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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small   L'année 2003}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Brevet  2003~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 2003}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
 {\Large 

\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  avril 2003}\dotfill 3  \medskip

\hyperlink{Afrique}{Afrique juin 2003} \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{Aix}{Aix--Marseille  juin 2003}\dotfill 9  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord  juin 2003}\dotfill 13  \medskip

\hyperlink{Amiens}{Amiens  juin 2003}\dotfill 16  \medskip

\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane  juin 2003}\dotfill 21  \medskip

\hyperlink{AsieSudEst}{Asie du Sud--Est  juin 2003}\dotfill 23  \medskip

\hyperlink{Bordeaux}{Bordeaux  juin 2003}\dotfill 25  \medskip

\hyperlink{Est}{Est  juin 2003}\dotfill 30  \medskip

\hyperlink{Reunion}{La Réunion  juin 2003}\dotfill 34  \medskip

\hyperlink{Lyon}{Lyon  juin 2003}\dotfill 37  \medskip
 
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2003}\dotfill 42  \medskip

\hyperlink{Estsep}{Groupe Est  septembre  2003}  \dotfill 45 \medskip  
 
\hyperlink{Nordsep}{Groupe Nord septembre 2003} \dotfill  48\medskip

\hyperlink{Ouestsep}{Groupe Ouest septembre 2003} \dotfill  52\medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  septembre 2003}\dotfill 55 \medskip

\hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre   2003}  \dotfill 58 \medskip

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle Calédonie  décembre   2003}  \dotfill 62 \medskip}
  
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2003
\hypertarget{Pondichery}{}

\lfoot{\small{avril 2003}}
\rfoot{\small{Pondichéry}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{Brevet des collèges  Pondichéry avril 2003}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :

\[\text{A} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{6}{5} : \dfrac{10}{35} \quad \text{B}  = 
 \left(2\sqrt{3} - 4\right)\left(2\sqrt{3} + 4\right) \quad \text{C}  = 
 \dfrac{2 \times 10^9 \times 7 \times 10^{-6}}{35 \times 10^2}.\]

En indiquant toutes les étapes de calcul, calculer A, B et C.

Quels sont les deux nombres égaux ?

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
9x + 3y& = &15\\
2x + y& =& 1\\
\end{array}\right.$

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une enquête a été réalisée dans 80 restaurants d'une même catégorie.

La question posée est « Quel est l'effectif de votre personnel salarié ? »

Les réponses sont données dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de salariés		& 2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	& 8\\ \hline
Nombre de restaurants	&5 	&7 	&14 &17 &21 &10 &6\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Quel est le pourcentage de restaurants dont le nombre
 de salariés est inférieur ou égal à 4 ?
\item Calculer le nombre moyen de salariés par restaurant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres 210 et 135.
\item Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant
ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques mais de motifs
différents. Les dimensions de la couverture doivent être de 210 cm sur
135 cm. Sachant qu'elle veut utiliser le moins de carrés possibles,
quelle doit être leur dimension? (Expliquer la démarche.)
\item Combien devra-t-elle utiliser de carrés ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{Le cône ci-contre a pour base	
un disque de rayon 6 cm et la génératrice [SA]  mesure 10 cm. 
(Les figures ne sont pas à l'échelle.)

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la hauteur [SO].

\item Calculer la mesure, arrondie au degré près, de l'angle 
$\widehat{\text{ASO}}$.\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(5.5,4)
\psellipse(1.2,0.4)(1.2,0.4)
\psellipse(4,0.4)(1.25,0.4)
\psellipse(4,1.4)(0.75,0.25)
\psline(2.75,0.4)(3.3,1.5) \psline(5.25,0.4)(4.7,1.45)% arêtes du tronc
\psline(0,0.4)(1.2,3.5)(2.4,0.4)% arêtes du cône
\psline(1.2,3.5)(0.55,0.1)%SA
\psline[linestyle=dotted](0.65,0.15)(1.25,0.4)(1.2,3.5)
\psline(1.1,0.3)(1.1,0.45)(1.25,0.55)
\uput[ur](1.2,3.5){S} \uput[r](1.25,0.4){O}
\uput[dl](0.65,0.15){A}
\uput[r](2,2.8){cône} \uput[u](4,1.7){tronc de cône}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{3.} Montrer que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_1$ du cône est $96\pi$.

\textbf{4.} On enlève la partie supérieure du cône en le coupant par 
un plan parallèle à la base et passant par le milieu de la hauteur.
 
On rappelle que la partie enlevée est une réduction du cône initial.

\hspace{0,5cm} \textbf{a.} Quel est le coefficient de réduction ?

\hspace{0,5cm} \textbf{b.} Montrer que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_2$ de la 
partie enlevée est $12\pi$.

\hspace{0,5cm} \textbf{c.} En déduire la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$'$ du tronc de cône.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textsl{Les constructions sont à faire sur papier millimétré.}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité  est le centimètre.

Placer les points suivants

\[\text{A}(- 2~;~ -3)\quad  \text{B}(1~;~ 1)\quad  \text{C}(- 3~;~- 1).\]

\item Vérifier par le calcul que AB = 5 cm.
\item On donne AC $= \sqrt{5}$ cm et BC $= 2\sqrt{5}$ cm.
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item Calculer son aire.
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de A par rapport à C, et E le 
symétrique de B par rapport à C.

Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier la  réponse.
\item Compléter :

$\vect{\text{BA}} +  \vect{\text{AC}} = \ldots \qquad  
\vect{\text{BD}}  + \vect{\text{BA}} = \ldots$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Une crèche propose deux tarifs pour la garde d'un enfant.

Tarif A : Pour une fréquentation occasionnelle, 15 euros par jour de garde.

Tarif B : Un forfait mensuel de 80 euros plus 5 euros par jour de garde.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En janvier, Grégoire a fréquenté la crèche 4 jours et Aurélien 15 jours.

Calculer la dépense pour chacun des deux enfants avec le tarif A, puis
avec le tarif B.

\item On appelle $x$ le nombre de jours de fréquentation en un mois.
	\begin{enumerate}
		 \item Exprimer, en fonction de $x$, la somme $A(x)$ payée avec
 le tarif A.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, la somme $B(x)$ payée avec le tarif B.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $5x + 80 < 15x$.

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Toutes les lectures graphiques seront indiquées par des pointillés.

 On considère maintenant les fonctions A et B définies par

\[A(x) = 15x \quad \text{et} \quad  B(x) = 5x + 80.\]

\begin{enumerate}
 \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère
 orthogonal.

Pour cela :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] placer l'origine du repère en bas et à gauche ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, prendre 1 cm pour une journée de crèche ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, prendre 1 cm pour 10 euros.
\end{itemize}

Construire alors les représentations graphiques des fonctions A et B.

\item Les représentations graphiques se coupent en E. Par lecture
 graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		 \item quelle est l'abscisse du point E ? Que 
représente-t-elle ?
		\item quelle est l'ordonnée du point E ? Que représente-t-elle ?
	\end{enumerate}
\item Lire sur le graphique la somme dépensée pour une fréquentation
de 12 jours avec le tarif B.

Vérifier par le calcul.
\item Résoudre graphiquement l'équation : $A(x) = 90$.

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Afrique juin 2003
\hypertarget{Afrique}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Afrique de l'Ouest}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Afrique de l'Ouest  juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit A$ = 5\sqrt{18}$ et B$=3\sqrt{50}$.

Écrire A et B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

Que remarquez-vous ?
\item Soit C$ = 2 - \sqrt{2}$ et D$ = 2 + \sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que C $\times$ D est entier.
		\item Calculer C$^{2}$ et écrire le résultat sous la forme
$a+b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ entiers.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression
$E=\left(x + 1 \right)^{2}-\left(x + 1 \right) \left( 2x - 3\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = \dfrac{1}{2}$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation
$(x + 1 )(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le PGCD des nombres $372$ et $775$ est égal à $31$ ;
écrire les calculs.
\item Un chef d'orchestre fait répéter $372$ choristes hommes et $775$
choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de
répétition de sorte que :
\begin{itemize}
\item le nombre de choristes femmes est le même dans chaque groupe ;
\item le nombre de choristes hommes est le même dans chaque groupe ;
\item chaque choriste appartient à un groupe.
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire ?
		\item Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes
femmes dans chaque groupe ?
	\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
\begin{center}\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-3,-7)(11,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-7)(11,7)
\qdisk(-2,-2){1.5pt} \qdisk(2,-4){1.5pt} 
\qdisk(6,4){1.5pt} \qdisk(10,2){1.5pt} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-2,-2){A} \uput[dl](2,-4){B} 
\uput[ur](6,4){C} \uput[dr](10,2){D}
\uput[d](1,0){I}  \uput[l](0,1){J} \uput[d](2,0){2}
 \uput[l](0,2){2}  \uput[d](10.5,0){$x$}
 \uput[l](0,6.5){$y$}
 \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-3,0)(11,0)
 \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-7)(0,7) 
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées des points A, B et C.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et
$\vect{\text{BD}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6 cm
et BC=10 cm.
\item Calculer AC.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point I milieu du segment [BC] puis tracer la médiane (AI) du triangle ABC.
		\item Montrer que IA = 5 cm.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M sur le segment [AI] tel que IM = 2 cm.
		\item Tracer la parallèle à (AB) passant par M et le point P en
lequel elle coupe [BC].
		\item Calculer IP.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur le segment [IC] le point N tel que IN = 2 cm puis
tracer la droite (MN).
		\item Démontrer que (MN) et (AC) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie A}}
\end{center}

Les élèves d'une classe de troisième ont eu deux notes sur 20 en
mathématiques au cours du premier trimestre.

La première note a été
un contrôle : on l'appelle $x$.

La deuxième a été obtenue à un devoir
: on l'appelle $y$.\\Le professeur fait la moyenne pondérée $M$ de ces
deux notes : $M=\dfrac{3x+2y}{5}$.

\emph{On dit que $x$ est affecté du coefficient} 3 \emph{et $y$ du
coefficient} 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dorian a eu $12$ en contrôle et $15$ en devoir.

Calculer la moyenne pondérée de Dorian.
\item Lucie a eu $12,5$ en devoir.

Montrer que sa moyenne pondérée peut alors être calculée par la
formule : $M=0,6x+5$.
\item \emph{Les calculs nécessaires doivent figurer sur la copie.}
On considère la fonction suivante :
\[f : x  \longmapsto 0,6x + 5\]
Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer la droite $(d)$ qui
représente la fonction $f$.

On se limitera à des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $20$.
\item On cherche la note de contrôle $x$ qui a permis à Lucie
d'obtenir une moyenne pondérée de $14$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ en faisant apparaître
sur le graphique les constructions utiles.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Lucie se demande si elle aurait pu obtenir une moyenne pondérée
supérieure ou égale à $17$.

Après avoir traduit ce problème par une inéquation, déterminer quelles
notes elle devait obtenir en contrôle pour cela.\\[1cm]
\end{enumerate}

\vspace*{-0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie B}}
\end{center}
Après les avoir arrondies, le professeur dresse un tableau des moyennes obtenues par les élèves de sa classe au premier trimestre.

\begin{center}
{\scriptsize \begin{tabular}{|m{2cm}|*{15}{c|}}
\hline
\textbf{Moyennes sur 20}
&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\
\hline
\textbf{Nombre d'élèves ayant la note indiquée au-dessus}
&1&1&2&2&1&4&2&1&0&2&2&1&1&2&1 \\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter cette série par un diagramme en bâtons

(1 cm pour un point en abscisse et 2 cm pour un élève en
ordonnées).
\item Quel est le nombre d'élèves dans la classe ?
\item Calculer la moyenne de la classe pour ce trimestre (arrondir au
dixième).
\item Quelle est la médiane de cette série de notes ?
\item Quel pourcentage d'élèves a obtenu une moyenne inférieure
strictement à $9$ ? (Arrondir au dixième.)
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Afrique juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%   Aix-Marseille juin 2003
\hypertarget{Aix}{}

\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet }} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003 \decofourright\\ 
Aix--Marseille, Corse, Montpellier, Nice et Toulouse }} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center} \textbf{PREMIÈRE PARTIE} 

\textbf{Activités numériques (12 points)} \end{center} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

On donne : A $= \dfrac{9}{14} - \dfrac{2}{7} \times 5 \qquad ; \qquad 
\text{B} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$. 

Écrire chaque nombre A et B sous forme d'une fraction irréductible. 

\bigskip  

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

On considère C $ = (3x - 2)^2 + (3x - 2)(x + 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire C. 
\item Factoriser C. 
\item Résoudre l'équation $(3x- 2)(4x +1) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

La course automobile des 24 heures du Mans consiste à effectuer en 24 heures le plus 
grand nombre de tours d'un circuit. 

Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la 
répartition du nombre de tours effectués par les 25 premiers coureurs automobiles du rallye. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.75cm} 
\textbf{Course automobile des 24 heures du Mans}

\vspace{0,5cm} 

\begin{pspicture}(6,8) 
\psframe(0,0)(6,8) 
\multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n)(6,\n)} 
\multido{\n=0+1}{8}{\uput[l](0,\n){\n}} 
\psframe*(0.4,0)(0.6,4) \psframe*(1.4,0)(1.6,4) 
\psframe*(2.4,0)(2.6,5) \psframe*(3.4,0)(3.6,7) 
\psframe*(4.4,0)(4.6,3) \psframe*(5.4,0)(5.6,2) 
\rput{90}(-1,4){effectifs} 
\uput[d](0.5,0){310} \uput[d](1.5,0){320} \uput[d](2.5,0){330} 
\uput[d](3.5,0){340} \uput[d](4.5,0){350} \uput[d](5.5,0){360} 
\end{pspicture} 

\vspace{0,5cm} 

nombre de tours de circuit 
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Compléter dans l'annexe : le tableau des effectifs cumulés croissants de cette série statistique. 
\item Déterminer la médiane et l'étendue de cette série. 
\item Calculer la moyenne de cette série (on donnera la valeur arrondie à 
l'unité). 
\end{enumerate} 

\textbf{Annexe} 

Compléter le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants de la  série statistique étudiée : 

\begin{center} \begin{tabular}{|l| *{6}{c|}}\hline 
Nombre de tours effectuées 	&310&320&330&340&350&360\\ \hline 
Effectifs					&4	&	&	&	&	&\\ \hline 
Effectifs cumulés croissants&	&	&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabular}\end{center} 

\medskip  

\begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE} 

\textbf{Activités géométriques (12 points)} \end{center} 

\medskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. 

