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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges  }
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Amérique du Nord}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}}


\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres A et B. Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

\[ \text{A} = \dfrac{7}{9} \div \left(\dfrac{1}{3} - 2\right)  \qquad  \text{B} = \dfrac{7 \times  \left(7 ^{-2}\right)^{-4}}{7^{11}}\]

\item On donne C $= 3 \sqrt{54} - 7\sqrt{6} - \sqrt{2} \times \sqrt{12}$.

Montrer que C est un nombre entier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $D = (3x + 5) (2 - x) - (2 - x)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre $(2 - x) (4x + 3) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En l'an 200, le nombre de voitures vendues en France a été de \np{2134} ~milliers, répartis de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 602 milliers de Renault ;
\item[$\bullet~$] 262 milliers de Citroën ;
\item[$\bullet~$] 398 milliers de Peugeot ;
\item[$\bullet~$] et des voitures de marques étrangères.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence des ventes, exprimée en pourcentage et arrondie à 1\:\%, pour les voitures de marques étrangères ? 
\item Dans le total des ventes de voitures françaises, quel pourcentage représentent les voitures Renault ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=& 24\\
x - 3y &=& 16
\end{array}\right.\] 
 
\item La différence de deux nombres est 24. Quels sont ces deux nombres sachant que si on augmente l'un et l'autre de 8, on obtient deux nouveaux nombres dont le plus grand est le triple du plus petit ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

Tracer un carré RIEN de côté 5 cm. 

\begin{enumerate}
\item Construire le point P image de I par la translation de vecteur $\vect{\text{RE}}$. 
\item Sans utiliser d'autres points que ceux de la figure, recopier et compléter les égalités suivantes :

\[\vect{\text{RE}} + \vect{\text{EI}} = \ldots\quad ; \quad  \vect{\text{NR}} + \vect{\text{IP}} = \ldots \quad ; \quad  \vect{\text{RN}} + \vect{\text{RI}} = \ldots\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\emph{Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.}

On considère un triangle RNT rectangle en R tel que :

NR = 9 cm ;  AR = 6 cm ;

NT = 10,2 cm BT = 1,6 cm.} \hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,4)
\pspolygon(0,3.7)(6.3,3.7)(6.3,0.4)%NRT
\psline(2.1,3.7)(6.3,1.6)%AB
\uput[u](0,3.7){N}\uput[u](6.3,3.7){R}\uput[d](6.3,0.4){T}\uput[u](2.1,3.7){A}\uput[r](6.3,1.6){B}
\end{pspicture}} 

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de RT. 
\item En considérant que RT = 4,8~cm, démontrer que les droites (AB) et (NT) sont parallèles. 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{RNT}}$ ; en donner la valeur arrondie au degré près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB, sont opposés par le sommet.

Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.

On donne : KA = 4,5~cm, KS = 6 cm et 

SI = 4 cm.} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,6.5)
\psellipse[linestyle=dashed](0,0.75)(2.5,0.75)
\pscurve(-2.5,0.73)(-2.3,0.48)(-2,0.29)(-1.5,0.16)(-1,0.05)(-0.5,0.01)(0,0)(0.5,0.01)(1,0.05)(1.5,0.16)(2,0.29)(2.3,0.48)(2.5,0.73)
\psellipse(0,5.9)(1,0.45)
\psline(-2.4,0.92)(0.96,5.8) \psline(2.4,0.92)(-0.96,5.8)
\pspolygon[linestyle=dashed](1.7,0.2)(-0.75,6.2)(0,5.9)(0,0.75)
\uput[dr](1.7,0.2){A}\uput[ul](-0.75,6.2){B}\uput[r](0,5.9){I}\uput[l](0,0.75){K}\uput[l](0,4.4){S}%ABIKS
\rput(1.9,2.5){Cône 1}\rput(1.9,5){Cône 2}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BI.
\item Calculer le volume V$_{1}$ du cône 1 (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm$^3$).
\item Le cône 2 est une réduction du cône 1.

Quel est le coefficient de réduction ? Par quel nombre exact faut-il multiplier V$_{1}$, volume du cône 1, pour obtenir directement le volume V$_{2}$ du cône 2 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip 

\textbf{Partie 1}

\medskip 

Par lecture graphique (voir feuille annexe). Dans le repère orthonormal (O,I,J) d'unité le centimètre. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $f : \quad x\mapsto  2x$. De quel type de fonction s'agit-il ? 
		\item Vérifier que $\left(\Delta_{1}\right)$ est la représentation graphique de cette fonction. Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Pour la droite $\left(\Delta_{2}\right)$, lire et répondre sur la copie.
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du point A, intersection de $\left(\Delta_{2}\right)$ avec l'axe des abscisses.
		\item Les coordonnées du point B, intersection de $\left(\Delta_{2}\right)$ avec l'axe des ordonnées.
		\item Donner la fonction affine g dont $\left(\Delta_{2}\right)$ est la représentation graphique.
		\item Dessiner en pointillés dans le repère les traits de constructions permettant de donner les réponses suivantes : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
g(3) &=&\ldots\\
g(x) &=&  4 \: \text{pour} \: x =  \ldots
\end{array}\right.\] 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-10)(10,10)
\psplot{-5}{5}{x 2 mul}
\psplot{-3}{7}{4 x 2 mul sub}
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\uput[dr](3,6){$\left(\Delta_{1} \right)$}
\uput[dl](-2,8){$\left(\Delta_{2} \right)$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip 

Dans le repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points R$(-7~;~-2)$, F$(-5~;~2)$ et V$(-3~;~-4)$. 
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{RF}}$. 
		\item Vérifier que RF $= 2\sqrt{5}$. 
		\item On donne RV $= \sqrt{20}$ et VF $= 2\sqrt{20}$. Prouver que le triangle RFV est \textbf{rectangle isocèle}.
	\end{enumerate} 
\item Calculer les coordonnées du point K milieu de [FV]. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par son centre et son rayon le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle RFV. Justifier puis tracer $(\mathcal{C})$. 
		\item Placer le point N symétrique de R par rapport à K. Démontrer que le quadrilatère RFNV est un carré. 
		\item Donner les valeurs exactes du périmètre et de l'aire de RFNV. 
	\end{enumerate}
\item Sachant que le point P$(-3~;~2)$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$, tracer l'angle $\widehat{\text{RPV}}$ et prouver que sa mesure est 45\degres.
\end{enumerate}
\end{document}