\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2007},
allbordercolors = white}   
\pagestyle{fancy}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright \\novembre 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose
 
\[\text{A} = \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \left(5 + \dfrac{1}{2}\right).\]

Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  On pose 

\[\text{B}  = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 7 \times  10^7}{5 \times 10^2}.\]

Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique.
\item  On pose
 
\[\text{C}  = 2\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + 3\sqrt{200}.\]

Calculer C. Présenter le résultat sous la forme $a\sqrt{2}$ 	où $a$ est un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}
 
\medskip
On donne $E = (3x - 5)^2 - 2(3x - 5)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $E$.
\item  Calculer $E$ pour $x =  -2$.
\item  Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x - 7) = 0$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système d'équations ci-dessous

\[\left\{\begin{array}{l c r}
4a + 8b& =&12\\
2a +	b&=&	2,70\\
\end{array}\right.\]

\item  À la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour $6$~\euro.

Dans la même boulangerie, Karim achète $2$ croissants et un pain aux raisins pour $2,70$~\euro.

Quel est le prix d'un croissant ?

Quel est le prix d'un pain aux raisins ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité est le cm. Sur la figure ci-dessous, les longueurs ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure.}

\medskip

\psset{unit=0.857cm}
\begin{pspicture}(14,6)
\psline(0,5.8)(7,0) \psline(7.4,6)(14,0.55)
\psline(8.65,6)(14,1.6)
\psline(0,4.4)(14,2.35)
\psline(5.7,0)(10.5,6)
\uput[l](9.3,4.46){A}  \uput[dl](11.35,2.75){B}  
\uput[r](9.8,10.1){D}  \uput[dl](12.95,2.5){E}  
\uput[ul](8.3,3.2){S}  \uput[r](6.2,0.68){X}  
\uput[ur](2.,4.1){Y}  
\end{pspicture}

\medskip

On sait que les points Y, S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre. On sait également que: (YX) // (AB) ; SA = 3 ; 
 
 SB = 5 ; SX = 5 et AB =  4.
\begin{enumerate}
\item  Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondir au mm.
\item  On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.

Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
L'unité de longueur est le cm.

On considère le triangle SAB tracé sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.\\
Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA =  5 et SB = 12.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.
\item  Déterminer la mesure de $\widehat{\text{SAB}}$ (arrondie au degré).
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point R image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{SA}}$.
		\item  Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle.
	\end{enumerate}
\item   Placer le point M, tel que
\[\vect{\text{AM}}= \vect{\text{AS}} + \vect{\text{AB}}.\]
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}
 
\emph{L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle $\dfrac{1}{2}$. Ne pas reproduire la figure.}

\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2.5cm}
\psline(-2.5,1.7)(2.5,-2.28)
\uput[dl](-0.38,0){H} \uput[r](2.5,0){M} \uput[l](-2.5,0){R} 
\uput[u](-1.63,1){S} \uput[u](-0.43,2.42){T} \uput[ur](2,1.5){$(\mathcal{C})$} 
\SpecialCoor
\pspolygon(2.5;0)(2.5;100)(2.5;180)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0;0)

\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}
 
Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10.

Soit T un point de (C) tel que RT~=~6.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que RMT est un triangle rectangle.
\item  Démontrer que TM = 8.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}
 
Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM).

On pose RS$ = x$.
 
\begin{enumerate}
\item  Donner un encadrement de $x$.
\item  Démontrer que RH $= \dfrac{5}{3}x$	et SH $= \dfrac{4}{3}x$.
\item  Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle RSH.
\item  Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : $24 -  \dfrac{4}{3}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}
 
 
On considère les fonctions affines $f$ et $g$  telles que :
\[f \quad :  x \longmapsto 4x \quad 	\text{et} \quad g : x \longmapsto 24 -  \dfrac{4}{3}x.\]
\begin{enumerate}
\item 	Calculer $f(0),~ f(6),~ g(0)$ et $g(6)$.
\item 	Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement $f$ et $g$ dans un repère orthonormé
\begin{itemize}
\item  origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ;
\item  unité le cm.
\end{itemize}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$.
		\item  Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires.
	 \end{enumerate}
\item Que représente la solution de l'équation $f(x) = g(x)$ pour la partie B de ce problème ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}  
\textbf{Feuille annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

Exercice 2 de la partie géométrique

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.9cm}
 \begin{pspicture}(13,6)
\pspolygon(0,0)(12.75,3.8)(0.5,5.1)
\uput[dl](0,0){A}  \uput[ur](12.75,3.8){B}  \uput[ul](0.5,5.1){S}  

\end{pspicture}
\end{center}

\end{document} 