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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet  2008~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2008 à mars 2009}}
 \end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large   \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  avril 2008}  \dotfill 3  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2008}   \dotfill 6  \medskip

\hyperlink{Liban}{Liban juin  2008} \dotfill 9  \medskip

\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin  2008} \dotfill 12  \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie juin  2008} \dotfill 15  \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2008} \dotfill 20 \medskip

\hyperlink{Metropole}{Madagascar juin 2008} \dotfill 23 \medskip

\hyperlink{Metropole2}{Métropole, La Réunion juin 2008} \dotfill 26 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2008} \dotfill 30 \medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre  2008}  \dotfill 35 \medskip  

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre  2008}  \dotfill 37 \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  septembre  2008}  \dotfill 41 \medskip  

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre  2008}  \dotfill 45 \medskip

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 2008 } \dotfill  50\medskip

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2009} \dotfill  55\medskip
}
\newpage
 ~ 
\newpage
%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2008
\hypertarget{Pondichery}{}

\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry mai 2008~\decofourright}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées une seule est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la ligne et recopier la réponse exacte. 
 
Aucune justification n'est demandée.
  
\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.1}&$ 28 \times  10^{-3}$ est égal à& 	0,280&	0,028&\np{28000}\\ \hline
\textbf{1.2}&$\sqrt{50}$ est égal à :&	$25\sqrt{2}$&$2\sqrt{5}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.3}&$\left( \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$ est	égal à :&	2&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{5}{16}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.4}&$\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + 1$ est égal à :	&$\dfrac{5}{6}$&$- \dfrac{7}{6}$&$0$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{6mm}\textbf{1.5}&L'équation $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{5}$ a pour solution&3&	$\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{12}{5}$\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $A = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $A$. 
		\item Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, $(x - 1),~ x$ et $(x+ 1)$ dont la somme des carrés est  \np{1325}.
	\end{enumerate} 
\item On pose $B = 9x^2 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  Factoriser B. 
		\item  Déterminer les deux nombres relatifs dont le carré du triple est égal à 64.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :  

\renewcommand{\arraystretch}{1.}
$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y&=&45\\
3x + 5y&=&163\\
\end{array}\right.$
\item Une entreprise artisanale fabrique deux types d'objets en bois, notés A et B.

Un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois.

Pendant une journée, l'entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43~objets.

Déterminer le nombre d'objets réalisés pour chaque type.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

 \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. II n'est pas demandé de la reproduire.}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,5)
\psline(0,2.5)(12,2.5)
\pscircle(9,2.5){2.25}
\psline(1.5,2.5)(3,0)(9.82,4.58)(11.25,2.5)
\uput[u](1.5,2.5){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[ul](6.8,2.5){O} 
\uput[u](9.82,4.58){R} \uput[ur](11.25,2.5){S}
\uput[u](4,2.5){10}  \uput[ul](5.1,1.4){8} \uput[ul](8.3,3.6){5,6}
\uput[d](9,2.5){7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

$\mathcal{C}$ est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7~cm.\\
R est un point du cercle tel que OR = 5,6~cm.\\
A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10~cm.\\
B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB =  8~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles.
\item  Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB.
\item  En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondie au degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} (hors programme en 2009)

\medskip

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants :

\[\text{A}(4~;~2)\qquad  \text{B}(3~;~- 1)\qquad \text{C}(6~;~- 2)\]

\item  Calculer les distances AC et BC. 

\emph{Pour la suite on admet que } AB = $\sqrt{10}$.
\item  Préciser la nature du triangle ABC.
\item  On appelle E le symétrique de B par rapport à A.

On appelle D l'image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.

Placer E et D dans le repère précédent.
\item  Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle.
\item  Déterminer l'aire du rectangle BCDE, puis l'aire du quadrilatère ACDE.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip
 
Noémie confectionne des cadres et des dessous-de-plat en mosaïque, 
qu'elle commercialise vers l'Espagne.

À partir de son stock, elle répartit 376 cadres et 470 dessous-de-plat dans des colis identiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre maximal de colis réalisables.
\item  Calculer le nombre de cadres et le nombre de dessous de plats contenus dans un colis.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip 
Pour acheminer ses colis vers ses clients espagnols, Noémie doit choisir entre deux trains au départ de Paris et à destination de l'Espagne.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le train 1, train de marchandises, roule à la vitesse constante de 110 km/h et quitte Paris à minuit (0 h 00).
\item[$\bullet~$] Le train 2, convoi rapide de marchandises, roule à la vitesse constante de 165 km/h et quitte Paris à 4 h 00.
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les trois nombres inscrits en italique dans 1e tableau suivant.
		\item Recopier et compléter ce même tableau.
		
\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Heure							&0~h 00&1~h 00	&4~h 00	&5~h 00&\footnotesize10~h 00&\footnotesize15~h 00\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue 
par le train 1 (en km)			&		&		&		&\emph{550}	&					&\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue 
par le train 2 (en km)			&		&		&\emph{0}		&\emph{165}	&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}
\item On se place dans un repère orthogonal tel que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisse, 1~cm représente 1~heure ;
\item[$\bullet~$] en ordonnée, 1~ cm représente 55~kilomètres.
\end{itemize}

Tracer :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{1})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 1 de 0 h 00 à 15~h 00.
\item[$\bullet~$] le segment de la droite $(d_{2})$ représentant le nombre de kilomètres effectués par le train 2 de 4 h 00 à 15~h 00.
\end{itemize}
\item Par lecture graphique, répondre à la question suivante en faisant
apparaître les tracés nécessaires :	 à quelle heure le train 2 rattrapera-t-il
le train 1 ? à quelle distance de Paris ?
\item	Noémie souhaite que les colis arrivent le plus tôt possible à leurs destinataires.
	\begin{enumerate}
		\item Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Barcelone située à \np{1100}~km de Paris ?
		\item Quel train privilégier si ses clients se trouvent à Séville, située à \np{1766}~km de Paris ?
		
Pour \textbf{a.} et \textbf{b.}, expliquer brièvement la démarche utilisée.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   Fin Pondichéry avril 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2008
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2008~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On donne les nombres :

\[\text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7}\times \dfrac{21}{8}~  ; \quad \text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} ~; \quad \text{C} = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Écrire toutes les étapes du calcul. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture décimale de B. 
		\item Exprimer B en écriture scientifique. 
	 \end{enumerate}  
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$, où  $a$ est un nombre entier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On pose : $D = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$. 
\item  Factoriser $D$. 
\item  Calculer $D$ pour $x = 2$ puis  pour $x = - 1$.  
\item  Résoudre l'équation $(2x - 7)(x + 1) = 0.$
\end{enumerate}  

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de $378$ et $270$. 
\item  Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de $378$~billes et $270$~calots.

Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. 
	\begin{enumerate}
		\item  Combien de lots identiques pourra-t-il faire ? 
		\item  Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?
   	\end{enumerate}
\end{enumerate}
   
\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O~;~I,\: J), on considère les points : A$(-2~;~1)$ \quad      B(0~;~5)  \quad   C$(6~;~-3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C. 
\item  Montrer que : AC $= 4\sqrt{5}$. 
\item  On admet que AB $= 2\sqrt{5}$ et BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 
\item  Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CM}}$ soient égaux. 
\item  Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre $8$~cm.
 
I et J sont deux points de $\mathcal{C}$ diamétralement opposés ;
 
K est un point de $\mathcal{C}$ tel que JK = $4$~cm. 
\begin{enumerate}
\item  Préciser la nature du triangle IJK. Justifier. 
\item  Préciser la nature du triangle OJK. Justifier. 
\item  On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,2){2}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,2)
\pspolygon(0.04,1.6)(3.96,2.4)(3.2,0.4)
\uput[l](0.04,1.6){I} \uput[r](3.96,2.4){J} \uput[dr](3.2,0.4){K}
\uput[u](2,2){O} \uput[ur](3.4,3.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

\parbox{0.58\linewidth}{Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O. \\Les dimensions sont en centimètres.

On donne : OA = 3 ;\:\: OB = 2,5 ;\:\: OM = 5,4 ;\:\: ON = 4,5.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 
\item  On suppose que AB = 1,2. Calculer la distance MN. 
\item  Choisir parmi les quatre nombres suivants :

\textbf{a.}~0,6~~\textbf{b.}~1,8~~\textbf{c.}~3,24~~\textbf{d.}~3,6

celui qui est égal à
$\dfrac{\text{aire du triangle ONM}}{\text{aire du triangle OAB}}$.

Sur la copie, indiquer ce nombre (sans justification).
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(6.5,7.5)
\psline(1.4,1)(6.5,2.3)
\psline(0.2,5.8)(5.7,7.4)
\psline(1.1,7)(6.5,1.2)
\psline(2.8,7)(3.9,0.6)
\uput[l](1.8,6.4){A} \uput[ur](2.9,6.7){B} \uput[l](3.2,4.7){O} \uput[u](5.8,2.2){M} \uput[dl](3.75,1.55){N} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Première partie }

\medskip
 
Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :
 
\begin{itemize}
\item Tarif A : 8~\euro{} par séance. 
\item Tarif B : achat d'une carte privilège à 40~\euro{} pour l'année donnant droit à un tarif réduit de 5~\euro{} par séance. 
\item Tarif C : achat d'une carte confort à 160~\euro{} valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle. 
\end{itemize}
     
Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Nombre de séances& 10& 18 &25 \\ \hline
Dépense totale avec le tarif A&&&  \\ \hline   
Dépense totale avec le tarif B &&&  \\ \hline  
Dépense totale avec le tarif C &&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
		\item  Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire $10$~séances ?
   	\end{enumerate} 
\item On appelle $x$ le nombre de séances. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $f(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif A. 
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $g(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif B. 
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $h(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif C.
 	  \end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation $5x + 40 \leqslant 8x$. 
		\item  Expliquer, en rédigeant votre réponse, à quoi correspondent les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.
   	\end{enumerate} 
   \end{enumerate}

\medskip   
   
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Sur une feuille de papier millimétrée, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche et en prenant  comme unités : 0,5~cm pour une séance sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~\euro{} sur l'axe des ordonnées. 
\item  Représenter, dans ce repère, les trois fonctions $f,~g$ et $h$,    pour $x$ compris entre $0$ et $30$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier, par lecture graphique le résultat de la question 1. b. de la première partie ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires. 
		\item  Déterminer, par lecture graphique, le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux. 
		\item  Mélissa souhaite ne pas dépasser 130~\euro{} pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu'elle doit choisir si elle veut faire le plus de  séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
L'amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine et avait choisi le tarif C ; elle n'a pu se libérer pour ce sport qu'une semaine sur  deux.

A-t-elle fait le bon choix ? 

\emph{On rappelle qu'une année comporte $52$~semaines.}

%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord mai 2008
\newpage
%%%%%%%%%   Liban juin 2008
\hypertarget{Liban}{}

\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban mai 2008~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Au moment des fêtes de Noël, un client achète 6~boules et une guirlande dans un grand magasin. Il paie 18,40~\euro.

Le client suivant possède une carte de fidélité de ce magasin lui donnant droit à une réduction de 20\,\% sur tous les articles. Il achète cinq boules et cinq guirlandes. En présentant sa carte de fidélité à la caisse, il paie alors 25,60~\euro.
 
