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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Amérique du Nord} 
\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet }} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003~\decofourright\\ 
Amérique du Nord}} \end{center} 
\thispagestyle{empty}

\bigskip
    
\textbf{Partie numérique \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1}

\[\text{A}=1-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4} \right) \qquad \text{B}=
\dfrac{3-\dfrac{5}{2}}{1+\dfrac{1}{5}}\]

\begin{enumerate}
\item  En faisant apparaître les différentes étapes de calcul,
 écrire A et B sous la forme d'une fraction irréductible.
 
\item  Calculer les quatre-cinquièmes de $\dfrac{35}{8}$.

On appellera C le résultat donné sous forme de fraction 
irréductible.
\item  Montrer que la somme A + B + C est un nombre
 entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En faisant apparaître les étapes, 
calculer et donner l'écriture scientifique de : 

\[\text{D}=\dfrac{2\times 10^{3}\times5 \times 
\left(10^{-5}\right)^{2} }{2+18}\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item $\text{E} = 2\sqrt{27}+\sqrt{18} \times
 \sqrt{6}$.
 
Calculer et écrire E sous la forme $a\sqrt{3}$ 
($a$ entier relatif).
		\item  $\text{F} = \left( \sqrt{2}-4\right) \left( 2+4\sqrt{2}\right)$.

Calculer et écrire F sous la forme $b\sqrt{2}$ ($b$ entier
 relatif).
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Soit l'expression : $P=\left(2x-1 \right)^{2}-16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
\item  Factoriser $P$.
\item  Résoudre l'équation $\left(2x-5 \right) \left(2x+3 \right) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

\emph{Les deux questions posées dans cet exercice sont 
indépendantes.}

\np{6510} fourmis noires et \np{4650} fourmis
 rouges décident de s'allier pour combattre les termites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour cela, la reine des fourmis  souhaite constituer,
 en utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront toutes composées de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires.

Quel est le nombre maximal d'équipes que la reine peut ainsi former ?
\item Si toutes les fourmis, rouges et noires, se placent en file 
indienne, elles forment une colonne de 42,78~m de long.

Sachant qu'une fourmi rouge mesure 2~mm de plus qu'une fourmi noire, déterminer la taille d'une fourmi rouge et celle d'une fourmi noire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie géométrique \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 }

\medskip

\emph{Utiliser la figure ci-après}

\emph{Pour cet exercice, on laissera visible les traits de construction
mais aucune justification n'est demandée.}

Soit le triangle équilatéral MAK de côté mesurant 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point I image de
 M dans la rotation de centre K et d'angle $120 \degres$ dans
 le sens inverse des aiguilles d'une montre. 
		\item  Quelle est la nature exacte du triangle AKI ? (On ne demande pas de justification.)
	\end{enumerate}
\item Construire le point S symétrique de M par rapport à K.
\item Construire le point O tel que K soit le milieu de [AO].
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point N image  de K dans la translation de vecteur $\vect{\text{AM}}$.
		\item Quelle est la nature exacte
du quadrilatère AMNK ?  (On ne demande pas de justification.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{4.}
 
\hspace{1cm} \textbf{a.}  Tracer le polygone MAISON.

\hspace{1cm} \textbf{b.}  Quelle est la nature exacte de ce polygone ? (On ne
 demande pas de justification.)} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3.6)
\pspolygon(0,0)(4,0)(2,3.464)
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){K} \uput[ul](2,3.464){M} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer un triangle ABC tel que AC = 7,5 cm, BC = 10 cm et 
AB = 6 cm.
		\item  Placer E sur [AC] tel que AE=4,5cm et F sur [BC]
 tel que BF = 6 cm.
	\end{enumerate}
\item Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.
\item On trace la droite parallèle à (AB) passant par C. Cette 
droite coupe (BE) en L.

Déterminer CL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{0,4cm}

\parbox[c]{0.4\textwidth}{On considère la figure ci-dessous
(dimensions non respectées sur le dessin) :  
\textbf{1.} Refaire la figure en vraie grandeur.

\textbf{2. a.} Calculer AB.

\textbf{b.} Calculer $\sin\widehat{\text{ABI}}$.

\textbf{3.} O est le point de [BC] tel que BO = 5 cm.

$\cal{(C)}$ est le cercle de centre O passant par B.

