline(7.5,-0.2)(7.5,10) \psline(1,9.2)(7.5,5)(9.5,9.2)(1,9.2) \uput[dl](7.5,5){O} \uput[d](8,5){$\vect{u}$} \uput[l](7.5,5.5){$\vect{v}$} \psline[linewidth=2pt]{<->}(8.5,5)(7.5,5)(7.5,6) \uput[ul](1,9.2){A} \uput[ul](7.5,9.2){H} \uput[ur](9.5,9.2){B} \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} \psset{unit=6.5mm} \begin{pspicture}(17,10) %\psgrid \psline(0,9.7)(6.4,0)%B'A'H' \psline(0,4.6)(17,8.5)%HAB \psline(3.75,4)(8.95,3.3)(16.2,8.3)%B'OB \psline(0.3,9.3)(8.95,3.3)(11,7.1)%B'OA \uput[dl](0.3,9.3){B$'$} \uput[dl](3.75,4){A$'$} \uput[dr](8.95,3.3){O} \uput[u](16.2,8.3){B} \uput[dl](5.6,1.25){H$'$} \uput[dl](7.3,5.7){M} \uput[ur](5.5,8.3){J} \uput[dl](9.9,6.3){I} \uput[ul](11,7.3){A}\uput[u](8.2,6.5){H} \psdots(7.3,5.7)(9.9,6.3)(5.5,8.3)(5.6,1.25)(8.2,6.5) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2007 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007~ \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.} \medskip On suppose connu le résultat suivant : La fonction $x \mapsto \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$. Soit $a$ un réel donné. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$. \item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' = ay$. \end{enumerate} \item On considère l'équation différentielle (E) : $y'= 2y + \cos x$. \begin{enumerate} \item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par : \[f_{0}(x) = a \cos x + b \sin x\] soit une solution $f_{0}$ de (E). \item Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~:~ y' = 2y$. \item Démontrer que $f$ est solution de (E) si et seulement si $f - f_{0}$ est solution de $\left(\text{E}_{0}\right)$. \item En déduire les solutions de (E). \item Déterminer la solution $k$ de (E) vérifiant $k\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.} \begin{enumerate} \item On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale) d'axe (AB). Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe $z' = -\text{i}\overline{z} + 1 + \text{i}$. \item On note $H$ l'homothétie de centre A et de rapport $-2$. Donner l'écriture complexe de $H$. \item On note $f$ la composée $H \circ S$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude. \item Déterminer l'écriture complexe de $f$. \end{enumerate} \item On appelle $M''$ l'image d'un point $M$ par $f$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = -2\vect{\text{A}M}$ est la droite (AB). \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = 2\vect{\text{A}M}$ est la perpendiculaire en A à la droite (AB). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \emph{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.} Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe : \[z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\] \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point E$'$, image de E par~$f$ \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$. \item On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$. Soit $M$ un point distinct des points O, A et B. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0,~ 1$ et $-1$, on a : \[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\] \item En déduire une expression de $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}$ en fonction de $\dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$ puis une expression de l'angle $\left(\vect{M'\text{A}},~\vect{M'\text{B}} \right)$ en fonction de l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}} \right)$ \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si $M$ est un point de $\Delta$ distinct du point O, alors $M'$ est un point de $\Delta$. \item Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [A, B]. \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M$ appartient à $\Gamma$ alors le point $M'$ appartient à la droite (AB). \item Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par $f$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$. \item On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives $x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$. Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$. \item Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires. \item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$. \item Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$. \item Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, c'est-à-dire la distance HH$'$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot\: \vect{\text{HH}'} = 126$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f_{1}(x) = 2x - 2 + \ln \left(x^2 + 1\right).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$. \item Déterminer la dérivée de $f_{1}$. \item Dresser le tableau de variations de $f_{1}$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_{n}$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f_{n}(x) = 2x - 2 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 1\right)}{n}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{n}$ en $+ \infty$. \item Démontrer que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$. \item Démontrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_{n}$ sur $[0~;~+ \infty[$ \item Justifier que, pour tout entier naturel $n,~ 0 < \alpha_{n} < 1.$ \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~ f_{n}\left(\alpha_{n+1}\right) > 0$. \item Étude de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est croissante. \item En déduire qu'elle est convergente. \item Utiliser l'expression $\alpha_{n} = 1 - \dfrac{\ln \left(\alpha_{n}^2 + 1\right)}{2n}$ pour déterminer la limite de cette suite. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 2007 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O. \medskip \begin{enumerate} \item Une solution de l'équation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $3$& \textbf{b.~~} i& \textbf{c.~~} $3 + \text{i}$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $|z| + 1$& \textbf{b.~~} $|z - 1|$& \textbf{c.~~} $\left|\text{i}\overline{z} + 1\right|$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$. Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$& \textbf{b.~~} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$& \textbf{c.~~} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\ \end{tabularx} \item Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $n = 3$& \textbf{b.~~}$n = 6k + 3$, avec $k$ relatif& \textbf{c.~~} $n = 6k$ avec $k$ relatif\\ \end{tabularx} \item Soient A et B deux points d'affixe respective i et $-1$. l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} la droite (AB)& \textbf{b.~~} le cercle de diamètre [AB]& \textbf{c.~~} la droite perpendiculaire à (AB) passant par O\\ \end{tabularx} \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - \text{i}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour équation : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $y = -x + 1$& \textbf{b.~~} $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$& \textbf{c.~~} $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel\\ \end{tabularx} \item Soient A et B les points d'affixes respectives $4$ et $3\text{i}.$ L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $1 - 4\text{i}$& \textbf{b.~~} $-3\text{i}$& \textbf{c.~~} $7 + 4\text{i}$\\ \end{tabularx} \item L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $\{1 - \text{i}\}$& \textbf{b.~~} L'ensemble vide& \textbf{c.~~} $\{1 - \text{i}~;~1 + \text{i}\}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\,\% au premier fournisseur et 75\,\% au second. La proportion de composants défectueux est de 3\,\% chez le premier fournisseur et de 2\,\% chez le second. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $D$ l'évènement \og le composant est défectueux \fg ; \item $F_{1}$ l'évènement \og le composant provient du premier fournisseur \fg ; \item $F_{2}$ l'évènement \og le composant provient du second fournisseur \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dessiner un arbre pondéré. \item Calculer $p\left(D \cap F_{1} \right)$, puis démontrer que $p(D) = \np{0,0225}$. \item Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ? \end{enumerate} \emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à $10^{-3}$ près.} \item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient défectueux ? \item La durée de vie de l'un de ces composants est une variable aléatoire notée $X$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Sachant que $p(X > 5) = 0,325$, déterminer $\lambda$. Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$. \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ? \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a déjà duré plus de 3~ans ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : question de cours} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$. Compléter la phrase suivante : \og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg \item Démontrer le théorème \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x - x - 1\] et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$, une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$. \item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b - a = - 1$. \item En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera apparaître le point $N$ correspondant. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le signe de $f$. \item En déduire pour tout entier naturel non nul $n$ les inégalités suivantes : \[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad \text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}.\] \item En utilisant l'inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ \[\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}.\] \item En utilisant l'inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ \[\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}.\] \item Déduire des questions précédentes un encadrement de \[\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n,\] puis sa limite en $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de ce tétraèdre. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? \item Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontrera de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis. \item Que représente le point H pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \item L'espace est maintenant muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC). \item Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier. \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier. \item En déduire que $6^{40} \equiv 1\:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$. \item Démontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$. \end{enumerate} \item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation \[(E) \qquad 65x - 40y = 1\] n'a pas de solution. \item Montrer que l'équation \[(E') \qquad 17x - 40y = 1\] admet au moins une solution. \item Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $\left(E'\right)$. \item Résoudre l'équation $\left(E'\right)$. En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à $40$ tel que $17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $a$, démontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$, alors $b^{33} \equiv a \quad [55]$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \bigskip \psset{unit=1.714cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(3,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-4)(3,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(3,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub} \psline[linewidth=1.25pt](-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O} \uput[dr](1.1,1){\blue $(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2008 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008 (spécialité)~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~6[$ par \[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\] On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(U_{n}\right)$ par \[\left\{\begin{array}{l c l} U_{0} &= &-3\\ U_{n+1} &= &f\left(U_{n}\right)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(U_{0}~;~0\right)$,\: $M_{1}\left(U_{1}~;~0\right)$,\: $M_{2}\left(U_{2}~;~0\right)$,\: $M_{3}\left(U_{3}~;~0\right)$ et $M_{4}\left(U_{4}~;~0\right)$. Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $\left(U_{n}\right)$ ? \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si $x < 3$ a alors $\dfrac{9}{6 - x} < 3$. En déduire que $U_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$. \item Étudier le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right)$. \item Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par $V_{n} = \dfrac{1}{U_{n} - 3}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$. \item Déterminer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{PARTIE A : Question de cours} \medskip Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$. Par exemple : \[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 + 7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 : \[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\] Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10. \item Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 : \[N_{2} = \np{1131} = 1\times 10^3 + 1\times 10^2 + 3 \times 10 + 1\] Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Dans toute la suite}, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : \[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad (3)$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12. \item À l'aide de son écriture en base $12$, déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $N \equiv a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$. En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12. \item À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son écriture en base $10$. \end{enumerate} \item Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$. Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\,\% n'ont pas survécu, 75\,\% deviennent rouges et les 15\,\% restant deviennent gris. \item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\,\% n'ont pas survécu, 65\,\% deviennent rouges et les 30\,\% restant deviennent gris. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\,\% au premier éleveur, 40\,\% au second. \medskip \begin{enumerate} \item Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$. \item Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge. \item Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ? \end{enumerate} \item Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \item L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique, arrondie au centime. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $t$ un nombre réel. On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$ et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&9 + 4t\\ y&=&6 + \phantom{4}t\\ z&=&2 + 2t\\ \end{array}\right.\] Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A. \item Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$. \item Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et le plan $\mathcal{P}$. \item Exprimer la distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de $d$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \bigskip \psset{unit=1.3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3,-1)(6,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-1)(6,7) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-1)(6,7) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{x} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{4.713}{9 6 x sub div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2008 \end{document}