\medskip

Le problème est de retrouver le prix d'une boule et d'une guirlande.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En considérant, l'achat du premier client, expliquer ce que représentent $x$ et $y$ quand on écrit l'équation : $6x + y = 18,40$. Préciser l'unité de $x$ et de $y$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi appliquer une réduction de 20\:\% revient à multiplier ce prix par $0,8$. 
		\item En considérant l'achat du deuxième client, quelle équation peut-on écrire ? Montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme : $x +y = 6,40$.
 	\end{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
6x+y&=&18,40\\
x+y &=& 6,40\\
\end{array}\right.$

\item Donner le prix d'une boule et celui d'une guirlande.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On donne l'expression $E = (x - 5)^2 + (x - 5) (2x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item  Pour calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$ Marc a choisi de développer $E$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle expression obtient-il ? 
		\item  Calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$.
		\item  Marc a-t-il eu raison de développer $E$ ? Pourquoi ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Léa a trouvé mentalement une solution, de l'équation $E = 0$. À votre avis, laquelle ? 
		\item  Pour trouver l'autre solution, Lea choisit de factoriser $E$. Montrer que
		
$E = (x - 5)(3x - 4)$. 
		\item  Donner, alors la seconde solution de l'équation $E = 0$.
	\end{enumerate}
\item Lorsque $x = \dfrac{1}{9}$, choisir la forme de $E$ qui vous paraît la plus adaptée pour calculer la valeur exacte de $E$ sous forme de fraction irréductible. Faire ce calcul.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau donné, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte. Ecrire sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B ou C choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&&	A& 	B&C\\ \hline
1&Dans un triangle ABC rectangle en A, on
sait que AB = 3 et que $\widehat{\text{ACB}} = 30\degres$ alors la valeur, exacte de BC est \ldots&$\dfrac{\tan 30\degres}{3}$&$3 \sin 30\degres$&	$\dfrac{3}{\sin 30\degres}$\\ \hline
2&Tous les triangles sont équilatéraux. L'image du triangle 2 par la rotation de 120\degres{} autour de B dans le sens contraire des
aiguilles d'une montre  \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598)
\pspolygon(1,0)(2,0)(1.5,0.866)
\pspolygon(1.5,0.866)(2,1.732)(1,1.732)
\psline(1,0)(0.5,0.866)(2.5,0.866)(2,0)
\rput(1.5,2){1} \rput(1,1.2){2} \rput(1.5,1.5){3} 
\rput(2,1.2){4} \rput(0.5,0.3){5} \rput(1,0.5){6} 
\rput(1.5,0.3){7} \rput(2,0.5){8} \rput(2.5,0.3){9} \rput(1.5,1.2){B}
\rput(2.7,2.3){est le~\ldots}
\end{pspicture}&triangle 6&	triangle 4&	triangle 7\\ \hline
3&
Sur le cercle de centre O, on donne les
points A, B, C et D tels que 

$\widehat{\text{AOB}} = 64\degres$ et
$\widehat{\text{BDC}} = 20\degres$, donc $\widehat{\text{AOC}} = \ldots$
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,2)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){1.5}
\pspolygon(1.5;-126)(1.5;-14)(0;0)(1.5;90)
\psline(1.5;-126)(1.5;26)
\uput[dl](0;0){O} \uput[u](1.5;90){A} \uput[ur](1.5;26){B} \uput[dr](1.5;-14){C} \uput[dl](1.5;-126){D} 	
	\end{pspicture}&
		84\degres&	104\degres&	74\degres\\ \hline
4&Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en
C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.	
	Sachant que AC = 2, CD = 5 et CE = 9,
 	pour calculer BC, on peut écrire : \ldots&\rule[5mm]{0pt}{3pt}$\dfrac{2}{9} = \dfrac{\text{BC}}{5}$ &$\dfrac{2}{\text{BC}} = \dfrac{9}{5}$ &$\dfrac{2}{5} = \dfrac{\text{BC}}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\textbf{L'unité de longueur est le centimètre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormé, placer les points A (1 ; 3), B$(2~;~ - 1)$, C$(-2~ ;~ 1)$ et D$(4~;~ -2)$.
\item  Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].
\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer les coordonnées du point E tel que le quadrilatère ABCE soit un parallélogramme. Justifier vos calculs.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle équilatéral BFG de centre D. Laisser les traits de construction.
		\item Donner la valeur exacte puis arrondie au millimètre du rayon BD du cercle circonscrit à ce triangle.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}  

\medskip

\textbf{Les trois parties sont indépendantes}

\medskip

Une entreprise décide de fabriquer des paquets cubiques de lessive.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
L'arête de chaque paquet doit être un nombre entier de centimètres.

Pour transporter ces paquets, on les range dans des caisses parallélépipédiques dont le fond est un rectangle de 96~cm de large et 156~cm de long. On souhaite  recouvrir la totalité du fond de la caisse par des paquets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la longueur maximale de l'arête d'un paquet est 12~cm. 
\item  Combien de paquets peut-on alors disposer au fond de la caisse ? 
\item  Les caisses ont une hauteur de 144~cm. Combien de paquets une caisse pourra-t-elle contenir ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Un paquet vide pèse 200~g. On y verse de la lessive. On sait que 1~cm$^3$ de lessive pèse 1,5~g. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire le tableau suivant sur la copie et le compléter :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{X|}}\hline
Volume de lessive $\left(\text{en cm}^3\right)$	&400&800&\np{1600}	&$x$\\ \hline
Masse de lessive (en g)							&	&	&			&\\ \hline
Masse totale d'un paquet de lessive (en g)		&	&	&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  On voudrait que la masse totale d'un paquet de lessive soit \np{2300}~g. Quel volume de lessive doit alors contenir ce paquet ? 
 	\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe $1,5x + 200$.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthogonal.
		
\emph{On placera l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.}

\emph{Sur l'axe des abscisses on prendra $1$~cm pour $200$~cm$^3$ et sur l'axe des ordonnées $1$~cm pour $200$~g.}
		\item  En laissant les traits de construction apparents, retrouver, par lecture graphique, le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de \np{2300}~g.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie III}
 
Sur deux faces de chaque paquet d'arête 12~cm doit figurer une bande publicitaire comme l'indique la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(2.4,2.4)%ABCD
\psline(2.4,0)(3.4,0.9)(3.4,3.3)(2.4,2.4)%BFGC
\psline(3.4,3.3)(1,3.3)(0,2.4)%GHD
\uput[d](0,0){A} \uput[d](2.4,0){B} \uput[ul](2.4,2.4){C} \uput[ul](0,2.4){D} 
\uput[dr](3.4,0.9){F} \uput[ur](3.4,3.3){G} \uput[ul](1,3.3){H} \uput[l](0,0.8){I} 
\uput[ul](2.4,1.6){J} \uput[r](3.4,2.5){K} \uput[dr](2.4,0.8){L}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2.4,0.8)(3.4,2.5)(3.4,3.3)(2.4,1.6)(0,0.8) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.4)(0,1.2)(0,2)(2.4,0.4)(2.4,1.2)(2.4,2)(3.4,1.3)(3.4,2.1)(3.4,2.9)
\qdisk(0,1.6){1pt} \qdisk(3.4,1.7){1pt} 
\psframe(2.4,2.4)%ABCD
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}$ de la face BFGC avec sa bande LKCJ.
\item  Montrer que l'aire de la bande sur le dessin est 3~cm$^2$. En déduire l'aire réelle de cette bande.
\end{enumerate}
%%%%%%%%   Fin Liban mais 2008
\newpage
%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2008
\hypertarget{Antilles}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}} 
\rfoot{\small{juin 2008}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2008~\decofourright\\ 
Antilles--Guyane }}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé

 \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 2 points}

\medskip
  
En précisant les différentes étapes de calcul :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction   irréductible :
\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}}.\]	 							
\item Donner l'écriture scientifique de B :
\[\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}}.\]	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
  
Voir ANNEXE 1						

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip
  
On considère deux fonctions affines :

	\[f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3 \qquad \text{et} \qquad  g(x) =  - x + 6\]
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
\item Soit K le point d'intersection de ces deux droites.

Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.			
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
 
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(13,7)
\psline(0,0.8)(12.8,6.6)%EACN
\psline(0,5.8)(12.9,0.6)%MBAF
\psline(2.9,0)(0,6.7)%NM
\psline(4.6,0)(1.5,7)%BC
\psline(12.5,0)(9.45,7)%EF
\uput[dl](2.15,1.65){N} \uput[ur](0.45,5.6){M} \uput[ur](2.43,4.8){B} \uput[dl](3.55,2.3){C} 
\uput[u](5.82,3.42){A} \uput[ur](10.1,5.5){E} \uput[dl](12.1,0.9){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.\\
On donne : AB = 4,5~cm ; AC = 3~cm ; AN = 4,8~cm et MN = 6,4~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer AM et BC. 							
\item  On sait de plus que AE = 5~cm et AF = 7,5~cm.

Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. 			\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
 
\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,8)
\psline(3.55,7.4)(0.6,0.2)(4.4,0)(6.5,0.7)(3.6,7.4)(4.4,0)%SABCSB
\psline(1.5,2.4)(4.1,2.3)(5.6,2.7)%A'B'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.6,0.2)(6.5,0.7)(2.7,0.9)(4.4,0)%ACDB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](6.5,0.7)(0.6,0.2)(2.7,0.9)(3.55,7.4)(3.55,0.45)%CADSO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(2.95,2.8)(5.6,2.7)%A'D'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(5.6,2.7)%A'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](4.1,2.3)(2.95,2.8)%B'D'
\uput[dl](0.6,0.2){A} \uput[d](4.4,0){B} \uput[dr](6.5,0.7){C} \uput[ul](2.7,0.9){D} 
\uput[ul](1.5,2.4){A$'$} \uput[dr](4.1,2.3){B$'$} \uput[ur](5.6,2.7){C$'$} \uput[ul](2.95,2.8){D$'$}
\uput[dr](3.5,0.45){O}  \uput[ur](3.45,2.58){O$'$}\uput[u](3.55,7.4){S}
\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{On considère la pyramide SABCD ci-contre : \\la base est le rectangle ABCD de centre O.\\
AB = 40~cm et BD = 50~cm. \\
La hauteur [SO] mesure 81 cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que AD = 30 cm. 	
\item  Calculer en cm$^3$, le volume de la pyramide SABCD. 		
\item  Soit O' le point de [SO] tel que 

SO$'$ = 54~cm.\\
On coupe la pyramide par un plan passant par O$'$
et parallèle  à sa base.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la section A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenue ? 
		\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD.
		
Donner le coefficient de réduction. 
		\item Quel est le volume de SA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$.
		\item Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ arrondie au degré près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip
   
Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm$^2$. On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.

(O, I, J) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points suivants :

\[\text{A}(3~;~- 5)\quad ;\quad  \text{B}(1~;~6)\quad   \text{et} \quad  \text{C}(- 3~;~3).\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer par le calcul que AB $= 5\sqrt{5}$ ; AC = 10 et BC = 5. 		
		\item  Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C. 		
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. 
		\item  Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 	
		\item  Recopier et compléter sans justifications les égalités :
		
\[\vect{\text{AC}} + \vect{\text{CB}} = \cdots\cdots \qquad ; \qquad \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}} = \cdots\cdots\]
	\end{enumerate}

\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$. 					
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
		 \item Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
		 
Calculer les coordonnées du point K.
    \end{enumerate}	 			
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR CETTE FEUILLE.

CETTE FEUILLE ANNEXE SERA REMISE AVEC LA COPIE.
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2   \hfill 6 points}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}l|}\hline
Énoncé&Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D&Réponse\\ \hline
\rule[-3mm]{0pt}{-5pt}$\dfrac{6 + 3}{7 + 3}$&$\dfrac{6}{7}$&0,9&$\dfrac{6}{7} + 1$&$\dfrac{9}{10}$&\\ \hline
En développant $(3x~+~6)^2$, on obtient&\scriptsize$3x^2 + 36x + 36$&$9x^2 + 36$&\scriptsize$9x^2 + 36x + 36$&$45x + 36$&\\ \hline
En factorisant $16x^2~-~4$, on obtient&$(4x-2)^2$&\scriptsize$(4x-2)(4x+2)$&$(4x + 2)^2$&\tiny $(16x~-~2) (16x + 2)$&\\ \hline
$\sqrt{16} \times \sqrt{5}$&$\sqrt{16 \times 5}$&$\sqrt{16 + 5}$
&$5\sqrt{4}$&$4\sqrt{5}$&\\ \hline
$\sqrt{9 + 16 + 25} =$&$3 + 4 + 5$&$\sqrt{50}$&\scriptsize$\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}$&$7,07$&\\ \hline
La fonction affine $f$ vérifie : $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$. $f$ est définie par&$f(x) = x - 1$& $f(x) = x + 1$&$f(x) = 3x - 1$&$f(x) = 3 - x$&\\ \hline
\end{tabularx}}
%%%%%%%%%%  Fin Antilles juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%   Asie juin 2008
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2008~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Le barème de cet exercice est le suivant ;
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1 point par bonne réponse.
\item[$\bullet~$] 0,5 point par réponse fausse.
\item[$\bullet~$] 0 point en l'absence de réponse.
\end{itemize}
\textbf{Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées.\\
Écrire la lettre A, B ou C de la bonne réponse dans la dernière case du tableau de l'annexe 1.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&		A&	B &	C\\ \hline
1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$\\ \hline
2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$\\ \hline
3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&	Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&$3x^2 - 12x + 4$&	$9x^2-12x+4$& 	$9x^2 - 4$\\ \hline
4&	Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :&	25 vaches&	20 vaches &	14 vaches\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 	 
Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues sur 20 par une classe de 25 élèves de 3\up{e} au dernier devoir de mathématiques.

