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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat A1 et B}
\lfoot{\small{Besançon-Dijon-Grenoble-Lyon-Metz\\Nancy-Reims-Strasbourg}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Besançon\footnote{Dijon-Grenoble-Lyon-Metz-Nancy-Reims-Strasbourg} juin 1994~\decofourright }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip 

Au cours d'une quinzaine commerciale, un magasin offre un billet de loterie à tout acheteur d'un appareil électroménager. Les $500$ billets sont numérotés de $001$ à $500$ et ils sont tous distribués. 

À la fin de la quinzaine, on effectue un tirage au sort, à l'issue duquel: 
le numéro 397 gagne \np{10000}~F ; 

les 4 autres numéros se terminant par $97$ gagnent chacun \np{1000}~F ; les $45$ autres numéros se terminant par $7$ gagnent chacun $100$~F. 
Il  y a ainsi en tout $50$ numéros gagnants. 

Après l'achat d'un appareil, une personne tire un billet au hasard. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par X la variable aléatoire qui, au numéro de ce billet, associe le gain correspondant. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs que peut prendre X. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer son espérance mathématique E(X).
	\end{enumerate}
\item On considère les deux évènements : 

$A$ = [le numéro obtenu est gagnant] et $B$ = [le deuxième chiffre du numéro est 9]. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$. 
		\item Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
	\end{enumerate} 
\item Le magasin annonce dans sa publicité : \og Pour doubler vos chances d'avoir au moins un billet gagnant, achetez deux appareils ! \fg. Une personne achète deux appareils et tire deux billets au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'évènement $C$ = [aucun des deux numéros n'est gagnant]. Calculer la probabilité $p(C)$. 
		\item En déduire la probabilité pour qu'un numéro au moins soit gagnant. 

Cette annonce publicitaire est-elle correcte ? Justifier la réponse par le calcul. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Série B}

\medskip

Une société investit de manière continue en publicité.
 
Le budget publicitaire (BP) et le chiffre d'affaires (CA) sont connus pour 10 mois consécutifs.
 
Ils figurent dans le tableau suivant où l'unité est le millier de francs.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l r *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois&$i$	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10\\ \hline 
BP 	&$x_i$	&10 &12 &15 &13 &10	& 9 &8 	&6 	&8 	&7\\ \hline 
CA 	&$z_i$	&45 &79 &99 &115&109&80 &70 &60 &37 &61\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique 
$\left(x_i~;~z_i\right)$. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
 
Que peut-on en conclure ? 
\item En fait, il faut prendre en compte le temps nécessaire à la publicité pour produire son effet. Ce temps est estimé à un mois. On considère donc désormais la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$, où, 
pour $ 1 \leqslant i  \leqslant 9,\:y_i  = z_i+1$.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l r *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois &$i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline 
BP &$x_i$&10 &12 &15 &13 &10 &9 &8 &6 &8 \\ \hline  
CA&$y_i$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près. 
		\item Déterminer l'équation $y = mx + p$ de la droite de régression de $y$ en $x$. 
		\item En déduire une estimation du chiffre d'affaires $z_{11} - y_{10}$ du onzième mois. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

La courbe $C$ représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = a + bx\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
 
La droite T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse zéro. 

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(3.2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1.5)(3.2,1.95)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.368)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.55,1.368)(1.5,1.368)
\psplot{-1.1}{0.8}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{3}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\uput[u](3,0){$x$}
\uput[u](-1.4,0){$x'$}
\uput[r](0,1.9){$y$}
\uput[r](0,-1.4){$y'$}
\uput[u](1.6,2.6){T}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](2.9,1.15){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\medskip

Reproduire l'allure de la courbe $C$ sur la copie (repère orthonormal : unité graphique : 2 cm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lecture graphique. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique proposé ci-dessus $f(0)$ et $f'(0)$. 
		\item En déduire la valeur de $a$ et celle de $b$. 
	\end{enumerate}
	
Dans toute la suite, on prend $f(x) = 1 + x\text{e}^{- x}$.
	 
\item Variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 

Déterminer la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; interpréter graphiquement le résultat obtenu. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Étude du point d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule  telle que $- 1 < \alpha < - \frac{1}{2}$. 
		\item On pose $\alpha' = - 0,56$. Calculer $f(\alpha')$ à la précision $10^{-4}$.
		 
Prouver que $\alpha < \alpha'$ et que $\alpha' - \alpha  < 10^{- 2}$ (on pourra calculer $f(- 0,57)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}