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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2006~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les deux expressions :
	
\[\text{A}= \left(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{5}{2}\qquad 	\text{et} \qquad 	\text{B}= \dfrac{16\times10^{-1}\times 2}{\left(10^3\right)^2 \times10^{-8} \times 80}\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
		\item Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul.
		\item Brice affirme que \og A est l'opposé de B \fg. Est-ce vrai ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On considère les deux expressions :
\[ \text{C} = 2\sqrt{24} + \sqrt{96} - \sqrt{600} \qquad \text{et}\qquad  \text{D} = \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} + 5\sqrt{2}\right)		
	\begin{enumerate}
		\item Mettre C sous la forme $a\sqrt{6}$ avec $a$ entier relatif.
		\item Développer et réduire D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigslip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $E = 4x^2 + 8x - 5$. Calculer $E$ pour $x=0,5$.
\item Soit $F = (2x+2)^2 - 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $F$.
		\item Factoriser $F$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(2x - 1)( 2x + 5 ) = 0$.
		\item Quelles sont les valeurs de $x$ qui annulent $E$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 60 est-il solution de l'inéquation $2,5 x - 75 > 76$ ?
		\item Résoudre l'inéquation et représenter les solutions sur un axe.
		
Hachurer la partie de l'axe qui ne correspond pas aux solutions.
	\end{enumerate}
\item Pendant la période estivale, un marchand de glaces a remarqué qu'il dépensait 75~\euro{} par semaine pour faire, en moyenne, 150 glaces.

Sachant qu'une glace est vendue 2,50~\euro, combien doit-il vendre de glaces, au minimum,
dans la semaine pour avoir un bénéfice supérieur à 76 \euro ?\\
On expliquera la démarche.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Pour les deux exercices les figures ne sont pas en vraie grandeur et on ne demande pas de les reproduire.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}} (O, I, J) est un repère orthonormé d'unité le centimètre.

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Lire les coordonnées des points E et F.
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{EF}}$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{FL}}$ et $\vect{\text{HG}}$.
		\item En déduire la nature de FLGH.
	\end{enumerate}
\item Préciser la position de F sur le segment [EL]. Justifier.
\item Recopier et compléter l'égalité \\$\vect{\text{FL}} +	 \vect{\text{EH}} =   $\vect{\text{\ldots}}$
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(-4,-2)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-2)(7,6)
\qdisk(-3,1){1.5pt} \uput[ul](-3,1){E} 
\qdisk(0,0){1.5pt} \uput[dl](0,0){O} 
\qdisk(1,3){1.5pt} \uput[ul](1,3){F} 
\qdisk(5,5){1.5pt} \uput[ul](5,5){L} 
\qdisk(6,1){1.5pt} \uput[ul](6,1){G} 
\qdisk(0,1){1.5pt} \uput[ur](0,1){J} 
\qdisk(1,0){1.5pt} \uput[ul](1,0){I} 
\qdisk(2,-1){1.5pt} \uput[ul](2,-1){H} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{On sait que :

\begin{itemize}
\item  EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6cm.
\item Les points E, O et C sont alignés. 
\item Les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et en C.
\item La droite (AO) coupe la droite (NE) en S.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, en cm, la mesure de [AC] est $3\sqrt{3}$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.
\item Calculer les valeurs exactes de OS et de ES.
\end{enumerate}
\item Calculer ON sachant que $\widehat{\text{NOE}} =  30~\degres$. Arrondir au mm.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{COA}}$.
		\item Démontrer que le triangle SON est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6.5,11)
\psline(0,6.5)(4,6.5)(0,8.6)(0,0)(6.37,10.3)(6.37,6.5)(4,6.5)%EONSACO
\uput[ul](0,8.6){N} \uput[l](0,6.5){E} \uput[dl](0,0){S} \uput[ur](6.37,10.3){A} 
\uput[dr](6.37,6.5){C} \uput[dr](4,6.5){O} 
\uput[d](2,6.5){5 cm} \uput[u](5.2,6.5){3 cm} 
\rput{60}(5.2,8.8){6 cm} \rput(2.6,6.8){30\degres}
\psarc(4,6.5){1}{150}{180}
\psframe(0,6.5)(0.3,6.8) \psframe(6.37,6.5)(6.07,6.8)
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Les trois parties sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Une entreprise fabrique des saladiers en faïence ayant la forme d'une demi-sphère de rayon 12 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, en cm$^3$, la valeur exacte du volume du saladier est  \nombre{1152}$\pi$.
\item Une ménagère a besoin de 1,5 litre de lait pour faire des crêpes.

Pourra-t-elle utiliser ce type de saladier pour les préparer ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Les saladiers sont vendus 5,50 \euro{} pièce.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente de 800 saladiers ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ le nombre de saladiers achetés par un supermarché.\\
Déterminer le prix $f(x)$ qu'il paiera à l'entreprise.
		\item Déterminer le nombre dont l'image par la fonction $f$ est \nombre{6600}. Interpréter le résultat.
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

On prendra l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.

On prendra, en abscisses 1 cm pour 100 saladiers et, en ordonnées 1 cm pour 400 \euro.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le graphique, retrouver le résultat de la question 2. b.. (Faire apparaître les tracés nécessaires).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune de ses quatre vendeuses et l'a inscrit dans le tableau suivant :

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}\hline
Nom de la vendeuse			&Sofia	&Natacha&Lorie	& Magali\\ \hline
Nombre de saladiers vendus	&220	&200	&290	&250\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Combien de saladiers ont été vendus ?
\item Calculer le pourcentage de saladiers vendus par Natacha. Arrondir au dixième.
\item Le responsable du supermarché affirme qu'il a vendu 80\,\%
 de son stock.
 
Combien avait-il acheté de saladiers ?
\end{enumerate}
\end{document} 