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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Afrique de l'Ouest
juin 2002~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,15cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : A$ = \dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3} \times \dfrac{21}{15}$.

Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible en indiquant
les étapes intermédiaires du calcul.
\item En utilisant la calculatrice ou non, écrire

\[\text{B}=\dfrac{3,2\times 10^{-3}\times5\times\left(10^{2}\right)^{3}
}{4\times10^{-2}}\]

 sous la forme d'un nombre en écriture scientifique.
\item Montrer que
$\text{C}=\left(2+\sqrt3\right)^{2}+\left(1-2\sqrt3\right)^{2}$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $D = (4x + 1)(x - 3) - (x - 3)^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(x - 3)(3x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
2x+3y&=&17\\
x-y&=&1\\
\end{array}
\right.\]

\item Un classeur coûte 1~\euro{} de plus qu'un cahier. Le prix de
deux classeurs et de trois cahiers est 17~\euro. Quel est le prix
d'un classeur et celui d'un cahier ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On considère la figure ci-contre. (la figure n'est pas à l'échelle.)
\begin{enumerate}
\item Les droites (IG) et (JH) se coupent en un point A.

Le point E est sur (JH) et le point $F$ est sur (IG).

Les droites (EF) et (HG) sont parallèles.

On a :

AE = 3 cm ; AF = 4 cm ;

AH = 7 cm ; EF = 6 cm.

Calculer les longueurs AG et HG en justifiant la démarche utilisée.

Donner les résultats sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction irréductible.
\item On a : AI = 6 cm et AJ = 4,5 cm.

Les droites (IJ) et (EF) sont-elles parallèles ?

Justifier la démarche utilisée.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,8.5)
\psline(2.9,8)(1.2,7)(3.4,1.8)(0,0)(2.9,8)%IJHGI
\psline(2.78,3.23)(0.8,2.15)%EF
\uput[l](1.9,5.3){A} \uput[r](2.78,3.23){E} \uput[l](0.8,2.15){F} \uput[dl](0,0){G} 
\uput[dr](3.4,1.8){H} \uput[ur](2.9,8){I} \uput[ul](1.2,7){J} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un triangle ABD rectangle en B est tel que AB = 9 cm et l'angle
$\widehat{\text{BAD}} = 40~\degres$.
\begin{enumerate}
\item Tracer ce triangle.
\item Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ;
on en donnera une valeur arrondie au millimètre.
\item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABD
(\emph{aucune justification n'est attendue pour cette construction}) ; on précisera la position du centre I de ce cercle.
\item Tracer la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$. Elle coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en S ; placer le point S sur la figure.
\item Déterminer la mesure exacte de l'angle $\widehat{\text{SIB}}$ en justifiant la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un
confiseur.

Pour cela, il considère une pyramide régulière SABCD à
base carrée où O est le centre du carré ABCD.

On a : OA = 12 cm et SA = 20 cm.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5)
\psline(0,0)(2.8,0)(4.3,1.6)(1.8,4.2)(0,0)%ABCSA
\psline(2.8,0)(1.8,4.2)%SB
\psline(1.1,2.5)(2.2,2.5)(2.8,3.2)%IJK
\psline[linestyle=dotted](1.1,2.5)(1.7,3.2)(2.8,3.2)%ILK
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4.3,1.6)%AC
\psline[linestyle=dashed](2.8,0)(1.6,1.6)%BD
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.6,1.6)(4.3,1.6)%ADC
\psline[linestyle=dotted](1.1,2.5)(2.8,3.2)%IK
\psline[linestyle=dotted](2.2,2.5)(1.7,3.2)%JL
\psline[linestyle=dotted](1.8,4.2)(1.6,1.6)%SD
\uput[dl](0,0){A}  \uput[dr](2.8,0){B} \uput[r](4.3,1.6){C} 
\uput[ul](1.6,1.6){D} \uput[l](1.1,2.5){I} \uput[dr](2.2,2.5){J} 
\uput[ur](2.8,3.2){K} \uput[ul](1.7,3.2){L} 
\uput[dl](1.97,2.82){M}  \uput[dl](2.2,0.81){O} \uput[u](1.8,4.2){S} 
 \end{pspicture}}
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm.
\item L'artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à
la base tel que SM = 2 cm où M est le centre de la section IJKL ainsi
obtenue.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL.
		\item En déduire la longueur SI puis la longueur IA.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}}
\end{center}

L'artisan fabrique donc des boîtes sur le modèle du tronc de pyramide
ABCDIJKL.

Le confiseur vend ces boîtes remplies de bonbons et de
chocolats à une grande surface.

Deux tarifs sont proposés au choix :

\begin{itemize}
\item \textbf{Tarif A} : 2 \euro{} la boîte tous frais compris.
\item \textbf{Tarif B} : 300 \euro{} de frais quel que soit
le nombre de boîtes achetées et la boîte est vendue
1,5 \euro.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de boîtes achetées par la grande surface est noté $x$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $S_{\text{A}}$ la somme à payer pour l'achat de $x$ boîtes au tarif A.

Exprimer $S_{\text{A}}$en fonction de $x$.
		\item On note $S_{\text{A}}$ la somme à payer pour l'achat de $x$ boîtes au tarif B.

Exprimer $S_{\text{A}}$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal $(O,I,J)$.

Les unités choisies sont :
\begin{itemize}
\item en abscisses : $1cm$ pour 100 boîtes ;
\item en ordonnées : $1cm$ pour 100 \euro ;
\end{itemize}
\medskip

Dans ce repère, tracer les droites $(d)$ et $(d')$ suivantes :

$(d)$ représentative de la fonction $f: x \longmapsto 2x$

$(d')$ représentative de la fonction $g: x \longmapsto 1,5x+300$
\item En utilisant le graphique précédent, déterminer la formule la
plus avantageuse pour la grande surface dans les deux cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item pour l'achat de 500 boîtes ;
		\item pour l'achat de 700 boîtes.
	\end{enumerate}
\item On voudrait savoir à partir de quel nombre de boîtes achetées le
tarif B devient plus avantageux pour la grande surface que le tarif A.

Déterminer ce nombre à l'aide de la résolution d'une équation.
\end{enumerate}
%%%%%%%   Fin Afrique de l'Ouest
\end{document}