%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2008~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2008 à mars 2009}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 16 avril 2008} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{Liban}{Liban mai 2008} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{Ameriquenord}{Amérique du Nord mai 2008} \dotfill \pageref{Ameriquenord}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2008} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Asie}{Asie 18 juin 2008} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers juin 2008} \dotfill \pageref{Centres etrangers}\\ \hyperlink{France2}{Métropole juin 2008} \dotfill \pageref{France2}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2008} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Polynesie2}{Polynésie juin 2008} \dotfill \pageref{Polynesie2}\\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 2008} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ \hyperlink{Francesep}{Métropole et La Réunion septembre 2008} \dotfill \pageref{Francesep}\\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie obligatoire septembre 2008} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\ \hyperlink{Nouvelle-Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2008} \dotfill \pageref{Nouvelle-Caledonienov}\\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2008} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2009} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \end{tabularx} \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2008 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{16 avril 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$ et soit $H$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $H(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ et $H$ sont bien définies sur $[1~;~+ \infty[$ \item Quelle relation existe-t-il entre $H$ et $f$ ? \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre $H(3)$. \end{enumerate} \item On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre $H(3)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x > 0,~ \dfrac{x}{\text{e}^x - 1} = x \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$. \item En déduire que $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = 3\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right) -\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right) - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$. \item Montrer que si $1\leqslant x \leqslant 3$, alors $\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right)\leqslant \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right) \leqslant \ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right)$. \item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$ puis de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \emph{Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose connus les résultats suivants : \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$. Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$. \item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel : $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \medskip \emph{Démonstration de cours} : démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\] \textbf{Partie B} \medskip Dans un repère orthonormal direct du plan complexe \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},\: z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\: z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}\:\text{ et } \: z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$. \item Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère \Ouv{} ? \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? \end{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par : $E = r(A)$ et $F = r(C)$. \begin{enumerate} \item Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ? \item Donner l'écriture complexe de $r$. \item Déterminer l'affixe du point $E$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose connu le résultat suivant : Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, où $a \in \C^*$ et $b \in \C$. \medskip \emph{Démonstration de cours} : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},\: z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\: z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}\:\text{ et }\:\:z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes $z_{A},\:z_{B},\:z_{C}$ et $z_{D}$. \item Construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unité graphique $2$~cm). \item Déterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$. \end{enumerate} \item On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les éléments caractéristiques de $g$. \item Construire à la règle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~C$ et~$O$. \item Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le démontrer. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$. On note $I,\: J,\: K,\: L,\: M,\: N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],\: [CD],\:[BC],\:[AD],\:[AC]$ et $[BD]$. On désigne par $G$ l'isobarycentre des points $A,~B,~C$ et~$D$.} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5) \pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD \psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7) \uput[dl](0,1.25){A} \uput[ul](3.25,4){B} \uput[dr](4.4,0.7){C} \uput[d](2.2,0){D} \end{pspicture} } \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$. \medskip Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB = CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$. (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques). \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$. \item En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$. \item Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$. \item Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.} \medskip Les parties A et B sont indépendantes \medskip \textbf{Partie A : un modèle discret} \medskip Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$. On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \geqslant 0,$ \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~ 20] par \[f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~20]. \item En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],\: f(x) \in [0~;~10]$. \item On donne en \textbf{annexe} la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$. \end{enumerate} \item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : un modèle continu} \medskip Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$. On pose $x = 0$ en 2005, $g(0) = 1$ et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~;~+\infty[$, de l'équation différentielle \[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y).\] \begin{enumerate} \item On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~;~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle : \[(\text{E}_{1})\quad : \:\:z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\] \item Résoudre l'équation (E$_{1}$) et en déduire les solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \item Montrer que $g$ est définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$. \item Étudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$. \item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat. \item En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-3)(24,14) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(24,14) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(24,14) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(24,14) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2500,linewidth=1.25pt]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% Fin Pondichéry avril 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Liban mai 2008 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $R$ l'évènement \og le joueur obtient une boule rouge \fg. Montrer que $p(R) = 0,15$. \item Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit $x$ un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire. On désigne par $G$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs $2x$,\: $x - 2$ et $- 4$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $G$. \item Exprimer l'espérance E($G$) de la variable aléatoire $G$ en fonction de $x$. \item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on E($G$) $\geqslant 0$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques} \medskip Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$. \textbf{Proposition 1} : \og $z^{100}$ est un nombre réel \fg. \item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$. \textbf{Proposition 2} : \og l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels \fg. \item Soit $r$ la rotation d'angle $ - \dfrac{\pi }{2}$ et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$ \textbf{Proposition 3} : \og l'image du point O par la rotation $r$ a pour affixe $\left({1 - \sqrt 3 }\right) + \text{i}\left({1 + \sqrt 3 } \right)$ \fg. \item On considère l'équation (E) suivante : $z^2 + 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0$. \textbf{Proposition 4} : \og l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à $1$ \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous. \textbf{Proposition 5} : \og le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (BDE) \fg. \textbf{Proposition 6} : \og les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires \fg. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,6) \psframe(3.8,3.8) \psline(3.8,0)(5.8,1.9)(5.8,5.8)(1.9,5.8)(0,3.8)%BCDGHE \psline(5.8,5.8)(3.8,3.8)%GF \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,1.9)(1.9,5.8) \psline[linestyle=dashed](1.9,1.9)(5.8,1.9) \uput[l](0,0){A}\uput[r](3.8,0){B}\uput[r](5.8,1.9){C}\uput[ul](1.9,1.9){D} \uput[l](0,3.8){E}\uput[r](3.8,3.8){F}\uput[ur](5.8,5.8){G}\uput[ul](1.9,5.8){H} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématiques} \medskip Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}, on considère la similitude directe $f$ d'écriture complexe \[z \mapsto \dfrac{3}{2}\left( {1 - \text{i}} \right)z + 4 - 2\text{i}.\] \textbf{Proposition 1} :\: \og $f = r \circ h$ où $h$ est l'homothétie de rapport $3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ et de centre le point $\Omega$ d'affixe $ - 2 - 2\text{i}$ et où $r$ est la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $ - \dfrac{\pi }{4}$ \fg. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul : \textbf{Proposition 2} : \og$5^{6n + 1} + 2^{3n + 1}$ est divisible par $5$ \fg. \textbf{Proposition 3} : \og$5^{6n + 1} + 2^{3n + 1}$ est divisible par $7$ \fg. \item Dans le plan muni d'un repère, (D) est la droite d'équation $11x - 5y = 14$. \textbf{Proposition\: 4} : \og les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées $\left({5k + 14\;;\;11k + 28} \right)$ où $k \in \Z$. \item L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \parbox{0.6\textwidth}{La surface $\Sigma $ ci-contre a pour équation $z = x^2 + y^2$.