\medskip

\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,0)(17.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=6,showorigin](6,0)(17.5,6)
\rput(12,-1){Notes} \rput{90}(5,3){Effectifs}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.3pt](6.5,\n)(17.5,\n)}
\psframe*(6.85,0)(7.15,2)  \psframe*(7.85,0)(8.15,4)  \psframe*(8.85,0)(9.2,1)  \psframe*(9.85,0)(10.15,3)  
\psframe*(10.85,0)(11.15,5)  \psframe*(11.85,0)(12.15,4)    \psframe*(13.85,0)(14.2,1)  
\psframe*(14.85,0)(15.15,3)  \psframe*(15.85,0)(16.15,1)   \psframe*(16.85,0)(17.15,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'étendue des notes.
\item Compléter le tableau suivant dans l'annexe 2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes							&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17\\ \hline
Effectifs						&	&	&	&	&5	&	&	&	&	&	&\\ \hline
Effectifs cumulés croissants	&2 	&6	&	&	&	&	&	&20	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calculer la moyenne des notes.
\item Déterminer la médiane des notes.
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à $14$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans aucun calcul expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$.

\item Calculer le PGCD des nombres \np{4114} et \np{7650} avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs.

\item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$	en précisant par quel nombre vous simplifiez.

\item En utilisant les résultats des questions précédentes, mettre l'expression A suivante sous la forme
$n\sqrt{34}$, où $n$ est un entier relatif, en détaillant les calculs :
\[ \text{A} = 5\sqrt{\np{4114}} - 4\sqrt{\np{7650}}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(7.5,3)
\pspolygon(0,2.2)(7.1,1.7)(6.6,2.7)(1.05,0)
\psline(1.5,2.1)(2.2,0.6)
\uput[ul](0,2.2){A} \uput[d](1.05,0){B} \uput[u](1.5,2.1){C} \uput[dr](2.2,0.6){D} 
\uput[u](6.6,2.7){E} \uput[d](7.1,1.7){F} \uput[d](4.7,1.8){O}
\rput{27}(2.2,0.6){\psframe(0.3,0.3)} 
\rput{27}(1.05,0){\psframe(0.3,0.3)} 
\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{Sur la figure ci-contre, OD = 4~cm ; 

OC~=~5~cm ; AC = 3~cm ; OE = 6~cm ; 

OF = 7,5~cm.

\emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
\item  Calculer OB.
\item  Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles.
\item  Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier.
\item  Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$.
\item  Quelle est la mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{EFO}}$ ?
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,6)
\pspolygon(0.3,0.6)(4.3,0.6)(3.1,5.15)%BCS
\psline(4.3,0.6)(5.9,2.1)(3.1,5.15)%CDS
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.9,2.1)(5.9,2.1)%BADB
\psline[linestyle=dashed](4.3,0.6)(1.9,2.1)(3.1,5.15)%CAS
\psline[linestyle=dashed](3.1,5.15)(3.1,1.3)
\uput[u](3.1,5.15){S} \uput[ul](1.9,2.1){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} 
\uput[dr](4.3,0.6){C} \uput[r](5.9,2.1){D} \uput[d](3.1,1.3){H}
\psline(3.1,1.6)(3.3,1.42)(3.3,1.17) 
\psline(3.1,1.6)(2.8,1.5)(2.8,1.28)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
Sur la pyramide SABCD à base \textbf{rectangulaire} ci contre,
H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD.

\emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

De plus, on a : SA = SB = SC =  SD =  8,5~cm, CD = 12~cm et BC =  9~cm.

\begin{enumerate}
\item  Tracer en vraie grandeur la face ABCD.
\item  Vérifier par le calcul que 

HD =  7,5~cm.
\item  Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H.
\item  Calculer SH.
\item  Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\end{enumerate}}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
Une entreprise construit des boîtiers électriques qui servent à distribuer le courant électrique dans les appartements.

Trois salariés Félix, Gaëlle et Henry fabriquent chaque mois le même nombre de boîtiers.
 
Leur salaire mensuel en euro (le symbole de l'euro est \euro) est calculé de la façon suivante :

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Félix a un salaire fixe de \np{1500} \euro. 
\item[$\bullet~$] Gaëlle a un salaire de \np{1000}~\euro{} augmenté de 2~\euro{} par boîtier fabriqué. 
\item[$\bullet~$] Henry a un salaire de 7~\euro{} par boîtier fabriqué.
\end{itemize} 

Chaque salarié a fabriqué $260$ boîtiers au mois de janvier, 180~boîtiers en février et 200~boîtiers en mars.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant dans l'annexe 3 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Salaire de  Félix	&Salaire de Gaëlle	&Salaire de Henry\\ \hline
Mois de Janvier		&					&					&\\ \hline
Mois de Février		&					&					&\\ \hline
Mois de Mars		&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Soit $x$ le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois.

Exprimer en fonction de $x$ les salaires de Félix, Gaëlle et Henry.

\item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : 

\begin{itemize}
\item[] $f(x) =  \np{1500}$
\item[] $g(x) =\np{1000} + 2x$
\item[] $h(x) =  7x$ 
\end{itemize}

On choisira comme unités :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1 cm pour 20 boîtiers sur l'axe des abscisses.
\item[$\bullet~$] 1 cm pour 100~\euro{} sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}

\item Par lecture graphique, préciser à partir de combien de boîtiers fabriqués en un mois on peut dire qu'Henry aura un salaire supérieur ou égal à celui de Gaëlle (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
\item En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. Combien de boîtiers Félix a-t-il fabriqué ? Justifier votre réponse par un calcul.

\item Les trois salariés pourront-ils toucher le même salaire mensuel ?

Expliquer la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille Annexe (à rendre avec la copie)}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 1} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\footnotesize}c|}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&		A&	B &	C&Réponse\\ \hline
1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$&\\ \hline
2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$&\\ \hline
3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&	Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&\scriptsize $3x^2 - 12x + 4$&\scriptsize  $9x^2-12x+4$&\scriptsize  $9x^2 - 4$&\\ \hline
4&	Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :&	25 vaches&	20 vaches &	14 vaches&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 2} \end{flushleft}

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes			&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17\\ \hline
Effectifs		&	&	&	&	&5	&	&	&	&	&	&\\ \hline
Effectifs cumulés
 croissants		&2 &6	&	&	&	&	&	&20	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 3} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Salaire de  Félix	&Salaire de Gaëlle	&Salaire de Henry\\ \hline
Mois de Janvier		&					&					&\\ \hline
Mois de Février		&					&					&\\ \hline
Mois de Mars		&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%  Fin Asie juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2008
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2008}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2008~\decofourright\\ 
Centres étrangers}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

 Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On écrira les détails des calculs sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit le nombre A $ = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4}$.

Calculer A. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, puis on donnera sa valeur décimale.

\item  Soit le nombre B $ = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times 5 \times \left(10^2  \right)^6}{25 \times 10^{-2}}$.

Calculer B. On donnera le résultat sous la forme d'une écriture scientifique. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{ Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\og Le nombre caché :

\begin{itemize}
\item  Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. 
\item  Je suis pair. 
\item  Je suis divisible par 11. 
\item  J'ai aussi 3 et 5 comme diviseur. 
\end{itemize}

Qui suis-je ? \fg.

Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
5x + 4y&=&88\\
x + 2y&=&26\\
\end{array}\right.$

\item Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion.
 
Les DVD coûtent tous le même prix. Les CD coûtent tous le même prix.

Paul achète 5 DVD et 4 CD pour 88~\euro.
 
Louis achète un DVD et 2 CD. Il paie 26~\euro.
 
Quel est le prix d'un DVD ?

Quel est le prix d'un CD ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &&	 	Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\ \hline
\textbf{1.}&$\sqrt{32}$ est égale à :&$16\sqrt{2}$&	$8\sqrt{2}$&$4\sqrt{2}$\\ \hline		
\textbf{2.}&$\sqrt{9 + 16}$  	 est égale à :&	7&	5&$\sqrt{3} + \sqrt{4}$\\ \hline	
\textbf{3.}& 	Pour tout nombre $x,\: {x^2-100}$   est égale à :&	$(x + 10)(x - 10)$&$(x - 10)^2$&$(x - 50)^2$\\ \hline		
\textbf{4.}& 	L'équation $(x - 4)(2x + 5) = 0$ a pour solutions :&	$4$ et $\dfrac{5}{2}$&$- 4$ et $- \dfrac{5}{2}$& $4$ et $- \dfrac{5}{2}$\\ \hline
\textbf{5.}& 	Si $x = \sqrt{5}$ alors l'expression $x^2 + 3x - 1$ vaut :&$4 + 3\sqrt{5}$ &$7\sqrt{5}$&$24 + 3\sqrt{5}$\\ \hline
\textbf{6.}& Si le côté d'un carré est multiplié par 3 alors son aire est multipliée par :&$3 \times 4$&$3^2$&$3$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\parbox{0.47\linewidth}{La figure suivante n'est pas réalisée en vraie grandeur.\\ 
L'unité de longueur est le centimètre.

On donne : 

AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Calculer AD.

On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre. 
\item  Soit F le point tel que C, B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6.

Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
\pspolygon(0,0)(7.9,0)(5.7,5.2)(8.4,5.2)(3.6,0)%FCEDB
\uput[r](6.5,3.3){A}\uput[d](3.6,0){B} \uput[d](7.9,0){C} \uput[u](8.4,5.2){D} \uput[u](5.7,5.2){E} \uput[d](0,0){F}
\psline(6.57,3.2)(0,0)%AF 
\end{pspicture}}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6~cm et KI = 10,4~cm. 
\item  Calculer SI. 
\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SKI}}$. On donnera l'arrondi au degré. 
\item  En déduire au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SIK}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ? 
		\item  Placer le point O sur la figure et tracer ce cercle. \\
Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOI}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III. Problème \hfill 12 points}

\medskip
 
Un cybercafé propose à ses clients les trois tarifs suivants pour accéder à Internet :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif A : abonnement 25~\euro{} par mois pour une connexion illimitée. 
\item[$\bullet~$] Tarif B : 1,50~\euro{} par heure de connexion. 
\item[$\bullet~$] Tarif C : abonnement 14~\euro{} par mois et 0,50~\euro{} par heure de connexion.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Nombre d'heures de connexion par mois}\\\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&6 heures&18 heures&24 heures&$x$ heures\\ \hline
		&Tarif A	&	&	&	&\\% \cline{2-6}
Prix (en \euro)&Tarif B	&	&	&	&\\% \cline{2-6}	 	 	 	 
		&Tarif C	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 	 	 	 
\item  On considère les fonctions $f,~ g$ et $h$ définies de la façon suivante : 
\begin{itemize}
\item[] $f(x) = 25$
\item[] $g(x) = 1,5x$
\item[] $h(x) = 0,5x + 14$ 
\end{itemize}

Tracer les représentations graphiques de ces trois fonctions dans le repère orthogonal ci-dessous. 

Unités graphiques : 1~cm pour 2~heures en abscisse, 1~cm pour 5~\euro{} en ordonnée.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(34,70)
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=5](0,0)(-1.9,-4.9)(34,65)%
\uput[d](33,-4){$x$ (heures)}\uput[l](0,68){$y$ (euros)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item  Un premier client pense se connecter 8 heures ce mois-ci. 
Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant pour lui. 
On laissera apparents les traits de construction.
\item  Un second client dispose de 24~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer graphiquement le tarif qui lui permettra de se connecter le plus longtemps possible.
		 
On laissera apparents les traits de construction. 
		\item  Retrouver ce résultat par calcul.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre l'équation suivante : $1,5x = 0,5x + 14$.

Interpréter la réponse obtenue.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%  Fin Centres étrangers juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%  Madagascar juin 2008
\hypertarget{Metropole}{}

\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar juin 2008~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}
 
On donne E $ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{2} \times \dfrac{4}{3}\qquad$ et $\qquad \text{F} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \sqrt{16}}{\sqrt{2}}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les nombres E et F sont égaux.

