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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{7 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 7 juin 2011~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.
 
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.
 
\begin{enumerate}
\item Leslie a écrit le calcul suivant : $11 \times  (2 \times 9)$
 
Jonathan a écrit le calcul suivant : $10^2 + 2$ 
	\begin{enumerate}
		\item Effectuer les calculs précédents. 
		\item Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ?
	\end{enumerate} 
\item Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat. 
	\begin{enumerate}
		\item Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ? 
		\item Le professeur a-t-il choisi $- 7$ comme deuxième nombre ? 
		\item Arthur prétend qu'en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu'il appelle $n$), l'équation $n^2 = 4$ permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.
		 
A-t-il raison? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
La vitesse de la lumière est \np{300000}~km/s.
 
\begin{enumerate}
\item La lumière met $\dfrac{1}{75}$ de seconde pour aller d'un satellite à la Terre.
 
Calculer la distance séparant le satellite de la Terre. 
\item La lumière met environ 8~minutes et 30~secondes pour nous parvenir du soleil. Calculer la distance nous séparant du Soleil. Donner le résultat en écriture scientifique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&&Réponse A &Réponse B &Réponse C\\ \hline 
\textbf{1.}& Quelle est la forme factorisée de $(x+ 1)^2 - 9$ ? &$(x - 2)(x + 4)$ &$x^2 + 2x - 8$ &$(x - 8)(x + 10)$\\ \hline 
\textbf{2.}& Que vaut $5^n \times 5^m$ ?& $5^{nm}$& $5^{n+m}$&$25^{n+m}$\\ \hline 
\textbf{3.}&À quelle autre expression le nombre $\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2}$  est-il égal ?&$\dfrac{3}{3} \div \dfrac{5}{2} $&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{4} \times  \dfrac{2}{5} $&$\dfrac{27}{15} $\\ \hline
\textbf{4.}& Quels sont les nombres premiers entre eux ? &774 et 338 &63 et 44 &\np{1035} et 774\\ \hline 
\textbf{5.}& Quel nombre est en écriture scientifique ?& $17,3\times 10^{-3}$ 
&$0,97\times10^7$ &$1,52\times10^3$ \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d'arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l'arête des cubes.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6.7)
%\psgrid
\pspolygon(1.9,1.2)(3.8,0.4)(3.3,4.5)(1.3,5.1)%deux faces blanches
\psline(1.6,3.15)(3.55,2.45)
\pspolygon(6.1,5.3)(7.7,5)(7.7,5.6)(6.1,5.9)%face blanche haute 
\pspolygon(7.7,3.55)(9.2,3.2)(9.2,4.7)(7.7,5)%face blanche droite

\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.7,4.35)(7.7,5)(6.1,5.3)(5,4.8)%haut fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(1.3,5.1)(3.3,5.8)(5.2,5.4)%haut
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(5.2,5.4)(5.45,1.7)(3.8,0.4)%droite
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(7.7,5)(7.7,3.55)(5.45,1.7)%droite fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.1,5.9)(8.5,6.1)(8.5,5.5)(9.9,5.2)(9.85,3.9)(9.2,3.2)(9.20,4.7)(7.7,5)(7.7,5.6)%tout au fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(6.7,4.35)(5.25,4.7)
\psline(8.5,6.1)(7.7,5.6)\psline(5.35,3.5)(3.55,2.45)
\psline(8.5,5.5)(7.7,5)   \psline(9.9,5.2)(9.20,4.7)
\rput(0.8,6.4){arrière}\rput(0.6,0.4){gauche}\rput(10.2,6.4){droite}\rput(10.2,0.4){face avant}
\psline(6.75,2.75)(6.7,4.35)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(0.4,6)(1.4,5.6)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(1.6,0.4)(2.2,0.9)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,1.1)(8.7,1.3)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,6.6)(9,6)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Dessiner en vraie grandeur une vue de l'arrière du solide. 
\item Calculer le volume en cm$^3$ du solide. 
\item Étude du prisme droit. 
	\begin{enumerate}
		\item On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous.
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4.5,2.5)
\psframe(0.3,0.3)(2.6,1.4)%AE
\psline(0.3,1.4)(4.1,2)(2.6,1.4)(2.6,0.3)(4.1,1)(4.1,2)%DFEBCF
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3) (4.1,1)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[d](2.6,0.3){B} \uput[dr](4.1,1){C}
 \uput[ul](0.3,1.4){D} \uput[dr](2.6,1.4){E} \uput[ur](4.1,2){F} 
\end{pspicture}
\end{center}		 

\medskip

Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifier la réponse. 
		\item Vérifier par des calculs que la longueur AC $= 4\sqrt{2}$ cm. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'aire de la face ACFD. Donner l'arrondi au mm$^2$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, on n'attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître.}

