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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Aix-Marseille, Corse, Montpellier,\\ Nice, Toulouse}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille 27 juin 2006 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

En précisant les différentes étapes de calcul :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible :

\[\text{A} = \dfrac{3 - \dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3} \times 7}\]

\item Écrire le nombre B ci-dessous sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{B} = \sqrt{300} - 4 \sqrt{3} + 3\sqrt{12}\]

\item Donner l'écriture scientifique de C :

\[\text{C} = \dfrac{19 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{14 \times10^{-2}}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne :
\[D = (2x - 3)(5 - x) + (2x - 3)^2\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(2x - 3)(x + 2)$ =$ 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
  
\[\left\{\begin{array}{l c l}
6x + 5y 	& =	&57\\
3x + 7y	&=	&55,5\\
\end{array}\right.\]

\item Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57~\euro{} ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50~\euro. Quel est le prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire.

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.

Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.

AB = 3 cm

FC = 8,4 cm

FG = 11,2 cm} \hfill 
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(5.5,4.1)
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(1.8,3.9)(4.6,3.9)
\uput[dl](0,0){G} \uput[dr](5.5,0){F} 
\uput[l](1.8,3.9){A} \uput[r](4.6,3.9){B} \uput[u](3.1,2.6){C}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur CA.
\item Soient D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que :

FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et
 $\widehat{\text{BAC}} = 40$ \degres.
\item Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.
		\item Tracer ce cercle.
	\end{enumerate}
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

Pour la pyramide SABCD ci-dessous :

\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,8)
\psline(5.6,1.4)(3.2,7.7)(3.6,0.4)(0,0.4)(3.2,7.7)%CSBAS
\psline(5.6,1.4)(3.6,0.4)
\psline(4.4,4.5)(3.4,4)(1.6,4)%rectangle haut
\psline[linestyle=dashed](3.2,7.7)(2.94,0.9)%SO
\psline[linestyle=dashed](3.2,7.7)(2.2,1.5)(0,0.4)(5.6,1.4)(2.2,1.5)%SDACD
\pspolygon[linestyle=dashed](1.6,4)(2.6,4.5)(4.4,4.5)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0.4)(2.2,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3.4,4)(2.6,4.5)
\uput[u](3.2,7.7){S} \uput[dl](0,0.4){A} 
\uput[dr](3.6,0.4){B} \uput[ur](5.6,1.4){C} 
\uput[ul](2.2,1.5){D} \uput[dl](2.9,0.9){O} \uput[ul](3.15,4.3){O$'$} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{La base est le rectangle ABCD de centre O.\\
AB = 3 cm et BD = 5 cm.

La hauteur [SO] mesure 6 cm.

\begin{enumerate}
\item Montrer que AD = 4 cm.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm$^3$.
\item Soit O$'$ le milieu de [SO]. On coupe la pyramide par un plan passant par O$'$ et parallèle à sa base.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la section A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenue ?
		\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction.
		\item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip  

La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour la saison 2004-2005 :

Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros.

Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 euros, on bénéficie d'une réduction de 30\:\% sur le prix de chaque journée à 20 euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de ski 
pour la saison 2004-2005		&5		&8	& \\ \hline
Coût en euros avec le tarif A	&100	&	&220\\ \hline
Coût en euros avec le tarif B	&130	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de journée de ski durant la saison 2004-2005.

Exprimer en fonction de $x$ : 
	\begin{enumerate}
		\item le coût annuel C$_{\text{A}}$ en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A. 
		\item le coût annuel C$_{\text{B}}$ en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.
	\end{enumerate}
\item Sachant que Yann adhérent au club a dépensé au total 242~\euro{}, combien de jours a-t-il skié ?
\item Sur le papier millimétré (à rendre avec votre copie), dans un repère orthogonal, prendre :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski.
\item en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille.

Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines $f$ et $g$ définies par : $f(x) = 20x~ ;~ g(x) = 14x + 60$.
\item Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître sur le graphique les traits nécessaires).
	\begin{enumerate}
		\item  Léa doit venir skier douze journées pendant la saison 2004-2005. Quel est pour elle le tarif le plus intéressant ? Quel est le prix correspondant ? 
		\item En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document} 