\vspace{2cm}} \hfill \parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,4) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3.5) \psline(0,0)(2,0)\psline(0,0)(-2,-1)\psline(0,3.5)(0,4) \psline[linestyle=dashed]{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(-0.8,-0.4) \psplot{-1.15}{1.15}{x 2 exp 2.7 mul} \psellipse(0,3.5)(1.15,0.35) \uput[d](0,0){O} \uput[u](-0.8,-0.4){$\vect{\imath}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$} \end{pspicture}} \textbf{Proposition\: 5} :\: \og la section de la surface $\Sigma $ et du plan d'équation $x = \lambda $, où $\lambda $ est un réel, est une hyperbole \fg. \textbf{Proposition\: 6} :\: \og le plan d'équation $z = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}$ partage le solide délimité par $\Sigma $ et le plan d'équation $z = 9$ en deux solides de même volume \fg. \medskip \emph{Rappel : Soit $V$ le volume du solide délimité par $\Sigma $ et les plans d'équations $z = a$ et $z = b$ où $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 9$.\\ $V$ est donné par la formule $V = \displaystyle\int_{a}^{b} {S\left( k \right)\: \rm{d}k}$ où $S(k)$ est l'aire de la section du solide par le plan d'équation $z=k$ où $k \in \left[{a~;~b} \right]$.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A. Démonstration de cours} \medskip Prérequis : définition d'une suite tendant vers plus l'infini. \og \emph{une suite tend vers $+ \infty $ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à\: A} \fg. Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ {0\;;\;+ \infty }[$ par \[f\left( x \right) = \ln (x + 1) + \dfrac{1}{2}x^2.\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ {0~;~+ \infty }[$. \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. \item Tracer la droite (T) sur le graphique. \end{enumerate} \medskip Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle $]{0\;;\; + \infty }[$, la courbe $(\mathcal{C})$ est située au dessus de la droite (T). \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $u_{0} = 1$, et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).$ \medskip \begin{enumerate} \item Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné). \item À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son comportement lorsque $n$ tend vers $ + \infty $ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel $n,{}u_n \geqslant 1$. \item Montrer que la suite $\left({u_n } \right)$ est croissante. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$. On donne le tableau de ses variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.3,2.5){$- \infty$}\uput[u](4,2.5){$0$} \uput[u](6,2.5){$2$}\uput[u](7.65,2.5){$+ \infty$}\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,2){$+$}\uput[u](5,2){$+$}\uput[u](6,2){$0$}\uput[u](7,2){$-$} \rput(1,1){$f(x)$}\rput(2.3,0.2){$- \infty$}\rput(4,1){$0$}\rput(6,1.75){$1 + \text{e}^{-2}$}\rput(7.85,0.2){$1$} \psline{->}(2.6,0.2)(3.8,0.87) \psline{->}(4.2,1.05)(5.5,1.75) \psline{->}(6.5,1.6)(7.7,0.25) \end{pspicture} \end{center} Soit $g$ la fonction définie sur $\left] - \infty \;;\; + \infty \right[$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe $(\mathcal{C})$ susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées). \item \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement $g(2)$. \item Montrer que $0 \leqslant g(2) \leqslant 2,5$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel supérieur à 2. Montrer que $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t} \geqslant x - 2$. En déduire que $g(x) \geqslant x - 2$. \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ + \infty $. \end{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $] - \infty\;;\;+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que pour tout réel $t$, \[f(t) = (t - 1)\text{e}^{- t} + 1.\] \smallskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{x} {\left( {t - 1} \right)\text{e}^{ - t}\:\text{d}t}.$ \item En déduire que pour tout réel $x$,\: $g\left( x \right) = x\left(1 - \text{e}^{- x}\right)$. \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ - \infty $. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \vspace{1cm} \emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath obtenue à l'aide d'un tableur} \vspace{1cm} \begin{center} \psset{xunit=1.8cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(6.5,6.01) \multido{\n=0.00+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)} \multido{\n=0.00000+0.16666}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.035}{x 1 add ln 0.5 x dup mul mul add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Liban mai 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2008 \hypertarget{Ameriquenord}{} \label{Ameriquenord} \lfoot{\small{Amérique du Nord }} \rfoot{\small{29 mai 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique : $4$~cm. On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2 + \text{i}$ et le cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points d'intersection de ($\Gamma$) et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \item On désigne par B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 1$ et $z_{\text{C}} = 3$. Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit M le point d'affixe $\dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$. \item Interpréter géométriquement un argument du nombre $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$ ; en déduire que le point M appartient au cercle ($\Gamma$). \end{enumerate} \item On note ($\Gamma'$) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM) recoupe le cercle ($\Gamma'$) en un point N. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles. \item Déterminer l'affixe du point N. \end{enumerate} \item On désigne par M$'$ l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point M$'$. \item Montrer que le point M$'$ appartient au cercle ($\Gamma'$). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu du segment [AD]. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point M de l'espace, $\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= \text{MI}^2 - \text{IA}^2$. \item En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que $\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \Oijk, les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[\text{A}(3~;~0~;~0),\:\text{B}(0~;~6~;~0),\:\text{C}(0~;~0~;~4)\: \text{et}\:\:\text{D}(-5~;~0~;~1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}4\\2\\3\\ \end{array}\right)$ est normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan (ABC) passant par D. \item En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). \item Calculer la distance du point D au plan (ABC). \item Démontrer que le point H appartient l'ensemble (E) défini dans la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On nomme (S) la surface d'équation $x^2 +y^2 - z^2 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan ($x$O$y$). \item On nomme A et B les points de coordonnées respectives $(3~;~1~;~-3)$ et $(- 1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B. \item Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S). \end{enumerate} \item Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan ($x$O$y$). \item \begin{enumerate} \item On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z = 68$. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe. \item $M$ étant un point de (C), on désigne par $a$ son abscisse et par $b$ son ordonnée. On se propose de montrer qu'il existe un seul point $M$ de (C) tel que $a$ et $b$ soient de entiers naturels vérifiant $a < b$ et ppcm$(a~;~b) = 440$, c'est-à-dire tel que $(a~;~b)$ soit solution du système (1) : $\left\{\begin{array}{l} a < b\\ a^2 + b^2 = \np{4625}\\ \text{ppcm}(a~;~b) = 440\\ \end{array}\right.$ Montrer que si $(a~;~b)$ est solution de (1) alors pgcd$(a~;~b)$ est égal à $1$ ou $5$. Conclure \end{enumerate} \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \ln x - \dfrac{1}{\ln x}.\] On nomme ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$ dans un repère orthogonal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en $1$ et en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - \ln x]$. Interpréter graphiquement cette limite. \item Préciser les positions relatives de ($\mathcal{C}$) et de $\Gamma$. \end{enumerate} \item On se propose de chercher les tangentes à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. Démontrer que la tangente $\mathcal{T}_{a}$ à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a) -af'(a) = 0$. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par \[g(x) = f(x) - xf'(x).\] \item Montrer que sur $]1~;~+\infty[$, les équations $g(x) = 0$ et $(\ln x)^3 - (\ln x)^2- \ln x - 1 = 0$ ont les mêmes solutions. \item Après avoir étudié les variations de la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(t) = t^3-t^2 -t - 1$ montrer que la fonction $u$ s'annule une fois et une seule sur $\R$. \item En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O. La courbe ($\mathcal{C}$) et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure. \end{enumerate} \item On considère un réel $m$ et l'équation $f(x) = mx$ d'inconnue $x$. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1~;~10]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[ x_{n} = \int_{0}^1 t^n \cos t\:\text{d}t \quad \text{et}\quad y_{n} = \int_{0}^1 t^n \sin t\:\text{d}t .\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est à termes positifs. \item Étudier les variations de la suite $\left(x_{n}\right)$. \item Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, ~$x_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} = -(n + 1)y_{n} + \sin (1)$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_{n} = 0$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $y_{n+1} = (n + 1)x_{n} - \cos (1)$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n x_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n y_{n}.$ \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe} \bigskip Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve \vspace{1cm} \end{center} \textbf{Exercice 3} \textbf{Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur} \vspace{1cm} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-4.1)(12,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(12,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(12,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.05}{11.5}{x ln} \psplot[linestyle=dashed,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1.355}{11.5}{x ln 1 x ln div sub} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,-4)(1.5,-4) \rput(6,-4){Courbe $\Gamma$ représentative de la fonction ln} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,-4.5)(1.5,-4.5) \rput(6,-4.5){Courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2008 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{18 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008~\decofourright }}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\] \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Soit l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 3\text{e}^{-3x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$. \item En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$). \item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E). \item En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère. \item Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \item Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en cm$^2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. \medskip $U_{1}$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires. $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire. \medskip On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. \medskip On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{1}$ \fg. On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$B_{1}$~}\taput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$N_{1}$~}\tbput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{enumerate} Montrer que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est égale à $\dfrac{3k + 6}{4k + 12}$. \medskip \textbf{Dans la suite on considère que} \boldmath$k = 12$.