\item  On donne G $= \left(10^{-1}+ a\right) \times 10^2$. Calculer le nombre $a$ pour que l'égalité E =  G soit vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère les nombres suivants :

\[\text{A} = \nombre{1001} \times 999 - 999^2\quad 	\text{B} = 57 \times 55 - 55^2\quad 	\text{et} \quad 	\text{C} = (-2) \times (-4) -(- 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour A, B et C.
		\item  Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifier brièvement.
	\end{enumerate}
\item On pose $D = (x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item $x$ étant un nombre entier, supérieur à 1, montrer que $D$ est un multiple de $2$.
		\item Pour quelles valeurs de $x,~ D$ est-il un nombre négatif ou nul ?
		
Représenter les valeurs trouvées sur un axe en hachurant la partie qui ne convient pas.
	\end{enumerate}
\item	Trouver une expression E de la même forme que celle de A pour laquelle le résultat du calcul est \nombre{2008}.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
L'air, dans l'environnement terrestre, est un mélange constitué

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	de 78\:\% de diazote
\item[$\bullet~$]	de dioxygène
\item[$\bullet~$]	d'autres gaz (ozone, argon, vapeur d'eau, dioxyde de carbone, ...).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'air contenu dans un ballon de football pèse $470,6$~g. Dans des conditions de température et de pression fixées, la masse d'un litre d'air est 1,3~g. Déterminer alors la masse, en g, puis le volume, en L, de diazote à l'intérieur du ballon.

\item  Une salle de classe de volume 30~m$^3$ contient 6,3~m$^3$ de dioxygène. Trouver le pourcentage de dioxygène et le pourcentage des gaz présents dans l'air, autres que le diazote et le dioxygène.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip 

\emph{Dans les deux exercices, les figures ne sont pas en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire mais elles peuvent constituer une aide pour les démonstrations demandées.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en C tel que
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le segment [AC] mesure 8~cm ;
\item[$\bullet~$] le segment [BC] mesure 6~cm;
\item[$\bullet~$] le milieu du segment [AC] est noté I.
\end{itemize}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\psframe(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,3)
\uput[l](0,0){A} \uput[u](4,3){B} \uput[r](4,0){C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que AB = 10 cm.
\item  Préciser la position du point O centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Justifier.
\item  Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie la ligne de la question et recopier \textbf{la} réponse exacte. On ne demande pas de justification.
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Questions &\multicolumn{3}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline
L1	& Que représente la droite (OI) ?&	Une médiane du triangle&	Une hauteur du triangle &	La médiatrice de [AC]\\ \hline
L2	&Que vaut la longueur du segment [OI] ?&2 cm&3 cm&5 cm\\ \hline
L3	&Quel est l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IAO}}$ ?&53\degres&36\degres&37 \degres\\ \hline
L4	&Que vaut l'aire du quadrilatère OICB ?&18 cm$^2$&	6 cm$^2$& 	12 cm$^2$\\ \hline
L5	&Quelle est la nature du triangle OBC ?&Un triangle équilatéral&	Un triangle quelconque&	Un triangle isocèle\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
(O~;~I,\:J) est un repère orthogonal donné.

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\begin{enumerate}
\item  Lire les coordonnées des points	L, U, N  et E.

\item   Démontrer que le quadrilatère LUNE est un parallélogramme.

Préciser son centre de symétrie.

\item   Le point A est défini par
$\vect{\text{LA}} =  \vect{\text{LU}} + \vect{\text{LN}}$.

Prouver que N est le milieu du segment [AE].

\item   Les droites (OA) et (UN) se coupent au point H. Montrer que la droite (EH) est une médiane du triangle UEA.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-5)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-5)(7,4)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,3)(1,2)(2,-3)(-1,-2)
\uput[ul](-2,3){L}  \uput[ur](1,2){U}  \uput[dr](2,-3){N}  
\uput[dl](-1,-2){E}  \uput[dl](0,0){O}  \uput[dr](1,0){I}  \uput[ul](0,1){J}  
\end{pspicture}}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. On a relevé, ci-dessous, le diamètre de 30 tomates (en millimètres).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,1.25)
\rput(3.5,1){49 - 52 - 59 - 57 - 51 - 55 - 50 - 56 - 49 - 48}
\rput(3.5,0.25){58 - 49 - 52 - 51 - 53 - 56 - 49 - 56 - 55 - 50}
\rput(3.5,-0.5){52 - 56 - 57 - 54 - 53 - 49 - 51 - 55 - 56 - 59}
\psframe(0,-1)(7,1.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètres			&[48 ; 51[	&[51 ; 54[	&[54 ; 57[	&[57 ; 60[\\ \hline
Effectif			&8			&			&			& \\ \hline
Centre des classes	&			&52,5		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item  À partir de ce tableau des effectifs, vérifier que le diamètre moyen d'une tomate, arrondi à l'unité, est 54~mm. Déterminer le volume, en mm$^3$, d'une tomate de diamètre moyen, modélisée comme une boule. Arrondir à l'unité.

\medskip

\emph{On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est} $\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Les caissettes de 15~tomates sont vendues et livrées à partir de la coopérative. L'acheminement s'effectue selon deux possibilités.

Possibilité \no 1 :  La caissette est vendue 7~\euro{} pour une livraison inférieure ou égale à 90~km de la coopérative.

Possibilité \no 2 : La caissette est vendue 6,50~\euro{} pour une livraison supérieure ou égale à 90~km avec des frais de transport de 50~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les deux tarifs pour un achat de 100 caissettes.

\item  Une entreprise située à $200$~km de la coopérative achète $x$ caissettes Quel sera le prix $P(x)$ à payer à la coopérative ?

\item  Une autre entreprise située à $50$~km de la coopérative achète $x$ caissettes. Quel sera le prix $S(x)$ à payer à la coopérative ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\textbf{Une feuille de papier millimétré est nécessaire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un même repère orthogonal, représenter graphiquement les deux fonctions $S$ et $P$. On prendra sur l'axe des abscisses 1~cm pour $10$~caissettes et sur l'axe des ordonnées 1~cm pour $50$~\euro.
\item Une troisième entreprise se situe exactement à 90~km de la coopérative. On suppose qu'elle a le choix entre les deux tarifs proposés. Déterminer à l'aide du graphique, le tarif de vente le plus avantageux selon le nombre $x$ de cassettes qu'elle souhaite acheter.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   Fin Madagascar juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole, La Réunion et Mayotte juin 2008
\hypertarget{Metropole2}{}

\lfoot{\small{France, La Réunion et Mayotte}}
\rfoot{\small 27 juin 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole, La Réunion et Mayotte 27 juin 2008~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2}
On donne le programme de calcul suivant :&Choisir  un nombre.\\
&\textbf{a.} Multiplier ce nombre par $3$.\\
&\textbf{b.} Ajouter le carré du nombre choisi.\\
&\textbf{c.} Multiplier par $2$.\\
& Écrire le résultat.\\\cline{2-2}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, si on choisit le nombre $10$, le résultat obtenu est $260$.
\item  Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le nombre choisi est $- 5$ ;
\item[$\bullet~$] le nombre choisi est $\dfrac{2}{3}$ ;
\item[$\bullet~$] le nombre choisi est $\sqrt{5}.$
 \end{itemize}
\item Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit $0$ ?
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}
 
2 est-il solution de l'équation $2a^2 - 3a - 5 = 1$ ? Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trois points A, B et C d'une droite graduée ont respectivement pour abscisse :

\[\dfrac{1}{4} \quad ; \quad \dfrac{1}{3}\quad \text{et}~~\dfrac{5}{12}.\]

Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ? \\Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie $95$~euros.

Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire on paie $55,50$~euros.

Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : QCM}
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
 
Chaque réponse exacte rapporte 1~point.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip
   
\textbf{Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
   
\medskip
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No & Situation &	Proposition 1& Proposition 2&	Proposition 3\\ \hline
1&ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle peut-on en	déduire ?&$\vect{\text{AB}}=\vect{\text{CD}}$&$\vect{\text{AC}}=\vect{\text{DB}}$&$\vect{\text{AD}}= \vect{\text{BC}}$\\ \hline
2&On considère un cylindre de rayon 3~cm et de hauteur 6~cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprime en cm$^3$ ?&$18\pi$&$54\pi$&$36\pi$\\ \hline
3&On considère dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. L'angle au centre mesure $34\degres$. Combien l'angle inscrit mesure-t-il	 ?&$34\degres$&	$17\degres$&$68\degres$ \\ \hline
4&\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5.5)
\pspolygon(0,0)(3.3,0)(5.1,2)(2.7,4.8)%ABCSA
\psline(3.3,0)(2.7,4.8)%BS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(1.8,2)(2.7,4.8)%ADS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.8,2)(5.1,2)%DC
\uput[dl](0,0){A}   \uput[dr](3.3,0){B}  \uput[u](5.1,2){C}  \uput[ur](1.8,2){D}  \uput[u](2.7,4.8){S}  
\end{pspicture} &
Ni rectangle, ni isocèle&	Rectangle et isocèle &	Isocèle mais non rectangle.\\
 & Le dessin ci-dessus représente en
perspective une pyramide à base
carrée de sommet S. Quelle est en
réalité la nature du triangle ABC ?&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
  
\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 2}
 
\bigskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(7,5.5)
%\psgrid
\psline(4.8,5.9)(1.1,1.3)(6.7,0.9)(1.1,6.05)
\psline(2,2.4)(5.4,2.15)%EF
\uput[r](3.3,4){A} \uput[dl](1.1,1.3){B} \uput[dr](6.7,0.9){C} 
\uput[ul](2,2.4){E} \uput[ur](5.35,2.15){F} \uput[r](4.05,5){G} 
\uput[l](2.3,5){K}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.25,5)(4.05,5)(3.3,4)(2,2.4)(5.35,2.15)
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Sur la figure ci-contre :\hspace{4cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les points K, A, F, C sont alignés ;
\item[$\bullet~$] les points G, A, E, B sont alignés ;
\item[$\bullet~$] (EF) et (BC) sont parallèles ;
\item[$\bullet~$] AB = 5 et AC =  6,5 ;
\item[$\bullet~$] AE = 3 et EF = 4,8 ;
\item[$\bullet~$] AK = 2,6 et AG = 2.
\end{itemize}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que BC = 8.
\item  Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre.
\item  Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier.
\item  Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.}

\medskip

\textbf{Partie 1 :}
Dans le graphique figurant en annexe on lit pour une taille comprise entre 150~cm et 200~cm ; 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisse la taille exprimée en cm.
\item[$\bullet~$] en ordonnée le poids exprimé en kg.
\end{itemize}

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180~cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près.
\item Une personne mesure 165~cm et pèse 72~kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près.
\item Une personne de 72~kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille.

Quelle peut être sa taille ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :}
 
Dans cette partie, $t$ représente la taille d'une personne, exprimée en cm. On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note $p$.

\[p,\: \text{exprimé en kg, est donné par la formule :}\: p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 160 cm
\item[$\bullet~$] 165 cm
\item[$\bullet~$] 180 cm
\end{itemize}

Placer les points correspondants sur le graphique figurant en feuille annexe.
\item Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Tracer cette droite sur le graphique figurant en feuille annexe.
\item Une personne mesure 170~cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 10\:\%.

Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
 
\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.141cm,yunit=0.2cm} 
\begin{pspicture}(-5,-5)(80,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40]{->}(0,0)(80,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40](0,0)(80,70)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(80,\n)}
\multido{\n=40+10}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(80,\n)}
\pscurve[linecolor=blue](10,01.8)(20,07.5)(30,13.7)(40,20)(50,27)(60,34)
\pscurve[linecolor=red](10,16.4)(20,24)(30,32.5)(40,41)(50,50.2)(60,60)
\psframe[fillstyle=solid](8,37)(32,48)
\rput(20,45){la courbe supérieure}
\rput(20,42){représente le poids}
\rput(20,39){maximum conseillé}
\psframe[fillstyle=solid](38,1.5)(62,13)
\rput(50,10){La courbe inférieure}
\rput(50,7){représente le poids}
\rput(50,4){minimum conseillé}
\psline[linewidth=1.2mm]{->}(50,13)(50,27)
\psline[linewidth=1.2mm]{->}(20,37)(20,24)
\rput(75,1){taille en cm}
\rput{90}(-8,35){poids en kg}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   Fin Métropole La Réunion juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2008
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{Cette feuille est à joindre à la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

\textbf{Pour chacune des questions, entourer la bonne réponse.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&Le nombre $\sqrt{45} - \sqrt{20}$ est égal aussi 	à :&$\sqrt{25}$&$\sqrt{5}$&$5\sqrt{5}$\\ \hline
2&	L'expression développée de $(5x + 2)^2$ est :&	$25x^2 +4$&	$5x^2 + 20 x + 4$&\small $25x^2 + 20x + 4$\\ \hline
3&L'expression factorisée de A {\footnotesize$= (3x - 5)^2+(2x - 1)(3x - 5)$} est : &	$(3x-5)(5x-6)$&	$(2x-1)(6x-4)$&	\small$15x^2 - 43 x +30$\\ \hline
4&Une solution de l'équation $(3x+2)(4x - 3)$ est :&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{3}{4}$&$0$\\ \hline		
5&Une solution de l'inéquation $3x +4 < 0$ est	&$2$&	$- \dfrac{5}{3}$&$-1$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Le magasin TAMARIIGAMES loue des jeux vidéo et des DVD.

Moana loue un jeu vidéo et un DVD pour \np{1400}~F{}.
 
Son copain Tihoti loue 3 jeux et 2 DVD pour \np{3600}~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Moana pense que le prix de la location d'un jeu est de \np{1000}~F et celui d'un DVD est $400$~F{}.
	\begin{enumerate}
		\item  Si tel est le cas, compléter sur cette feuille, les tableaux suivants :
		
		\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Prix d'un jeu&Prix d'un DVD&Somme totale\\ \cline{2-4}
Achat de Moana&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Prix des 3  jeux	&Prix des 2  DVD&Somme totale\\ \cline{2-4}
Achat de Tihoti	&					&				&\\  \hline
\end{tabularx}

		\item Tihoti n'est pas d'accord avec Moana. Qui a raison ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 	$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &= 	&\np{1400}\\
3x+2y &=	&  \np{3600}\\
\end{array}\right.$

\item En déduire le prix de la location d'un jeu vidéo ainsi que celui d'un DVD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$ et de diamètre [BC] et le cercle $\mathcal{C}_{2}$ de diamètre [BD].

A est un point de $\mathcal{C}_{1}$ et la droite (AB) coupe le cercle $\mathcal{C}_{2}$, au point E.

On donne :

BA = 4 ; BC = 5 et BD = 9.

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur}
\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-4.5)(9,4.5)
\psline(0,0)(9,0)
\pscircle(2.5,0){2.5} \pscircle(4.5,0){4.5} 
\psline(0,0)(7,5) \psline(5.97,4.23)(9,0)
\psline(3.3,2.38)(5,0)
\uput[ul](3.3,2.38){A} \uput[l](0,0){B} \uput[ur](5,0){C} \uput[r](9,0){D} 
\uput[u](5.97,4.23){E} \uput[dr](4,-2){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[ur](7.8,3){$\mathcal{C}_{2}$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les triangles ABC et EBD sont rectangles.

Parmi les trois propriétés suivantes, \emph{recopier sur votre copie la propriété} qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
\item[$\bullet~$] Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
\item[$\bullet~$] Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
\end{itemize}

\item Dans le triangle ABC rectangle en A, calculer AC.

\item En vous aidant du résultat donné à la question 2., montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

\item Montrer que BE = 7,2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB].

OA =  OB = OC = OD = OE = 5,7~cm.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\SpecialCoor
\pspolygon(2.5;55)(2.5;127)(2.5;199)(2.5;271)(2.5;343)
\uput[dl](0;0){O} \uput[ur](2.5;55){A} \uput[dr](2.5;343){B} 
\uput[d](2.5;271){C} \uput[dl](2.5;199){D} \uput[ul](2.5;127){E}
\psline(0;0)(2.5;55)  \psline(0;0)(2.5;127)  \psline(0;0)(2.5;199)  \psline(0;0)(2.5;271)  \psline(0;0)(2.5;343)\uput[ur](2.0225;19){I}
\rput{109}(1.93,0.66){\psframe(0,0)(0.3,0.3)}
\psline(0;0)(2.0225;19) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.0225;19)(2.0225;91)(2.0225;163)(2.0225;235)(2.0225;307)
\psdots[dotstyle=o](1.25;55)(1.25;127)(1.25;199)(1.25;271)(1.25;343)
\psarc(2.5;55){3mm}{232}{286}\psarc(2.5;343){3mm}{113}{166}
\rput(1.4,1.4){54\degres}\rput(1.2,-0.6){5,7 cm}
\psarc(0;0){2mm}{343}{55}\psarc(0;0){3mm}{343}{55}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du triangle AOB ?
		\item  Montrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est de 72\degres .
	\end{enumerate}
\item  Quelle est l'image du triangle BOC,
	\begin{enumerate}
		\item par la symétrie axiale d'axe (DI) ?
		\item par la rotation de centre O, d'angle 72\degres, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?
	\end{enumerate}
\item  Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre).
\end{enumerate}

\begin{center}
(Cette feuille est à joindre à la copie)
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le thon Germon (variété de thon blanc)	
\item[$\bullet~$] le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)
\item[$\bullet~$] le thon Obèse (variété de thon rouge)	
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le graphique 1, ci-dessous, représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse.
	\begin{enumerate}
		\item Est-ce que la taille du thon germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.
		\item L'équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg.
		
Déterminer graphiquement, sa taille.

(On laissera apparents les trails de construction).
		\item L'équipe de Teiki a pris un thon germon de 70~cm.
		
Déterminer graphiquement sa masse.

(On laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.34cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(35,120)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(35,120)
%\psgrid
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(35,\n)}
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(35,\n)}
\rput(17.5,-15){masse de thon en kg}
\rput{90}(-2.5,60){taille du thon en cm}
\rput(17.5,130){Graphique 1 : taille du thon Germon}
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,45)(5,62)(10,78)(15,88)(20,96.5)(25,104)(30,110)(31.3,112)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Graphique 2}

\psset{xunit=0.016cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(500,90)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100,Dy=10](0,0)(500,90)
\multido{\n=0+10}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+100}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+1}{91}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(500,\n)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(500,\n)}
\psline[linecolor=blue](0,0)(500,85)
\rput(250,-8){masse de thon en kg} \rput{90}(-60,70){masse de thon Jaune en kg}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip \medskip

\item La masse du thon Jaune représente en moyenne 17\:\% de la masse totale des trois espèces de thon pêché.

Le graphique 2, ci-dessus, représente la masse de thon Jaune pêché  par rapport à la masse totale de thon pêché.

	\begin{enumerate}
		\item Est-ce que la masse de thon Jaune est proportionnelle à  la masse totale de thon pêché ?
		
Justifier.
		\item L'équipe de Moana a pêché 400~kg de thon.
		
Calculer la masse de thon Jaune pêché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
(Cette feuille est à  joindre à la copie)
\end{center}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

À un concours de pêche au large, les prises sont   constituées de thons, d'espadons, de thazards et de mahi-mahi.

On a réparti les différentes prises des équipes 	de Moana et de Teiki dans les tableaux suivants :  tableau (I) et tableau (II).

\medskip

\textbf{TABLEAU (I) : Équipe de Moana}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Espèce&	thon&	espadon&thazard&	mahi-mahi&	total\\ \hline
Prise en kg&	400&104&56&	240& 	800\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pspicture(-3,0)(3,4)
\SpecialCoor
\psarc(0;0){3cm}{0}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0;0){3}{0}{54}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){3}{54}{66.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](0;0){3}{66.6}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0;0){3}{90}{180}
\uput[ul](3;135){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\textcolor{white}{ Thon 50\:\%}}}
\rput(3.5;85){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray]{\textcolor{white}{ Espadon 13\:\%}}}
\rput(3.5;60){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textcolor{white}{ Thazard 7\:\%}}}
\rput(3.5;15){\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{\textcolor{white}{ Mahi-mahi 30\:\%}}}
\rput(0,-0.5){Diagramme semi-circulaire représentant
les prises en pourcentage de l'équipe de Moana}
\endpspicture
\end{center}

\vspace{0,5cm}	

\textbf{TABLEAU (II) Equipe de Teiki}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Espèce}&thon&espadon&thazard&	\small mahi-mahi&	total\\ \hline
Prise en kg		&144&108	&36	&432&720\\ \hline
Fréquence en \%	&	&		&	&	&100\\ \hline
Secteur angulaire en degré	&&	&	&&180\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter sur cette feuille  le tableau (II) précédent.	
\item  Représenter les prises exprimées en fréquence de ce  deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 5~cm.
\item  Quel est le poisson principalement capturé par chacune  des équipes ?
\item  Quel pourcentage représente la masse totale de thon 	pêché par les deux équipes par rapport à la masse totale de poissons capturés par les  deux équipes ? (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%    Fin Polynésie juin 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane septembre 2008
\hypertarget{Antillessep}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane ~\decofourright\\ septembre 2008}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  A $ =  \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} :  \dfrac{10}{16}$.
 
Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item B $ = \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer B sous forme décimale. 
		\item  Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
	\end{enumerate}
\item C $ = 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3}$.
 
Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Voici les effectifs et les salaires des employés d'une Petite et Moyenne Entreprise (PME).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Catégorie &Ouvrier simple&Ouvrier qualifié&Cadre moyen&Cadre supérieur&
Dirigeant\\ \hline 
Effectif &50 &25 &15 &10 &2  \\ \hline 
Salaire en euros&950 &\nombre{1300} &\nombre{1700} &\nombre{3500} &\nombre{8000}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif de cette PME ? 
\item Calculer le salaire moyen arrondi à l'unité.
\item Déterminer l'étendue des salaires. 
\item Les dirigeants décident une augmentation de 8\:\% du montant du salaire d'un ouvrier simple.
 
Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier. 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
On considère l'expression $\text{D} =  (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire l'expression D. 
\item Factoriser l'expression D. 
\item Résoudre l'équation $\text{D} = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Supprimé en conformité avec le nouveau programme

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle PQR rectangle en P et tel que PR = 6~cm, QR = 7,5~cm. 
\item Montrer par le calcul que PQ = 4,5~cm. 
\item Sur la demi-droite [PR), placer le point O tel que PO = 10,8~cm. Sur la demi-droite [PQ), placer le point L tel que PL = 8,1~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (RQ) et (OL) sont parallèles. 
		\item Calculer OL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre AB = 8~cm, puis placer un point F sur le cercle tel que l'angle $\widehat{\text{BAF}}$ soit égal à 60\degres. 
\item Montrer que le triangle ABF est rectangle en F.
\item Calculer AF. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une séance de cinéma coûte 7,50~euros. Recopier et compléter le tableau.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de séances& 0 &1&& \\ \hline 
Prix en euros&&&30&75\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item  On propose aux étudiants une carte d'abonnement de 20~euros qui permet de payer chaque séance 5~euros.
 
Recopier et compléter le tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de séances& 0 &1 && \\ \hline
Prix en euros avec la carte&&& 40&65\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $x$ le nombre de séances, 
\item $P(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif normal, 
\item $A(x)$ le prix payé pour $x$ séances au tarif abonné.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\item Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$. 
\item Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$. 
\item Représenter graphiquement la fonction $P$ et la fonction $A$ sur une feuille de papier millimétré en prenant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  en abscisse: 1~cm pour 1~séance, 
\item en ordonnée : 1~cm pour 5~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\item Résoudre l'équation : $7,5x = 20 + 5x$. 
\item En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d'abonnement.
 
