\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Afrique de l'Ouest  juin 2003},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Afrique de l'Ouest}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Afrique de l'Ouest  juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit A$ = 5\sqrt{18}$ et B$=3\sqrt{50}$.

Écrire A et B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

Que remarquez-vous ?
\item Soit C$ = 2 - \sqrt{2}$ et D$ = 2 + \sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que C $\times$ D est entier.
		\item Calculer C$^{2}$ et écrire le résultat sous la forme
$a+b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ entiers.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression
$E=\left(x + 1 \right)^{2}-\left(x + 1 \right) \left( 2x - 3\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = \dfrac{1}{2}$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation
$(x + 1 )(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le PGCD des nombres $372$ et $775$ est égal à $31$ ;
écrire les calculs.
\item Un chef d'orchestre fait répéter $372$ choristes hommes et $775$
choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de
répétition de sorte que :
\begin{itemize}
\item le nombre de choristes femmes est le même dans chaque groupe ;
\item le nombre de choristes hommes est le même dans chaque groupe ;
\item chaque choriste appartient à un groupe.
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire ?
		\item Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes
femmes dans chaque groupe ?
	\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
\begin{center}\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-3,-7)(11,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-7)(11,7)
\qdisk(-2,-2){1.5pt} \qdisk(2,-4){1.5pt} 
\qdisk(6,4){1.5pt} \qdisk(10,2){1.5pt} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-2,-2){A} \uput[dl](2,-4){B} 
\uput[ur](6,4){C} \uput[dr](10,2){D}
\uput[d](1,0){I}  \uput[l](0,1){J} \uput[d](2,0){2}
 \uput[l](0,2){2}  \uput[d](10.5,0){$x$}
 \uput[l](0,6.5){$y$}
 \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-3,0)(11,0)
 \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-7)(0,7) 
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées des points A, B et C.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et
$\vect{\text{BD}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6 cm
et BC=10 cm.
\item Calculer AC.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point I milieu du segment [BC] puis tracer la médiane (AI) du triangle ABC.
		\item Montrer que IA = 5 cm.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M sur le segment [AI] tel que IM = 2 cm.
		\item Tracer la parallèle à (AB) passant par M et le point P en
lequel elle coupe [BC].
		\item Calculer IP.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur le segment [IC] le point N tel que IN = 2 cm puis
tracer la droite (MN).
		\item Démontrer que (MN) et (AC) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie A}}
\end{center}

Les élèves d'une classe de troisième ont eu deux notes sur 20 en
mathématiques au cours du premier trimestre.

La première note a été
un contrôle : on l'appelle $x$.

La deuxième a été obtenue à un devoir
: on l'appelle $y$.\\Le professeur fait la moyenne pondérée $M$ de ces
deux notes : $M=\dfrac{3x+2y}{5}$.

\emph{On dit que $x$ est affecté du coefficient} 3 \emph{et $y$ du
coefficient} 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dorian a eu $12$ en contrôle et $15$ en devoir.

Calculer la moyenne pondérée de Dorian.
\item Lucie a eu $12,5$ en devoir.

Montrer que sa moyenne pondérée peut alors être calculée par la
formule : $M=0,6x+5$.
\item \emph{Les calculs nécessaires doivent figurer sur la copie.}
On considère la fonction suivante :
\[f : x  \longmapsto 0,6x + 5\]
Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer la droite $(d)$ qui
représente la fonction $f$.

On se limitera à des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $20$.
\item On cherche la note de contrôle $x$ qui a permis à Lucie
d'obtenir une moyenne pondérée de $14$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ en faisant apparaître
sur le graphique les constructions utiles.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Lucie se demande si elle aurait pu obtenir une moyenne pondérée
supérieure ou égale à $17$.

Après avoir traduit ce problème par une inéquation, déterminer quelles
notes elle devait obtenir en contrôle pour cela.\\[1cm]
\end{enumerate}

\vspace*{-0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie B}}
\end{center}
Après les avoir arrondies, le professeur dresse un tableau des moyennes obtenues par les élèves de sa classe au premier trimestre.

\begin{center}
{\scriptsize \begin{tabular}{|m{2cm}|*{15}{c|}}
\hline
\textbf{Moyennes sur 20}
&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\
\hline
\textbf{Nombre d'élèves ayant la note indiquée au-dessus}
&1&1&2&2&1&4&2&1&0&2&2&1&1&2&1 \\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter cette série par un diagramme en bâtons

(1 cm pour un point en abscisse et 2 cm pour un élève en
ordonnées).
\item Quel est le nombre d'élèves dans la classe ?
\item Calculer la moyenne de la classe pour ce trimestre (arrondir au
dixième).
\item Quelle est la médiane de cette série de notes ?
\item Quel pourcentage d'élèves a obtenu une moyenne inférieure
strictement à $9$ ? (Arrondir au dixième.)
\end{enumerate}
%%%%%%    Fin Afrique juin 2003
\end{document}