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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Amérique du Sud ~\decofourright\\novembre 2002}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres suivants :
\[\text{A} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{5} \times 13 \quad \text{B} = \dfrac{1,6 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-9}} \quad \text{C} = 3\sqrt{20} - 7\sqrt{5} + 2\sqrt{125}.\]

En précisant les différentes étapes du calcul

 
\begin{enumerate}
\item  Écrire A sous la forme d'une fraction, la plus simple possible. 
\item  Donner l'écriture scientifique de B. 
\item  Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier le plus petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $D =  (3x -5)(5- 2x) - (3x - 5)^2$.
\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire $D$.
\item  Factoriser $D$. 
\item  Résoudre l'équation $(3x -5) (-5x + 10) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'histogramme ci-dessous donne les âges de jeunes sportifs participant à un stage de judo.


\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(12,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(13,30)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,15)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(4,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(6,15)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(8,20)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(10,10)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,0)(12,5)
\uput[d](12.5,0){Âges} \uput[l](0,28){Effectifs}
\multido{\n=1+2,\i=11+1}{6}{\uput[d](\n,0){\i~ ans}}
\multido{\n=5+5}{5}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(13,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Combien de jeunes participent au stage ? 
\item  Compléter le tableau ci-dessous. Les fréquences seront données à $0, 1$\:\%
 près.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{X|}}\hline
Âge			&	&	&	&	&	&	\\ \hline
Effectifs	&	&	&	&	&	&	\\ \hline
Fréquences	&	&	&	&	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Quel est l'âge moyen des participants ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x + y		&=	&60\\
10x + 3y	&=	&355\\
\end{array} \right. \]
\item Pour un parterre de fleurs, un paysagiste achète un lot de $60$ plants constitué de rosiers à $10$~\euro{} pièce et d'iris à $3$~\euro{} pièce.

 Le montant de la facture correspondant à cet achat est de $355$~\euro.
 
Combien achète-t-il de plantes de chaque sorte ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,6)
\psframe(4.8,4.8)
\psline(4.8,0)(5.6,0.8)(5.6,5.6)(4.8,4.8)
\psline(5.6,5.6)(0.8,5.6)(0,4.8)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.8,0.8)(0.8,5.6)
\psline[linestyle=dashed](0.8,0.8)(5.6,0.8)
\uput[l](0,4.8){A} \uput[ul](0.8,5.6){B} \uput[ur](5.6,5.6){C} \uput[ul](4.8,4.8){D} 
\uput[l](0,0){E} \uput[ul](0.8,0.8){F} \uput[r](5.6,0.8){G} \uput[dr](4.8,0){H} 
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{Soit ABCDEFGH un cube d'arête $5$~cm.
\begin{enumerate}
\item  Dessiner en vraie grandeur le triangle AHG.
\item  Calculer les valeurs exactes de AH et AG, puis une valeur
arrondie à $0,1$~degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAG}}$.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points E$(- 4~ ;~ -1)$ , F(4 ; 4) et G$(2 ~;~ -1)$.
\item  Calculer les coordonnées du milieu K du segment [EG].
\item  Soit le point H$(4~;~ -1)$.

On admet que [FH] est la hauteur issue de F du triangle EFG et que FH = $5$~cm.

Calculer EG puis en déduire l'aire du triangle EFG.
\item  Sachant que EF $= \sqrt{89}$~cm, en déduire la longueur $h$ de la hauteur issue de G dans le triangle EFG.

On donnera la valeur exacte de $h$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\pspolygon(0,3)(4.5,0)(6.1,4.5)(8.3,3)
\psline(3.75,3)(5.2,2)
\uput[ul](5.6,3){A} \uput[r](8.3,3){B} \uput[u](6.1,4.5){C} 
\uput[u](0,3){D} \uput[d](4.5,0){E} \uput[u](3.75,3){F} \uput[dr](5.2,2){G} 
\end{pspicture}
} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\emph{L'unité de longueur est le centimètre. \\
La figure ci-dessus n'est pas à l'échelle.}

Les points D, F, A et B sont alignés.
 
Les points E, G, A et C sont alignés,.
  
Les droites (DE) et (FG) sont parallèles.
  
AF =  5 ; FG = 3 ; AG =  4 ;

DE = 7,5 ; AC =  3 ; AB = 3,75.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AFG est un	triangle rectangle.
\item 	 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AD ; en déduire FD.
		\item Calculer AE ; en déduire EC.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites (FG) et	(BC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psframe(5.1,3.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.1,0)(6.1,1)(6.1,4.1)(5.1,3.1)
\psline(0,3.1)(1.1,4.1)(6.1,4.1)\psline[linestyle=dashed](0,3.1)(-0.2,3.32)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.2,3.32)(0.9,4.32) \rput{42}(0.2,4.12){15~cm}
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(6.3,1.1)(6.3,4.1) \rput{90}(6.5,2.6){$30$~cm}
\psline[linestyle=dashed](1.1,4.1)(0.9,4.32)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1.1)(6.1,1.1)
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.1)(1.1,4.1)
\psline[linewidth=0.25pt]{<->}(1.1,4.3)(6.1,4.3) \uput[u](3.6,4.3){$50$~cm}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{Une cartonnerie fabrique des boîtes pour des bouteilles de vin. Chaque boîte a la forme d'un parallélépipède rectangle.
L'unité de longueur est le cm ; l'unité d'aire est le cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature des faces de ces boîtes et
	leurs dimensions.
		\item Montrer que l'aire totale des faces de la boite
	est \np{5400}~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item  Sachant que pour les découpes il faut prévoir 20\:\%
 de plus de carton, combien de m$^2$ de carton seront nécessaires pour fabriquer $100$~boîtes.
 \end{enumerate}}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

Pour expédier ses boîtes le fabricant a le choix entre deux transporteurs :

\begin{itemize}
\item Inter Transport ;
\item Transport Express.
\end{itemize}

Le tarif de la société Inter Transport comporte une partie fixe de $30$~\euro{} et $2$~\euro{}  par boîte.

Le tarif de la société Transport Express est de 2,25 \euro{}  par boite.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Nombre de boîtes expédiées}						
&50															&100&120&150&200  \\   \hline
\multirow{2}{2.5cm}{Prix payé}&Inter Transport	&		&			&		&		&  \\   \cline{2-7}
															&Transport Express&		&		&		&		&  \\   \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $x$ le nombre de boîtes expédiées.

Exprimer en fonction de $x$ le prix $P_{1}$ payé à la société Inter Transport et le prix $P_{2}$ payé à la société Transport Express.
\item On considère les fonctions suivantes :

\begin{itemize}
\item  la fonction linéaire $f\quad:  x  \longmapsto 2,25x$ ;
\item  la fonction affine $g \quad :  x  \longmapsto 2x + 30$.
\end{itemize}

Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère (O, I, J) les droites D$_{1}$ et D$_{2}$ qui	représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$.

On placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré.

 On prendra $1$~cm pour $10$~unités en abscisses et $1$~cm pour $15$~unités en ordonnées.
\item Résoudre graphiquement le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
 y	&=	&2,25x\\
 y	&=	&2x+30\\
 \end{array}\right.\]
 
\item En utilisant une lecture du graphique réalisé à la question 3., préciser dans quel cas le fabricant doit choisir la société Inter Transport.
\end{enumerate}
\end{document} 