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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat A1}
\lfoot{\small{Bordeaux-Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-\\Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Bordeaux\footnote{Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours} juin 1994~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 5 points}

\medskip 

Les questions 1. et 2. peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme de fractions. 

À la gare A, 16 voyageurs ont pris chacun un billet dont : 

7 pour la gare B (prix du billet 50 francs)
 
5 pour la gare C (prix du billet 60 francs)
 
4 pour la gare D (prix du billet 75 francs).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un de ces voyageurs. 
Soit X la variable aléatoire associant à chaque voyageur le prix de son billet (en francs). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de X. 
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard trois de ces voyageurs. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que ces trois voyageurs aient trois destinations différentes. 
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des voyageurs ait un billet pour la gare B. 
		\item Quelle est la probabilité pour que cette destination soit B, sachant que les trois voyageurs ont la même destination.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 15 points}

\medskip

Les trois parties sont largement indépendantes.

\medskip
 
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm).
 
Dans ce repère, on a tracé (ci-après) la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{x^3+ 3x}{x^2 + 1}.\]
 
On y trouvera également la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la droite $d$ parallèle à l'axe des ordonnées $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
 
Cette droite $d$ coupe respectivement l'axe des abscisses, $\Delta$ et $\Gamma$ aux points A, B et C de même abscisse appartenant à l'intervalle [1~;~10].
 
La réunion de la partie hachurée P et de la partie tramée représente à 
l'échelle 1/50\up{e} la voile d'un bateau. 

Les parties P et T exigent des toiles différentes, mais doivent avoir la même aire. Le but du problème est de choisir le nombre $\alpha$ de telle sorte que les aires des parties P et T soient égales. 

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.5,2.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(3.5,2.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](1.9,0){$\alpha$}
\psline(2.8,2.8)\psline(1.9,0)(1.9,1.9)
 \rput(1,0.6){Partie T}
\uput[ur](1.9,0){A} \uput[dr](1.9,1.9){B}\uput[dr](1.9,2.8){C} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.9}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div}
\psline(1.9,1.9)(0,0)}
\uput[r](2.7,2.7){$\Delta$}\uput[l](1,2){$\Gamma$}
\rput(3,0.2){(Échelle 0,5)}
\rput(1,1.7){Partie P}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
\textbf{Étude du bord supérieur de la voile}

\medskip
 
Aucune représentation graphique n'est demandée pour cette partie 1.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ positif, $g(x) = x + \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe 
$\Gamma$. 
		\item En déduire également la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\textbf{Calcul des aires de P et de T}
 
Le nombre $\alpha$ est celui précisé dans le préambule.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $I = \displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x$. 

On exprimera le résultat en fonction du nombre positif $\alpha$.
\item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et la droite d équation $x = \alpha$.
 
On pourra utiliser le résultat établi en 1. de la partie 1. 
\item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ de la partie tramée T, puis en déduire l'aire de la partie hachurée P.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\textbf{Détermination du nombre } \boldmath $\alpha$ \unboldmath
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) - \dfrac{x^2}{2}\]

 (ln désigne la fonction logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée, de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $x (1 - x)$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (on admettra que la limite en $+ \infty$ de $f$ est $- \infty$).
		 
On ne demande pas de représenter $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle [1~;~10] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$.
		 
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer l'égalité $\ln \left(\alpha^2 + 1\right) = \dfrac{\alpha^2}{2}$.
		 
En déduire que, pour cette valeur $\alpha$, les aires des parties P et T sont égales et indiquer la solution du problème posé en préambule.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}