\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
%\usepackage{align} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Victor-Emmanuel Dubau
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{7 juin 2011.\\ Corrigé par Victor-Emmanuel Dubau}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 7 juin 2011~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

Correction

 \end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.
 
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.
 
\begin{enumerate}
\item Leslie a écrit le calcul suivant : $11 \times  (2 \times 9)$
 
Jonathan a écrit le calcul suivant : $10^2 + 2$ 
	\begin{enumerate}
		\item $11 \times  (2 \times 9)=11\times 18=$\fbox{$198$} et $10^2 + 2=$\fbox{$102$}
		\item Les trois entiers sont 9, 10 et 11.
	\end{enumerate} 
\item Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat. 
	\begin{enumerate}
		\item $7 \times  (2 \times 5)=70$ alors que $6^2+2=38$. Le professeur n'a pas choisi 6 comme deuxième nombre. 
		\item $-6 \times  (2 \times (-8))= 96$ et $(-7)^2+2=51$. Le professeur n'a pas  choisi $- 7$ comme deuxième nombre. 
		\item En prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu'il appelle $n$), alors les trois nombres sont $n-1$, $n$ et $n+1$. 
D'où l'équation 
\begin{align*}
(n+1)\times2\times(n-1)&=n^2+2\\
2(n^2-1)&=n^2+2\\
2n^2-n^2&=2+2\\
n^2&=4\\ 
\end{align*}
L'équation $n^2 = 4$ permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.

Cette équation a deux solutions 2 et $-2$

Les entiers consécutifs sont 1, 2, 3, et $-3$, $-2$, $-1$.

On a bien $3\times2\times1=2^2+2$ et $(-3)\times2\times(-1)=(-2)^2+2$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
La vitesse de la lumière est \np{300000}~km/s.
 
\begin{enumerate}
\item La lumière met $\dfrac{1}{75}$ de seconde pour aller d'un satellite à la Terre.

Donc la distance séparant le satellite de la Terre est $\np{300000}~\text{km/s}\times \dfrac{1}{75}\text{s}=$\fbox{4000~km}

\item La lumière met environ 8~minutes et 30~secondes pour nous parvenir du soleil. 

8~min~30~s$=8\times 60$~s+30~s$=510$~s, donc la distance nous séparant du Soleil est 

$\np{300000}~\text{km/s}\times 510\text{s}=$153\,000\,000~km\fbox{$= 1,53\times 10^8$~km}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&&Réponse A &Réponse B &Réponse C\\ \hline 
\textbf{1.}& Quelle est la forme factorisée de $(x+ 1)^2 - 9$ ? &\fbox{$(x - 2)(x + 4)$}&$x^2 + 2x - 8$ &$(x - 8)(x + 10)$\\ \hline 
\textbf{2.}& Que vaut $5^n \times 5^m$ ?& $5^{nm}$& \fbox{$5^{n+m}$}&$25^{n+m}$\\ \hline 
\textbf{3.}&À quelle autre expression le nombre $\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2}$  est-il égal ?&$\dfrac{3}{3} \div \dfrac{5}{2} $&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{4} \times  \dfrac{2}{5} $&\fbox{$\dfrac{27}{15} $}\\ \hline
\textbf{4.}& Quels sont les nombres premiers entre eux ? &774 et 338 &\fbox{63 et 44} &\np{1035} et 774\\ \hline 
\textbf{5.}& Quel nombre est en écriture scientifique ?& $17,3\times 10^{-3}$ 
&$0,97\times10^7$ &\fbox{$1,52\times10^3$} \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d'arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l'arête des cubes.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6.7)
%\psgrid
\pspolygon(1.9,1.2)(3.8,0.4)(3.3,4.5)(1.3,5.1)%deux faces blanches
\psline(1.6,3.15)(3.55,2.45)
\pspolygon(6.1,5.3)(7.7,5)(7.7,5.6)(6.1,5.9)%face blanche haute 
\pspolygon(7.7,3.55)(9.2,3.2)(9.2,4.7)(7.7,5)%face blanche droite
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.7,4.35)(7.7,5)(6.1,5.3)(5,4.8)%haut fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(1.3,5.1)(3.3,5.8)(5.2,5.4)%haut
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.3,4.5)(5.2,5.4)(5.45,1.7)(3.8,0.4)%droite
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(7.7,5)(7.7,3.55)(5.45,1.7)%droite fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.1,5.9)(8.5,6.1)(8.5,5.5)(9.9,5.2)(9.85,3.9)(9.2,3.2)(9.20,4.7)(7.7,5)(7.7,5.6)%tout au fond
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.35,3.5)(6.7,4.35)(5.25,4.7)
\psline(8.5,6.1)(7.7,5.6)\psline(5.35,3.5)(3.55,2.45)
\psline(8.5,5.5)(7.7,5)   \psline(9.9,5.2)(9.20,4.7)
\rput(0.8,6.4){arrière}\rput(0.6,0.4){gauche}\rput(10.2,6.4){droite}\rput(10.2,0.4){face avant}
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(0.4,6)(1.4,5.6)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(1.6,0.4)(2.2,0.9)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,1.1)(8.7,1.3)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(9.5,6.6)(9,6)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Dessin en vraie grandeur une vue de l'arrière du solide : (unité utilisée : 0,75cm) 
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(5,-0.5)(11,8)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)\pspolygon(4,0)(8,0)(8,4)(4,4)\pspolygon(8,0)(12,0)(12,4)(8,4)
\pspolygon(12,0)(16,0)(16,4)(12,4)\pspolygon(12,4)(16,4)(16,8)(12,8)\pspolygon(0,4)(4,4)(4,6)(0,6)
\end{pspicture}
\end{center} 