\unboldmath \textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.} \item Un joueur mise $8$~euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$~euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $- 8$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item Le jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \item Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes. Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'évènement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation \[(\text{E}) :\qquad 11x - 26y = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-7~;~-3)$ est solution de (E). \item Résoudre alors l'équation (E). \item En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on calcule $11x + 8$ \item on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $x$ est alors \og codé \fg{} par $y$. Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times 11 + 8 = 129$ or $129 \equiv 25 \:(0 \:\text{modulo}\: 26)$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$. Au nombre $25$ correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z. \medskip \begin{enumerate} \item Coder la lettre W. \item Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a : \[11x \equiv j\quad (\text{modulo} \:26)~ \text{équivaut à}\: x \equiv 19j (\text{modulo}\: 26).\] \item En déduire un procédé de décodage. \item Décoder la lettre W. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l} 2x - 6y + 2z - 7&=& 0\\ -x + 3y - \phantom{2}z + 5 &=& 0\\ \end{array}\right.$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : l'ensemble vide& Réponse \textbf{B} : une droite\\ Réponse \textbf{C} : un plan &Réponse \textbf{D} : réduit à un point\\ \end{tabularx} \item Les droites de représentations paramétriques respectives : \[\left\{\begin{array}{l cl} x &=& \phantom{-}1 - t\\ y &=& - 1 + t\\ z &=& \phantom{-}2 - 3t\\ \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l cl} x &=& \phantom{-}2 + t \\ y &=& - 2- t \\ z &=& \phantom{-}4 + 2t \\ \end{array}\right. (t \in \R)~ \text{sont :}\] \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : parallèles et distinctes& Réponse \textbf{B} : confondues\\ Réponse \textbf{C} : sécantes & Réponse \textbf{D} : non coplanaires\\ \end{tabularx} \item La distance du point A$(1~;~- 2~;~1)$ au plan d'équation $- x + 3y - z + 5 = 0$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : $\dfrac{3}{11}$&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}Réponse \textbf{B} : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$\\ Réponse \textbf{C} : $\dfrac{1}{2}$ &Réponse \textbf{D} : $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Le projeté orthogonal du point B(1~;~6~;~0) sur le plan d'équation $- x + 3y - z + 5 = 0$ a pour coordonnées : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : (3~;~1~;~5)& Réponse \textbf{B} : (2~;~3~;~1)\\ Réponse \textbf{C} : (3~;~0~;~2)& Réponse \textbf{D} : $(-2~;~3~;~-6)$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice. \textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i. On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\] Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Un exemple} On considère le point K d'affixe $1+\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer le point K. \item Déterminer l'affixe du point K$'$ image de K par $f$. \item Placer le point K$'$. \end{enumerate} \item \textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas} \begin{enumerate} \item On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Déterminer son image L$'$ par $f$. Que remarque-t- on ? \item Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes. \end{enumerate} \item \textbf{Un procédé de construction} On nomme $G$ l'isobarycentre des points A, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$. \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$. \item En déduire que : si $M$ est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$. \item Démontrer que arg $g = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}.$ On nomme D$'$ l'image de D par $f$. Déduire des questions précédentes la construction du point D$'$ et la réaliser sur \textbf{la figure annexe à rendre avec la copie.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \end{center} Sur la figure ci-dessous le segment [OI] tel que $\vect{u} = \vect{\text{OI}}$ est partagé en six segments d'égale longueur. \begin{center} \vspace{1cm} \psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.25,-3)(3,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.25,-3)(3,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](0,1){A} \uput[u](1,0){I} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.433,1.25) \uput[ur](0.433,1.25){D} \pscircle(0,1){0.5} \multido{\n=0+0.166667}{7}{\psline(\n,-0.04)(\n,0.04)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2008 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{18 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 18 juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A -Vrai ou faux ?} \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.} \medskip \emph{Rappel des notations : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$. \item[$\bullet~$] L'écriture $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ n'ont aucun point commun. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \medskip \begin{enumerate} \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont tels que : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}= \emptyset$ et $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}= \emptyset$. \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset$ \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Intersection de trois plans donnés} \medskip Dans un repère orthonormal de l'espace on considère les trois plans suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $x + y -z = 0$ \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $2x + y + z - 3 = 0$, \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z + 3 = 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $\Delta$. \item En déduire la nature de l'intersection $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère plusieurs sacs de billes S$_{1}$, S$_{2}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots tels que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le premier, S$_{1}$, contient 3 billes jaunes et 2 vertes; \item chacun des suivants, S$_{2}$,~ S$_{3}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots contient 2 billes jaunes et 2 vertes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on tire au hasard une bille dans S$_{1}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{1}$ dans S$_{2}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{2}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{2}$ dans S$_{3}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{3}$; \item etc. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $E_{n}$ l'évènement : \og la bille tirée dans S$_{n}$ est verte \fg{} et on note $p\left(E_{n}\right)$ sa probabilité. \medskip \begin{enumerate} \item Mise en évidence d'une relation de récurrence \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, donner les valeurs de $p\left(E_{1}\right),~ p_{E_{1}}\left(E_{2}\right),~ p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right)$. En déduire la valeur de $p\left(E_{2}\right)$. \item À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $p\left(E_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(E_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Étude d'une suite On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \renewcommand{\arraystretch}{2} $\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}&=&\phantom{\dfrac{1}{5}u_{n} + }\dfrac{2}{5}\\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$. \item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} \item Évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$ \begin{enumerate} \item À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$. \item Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on : $\np{0,49999} \leqslant p\left(E_{n}\right) \leqslant 0,5$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,~b}$ ce réseau. Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau. \medskip \textbf{A - Représentation graphique de quelques ensembles} \medskip Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points $M(x~;~y)$ du réseau $R_{8,8}$ vérifiant : \medskip \begin{enumerate} \item $x \equiv 2\quad (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad (\text{modulo}~ 3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe \item $x+y \equiv 1\quad$ (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; \item $x \equiv y \quad$ (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Résolution d'une équation} \medskip On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ solution de l'équation (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~;~y)$ pour laquelle le point $M(x~;~y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.} \medskip Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec O(0~;~0) et $A(a~;~b)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions : \[0 \leqslant x \leqslant a~;~0 \leqslant y \leqslant b~;~ay = bx.\] \item Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$. \item Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau. (On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\vect{u}\right\| = 4$~cm. $M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que \[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \medskip \textbf{A - Quelques propriétés} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : $\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Construction de l'image d'un point} \medskip On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$ ? \item Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité. \item Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité : $|z - 1| = 1$ ? \end{enumerate} \item Tracer l'ensemble $\mathcal{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathcal{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A - Restitution organisée de connaissances} \medskip On suppose connu le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$. Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$ \medskip \textbf{B - Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\] On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.} \medskip Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible. \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment. \end{enumerate} \medskip \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions} \medskip Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}.\] On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ? \item Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$. Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. \end{enumerate} \item Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$. En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$. \item Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul. En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.) \item Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~\mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,\:-3,\:1$ et $2$. Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul} \psplot[linecolor=green,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul} \psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.61}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div} \uput[l](-1.4,-1.6){\red $\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){\red $\mathcal{E}$} \uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$} \uput[r](0.5,2.5){\blue $\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){\blue $\mathcal{H}$} \uput[l](0.3,2.9){\green $\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){\green $\mathcal{K}$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{D - Calcul d'une aire plane} Soit $\lambda$ un réel strictement positif. La fonction $f$ est celle définie dans la partie B. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(t)\:\text{d}t$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda)$. Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - À rendre avec la copie} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 1} \end{pspicture} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 2} \end{pspicture} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 3} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2008 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{17 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée: 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers 17 juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points : \[\text{A}(2~;~1~;~-1),\quad\text{B}(-1~;~2~;~4),\quad\text{C}(0~;~-2~;~3),\quad \text{D}(1~;~1~;~- 2)\] et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 2y + z + 1 = 0$. \emph{Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l'un des deux mots {\rm \textbf{VRAI}} ou {\rm \textbf{FAUX}} correspondant à la réponse choisie.\\ Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\ Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan. \item Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \item Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : $x + 8y - z - 11 = 0$. \item Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{ 2 +}2k\\ y&=& 2 + 3k\\ z&=& 3 - 4k \end{array}\right.~~(k \in \R).\] \item Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. \item Affirmation 6 : la distance du point C au plan $\mathcal{P}$ est égale à $4\sqrt{6}$ \item Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathcal{P}$. \item Affirmation 8 : le point E$\left(- \dfrac{4}{3}~ ;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation: \[z^2 + 4z + 8 = 0.\] On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. \item On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 - 2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$ \item On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$ du point D est $d =2 - 6\text{i}$. \item Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? \end{enumerate} \item $\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système : \[\left\{(\text{A}~;~1)~;~(\text{B}~;~-1)~ ;~(\text{C}~;~\alpha)\right\}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer le vecteur $\vect{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}.$ \item En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble. \item Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ? \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $\alpha = 2$. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} l'unité graphique est 2~cm. On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives: \[a = 2,\quad b = 2 + 3\text{i},\quad c=3i,~~d = - \dfrac{5}{2}+3\text{i}\:\text{et}\:e = - \dfrac{5}{2}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice. \item On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles. Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables. \item \textbf{Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE} \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B. \item Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE. \item Quel est l'angle de la similitude $s$ ? \item Soit $\Omega$ le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$, démontrer que le point $\Omega$ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point $\Omega$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED} \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui laisse A invariant est : \[ z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z}+ 2 +3\text{i}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \item Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les ingénieurs ; \item[$\bullet~$] les opérateurs de production ; \item[$\bullet~$] les agents de maintenance. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip Il y a 8\,\% d'ingénieurs et 82\,\% d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50\,\% des ingénieurs, 25\,\% des agents de maintenance et 60\,\% des opérateurs de production. \medskip \textbf{I. Partie A} \medskip Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un agent de maintenance \fg{} ; \item[$\bullet~$] $O$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un opérateur de production \fg{}; \item[$\bullet~$] $I$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un ingénieur \fg{}; \item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og le personnel interrogé est une femme \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré correspondant aux données. \item Calculer la probabilité d'interroger: \begin{enumerate} \item un agent de maintenance ; \item une femme agent de maintenance ; \item une femme, \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II. Partie B} \medskip Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,002$ ; \item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à $0,003$ ; \item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne se produise est égale à $0,04$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og l'alarme se déclenche \fg ; \item[$\bullet~$] $B$ l'évènement : \og une panne se produit \fg ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,037$. \item Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche. \item Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{I. Restitution organisée des connaissances} Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{II. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = x - \dfrac{\ln x}{x^2}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique $2$~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $u(x) = x^3 - 1 + 2\ln x$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Calculer $u(1)$ et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Déterminer la fonction dérivée de $f$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Éléments graphiques et tracés. \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. \item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à ($\Delta$). \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite ($\Delta$). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Calculs d'aires} \medskip On note $\alpha$ un nombre réel strictement positif et on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite ($\Delta$) et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \alpha$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose dans cette question que $\alpha >1$. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $\mathcal{A}(\alpha) = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}$. \item Déterminer la limite $\ell$ de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que $\ell = \mathcal{A}\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2008 \hypertarget{France2}{} \label{France2} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 19 juin 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 19 juin 2008 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal \Oij, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \ln x \quad \text{et}\quad g(x) = (\ln x)^2.\] \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-3.5)(4.2,3) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,-3.5)(4.2,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1,0){1} \uput[d](2.71828,0){e} \uput[l](0,1){1}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.0302}{4}{x ln} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1763}{4}{x ln 2 exp} \psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1) \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln 2 exp} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{2.71828}{1}{x ln} } \uput[d](3.5,1.2){\red $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](3.5,1.6){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On cherche à déterminer l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée. On note $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^2\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$. \item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} - 2I$. \item En déduire $J$. \item Donner la valeur de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.} Pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~e], on note $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ de même abscisse. Pour quelle valeur de $x$ la distance $MN$ est maximale ? Calculer la valeur maximale de $MN$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points \[\text{A}(1~;~1~;~0),\quad \text{B}(1~;~2~;~1)\quad \text{et}\quad \text{C}(3~;~- 1~;~2).\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x + y - z -3 = 0$. \end{enumerate} \item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$. Démontrer que l'intersection des plans ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathcal{D}$), dont une représentation paramétrique est : \[ \left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=&\phantom{- }3 \\ z&=&\phantom{- 2 + }t\\ \end{array} \right.\: (t \in \R)\] \item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ? \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la distance du point A à la droite ($\mathcal{D}$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $X$ est un réel strictement positif. \medskip On rappelle que pour tout $t \geqslant 0, ~P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité. \medskip \begin{enumerate} \item Restitution organisée de connaissances \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$. \item Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $\lambda = \np{0,00026}$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(X \leqslant \np{1000})$ et $P (X > \np{1000}$). \item Sachant que l'évènement $(X>\np{1000})$ est réalisé, calculer la probabilité de l'évènement $(X> \np{2000})$. \item Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de \np{2000} heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant \np{3000} heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z^2 - 4z$. Le point $M'$ est appelé l'image de $M$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice. \item Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ? \item Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a : $z' + 4 = (z - 2)^2$. \item En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et $|z - 2|$ et, lorsque $z$ est différent de 2, une relation entre arg$\left(z' +4\right)$ et arg $(z - 2)$, \item Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2 ? \end{enumerate} \item Soient E le point d'affixe $2 + 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, J le point d'affixe $-4$ et E$'$ l'image de E. \begin{enumerate} \item Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{IE}}\right)$. \item Calculer la distance JE$'$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{JE}'}\right)$. \item Construire à la règle et au compas le point E$'$ ; on laissera apparents les traits de construction. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 7+ \dfrac{7}{2} \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la droite ($d$) d'équation $4x + 3y = 1$. Démontrer que l'ensemble des points de ($d$) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points $M_{k}(3k + 1~;~- 4k -1)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en $M_{-1}(- 2~;~3)$. \item Soit $s$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z $ associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}.\] Déterminer l'image de A par $s$, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$. \item On note B$_{1}$ l'image de B par $s$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, B$_{n+1}$ l'image de B$_{n}$ par $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer la longueur AB$_{n+1}$ en fonction de AB$_{n}$. \item À partir de quel entier $n$ le point B$_{n}$, appartient t-il au disque de centre A et de rayon $10^{-2}$ ? \item Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels A, B$_{1}$ et B$_{n}$ sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2008 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2008 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Tous les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath ~près.} \medskip Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à $0,1$. \medskip \begin{enumerate} \item On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. \begin{enumerate} \item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og il n'y a aucun stylo avec un défaut \fg{} ; \item[] $B$ : \og il y a au moins un stylo avec un défaut \fg{}; \item[] $C$ : \og il y a exactement deux stylos avec un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20\,\% des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. On note $D$ l'évènement \og le stylo présente un défaut \fg, et $E$ l'évènement \og le stylo est accepté \fg. \begin{enumerate} \item Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé. \item Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle. \item Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à $0,022$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. \medskip Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'évènement $A$ calculée à la question \textbf{1. b.}. Quel commentaire peut-on faire ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x^2}.\] Sa courbe représentative ($\mathcal{C}$), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Le tableau de variations de $f$ donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il des tangentes à la courbe ($\mathcal{C}$) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~\infty[$ par \[g(x) = \displaystyle\int_{1}^x \dfrac{\ln t}{t^2}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que représente $f$ pour la fonction $g$ ? \item En déduire le sens de variations de $g$ sur $]0~;~ \infty[$. \end{enumerate} \item Interpréter géométriquement les réels $g(3)$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$. \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $g(x) = 1- \dfrac{\ln x + 1}{x}$. \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par : \[u_{0} = 5\quad \text{et, pour tout entier}~~ n \geqslant 1,~ u_{n} = \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)u_{n-1} + \dfrac{6}{n}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$. \item Les valeurs de $u_{2},~ u_{3},~ u_{4},~ u_{5},{} u_{6},{} u_{7},{} u_{8},{} u_{9},{} u_{10},{} u_{11}$ sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $d_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. \end{enumerate} \item On considère la suite arithmétique $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ de raison $8$ et de premier terme $v_{0} = 16$. Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à $4n^2 + 12n$. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $ u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$. \item Valider la conjecture émise à la question \textbf{1. b.}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. Soit ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon 1. On considère le point A de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que ($\mathcal{C}$) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-2$. \begin{enumerate} \item Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par $h$. \item Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.} \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $h$. \item Calculer $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. En déduire que A est le milieu du segment [QR]. \item Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle ($\mathcal{C}$) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},~~ z_{\text{B}} = 5 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}}= \text{i}. \] $s_{1}$ désigne la symétrie d'axe (AB). \begin{enumerate} \item Démontrer que $s_{1}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\overline{z} + \left(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\] \item En déduire l'affixe de C$'$, symétrique de C par rapport à (AB). \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ est imaginaire pur est la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $4x+ 3y= 1$. \item Vérifier que le point C$'$ appartient à ($\mathcal{D}$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites ($\mathcal{D}$) et (AB) sont sécantes en un point $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$. \item On désigne par $s_{2}$ la symétrie d'axe ($\mathcal{D}$) et par $f$ la transformation définie par $f = s_{2} \circ s_{1}$. Justifier que $f$ est une similitude directe et préciser son rapport. \item Déterminer les images des points C et $\Omega$ par la transformation $f$. \item Justifier que $f$ est une rotation dont on donnera le centre. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.} \begin{enumerate} \item Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation : $4x + 3y = 1$. \item Déterminer les points de ($\mathcal{D}$) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à $9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE exercice 2} \vspace{0.5cm} \psset{xunit=1.75cm,yunit=2cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-2)(5,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(0,-2)(5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[u](4,0.1){\blue $(\mathcal{C})$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.548}{4}{x ln x 2 exp div} \end{pspicture} \vspace{3cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3.75) \psframe(8,3.75) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,3.75) \psline[doubleline=true](2.15,0)(2.15,3) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){$0$} \uput[u](5,3){$\text{e}^{\frac{1}{2}}$} \uput[u](7.6,3){$+ \infty$} \rput(1,1.5){$f(x)$} \rput(2.5,0.2){$- \infty$} \rput(5,2.4){$\dfrac{1}{2\text{e}}$} \rput(7.7,0.2){$0$} \psline{->}(2.6,0.4)(4.5,2.4) \psline{->}(5.4,2.4)(7.5,0.4) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2008 \hypertarget{Polynesie2}{} \label{Polynesie2} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z^2 - 6z + 13 = 0.\] Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives \[a = 3 - 2\text{i},\quad b = 3 + 2\text{i}, \quad c = 4\text{i}.\] \smallskip \item Faire une figure et placer les points A, B, C. \item Montrer que OABC est un parallélogramme. \item Déterminer l'affixe du point $\Omega $, centre du parallélogramme OABC. \item Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\| \vect{M\text{O}} + \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\| = 12$. \item Soit $M$ un point de la droite (AB). On désigne par $\beta $ la partie imaginaire de l'affixe du point $M$. On note $N$ l'image du point $M$ par la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2} - \beta + \dfrac{5}{2}\text{i}$. \item Comment choisir $\beta $ pour que $N$ appartienne à la droite (BC) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A(1~;~2~;~3), B(0~;~1~;~4), C$(-1~;~-3~;~2)$, D$(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}(2\;;\;- 1\;;\;1)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés. \item Démontrer que $\vect{n} $ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{ \begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}2 - 2t \\ y &=& - 1 + \phantom{2}t \\ z &=& \phantom{-}4 - \phantom{2}t \\ \end{array} \right.$ avec $t \in \R$.\\ Montrer que le point D appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC). \item Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' = - y + 2$ telle que $f(\ln 2) = 1$. \textbf{Proposition 1} : \og La courbe représentative de $f$ admet au point d'abscisse $0$, une tangente d'équation $y = 2x$ \og. \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[A\;;\; + \infty[$ où $A$ est un réel strictement positif. \textbf{Proposition 2} : \og Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty } f(x)g(x) = 0$ \fg. \item On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10\,\% de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10~kg. \textbf{Proposition 3} : \og À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1~g \fg. \item Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un même univers $\Omega $ muni d'une probabilité $p$. \textbf{Proposition 4} : \og Si $A$ et $B$ sont indépendants et si $p(A) = p(B) = 0,4$ alors $p(A \cup B) = 0,8$ \fg. \item Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2\,\% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99\,\% des pièces défectueuses et accepte 97\,\% des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle. \textbf{Proposition 5} : \og La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à \np{0,9508} \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1} : \og Pour tout entier naturel $n$ non nul, $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. \fg \item Soit $x$ un entier relatif. \textbf{Proposition 2} : \og $x^2 + x + 3 = 0\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$ si et seulement si $x \equiv 1\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$. \fg \item Soit $N$ un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$. \textbf{Proposition 3} : \og Si $N$ est divisible par 7 alors $a + b$ est divisible par 7. \fg \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \textbf{Proposition 4} : \og La similitude directe de rapport 2, d'angle $\dfrac{\pi }{6}$ et de centre le point d'affixe $1 - \text{i}$ a pour écriture complexe $z' = \left( {\sqrt 3 +\text{i}} \right)z + \sqrt 3 - \text{i}\sqrt 3 $. \fg \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère un point A. On désigne par $a$ son affixe. On note $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ et $s_A $ la symétrie centrale de centre A. \textbf{Proposition 5} : \og L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s \circ s_{\text{A}} = s_{\text{A}} \circ s$ est l'ensemble des nombres réels. \fg \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Restitution organisée de connaissances} \medskip On supposera connus les résultats suivants : Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si $u \geqslant 0$ sur $[a ~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x \geqslant 0$. \item Pour tous réels $\alpha $ et $\beta $ $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x + \beta \displaystyle\int_{a}^{b} v(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ~ ; ~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~b],{} f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\:\text{d}x.