On donne : 

FE = 12 cm ; FG = 9 cm ; FB = 3 cm ; \\FN = 4 cm et FM = 3 cm.}\hfill 
\parbox[r]{0.4\textwidth}{\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(3.5,3) 
\psline(0,0.5)(0,1.5)(1.4,2.2)(4,1.8)(4,0.8)(2.6,0) 
(2.6,1)(0,1.5) %EADCGFBA 
\psline(0,0.5)(2.6,0) %EF 
\psline(1.78,0.15)(2.6,1)(4,1.8) %NBC 
\psline(2.6,1)(3.17,0.33) %BM 
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(1.4,1.2)(1.4,2.2) 
\psline[linestyle=dotted](1.4,1.2)(4,0.8) 
\psline[linestyle=dotted](1.78,0.15)(3.17,0.33) 
\uput[ul](0,1.5){A} \uput[u](2.6,1){B} \uput[ur](4,1.8){C} 
\uput[u](1.4,2.2){D} \uput[dl](0,0.5){E} \uput[dr](2.6,0){F} 
\uput[dr](4,0.8){G} \uput[d](1.4,1.2){H} \uput[dr](3.2,0.3){M} 
\uput[dl](1.8,0.2){N} 
\end{pspicture}} 

\bigskip 
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur MN. 
\item Montrer que l'aire du triangle FNM est égal à 6 
cm$^2$. 
\item Calculer le volume de la pyramide (P) de sommet B et 
de base le triangle FNM. 
\item On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide 
(P) au parallélépipède rectangle. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de faces de ce solide ? 
		\item Calculer son volume. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

\emph{On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété  de cours utilisée.} 

\bigskip  

\parbox[l]{0.5\textwidth}{La figure ci-contre n'est pas représentée 
en vraie grandeur. 

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles. 

On donne : AB 2,4 cm ; AC = 5,2 cm ; 

AN = 7,8 cm et MN = 4,5 cm. 

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AM et BC. 
\item Sachant que AP = 2,6 cm et 
AR = 1,2 cm montrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.\end{enumerate} } 
\hfill \parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.3cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(1.5,2) 
\psline(-1,-2)(1,2) 
\uput[ul](0,0){A} 
\uput[u](-0.9,0){B} 
\uput[dr](-0.5,-1){C} 
\uput[u](-1.5,0){M} 
\uput[dr](-0.85,-1.7){N} 
\uput[ul](0.25,0.5){P} 
\uput[dr](0.5,0){R} 
\psline(-2,0)(2,0) 
\psline(-0.85,-1.7)(-1.5,0)%MN 
\psline(-0.9,0)(-0.5,-1)%BC 
\psline(0.25,0.5)(0.5,0)%PR 
\end{pspicture}} 

\bigskip  

\begin{center} \textbf{TROISIÈME PARTIE} 

\textbf{Problème (12 points)} \end{center} 

\medskip  

Un fournisseur d'accès à Internet propose à ses clients deux formules d'abonnement : 

$\bullet~$ une formule A comportant un abonnement fixe de 20 euros par mois auquel 
s'ajoute le prix des communications au tarif préférentiel de 2 euros de l'heure. 

$\bullet~$ une formule B offrant un libre accès à Internet mais pour laquelle le prix des 
communications est de 4 euros pour une heure de connexion. 

Dans les deux cas, les communications sont facturées proportionnellement au 
temps de connexion. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pierre se connecte 7 h 30 min par mois et Annie 15 h par mois. 

Calculer le prix payé par chacune des deux personnes selon qu'elle choisit 
la formule A ou B. Conseiller à chacun l'option la plus avantageuse. 
\item On note $x$ le temps de connexion d'un client exprimé en heures. 

On appelle P$_{\text{A}}$ le prix à payer en euros avec la formule 
A et P$_{\text{B}}$ le prix à payer en euros avec la formule B. 

Exprimer P$_{\text{A}}$ et P$_{\text{B}}$ en fonction de x. 
\item Dans le repère orthogonal de l'annexe, tracer : 

$\bullet~$ la droite $(d)$, représentation graphique de la fonction $f~ :~ x 
\mapsto 2x + 20$ ; 

$\bullet~$ la droite $(d')$, représentation graphique de la fonction $g~ :~ x 
\mapsto 4x$. 

\item En faisant apparaître sur le graphique précèdent les traits 
nécessaires, répondre aux deux questions suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item Coralie qui avait choisi la formule B, a payé 26 euros. Combien de temps 
a-t-elle été connectée ? 
		\item Jean se connecte 14 h dans le mois. Combien va-t-il payer selon qu'il 
choisit la formule A ou la formule B ? 
	\end{enumerate} 
\item Résoudre l'inéquation : $4 x \leqslant 2x + 20$. 

Que permet de déterminer la résolution de cette inéquation dans le contexte du problème ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe} 

\vspace{0,8cm} 
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.2cm} 
\begin{pspicture}(17,70) 
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white] 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(18,75) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(17,0) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,75) 
\rput(14,-3.5){nombre d'heures} 
\rput{90}(-1.5,60){prix en euros} 
\end{pspicture} 
\end{center}  
%%%%%%%%%%%   fin Aix-Marseille juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2003
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet }} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003~\decofourright\\ 
Amérique du Nord}} \end{center} 
\thispagestyle{empty}

\bigskip
    
\textbf{Partie numérique \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1}

\[\text{A}=1-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4} \right) \qquad \text{B}=
\dfrac{3-\dfrac{5}{2}}{1+\dfrac{1}{5}}\]

\begin{enumerate}
\item  En faisant apparaître les différentes étapes de calcul,
 écrire A et B sous la forme d'une fraction irréductible.
 
\item  Calculer les quatre-cinquièmes de $\dfrac{35}{8}$.

On appellera C le résultat donné sous forme de fraction 
irréductible.
\item  Montrer que la somme A + B + C est un nombre
 entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En faisant apparaître les étapes, 
calculer et donner l'écriture scientifique de : 

\[\text{D}=\dfrac{2\times 10^{3}\times5 \times 
\left(10^{-5}\right)^{2} }{2+18}\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item $\text{E} = 2\sqrt{27}+\sqrt{18} \times
 \sqrt{6}$.
 
Calculer et écrire E sous la forme $a\sqrt{3}$ 
($a$ entier relatif).
		\item  $\text{F} = \left( \sqrt{2}-4\right) \left( 2+4\sqrt{2}\right)$.

Calculer et écrire F sous la forme $b\sqrt{2}$ ($b$ entier
 relatif).
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Soit l'expression : $P=\left(2x-1 \right)^{2}-16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
\item  Factoriser $P$.
\item  Résoudre l'équation $\left(2x-5 \right) \left(2x+3 \right) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

\emph{Les deux questions posées dans cet exercice sont 
indépendantes.}

\np{6510} fourmis noires et \np{4650} fourmis
 rouges décident de s'allier pour combattre les termites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour cela, la reine des fourmis  souhaite constituer,
 en utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront toutes composées de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires.

Quel est le nombre maximal d'équipes que la reine peut ainsi former ?
\item Si toutes les fourmis, rouges et noires, se placent en file 
indienne, elles forment une colonne de 42,78~m de long.

Sachant qu'une fourmi rouge mesure 2~mm de plus qu'une fourmi noire, déterminer la taille d'une fourmi rouge et celle d'une fourmi noire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie géométrique \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 }

\medskip

\emph{Utiliser la figure ci-après}

\emph{Pour cet exercice, on laissera visible les traits de construction
mais aucune justification n'est demandée.}

Soit le triangle équilatéral MAK de côté mesurant 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point I image de
 M dans la rotation de centre K et d'angle $120 \degres$ dans
 le sens inverse des aiguilles d'une montre. 
		\item  Quelle est la nature exacte du triangle AKI ? (On ne demande pas de justification.)
	\end{enumerate}
\item Construire le point S symétrique de M par rapport à K.
\item Construire le point O tel que K soit le milieu de [AO].
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point N image  de K dans la translation de vecteur $\vect{\text{AM}}$.
		\item Quelle est la nature exacte
du quadrilatère AMNK ?  (On ne demande pas de justification.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{4.}
 
\hspace{1cm} \textbf{a.}  Tracer le polygone MAISON.

\hspace{1cm} \textbf{b.}  Quelle est la nature exacte de ce polygone ? (On ne
 demande pas de justification.)} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3.6)
\pspolygon(0,0)(4,0)(2,3.464)
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){K} \uput[ul](2,3.464){M} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer un triangle ABC tel que AC = 7,5 cm, BC = 10 cm et 
AB = 6 cm.
		\item  Placer E sur [AC] tel que AE=4,5cm et F sur [BC]
 tel que BF = 6 cm.
	\end{enumerate}
\item Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.
\item On trace la droite parallèle à (AB) passant par C. Cette 
droite coupe (BE) en L.

Déterminer CL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{0,4cm}

\parbox[c]{0.4\textwidth}{On considère la figure ci-dessous
(dimensions non respectées sur le dessin) :  
\textbf{1.} Refaire la figure en vraie grandeur.

\textbf{2. a.} Calculer AB.

\textbf{b.} Calculer $\sin\widehat{\text{ABI}}$.

\textbf{3.} O est le point de [BC] tel que BO = 5 cm.

$\cal{(C)}$ est le cercle de centre O passant par B.

Il recoupe [AB] en E et [BC] en F.} \hfill
\parbox[c]{0.55\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,3)
\psline(0,0)(4,0) \psline(2,0)(2,3)
\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(4,-0.1)(4,0.1)
\psline(1.9,3)(2.1,3) \psframe(2,0)(2.2,0.2)
\uput[ul](2,3){A} \uput[d](0,0){B} \uput[d](2,0){I} \uput[d](4,0){C}
\psline(0.9,-0.1)(0.95,0.1) \psline(0.95,-0.1)(1.05,0.1)
\psline(2.9,-0.1)(2.95,0.1) \psline(2.95,-0.1)(3.05,0.1)
\rput(4,3){AI = 8 cm} \rput(4,2.2){ BC = 12 cm}
\rput(4,1.4){$\widehat{\text{AIB}} = 90\degres$}
\rput(4.3,0.6){I milieu de [BC]}
\end{pspicture}}

\vspace{0,4cm}

\hspace{1cm}\textbf{a.} Compléter la figure du \textbf{1.} en traçant le cercle $\cal{(C)}$
 et en plaçant les points O, E et F.
 
\hspace{1cm}\textbf{b.} Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\emph{les représentations graphiques dans la seconde 
partie seront effectuées  sur papier millimétré.}

Un industriel est spécialisé dans la fabrication de pieds de
 lampes.
 
Il crée un nouveau modèle sous forme d'une sphère tronquée.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\parbox[c]{0.55\textwidth}{
La sphère a pour centre I et pour rayon $r$ = 10 cm.
[$\text{LL}'$]~est un diamètre de la
sphère.

H est un point de [LL$'$] tel que IH = 8 cm.

Un plan passant par H et perpendiculaire à [LL$'$]
coupe cette sphère.

\medskip

\textbf{1.} Quelle est la nature de la section ? (On ne demande pas de 
justification.)} \hfill 
\parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}
\psellipse(2.5,0.9)(1.92,0.35)
\qdisk(2.5,0){1.5pt} \qdisk(2.5,2.5){1.5pt} \qdisk(2.5,1){1.5pt}
\uput[ul](2.5,1){H}  \uput[u](2.5,5){L}  \uput[r](2.5,2.5){I} 
\uput[r](4.45,1){M}  \uput[ul](2.5,0){L$'$}
\psline[linestyle=dotted](2.5,1)(2.5,5)
\end{pspicture}}
\medskip
 
\textbf{2.} Quelle est la nature du triangle
 IHM ? (On ne demande pas de justification.)
 
\textbf{3.} En déduire HM.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie} 

\medskip

\emph{Les représentations graphiques seront effectuées sur
 papier millimétré.}
 
L'industriel reçoit des commandes de différentes régions de France.
 
Pour la livraison des produits, il s'adresse alors à deux sociétés
 de transport et compare leurs tarifs :
\begin{itemize}
\item tarif 1 : 3,5 euros par km parcouru ;
\item tarif 2 : 2 euros par km parcouru avec en plus un 
forfait fixe de 150 euros.
\end{itemize}

Soit $y_{1}$ le prix (en euros) du transport avec le tarif 1 
pour $x$ km parcourus.

Soit $y_{2}$ le prix (en euros) du transport avec
 le tarif 2 pour  $x$ km parcourus.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ (en km)			&50	&150&300\\\hline
$y_{1}$ (en euros)	&	&525&\\ \hline
$y_{2}$ (en euros)	&250&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Quel est le tarif le plus avantageux pour 50~km parcourus ? et pour 300~km parcourus ?
	\end{enumerate}
\item Plus généralement,
 on obtient donc :  $y_{1}=3,5x$.
 