\medskip
 
On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n'est pas à l'échelle.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,3.5)
\pspolygon(0.6,0.4)(10.1,0.4)(4,3.1)%BDA
\psline(4,3.1)(4,0.4)%AC
\psframe(4,0.4)(4.2,0.6)
\psarc(4,3.1){0.6cm}{-90}{-26}
\uput[u](4,3.1){A} \uput[l](0.6,0.4){B} \uput[d](4,0.4){C}
\uput[r](10.1,0.4){D} 
\uput[r](4,1.75){25 cm}\rput{38}(2.,1.9){30 cm}\rput(4.5,2.35){49~\degres}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la distance BC. 
\item Calculer l'arrondi de la distance BD au millimètre près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.3)
\pspolygon(0.4,3.2)(3.5,2.4)(3.2,0.5)%ORK
\psline(2,2.8)(3.3,1.4)%AS
\uput[l](0.4,3.2){O} \uput[ur](3.5,2.4){R} \uput[d](3.2,0.5){K} 
\uput[u](2,2.8){A} \uput[dr](3.3,1.4){S} 
\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.62\linewidth}{ Dans la configuration ci-contre, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5~cm, OA = 3,8~cm, OR = 6,84~cm, et KR = 7,2~cm} 

\medskip
Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes. 

\begin{enumerate}
\item 	$6,84 - 3,8 = 3,04$ 
\item  	$\dfrac{5 \times 6,84}{3,04} = 11,25$ 
\item  	$7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29$
 
En utilisant tous les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l'élève a répondu, et rédiger précisément ses réponses. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip


Le directeur d'un théâtre sait qu'il reçoit environ $500$~spectateurs quand le prix d'une place est de 20~\euro. Il a constaté que chaque réduction de 1~euro du prix d'une place attire $50$~spectateurs de plus.

Toutes les parties sont indépendantes.
 
  
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau 1 de l'Annexe 1. 
\item On appelle $x$ le montant de la réduction (en \euro). Compléter le tableau 2 de l'annexe 1. 
\item Développer l'expression de la recette obtenue à la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Le directeur de la salle souhaite déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette. Il utilise la fonction $R$ donnant la recette (en \euro) en fonction du montant $x$ de la réduction (en \euro).
 
Sa courbe représentative est donnée en annexe 2.

\medskip
 
\textbf{Par lecture graphique}, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) :
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la recette pour une réduction de 2 \euro{} ? 
\item Quel est le montant de la réduction pour une recette de $\np{4050}$~\euro{} ? Quel est alors le prix d'une place ? 
\item Quelle est l'image de $8$ par la fonction $R$ ? Interpréter ce résultat pour le problème. 
\item Quelle est la recette maximale ? Quel est alors le prix de la place ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\parbox{0.43\linewidth}{\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

\bigskip

La salle de spectacle a la forme ci-contre :
 
Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2~m. 

On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m$^2$ dans la zone des sièges.
 
Calculer le nombre de places disponibles dans ce théâtre.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,8)
\psarc(3.35,3.35){3.35}{-180}{0}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.2,0)(3.2,3.2)(0,3.2)(0,3.6)(3.2,3.6)(3.2,5.6)(3.5,5.6)(3.5,3.6)(6.7,3.6)(6.7,3.2)(3.5,3.2)(3.5,0)
\psline(0,3.6)(1.7,5.6)(5,5.6)(6.7,3.6)
\psframe(1.7,5.6)(5,7.6)
\rput(3.35,7){scène}\rput(1.7,1.2){Sièges} \rput(4.9,1.2){Sièges}
\rput(3.35,3.4){Allées}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3,3.6)(3,5.6)\uput[l](3,4.6){10 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(1.7,6)(5,6)\uput[u](3.35,6){16 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,3)(3.2,3)\uput[d](1.6,3){13 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3.5,3)(6.67,3)\uput[d](5.15,3){13 m}
\rput(1.6,3.2){/}\rput(4.8,3.2){/}\rput(1.6,3.6){/}\rput(4.8,3.6){/}
\rput(2.5,5.6){//}\rput(4.15,5.6){//}
\rput{90}(3.2,1.6){/}\rput{90}(3.5,1.6){/}
\rput(3.2,4.6){$\times$}\rput(3.5,4.6){$\times$}
\end{pspicture}} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

 
\textbf{ANNEXE 1 }

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Tableau 1}
\end{flushleft} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline 
0&20&500&$20\times 500 = \np{10000}$\\ \hline
1&19&\ldots&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline
\ldots&\ldots&600&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline
&16 &\ldots&\ldots \quad=\quad \ldots\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Tableau 2}
\end{flushleft} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline
$x$&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.00075cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(22,12000)
\uput[u](17.5,0){Montant de la réduction  (en \euro)}\uput[r](0,11750){Recette $R(x)$ en \euro}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{10000 500 x mul add x dup mul 50 mul sub}
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12000)}
\multido{\n=0+500}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=15000](0,0)(-0.9,-400)(22,12000)
\multido{\n=0+500}{25}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{document}