\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}    
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{pst-plot,pstricks-add} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Nord   juin 2004},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small Amérique du Nord} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004 \decofourright\\ 
Amérique du Nord}}
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la  présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre :

\[\text{A}=\frac17+\frac67\div\frac{12}{35}\]

Calculer $A$ en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item On considère les nombres :

\[\text{B} = \left(\sqrt{17}-1\right)\left(\sqrt{17}+1\right)\kern1cm C = \left(3-\sqrt7\right)^2\kern1cm \text{D} = \text{B} - \text{C}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire B et C.
		\item Écrire D sous la forme $a\sqrt7$, où $a$ désigne un nombre entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les expressions :

\[E = (4x + 5)(x - 2)-x(x + 4)\kern2cm F = (3x - 10)(x + 1)\]

\begin{enumerate}
\item En développant et réduisant $E$ et $F$, vérifier que $E = F$.
\item En déduire les solutions de l'équation $E = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Deux amis ont fait des courses le même jour et à la même boulangerie.

L'un a payé $5,85$~euros pour l'achat de 5 pains au chocolat et 3 croissants.

L'autre a payé $3,65$~euros pour l'achat de 3 pains au chocolat et 2 croissants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire un système d'équations traduisant ces données.
\item En déduire le prix d'un pain au chocolat et celui d'un croissant.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un fleuriste dispose de $126$~iris et $210$~roses.

Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d'iris et le même nombre de roses.

Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Le fleuriste peut-il réaliser 15 bouquets ?
\item Peut-il réaliser 14 bouquets ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
		\item Donner la composition de chacun d'eux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{pspicture}(13,8)
\multido{\na=0+1}{8}{
\multido{\n=0+1}{13}{\qdisk(\n,\na){1pt}}}
\psframe(1,6)(2,8) \psframe(3,7)(4,8) \psline(3,6)(3,7)(4,6)
\psline(6,0)(6,8)
\uput[r](6,7.7){$d$} \uput[r](3,3){A} \uput[r](0,3){C}
\uput[l](3,8){E} \uput[l](3,6){B}\uput[r](6,3){I}\uput[r](11,2){D}
\end{pspicture}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, en commençant dans chaque cas par l'image du segment [BE], tracer :
\begin{itemize}
\item en bleu, l'image du mot \og OR\fg\ par la symétrie d'axe $(d)$;
\item en rouge, l'image du mot \og OR\fg\ par la symétrie de centre I ;
\item en noir, l'image du mot \og OR\fg\ par la translation qui transforme B en D ;
\item en vert, l'image du mot \og OR\fg\ par la rotation de centre A qui transforme B en C.
\end{itemize}
\par{\em On évitera les tracés inutiles.}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

{\em La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.}

Les points A, O, C sont alignés ainsi que les points B, O, D.

\medskip

\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}
On suppose que :

OA$=3$~cm ;
 
AB~$ = 4$~cm ; 

OC~$=7,5$~cm;

(AB) // (CD)  ;
  
$\widehat{DOC} = 65$~\degres.} \hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3)
\psline(0.3,0.3)(5.1,2.9)
\psline(3.1,0)(3.45,3)
\psline(0.2,0.5)(4.5,0.5)
\psline(1.8,2.8)(5.2,2.8)
\uput[ul](0.6,0.5){D}\uput[dr](3.2,0.5){C} \uput[ul](3.45,2){O} \uput[ul](3.6,2.8){A} \uput[ul](5,2.8){B}
\end{pspicture}}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer CD.
\item La perpendiculaire à (BD) passant par C coupe (BD) en H. Calculer OH (arrondir au centième de cm).
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La plan est muni d'un repère orthonormé} (O, I, J).

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point A(5 ; 3).
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées de $\vect{\text{IA}}$.
		\item En déduire la distance IA.
\end{enumerate}
\item On considère le point B$(-1~;~\sqrt{21})$.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que A et B sont sur le cercle de centre I et de rayon 5.
		\item Tracer ce cercle et placer le point B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C, symétrique de A par rapport à I.
		\item Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

\centerline{\bf Partie A}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{
On a représenté ci-contre un cône $C_1$ qui a pour base un disque de centre O et de rayon $7$~cm, pour sommet le point $S$ et pour hauteur $14$~cm.
\begin{enumerate}
\item Prouver que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume ${\cal     V}_1$ du cône $C_1$ est $\dfrac{686\pi}3$.

{\em Rappel} :
\[\mbox{Volume d'un cône}=\frac{\mbox{aire de sa base}\times\mbox{sa hauteur}}3\]
\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
		\item O$'$ est le point de [OS] tel que OO$' = 8$~cm. On a coupé le  cône $C_1$ par un plan parallèle à sa base et passant par O$'$. La  section obtenue est un disque de centre O$'$, réduction du disque de base.
		
Prouver que le rayon de ce disque est $3$~cm.
		\item On appelle $C_2$ le cône de sommet S qui a pour base le disque  de centre O$'$ et de rayon $3$~cm. Prouver que la valeur exacte, en
  cm$^3$, du volume ${\cal V}_2$ du cône $C_2$ est $18\pi$.
		\item En enlevant le cône $C_2$ du cône $C_1$, on obtient un tronc de  cône de hauteur 8~cm.\\Calculer la valeur exacte de son volume en  cm$^3$.
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4,6)
\psline(0,4.5)(2,0)(4,4.5)
\psellipse(2,1.65)(0.7,0.35)
\psellipse(2,4.6)(2,0.725)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,4.6)(2,1.65)
\uput[l](2,4.6){O} \uput[l](2,1.65){O$'$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4.6)
\end{pspicture}}

\centerline{\bf Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un premier récipient a la forme du tronc de cône décrit   ci-dessus et repose sur sa base de rayon 3~cm.\par On désigne par   $x$ la hauteur, en cm, du liquide qu'il contient ; on admet que le   volume ${\cal V}(x)$ de ce liquide, en cm$^3$, est   $18\pi\left[\left(1+\dfrac{x}6\right)^3-1\right]$.
\par On a représenté graphiquement, ci-après, ce volume en fonction de la hauteur $x$ (sur l'axe des ordonnées, $1$~cm représente $50$~cm$^3$).
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de ${\cal V}(6)$.
		\item Prouver que ${\cal V}(6)=18\pi\times7$, puis trouver la valeur  de ${\cal V}(6)$ arrondie au cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item Un deuxième récipient a la forme d'un cylindre de hauteur 8~cm;
  ses bases ont pour rayon 5~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de son volume, en cm$^3$.
		\item En appelant $x$ la hauteur, en cm, du liquide qu'il contient,
    prouver que le volume de ce liquide, en cm$^3$, est $25\pi x$.
		\item Soit $f$ la fonction linéaire : $x\mapsto25\pi
    x$.
    
Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère    ci-dessus pour $0\leqslant x \leqslant 8$.

{\em Rappel}: sur l'axe des ordonnées, 1 carreau représente $50$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item Les deux représentations graphiques se coupent en un point $M$.
	\begin{enumerate}
		\item Son abscisse $x_M$ est comprise entre deux nombres entiers    consécutifs : donner ces deux nombres par lecture graphique.
		\item Son ordonnée $y_M$ est comprise entre deux multiples de 50   consécutifs : donner ces deux nombres par lecture graphique.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que les deux récipients contiennent la  même hauteur $x$ de liquide.

Pour quelles valeurs de $x$ le tronc  de cône contient-il plus de liquide que le cylindre ?
\end{enumerate}
\end{document}