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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\ novembre 2003 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit $A =  (3x- 1)^2 - (3x - 1)(2x + 8)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser A.
\item Résoudre l'équation : $(3x -  1)(x - 9) =  0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Écrire B et C sous la forme, $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ nombres entiers ($b$ étant le plus petit possible).

B $= 3\sqrt{5} - 2\sqrt{45} +	\sqrt{500}$. \qquad 
C $= \left(\sqrt{3} + 4\right)^2  - 19$. 		

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $D = \dfrac{4x+ 2}{5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac{3}{4}$.
 Le nombre $\dfrac{3}{4}$ est-il solution de l'inéquation	
 
 $\dfrac{4x+ 2}{5} < 3$?
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{4x+ 2}{5} <  3$ et représenter les solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Le basketteur Michel Jourdan a participé aux 29 matchs joués par son équipe cette saison et il a marqué des points lors de tous ces matchs.

\vspace{0,25cm}

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de points marqués	&15	&19	&20	&21	&24	&25	&28	&29 &32	&34	&37	&42\\ \hline			
Nombre de matchs où ce nombre de points a été marqué&2	&3 	&1	&4	&3 	&2	&6	&1	&3	&1	&2	&1\\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne de points par match réalisée par Michel Jourdan
(un donnera un résultat arrondi au dixième de point).
\item Calculer la médiane de cette série statistique. 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

ABCO, CDEO, EFGO et GHAO sont des carrés représentés ci-après.

BDFH est un carré de centre O.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0,2.65)(2.65,5.3)(5.3,2.65)(2.65,0)%HBDF
\psline(3.975,3.975)(1.3,1.3)%CG
\psline(1.3,3.975)(3.975,1.3)%AE
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,3.975)(2.65,5.3)(3.975,3.975)
\uput[ul](1.3,3.9){A}  \uput[u](2.65,5.3){B}  \uput[ur](3.9,3.9){C}  
\uput[r](5.3,2.65){D}  \uput[dr](3.9,1.3){E}  \uput[d](2.65,0){F}  
\uput[dl](1.3,1.3){G}  \uput[l](0,2.65){H}  \uput[d](2.65,2.65){O}   
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d'axe (GC)?	
		\item Quelle est l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle
	90~\degres qui amène E en C ?	
	\end{enumerate}
\item En utilisant des transformations dont on précisera les éléments caractéristiques (centre de symétrie, axe de symétrie, vecteur,\ldots ), recopier et compléter les phrases suivantes sans justifier la réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OCD est l'image du triangle ABC par  \ldots	
		\item Le triangle GFE est l'image du triangle ABC par \ldots 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que :  AB = 6 cm  et $\widehat{\text{ABC}} =  35$~\degres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.		
\item Calculer AC (on donnera la valeur arrondie au  mm). 	
\item Tracer la hauteur issue de A : elle coupe [BC] en H.

Calculer AH et en donner une valeur arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\emph{La figure, qui n'est pas en vraie grandeur, est donnée à titre indicatif.}
 
EFGHNMLK est un cube dont une arête mesure 9 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nommer toutes les faces de la pyramide EFGL.
\item Quelle est la nature de la face EFL ? (On justifiera la réponse.)
\item Calculer le volume de la pyramide EFGL.
\end{enumerate}
		 	
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,4)
\psline(0,2.8)(0,0)(2.8,0)(3.6,0.9)(3.6,3.6)(0.8,3.6)(0,2.8)(2.8,2.8)(3.6,3.6)%EFGMNKEHN
\psline(0,2.8)(2.8,0)%EG
\psline(2.8,2.8)(3.6,3.6)%HN
\psline(2.8,2.8)(2.8,0)%HG
\psline[linestyle=dotted](0,2.8)(0.8,0.8)(2.8,0)%ELG
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.8,0.8)(3.6,0.9)%FLM	
\psline[linestyle=dotted](0.8,3.6)(0.8,0.8)
\uput[ul](0,2.8){E}	\uput[dl](0,0){F}	 \uput[dr](2.8,0){G}	 \uput[ul](2.8,2.8){H}\uput[ur](0.8,0.8){L}	 \uput[ur](3.6,0.9){M}	 \uput[ur](3.6,3.6){N}\uput[ul](0.8,3.6){K}	 	
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La figure ci-dessous (qui n'et pas à l'échelle) est une vue du jardin de Monsieur Durand.

Il souhaite partager ce jardin en deux parties : une partie pelouse et une 
partie  potager.

\medskip

\parbox{0.27\textwidth}{ABCD est un trapèze rectangle tel que :

AB  = 50 m

AD = 30 m

DC = 70 m} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(7,4)
\pspolygon(0,0)(0,3)(5,3)(7,0)%DABC
\psline[linestyle=dotted](3.2,0)(3.2,3)%GM
\psline[linestyle=dotted](5,0)(5,3)%HB
\uput[u](0,3){A} \uput[u](3.2,3){M} \uput[u](5,3){B} \uput[d](0,0){D} \uput[d](3.2,0){G} \uput[d](5,0){H} \uput[d](7,0){C} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

M est un point   du segment [AB].

On pose AM $= x$. $(x$ est  une distance exprimée en mètre  avec $0 \leqslant x \leqslant 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du jardin de Monsieur Durand.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire de AMGD (potager).	
		\item En déduire  que l'aire de BCGM (pelouse), en fonction	de $x$ est 
	$\nombre{1800} - 30x$.	
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Pour quelle valeur de $x$ la pelouse et le potager ont-ils la même aire ?
		\item Quelle est alors la forme du potager ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 	
\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose de représenter graphiquement  la situation de la partie A à  l'aide de deux fonctions $f$ et $g$.

$f$ est définie  par : $f(x) = 30x$  pour l'aire de AMCD ;

$g$ est définie par : $g(x) = 1800 - 30x$ pour l'aire de BCGM.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&10	&20	&40	&50\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
$g(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal :

- l'origine est placée en bas à gauche ;

- en abscisse : prendre 1 cm  pour 5 m  ;

- en ordonnée : prendre 1 cm pour 100 m$^2$.

Représenter les fonctions  $f$ et $g$ dans ce repère. 	
\item Par lecture graphique, mettre en évidence la valeur de $x$ telle que $f(x) = g(x)$ et l'aire
correspondante.
(On indiquera ces valeurs en couleur ci on les repérera à l'aide de pointillés.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La pelouse, d'une aire de 900 m$^2$, est ensemencée avec un gazon  au prix initial de 0,16 euro le m$^2$.

Le vendeur accorde à Monsieur Durand une remise de 5\:\%.

Calculer le coût global pour la pelouse après le rabais.
\item Sachant que pour 40 euros, Monsieur Durand aurait 50 plants de salade et 40 pieds de tomate alors que pour 50 euros, Il aurait 25 plants de salade et  60 pieds de tomate, calculer le prix d'un plant de salade et le prix d'un pied de tomate.	
\end{enumerate}
\end{document} 