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%Tapuscrit : Denis Vergèsrectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2007 \decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\emph{Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie.}

On donne :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
	A $ = \dfrac{2}{7} - \dfrac{15}{7} + \dfrac{5}{4}$~;& 	B $= \dfrac{4 \times 10^5 \times 15 \times 10^{-3}}{80 \times 10^{-1}}$~;\\
C $ = \sqrt{75}  + 4\sqrt{27} - 5\sqrt{48}$~;& D $= (2 + 4\sqrt{5})(2 - 4\sqrt{5})$.\\
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item  Donner A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  Donner les écritures décimale et scientifique de B.
\item  Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ , où $a$ est un entier relatif. 
\item  Montrer que D est un nombre entier.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $E = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $E$.
\item  Calculer $E$ lorsque $x = \dfrac{1}{2}$.
\item  Résoudre l'équation $(3x + 2)(2x - 5) =0$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un confiseur reçoit une commande de caramels d'un montant de $120,40$ euros. Pour fidéliser son client, il décide d'accorder une remise de 20\:\%.

 Calculer le montant de la facture après remise.
\item Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. 
\item  Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{Il n'est pas demandé de la reproduire.}

\parbox{0.55\textwidth}{
$\mathcal{C}$ est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm. M est un point du cercle tel que 

BM = 4,8 cm.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.
\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$, arrondie au degré.
\item  En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOM}}$, arrondie au degré.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\pscircle(2.25,2.25){2}
\pspolygon(0.4,3.05)(4.1,1.45)(2,4.2)
\psline[linestyle=dashed](2,4.2)(2.25,2.25)
\uput[ul](0.4,3.05){A} \uput[d](2.25,2.25){O} \uput[dr](4.1,1.45){B} \uput[u](2,4.2){M} \uput[dl](1,0.7){$\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,6)

\psline(0,0)(2.5,0)(5.2,0.9)(0,5.7)(0,1.2)(1.9,1.2)(4.15,1.9)%ABCSEFG
\psline(0,5.7)(2.5,0)%SB
\psline(0,1.7)(0,0)%EA
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.7,0.9)(5.2,0.9)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0,1.2)(2.15,1.9)(4.15,1.9)%EHG
\psline[linestyle=dashed](0,5.7)(2.7,0.9)%SD
\uput[d](0,0){A} \uput[d](2.5,0){B} \uput[d](5.2,0.9){C} 
\uput[d](2.7,0.9){D} \uput[dl](0,1.2){E} \uput[dl](1.9,1.2){F} 
\uput[ur](4.15,1.9){G} \uput[ur](2.15,1.9){H} \uput[l](0,5.7){S} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\textwidth}{SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V_{1}$ de la pyramide SABCD.
\item Démontrer que SB = 17 cm.
\item On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6 cm.\\
Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\item On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient de la réduction ?
		\item En déduire le volume $V_{2}$ de la pyramide SEFGH en fonction de $V_{1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit (O ;  I , J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants :

	\[\text{A}(0~;~3)\quad  \text{B}(3~;~0)\quad \text{E}(-4~;~3)\quad \text{F}(-1~;~2)\quad \text{G}(- 4~; ~-1)\]
	
\item Tracer la droite (AB), puis le triangle EFG, noté par la suite $T$.
\item Construire $T_{1}$ l'image de $T$ par la symétrie d'axe (AB).
\item Construire $T_{2}$ l'image de $T$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Construire $T_{3}$ l'image de $T$ par la rotation de centre E et d'angle 100~\degres, le sens étant le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12   points}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\textbf{La feuille ANNEXE  est à rendre avec la copie.}
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Deux établissements scolaires ont financé des déplacements en car pour se rendre dans un musée, où une grande exposition de peinture se tient durant plusieurs mois.

\begin{enumerate}
\item  L'établissement du premier groupe est situé à 250~km du musée. Le car a quitté le collège à 7~h~25 et roule à la vitesse moyenne de 100~km/h. Calculer l'heure d'arrivée au musée de ce premier groupe.
\item  Le second groupe a quitté son établissement à 8~h~00 pour arriver à 9~h~30. Il a parcouru 120~km pour se rendre au musée. Calculer la vitesse moyenne, en km/h, du car transportant ce second groupe.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B}
Armelle souhaite travailler quelques heures par mois dans ce musée, afin de gagner un peu d'argent. À la suite d'un entretien, deux possibilités d'indemnisation lui sont proposées :
 \begin{itemize}
\item  Somme d'argent S$_{1}$ :  8~euros par heure. 
\item  Somme d'argent S$_{2}$ : versement de 90~euros en début de mois, puis 5~euros par heure.
\end{itemize}
 Ne sachant pas quelle forme d'indemnisation privilégier, elle décide d'étudier ces deux propositions.
\begin{enumerate}
\item  Sur la feuille ANNEXE, compléter le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{}	&\multicolumn{2}{c|}{Nombre d'heures effectuées par mois}\\  \cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{}	&20 heures  & 25 heures\\ \hline
{Somme d'argent perçue}	&S$_{1}$	&	&\\ \hline
par mois en \euro)				&S$_{2}$	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $x$ le nombre d'heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée. Exprimer en fonction de $x$ les sommes d'argent $s_{1}(x)$ et $s_{2}(x)$, versées  Armelle selon les deux formes d'indemnisation proposées.
\item Résoudre l'équation $8x = 5x + 90$. 

À quoi correspond la solution de cette équation ?
\item Sur le repère fourni sur la feuille ANNEXE, représenter graphiquement les deux fonctions suivantes :
\[s_1~: x \longmapsto 8x \quad 	\text{et} \quad 	s_{2}~: x \longmapsto 5x+90\]
\item \begin{enumerate}
\item  Utiliser une couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement le résultat de la question 3. 
\item  Utiliser une autre couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement l'indemnisation la plus avantageuse pour Armelle si elle souhaite effectuer 35 heures par mois. Indiquer alors la somme d'argent perçue.
\end{enumerate}
\item En s'aidant du graphique, indiquer à Armelle l'indemnisation la plus avantageuse en fonction du nombre d'heures effectuées par mois dans ce musée.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE \hfill À rendre avec la copie}

\textbf{\textsc{Problème : partie B 1}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{}	&\multicolumn{2}{c|}{Nombre d'heures effectuées par mois}\\  \cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{}	&20 heures  & 25 heures\\ \hline
{\small Somme d'argent perçue}&S$_{1}$&&\\ \hline
par mois en \euro)		&S$_{2}$	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie B 4}

\bigskip
\begin{center}

\psset{xunit=0.24cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-5,0)(45,320)
\multido{\n=0+2.5}{19}{\psline(\n,0)(\n,320)}
\multido{\n=0+20}{17}{\psline(0,\n)(45,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(45,320)
\rput(38,-25){Nombre d'heures}
\rput{90}(-5,280){Somme en euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}