Expliquer comment on retrouve ce résultat sur le graphique. 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%  Fin Antilles--Guyane septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole La Réunion  septembre 2008
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole La Réunion ~\decofourright\\septembre 2008}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le PGCD de 240 et 375.
\item  Déterminer la fraction irréductible égale à $\dfrac{240}{375}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

\begin{tabular}{|ll|}\hline
On considère le programme de calcul :&	Choisir un nombre\\
&a. Calculer le carré de ce nombre.\\
&b. Multiplier par 10.\\
&c. Ajouter 25.\\
&Écrire le résultat.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact.
\item  On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
\item  Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
\item  Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3\hfill }

\medskip

On a posé à des élèves de 3\up{e} la question suivante :

\og Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre $x$, on a : 

$5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$  ? \fg

\medskip

\begin{itemize}
\item  Léa a répondu: \og Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace $x$ par 3, on a :\\
$5 \times 3^2 - 10 \times 3 + 2 = 17$ et $7  \times 3 - 4 = 17$ ».
\item Myriam a répondu : \og Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace $x$ par $0$, on a :\\
$5 \times 0^2 - 10 \times 0 + 2 = 2$ et $7 \times 0 - 4 = -4$ ».
\end{itemize}
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill }

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{On considère un cercle de centre A et de rayon 5~cm.\\
Soit [EF] un de ses diamètres, M le point du segment [AE] tel que 
AM = 4~cm et P un point du cercle tel que MP = 3~cm.\\
\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur.}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,7)
\pscircle(3.4,3.4){3.4}
\psline(7,1)(0,5.85) \psline(0,3.4)(7,3.4)\psline(6.2,1.54)(6.2,3.4)
\psline(0,0)(0,7)
\uput[ul](0,3.4){F}\uput[ul](0,5.8){T}\uput[d](3.54,3.4){A} \uput[u](6.2,3.4){M}\uput[d](6.2,1.54){P}\uput[ur](6.8,3.4){E}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M.
\item  On trace la tangente au cercle en F ; cette droite coupe la droite (AP) en T.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les droites (FT) et (MP) sont parallèles.
		\item  Calculer la longueur AT.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

On considère un cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8~cm. On place sur ce cercle un point A tel que BA = 4~cm.

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure en vraie grandeur.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
		\item  Calculer la valeur exacte de la longueur AC.
Donner la valeur arrondie de AC au millimètre près.
		\item  Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item On construit le point E symétrique du point B par rapport au point A. Quelle est la nature du triangle BEC ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès de 170~élèves d'un collège sur l'utilisation du téléphone portable. Voici deux des questions posées dans cette enquête :\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{6.5cm}
Q1 : Possédez-vous un téléphone portable ?\\

Q2 : Quel abonnement avez-vous ?
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Résultats obtenus à la question Q1 : possédez-vous un téléphone portable ?\\

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponses		&	Oui	&	Non\\  \hline
Nombre d'élèves	&	125	& 	45\\  \hline
\end{tabularx}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur arrondie à l'unité du pourcentage d'élèves possédant un téléphone portable.
		\item  Peut-on dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable ?
	\end{enumerate}

\item Résultats obtenus à la question Q2 : quel abonnement utilisez-vous ?

\medskip

Les réponses des 125~élèves ayant un téléphone portable sont représentées dans le diagramme ci-dessous :
		
\begin{center}

\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
%\psgrid
\pscircle(0;0){3cm}
\pswedge[fillstyle=crosshatch]{3}{-30}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines]{3}{90}{205}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{3}{205}{260}
\pswedge[fillstyle=vlines]{3}{260}{330}
\rput(-3.5,2.5){Carte prépayée}
\rput(3.5,2){Compte bloqué}
\rput(3.6;23){1 heure}
\rput(3.6;-65){Forfait 1 heure}	
\rput(3.7;-130){Forfait 2 heures}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  32\:\% des 125~élèves ayant un téléphone portable ont une carte prépayée. Quel est le nombre d'élèves concernés ?
		\item  Déterminer à l'aide du diagramme une valeur approchée du nombre d'élèves ayant un compte bloqué 1~heure. Expliquer la démarche utilisée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\bigskip

Sophie, Julie et Marie viennent d'avoir leur premier téléphone portable.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	Julie a un compte bloqué à 20~\euro{} par mois pour une heure de communication (une fois l'heure utilisée, elle ne peut plus téléphoner jusqu'au mois suivant).
\item[$\bullet~$]	Marie a un forfait à 17~\euro{} par mois qui lui permet de téléphoner 45 minutes et ensuite chaque minute consommée est facturée 0,50~\euro.
\item[$\bullet~$]	Sophie a un abonnement de 10~\euro{} et chaque minute consommée est facturée 0,25~\euro.
\end{itemize}

Sont représentés sur le graphique de la feuille annexe

\begin{itemize}
\item  le prix payé par Julie chaque mois en fonction de sa consommation,
\item  le prix payé par Marie chaque mois en fonction de sa consommation.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Julie ?

Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Marie ?
\item   Par lecture graphique, préciser à partir de quelle durée exprimée en minutes le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Si on désigne par $x$ la durée mensuelle en minutes de communication, donner en fonction de $x$ le prix payé chaque mois par Sophie.
		\item  Sur la feuille annexe, représenter graphiquement le prix payé chaque mois par Sophie en fonction de sa consommation.
	\end{enumerate}
\item Le mois dernier, Marie et Sophie ont payé chacune 30~\euro. Laquelle des deux a téléphoné le plus longtemps ? Justifier.
\end{enumerate}
		
\newpage
		
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.13cm,yunit=0.266cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(80,40)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(80,40)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-3)(80,40)
\psline[linewidth=2pt](0,20)(80,20)
\psline[linewidth=2pt](0,17)(45,17)(80,34.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](70,-4){Durée en minutes}
\rput{90}(-7,35){Prix en euros}
\uput[u](20,20){T1}\uput[d](20,17){T2}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Polynésie septembre 2008
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2008~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\begin{center}

Cette page doit être rendue avec la copie 
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

Trouver la réponse correcte et écrire le numéro correspondant dans la colonne de droite.

\emph{Les détails des calculs ne sont pas demandés sur la copie.}


\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.25cm}|}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse Numéro 1&Réponse Numéro 2&	Réponse Numéro 3&\footnotesize	Numéro de la réponse choisie\\ \hline
A&\rule[-3mm]{0mm}{10mm} $\dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}$ est égal à &$\dfrac{111}{4}$&$18$&$\dfrac{35}{2}$&	\\ \hline	
B&$\dfrac{14 \times 10^7 \times 27 \times 10^{- 3}}{21 \times 10^2}$  est égal à :&	\np{1800}&\np{18000000}&\np{18000}&  \\ \hline
C&	Le nombre $\left(30\sqrt{2}\right)^2$ est égal à :&	60&	\np{3600}&\np{1800}& \\ \hline	
D&	Pour tout nombre $x,{} (5x - 2)^2$ est égal à :&\vspace{0.2cm}	{\small $5x^2 -20x+4$}&\vspace{0.2cm}$25x^2 - 4$&\vspace{0.2cm}{\small $25x^2 - 20x + 4$}&\\ \hline
E&L'équation $(2x-3) (x +4)=0$ admet pour solutions :&\vspace{0.4cm}	$\dfrac{2}{3}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$\dfrac{3}{2}$ et $-4$&\vspace{0.4cm}$-\dfrac{3}{2}$ et $4$& \\ \hline
F&Un objet coûte \np{12000}~F{}.  Son prix augmente de 5\:\%. Quel sera son nouveau prix ?&\vspace{0.8cm}\np{12600}~F&\vspace{0.8cm}\np{12500}~F&\vspace{0.8cm}\np{11 400}~F& \\ \hline	
G&Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ?&\vspace{0.8cm}	2~h 20 min&\vspace{0.8cm}	2~h 12 min&\vspace{0.8cm}	60 min&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés.

Il veut confectionner des coffrets \og Souvenirs de Tahiti et ses Îles \fg{} de sorte que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ;
\item[$\bullet~$] le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ;
\item[$\bullet~$] toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Combien de coffrets contenant chacun 10 porte-clés pourra-t-il confectionner ?

Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée.
		\item Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner ?
		
Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-3.3,-3)(3,3.5)
\pscircle(-0.3,-0.2){2.7} \pspolygon(-3,0)(2.4,-0.42)(-1.35,2.3)(0.8,-2.65)%ABMN
\psline(-3,0)(-1.35,2.3) \psline(2.4,-0.42)(0.8,-2.7)
\uput[l](-3,0){A} \uput[r](2.4,-0.42){B} \uput[ul](-1.35,2.3){M} 
\uput[dr](0.8,-2.65){N} \uput[dl](-0.3,-0.2){O} \uput[ur](1.3,2){$\mathcal{C}$}
\psarc(-3,0){0.4cm}{-3} {57}\uput[ur](-2.6,0.3){60 \degre}
\end{pspicture}
}\hfill 
\parbox{0.48\textwidth}{On considère la figure ci-contre
dans laquelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] AB = 6~cm et $\widehat{\text{BAM}} = 60$ \degre ;
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB] ;
\item[$\bullet~$]  AMBN est un rectangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$.
\end{itemize}}
\medskip

\textbf{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente le cercle $\mathcal{C}$ pour le triangle AMB ?
\item Quelle est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O ?
\item Quelle est l'image du point M par la rotation de centre O, d'angle 120\degres, dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le cosinus de l'angle  $\widehat{\text{BAM}}$, calculer AM.
\item Combien mesure l'angle  $\widehat{\text{BOM}}$  ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,5.6)(0.3,1.1)(2.6,0)(3.8,1.1)(3.8,5.65)(2.6,4.6)%BEDFCA
\psline(3.8,5.65)(0.3,5.6) \psline[linestyle=dashed](0.3,1.1)(3.8,1.1)
\psline(2.6,0)(2.6,4.6)
\uput[dr](2.6,4.6){A} \uput[ul](0.3,5.6){B} \uput[ur](3.8,5.65){C} 
\uput[dr](2.6,0){D} \uput[l](0.3,1.1){E} \uput[r](3.8,1.1){F}
\uput[r](3.2,3.4){25} \uput[dl](1.6,5){12} \uput[u](2,5.6){15} \uput[dr](3.2,5.1){9}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\emph{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}\\
Un menuisier a fabriqué un objet en bois ayant la forme d'un prisme droit à base triangulaire.\\
Cet objet est représenté par le solide ABCDEF ci-contre tel que :\\
AB  = 12 ; AC  = 9 ; BC = 15 ; CF = 25.\\

\medskip

\fbox{\emph{Cette figure n'est pas en vraie grandeur}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item  Montrer que l'aire $\mathcal{B}$ du triangle ABC est égale à 54cm$^2$.
\item  En déduire le volume $\mathcal{V}$ du prisme droit en cm$^3$.

(On rappelle que : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$  avec $\mathcal{B}$ l'aire de la base en cm$^2$ et $h$ la hauteur du prisme en cm).
\item  Le menuisier souhaite tailler cet objet en le sectionnant par un plan parallèle à la face BCFE. L'intersection entre ce plan et la base ABC est le segment [MN].

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,4.5)
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(5.5,4.1)
\psline(1,0)(5.5,3.4)
\uput[dr](5.5,0){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[ur](5.5,4.1){C} \uput[d](1,0){M} \uput[r](5.5,3.4){N} \uput[d](2.75,0){10} 
\end{pspicture}
} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{(MN) // (BC)\\
AM = 10\\
AB = 12\\
AC = 9\\
BC =  15\\
 \emph{La figure ci-contre n'est pas en
vraie grandeur}  
}

Pour faciliter la découpe du bois, le menuisier veut connaître la longueur AN.

	\begin{enumerate}
		\item  Refaire cette figure en vraie grandeur.
		\item  Calculer AN.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\begin{center} 
\textbf{Une feuille de papier millimétré doit être utilisée et être rendue avec la copie}\end{center} 

Dans un cinéma, Manutea a le choix entre deux formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1\up{re} formule : Payer \np{1000}~francs par ticket.

\item[$\bullet~$] 2\up{e} formule : Acheter une carte de fidélité annuelle à \np{2500}~francs, puis payer 700~francs par ticket.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de tickets achetés en un an			&5	&\\ \hline
Prix à payer (en F) avec la 1\up{re} formule&	&\np{14000}\\ \hline
Prix à payer (en F) avec la 2\up{e} formule	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit $x$ le nombre de tickets achetés en 1 an.

On note F$_{1}$ le prix à payer (en francs) avec la première formule
et F$_{2}$ le prix à payer (en francs) avec la deuxième formule.

\medskip

Parmi les quatre fonctions suivantes :

\[x \longmapsto x + \np{1000}~~;~~x \longmapsto \np{1000}x~~;~~x \longmapsto 700x + \np{2 500}~~;~~x \longmapsto \np{2500}x + 700\]

laquelle correspond à F$_{1}$ ? Laquelle correspond à F$_{2}$ ?

