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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges juin 2007}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2008~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On donne les nombres :

\[\text{A} = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{7}\times \dfrac{21}{8}~  ; \quad \text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 1,8 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} ~; \quad \text{C} = \sqrt{12} - 5\sqrt{75} + 2\sqrt{147}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Écrire toutes les étapes du calcul. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture décimale de B. 
		\item Exprimer B en écriture scientifique. 
	 \end{enumerate}  
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$, où  $a$ est un nombre entier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On pose : $D = (12x + 3)(2x - 7) - (2x - 7)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$. 
\item  Factoriser $D$. 
\item  Calculer $D$ pour $x = 2$ puis  pour $x = - 1$.  
\item  Résoudre l'équation $(2x - 7)(x + 1) = 0.$
\end{enumerate}  

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de $378$ et $270$. 
\item  Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de $378$~billes et $270$~calots.

Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots. 
	\begin{enumerate}
		\item  Combien de lots identiques pourra-t-il faire ? 
		\item  Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?
   	\end{enumerate}
\end{enumerate}
   
\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O~;~I,\: J), on considère les points : A$(-2~;~1)$ \quad      B(0~;~5)  \quad   C$(6~;~-3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C. 
\item  Montrer que : AC $= 4\sqrt{5}$. 
\item  On admet que AB $= 2\sqrt{5}$ et BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 
\item  Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CM}}$ soient égaux. 
\item  Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre $8$~cm.
 
I et J sont deux points de $\mathcal{C}$ diamétralement opposés ;
 
K est un point de $\mathcal{C}$ tel que JK = $4$~cm. 
\begin{enumerate}
\item  Préciser la nature du triangle IJK. Justifier. 
\item  Préciser la nature du triangle OJK. Justifier. 
\item  On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,2){2}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,2)
\pspolygon(0.04,1.6)(3.96,2.4)(3.2,0.4)
\uput[l](0.04,1.6){I} \uput[r](3.96,2.4){J} \uput[dr](3.2,0.4){K}
\uput[u](2,2){O} \uput[ur](3.4,3.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

\parbox{0.58\linewidth}{Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O. \\Les dimensions sont en centimètres.

On donne : OA = 3 ;\:\: OB = 2,5 ;\:\: OM = 5,4 ;\:\: ON = 4,5.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 
\item  On suppose que AB = 1,2. Calculer la distance MN. 
\item  Choisir parmi les quatre nombres suivants :

\textbf{a.}~0,6~~\textbf{b.}~1,8~~\textbf{c.}~3,24~~\textbf{d.}~3,6

celui qui est égal à
$\dfrac{\text{aire du triangle ONM}}{\text{aire du triangle OAB}}$.

Sur la copie, indiquer ce nombre (sans justification).
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(6.5,7.5)
\psline(1.4,1)(6.5,2.3)
\psline(0.2,5.8)(5.7,7.4)
\psline(1.1,7)(6.5,1.2)
\psline(2.8,7)(3.9,0.6)
\uput[l](1.8,6.4){A} \uput[ur](2.9,6.7){B} \uput[l](3.2,4.7){O} \uput[u](5.8,2.2){M} \uput[dl](3.75,1.55){N} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}    

\medskip

\textbf{Première partie }

\medskip
 
Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :
 
\begin{itemize}
\item Tarif A : 8~\euro{} par séance. 
\item Tarif B : achat d'une carte privilège à 40~\euro{} pour l'année donnant droit à un tarif réduit de 5~\euro{} par séance. 
\item Tarif C : achat d'une carte confort à 160~\euro{} valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle. 
\end{itemize}
     
Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Nombre de séances& 10& 18 &25 \\ \hline
Dépense totale avec le tarif A&&&  \\ \hline   
Dépense totale avec le tarif B &&&  \\ \hline  
Dépense totale avec le tarif C &&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
		\item  Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire $10$~séances ?
   	\end{enumerate} 
\item On appelle $x$ le nombre de séances. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $f(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif A. 
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $g(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif B. 
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, la dépense totale  $h(x)$ lorsque Mélissa fait $x$ séances avec le tarif C.
 	  \end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation $5x + 40 \leqslant 8x$. 
		\item  Expliquer, en rédigeant votre réponse, à quoi correspondent les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.
   	\end{enumerate} 
   \end{enumerate}

\medskip   
   
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Sur une feuille de papier millimétrée, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche et en prenant  comme unités : 0,5~cm pour une séance sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~\euro{} sur l'axe des ordonnées. 
\item  Représenter, dans ce repère, les trois fonctions $f,~g$ et $h$,    pour $x$ compris entre $0$ et $30$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier, par lecture graphique le résultat de la question 1. b. de la première partie ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires. 
		\item  Déterminer, par lecture graphique, le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux. 
		\item  Mélissa souhaite ne pas dépasser 130~\euro{} pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu'elle doit choisir si elle veut faire le plus de  séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
L'amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine et avait choisi le tarif C ; elle n'a pu se libérer pour ce sport qu'une semaine sur  deux.

A-t-elle fait le bon choix ? 

\emph{On rappelle qu'une année comporte $52$~semaines.}
\end{document}