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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (B)}
\lfoot{\small{Bordeaux-Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-\\Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours}}
\rfoot{\small  juin 1994}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (B) Bordeaux\footnote{Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours} juin 1994~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x - 3y	&=&2\ln 2\\
x + y	&=&4\ln 2
\end{array} \right.$
\item On pose $I = \displaystyle\int_0^{\ln 16} \dfrac{\text{e}^x + 3}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_0^{\ln 16} \dfrac{1}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$.

Calculer $I - 3J$ et $I + J$. En déduire les valeurs exactes de $I$ et $J$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution des surfaces cultivées en avoine (en milliers d'hectares) en France de 1970 à 1990.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 								&1970 	&1975 	&1980 	&1985 	&1990\\ \hline 
Rang de l'année $x_i$				&0 		&5 		&10 	&15 	&20\\ \hline 
Superficie en milliers d'ha $y_i$	&805 	&629,7 	&534,3 	&431 	&218\\ \hline 
\multicolumn{6}{r}{Source : \emph{Quid 1993}}\\
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : en abscisse 0,5~cm pour 1~unité, en ordonnée 2~cm pour 100~milliers d'hectares). 
\item Le détail des calculs n'est pas demandé. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage, la variance de $x$, la variance de $y$ et la covariance $\sigma_{xy}$. 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. En donner l'arrondi au millième. 
		
Un ajustement affine est-il justifié ?
	\end{enumerate} 	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(2x^2 - 3x\right) \text{e}^x\]

et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal
\Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		
(On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(x^n \text{e}^x\right) = 0$ pour tout entier naturel $n$.)

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe C
avec l'axe des abscisses.
		\item Donner l'équation de la tangente T à C en $0$.
	\end{enumerate}
\item  Construire dans le repère \Oij{} la droite T et la courbe C.
\item  Soit $m$ un réel. Discuter graphiquement l'existence, le nombre et
le signe des solutions de l'équation :

\[\left(2x^2 - 3 x\right)\text{e}^x = m.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \geqslant 0$.
		\item  Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :
		
		\[F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x.\]
		
Déterminer $a,\: b$ et $c$ réels tels que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item  Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par l'axe des
abscisses, la courbe C et les droites d'équations $x = - 3$ et $x = 0$.
		
On donnera la valeur exacte et l'arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

Les trois parties sont largement indépendantes.

\medskip
 
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm).
 
Dans ce repère, on a tracé (ci-après) la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{x^3+ 3x}{x^2 + 1}.\]
 
On y trouvera également la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la droite $d$ parallèle à l'axe des ordonnées $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
 
Cette droite $d$ coupe respectivement l'axe des abscisses, $\Delta$ et $\Gamma$ aux points A, B et C de même abscisse appartenant à l'intervalle [1~;~10].
 
La réunion de la partie hachurée P et de la partie tramée représente à 
l'échelle 1/50\up{e} la voile d'un bateau. 

Les parties P et T exigent des toiles différentes, mais doivent avoir la même aire. Le but du problème est de choisir le nombre $\alpha$ de telle sorte que les aires des parties P et T soient égales. 

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.5,2.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3.5,2.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](1.9,0){$\alpha$}
\psline(2.8,2.8)\psline(1.9,0)(1.9,1.9)
 \rput(1,0.6){Partie T}
\uput[ur](1.9,0){A} \uput[dr](1.9,1.9){B}\uput[dr](1.9,2.8){C} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.9}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div}
\psline(1.9,1.9)(0,0)}
\uput[r](2.7,2.7){$\Delta$}\uput[l](1,2){$\Gamma$}
\rput(3,0.2){(Échelle 0,5)}
\rput(1,1.7){Partie P}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
\textbf{Étude du bord supérieur de la voile}

\medskip
 
Aucune représentation graphique n'est demandée pour cette partie 1.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ positif, $g(x) = x + \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe 
$\Gamma$. 
		\item En déduire également la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\textbf{Calcul des aires de P et de T}
 
Le nombre $\alpha$ est celui précisé dans le préambule.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $I = \displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x$. 

On exprimera le résultat en fonction du nombre positif $\alpha$.
\item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et la droite d équation $x = \alpha$.
 
On pourra utiliser le résultat établi en 1. de la partie 1. 
\item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ de la partie tramée T, puis en déduire l'aire de la partie hachurée P.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\textbf{Détermination du nombre } \boldmath $\alpha$ \unboldmath
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) - \dfrac{x^2}{2}\]

 (ln désigne la fonction logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée, de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $x (1 - x)$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (on admettra que la limite en $+ \infty$ de $f$ est $- \infty$).
		 
On ne demande pas de représenter $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle [1~;~10] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$.
		 
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer l'égalité $\ln \left(\alpha^2 + 1\right) = \dfrac{\alpha^2}{2}$.
		 
En déduire que, pour cette valeur $\alpha$, les aires des parties P et T sont égales et indiquer la solution du problème posé en préambule.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}