\item Si l'on dépense \np{16500}~francs avec la deuxième formule, combien de tickets achète-t-on en an ?
\item Pendant ces cinq dernières années, Manutea a relevé le nombre de tickets de cinéma qu'il a achetés. Calculer le nombre moyen de tickets achetés par an.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&2003 	& 2004	&2005	&2006 	&2007\\ \hline
Nombre de tickets achetés	&1		&8		&20		&12		&14\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Manutea compte aller une fois par mois au cinéma cette année.

Quelle sera la formule la plus intéressante pour lui ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal d'origine O, avec O placé en bas à gauche de la feuille de papier millimétré, on prend les unités suivantes

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en abscisses  : 1 cm pour 1 ticket acheté.
\item[$\bullet~$] en ordonnées : 1 cm pour \np{1000}~francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ définies par :\\	$\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)& = &\np{1000} x\\
g(x)&=&700x + \np{2500}\\
\end{array}\right.$.

\begin{center} \textbf{On répondra aux questions 2 à 4 en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.}
\end{center}

\item  Pour 15 tickets de cinéma achetés en une année :

Quel est le prix à payer avec la première formule ?
\item  Avec un budget annuel de \np{12000}~F consacré au cinéma :

combien de tickets peut-on acheter au maximum avec la deuxième formule ?
\item  Sur une année, à partir de combien de tickets, la deuxième formule devient plus avantageuse que la première formule pour Manutea ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Sud novembre 2008
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{24 novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\24 novembre 2011}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Cet exercice est un exercice à  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$ point.

L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.

Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
  & Questions & Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline
1 &\rule[-2mm]{0mm}{7mm} $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}=\cdots$  & $-3\sqrt{2}$ & $-4,243$ & $-5\sqrt{10}$\\ \hline 
2 & Un carré de côté $3\sqrt{2}$ a pour aire : & $6$ & $12\sqrt{2}$ & $18$\\ \hline 
3 & L'expression factorisée de $x^2-16$ &n'existe pas & est $(x-4)(x+4)$ & est $(x-4)^2$ \\ \hline 
4 & Les solutions de l'inéquation $-2x-1<3$ sont les nombres $x$ tels que : & $x<-2$& $x>-2$ & $x>-1$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On propose deux programmes de calcul :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c|}{Programme B}\\
\hline
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Ajouter $3$.
\item Calculer le carré du résultat obtenu.
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Soustraire $5$.
\item Calculer le carré du résultat obtenu.
\end{itemize}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $1$ comme nombre de départ.
	\begin{enumerate}
	\item Quel résultat obtient-on avec le programme A ?
	\item Quel résultat obtient-on avec le programme B ?
	\item Peut-on en  déduire que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ?
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un sac contient $6$ jetons rouges et $2$ jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d'être tiré, un jeton.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge.
\item Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune.
\item On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors $6$ jetons rouges, $2$ jetons jaunes et les jetons verts. On tire un jeton au hasard.

Sachant que la probabilité de tirer un jeton vert est égale à  $\dfrac{1}{2}$, calculer le nombre de jetons verts.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\
Pour  chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.\\
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.\\
Pour chacune des $3$ questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}\\

Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :\\

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(18.5,6.2)
\psline(7.6,0.4)(3.4,0)(0,1.8)(6.2,2.3)
\psline(11,0.7)(18.3,1.3)(14.8,3.1)(12.1,2.9)
\psarc(9.1,3){2.85}{-25}{217}
\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{217}{254}
\psarc(9.1,3){2.85}{254}{304}
\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{304}{336}
\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.5,0.35){180}{0}}
\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.35){0}{180}}
\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.85,0.4){180}{0}}
\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.85,0.4){0}{180}}
\psline[linestyle=dashed](8.9,6.)(9.3,0.1)
\psdots[dotscale=0.75](9.1,3)(9.15,2.3)(9.2,1.6)(11.2,2)
\psline[linestyle=dashed](9.2,1.6)(11.2,2)(9.1,3)
\uput[r](9.1,3){\footnotesize O} \uput[r](9.15,2.3){\footnotesize R} \uput[r](9.2,1.6){\footnotesize H} \uput[ur](11.2,2){\footnotesize M}
\rput(3.5,0.6){$\mathcal{P}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 



\begin{itemize}
\item O est le centre de la sphère,
\item le plan ${\cal P}$ coupe la sphère suivant un cercle de centre H,
\item M est un point de ce cercle,
\item R est le milieu de [OH].\\
\end{itemize}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}

\hline
\textbf{1.} & Le point R appartient ...  & à  la sphère de centre O et de rayon OM. & à  la boule de centre O et de rayon OM. & au plan ${\cal P}$.\\ 
\hline 
\textbf{2.} & La distance du point O au plan ${\cal P}$ est ... & OM & OR & OH
\\ \hline 
\textbf{3.} & Si OM = 11,7~cm et HM = 10,8~cm, alors OH = $\cdots$ &
4,5~cm & 1,2~cm & 20,25~cm \\ 
\hline 

\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que CB = 7~cm et AB = 3~cm.

On appelle I le milieu du segment [CB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure en vraie grandeur.
\item Calculer la longueur exacte du segment [AC]. En donner la valeur arrondie au millimètre près.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ arrondie à  $0,1\degres$ près.
\item Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En préciser le centre et le rayon.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ au degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre.

Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E.

AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; 

DB = 8,4 ; BE = 10,5.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,3)
\pspolygon(0,0)(7.5,0)(7.5,2.3)(0,-3.3)
\uput[ul](0,0){A} \uput[ul](4.5,0){B} \uput[dl](0,-3.3){C} \uput[dr](7.5,0){D} \uput[ur](7.5,2.3){E}
\uput[u](2.25,0){12} \uput[d](6,0){8,4}\rput{40}(6,1.45){10,5}
\rput{40}(2.25,-1.95){15}\uput[l](0,-1.65){9}
\end{pspicture}
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
\item Calculer la longueur du segment [ED].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip 

De façon à  récupérer l'eau de pluie de son toit, Lucas décide d'installer un récupérateur d'eau dans le sol de son jardin. La profondeur dont il dispose est de $2,5$~m.

Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous.

Les dimensions sont en mètres.

Le premier modèle a la forme d'un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas, $x$ peut varier entre 0,5~m et 1,5~m.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4)
\psframe(0,0)(5,2.6)
\psline(5,0)(6.8,0.9)(6.8,3.5)(5,2.6)
\psline(6.8,3.5)(1.8,3.5)(0,2.6)
\uput[r](6.8,2.2){2,5}\uput[u](4.3,3.5){3}\uput[ul](0.9,3.05){$x$}
\rput(3.4,-0.5){Réservoir $R_1$}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4)
\psline(0,0.4)(0,2.7)\psline(5.2,0.4)(5.2,2.7)
\psellipse(2.6,2.7)(2.6,0.525)
\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,0.525){0}{180}
\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.6,0.4)(2.6,0.525){180}{0}
\uput[r](5.28,1.45){2,5}
\psline(2.6,2.7)(4.5,3.05)
\uput[u](3.55,2.8){$x$} \rput(2.5,-1){Réservoir $R_2$}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau fourni en annexe. \emph{Les détails des calculs des valeurs exactes devront figurer sur votre copie.}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_1$ est : $7,5x$.
	\item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_2$ est : $2,5\pi x^2$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $ f_1~:~x \longmapsto 7,5x$. Préciser la nature de cette fonction.
\item Pour les valeurs de $x$ comprises entre $0,5$ et $1,5$, la fonction  $ f_2~:~x \longmapsto 2,5\pi x^2$	est déjà  représentée sur le graphique fourni en annexe.

Sur ce même graphique, représenter la fonction $f_1$.
\item Répondre aux questions suivantes à  l'aide du graphique.

\emph{On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le graphique.}

	\begin{enumerate}
		\item Quel est la valeur du réservoir $R_2$ pour $x = 0,8$~m ?
		\item Quel est le rayon du réservoir $R_2$ pour qu'il ait une contenance de $10~\text{m}^3$ ?
		\item Quel est l'antécédent de $9$ par la fonction $f_1$ ? Interpréter concrètement ce nombre.
		\item Pour quelle valeur de $x$ les volumes des deux réservoirs sont-ils égaux ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ le volume de $R_1$ est-il supérieur à  celui de $R_2$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ATTENTION :  CETTE FEUILLE EST À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

Problème-Question 1

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|m{3.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Longueur $x$ (en $m$)} &  $0,5$ & $1,2$ \\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{Volume du réservoir $R_1$ (en m$^3$)} & & \\ \hline
Volume du réservoir  & Valeur exacte & & \\ \cline{2-4}
$R_2$ (en m$^3$) & Valeur arrondie à  $0,1~m^3$ & & \\ \hline
\end{tabularx}


\vspace{2cm}

\psset{xunit=7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.6,18)
\multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,18)}
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.6,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1.6,18)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{1.5}{x dup mul 2.5 mul 3.1412596 mul}
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie décembre 2008
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{9 décembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}
\\
{\Large \textbf{9 décembre 2008 }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M. ) donné à la dernière page. Pour chacune des cinq questions, vous aurez trois réponses possibles dont une seule est exacte.

\textbf{Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe} en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne. Aucune justification n'est demandée. Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\[E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 8)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire l'expression algébrique $E$.
\item Factoriser l'expression algébrique $E$.
\item Calculer l'expression $E$ quand $x = \dfrac{3}{2}.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\emph{Dans la question $1$ de cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2006 puis le tiers du reste en 2007.

Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd'hui ?
\item Quelle est la superficie actuelle de sa propriété sachant qu'elle était au départ de 40~hectares ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

On donne la figure ci-après dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

On ne demande pas de refaire la figure.

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Les points A, B et E sont alignés, ainsi que les points C, B et D.

BA = 9,3 ; BC = 15,5 ; BD = 13,5 ; 

BE = 8,1 et DE = 10,8.

Les droites (AC) et (DE) sont parallèles.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,5)
\pspolygon(0.6,0)(6.4,1.6)(2.5,4.2)%CBA
\psline(1.75,0.32)(3.22,3.73)%DE
\uput[l](2.5,4.2){A} \uput[ur](6.4,1.6){B} \uput[ul](0.6,0){C} \uput[dr](1.75,0.32){D} \uput[ur](3.22,3.73){E} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC. Justifier.
\item Démontrer que le triangle BDE est un triangle rectangle en E.
\item Sans faire de calcul, démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\emph{Sur le schéma donné en annexe, un bateau est tombé en panne de moteur à l'approche d'une passe.}

\emph{Il n'est plus soumis qu'aux forces conjuguées du vent et du courant représentées par les vecteurs} $\vect{\text{VE}}$ \emph{et} $\vect{\text{CO}}$.

\medskip

\emph{Toutes les constructions de cet exercice seront à faire sur l'annexe de la dernière page que vous devrez rendre avec votre copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point A tel que $\vect{\text{GA}} =\vect{\text{VE}}$.
\item Construire le point B tel que $\vect{\text{GB}} =\vect{\text{CO}}$.
\item Construire le point T tel que $\vect{\text{GT}} =\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GE}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la demi-droite[GT) qui indique la trajectoire de la dérive du bateau.		
		\item Cette embarcation va-t-elle s'échouer sur le récif ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Fanny et Franck vont à Koumac. Franck part de Nouméa et Fanny part de Tontouta.

Les communes de Nouméa, Tontouta, La Foa et Koumac sont situées dans cet ordre, sur une même route, la RT1, comme le représente le schéma ci-dessous qui n'est pas à l'échelle.

\medskip

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(12,1.8)
\psline(0,0.9)(12,0.9)
\psline(0.4,0.7)(0.4,1.1) \psline(3.4,0.7)(3.4,1.1) 
\psline(6.3,0.7)(6.3,1.1) \psline(12,0.7)(12,1.1)
\uput[u](0.4,0.9){Nouméa}  \uput[u](3.4,0.9){Tontouna}  
\uput[u](6.3,0.9){La Foa}  \uput[u](12,0.9){Koumac}  
\end{pspicture}

\medskip
Le tableau ci-dessous indique la distance de Nouméa à ces villes en kilomètre.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Commune							&Tontouna	&La Foa	&Koumac\\ \hline
Distance de Nouméa en kilomètre	&50			&110	&365\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{Source : \emph{\og Country guide \fg{} Le petit futé }}
\end{tabularx}
\end{center}

Fanny et Franck partent en même temps.