\item Calculons le volume en cm$^3$ du solide : $6\times(4~\text{cm})^3+\dfrac{4\text{cm}\times4\text{cm}}2\times 2~\text{cm}=$\fbox{$400\text{cm}^3$} 
\item Étude du prisme droit. 
	\begin{enumerate}
		\item On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous.
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4.5,2.5)
\psframe(0.3,0.3)(2.6,1.4)%AE
\psline(0.3,1.4)(4.1,2)(2.6,1.4)(2.6,0.3)(4.1,1)(4.1,2)%DFEBCF
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3) (4.1,1)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[d](2.6,0.3){B} \uput[dr](4.1,1){C}
 \uput[ul](0.3,1.4){D} \uput[dr](2.6,1.4){E} \uput[ur](4.1,2){F} 
\end{pspicture}
\end{center}		 

\medskip

La base de ce prisme droit est un triangle rectangle car $[AB]$ et $[BC]$ sont les arêtes consecutives d'un cube. 
		\item $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore, $AC^2=AB^2+BC^2=16+16=32$. 

Donc $AC=\sqrt{32}~\text{cm}=\sqrt{16\times2}~\text{cm}=4\sqrt{2}$~cm.

Autre solution : la diagonale d'un carré de côté $c$ est donnée par la formule $c\sqrt 2$. 
		\item La face ACFD est un rectangle de longueur $4\sqrt 2$~cm et de largeur $2$~cm, donc l'aire vaut $8\sqrt 2$~cm$^2\approx 11,31$~cm$^2$ arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, on n'attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître.}

\medskip
 
On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n'est pas à l'échelle.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,3.5)
\pspolygon(0.6,0.4)(10.1,0.4)(4,3.1)%BDA
\psline(4,3.1)(4,0.4)%AC
\psframe(4,0.4)(4.2,0.6)
\psarc(4,3.1){0.6cm}{-90}{-26}
\uput[u](4,3.1){A} \uput[l](0.6,0.4){B} \uput[d](4,0.4){C}
\uput[r](10.1,0.4){D} 
\uput[r](4,1.75){25 cm}\rput{38}(2.,1.9){30 cm}\rput(4.5,2.35){49~\degres}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item $ABC$ est un triangle rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore, $BC^2=AB^2-AC^2=900-625=275$. Donc $BC=\sqrt{275}\text{cm}=\sqrt{25\times11}\text{cm}=$\fbox{$5\sqrt{11}\text{cm} $}
\item $ACD$ est un triangle rectangle en $C$. $\tan \widehat{BAC}=\dfrac{CD}{CA}$.
Donc $CD= 25\tan 49\degres$.

Conclusion, comme les points  B, C et D sont alignés, $BD= 5\sqrt{11}+25\tan 49\degres\approx$$45,3$~cm arrondi au millimètre près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.3)
\pspolygon(0.4,3.2)(3.5,2.4)(3.2,0.5)%ORK
\psline(2,2.8)(3.3,1.4)%AS
\uput[l](0.4,3.2){O} \uput[ur](3.5,2.4){R} \uput[d](3.2,0.5){K} 
\uput[u](2,2.8){A} \uput[dr](3.3,1.4){S} 
\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.62\linewidth}{ Dans la configuration ci-contre, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5~cm, OA = 3,8~cm, OR = 6,84~cm, et KR = 7,2~cm} 

\medskip
Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes. 

\begin{enumerate}
\item 	Calculer $RA$.

\textit{Réponse} : Les points $R$, $A$ et $O$ étant alignés, $RA= 6,84\text{cm} - 3,8\text{cm} = 3,04\text{cm}$ 
\item  	Calculer $OK$.

\textit{Réponse} : Les droites $(OA)$ et $(KS)$ sont sécantes en $R$ et les droites $(AS)$ et $(OK)$ sont parallèles. 

D'après le théorème de Thalès, \fbox{$\dfrac{RA}{RO}$}$=\dfrac{RS}{RK}=$\fbox{$\dfrac{AS}{OK}$}

Donc $OK=\dfrac{5 \times 6,84}{3,04}\text{cm} = 11,25\text{cm}$ 
\item  	Calculer le périmètre du triangle $ORK$.