Exprimer $y_{2}$ en fonction de $x$.
\item Tracer sur une feuille de papier millimétré la 
droite $(d_{1})$ représentant la fonction : $x \longmapsto
 3,5x$ et la droite $(d_{2})$ représentant la fonction : 
$x \longmapsto 2x + 150$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

On prendra sur l'axe des abscisses $1$ cm pour représenter 
50 euros.

Pour des raisons pratiques, prendre l'origine du repère en bas et à 
gauche de la feuille de papier millimétré.
\item Déterminer graphiquement le nombre de kilomètres à partir duquel il est plus avantageux pour l'industriel de choisir le tarif 2. (On laissera
 visible les pointillés nécessaires à la lecture graphique.)
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%   Amiens juin 2003
\hypertarget{Amiens}{}
 
\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet }} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003\decofourright\\ 
Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles}} 
\end{center} 

\begin{center} \textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\textbf{Activités numériques (12 points)} \end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit A = $\dfrac{8}{3} - \dfrac{5}{3} \div \dfrac{20}{21}$.

Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la
 forme d'une fraction irréductible.
\item   Soit B $= 3\sqrt{28} - 9\sqrt{7}$. Écrire B sous la 
forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un nombre entier (on indiquera le détail des calculs).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le PGCD des nombres \np{1183} et 455 en précisant la méthode utilisée.

\item  Écrire sous la forme irréductible la fraction 
$\dfrac{\np{1183}}{455}$	(on indiquera le détail des calculs).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression E = $ (5x - 2)^2 - (x - 7)(5x -2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire E.
\item  Calculer la valeur numérique de E pour $x = - 1$.
\item  Factoriser E.
\item  Résoudre l'équation $(5x - 2)(4x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un restaurant, un couple commande 1 pizza et 2 jus de fruit et paye 11~euros.

À la table voisine, des amis commandent 5 pizzas et 9 jus de fruit et payent 53~euros. Toutes les pizzas sont au même tarif et tous les jus de fruit ont un prix identique.

On appelle $x$ le prix en euros d'une pizza et $y$ le prix en euros d'un jus de fruit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire un système d'équations traduisant les données.

\item  Calculer le prix d'une pizza et celui d'un jus de fruit.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\textbf{Activités géométriques (12 points)} \end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A$(-3~;~1)$ B$(0~;~-2)$ C$(2~;~3)$
 dans le repère de l'annexe 1.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les distances AC et BC.
		\item  Qu'en déduire pour le triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item  Construire l'image A$'$ B$'$ C$'$ du triangle ABC par la translation
 de vecteur $\vect{\text{AB}}$ dans le repère de \textbf{l'annexe 1}.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un tajine est un plat composé d'une assiette circulaire et d'un couvercle en forme de cône
 qui s'emboîte parfaitement dans l'assiette. L'assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure 15~cm et la génératrice du cône [SA] mesure 25~cm.
 
\bigskip
 
\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,2.5)
\psellipse(1.5,0.5)(1.5,0.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(1.5,0.5)(1.5,2.5)
\psline(0,0.5)(1.5,2.5)(3,0.5)
\uput[l](0,0.5){A} \uput[dr](1.5,0.5){O} \uput[u](1.5,2.5){S} 
\end{pspicture}

Tajine  \end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur OS du cône.
\item Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égal
 à $(\np{1500} \pi)$ cm$^3$.
\item Un modèle réduit de ce tajine a une assiette de rayon 6 cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le coefficient de réduction qui transforme le grand tajine en
 modèle réduit.
		\item  En déduire la valeur arrondie au cm$^3$ près du volume V$'$ du tajine en modèle réduit.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. RST est un triangle tel que : RS = 6,4~;~ ST = 8
 et RT = 4,8.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur sur \textbf{l'annexe 1}.
\item  Démontrer que le triangle RST est rectangle en R.
\item  Calculer la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{RST}}$.
\item  M est le point du segment [SR] tel que SM = 4 et N est le point du
 segment [ST] tel que SN = 5.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MN) et (RT) sont parallèles.
		\item Calculer la distance MN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe I - Activités géométriques (À rendre avec la copie)}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-3)(7,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(7,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,4)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1.1,0){I} \uput[l](0,1){J} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{TROISIÈME PARTIE}

\textbf{Problème (12 points)} \end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude statistique a été réalisée auprès de jeunes possédant un 
téléphone portable. l'enquête portait sur la durée d'utilisation de 
leur téléphone en janvier 2003.

Les durées relevées vont de 34 min à 3 h 27 min.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer l'étendue de la série statistique 
obtenue (donner le résultat en heures et minutes).

\item  Les durées ont été regroupées en classe dans le 
tableau suivant :
\medskip

\hspace{-1cm}\scriptsize{ \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|m{1.7cm}| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée d'utilisation $d$ en min.	& $30 \leqslant d < 60$&$60 \leqslant d < 90$&$90 \leqslant 
d < 120$		&$120 \leqslant d < 150$&$150 \leqslant d < 180$&$180 \leqslant d < 210$\\  \hline
Effectifs 		&26	&43	&61	&80	&30	&10 \\ \hline
Centre de classe&45&75	&105&135&165&195\\ \hline
\end{tabularx} } 
\normalsize{}

\medskip

Calculer effectif total de la série statistique.

\item  Quel est le nombre de jeunes interrogés qui ont utilisé leur
téléphone au moins 2 h ?
\item  Quel est le pourcentage de jeunes ayant utilisé leur téléphone
moins de 1 h 30 min ?
\item  Calculer en minutes la durée moyenne d'utilisation de leur
téléphone portable pour l'ensemble des jeunes de l'enquête.

Exprimer ce résultat en heures et minutes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

Deux sociétés proposent les formules d'abonnement suivantes :

M : Société Mobile France 20 euros pour un forfait de 2h et 0,50 euro par minute de dépassement 
du forfait.

P : Société Portable Europe : 26 euros pour un forfait de 2h et 0,30 euro par minute de dépassement
du forfait.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le prix à payer pour chacune des deux formules pour une
durée d'utilisation de 1h 30 min ?

		\item  Calculer le prix à payer pour chacune des deux formules pour une durée
d'utilisation de 2h 40 min.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ la durée (en minutes) de dépassement au-delà du forfait de 2h.

Exprimer en fonction de $x$ 

	\begin{enumerate}
		\item  Le prix $P_{1}$ à payer avec la formule M proposée par la société Mobile France.

		\item  Le prix $P_{2}$ à payer avec la formule P proposée par la société Portable Europe.
	\end{enumerate}
\item Sur la feuille annexe 2, construire

? la droite $d_{1}$ représentant la fonction affine $x \mapsto  0,5 x + 
20$ ;

? la droite $d_{2}$ représentant la fonction affine $x \mapsto 0,3 x 
+26$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $0,5 x + 20 = 0,3 x + 26$.

		\item Que signifie ce résultat dans le problème posé ci-dessus ?

		\item Vérifier graphiquement cette solution en faisant apparaître les pointillés utiles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À partir de quelle durée d'utilisation la formule P est-elle plus
économique que la formule M ?

		\item Lors de l'enquête décrite dans la première partie, quel est le nombre
de jeunes interrogés qui ont intérêt à choisir la formule P proposée par Portable Europe ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \textbf{Annexe 2 - Problème (À rendre avec la copie)}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-1,-1)(8,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(8,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-1)(0,8)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){10} \uput[l](0,1){10}
\psline(1,0)(1,0.2) \psline(0,1)(.2,1) 
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%   fin Amiens juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2003
\hypertarget{Antilles}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Antilles -- Guyane}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Antilles -- Guyane juin 2003~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  A $= \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{18}$.

Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item  B $= \dfrac{3 \times 10^8 \times  4 \times 10^{-5}}{6 \times 10^7}$.

Donner l'écriture décimale puis l'écriture scientifique de B.
\item C $= 5\sqrt{12} - 9\sqrt{75} + 4\sqrt{27}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus
petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = 36 - (3x + 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Développer puis réduire $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = - 2$, puis pour $x= \dfrac{1}{3}$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(1 - 3x) (3x + 11) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, des élèves du club
d'échecs d'un collège :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{5}{c|}}\hline
Âge des élèves&~~11~~&~~12~~&~~13~~&~~14~~ &~~15~~\\ \hline
Nombre d'élèves& 2& 6& 12& 10&  10\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total du club.
\item Calculer le pourcentage des élèves ayant moins de 13 ans dans ce club.
\item La cotisation annuelle est de 5 \euro{} pour les élèves ayant 
moins de 13 ans et de 6 \euro{} pour les élèves de 13 ans et plus.

Calculer le montant total des cotisations du club.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsl{Toutes les questions sont indépendantes.}

Soit un triangle ABC tel que :

AB = 7,5 cm,  AC = 4,5 cm,  BC = 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Placer le point E du segment [AB] tel que BE = 5 cm.

Le cercle de diamètre [BE] coupe le côté [BC] en F.
		\item Montrer que le triangle BFE est rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (FE) et (AC) sont parallèles.
		\item Calculer FB et FE.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$.
		\item Donner une valeur approchée au degré près de $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un parallélogramme EFGH et I, le milieu de [EF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item On considère la translation de vecteur $\vect{\text{EH}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de E ?
		\item Quelle est l'image de F ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Construire le point J, translaté du point I dans la translation de
vecteur $\vect{\text{EH}}$.
 
Que représente le point J pour le segment [GH] ? Justifier la réponse.
\item Construire le point $K$ tel que $\vect{\text{E}K} = 
\vect{\text{EG}} + \vect{\text{EH}}$

Montrer que J est le milieu de [E$K$].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\begin{enumerate} 
\item Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points

\[\text{A}(-4~;~ 2),~ \text{B}(- 1~;~- 3) \quad \text{et} \quad \text{C}(4~;~ 
0).\]

\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme.

Montrer que les coordonnées de D sont (1 ; 5).
\item Préciser alors la nature du quadrilatère ABCD et justifier la réponse.
\item On considère deux fonctions affines $f$ et $g$ de représentations
graphiques respectives (AC) et (BD).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'expression de $f$ est définie par 
$f(x) = - \dfrac{1}{4}x + 1$.
		\item Déterminer l'expression de $g$.
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des
droites (AC) et (BD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%   Asie du Sud-Est juin 2003
\hypertarget{AsieSudEst}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Asie du Sud-Est, Madagascar}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Asie du Sud-Est juin 2003~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire :
$A = (2x - 1)^{2}- 4(2 - x)$.
\item Factoriser :
$B = \left(x - 1\right)^{2}+\left(3x + 5\right)\left(x - 1\right)$.
\item Résoudre l'équation
$\left(x - 1\right) \left(4x + 4\right)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \nombre{1820} et \nombre{2730}.
\item Trouver la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{1820}}{\nombre{2730}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trouver deux nombres, connaissant leur somme $2003$ et leur différence $51$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On a mesuré lors d'un stage de jeunes basketteurs. Les tailles, en
cm, sont les suivantes :

\[\begin{tabular}{ccccc}
165&175&187&165&170\\
181&174&184&171&166\\
178&177&176&174&176\\
\end{tabular}
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la taille moyenne de ces basketteurs.
\item Quelle est la taille médiane de ces sportifs ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(9,7)
\def\los{\pspolygon(0,0)(2.1,0)(2.8,0.7)(0.7,0.7)}
\rput(0.7,4.2){\los} %P1
\rput{-135}(8.5,5){\los}% P4
\rput(2.2,0.7){\los}% P5 
\rput(5.7,4.3){\los}% P3
\pspolygon(0,1.5)(0,3.6)(0.7,4.2)(0.7,2.1)% P2
\psline(0,4.9)(5.1,0)
\psline(0.7,0.4)(6.5,6.5)
\qdisk(3,2.8){1.5pt}
\uput[l](0.7,4.2){A} \uput[dr](3,2.8){B}
\uput[ur](8.5,5){C}  \uput[dl](5.6,4.3){E}
\uput[u](5,0.2){(D)} \uput[dr](6.3,6.1){(D$'$)}
\rput(2.1,4.6){P$_{1}$} \rput(0.4,2.8){P$_{2}$} 
\rput(6.8,4.8){P$_{3}$} \rput(7.7,3.8){P$_{4}$} 
\rput(3.4,1.15){P$_{5}$}
\psarc(8.5,5){3mm}{180}{225}
\psarc(8.5,5){3mm}{225}{270}
\end{pspicture} \end{center}

Préciser en donnant dans chaque cas ses éléments caractéristiques, la
transformation permettant de passer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item de P$_{1}$ à P$_{2}$;
\item de P$_{1}$ à P$_{3}$;
\item de P$_{3}$ à P$_{4}$;
\item de P$_{1}$ à P$_{5}$;
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en B et tel que
AB = 5~cm et $\widehat{\text{BAC}} = 60 \degres$.
\item Calculer AC.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la médiatrice de [AC] : elle coupe [AC] en I et
[BC] en J.
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{IJB}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur : elle est
donnée à titre indicatif.}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0,65\linewidth}{SABCD est une pyramide à base
carrée ; sa hauteur est l'arête [SA].

On donne SA = 4 cm et AB = 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer SB.
\item Représenter en vraie grandeur les faces SAB et SBC, toutes
deux des triangles rectangles.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[l]{0,3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(2.1,0)(2.8,0.8)(0,2.7)
\psline(2.1,0)(0,2.7)
\psline(0.2,0)(0.2,0.2)(0,0.2)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.7,0.8)(0,2.7)
\psline[linestyle=dotted](0.7,0.8)(2.8,0.8)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.1,0){B} \uput[r](2.8,0.8){C} 
\uput[l](0.7,0.8){D} \uput[l](0,2.7){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et
l'unité d'aire est le cm$^2$. On pourra utiliser une feuille de
papier millimétré.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item (O, I, J) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points suivants :
		
\[\text{A}(-2~;~-1) \qquad \text{B}(-5~;~3) \qquad \text{C}(3~;~9)\]

		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et
$\vect{\text{BC}}$ puis vérifier par un calcul que AB = 5 et
BC=10.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$ et en
déduire la longueur AC (on l'écrira sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$
est un entier).
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en B.
\item Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC].
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D symétrique de B par rapport au point K.
		\item Démontrer que ABCD est un rectangle.
		\item Calculer son aire, puis celle du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item La droite perpendiculaire à (AC) passant par B coupe (AC)
en H et (AD) en L.