$ \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;;\;+ \infty[$ par : \[f(x) = x + \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x} \right).\] Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ ainsi que la droite (D) d'équation $y = x$ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est croissante et positive sur $[ 0\;;\; + \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote la droite (D). \item Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D). \end{enumerate} \item Soit I l'intégrale définie par : I $= \displaystyle\int_{0}^{1} \ln \left( 1 + \text{e}^{- x} \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{1} [ f(x) - x]\:\text{d}x$. On ne cherchera pas à calculer I. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de I. \item Montrer que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $\ln \left( {1 + t} \right) \leqslant t$. (On pourra étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $[0\;;\; + \infty[$ par $g(t) = \ln (1 + t) - t$.) On admettra que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $\dfrac{t}{{t + 1}} \leqslant \ln ( 1 + t )$. \item En déduire que pour tout $x$ de $[0\;;\;+ \infty[$, on a : $\dfrac{{\text{e}^{ - x} }}{{\text{e}^{ - x} + 1}} \leqslant \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x} \right) \leqslant \text{e}^{- x} $. \item Montrer que $\ln \left( \dfrac{2}{{1 + \text{e}^{ - 1} }} \right) \leqslant \text{I} \leqslant 1 - \text{e}^{ - 1}.$ \item En déduire un encadrement de I d'amplitude $0,4$ par deux nombres décimaux. \end{enumerate} \item On désigne par $M$ et $N$ les points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $(\mathcal{C})$ et (D). On juge que $M$ et $N$ sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance $MN$ est inférieure à $0,5$~mm. Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $M$ et $N$ sont indiscernables. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 4} \bigskip \bigskip \begin{center} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1,-1)(6.51,5.51) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot{0}{5.5}{x} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{5.5}{2.71828 x neg exp 1 add ln x add} \uput[u](1,1.35){\blue $(\mathcal{C})$} \uput[d](1,1){D} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2008 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2008~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On définit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. \item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^n}$. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. \item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B : } \medskip Étant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie par $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$. Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. \item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ : \[z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0.\] \item On considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} - \text{i}$, B d'affixe $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et C le milieu de [OB] d'affixe~$z_{\text{C}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2~cm pour unité. \item Montrer que le triangle OAB est équilatéral. \end{enumerate} \item Soit D l'image de C par la rotation $r$ de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et E l'image de D par la translation $t$ de vecteur $2\vect{v}$. \begin{enumerate} \item Placer les points D et E sur une figure. \item Montrer que l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E vérifie : $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left[1 + \text{i}\left(4 - \sqrt{3}\right)\right]$. \item Montrer que OE = BE $ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$. \end{enumerate} \item Montrer que les points A, C et E sont alignés. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On considère le système de congruences : \[(S) \left\{\begin{array}{l c l r} n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)\\ \end{array}\right. ,\: \text{où}\: n\: \text{désigne un entier relatif.}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $11$ est solution de $(S)$. \item Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$. \item Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : \[z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$. \item On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$. Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : \[A_{n+1} = f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad B_{n+1} = g\left(B_{n}\right).\] On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de chacun des triangles O$A_{n}A_{n+1}$ ? \item En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Indiquer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+2}}\right)$. \item En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : \[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\] \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? \item En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4}x + 1$. \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : \[f''(x) = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^3}.\] \end{enumerate} \item On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. Tracer la courbe $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3},~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$. \item Soit $\lambda$ un réel strictement négatif. On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$. Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher. L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher. \medskip Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'urne $U_{2}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$. À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien. On note \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $V_{1}$ l'évènement : \og le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ \fg \item[] $V_{2}$ l'évènement: \og le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$. \item Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ? \item Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3. On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près. \item On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois. On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3. Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n} \geqslant 0,99$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion septembre 2008 \hypertarget{Francesep}{} \label{Francesep} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole \& La Réunion septembre 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges. La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges. Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues. La règle du jeu est la suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A. \item[$\bullet~$] S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. \item[$\bullet~$] S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \item Soient $E$ et $F$ les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $E$ : \og à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges \fg{} ; \item[] $F$ : \og à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Montrer que $p(E) = 0,02$ et $p(F) = 0,17$. \item Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien. $X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation. \end{enumerate} \item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} = 1 - (0,9)^n$. \item Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite. \item Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle \[(E)\:\: : \qquad xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ est solution de l'équation différentielle $(E')~~: \quad y' = 2y + 8$. \item Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x) = x h(x)$ est solution de $(E)$. \end{enumerate} \item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$, \item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A$(\ln 2~;~0)$ ? Si oui la préciser. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le milieu de [AI]. \medskip \begin{enumerate} \item C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\ \end{tabularx} \item \begin{enumerate} \item B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$ \item Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$ \item Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I. \item J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$ est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\] est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par \[J_{n} = \int_{1}^n \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante. \item \emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.} On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : \[ I_{n} = \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout $t \geqslant 1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant t + 1$. \item En déduire que $J_{n} \leqslant I_{n}$. \item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée par un nombre réel (indépendant de $n$). \item Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On réalisera une figure en prenant 2~cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,~z_{\text{B}} = 5$ et $z_{\text{I}} = 3 + \text{i}$. On note ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon $1$, ($\Delta$) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle ($\mathcal{C}$) en A. À tout point $M$ d'affixe $z$, différent de A, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{z - 5}{z - 1}.\] Le point $M'$ est appelé l'image de $M$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I$'$ image de I. Vérifier que I$'$ appartient à ($\mathcal{C}$). \medskip \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : O$M' = \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$. \item Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point quelconque de ($\Delta$). On cherche à construire géométriquement son image $M'$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $M'$ appartient à ($\mathcal{C}$). \item On note ($d$) la droite symétrique de la droite (A$M$) par rapport à la tangente (T). ($d$) recoupe ($\mathcal{C}$) en $N$. \begin{enumerate} \item Justifier que les triangles A$M$B et AO$N$ sont isocèles. Après avoir justifié que $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{A}N}\right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{AB}}\right)$ démontrer que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}N}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$. \item En déduire une construction de $M'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On réalisera une figure en prenant 4~cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip $k$ est un réel strictement positif ; $f$ est la similitude directe de centre O de rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note A$_{0}$ = A et pour tout entier naturel $n,~A_{n+1} = f\left(A_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étant donné un point $M$ d'affixe $z$, déterminer en fonction de $z$ l'affixe $z'$ du point $M'$ image de $M$ par $f$. \item Construire les points A$_{0}$, A$_{1}$,~A$_{2}$ et A$_{3}$ dans le cas particulier où $k$ est égal à $\dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$. \item En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles le point $A_{n}$ appartient à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$ et, dans ce cas, déterminer en fonction de $k$ et de $n$ l'abscisse de $A_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \emph{Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \bigskip Désormais, $k$ désigne un entier naturel non nul. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008. \item Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle $k^6$ est un multiple de 2008. \item Pour quelles valeurs des entiers $n$ et $k$ le point $A_{n}$ appartient-il à la demi droite $\left[\text{O}~;~\vect{u}\right)$ avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2008 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip \emph{On rappelle que la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $p_{B}(A)$.} Une urne contient au départ 30~boules blanches et 10~boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires. \item[$\bullet~$] si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $B_{1}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au premier tirage \fg \item[$\bullet~$] $B_{2}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au second tirage \fg \item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og les deux boules tirées sont de couleurs différentes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on prend $n = 10$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$. \item Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$. \item Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$. \end{enumerate} \item On prend toujours $n = 10$. Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement $A$. \begin{enumerate} \item Déterminer $p(X = 3)$. (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près). \item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$. Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \medskip \emph{On donne la propriété suivante :} \emph{\og par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée \fg} \medskip Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1. On a placé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] les points I et J tels que $\vect{\text{BI}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{EJ}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{EH}}$. \item[] le milieu K de [IJ]. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales. \medskip On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales. \item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK). \item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP). \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires. \item En déduire que les points F, P et K sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note $(x~;~y~;~0)$ les coordonnées du point $N$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points F, G, I et J. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (G$N$) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ). \item Exprimer les produits scalaires $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FI}}$ et $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FJ}}$ en fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer les coordonnées du point $N$. \end{enumerate} \item Placer alors le point P sur la figure en annexe. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \begin{center} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante : \[\text{pour tout entier naturel $n$ non nul,} \quad x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$. Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$. En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E). On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme : \[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad \text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\] \item On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E). Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} = 6,6$. En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(- 0,2)^n$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : \[v_{0} = 6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} = 1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\] \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8]. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant v_{n} < v_{n+1} \leqslant 8$. \end{enumerate} \item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe. \medskip \textbf{Partie A - Étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$. On admet que, pour tout réel $x,~f(x) = - x + \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d). \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x + \ln 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. \item Étudier les variations de la fonction $f$. Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$. \item Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.} \medskip On pose $I = \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $I$. \item Montrer que, pour tout $X \in [0~;~+\infty[,~\ln(1 + X) \leqslant X$. \item En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3 2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et donner un encadrement de $I$ d'amplitude $0,02$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe}} \vspace{0,5cm} \emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2} \bigskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \uput[dr](1,1.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[dr](5,1.1){D} \uput[ul](1,5){E} \uput[ul](0,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5,5){H} \uput[d](2.7,0){I} \uput[u](3.65,5){J} \uput[l](3.2,2.5){K} \psframe(4,4) \psline(4,0)(5,1.1)(5,5)(1,5)(0,4)%CDHEF \psline(4,4)(5,5)%GH \pspolygon(2.7,0)(4,4)(3.65,5)%IGJ \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.1)(1,5) \psline[linestyle=dashed](1,1.1)(5,1.1) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.175,2.5) \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4} \bigskip \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture}(-6,0)(6,6) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-6,0)(6,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,0)(6,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div add ln} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \hypertarget{Nouvelle-Caledonienov}{} \label{Nouvelle-Caledonienov} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} on considère les points : \[\begin{array}{l p{1cm} l} \text{A} (3~;~-2~;~1)&& \text{B}(5~;~2~;~-3)\\ \text{C} (6~;~-2~;~-2)&& \text{D}(4~;~3~;~2) \end{array}\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire une équation du plan (ABC). \item Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3. \end{enumerate} \item Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$ OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K, \begin{enumerate} \item Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique. \item Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH. \item Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que \[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-4}{z}.\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Déterminer et placer les points images de B et C par $f$. \item On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Déterminer les points invariants par $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a : \[\text{O}M \times \text{O}M' = 4.\] \item Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$. \end{enumerate} \item Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$. \begin{enumerate} \item Calculer OK$'$ et OH$'$. \item Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. \item Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$. On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(4,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,0)(1.5,1)(2,0)(1,-1)(0,0) \psline(0,0)(0.24,1.26) \psline(0.24,1.26)(1.5,1) \psline(1.5,1)(2.25,0.75) \psline(2.25,0.75)(2,0) \psdots(2,0) \uput[dr](2,0){A} \psdots[linecolor=blue](1.5,1) \rput[bl](1.58,1.12){B} \psdots[linecolor=blue](1,-1) \uput[dl](1,-1){P} \uput[dl](0,0){O} \psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75) \rput[bl](0.32,1.38){N} \rput[bl](2.34,0.86){M} \uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,1.9){$y$} \end{pspicture*} \end{center} On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B. On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$. \medskip \textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. } \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{À l'aide des transformations} \begin{enumerate} \item Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$. \item Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$. \item Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre. \item Quelle est l'image du point O par $r$ ? \item En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item \textbf{En utilisant les nombres complexes} \begin{enumerate} \item Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a. \item En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N. \item Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G. \begin{center}\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{A}} { \pstree{\TR{B (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}} { \TR{D (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{E (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } \pstree{\TR{C (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}} { \TR{F (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{G (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } } \end{center} \medskip On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un n{\oe}ud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \item Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points. \end{enumerate} \item Le joueur effectue 8~parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20~points à cette partie. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2~parties. On donnera le résultat arrondi au millième \item Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = \ln x - 2 + x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$, ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2 - x$. On note E le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-3,-2)(7,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(7,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(7,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-2.5}{4}{2 x sub} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.15}{6.5}{x ln} \uput[u](1.55,0.46){\blue E} \uput[u](6.9,0){$x$} \uput[r](0,4.9){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{5}{6.5}{x ln} \uput[u]{14}(4,1.39){\blue $y = \ln x$} \uput[d]{-45}(2.5,-0.5){$y = 2 - x$} \end{pspicture} \end{center} \smallskip On considère l'aire en unités d'aire, notée $\mathcal{A}$, de la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point E. \item Soit $I = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $I$. \item Calculer $I$, en fonction de $\alpha$, à l'aide d'une intégration par parties. \item Montrer que $I$ peut aussi s'écrire $I = - \alpha^2 + \alpha + 1$ sachant que $f(\alpha) = 0$. \end{enumerate} \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant \[\left\{\begin{array}{l c l } g'(x)&=& g(x)\quad \text{pour tout}~ x \in \R.