Il recoupe [AB] en E et [BC] en F.} \hfill
\parbox[c]{0.55\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,3)
\psline(0,0)(4,0) \psline(2,0)(2,3)
\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(4,-0.1)(4,0.1)
\psline(1.9,3)(2.1,3) \psframe(2,0)(2.2,0.2)
\uput[ul](2,3){A} \uput[d](0,0){B} \uput[d](2,0){I} \uput[d](4,0){C}
\psline(0.9,-0.1)(0.95,0.1) \psline(0.95,-0.1)(1.05,0.1)
\psline(2.9,-0.1)(2.95,0.1) \psline(2.95,-0.1)(3.05,0.1)
\rput(4,3){AI = 8 cm} \rput(4,2.2){ BC = 12 cm}
\rput(4,1.4){$\widehat{\text{AIB}} = 90\degres$}
\rput(4.3,0.6){I milieu de [BC]}
\end{pspicture}}

\vspace{0,4cm}

\hspace{1cm}\textbf{a.} Compléter la figure du \textbf{1.} en traçant le cercle $\cal{(C)}$
 et en plaçant les points O, E et F.
 
\hspace{1cm}\textbf{b.} Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\emph{les représentations graphiques dans la seconde 
partie seront effectuées  sur papier millimétré.}

Un industriel est spécialisé dans la fabrication de pieds de
 lampes.
 
Il crée un nouveau modèle sous forme d'une sphère tronquée.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\parbox[c]{0.6\textwidth}{
La sphère a pour centre I et pour rayon $r$ = 10 cm.
[$\text{LL}'$]~est un diamètre de la
sphère.

H est un point de [LL$'$] tel que IH = 8 cm.

Un plan passant par H et perpendiculaire à [LL$'$]
coupe cette sphère.

\medskip

\textbf{1.} Quelle est la nature de la section ? (On ne demande pas de 
justification.)} \hfill 
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5.5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}
\psellipse(2.5,0.9)(1.92,0.35)
\qdisk(2.5,0){1.5pt} \qdisk(2.5,2.5){1.5pt} \qdisk(2.5,1){1.5pt}
\uput[ul](2.5,1){H}  \uput[u](2.5,5){L}  \uput[r](2.5,2.5){I} 
\uput[r](4.45,1){M}  \uput[ul](2.5,0){L$'$}
\psline[linestyle=dotted](2.5,1)(2.5,5)
\end{pspicture}}
 
\textbf{2.} Quelle est la nature du triangle
 IHM ? (On ne demande pas de justification.)
 
\textbf{3.} En déduire HM.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie} 

\medskip

\emph{Les représentations graphiques seront effectuées sur
 papier millimétré.}
 
L'industriel reçoit des commandes de différentes régions de France.
 
Pour la livraison des produits, il s'adresse alors à deux sociétés
 de transport et compare leurs tarifs :
\begin{itemize}
\item tarif 1 : 3,5 euros par km parcouru ;
\item tarif 2 : 2 euros par km parcouru avec en plus un 
forfait fixe de 150 euros.
\end{itemize}

Soit $y_{1}$ le prix (en euros) du transport avec le tarif 1 
pour $x$ km parcourus.

Soit $y_{2}$ le prix (en euros) du transport avec
 le tarif 2 pour  $x$ km parcourus.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ (en km)			&50	&150&300\\\hline
$y_{1}$ (en euros)	&	&525&\\ \hline
$y_{2}$ (en euros)	&250&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Quel est le tarif le plus avantageux pour 50~km parcourus ? et pour 300~km parcourus ?
	\end{enumerate}
\item Plus généralement,
 on obtient donc :  $y_{1}=3,5x$.
 
Exprimer $y_{2}$ en fonction de $x$.
\item Tracer sur une feuille de papier millimétré la 
droite $(d_{1})$ représentant la fonction : $x \longmapsto
 3,5x$ et la droite $(d_{2})$ représentant la fonction : 
$x \longmapsto 2x+150$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

On prendra sur l'axe des abscisses $1cm$ pour représenter 
50 euros.

Pour des raisons pratiques, prendre l'origine du repère en bas et à 
gauche de la feuille de papier millimétré.
\item Déterminer graphiquement le nombre de kilomètres à partir duquel il est plus avantageux pour l'industriel de choisir le tarif 2. (On laissera
 visible les pointillés nécessaires à la lecture graphique.)
 \end{enumerate}
%%%%%%  Fin Amérique du Nord juin 2003
\end{document}