Utiliser l'aire du triangle ABC pour vérifier que BH $=2\sqrt{5}$.
\item On donne la valeur de AH : AH $=\sqrt{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer HC (l'écrire sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier).
		\item Utiliser le théorème de Thalès pour calculer AL.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   Fin Asie du Sud-Est juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Bordeaux juin 2003
\hypertarget{Bordeaux}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Bordeaux}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges   juin 2003~\decofourright\\
Bordeaux, Caen, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et 
Rennes}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire sous forme $a\sqrt{5}$ avec $a$ entier :

\[\text{A} = 3\sqrt{20} + \sqrt{45} \qquad \qquad	\text{B} =  \sqrt{180} - 
3 \sqrt{5}.\]

\item  En utilisant les résultats de la question 1, démontrer 
que A~$\times$ B et $\dfrac{\text{A}}{\text{B}}$ sont des nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de
 fraction irréductible :

\[1 - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5}\right)\]

\item  Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2001 et
 les quatre cinquièmes du \textbf{reste} en 2002.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2002 ?
		\item Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années ?
		\item Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue
 au bout des deux années représente six hectares ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 }

\medskip

On considère l'expression 	E = $(2x + 1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire l'expression E.
\item  Factoriser l'expression E sous forme d'un produit de facteurs du
 premier degré.
\item  Résoudre l'équation : $(2x + 3)(2x - 1) = 0$.
\item  Calculer E lorsque $x$ vaut $- \dfrac{3}{2}$ , puis 
lorsque $x$ vaut $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 }

\medskip

Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8\:\%. Un objet coûte $x$ euros.
 Après avoir subi cette augmentation, il coûte $y$ euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item  Un lecteur de DVD coûte, avant augmentation, 329 euros.
 Combien coûtera-t-il après ?
\item  Un téléviseur coûte, après augmentation, 540 euros. Combien coûtait-il avant ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, utiliser la feuille annexe, page 4/5, que l'on rendra avec la copie.}

Sur un quadrillage constitué de carrés, on a placé une droite (d), trois points (nommés A, B et M),
 une figure qui est en forme de fanion et est numérotée 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image de la figure 1 par la symétrie d'axe (d) ; numéroter 2 la
 figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 1 par la rotation de centre M et 
d'angle 90\degres dans le sens des aiguilles d'une montre ; numéroter 3 la figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 1 par la symétrie de centre A ; numéroter 4 la
 figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 4 par la symétrie de centre B ; numéroter 5 la
 figure obtenue.
	\end{enumerate}
\item	Par quelle transformation géométrique peut-on passer directement  de la figure 1 à la figure 5 ?

Préciser l'élément caractéristique de cette transformation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, utiliser la feuille annexe, page 5/5, que l'on rendra
 avec la copie.}

Dans un repère orthonormé (O , I , J) on considère les points :

\[\text{A}(-2~;~1) \qquad	\text{B}(-1 ~;~3)\qquad 	\text{C}(5~;~0).\]

\begin{enumerate}
\item Placer ces points dans le repère (O, I , J ) représenté sur la feuille annexe.
\item Démontrer que la valeur exacte de AB est $\sqrt{5}$.
\item On admet dans la suite de l'exercice que :	
AC = $ 
5\sqrt{2}$	et	$\text{BC} = 3\sqrt{5}$.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item On appelle K le milieu de [AC] . Calculer les coordonnées de K.
\item On appelle D le point tel que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Placer D
 dans le repère, puis calculer ses coordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Questions enchaînées \hfill 12 points}

\medskip

\parbox[l]{0.45\textwidth}{On donne :

-	un cercle (C) de centre O et de rayon 6 cm ;

-	un diamètre [AB] de ce cercle (C) ;

-	le point N du segment [OB] tel que : BN = 4 cm ;

-	le point M situé à 3,2 cm de B et tel que le
triangle BMN est rectangle en M.} 
\hfill\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(0,-4.5)(8,4)
\pscircle(4,0){4} \uput[d](5.333,0){N}
\psline(4,-0.1)(4,0.1) \psline(5.333,-0.1)(5.333,0.1) 
\uput[l](0,0){A}   \uput[d](4,0){O} \uput[u](6.4,1.5){M} 
\uput[r](8,0){B} \uput[d](7.5,-2.5){(C)}
\psline(5.333,0)(6.3,1.25)(8,0)
\psline(0,0)(8,0)
\rput(3.6,-4.3){Cette figure n'est pas en vraie grandeur}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la longueur du segment [MN].
		\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MBN}}$ (arrondir à un degré près).

La droite (BM) recoupe le cercle (C) en P.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le triangle BPA est rectangle en P.
		\item  En déduire que les droites (PA) et (MN) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item	On sait maintenant que le triangle BPA est un agrandissement du
 triangle BMN.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le coefficient d'agrandissement.
		\item  Calculer BP.
		\item  Calculer l'aire du triangle BMN et en déduire l'aire du triangle BPA.
	\end{enumerate}
\item	Soit E le milieu de [BN]. Démontrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles.
\item	La droite (PO) recoupe le cercle (C) en K et la droite (PN) coupe la droite (BK) en I.

On sait que : lorsqu'un point appartient à une médiane d'un triangle et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce point est le centre de gravité du triangle.

Écrire le rapport $\dfrac{\text{BN}}{\text{BO}}$ sous forme d'une fraction irréductible,
 puis démontrer que I est le milieu du segment [BK].
\end{enumerate}

\footnote{Brevet Académie de Bordeaux juin 2003}

\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Activités géométriques : exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(24,16)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,linestyle=dotted]
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](9,6.8)(9,7.2) 
\psline[linewidth=2.5pt](7.8,9)(8.2,9)
\psline[linewidth=2.5pt](8,8.8)(8,9.2)
\psline[linewidth=2.5pt](13.8,7)(14.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](14,6.8)(14,7.2)
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](14,7)(14,11)(17,10)(14,9)
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](11,0)(24,13)
\rput(23.5,11.5){(d)}
\rput(14.7,10){\textbf{\No 1}}
\uput[ul](9,7){A} \uput[ul](8,9){B} \uput[dl](14,7){M}  
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Activités géométriques : exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,linestyle=dotted](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(-5,0)(5,0) 
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,-5)(0,5) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Bordeaux juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Centres étrangers Est juin 2003
\hypertarget{Est}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Centres étrangers (Est)}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Centres étrangers 
(Est)~\decofourright\\ juin 2003}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les quatre calculs suivants, chaque résultat sera
donné sous la forme d'un entier.
	\begin{enumerate}
		\item Calcul 1 : $\dfrac{3,9 \times \left( 10^{-2}\right)^{2} }{3
\times 10^{-5}}$.
		\item Calcul 2 : trouver le plus grand diviseur commun de $35$ et
$12$.
		\item Calcul 3 : $\left(2+\dfrac{2}{3} \right) \div
\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3} \right)$.
		\item Calcul : $\dfrac{4 \times \sqrt{24}}{\sqrt{6}}$.
	\end{enumerate}
\item On construit un codage de la façon suivante :
\[\begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}\hline
{\bf Nombres entiers}&$1$&$2$&$\cdots$&$\cdots$&$\cdots$&26\\\hline
{\bf Codes}&A&B&$\cdots$&$\cdots$&$\cdots$&Z\\\hline
\end{tabular}
\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le code de $13$ ?
		\item Quel est le mot formé en codant les quatre résultats de la
première question ? Si les calculs sont exactes, on doit retrouver un
mot de circonstance.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un magasin spécialisé dans la vente d'accessoires automobiles vend un
modèle de pneu à $120$~\euro{} l'unité. Au cours d'une promotion, il
décide de faire une remise de $25\:\%$ sur l'achat de chaque pneu.

Son affiche publicitaire affirme : \og Le quatrième pneu est
gratuit \fg. Est-ce exact ? Justifier.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Marie et Anne pratiquent l'équitation.

Marie a pris pendant un trimestre $16$ heures de leçons et a fait
$3$ stages d'une journée chacun. Marie a payé $344$ \euro.

Pendant le même trimestre, Anne a pris $18$ heures de leçons et a
fait seulement $2$ stages d'une journée chacun. Anne a payé $332$
\euro.

Déterminer le prix d'une heure de leçon et celui d'une journée de
stage.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression
$A = (x - 3)(x + 3) - 2(x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A$.
\item Développer et réduire $A$.
\item En choisissant l'expression de $A$ la plus adaptée parmi celles
trouvées aux questions précédentes, déterminer la valeur de $A$ pour
$x = - 1$ et pour $x = 0$.
\item Résoudre l'équation
$(x - 3)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un parc d'activités, une épreuve consiste à parcourir une
certaine distance entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de
poulie qui permet de glisser le long d'un câble).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,0)(0,1.4) \psline(0.6,0)(0.6,1.4)
\psframe(-0.15,1.4)(0.75,1.7)
\psline(0,1.7)(0,3.8) \psline(0.6,1.7)(0.6,3.8)
\pscurve(0,3.4)(0.3,3.3)(0.6,3.4)
\pscurve(0,3.35)(0.3,3.25)(0.6,3.35)
\pscircle(0.63,3.4){0.1}
\psline(5,0)(5,0.9) \psline(5.6,0)(5.6,0.9)
\psframe(4.85,0.9)(5.75,1.2)
\psline(5,1.2)(5,3.8) \psline(5.6,1.2)(5.6,3.8)
\pscurve(5,2)(5.3,1.9)(5.6,2)
\pscurve(5,1.95)(5.3,1.85)(5.6,1.95)
\pscircle(4.995,2){0.1}
\pscircle(2,2.5){0.2}
\psline(2.1,2.45)(2.7,2.2)(2.9,2.18)(2.995,2)
\psline(2.7,2.2)(2.8,2)(2.6,1.9)
\psline(2.2,2.4)(2.3,2.3)(2.3,2.6)(2.7,2.65)
\psline(2.2,2.4)(2.4,2.5)(2.3,2.85)
\pscircle(2.3,2.9){0.1}
\pscircle(2.8,2.7){0.1}
\psline(0.64,3.45)(2.3,2.95)
\psline(2.4,2.9)(2.8,2.8)
\psline(2.9,2.75)(4.9,2)
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

La situation est schématisée dans un plan vertical par le triangle
ABC ci-après, où A et B désignent les points de fixation du
câble sur les arbres, le segment [AB] représentant le câble.

On sait que le câble mesure 75 m de long, qu'il fait un angle de
$5\up{o}$ avec l'horizontale représentée par le segment [BC] sur le
schéma.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,2.5)
\psline(0,2)(6.7,0)
\psline[linestyle=dotted](0,2)(0,0)(6.7,0)
\psarc(6.7,0){2}{163 }{180}
\uput[ul](0,2){A}  \uput[r](6.7,0){B}  \uput[l](0,0){C}
\psline(0,0.2)(0.2,0.2)(0.2,0)
\rput(3,1.4){75 m}
\rput(3,0.5){$\widehat{\text{B}} = 5\degres$}
\end{pspicture}    
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie au centimètre de la distance BC
entre les deux arbres.
\item En utilisant une relation trigonométrique, calculer la
troncature au centimètre de la différence de hauteur entre les deux
plate-formes, représentée par [AC] sur le schéma.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère qu'une boule de pétanque a pour volume 196 cm$^{3}$ et que
son rayon est le double de celui du cochonnet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le rapport de réduction des rayons (donner une écriture
fractionnaire ou décimale) ?
\item En déduire le volume du cochonnet.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La figure sera tracée sur la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans un repère orthonormé, en prenant comme unité le
centimètre, les points 

\[\text{A}(-2~ ;~ 2),~ \text{B}(2~ ;~ 5), ~\text{C}(5~;~ 1)\quad \text{et} 
\quad \text{D}(1 ~;~-2).\]

\item Calculer les distances AB, BC et AC.

Montrer, en le justifiant, que le triangle ABC est rectangle et
isocèle.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et
$\vect{\text{BC}}$.

Que peut-on en conclure ?
\item Déduire des questions précédentes que ABCD est un carré.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la
première.}

Au cross du collège, les garçons et les filles courent en même temps
sur le même parcours. Les garçons doivent parcourir 2 km. Les filles
partent à 300 mètres du point de départ des garçons sur le parcours.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6.5)
\def\flag{\psline(0,0)(0,1.5)(0.7,1.2)(0,0.9)}
\pspolygon(1,1.6)(3,3.2)(3.4,2.5)(1.4,0.9)
\pscurve(3,3.2)(3.5,3.5)(4,3.65)
\pscurve(3.4,2.5)(4,2.85)(4.5,3.05)(5,3.15)
\psline(4,3.65)(9.1,4.6)(9.7,3.83)(5,3.15)
\psline{->}(1.6,1.6)(2.8,2.6)
\psline{->}(4.2,3.4)(5.7,3.65)
\psline{->}(7.5,4)(8.8,4.15)
\psline{<->}(1.5,0.76)(3.57,2.4)
\rput(1,3.5){Départ garçons} \rput(3,5){Départ filles}
\rput(9.2,6.3){Arrivée}
\rput{44}(2.6,1.2){300 m}
\rput(3,3.2){\flag} \rput(9.1,4.6){\flag}  \rput(1,1.6){\flag}
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie A}}
\end{center}

\par Marc fait le parcours des garçons à la vitesse de 15 km.h$^{-1}$.

