\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{pst-plot} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Aix-Marseille   juin 2004},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004 \decofourright\\ 
Aix - Corse - Marseille - Montpellier - Nice - Toulouse}}

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne A $ = \dfrac{3}{7} - \dfrac{15}{7} + \dfrac{5}{24}$. 

Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item  On donne B $ = \sqrt{300} - 4 \sqrt{27} + 6\sqrt{3}$. 

C $= \left(5 + \sqrt{3}\right)^2$ 

D $= \left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2} - \sqrt{5}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire B sous la forme $b\sqrt{3}$ où $b$ est un nombre entier. 
		\item  Écrire C sous la forme $e + f\sqrt{3}$ avec $e$ et $f$ entiers. 
		\item  Montrer que D est un nombre entier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$. 
\item Factoriser $E$. 
\item Calculer $E$ pour $x = - 2$. 
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(x - 3) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la 
fréquentent. Les résultats de l'enquête sont notés dans le tableau 
ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en 
fonction de leur âge (en années) : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Âge & [0 ; 10[& [10 ; 20[& [20 ; 30[& [30 ; 40[& [40 ; 50[\\ \hline
Centre de classe & 5 & \ldots & \ldots& \ldots& \ldots\\ \hline
Effectifs &27&45&48&39&42\\ \hline \hline
Âge& [50 ; 60[& [60 ; 70[&  [70 ; 80[& [80 ; 90[&\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-5}
Centre  de classe& \ldots & \ldots& \ldots& \ldots&\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-5}  
Effectifs &36&33&24&6&\multicolumn{1}{c}{}\\\cline{1-5}
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessus (annexe 1 de votre sujet) en indiquant le centre de chaque classe d'âge. 
\item Calculer l'âge moyen des skieurs fréquentant cette station. 
\item Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge 
strictement inférieur à 20 ans ? 
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous : 

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4) 
\psframe(4.5,2.8) 
\psline(0,2.8)(0.9,3.7)(5.4,3.7)(4.5,2.8)%ABCD 
\psline(4.5,0)(5.4,0.9)(5.4,3.7)%HGC 
\psline(0,2.8)(5.4,3.7)%AC 
\psline[linestyle=dotted](0,0)(5.4,0.9)%EG 
\psline[linestyle=dotted](5.4,0.9)(0.9,0.9)(0.9,3.7)%GFB 
\psline[linestyle=dotted](0.9,0.9)(0,0)%FE 
\uput[l](0,2.8){A} \uput[ul](0.9,3.7){B} \uput[ur](5.4,3.7){C} 
\uput[dr](4.5,2.8){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ur](0.9,0.9){F} 
\uput[r](5.4,0.9){G} \uput[dr](4.5,0){H} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Observer la figure et compléter le tableau ci-dessous (annexe 1 de votre 
sujet). Sans justification. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|| l|| c ||}\hline 
OBJET& NATURE DE L'OBJET\\ \hline \hline 
Triangle ABC& \\ \hline \hline 
Angle $\widehat{\text{ABF}}$&\\ \hline \hline 
Quadrilatère ABFE & \\ \hline \hline 
Angle $\widehat{\text{ACG}}$& \\ \hline \hline 
Quadrilatère ACGE & \\ \hline \hline 
\end{tabular} \end{center} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}  \begin{pspicture}(6,3) 
\pspolygon(0,0)(5.7,0)(0,2.8)%CED 
\psline(2.6,0)(0,1.2)%AB 
\uput[dl](0,0){C} \uput[d](5.7,0){E} \uput[ul](0,2.8){D} 
\uput[l](0,1.2){B} \uput[d](2.6,0){A} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\medskip

Dans le triangle CDE : A est un point du segment [CE] ; B est un point du  segment [CD]. Sur le schéma ci-dessus, les longueurs représentées ne 
sont pas exactes. 

On donne AC = 8 cm ; CE = 20 cm ; BC = 6 cm ; CD = 15 cm et DE = 25 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 
\item Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier. 
\item Calculer AB. 
\item Calculer la valeur arrondie au degré de l'angle 
$\widehat{\text{CDE}}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
On considère un triangle MNP rectangle en M. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le schéma suivant (annexe 1 de votre sujet) tracer l'image F$_{1}$ de ce triangle MNP par la rotation de centre P et d'angle 90\degre dans le sens  indiqué par la flèche. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,4) 
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,4) 
\uput[dl](0,0){M} \uput[dr](4,0){P} \uput[ul](0,4){N} 
\psarc{<-}(4,0){1.cm}{-60}{30} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,9cm} 

\item Tracer l'image F$_{2}$ du triangle MNP dans la translation de 
vecteur $\vect{\text{PM}}$. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

On donne les figures suivantes : 

\bigskip

\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) 
\psframe(6,2.5) 
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,2.6)(6,2.6) \uput[u](3,2.6){$x$ cm} 
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(6.1,0)(6.1,2.5) \rput{90}(6.3,1.25){4cm} 
\uput[ul](0,2.6){A} \uput[ur](6,2.5){B} 
\uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\end{pspicture}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center}   \psset{unit=1cm}  \begin{pspicture}(9,2.5) 
\psframe(6,2.5) \psline(6,2.5)(9,0)(6,0) 
\psline{<->}(-0.1,0)(-0.1,2.5) \rput{90}(-0.3,1.25){2 cm} 
\psline{<->}(0,-0.1)(6,-0.1) \uput[d](3,-0.1){$x$ cm} 
\psline{<->}(6,-0.1)(9,-0.1) \uput[d](7.5,-0.1){3 cm} 
\uput[ul](0,2.6){E} \uput[ur](6,2.5){F} 
\uput[dl](0,0){H} \uput[dr](9,0){G} 
\end{pspicture}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ 
du rectangle ABCD. 
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_{\text{EFGH}}$ 
du quadrilatère EFGH. 
\item Dans le repère orthonormal ci-dessous (annexe 2 de votre sujet), 
tracer en justifiant 

\begin{itemize}
\item  la représentation graphique (d) de la fonction $f$ définie par : $x 
\longmapsto 4x$ ; 
\item  la représentation graphique (d$'$) de la fonction $g$ définie par : 
$x \longmapsto 2x +3$. 
\end{itemize}

\begin{center} 
\psset{unit=5mm}\begin{pspicture}(18,20) 
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2] 
\psline[linewidth=2pt]{->}(18,0) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,20) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} 
\uput[d](17,0){$x$} \uput[l](0,19){$y$} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer l'aire du rectangle ABCD pour $x = 3$. 
		\item Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires). 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $x$ pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit  égale à 15 cm$^2$. 
		\item Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera 
apparents les traits nécessaires). 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'équation : $4x = 2x + 3$. 
		\item Retrouver ce résultat en résolvant l'équation : 
		
		$4x = 2x + 3$ 
		\item Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}