\textit{Réponse} : $7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29$, le périmètre vaut 25,29~cm.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip


Le directeur d'un théâtre sait qu'il reçoit environ $500$~spectateurs quand le prix d'une place est de 20~\euro. Il a constaté que chaque réduction de 1~euro du prix d'une place attire $50$~spectateurs de plus.

Toutes les parties sont indépendantes.
 
  
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Complétons le tableau 1 de l'Annexe 1. 
\item On appelle $x$ le montant de la réduction (en \euro). Complétons le tableau 2 de l'annexe 1. 
\item Développons :

$(20-x)(500+50x)=10000+1000x-500x-50x^2=-50x^2+500x+10000$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Le directeur de la salle souhaite déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette. Il utilise·la fonction $R$ donnant la recette (en \euro) en fonction du montant $x$ de la réduction (en \euro).
 
Sa courbe représentative est donnée en annexe 2.

\medskip
 
\textbf{Par lecture graphique}, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) :
 
\begin{enumerate}
\item La recette pour une réduction de 2 \euro{} est 10800 \euro{}. 
\item Le montant de la réduction pour une recette de $\np{4050}$~\euro{} est de 16,8\euro{}. Le prix d'une place est de $3,2$\euro{}.
\item L'image de $8$ par la fonction $R$ est $R(8)=10800$. Si la place est de $12$~\euro{}, la recette sera de 10800\euro{}.
\item La recette maximale semble être de 11300\euro{}. Le prix de la place est de 15\euro{}.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\parbox{0.43\linewidth}{\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

\bigskip

La salle de spectacle a la forme ci-contre :
 
Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2~m. 

On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m$^2$ dans la zone des sièges.
 
Calculons le nombre de places disponibles dans ce théâtre.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,8)
\psarc(3.35,3.35){3.35}{-180}{0}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.2,0)(3.2,3.2)(0,3.2)(0,3.6)(3.2,3.6)(3.2,5.6)(3.5,5.6)(3.5,3.6)(6.7,3.6)(6.7,3.2)(3.5,3.2)(3.5,0)
\psline(0,3.6)(1.7,5.6)(5,5.6)(6.7,3.6)
\psframe(1.7,5.6)(5,7.6)
\rput(3.35,7){scène}\rput(1.7,1.2){Sièges} \rput(4.9,1.2){Sièges}
\rput(3.35,3.4){Allées}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3,3.6)(3,5.6)\uput[l](3,4.6){10 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(1.7,6)(5,6)\uput[u](3.35,6){16 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,3)(3.2,3)\uput[d](1.6,3){13 m}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3.5,3)(6.67,3)\uput[d](5.15,3){13 m}
\rput(1.6,3.2){/}\rput(4.8,3.2){/}\rput(1.6,3.6){/}\rput(4.8,3.6){/}
\rput(2.5,5.6){//}\rput(4.15,5.6){//}
\rput{90}(3.2,1.6){/}\rput{90}(3.5,1.6){/}
\rput(3.2,4.6){$\times$}\rput(3.5,4.6){$\times$}
\end{pspicture}} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
L'aire des deux trapèzes : $A_1=2\times \dfrac{7\text{m}+13\text{m}}{2}\times 10~\text{m}=200~\text{m}^2$

L'aire des deux quarts de disques (un demi-disque) :
$A_2=\dfrac{1}{2}\times \pi
\times(13~\text{m})^2=\dfrac{169}{2}\pi~\text{m}^2$

Le nombre de places : $\left(A_1+A_2\right)\times{1,8}\approx 837,8$ soit \fbox{837 places}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
%\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

 
\textbf{ANNEXE 1 }

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Tableau 1}
\end{flushleft} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline 
0&20&500&$20\times 500 = \np{10000}$\\ \hline
1&19&\textit{550}&\textit{$19\times550=10450$}\\ \hline
\textit{2}&\textit{18}&600&\textit{$18\times 600=10800$}\\ \hline
\textit{4}&16 &\textit{700}&\textit{$16\times 700=11200$}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Tableau 2}
\end{flushleft} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Réduction en \euro &Prix de la place en \euro &Nombre de spectateurs &Recette du spectacle\\ \hline
$x$&$20-x$&$500+50x$&$(20-x)(500+50x)$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE 2}

\medskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.00075cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(22,12000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=500](0,0)(-1,-500)(22,12000)
\uput[u](19,0){Montant de la réduction  (en \euro)}\uput[r](0,11750){Recette $R(x)$ en \euro}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{10000 500 x mul add x dup mul 50 mul sub}
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12000)}
\multido{\n=0+500}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,10800)(0,10800)
\psline[linestyle=dashed](0,4050)(17,4050)(17,0)
\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,10800)(0,10800)
\psline[linestyle=dashed](0,11300)(5,11300)(5,0)
\end{pspicture} 


\end{center} 


\end{document}