Cécile fait le parcours à la vitesse constante de 12 km.h$^{-1}$.

Marc et Cécile partent en même temps.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que Marc parcourt 250 mètres par minute.

On dira qu'il court à la vitesse de 250 m.min$^{-1}$.

Montrer que Cécile court à la vitesse de 200 m.min$^{-1}$.
\item À quelle distance \textbf{du départ des garçons} se trouvent
Marc et Cécile quand ils ont couru 5\,min ?
\item Depuis le départ Marc et Cécile ont couru pendant $x$ minutes.
	\begin{enumerate}
		\item À quelle distance du départ des garçons se trouvent Marc quand
il a couru pendant $x$ minutes ?
		\item Montrer que la distance en mètres qui sépare Cécile du point de
départ des garçons au bout de $x$ minutes est $200x+300$.
	\end{enumerate} 
\item Dans un repère où on choisit un centimètre pour une unité en
abscisses et un centimètre pour 100 unités en ordonnées, tracer les
représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f : x \mapsto 250x\quad \text{et} \quad  g : x \mapsto 20x+300.\]

(On placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de
papier millimétré.)
\item Par des lectures graphiques, justifiées en faisant apparaître
les tracés indispensables, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps Marc aura-t-il rattrapé Cécile ?
		\item A quelle distance du départ des garçons Marc et Cécile
seront-ils à cet instant ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $250x=200x+300$.
		\item Déterminer par le calcul les réponses aux questions posées aux
\textbf{questions 5}.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie B}}
\end{center}
Les professeurs d'éducation physique et sportive du collège relèvent
le \og temps \fg{} mis par chaque élève pour faire le cross. Pour présenter
les résultats de l'ensemble des participants ils ont tracé ce graphique :

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.1cm}\begin{pspicture}(12,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(12,60)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(3,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(5,50)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(7,40)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(9,20)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(11,15)
\rput(2,27){25} \rput(4,52){50} 
\rput(6,42){40} \rput(8,22){20} \rput(10,17){15}
\psline{->}(6,43)(6.8,50) 
\rput(9,54){Signifie que 40 élèves ont~~~}
\rput(9,49){couru en un temps $t$ exprimé}
\rput(9,44){en minutes avec $14 \leqslant t \leqslant 16$}
\rput(10,-4){Temps en minutes}
\rput{90}(-0.5,40){Nombre d'élèves}
\end{pspicture}
\end{center}

En se servant de ce graphique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total des participants au cross.
\item Trouver combien d'élèves ont mis moins de 16 minutes pour faire
le cross.
\item Calculer le temps moyen, mis par les élèves, pour faire ce cross.

Donner le résultat en minutes et secondes.

\textbf{Aide:}

On rappelle que pour des effectifs répartis en classes, on utilise le
centre de chaque classe pour calculer la moyenne.

C'est-à-dire que pour la première classe par exemple, on considérera
que les 25 élèves ont tous mis 11 minutes pour faire le cross.
\item Au bout de combien de temps est-on assuré que la moitié des
élèves sont arrivés ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers Est juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2003
\hypertarget{Reunion}{}

\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{La Réunion }}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet La Réunion juin 2003~\decofourright}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)}

\end{center}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère A $= \left(\dfrac{11}{2} - \dfrac{2}{3}\right) \times 
\dfrac{8}{7}$.

Écrire A sous forme d'une fraction irréductible (les calculs 
intermédiaires figureront sur la copie).

\item  Donner l'écriture scientifique des deux nombres suivants :
 
\[\text{B} = 143,34 \qquad \text{et} \qquad 	\text{C} = 0,00456.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère D $= \dfrac{350}{525}$. Simplifier la fraction D pour la 
rendre irréductible.

\bigskip
	
\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère E $= \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire $\sqrt{12}$ et $\sqrt{27}$ 	sous la forme $a\sqrt{3}$, 
avec $a$ entier.
\item  En déduire l'écriture de E sous la forme $b\sqrt{3}$,~ $b$
entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $F = (3x - 2)^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire $F$.
\item  Factoriser $F$.
\item  Résoudre l'équation $(3x - 7)(3x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCD est un carré de centre O, D milieu du segment [AB$'$].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle
 90° dans le sens des aiguilles d'une montre ? (aucune justification n'est
 demandée.)
		\item Quel est le symétrique du point B par rapport à la droite (AC) ? (aucune
 justification n'est demandée.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de C par la translation qui transforme B en A ?
Justifier la réponse.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCB$'$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0,0)(3,0)(6,3)(0,3)(3,0)(3,3)
\psline(0,0)(0,3)
\uput[ul](0,3){A} \uput[dl](0,0){B} 
\uput[dr](3,0){C}\uput[u](3,3){D} 
\uput[d](1.5,1.5){O} \uput[u](6,3){B$'$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit le triangle ABC tel que AB = 5cm ; AC = 7,5 cm ; BC = 7 cm. On place les 
points E et F respectivement sur les segments [AB] et [AC] de telle sorte 
que AE = 2 cm et AF = 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire la figure en vraie grandeur.
\item  Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
\item  Calculer EF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J) unité le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A$(-6~;~2)$ ; B(4 ; 2) et C$(2~;~-2)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Lire les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
		\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter : AB$^2 = \ldots \ldots$ (on 
pourra donner le résultat sans aucune justification)
		\item   Calculer AC$^2$.
		\item   Calculer BC$^2$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Une entreprise de location de matériel industriel propose les tarifs 
suivants :

$\bullet~~$ Tarif A : 50 \euro~ par jour.

$\bullet~~$ Tarif B : un versement de 500 \euro{} au départ, plus 25 \euro{} par jour.

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{center} \begin{tabular}{|l |*{3}{c|}}\hline
Nombre de jours de location						&~~~4~~~&~~~16~~~&~~~30~~~\\ \hline
Montant de la location avec le tarif A (\euro~)	&&& \\\hline
Montant de la location avec le tarif B (\euro~)	&&& \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\medskip

\item  Quel est le tarif le plus intéressant pour une location d'une durée de 4 jours ?
\item  Soit $x$ le nombre de jours de location. On appelle $P_{\text{A}}$
le montant de la location pour une durée de $x$ jours avec le tarif A.
On appelle $P_{\text{B}}$ le montant de la location pour une durée de $x$
jours avec le tarif B.

Exprimer $P_{\text{A}}$ et $P_{\text{B}}$ en fonction de $x$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation $25x + 500 = 1100$.
		\item  Donner la signification de la solution de l'équation précédente.
	\end{enumerate}
\item Sur un papier millimétré, dans un plan muni d'un repère orthogonal , avec,
 en abscisses, 1cm pour 2 jours de location et, en ordonnées, 1cm pour 100 \euro.
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer les représentations graphiques des fonctions affines :

\[x \longmapsto 50x \qquad 	\text{et} \qquad 	x  \longmapsto
	25z + 500\]

		\item  Par lecture graphique, donner le nombre de jours de location pour lequel les prix avec les tarifs A et B sont les mêmes. Tracer le trait justificatif en pointillés.
		\item  Écrire une équation pertinente dont la solution est la réponse à la question précédente. (on ne demande pas de résoudre cette équation)
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Lyon juin 2003
\hypertarget{Lyon}{} 
 
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Lyon}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet  juin 2003~\decofourright\\
Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire A sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des
 nombres entiers naturels, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{A} = 2\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{20}.\]

\item  Calculer l'expression suivante B et donner son écriture
 scientifique :

\[\text{B} = \dfrac{150 \times 10^3 \times 10^5}{6 \times 10^7}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression C = $(2x + 5)^2 -(x + 3)(2x + 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire C.
\item   Factoriser C.
\item   Résoudre l'équation $(2x + 5)(x + 2) = 0$.
\item   Calculer l'expression C pour $x = - \dfrac{2}{3}$. (on mettra
 le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
4x + 3y & = & 206\\
2x + 2y & = & 114\\
\end{array}\right.$

\item  Lors d'un spectacle, la famille A, composée de 4 adultes et
 de 3 enfants, a payé 206 euros.

Pour le même spectacle, la famille B, composée de 2 adultes et de
 2 enfants, a payé 114 euros.

Combien paiera la famille C, sachant qu'elle est composée de 3 adultes
 et de 2 enfants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{flushright}\textbf{Tournez la page s'il vous plaît} 
\end{flushright}

\newpage

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.

On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psline(0,0)(5,0) \psline(0,1.6)(5,1.6)
\uput[d](1.3,0){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[u](0.8,1.6){C} 
\uput[u](3.7,1.6){D} \uput[u](2.6,0.9){E} \uput[ur](3.2,0.6){F} 
\uput[d](2,0){G}
\psline(1.3,0)(3.7,1.6) \psline(4.8,0)(0.8,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur.
Elles ne sont pas à reproduire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la distance CD.
\item  Les points F et G appartiennent respectivement aux segments
[BC] et [AB].

Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16. Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque de rayon [OA].

Ce cône a pour hauteur SO = 8 cm et pour génératrice SA = 10 cm.

I est un point du segment [SO] tel que SI = 2 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.8,3.5)
\psellipse(1.4,0.5)(1.4,0.5)
\psline(0,0.5)(1.4,3.15)(2.8,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(1.4,0.5)(1.4,3.15)
\uput[l](0,0.5){A} \uput[dr](1.4,0.5){O} \uput[u](1.4,3.15){S}
\uput[r](1.4,2.25){I} \psline(1.3,2.25)(1.5,2.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que OA = 6 cm.
\item  Montrer que la valeur exacte du volume $V$ du cône 
est égale à $96\pi$ cm$^3$. Donner la valeur arrondie au mm$^3$ près.
\item  Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{ASO}}$.
\item  On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant
par le point I. La section obtenue est un disque de centre I, réduction du disque
de base.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le rapport $k$ de cette réduction.
		\item  Soit $V'$ le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre I. Exprimer $V'$ en fonction de $V$, puis donner la valeur arrondie de $V'$ au mm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure de la feuille annexe (à rendre avec la copie), sont représentés huit hexagones réguliers. Les constructions demandées dans cet exercice doivent être effectuées directement sur cette feuille annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire le point $M$ tel que  
$\vect{\text{A}M} = \vect{\text{AB}} + 
\vect{\text{AC}}$.

\item  Construire le point $Q$, symétrique de H par rapport à la droite
(BE).

\item  Construire le point $P$, image du point C par la rotation
de centre E et d'angle 60\degres dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Feuille annexe à rendre obligatoirement avec la 
copie}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{center}\begin{pspicture}(-1,-1.8)(6,3)
\newcommand{\hexa}{
\pspolygon(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(-1,0)(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)}
\hexa \rput(0,1.732){\hexa} \rput(1.5,0.866){\hexa} \rput(3,0){\hexa} 
\rput(1.5,-0.866){\hexa} \rput(4.5,-0.866){\hexa} \rput(4.5,0.866){\hexa} 
\rput(3,1.732){\hexa}
\uput[dl](2,0){A} \uput[l](2.5,0.866){B} \uput[r](3.5,0.866){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[r](3.5,-0.866){E} \uput[l](2.5,-0.866){F} \uput[ul](2,1.732){G} 
\uput[ur](3.5,2.598){H} 
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\begin{flushright}\textbf{Tournez la page s'il vous plaît} 
\end{flushright}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol du C.D.I. d'un collège.

Ce C.D.I. doit être réaménagé en deux parties distinctes : une salle de recherche et une salle de travail.

ABCE est un trapèze rectangle tel que AB = 9 m, BC = 8 m et DE = 6 m.

$M$ est un point du segment [AB].

On pose A$M = x  (x$ est une distance exprimée en mètre : 
$0 \leqslant x \leqslant 9$).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,3.5)
\pspolygon(0,0)(2.3,2.3)(6.6,2.3)(6.6,0)
\psline(3.5,0)(3.5,2.3)
\psline[linestyle=dashed](2.3,0)(2.3,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(6.6,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,0)(2.3,0.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.5,0)(3.8,0.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.6,0)(6.3,0.3)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.6,2.3)(6.3,2)
\uput[dl](0,0){E} \uput[dl](2.3,0){D} 
\uput[dl](3.5,0){$F$} \uput[dl](6.6,0){C} 
\uput[u](6.6,2.3){B} \uput[u](3.5,2.3){$M$} 
\uput[u](2.3,2.3){A} \uput[u](2.9,2.3){$x$}
\rput(5,1.5){Salle} \rput(5,1){de travail}
\rput(2.3,1.5){Salle} \rput(2.3,1){de} 
\rput(2.3,0.5){recherche}   
\end{pspicture}
\end{center}   

\textbf{Rappel :} l'aire d'un trapèze de hauteur $h$, de bases 
$b$ et $B$, est donnée par $a = \dfrac{h(b + B)}{2}$.

\bigskip

\textbf{PARTIE 1 :}

\medskip

La documentaliste souhaite que l'aire de la salle de travail soit égale à celle de la salle de recherche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, uniquement, on suppose : $x = 1$. Calculer l'aire de trapèze
A$M$FE (salle de recherche), et l'aire du rectangle $M$BC$F$ (salle de travail).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du trapèze A$MF$E.
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du rectangle $M$BC$F$.
	\end{enumerate}
\item On se propose de représenter graphiquement cette situation à l'aide de deux
fonctions affines $f$ et $g$.

$f$ est définie par : $ f(x) = - 8x + 72$ ;

$g$ est définie par : $g(x) = 8x + 24$. 

