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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2009~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.

 Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte. 
 
Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.

\textbf{Pour chacune des 5 questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&&Réponse 1 &Réponse 2 &Réponse 3\\ \hline 
1 	&$6 - 4 (x - 2)$ est égal à &$2x-4$ &$14-4x$ &$-2-4x$\\ \hline 
2	& Quelle est l'expression factorisée de : $4x^2 - 12x + 9$& $(2x + 3)(2x - 3)$ &$(2x + 3)^2$& 
$(2x - 3)^2$\\ \hline 
3 	&Pour $x = -2$, l'expression $5x^2 + 2x - 3$ est égale à &13& $-27$ &17 \\ \hline
4	& Le nombre 1 est solution de l'inéquation: &$4x- 3> 7$ &$-2x + 1 \leqslant  -3$ &$5x + 3 < 9$\\ \hline 
5	&$\dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2}$  est égal à& \np{0,0000008}& $8 \times  10^{-6}$ &$0,8 \times 10^{-6}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} 
 
\multirow{4}{6cm}{On donne le programme de calcul suivant : }&Choisir un nombre\\
	& Multiplier ce nombre par 4\\
	& Ajouter 6 \\
	&Écrire le résultat\\ \cline{2-2}
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
	\begin{enumerate}
		\item  le nombre choisi est $1,2$ ; 
		\item  le nombre choisi est $x$. 
	\end{enumerate}
\item Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 15 ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires). 
\item Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.
 
Les colis sont constitués ainsi : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. 
\item[$\bullet~$] Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. 
\item[$\bullet~$] Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ? 
	\item Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\emph{Les longueurs sont données en centimètres.}

On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1.

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(16,5)
\psline(0,1.4)(15,1.4)
\psline(0,0)(14.8,4.2)
\psline(1.4,0.42)(1.2,1.4) \psline(11.6,1.4)(11.2,3.2) \psline(14,1.4)(13.4,3.85)
\uput[u](1.2,1.4){F} \uput[dr](1.4,0.42){G} \uput[d](4.9,1.4){O} \uput[ul](11.2,3.2){B} 
\uput[dr](11.6,1.4){D} \uput[ul](13.2,3.8){C} \uput[d](14,1.4){E} 
\end{pspicture}

\medskip

\emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer OE puis BD. 
\item  On donne OG = 2,4 et OF = 2.
 
Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}
 
\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{On donne BD = 4 cm; BA = 6 cm et \mbox{$\widehat{\text{DBC}}= 60\degres$}.
 
\emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. }

\begin{enumerate}
\item Montrer que BC = 8~cm. 
\item Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. 
\item Calculer AC.  
\item Quelle est la valeur de $\tan \widehat{\text{BAC}}$ ? 
\item En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate} }\hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(7.5,6.5)
\pspolygon(4.8,0)(7.3,2.05)(0,6.4)(4.8,0)(0,0)(0,6.4)
\rput{36}(4.8,0){\psframe(0.3,0.3)}
 \psarc(4.8,0){4mm}{123}{180}\rput(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
\uput[dr](7.3,2.05){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[l](0,6.4){C} \uput[d](0,0){D} 
\uput[d](2.4,0){4 cm} \uput[dr](6.15,1.025){6 cm} \uput[ul](4,0){60\degres} 
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points}

\medskip
 
On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm$^2$.

ABCD est un rectangle.
  
Le triangle DCF est rectangle en D. 

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,9.5)
\psline(1,6.7)(1,0)(5.8,6.7)
\psframe(1,6.7)(5.8,8.9)
\psline[linestyle=dotted]{<->}(0.8,0)(0.8,6.8)\uput[l](0.8,3.4){$x$}
\psline[linestyle=dotted]{<->}(0.2,0)(0.2,8.9)\uput[l](0.2,4.45){$6$}
\psline[linestyle=dotted]{<->}(1,9)(5.8,9)\uput[u](3.7,8.9){$4$}
\uput[ul](1.6,8.9){A} \uput[ur](5.8,8.9){B} \uput[dr](5.8,6.7){C} \uput[ul](1.6,6.7){D} \uput[d](1,0){F} 
\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.56\linewidth}{\textbf{Partie  A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on a AB = 4 ;  AF~=~6 et DF = 2 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du rectangle ABCD. 
		\item Calculer l'aire du triangle DCF.
	\end{enumerate} 
\item  Dans la suite du problème AB = 4 ; AF~=~6 ; DF $=x$ et AD = $6 - x$ 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire du rectangle ABCD est de $24 - 4x$. 
		\item Montrer que l'aire du triangle DCF est $2x$. 
		\item Résoudre l'équation $24 - 4x = 2x$. 
	
Pour quelle valeur de $x$, l'aire du rectangle ABCD est-elle égale à l'aire du triangle DCF ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f$ la fonction définie par : $f(x) = 24 - 4x$ et $g$ la fonction définie par : $g(x) = 2x$.
 
Compléter le tableau figurant sur le document \textbf{annexe}, puis représenter graphiquement la fonction $f$ sur le document annexe (à rendre avec la copie) sur lequel figure la représentation graphique $(\mathcal{G})$ de la fonction $g$. 

\item  Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de $x$ l' aire de DCF est égale à 6~cm$^2$. 
\item  Par lecture graphique, déterminer l'aire de ABCD pour $x = 2,5$~cm. 
\item  Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question 2. c. de la partie A. 

\medskip

Pour les questions 2.,  3. et 4. on laissera apparents les traits nécessaires sur le graphique. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Problème}

\medskip

\textbf{Partie B 1.} \end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0&1&5\\ \hline
$f(x) = 24 - 4x$&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(9,27.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(8.5,27)
\multido{\n=0.5+1.0}{9}{\psline(\n,0)(\n,27)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1)(9,27)
\uput[d](8.5,0){$x$} \uput[l](0,27){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](8,17) \uput[u](6,13){$(\mathcal{G})$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}