Ils font une pause au bout de deux heures de trajet comme le recommande la sécurité routière : « \emph{toutes les deux heures, la pause s'impose ! }»

\medskip

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre que vous souhaitez.}

\medskip

\textbf{Partie 1 : Le trajet de Fanny et Franck avant leur pause}

\textbf{Dans cette partie, tous les résultats doivent être justifiées par des calculs.}

\medskip

Fanny roule à la vitesse moyenne de 70~km/h. Franck roule à la vitesse moyenne de 85~km/h.

Ainsi après avoir roulé une heure, Fanny est à à 70~km de Tontoura sur la RT1 direction Koumac, et Franck est à 85~km de Nouméa sur la RT1 direction Koumac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi au bout d'une heure, Fanny est à 120~km de Nouméa.
\item À combien de kilomètres de Nouméa se trouve Fanny au bout de deux heures de trajet ?
\item Au bout de combien de temps Franck se trouve-t-il à la Foa ?

Exprimer la durée, en heure, arrondie au dixième.
\item On note $x$ la durée du voyage exprimée en heure (avant la pause : $0 \leqslant x \leqslant 2$).

On note $f(x)$ la distance qui sépare Fanny de Nouméa et $g(x)$ celle qui sépare Franck de Nouméa.

Exprimer $f(x)$ puis $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : interprétation du graphique donné à l'avant-dernière page}

\medskip

\textbf{Par simple lecture du graphique, répondre aux questions suivantes :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel tracé (T$_{1}$ ou T$_{2}$) correspond au trajet de Fanny ? Au trajet de Franck ? Justifier.
\item Combien de temps dure la pause de Fanny et Franck ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps Franck rattrape-t-il Fanny ?
		\item À combien de kilomètres de Nouméa se trouvent-ils à ce moment-là ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\psset{xunit=2.4cm,yunit=0.043cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-20)(4.75,440)
\multido{\n=0.000+0.125}{39}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,440)}
\multido{\n=00+10}{45}{\psline[linestyle=dotted](0.,\n)(4.75,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(-0.25,-19)(4.75,440)
\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0)(2,170)(2.25,170)(4.25,340)(4.5,361.25)
\psline(0,50)(2,190)(2.25,190)(4.25,340)(4.5,357.5)
\uput[dr](0.5,40){T$_{1}$} \uput[ul](0.5,80){T$_{2}$}
\uput[dr](4.25,340){A} \uput[d](4,-10){Temps en heure}
\rput{90}(0.25,400){Distance en km}
\end{pspicture}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : exercice 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \hline
\textbf{1.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}$ est égal à &$- \dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{12}$&$1$\\ \hline
\textbf{2.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\sqrt{18} - \sqrt{8}$ est égal à &$\sqrt{2}$&$\sqrt{10}$&$5\sqrt{2}$\\ \hline
\textbf{3.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $4x - 3 = 7x + 6$ a pour solution&3&$\dfrac{9}{11}$&$-3$\\ \hline
\textbf{4.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $\dfrac{3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-3}}$ est égal à &5&\nombre{0,000005}&0,2\\ \hline
\textbf{5.}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} L'équation $(2x - 3)(3x + 5)$  a pour solution&$-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{5}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(16,7)
\pscurve(0,3.1)(1,3.4)(2,3.65)(3,3.9)(4,4.05)(5,4.25)(6,4.5)(7,4.65)(7.6,4.8)(7,5.05)(6,5.2)(5,5.1)(4,4.8)(3,4.6)(2,4.65)(1,4.5)(0,4.3)
\pscurve(15,5.75)(14,5.5)(13,5.25)(12,5.05)(11,5)(10,4.9)(9.5,5.3)(10,5.4)(11,5.7)(12,6)(13,6.3)(14,6.4)(15,6.7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3.3,0.2)(3,2.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(12.5,0.7)(14.1,2.6)
\psline(6.5,1)(6.9,0.15)(7.35,0.3)(6.95,1.15) \pscurve(6.95,1.15)(6.8,1.4)(6.5,1.45)(6.5,1) 
\uput[l](3.3,0.2){V} \uput[l](3,2.5){E} \uput[ul](14.1,2.6){O}
\uput[ul](12.5,0.7){C}\uput[r](3.1,1.45){Vent} \rput(14.2,1.5){Courant}
\rput(3.5,4.3){Récif} \rput(13,5.6){Récif}\rput(8.6,5){Passe}
\psline(7,0.4)(7.15,0.46)(7,0.8)\pscurve(7,0.8)(6.7,1.2)(6.67,1)(6.8,0.7)(7,0.4) \rput(6.85,0.8){$\times$} \rput(6.2,0.7){G}
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie décembre 2008
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie mars 2009
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  Nouvelle Calédonie mars 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.

\bigskip 
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip  
 
On considère le programme de calcul ci-dessous. 

\begin{center}
 
\fbox{\begin{minipage}{7cm}Programme de calcul : 

$\bullet~$ Choisir un nombre de départ
 
$\bullet~$ Ajouter 1
 
$\bullet~$ Calculer le carré du résultat obtenu
 
$\bullet~$ Lui soustraire le carré du nombre de départ 

$\bullet~$ Écrire le résultat final.
\end{minipage}} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. 	 
		\item Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?  
		\item Le nombre de départ étant $x$, exprimer le résultat final en fonction de $x$. 
	\end{enumerate} 
\item  On considère l'expression $P = (x + 1)^2 - x^2$.  
     Développer puis réduire l'expression P. 
 
\item  Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :} 

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique des grandeurs physiques et démographiques des pays et territoires  constituant la Mélanésie en 2005.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Pays et territoires de Mélanésie&\footnotesize  Superficie terrestre (en km$^2$)&\footnotesize  Densité en 2005 
(nombre d'habitants par km$^2$)\\ \hline 
Iles Fidji					& \np{18 272}	& 45\\ \hline  
Iles Salomon				& \np{28 370}	& 17\\ \hline  
Nouvelle-Calédonie			& \np{18 576}	& 13\\ \hline  
Papouasie-Nouvelle-Guinée	& \np{462 840}	& 13\\ \hline  
Vanuatu						& \np{12 190}	& 18\\ \hline
\multicolumn{3}{c}{Source : \emph{Institut de la Statistique et des Études Économiques.}} \\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la superficie terrestre totale de la Mélanésie ? 
\item  Quel pourcentage de la superficie totale représente la superficie de la Nouvelle-Calédonie ? 

Donner le pourcentage obtenu arrondi au dixième près. 

\item  Calculer le nombre d'habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005.

\end{enumerate} 
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 :} 
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux. 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714.

		\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{850}{714}$.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES  \hfill       12 points}

\bigskip 
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip  
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.}

\emph{ Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.}

\medskip
 
\textbf{Pour chacune des cinq questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la  réponse exacte.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.}&Si $\tan x = 54$ alors la valeur approchée  de $x$  arrondie au degré près est égale à : &1\degres& 88\degres  &89\degres\\ \hline 
\textbf{2.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1.5,0)(0.75,1.999)
\psline(1.5,0)(3,0) \psarc(1.5,0){0.3cm}{0}{116}
\uput[ur](1.7,0.2){103\degres} \psarc(0.75,1.999){0.3cm}{-116}{-64}
\rput(4,1.5){La valeur de} \rput(4,1){$a$ est égale à :}
\rput[d](0.75,1.5){$a$}
\psline(0.3,1.1)(0.5,0.9) \psline(1.1,0.9)(1.3,1.1)\end{pspicture} &77\degres&  36\degres  &26\degres\\ \hline  
\textbf{3.}& Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées des points 
A et B sont : A$(3~;~-2)$ et B$(-1~;~-1)$.
 
La distance AB est exactement égale à :& $\sqrt{17}$& 4,123  & $\sqrt{13}$\\ \hline 
\textbf{4.}&  Une petite sphère a pour rayon $r$.
  
 Une grande sphère a pour rayon $R$, tel que  $R = 3r$. 
 
Soient $v$ le volume de la petite sphère et $V$ le volume de la grande sphère.

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)\pscircle(0.75,2){0.75} \pscircle(3.5,2){1.8}   
\psline(0.75,2)(1.5,2) \psline(3.5,2)(5.3,2)
\psellipse[linestyle=dashed](0.75,2)(0.75,0.25)
\psellipse[linestyle=dashed](3.5,2)(1.8,0.6)
\uput[u](1.25,2){$r$} \uput[u](4.4,2){$R$}\end{pspicture}
 
Quelle égalité est vraie ? &\rule[-70pt]{5mm}{} $V =  3v$&\rule[-70pt]{5mm}{} $V = 9v$ &\rule[-70pt]{5mm}{} $V = 27v$\\ \hline
\textbf{5.}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2)
\pspolygon(0.2,0)(2.2,0)(2.2,1.5)
\uput[d](1.2,0){4}\uput[r](2.2,0.75){3}\uput[ul](1.1,0.7){5}
\rput(4,0.75){$\dfrac{3}{5}$ est égal à :} 
\psarc(0.2,0){3mm}{0}{40} \uput[ur](0.6,0){$y$} 
\end{pspicture}&$\sin y$& $\cos y$& $\tan y$\\ \hline 
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :} 

\medskip
 
\emph{La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire.
L'unité est le centimètre.}
 
\medskip
 
Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE].
 
On donne : ED = 9 ;      EB = 5,4 ;      EC = 12 ;       EA = 7,2    ;   CD = 15 
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\pspolygon(0,0)(8.2,0)(3,4) \uput[dl](0,0){D} \uput[dr](8.2,0){C} \uput[u](3,4){E}
\psline(1.48,2)(5.6,2) \uput[l](1.48,2){B} \uput[r](5.6,2){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Calculer la longueur du segment [AB].  
\item  Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle  
$\widehat{\text{ECD}}$.                                                           
		\item  En déduire, sans faire de calcul, celle de l'angle $\widehat{\text{EAB}}$. Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME  \hfill          12 points}

\medskip
 
Les parties A et B sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip 
 
Dans un magasin de location, le gérant a comptabilisé le nombre de DVD loués au cours d'une semaine et il a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.15cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-8} 
\multicolumn{1}{m{1.15cm}|}{}&\small Lundi&\small  Mardi&\small  Mercredi&\small  Jeudi&\small  Vendredi&\small  Samedi& {\footnotesize  Dimanche}\\ \hline 
Nombre de DVD loués& 19& 15& 16& 14& 20& 74& 52\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le nombre total de DVD loués sur la semaine entière ? 
\item  Calculer le nombre moyen de DVD loués par jour durant cette semaine. 
\item  Calculer le pourcentage de DVD loués pendant le week-end (samedi et dimanche)  par rapport à la semaine entière. 
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip 
 
Dans un magasin de location de DVD, on propose à la clientèle deux formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif plein : 500~F par DVD loué. 
\item[$\bullet~$] Tarif abonné : \np{2000}~F pour l'achat d'une carte d'abonné, puis 300~F par DVD loué . 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{On note $x$ le nombre de DVD loués, $P(x)$ le prix payé au tarif plein et $A(x)$ le prix payé au tarif abonné.} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :  

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de DVD loués : $x$		& 2	& 5			&8			& 12\\ \hline 
Prix payé avec le tarif plein :
 $P(x)$ en Franc.				&	& \np{2500}	&			&\\ \hline    
Prix payé avec le tarif abonné :
 $A(x)$ en Franc.				&	&			&\np{4400}	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip   
 
\item \emph{On admettra que $P$ est une fonction linéaire, $A$ est une fonction affine, et donc que leurs  représentations graphiques sont des droites.}

 Représenter dans un repère orthogonal les deux tarifs 
en fonction du nombre de DVD loués. (on placera l'origine du repère en bas à gauche, on prendra 1~cm pour 1 DVD loué en abscisse et 2~cm pour \np{1000}~F en ordonnée) 
 
\item En utilisant  le graphique : donner le nombre de DVD pour lequel le prix est le même dans les  deux tarifs puis,  préciser le tarif le plus avantageux en fonction du nombre de DVD loués. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P(x)$ et $A(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Retrouver par le calcul le nombre de DVD pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule choisie. 
    	\end{enumerate}     
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie mars 2009
\end{document}