Sur la feuille de papier millimétrée, construire un repère orthogonal :

 - l'origine sera placée en bas à gauche,
 
 - en abscisse, on prendra 2 cm pour 1 unité (2 cm pour 1 m),
 
 - en ordonnée, on prendra 1 cm pour 4 unités (1 cm pour 4 m$^2$).

Représenter les fonctions affines $f$ et $g$, pour $0 
\leqslant x \leqslant 9$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le graphique, indiquer la valeur 
de $x$ pour laquelle, ainsi que l'aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le
graphique (pointillés, couleurs...).
		\item  Retrouver les résultats précédents par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

Dans cette partie, on pose $x = 3,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner en cm, les dimensions de la salle de travail MBCF.
\item  On souhaite recouvrir le sol de la salle de travail à l'aide d'un nombre entier
de dalles carrées identiques, de côté $c$ entier le plus grand possible.

	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi $c$ est le PGCD de 800 et 550.
		\item  Calculer la valeur de $c$, en indiquant la méthode utilisée.
		\item  Combien de dalles sont nécessaires pour recouvrir le sol de la salle de travail ?
	\end{enumerate}
\item Les dalles coûtent 13,50~euros le mètre carré.

Quelle somme devra-t-on payer pour acheter le nombre de dalles nécessaire ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Lyon juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2003
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Polynésie}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003 \decofourright\\ 
Polynésie}}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie numérique}

\textbf{Exercice 1 }

\emph{Chaque question est indépendante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A ; donner le résultat de A sous la forme
simplifiée :

\[\text{A} =3-\dfrac{15}{9} \times \dfrac{12}{5}.\]

\item Écrire B sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des
entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{B}=2\sqrt{45}-5\sqrt{20}-\sqrt{80}.\]

\item Calculer C et donner son écriture scientifique et son écriture
décimale :

\[\text{C}=\dfrac{14 \times 10^{2} \times 75 \times 10^{-7}}{35 \times 10^{-3}}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression :

$D=\left(2x - 3 \right) \left(3x - 1 \right) +\left(2x - 3 \right)^{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = \sqrt 2$ ; écrire la réponse sous la forme
$a - b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers.
\item Résoudre l'équation
$\left(2x-3 \right) \left(5x-4 \right)=0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit la fraction $\text{E}=\dfrac{108}{288}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pourquoi la fraction E n'est-elle pas irréductible ? Justifier
sans faire de calcul.
\item Calculer le PGCD de $108$ et $288$.
\item Écrire la fraction E sous forme irréductible.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie géométrique}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC tel que AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et
AC = 12,5 cm.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item $M$ est un point du segment $[BC]$ tel que B$M$ = 4 cm. Placer le
point $M$ et construire la droite $(d)$ parallèle  la droite (AC)
passant par $M$. la droite $(d)$ coupe [AB] au point $N$.
\item Calculer B$N$ et $MN$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[c]{0.3\textwidth}{
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4.5)
\psline(0,0)(2,4.5)(4,0)
\psellipse(2,0)(2,0.3)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(4,0)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,4.5)
\uput[ul](2,4.5){S} \uput[l](0,0){A} \uput[d](2,0){O} \uput[r](4,0){B}
\end{pspicture}}\hfill \parbox[c]{0.6\textwidth}{Soit SAB un cône de révolution, S étant le sommet du cône. Sa base est un disque de diamètre [AB] et de centre O. Sa hauteur est
[SO].

On donne AB = 4cm et SO = 4,5cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cône et donner une valeur arrondie au
cm$^{3}$ près.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ et donner une valeur arrondie
au degré près.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(5,5)
\psline(0,0)(5,5) \psline(0,5)(5,0) 
\psline(0,2.5)(5,2.5) \psline(2.5,0)(2.5,5) 
\uput[ul](0,5){A} \uput[u](2.5,5){M} \uput[ur](5,5){B} 
\uput[l](0,2.5){L} \uput[dl](2.5,2.5){O} \uput[r](5,2.5){N} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[d](2.5,0){P} \uput[dr](5,0){C} 
\end{pspicture}
\end{center}


Le schéma ci-dessus représente un carré ABCD dont les diagonales se
coupent en O. Les points M, N, P et L sont les milieux
respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [AD].

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique du triangle AOM par rapport  la droite
(LN) ?
\item Quel est le symétrique du triangle AOM par rapport au point
O ?
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $90¡$ dans le
sens des aiguilles d'une montre. Quelle est l'image du triangle AOM
par cette rotation ?
\item Recopier et compléter les égalités vectorielles suivantes :

\[\vect{\text{PO}}+\vect{\text{OC}} = \ldots \qquad \qquad
\vect{\text{AM}} + \vect{\text{OC}} = \ldots\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), l'unité choisie est le 
centimètre. Penser à laisser de la place autour du repre pour complèter la figure au 
fur et  mesure que vous traiterez le problème.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : M(1~;~3) ; N$(-1~;~5)$ ; P$(-3~;~1)$.
\item Montrer que MN = $2\sqrt{2}$ et NP = $2\sqrt{5}$.
\item En déduire la nature du triangle NMP.
\item Soit A le milieu de [MN].
Montrer, sans calcul, que le triangle APN est rectangle.
\item Calculer les coordonnées de A.
\item Construire le point R tel que $\vect{\text{MR}} = 
\vect{\text{PN}}$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{PN}}$.
\item Déduire des questions \textbf{6.} et \textbf{7.} les coordonnées du 
point R.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Est septembre 2003
\hypertarget{Estsep}{}

\lfoot{\small{Groupe Est}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Est septembre 2003 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm} \normalsize{}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Montrer que les deux expressions numériques A et B ci-dessous sont égales

\medskip

à $\dfrac{1}{2}$. Les calculs devront être détaillés.

\[\text{A} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3} \times\dfrac{1}{10}\quad ;\quad \text{B}  = \dfrac{4 \times 10^{-10}  \times 3 \times 10^5 \times 10^{-1}}{6 \times \left(10^{-2}\right)^5  \times 2^2 \times 10^4}.\]		
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère l'expression $C = (3x - 5)^2 - (3x - 5) (2x + 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $C$.
\item Factoriser $C$.	
\item Résoudre l'équation : $(3x- 5)(x- 8) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On donne les nombres $a = \np{1950}$ et $b = \np{3640}$.
\begin{enumerate}
 \item  Calculer le PGCD des deux nombres $a$ et $b$.
 \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{a}{b}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : 
 $\left\{\begin{array}{l c r}		
 6x + 9y &=& \np{1776}\\ 	
x + y &=& 225\\ 
\end{array}\right.$
\item Dans un grand parc d'attractions, le prix d'entrée est de 6 euros pour les enfants et de 9 euros pour les adultes.

On a acheté 225 entrées pour \np{1776} euros.
Combien d'enfants sont allés au parc d'attractions ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O ;  I, J) d'unité 1 cm, placer les points suivants : A$(-4~;~- 2)$ ; B$(-1~;~- 5)$	et	C(4~;~0).
\item Montrer que AC $ =  2\sqrt{17}$. 
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
\item Montrer que BM $=  \sqrt{17}$. En déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 4 cm. Placer deux points A et  B sur ce cercle tels que $\widehat{\text{AOB}} =  70~\degres$. Construire le  point C diamétralement   opposé au point A sur le cercle $\mathcal{C}$.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Expliquer pourquoi la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est $35~\degres$.
\item Calculer la longueur AB (donner la valeur arrondie au mm près).
\item Construire le point D, image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?  Expliquer pourquoi  le point D est  aussi sur le cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}
	
\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC tel que : AB = 12 cm ; AC = 9 cm et BC = 15 cm.

On laissera apparents les traits de construction.
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.
\item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à 54 cm$^2$.
\item Placer M le point du segment [AB] tel que AM =  8 cm et N le point de [AC] tel que AN = 6 cm.

Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 
\item Montrer que l'aire du triangle AMN est de 24 cm$^2$. 	
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite du problème, on considère la pyramide} SABC \emph{de base le triangle} ABC \emph{précédent et de hauteur} [AS], \emph{tel que} AS =  18 cm.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\parbox{0.65\textwidth}{Dans cette partie, on place un point R sur le
segment [SA] tel que : 
AR $= \dfrac{2}{3}$ AS.

\begin{enumerate}
\item Prouver que le volume V de la pyramide SABC est égal à 324 cm$^3$.
\item Calculer la longueur AR.
\item Calculer le volume V$'$  de la pyramide RAMN. 
\item Vérifier que : $\dfrac{\text{V}}{\text{V}'}= \left(\dfrac{2}{3}\right)^3$.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,5)
\pspolygon(0,0)(3.3,0.65)(0.8,4.7)
\psline[linestyle=dashed](0.8,4.7)(0.8,1)(0,0)%SAC
\psline[linestyle=dashed](0.8,1)(3.3,0.65)%AB
\pspolygon[linestyle=dashed](2.5,0.75)(0.3,0.35)(0.8,3.5)%MNR
\uput[ur](0.8,1){A} \uput[r](3.3,0.65){B} \uput[dl](0,0){C} 
\uput[l](0.8,4.7){S} \uput[ur](2.5,0.75){M} \uput[dr](0.3,0.45){N} \uput[ur](0.8,3.5){R} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Dans cette partie, on place un point $R$ sur le segment [SA] tel que S$R =  x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur A$R$. 
\item Prouver que le volume V$''$, de la pyramide RAMN peut s'écrire
V$'' =  8(18 - x)$.
\item Soit $f$ la fonction affine définie par : $f(x) = 8(18 - x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $f(8)$.
		\item Sur papier millimétré, tracer un repère orthogonal (O ;  I,  J).	On placera l'origine O à gauche et en bas de la feuille. Ou prendra 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités, sur l'axe des ordonnées.
		
Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans ce repère, pour $x$ compris entre $0$ et $18$.
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 96$.
Effectuer ensuite une vérification graphique.

(\emph{On fera apparaître  sur le graphique les traits de construction permettant la lecture.})
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Est septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%   Nord septembre 2003
\hypertarget{Nordsep}{}

\lfoot{\small{septembre 2003}}
\rfoot{\small{Nord}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Nord septembre 2003~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques \hfill12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient A $= \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{5}{4}\right): \dfrac{7}{5},
~ \text{B} = \dfrac{6 \times 10^8 \times 1,6 \times 10^{13}}{0,4 \times 
10^{14}} \quad \text{et}\quad \text{C} = \sqrt{150} - 2\sqrt{600}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme
 d'une fraction irréductible.
\item Calculer B en utilisant les règles de calcul sur les puissances de dix
 et donner son écriture scientifique.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{6},~a$ étant un nombre entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $D = (2x + 3)^2 -36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(2x + 9)(2x -3) = 0$.
\item Calculer la valeur numérique de $D$ pour $x = - 4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
5x-3y&=&35\\
x+2y&=&- 6\\ 
\end{array}\right. \]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On souhaite représenter la répartition des dépenses mensuelles d'un ménage par un diagramme semi-circulaire.

Sur la feuille \textbf{annexe 1} jointe :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau.
\item Représenter cette série statistique en complétant le diagramme semi-circulaire.
\end{enumerate}

\newpage
	
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau suivant, quatre égalités sont proposées mais
 une seule est correcte. Pour chacune des 5 lignes, indiquer dans le 
tableau figurant sur la \textbf{feuille annexe 1}, la réponse que vous estimez 
être correcte. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\hspace{-0.2cm}{\scriptsize \begin{tabular}{| m{3.5cm}| c | c | c | c | c |}\hline
 && Réponse 1&	Réponse 2&	Réponse 3&	Réponse 4\\ \hline
A, B et C sont trois points d'un cercle de centre O.
\begin{pspicture}(2.5,2.5)
\pscircle(1.25,1.25){1.25} 
\pspolygon(1.25,1.25)(2.4,0.7)(0.05,1.3)(1.5,0.05)
\uput[u](1.25,1.25){O} \uput[l](0.05,1.3){A} 
\uput[dr](1.5,0.05){B} \uput[dr](2.4,0.7){C}
\end{pspicture}&A&$\widehat{\text{BOC}} = 
\frac{1}{2}\widehat{\text{BAC}}$&$\widehat{BOC} = 
 2\widehat{\text{BAC}}$&$\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{OBC}}$&
 $\widehat{\text{ACO}} =  \frac{1}{2}\widehat{\text{ABO}}$\\ \hline
L'angle ASH mesure $60\textsuperscript{o}$
et le rayon du cône 5 cm.
\begin{pspicture}(2.5,3.2) \psellipse(1.2,0.7)(1.2,0.65)
\psline(0,0.7)(1.2,3)(2.4,0.7)
\psline(1.2,3)(0.5,0.15) \psline[linestyle=dotted](1.2,3)(1.2,0.7)(0.5,0.1)
\uput[l](0.5,0.2){A} \uput[r](1.2,0.7){H} \uput[r](1.2,3){S}\end{pspicture}
&B&AS =$ \dfrac{5}{\sin 60\textsuperscript{o}}$&AS =  $5 \times \sin 60\textsuperscript{o} $& AS $= \dfrac{5}{\cos 60\textsuperscript{o}}$& AS =$5 \times \tan 60\textsuperscript{o}$\\ \hline 
Si ABCD est un parallélogramme, alors 
:&C&$\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} = 
\overrightarrow{\text{CA}}$& $\overrightarrow{\text{AB}} + 
\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BD}}$& 
$\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{BC}} = 
\overrightarrow{\text{AB}}$&$\overrightarrow{\text{AB}} + 
\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AC}}$\\ \hline
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(3.6,3.7) \pspolygon(0,0.4)(2.4,0)(3.45,1.55)(1.7,3.6)
\psline(1.7,3.6)(2.4,0)
\psline[linestyle=dotted](0,0.4)(1.1,1.9)(1.7,3.6)(1.7,1)%AHSO
\psline[linestyle=dotted](1.1,1.9)(3.45,1.55)(0,0.4)(2.4,0)(1.1,1.9)%HGEFH
\uput[ul](0.15,0.4){E} \uput[ul](2.4,0){F} 
\uput[ur](3.45,1.55){G}  \uput[ul](1.1,1.9){H} 
\uput[ul](1.7,1){O} \uput[l](1.7,3.6){S} \end{pspicture}&D&SO$^2$ = SF$^2$ + 
FO$^2$& SO$^2$ = SF$^2$- OF$^2$& SF$^2$ = SO$^2$-OF$^2$& SO$^2$=OF$^2$+ SF$^2$\\ \cline{2-6}
SEFGH est une pyramide régulière à base carrée,
SO = 5 cm,
EF = 6cm. 
V est le volume (en cm$^3$) de
cette pyramide.&E &V = 180 cm$^3$&	V= 120 cm$^3$&V = 60 cm$^3$&V= 
36$\pi$cm$^3$\\ \hline
\end{tabular}}
\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip
On considère la figure ci-dessous. (on ne demande pas de refaire la figure)

\bigskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(14,4)
\psline(1.3,2.65)(12.5,0.9) \psline(0.7,0.5)(13.8,4)
\psline(1,0.3)(2.25,3.4) \psline(2.5,0.2)(3.45,2.7)
\psline(9.8,0.65)(10.95,3.3)
\uput[u](1.9,2.6){L} \uput[ul](3.3,2.4){M}
\uput[u](6,2){O} \uput[dr](9.85,1.3){A}
\uput[ul](11,3.3){B} \uput[dr](2.85,1.1){N}
\uput[dr](0.7,0.7){F} 
\end{pspicture} 

L'unité est le centimètre. On sait que OM = 3 ; OA = 5 ;
ON = 4,5 ; AB = 3 et $\widehat{\text{BOA}} = 30\degres$.
 