\\ g(0)& =& 1 \end{array}\right.\] Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par : \[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}$ puis en déduire que $u_{n} = (\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right)$. \item En déduire, en utilisant aussi la \textbf{PARTIE A}, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud décembre 2008 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + 2\text{i},\quad b = 1 + 3\text{i},\quad c = 4\text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est isocèle en A. \item Soit I le milieu de [BC] et $z_{\text{I}}$ son affixe. \begin{enumerate} \item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de A dont l'affixe $z$ est telle que $\dfrac{z - z_{\text{I}}}{z - a}$ soit un réel ? \item Déterminer l'unique réel $x$ tel que $\dfrac{x - z_{\text{I}}}{x - a}$ soit un réel. \item Soit $z_{\vect{\text{AI}}}$ l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$, donner une forme trigonométrique de $z_{\vect{\text{AI}}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G le point d'affixe $-3$. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels. \item Soit $r_{1}$ la rotation de centre G et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{4}$. Déterminer l'écriture complexe de $r_{1}$. \end{enumerate} \item Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B, et C par la rotation $r_{1}$ ; soient $a',~ b'$ et $c'$ leurs affixes. Quelle est l'image par $r_{1}$ de l'axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que $b' = \overline{c'}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit \mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD]. \bigskip \begin{center} \begin{pspicture}(8,4) \pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF \psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH \psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD \psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG \psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH \uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} \uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} \uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} \end{pspicture} \end{center} L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}} ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$. \item Montrer que le triangle FIH est rectangle en I. En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan (FIH). \end{enumerate} \item Soit le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH). \item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH). \item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ? \item Donner un système d'équations paramétriques de cette droite. \item Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH). \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.} Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K. Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ? (On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit $D$ la droite passant par le point A de coordonnées (0~;~0~;~2) et de vecteur directeur $\vect{u}$ de coordonnées (1~;~1~;~0) et soit $D'$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{-} t'\\ y&=&- t' \\ z&=&- 2\\ \end{array}\right. \quad (t' \in \R)\] Le but de l'exercice est d'étudier l'ensemble $S$ des points de l'espace équidistants de $D$ et de $D'.$ \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Une équation de} \boldmath $S$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Montrer que $D$ et $D'$ sont orthogonales et non coplanaires. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $D$. Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x ~;~ y ~;~ z)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Montrer que $\vect{MH}$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{-x + y}{2}~;~\dfrac{x - y}{2}~;~ 2 - z \right)$. En déduire $MH^2$ en fonction de $x,~ y$ et $z$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D'$. Un calcul analogue au précédent permet d'établir que : $MK^2 = \dfrac{(x + y)^2}{2} + (2 + z)^2$, relation que l'on ne demande pas de vérifier. \item Montrer qu'un point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ si et seulement si $z = - \dfrac{1}{4}xy$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la surface \boldmath $S$ \unboldmath d'équation} \boldmath $z = - \dfrac{1}{4}xy$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item On coupe $S$ par le plan ($x$O$y$). Déterminer la section obtenue. \item On coupe $S$ par un plan $P$ parallèle au plan ($x$O$y$). Quelle est la nature de la section obtenue ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.} On coupe $S$ par le plan d'équation $x + y = 0$. Quelle est la nature de la section obtenue ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.} \medskip On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur $[1~;~+\infty[$, et vérifie : \[\left\{\begin{array}{l} \ln 1 = 0\\ \text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy) = \ln x + \ln y\\ \text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\ \ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près} \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \sqrt{x} - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~ 0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\] En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle : \[2y' + y = 0 \quad (\text{E}),\] dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$. \item On considère l'équation différentielle : \[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad (\text{E}')\] \begin{enumerate} \item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\] \item Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que $g$ est solution de l'équation (E$'$) si et seulement si $g - f$ est solution de l'équation (E). Résoudre l'équation (E$'$). \end{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(x^2 + 2x\right)$. \item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$ de la fonction $h$. \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ et $\Gamma$ celle de la fonction : $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{x}{2}}$. \begin{enumerate} \item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. \item Tracer ces deux courbes sur un même graphique. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Sud décembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2009 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie mars 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$. Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et $z_{\text{D}} = - 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 + \sqrt{3})$. \smallskip L'objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D. \item En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon. \end{enumerate} \item Soit F l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$. \item Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. \item Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$. Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD]. \end{enumerate} \item Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points: \[\text{A}(4~;~0~;~0), \quad \text{B}(0 ~;~2~;~0),\quad \text{C}(0~;~0~;~3)\quad \text{et E}\left(\dfrac{2}{3}~;~- \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{9}\right)\] On se propose de déterminer de deux façons la distance $\delta_{\text{E}}$ du point E au plan (ABC). \medskip \textbf{RAPPEL :} Soit ($\mathcal{P}$) un plan d'équation $ax + by+ cz + d = 0$ où $a,~b,~ c$ et $d$ sont des nombre réels avec, $a,~ b$ et $c$ non tous nuls et $M$ un point de coordonnées $\left(x_{M}~;~y_{M}~;~z_{M}\right)$ la distance $\delta_{\text{M}}$ du point $M$ au plan ($\mathcal{P}$) est égale à : \[\dfrac{\left|ax_{M} + by_{M} + cz_{M} + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (3~;~6~;~4). Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Montrer qu'une équation du plan (ABC) est : $3x + 6y + 4z - 12 = 0$. \item Déduire des questions précédentes la distance $\delta_{\text{E}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique: \[ \left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 + t\\ y &=& 2t\\ z&=&\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t\\ \end{array}\right. \quad \text{où}~ t \in \R,\] est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. \item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). \item Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance $\delta_{\text{E}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$. Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A_{n}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible est atteinte \fg. \item[$\bullet~$] $\overline{A_{n}}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible n'est pas atteinte \fg. \item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ \item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité de l'évènement $\overline{A_{n}}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Donner $a_{1}$ et $b_{1}$. Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. On pourra utiliser un arbre pondéré. \item Montrer que, pour tout $n \in \N,~ n \geqslant 1 : a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}b_{n}$, puis : $a_{n+1} = \dfrac{1}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}$ \item Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par $U_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme $U_{1}$. \item En déduire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \geqslant \np{0,6665}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ une fonction définie pour tout nombre réel $x$ par \[f(x) = (1 + x)\text{e}^{- x}.\] Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\R$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Calculer, pour tout nombre réel $x,\:f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~ 5]$. \end{enumerate} \item On note $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[I_{n} = \int_{-1}^n f(x)\:\text{d}x. \] Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_{n}$ en fonction de $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n \in \N : I_{n} \geqslant 0$. \item Montrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ : \[\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x = (-2 -b)\text{e}^{-b} + (2 + a)\text{e}^{-a}.\] \item En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ \item Déterminer : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$. \item Donner une interprétation graphique de cette limite. \end{enumerate} \item Déterminer $\alpha \in \R$ tel que : $\displaystyle\int_{-1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \text{e}$. Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d'aire ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2009 \end{document}