Les droites (MN) et (BA) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OB et MN.
\item On appelle P le pied de la hauteur issue de A dans le triangle OAB.

En se plaçant dans le triangle OAP, montrer par un calcul que AP = 2,5.
\item Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{PAB}}$.
\item On suppose que OE = 4,8 et OF = 7,2.

Démontrer que les droites (EF) et (MN) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME	\hfill 12 points}

\bigskip

L'unité est le centimètre. Le plan est rapporté \`a un repère orthonormé                         
(O, I, J).

Dans ce repère, on a placé les points A $(4~;~-3)$ et C$(2~;~8)$ (voir
feuille annexe).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que AC $= \sqrt{125}$.
\item Placer le point B$(-2~;~5)$.
\item On donne AB  = 10 et BC = 5.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item En déduire la position du point K, centre du cercle ($\mathcal{C}$) circonscrit au 
triangle ABC puis tracer ($\mathcal{C}$). Justifier.
		\item Calculer les coordonnées du point K et vérifier graphiquement.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{CB}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D, image du point A par la translation de 
vecteur $\overrightarrow{\text{CB}}$.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ACBD. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point B$'$ symétrique du point B par rapport à K.
		\item Trouver graphiquement les coordonnées du point B$'$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCB$'$ ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du quadrilatère ABCB$'$ et $\mathcal{A}'$ celle du quadrilatère ACBD.

En calculant les aires montrer que : $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$.
		\item On note $\mathcal{P}$ le périmètre du quadrilatère ABCB$'$ et $\mathcal{P}'$ celui du quadrilatère ACBD.
 
Prouver que : $\mathcal{P} < \mathcal{P}'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1} (à rendre avec la copie)\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Activités numériques : exercice 4}
    
\textbf{Tableau à   compléter}
    
\begin{center}{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|m{1.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & Alimentation & Logement & Santé & Loisirs & Transport & Divers & 
 Total\\ \hline
 Répartition en pourcentage & ~~~~~20 & &10 & 5 & 15 & 25 & 100\\
\hline
Angle en degré & & & & & & & 180\\ \hline
\end{tabularx}} \end{center}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Diagramme semi-circulaire à compléter}
    
\begin{center}   
\begin{pspicture}(10,5)
\psarc(5,0){5}{0}{180}
\psline(0,0)(10,0)
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,7cm}
    
\textbf{Activités géométriques : exercice 1}
    
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions 					&A 	&B 	&C 	&D 	&E\\ \hline
Numéro de la réponse choisie& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%   fin Nord septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Ouest septembre 2003
\hypertarget{Ouestsep}{}

\lfoot{\small{septembre 2003}}
\rfoot{\small{Groupe Ouest}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Ouest septembre 2003 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD  des nombres \nombre{1356} et \nombre{4972}.
 
(\emph{Faire apparaître les calculs intermédiaires sur  la copie.})
\item Donner la forme irréductible de la fraction $\dfrac{\nombre{1356}}{\nombre{4972}}$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On a : A $= \dfrac{1 - \dfrac{5}{6}}{1 + \dfrac{1}{6}}$ ;  \qquad	B $ = \dfrac{4 \times 10^{-12} \times 2,5}{7 \times 10^{-11}}$.

Démontrer que A et B sont deux écritures du même nombre $\dfrac{1}{7}$.
	
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On donne l'expression $E =  (5x + 1)^2  - (x - 3)(5x + 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser l'expression $E$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation : $(5x  + 1)(x + 1) =  0$.
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Lors d'un travail en classe en octobre 2002, des élèves de troisième ont
	étudié le nombre d'universités françaises par académie.  Ils ont récupéré sur internet le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Caractère étudié : 	Nombre d'universités par académie	& 0	&\textbf{1}	&2	&3	&4	&5	& 6	&7	& 8\\ \hline
Effectifs : nombre d'académies&2 	&\textbf{5}&9	& 1	& 5	&6	&1	&0	&1	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Par exemple, on lit dans la deuxième colonne du tableau (en gras) que cinq académies possèdent une seule université.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur moyenne  du nombre d'universités par académie ?
\item Donner la valeur médiane de la série statistique ci-dessus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

On donne la représentation graphique ($d$) d'une fonction affine $g$ dans le repère orthonormé (O ; I,  J) :

En  utilisant le graphique, donner une valeur approchée au dixième près :
 
\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{
\begin{enumerate}\item de l'image du nombre 1 par la fonction affine $g$.
\item de l'image du nombre $(- 0,5)$ par la fonction affine $g$
\item du nombre qui a pour image $0$ par la fonction affine $g$. 
\item du nombre qui a pour image $\dfrac{1}{3}$ par la fonction affine $g$.
 \end{enumerate}} \hfill
 \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(2.2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.2,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-0.5)(2.2,2)
\psline(-2,2.05)(2.2,-0.35) \uput[ul](0,1){J} \uput[dr](1,0){I} \uput[u](1.8,0){($d$)} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle DOS tel que DS  = DO = 6 et $\widehat{\text{ODS}}  = 120~\degres$.

Quelle est la nature du triangle DOS ? Justifier. 
\item Dans le triangle DOS, tracer la hauteur issue de D. Elle coupe [OS]
en H.

On donne le tableau suivant :

\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&$\sin x$ 		&$\cos x$ 						&$\tan x$\\ \hline
 30~\degres	&$\dfrac{1}{2}$	&$\mathstrut\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\strut\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline
 45~\degres	&$\strut\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&1\\ \hline
 60~\degres	&$\strut \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$& $\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\renewcommand{\arraystretch}{1}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de OH. 
		\item En déduire que OS $=  6\sqrt{3}$ .
	\end{enumerate}
\item Placer le point M de [DS] tel que SM = 5. Tracer la parallèle à  (OS)
passant par M ;  elle coupe [DO]  en N. Calculer la valeur exacte de MN.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Dans le fond d'un vieux tiroir, on a trouvé la bobine en bois ci-dessous (figure B). Elle est constituée de deux troncs de cône identiques et d'une partie cylindrique. Chaque tronc de cône pourrait être obtenu (figure A) en sectionnant, parallèlement à sa base et à 1 cm de hauteur, un grand cône C$_{1}$ de base 9 cm$^2$ et de hauteur 3~cm et en retirant le petit cône C$_{2}$.

\begin{center}\begin{pspicture}(10,4)
\psellipse(3.4,0.9)(1,0.2)
 \psellipse[linestyle=dashed](3.4,1.4)(0.7,0.1)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.4)(3.4,2.7)(4.1,1.4)
\psline(2.4,0.9)(2.7,1.4) \psline(4.4,0.9)(4.1,1.4)%A
\psline(7.4,3.5)(7.7,3)(7.7,1.4)(7.4,0.9)
\psline(9.4,3.5)(9.1,3)(9.1,1.4)(9.4,0.9)
\psellipse(8.4,3.5)(1,0.25)
\psellipse[linestyle=dashed](8.4,3)(0.7,0.1)
\psellipse[linestyle=dashed](8.4,1.4)(0.7,0.1)
\psellipse(8.4,0.9)(1,0.25)
\psline[linestyle=dotted](1.5,2.7)(4,2.7)
\psline[linestyle=dotted](1.5,0.9)(2.4,0.9)
\psline[linestyle=dotted](4,1.4)(9.1,1.4)
\psline[linestyle=dotted](4.4,0.9)(7.4,0.9)
\psline{<->}(5.8,3.5)(5.8,3)
\psline{<->}(5.8,1.4)(5.8,3)
\psline{<->}(5.8,1.4)(5.8,0.9)
\rput(6.3,1.1){1 cm} \rput(6.3,2.2){3 cm} \rput(6.3,3.2){1 cm} 
\rput(4.6,2){Cône C$_{2}$}
\rput(0.5,1.7){Cône C$_{1}$}
\rput(3.3,0){Figure A} \rput(8.4,0){Figure B}
\psline{<->}(1.7,0.9)(1.7,2.7)\rput(2.2,1.8){3 cm}
\psline[linestyle=dotted](5.8,3.5)(7.4,3.5)
\psline[linestyle=dotted](5.8,3)(7.7,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le volume du cône C$_{1}$ ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du cône C$_{1}$ au cône C$_{2}$ ? 
		\item En déduire l'aire de la base du cône C$_{2}$, puis le volume de la partie cylindrique de la bobine. 
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le volume de la bobine (en donner une valeur arrondie au cm$^3$ près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

ABCD est  un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires  et se coupent en O.

\medskip

\parbox{0.35\textwidth}{On a :

AC = 20,4 cm

AO = 12 cm

OB = 5 cm

OD = 3,5 cm.}
\hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3.5)
\psline(0,3.2)(4.1,3)(4.5,0)(2,0)(4.1,3)%ABCDB
\psline(2,0)(0,3.2)(4.5,0)
\psline(2.72,1.28)(2.8,1.4)(2.92,1.3)
\uput[l](0,3.2){A} \uput[r](4.1,3){B} \uput[r](4.5,0){C} 
\uput[l](2,0){D} \uput[d](2.8,1.2){O} \end{pspicture}} 


\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$ arrondie au dixième de degré.
		
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$.
	\end{enumerate}	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle AOB.
		\item Calculer la longueur AB.
		\item Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par O. Elle coupe [AB] en P et [DC] en N. Des questions \textbf{3 a} et \textbf{3 b} déduire la valeur exacte de la longueur AB.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la même démarche que dans la question \textbf{3} on  trouve :
AD = 12,5 cm ; DC = 9,1 cm ; BC =  9,8 cm (valeur arrondie au mm) ;
ON $ = \dfrac{42}{13}$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie au millimètre du périmètre du  quadrilatère ABCD.	
		\item Montrer que l'aire du quadrilatère ABCD est 86,7~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fabrique des boîtes cartonnées qui ont la forme d'un prisme droit dont  chacune des deux bases est le quadrilatère ABCD étudié dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un schéma à main levée qui représente une telle boîte en perspective cavalière et repérer par des couleurs les arêtes parallèles. 	
\item La hauteur de la boîte est 13 cm.

Calculer l'aire totale du carton utilisé pour fabriquer la boîte. 	
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Ouest septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2003
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2003}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Polynésie septembre 2003~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip
 
\emph{Tous les exercices sont indépendants} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

A $= \dfrac{5}{4} + \dfrac{11}{4} \times 
\dfrac{20}{33} \qquad ; \qquad  \text{B} = \dfrac{1}{12} \div \left(2 - 
\dfrac{7}{3}\right)$.

Calculer A et B en détaillant les calculs.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

 C $ = 15 \times \left(10^7\right)^2 \times 3 \times 10^{-9}$.
 
Calculer C et donner le résultat sous la forme $a \times 10^n$ et avec la notation scientifique. 

\bigskip  

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$D = 3(5x - 2) + (x + 1)(5x - 2)$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation produit $(5x -2 )( x +4) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 4} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres \np{19679} et \np{23257} par la méthode de votre choix. 
\item Écrire la fraction $\dfrac{\np{19679}}{\np{23257}}$ sous la forme 
irréductible. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans un magasin un magnétoscope coûte \np{34000}~F et il est soldé au prix  de \np{25500}~F. 

Quel est le pourcentage de la réduction par rapport au prix initial. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} 

\bigskip   

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle équilatéral EPS de côté 4 cm. 
\item Construire le point $M$, image du point P dans la translation de 
vecteur $\vect{\text{ES}}$. 
\item Quelle est la nature du quadrilatère EP$M$S ? Justifier. 
\item
	\begin{enumerate}
		 \item construire le point $N$ tel que $\vect{\text{SN}} = 
\vect{\text{SE}} + \vect{\text{SP}}$. 
		\item Montrer que le triangle E$N$P est équilatéral. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip   

\textbf{Exercice 2} 

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4) 
\psline(0.1,2.5)(1,0)(5.8,3.7)(6.8,2.5)(0.1,2.5)(1.7,0.5)%ADFGAB 
\uput[ul](0.1,2.5){A} \uput[ul](4.3,2.5){E} \uput[dr](6.8,2.5){G} 
\uput[dl](1,0){D} \uput[dr](1.7,0.5){B} \uput[u](5.8,3.7){F} 
\rput(0.88,1.1){$30~\degres$} \psarc(0.1,2.5){0.9}{-70}{-52} 
\psline(1.5,0.8)(1.7,0.95)(1.87,0.7) 
\end{pspicture} 
\end{center} 

On sait que :

EF = 4 cm ; FG = 3 cm; EG = 5 cm ; AE = 7 cm ; $\widehat{\text{DAB}}$ = 30~\degres ; 
les points A, E et G sont alignés ; les points D, E et F sont alignés ; (AB) 
est la hauteur issue de A dans le triangle AED. 

On considère la figure ci-dessus (les dimensions ne sont pas respectées) : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que EFG est un triangle rectangle. 
\item En déduire que (FG) est parallèle à (AB). 
\item Démontrer que EB = 5,6 cm et AB = 4,2 cm. 
\item Dans le triangle DAB, montrer par le calcul que DB~$\approx$~2,4~cm. 
\item Calculer l'aire du triangle AED à 1 cm$^2$ près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 12 points} 

\bigskip  

\textbf{Partie 1}

\medskip

Un club multi-sports propose à ses utilisateurs de choisir entre les trois formules : 

\textbf{Formule A :} \np{1500} F par séance. 
 
\textbf{Formule B :} Forfait de \np{28000} F par an auquel 
s'ajoute une participation de 800 F par séance.

\textbf{Formule C :} Forfait de  \np{98000} F par an quel que soit le nombre de séances. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tania décide de suivre 1 séance par mois pendant toute l'année. 

Willy suivra 1 séance par semaine pendant toute l'année. 

Raitua suivra 2 séances par semaine pendant toute l'année. 
	\begin{enumerate}
 		\item Recopier et compléter le tableau suivant. On ne demande aucun détail de calcul. 

On rappelle qu'une année comporte 52 semaines. 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{} & Tania & Willy & Raitua\\ \hline 
Nombre de séances pour l'année & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule A & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule B & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule C & & & \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Quelle est la formule la plus avantageuse pour chacun ? 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $x$ le nombre de séances suivies par une personne ; 

\begin{itemize}
\item  soit $P_{\text{A}}$ le prix à payer avec la formule A. 
\item  soit $P_{\text{B}}$ le prix à payer avec la formule B. 
\end{itemize}

Exprimer $P_{\text{A}}$ et $P_{\text{B}}$ en fonction de $x$. 
\item Résoudre l'inéquation  $\np{1500}x \leqslant  \np{28000} + 800 x$. Donner une 
interprétation de la réponse. 
\end{enumerate} 

\bigskip   

\textbf{Partie 2 :} Les tracés de cette partie seront réalisés sur une feuille 
de papier millimétré.

Celle-ci doit être remise avec la copie.

Tracer un repère orthogonal (O, I, J), O étant placé en bas à gauche. 
On prendra les unités suivantes : 

1 cm pour 10 séances sur l'axe des abscisses 

1 cm pour \np{10000} F sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Tracer dans ce repère les droites : 

$D_{\text{A}}$ d'équation $y = \np{1500}x$ ; 

$D_{\text{B}}$ d'équation $y = 800x + \np{28000}$ ; 

$D_{\text{C}}$ d'équation $y = \np{98000}$. 

\medskip 

Pour les questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction 
permettant d'y répondre. 

Aucun calcul n'est demandé.   

\item Wanda a choisi la formule A et elle a payé \np{90000} F. Combien a-t-elle suivi de séances ? 
\item Déterminer par le calcul le nombre de séances à partir duquel il est  plus avantageux de choisir la formule C. 
\end{enumerate}  
%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2003
\hypertarget{AmeriqueduSud}{}

\rfoot{\small{novembre 2003}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\ novembre 2003 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $A =  (3x- 1)^2 - (3x - 1)(2x + 8)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser A.
\item Résoudre l'équation : $(3x -  1)(x - 9) =  0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Écrire B et C sous la forme, $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ nombres entiers ($b$ étant le plus petit possible).

B $= 3\sqrt{5} - 2\sqrt{45} +	\sqrt{500}$. \qquad 
C $= \left(\sqrt{3} + 4\right)^2  - 19$. 		

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $D = \dfrac{4x+ 2}{5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac{3}{4}$.
 Le nombre $\dfrac{3}{4}$ est-il solution de l'inéquation	
 
 $\dfrac{4x+ 2}{5} < 3$?
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{4x+ 2}{5} <  3$ et représenter les solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Le basketteur Michel Jourdan a participé aux 29 matchs joués par son équipe cette saison et il a marqué des points lors de tous ces matchs.

\vspace{0,25cm}

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de points marqués	&15	&19	&20	&21	&24	&25	&28	&29 &32	&34	&37	&42\\ \hline			
Nombre de matchs où ce nombre de points a été marqué&2	&3 	&1	&4	&3 	&2	&6	&1	&3	&1	&2	&1\\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne de points par match réalisée par Michel Jourdan
(un donnera un résultat arrondi au dixième de point).
\item Calculer la médiane de cette série statistique. 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

ABCO, CDEO, EFGO et GHAO sont des carrés représentés ci-après.

BDFH est un carré de centre O.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0,2.65)(2.65,5.3)(5.3,2.65)(2.65,0)%HBDF
\psline(3.975,3.975)(1.3,1.3)%CG
\psline(1.3,3.975)(3.975,1.3)%AE
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,3.975)(2.65,5.3)(3.975,3.975)
\uput[ul](1.3,3.9){A}  \uput[u](2.65,5.3){B}  \uput[ur](3.9,3.9){C}  
\uput[r](5.3,2.65){D}  \uput[dr](3.9,1.3){E}  \uput[d](2.65,0){F}  
\uput[dl](1.3,1.3){G}  \uput[l](0,2.65){H}  \uput[d](2.65,2.65){O}   
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d'axe (GC)?	
		\item Quelle est l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle
	90~\degres qui amène E en C ?	
	\end{enumerate}
\item En utilisant des transformations dont on précisera les éléments caractéristiques (centre de symétrie, axe de symétrie, vecteur,\ldots ), recopier et compléter les phrases suivantes sans justifier la réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OCD est l'image du triangle ABC par  \ldots	
		\item Le triangle GFE est l'image du triangle ABC par \ldots 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que :  AB = 6 cm  et $\widehat{\text{ABC}} =  35$~\degres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.		
\item Calculer AC (on donnera la valeur arrondie au  mm). 	
\item Tracer la hauteur issue de A : elle coupe [BC] en H.

Calculer AH et en donner une valeur arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\emph{La figure, qui n'est pas en vraie grandeur, est donnée à titre indicatif.}
 
EFGHNMLK est un cube dont une arête mesure 9 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nommer toutes les faces de la pyramide EFGL.
\item Quelle est la nature de la face EFL ? (On justifiera la réponse.)
\item Calculer le volume de la pyramide EFGL.
\end{enumerate}
		 	
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\psline(0,2.8)(0,0)(2.8,0)(3.6,0.9)(3.6,3.6)(0.8,3.6)(0,2.8)(2.8,2.8)(3.6,3.6)%EFGMNKEHN
\psline(0,2.8)(2.8,0)%EG
\psline(2.8,2.8)(3.6,3.6)%HN
\psline(2.8,2.8)(2.8,0)%HG
\psline[linestyle=dotted](0,2.8)(0.8,0.8)(2.8,0)%ELG
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.8,0.8)(3.6,0.9)%FLM	
\psline[linestyle=dotted](0.8,3.6)(0.8,0.8)
\uput[ul](0,2.8){E}	\uput[dl](0,0){F}	 \uput[dr](2.8,0){G}	 \uput[ul](2.8,2.8){H}\uput[ur](0.8,0.8){L}	 \uput[ur](3.6,0.9){M}	 \uput[ur](3.6,3.6){N}\uput[ul](0.8,3.6){K}	 	
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La figure ci-dessous (qui n'et pas à l'échelle) est une vue du jardin de Monsieur Durand.

Il souhaite partager ce jardin en deux parties : une partie pelouse et une 
partie  potager.

\medskip

\parbox{0.27\textwidth}{ABCD est un trapèze rectangle tel que :

AB  = 50 m

AD = 30 m

DC = 70 m} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(7,4)
\pspolygon(0,0)(0,3)(5,3)(7,0)%DABC
\psline[linestyle=dotted](3.2,0)(3.2,3)%GM
\psline[linestyle=dotted](5,0)(5,3)%HB
\uput[u](0,3){A} \uput[u](3.2,3){M} \uput[u](5,3){B} \uput[d](0,0){D} \uput[d](3.2,0){G} \uput[d](5,0){H} \uput[d](7,0){C} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

M est un point   du segment [AB].

On pose AM $= x$. $(x$ est  une distance exprimée en mètre  avec $0 \leqslant x \leqslant 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du jardin de Monsieur Durand.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire de AMGD (potager).	
		\item En déduire  que l'aire de BCGM (pelouse), en fonction	de $x$ est 
	$\nombre{1800} - 30x$.	
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Pour quelle valeur de $x$ la pelouse et le potager ont-ils la même aire ?
		\item Quelle est alors la forme du potager ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 	
\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose de représenter graphiquement  la situation de la partie A à  l'aide de deux fonctions $f$ et $g$.

$f$ est définie  par : $f(x) = 30x$  pour l'aire de AMCD ;

$g$ est définie par : $g(x) = 1800 - 30x$ pour l'aire de BCGM.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&10	&20	&40	&50\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
$g(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal :

- l'origine est placée en bas à gauche ;

- en abscisse : prendre 1 cm  pour 5 m  ;

- en ordonnée : prendre 1 cm pour 100 m$^2$.

Représenter les fonctions  $f$ et $g$ dans ce repère. 	
\item Par lecture graphique, mettre en évidence la valeur de $x$ telle que $f(x) = g(x)$ et l'aire
correspondante.
(On indiquera ces valeurs en couleur ci on les repérera à l'aide de pointillés.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La pelouse, d'une aire de 900 m$^2$, est ensemencée avec un gazon  au prix initial de 0,16 euro le m$^2$.

Le vendeur accorde à Monsieur Durand une remise de 5\:\%.

Calculer le coût global pour la pelouse après le rabais.
\item Sachant que pour 40 euros, Monsieur Durand aurait 50 plants de salade et 40 pieds de tomate alors que pour 50 euros, Il aurait 25 plants de salade et  60 pieds de tomate, calculer le prix d'un plant de salade et le prix d'un pied de tomate.	
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie décembre 2003
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small décembre 2003}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Nouvelle-Calédonie novembre 2003~\decofourright}}}\end{center}
\vspace{0,5cm} 

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus 
petit possible : 

\[2\sqrt{28}+5\sqrt{63}-3\sqrt{112}.\] 

\medskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression
 
$A=9x^{2}-49+\left(3x+7 \right) \left(2x+3 \right) $.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Développer l'expression $A$. 
\item Factoriser $9x^{2}-49$, puis l'expression $A$. 
\item Résoudre l'équation 
$(3x + 7)(5x - 4) = 0$. 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sommes représentent $3,85\:\%$ de \np{150000} 
\euro, de \np{378000} \euro, de \np{500000} 
\euro, puis de \np{1000000} \euro ? 
\item Quel pourcentage, valeur arrondie au centième près, de 
\np{500000} \euro~ représentent \np{14553} \euro 
? 
\item Quel pourcentage, valeur arrondie au centième près, de 
 \np{1000000} \euro~ représentent \np{14553} 
\euro ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\medskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire un carré ABCD et le triangle équilatéral ABE, 
extérieur à ABCD, ayant le côté commun [AB] tel que AB = 4 cm. 

Construire O le centre de gravité de ABE. 
\item Construire A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$ image de ABCD par la  rotation $\cal{R}$ de centre O et d'angle $120~\degres$, dans 
le sens des aiguilles d'une montre. 
\item Construire A$_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}$ image de 
$\text{A}_{1}\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1}$ par la même rotation. 
\item Quelle est la rotation qui transforme ABCD en 
A$_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}$ ? 
\item Quelle est l'image de A$_{2}\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}$  par la rotation $\cal{R}$ ? 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer le triangle REC tel que RE = 7,5 cm ; RC = 10 cm et EC = 12,5 cm. 
\item Montrer que le triangle REC est rectangle en R. 
\item Calculer, valeurs arrondies au degré près, les angles de ce 
triangle. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip
 
Dans une classe, on a relevé les notes obtenues par les élèves. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous : 

\vspace{0,5cm} 

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Notes &6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline 
Effectifs cumulés croissants&1&0&4&0&7&3&2&0\\\hline 
Fréquences en $\%$ &&&&&&&&\\\hline 
Angles du diagramme circulaire &&&&&&&&\\\hline \cline{1-8} 
Notes &14&15&16&17&18&19&20 &\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-8} 
Effectifs cumulés croissants&1&3&2&0&0&0&2&\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-8} 
Fréquences en $\%$ &&&&&&& &\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-8} 
Angles du diagramme circulaire & & & & & & & &\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-8} 
\end{tabularx} }

\vspace{0,5cm} 

\item Combien d'élèves ont eu une note strictement inférieure à 12 ? 
\item Quelle est la médiane de ce relevé de notes ? 
\item Calculer la moyenne de cette classe pour ce devoir. 
\item Quelle note devrait obtenir un $26\up{e}$ élève pour que 
la moyenne de cette classe soit exactement égale à 12 ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2003
\end{document}